高中数学——有趣的数字

课程专题：有趣的数字
课程引入：
同学们，上一堂课我们学习了一些趣味数学的东西，首先，我们将讲述数的金蝉脱壳发，以及一些友好数对，并重点讲解一个神奇的数字-------“缺8数”，以及几类奇特的数----回文数。

看看我们的数字王国是多么奇妙
课程内容：
一、数的“金蝉出壳”法
数论中有许多题材使人沉湎其中，往往乐而忘返。

所以，这门学科自古以来，就吸引着人们去探索。

通俗性与公证性是数论的两大特点，。

这就是说，有些题目，虽然其推证方法与导出过程极其复杂深奥，可是它的结果却是人人都能理解、都能欣赏、都能鉴别的。

这就像磁铁一样，有一种无形的吸引力，把越来越多的业余爱好者吸引了过去。

现在请看两组自然数，每组各有三个数，每个都是六位数字。

把这两组数分别相加，就会发现它们的和是完全相等的，即：
123789+561945+642864
=242868+323787+761943
这样的性质，自然算不上什么稀罕。

可是，要知道它们各自的平方之和也是相等的，那就是说：
123789×123789+561945×561945+642864×642864
=242868×242868+323787×323787+761943×761943
如果不信，请算一算吧!算过以后，你也许会伸伸舌头，说一声：“妙啊!”
且慢，真正的妙事还在后头呢!请把每个数的最左边一位数字都抹掉，你会发现，对剩下的数来说，上述的奇妙关系仍然成立，即：
23789+61945+42864=42868+23787+61943
23789×23789+61945×61945+42864×42864=42868×42868+23787×23787+61943×6194 3
事情真怪。

让我们再抹掉每个数最左边的一位数字试试看吧!通过计算，上述性质依然保存着：
3789+1945+2864=2868+3787+1943
3789×3789+1945×1945+2864×2864=2868×2868+3787×3787+1943×1943
现在，我们索性一不做、二不休，继续干下去了。

我们发现，尽管每次抹掉最左边的一位数字，可是这种奇妙的性质总是被“原封不动”地保存了下来：
789+945+864=868+787+943
789×789+945×945+864×864=868×868+787×787+943×943
89+45+64=68+87+43
89×89+45×45+64×64=68×68+87×87+43×43
直到最后只剩下个位数，这一“性质”依旧“巍然不动”：
9+5+4=8+7+3
9×9+5×5+4×4=8×8+7×7+3×3
这就像“金蝉脱壳”一般，脱到最后一层，金蝉却还是货真价实的金蝉，其“个性”可
谓“至死不变”矣。

现在我们还是从原来的两组数出发，可是这一次却“反其道而行之”，即把两组数的数字逐个逐个地从右边抹掉。

经过这样的剧烈变动，这种性质总不见得保持下来了吧?可是，与人们预料的相反，这种性质居然还是保存了下来：
12378+56194+64286=24286+32378+76194
12378×12378+561948×561948+64286×64286=24286×24286+32378×32378+76194×76 194
……
直到最后抹得只剩下个位数时也是如此：
1+5+6=2+3+7
1×1+5×5+6×6=2×2+3×3+7×7
这类问题在数论上叫做“等幂和问题”，在国内外，它一直吸引着大批爱好者，但至今仍未能彻底解决。

二、数趣
“数字是万物之本”，数字学家毕达哥拉斯的这句话常常被人引证。

甚至对于“什么是朋友”这样的问题，他也可用数字加以回答：“朋友就是你的另一个我，其关系就如220和284。

”
友好数对
该数对的神秘在于：所有该数的整除数之和（包括1，但不包括该数本身）等于另一个数。

220的整除数之和为1＋2＋4＋5＋10＋11＋20＋22＋44＋55＋110=284，284的整除数之和为1＋2＋4＋71＋142=220。

有1800年之久，人们只知道这一数对是“友好”数对。

直至1636年，业余数学家皮勒才成功地发现了第二数对：17296和18416。

今天，数学家已发现了1200对这样的数对，其中最大的一对是111448537712和118853793424。

花瓣与小兔的数字之美
雷奥那多将阿拉伯数字引入欧洲，他自称费波南希。

他在观察小白兔的繁殖时发现了值得注意的数字规律：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……其特点是前两个数字之和即为下一个数。

直至今天，这一特性仍受到人们的关注，因为费波南希数字常常令人吃惊地出现在自然界中。

比如：许多花瓣的数字正是这样。

为什么13是个倒霉的数字
它的基本设想来自威廉姆·福利斯、一位柏林医生的理论，即：人类发展史中的一切都可用一个简单公式“23X＋28Y”来计算，X和Y是正或负的整数。

比如：一年有365天，因为365=23×11＋28×4；法国革命开始于23×23＋28×45=1789年；人类细胞核中有46对染色体=23×2+28×0；《圣经》中动物数是23×18＋28×9=666；而13是个倒霉的数字，因为13=23×3＋28×（-2），——式中出现了负数。

正如美国数学家诺伯特·维纳尔所指出的“数字是真理的源泉”，“但数字更多的是将人们引入超现实的境地。

”
三、缺8数“缺8数”——12345679，颇为神秘，故许多人在进行探索。

1、清一色
菲律宾前总统马科斯偏好的数字不是8，却是7。

于是有人对他说：“总统先生，你不是挺喜欢7吗？拿出你的计算器，我可以送你清一色的7。

”接着，这人就用“缺8数”乘以63，顿时，777777777映入了马科斯先生的眼帘。

“缺8数”实际上并非对7情有独钟，它是“一碗水端平”，对所有的数都“一视同仁”的：你只要分别用9的倍数（9,18……直到81）去乘它，则111111111,222222222……直到999999999都会相继出现。

2、三位一体
“缺8数”引起研究者的浓厚兴趣，于是人们继续拿3的倍数与它相乘，发现乘积竟“三位一体”地重复出现。

例如：
12345679×12=148148148
12345679×15=185185185
12345679×57=703703703
3、轮流“休息”
当乘数不是3的倍数时，此时虽然没有“清一色”或“三位一体”现象，但仍可看到一种奇异性质：乘积的各位数字均无雷同。

缺什么数存在着明确的规律，它们是按照“均匀分布”出现的。

另外，在乘积中缺3、缺6、缺9的情况肯定不存在。

让我们看一下乘数在区间[10—17]的情况，其中12和15因是3的倍数，予以排除。

12345679×10＝123456790（缺8）
12345679×11＝135802469（缺7）
12345679×13＝160493827（缺5）
12345679×14＝172839506（缺4）
12345679×16＝197530864（缺2）
12345679×17＝209876543（缺1）
乘数在[19—26]及其他区间（区间长度等于7）的情况与此完全类似。

乘积中缺什么数，就像工厂或商店中职工“轮休”，人人有份，但也不能多吃多占，真是太有趣了！
4、一以贯之
当乘数超过81时，乘积将至少是十位数，但上述的各种现象依然存在，真是“吾道一以贯之”。

随便看几个例子：
（1）乘数为9的倍数
12345679×243＝2999999997，只要把乘积中最左边的一个数2加到最右边的7上，仍呈现“清一色”。

（2）乘数为3的倍数，但不是9的倍数
12345679×84＝1037037036，只要把乘积中最左边的一个数1加到最右边的6上，又可看到“三位一体”现象。

（3）乘数为3K＋1或3K＋2型
12345679×98＝1209876542，表面上看来，乘积中出现雷同的2，但据上所说，只要把乘积中最左边的数1加到最右边的2上去之后，所得数为209876543，是“缺1”数，而根据上面的“学说”可知，此时正好轮到1休息，结果与理论完全吻合。

5、走马灯
冬去春来，24个节气仍然是立春、雨水、惊蛰……其次序完全不变，表现为周期性的重复。

“缺8数”也有此种性质，但其乘数是相当奇异的。

实际上，当乘数为19时，其乘积将是234567901，像走马灯一样，原先居第二位的数2却成了开路先锋。

深入的研究显示，当乘数为一公差等于9的算术级数时，出现“走
马灯”现象。

例如：
12345679×28＝345679012
12345679×37＝456790123
6、回文结对携手同行
“缺8数”的“精细结构”引起研究者的浓厚兴趣，人们偶然注意到：
12345679×4＝49382716
12345679×5＝61728395
前一式的积数颠倒过来读（自右到左），不正好就是后一式的积数？（但有微小的差异，即5代以4，而根据“轮休学说”，这正是题中的应有之义。

）
这样的“回文结对，携手并进”现象，对13，14；22，23；31，32；40，41等各对乘数（每相邻两对乘数的对应公差均等于9）也应如此。

例如：
12345679×67＝827160493
12345679×68＝839506172
7、遗传因子
“缺8数”还能“生儿育女”，这些后裔秉承其“遗传因子”，完全承袭上面的这些特性，所以这个庞大家族的成员几乎都同其始祖12345679具有同样的本领。

例如50672839是“缺8数”与41的乘积，所以它是一个衍生物。

我们看到，506172839×3＝1518518517。

如前所述，“三位一体”模式又来到我们面前。

8、追本穷源
“缺8数”实际上与循环小数是一根藤上的瓜，因为
1/81＝0.012345679。

在0.012345679中，为什么别的数码都不缺，应有尽有，而唯独缺少8呢？
我们看到，1/81＝1/9×1/9。

把1/9化成循环小数，其循环节只有一位，即1/9＝0.1。

如果你不怕麻烦，当然也可把它看成是0.1111……直到无穷。

无穷多个1的自乘，能办得到吗？不妨先从有限个1的平方来试试看。

很明显：11的平方=121，111的平方=12321，……，直到111111111的平方=12345678987654321。

但现在是无穷个1相乘，长长的队伍看不到尽头，怎么办呢？
利用数学归纳法，不难证明，在所有的层次，8都被一一跳过。

循环小数与循环群、周期现象的研究正方兴未艾，它已引起许多人的浓厚兴趣与密切关注。

由于计算机科学的蓬勃发展，人们越来越不满足于泛泛的几条性质，而更着眼于探索其精微结构。

四、回数猜想
一提到李白，人们都知道这是我国唐代大诗人的名字。

如果把“李白”两字颠倒一下，变成“白李”，这也是一个人的名字，此人姓白名李。

像这样正着念、反着念都有意义的文字叫做“回文”。

王融作有《春游回文诗》；“风朝指锦幔，月晓照莲池。

”反过来读：“池莲照晓月，幔锦指朝风。

”回文与数学里的“对称”相似。

如果一个数，从左右来读都一样，就称它为回文式数。

比如、101、32123、9999
等都是回文式数。

数学中有名的“回数猜想”之谜，至今没有解决。

你任取一个数，再把这个数倒过来，并将这两个数相加；然后这个和数再倒过来，与原来的和数相加。

重复这个过程，一定能获得一个回文式数。

举个例了，比如68，按上述做法进行运算，只需要3步就可以得到一个回文式数1111。

68＋86=154
154＋451=605
605＋506=1111
至今没有人能确定这个猜想是对还是错。

196这个三位数也许能成为“回数猜想”不成立的反证。

因为用电子计算机对这个数进行了几十万步计算，仍没有获得回文式数。

但是也没有人能证明这个数永远产生不了回文式数。

数学家对同时是质数的回文式数进行了研究，但是还没有人能证明这种想法是对的。

数学家还猜想有无穷个回文质数对，比如30103和30203，它们的特点是中间的数字是连续的，而其他数字都是相等的。

在回文式数中平方数是非常多的，比如：
121=11的平方
12321=111的平方
1234321=1111的平方
……
12345678987654321=111111111的平方
立方数也有类似情况，如：
1331=11的立方
1367631=111的立方
有趣的回文数，至今还有许多不解之谜。

我们寄希望于未来的数学家去解开。