用等效法研究单摆的周期问题

用等效法研究单摆的周期问题
单摆的周期公式为学生所熟知，若将单摆置于不同的环境中再来研究其周期问题，往往令学生感到茫然，若用等效方法研究单摆，可使学生对其认识深刻，化难为易。

一、求等效摆长
所谓摆长意味着悬点到球心间的距离，同学们对下图中各摆等效摆长一看便知，迅速可得周期公式，分别为（注：摆球可看作质点）：
，
若等效摆长不易一眼看出，则应从数学角度计算。

图1 图2 图3
例1. 由长度依次为L和2L的AC和BC两根细绳悬挂小球C，如图4所示，每根细绳跟竖直方向的夹角均为30°，当该小球向纸内外做微小摆动时，其摆。

动周期为___________
图4
简析：本题是一个双线摆问题，解决其周期，首先得确定其等效摆长，连接AB，然后过摆球C作竖直线交直线AB于O点，则OC为该摆的等效摆长，如
图5所示，L”，故周期：
图
5
二、求等效重力加速度
原始的单摆模型在振动过程中回复力来源于重力的分量，要研究升降机中单摆的周期问题，必须从研究回复力着手，求出其等效重力，再求等效重力加
速度g”，则。

例2. 在升降机中挂着一单摆，摆长为L ，当升降机以加速度a 匀加速上升的过程中，求单摆的振动周期T 。

简析：单摆在摆动过程中，受重力和绳的张力F 的作用，当升降机匀加速上升时，单摆一方面绕悬点振动，另一方面沿竖直方向作匀加速直线运动。

根据力的作用效果，将F 分为
三个力，如图6所示，在竖直方
向上，F 3与G 的合力产生向上的加速度a ，切线方向的F 1使单摆返回“平衡”位置，产生切向加速度，F 2
沿摆线方向产生做圆周运动所需的向心加速度。

图6因为。

又因为F⊥F 1
，所以：
当很小时，。

故单摆在加速上升的升降机中所受回复力与位移成正比，且方向相反，得。

单摆在升降机中摆动周期为：
显然，我们称之为等效重力加速度，同理，若升降机以加速度a
匀加速下降，则：。

可见在升降机中加速上升（或加速下降），可以等效为重力加速度发生变化，只要求出等效重力加速度，则单摆的周期问题迎刃而解，现列举另外几种常见情形：
（1）在水平加速运动的车厢内
如图7所示，若将单摆悬挂于水平加速向左运动的车厢内，其平衡位置由
O 变到了O”，等效重力加速度为，则振动周期为。

图7
（2）在斜面上加速运动的车厢内
如图8所示，当小车沿倾角为的光滑斜面自由滑下时，单摆的周期为
，比小车静止时要大。

图8
（3）光滑斜面上的单摆
如图9所示，单摆一端系于倾角为
的光滑斜面上，产生回复力的是
的切向分力，等效重力加速度为
，周期为。

图9
（4）复合场中的单摆
若将带电量为q的单摆放入电场强度为E的匀强电场中，如图10所示，则得到最常见的复合场。

图10
若摆球带负电，则：
若摆球带正电，则：
当时，单摆停摆。

若电场方向改为水平，同理分析可得。

（5）在匀速运动的卫星内
因为摆球受到的万有引力全部充当了和卫星一起环绕行星运动所需要的向心力，所以处于完全失重状态，单摆停摆。

三、用等效模型求T
在光滑的圆弧槽底端有一小球，且知圆弧半径R远大于圆弧长，其受力类
似于单摆，容易证得小球运动为简谐运动，则其周期为。

例3. 如图11所示，光滑圆弧槽半径为R，A为最低点，C到A距离远小于R，两质点B和C都由静止开始释放，问哪一个小球先到A点？
图11
简析：B球到A
点时间用自由落体运动规律求解，其时间：
C球第一次到达A
点用单摆周期公式：
显然，，即B球先到。

讨论：要使两球在A点相遇，可使B球上移，问此时B球高度h为多少？分析：B
球下落时间为：
又C点运动具有重复性，两球相遇时间必有多解，相应的h
值亦应有多解：
，
解得：。