数理统计复习总结

1统计量与抽样分布

1.1基本概念：统计量、样本矩、经验分布函数

总体X 的样本X 1，X 2，…，X n ，则T(X 1，X 2，…，X n )即为统计量 样本均值X =μ

样本方差2

1

2

)(1∑=-=n i i n X X n S

修正样本方差2

1

2*)(11∑=--=n i i n

X X n S

样本k 阶原点矩,...)2,1(,11

==∑=k X n A n i k

i k

样本k 阶中心矩,...)2,1(,)(11

=-=∑=k X X n B n i k

i k

经验分布函数)(,)

()(+∞<<-∞=

x n

x v x F n n 其中V n (x)表示随机事件}{x X ≤出现的次数,显然))(,(~)(x F n B x V n ,则有)()]([x F x F E n = )](1)[(1

)]([x F x F n

x F D n -=

补充： ⏹

DX n

n ES n 12-=

DX ES n =2

* 22)(EX DX EX += ⏹

22

21

1n n

i i S X X n ==-∑

● 二项分布B(n,p): ),...,1,0(,)1(}{n k p p C k X P k

n k k n =-==-

EX=np DX=np(1-p)

● 泊松分布)(λP : ,...)1,0(,!

}{==

=-k e k k X P k

λλ

λ=EX λ=DX

● 均匀分布U(a,b): )(,1

)(b x a a

b x f <<-=

2b a EX +=

2)(12

1

a b DX -=

● 指数分布:

(),(0)()1,(0)x x f x e x F x e x λλλ--=>↔=->

λ

1

=

EX 2

1

λ=

DX

● 正态分布),(2

σμN : }2)(ex p{21)(2

2

σμσ

π--=

x x f μ=EX 2σ=DX 22

221()1n

n

nS n E n ES n σσ-=-⇒= 2

24

22

2(1)()2(1)n n nS n D n DS n σσ-=-⇒= 当0=μ时，0=EX 22σ=EX 44

3EX σ= σπ

2=

X E 2)2

1(σπ-=X D

1.2统计量：充分统计量、因子分解定理、完备统计量、指数型分布族 T 是θ的充分统计量⇔),...,,(21t T x x x f n =与θ无关 T 是θ的完备统计量⇔要使E[g(T)]=0,必有g(T)=0

));,...,,((),...,,();()(21211

θθθn n i n

i x x x T g x x x h x f L ==∏=且h 非负⇔T 是θ的充分统计量

),...,,()},...,,()(ex p{)();(2

1

2

1

1n

n

n

i i

x x x h x x x T b C x f θθθ=∏=⇔T 是θ的充分完备统计量

),...,,()},...,,()(),...,,()(ex p{)();(21212

2

2

1

1

1

1

n n n

n

i i

x x x h x x x T

b x x x T b C x f θθθθ+=∏=

⇔),(21T T 是),(21θθθ=的充分完备统计量

1.3抽样分布：2

χ分布，t 分布，F 分布，分位数，正态总体样本均值和方差的分布，非正态总体样本均值的分布

2χ分布：)(~ (2)

2222

12

n X X X n

χχ+++= )0()

2

(21)(12

22

>Γ=

--

x x

e n x

f n x n

n E =2χ n D 22=χ

T 分布：)(~/n t n

Y X T =

当n>2时，ET=0 2-=n n

DT

F 分布：),(~212

1n n F n Y

n X

F =

),(1

12n n F F

= 补充：

⏹ Z=X+Y 的概率密度⎰

⎰

+∞

∞

-+∞

∞

--=-=

dy y y z f dx x z x f z f z ),(),()( f(x,y)是X 和Y 的联合

概率密度

⏹ X

Y

Z =的概率密度dx x xz x f z f z ⎰+∞∞-=),()(

⏹ )(x g y =的概率密度)]'([))(()(11y g y g f y f x y --=

●

Γ函数：⎰+∞

--=Γ01)(dx e x x αα )()1(αααΓ=+Γ 1)1(,)!1()(=Γ-=Γn n

● B 函数：⎰

---=

1

11)1(),(dx x x B βαβα )

()

()(),(βαβαβα+ΓΓΓ=

B

1.4次序统计量及其分布：次序统计量、样本中位数X 、样本极差R X (k)的分布密度：),...,2,1(),()](1[)]([)!

()!1(!

)(1)(n k x f x F x F k n k n x f k n k x k =---=

--

X (1)的分布密度：1)](1)[()()1(--=n x x F x nf x f X (n)的分布密度：1)]()[()()(-=n x x F x nf x f n

2参数估计

2.1点估计与优良性：概念、无偏估计、均方误差准则、相合估计(一致估计)、渐近正态估计

θ的均方误差：22(,)()()MSE E D E θθθθθθθ=-=+-

若θ是无偏估计，则(,)MSE D θθθ=

对于θ的任意一个无偏估计量θ，有*D D θθ≤，则*

θ是θ的最小方差无偏估计，记MVUE 相合估计(一致估计):lim n n E θθ→∞

= lim 0n n D θ→∞

=

2.2点估计量的求法：矩估计法、最大似然估计法 矩估计法：

① 求出总体的k 阶原点矩:12(;,,...,)k

k k m a EX x dF x θθθ+∞

-∞

==

⎰

② 解方程组1

1n k

k i i a X n ==∑ (k=1,2,...,m)，得12(,,...,)k k n X X X θθ=即为所求

最大似然估计法：

① 写出似然函数1

()(;)n

i i L f x θθ==∏

，求出lnL 及似然方程

ln 0i L

θθ

θ=∂=∂

i=1,2,...,m

② 解似然方程得到

12(,,...,)i n x x x θ，即最大似然估计12(,,...,)i n X X X θ