浅谈解析几何中的点差法

浅谈解析几何中的“点差法”

高二（七班）第一学习小组 易正贵整理 2013年5月

解析几何在高考中占有重要地位，一般放在试题倒数第二题，有时也成为压轴题。在高考中，绝大多数学生只能完成第1问，第2问，因计算量大而难无法完成。在平时学习及复习过程中，要让自己真正理解解析几何中的最优解法与算法，这样在考试中才能作出正确的、最优的解法选择，这样才能事半功倍。下面谈谈 什么是“点差法”？什么情况下用“点差法”？ 若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x M 、),(22y x N ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦MN 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。

二次曲线12

2=+ny mx 上两点N M ,，设),,(),,(2211y x N y x M MN 的中点),(00y x Q ，MN 的斜率为k 。

⎪⎩⎪⎨⎧=+=+)

2(1)1(122222121 ny mx ny mx 由（1）－（2）得，0))(())((21212121=+-++-y y y y n x x x x m 又∵)(,2,2212

121021021x x k x x y y y y y x x x ≠=--=+=+ ∴000=+nky mx 这一等式建立了二次曲线弦的斜率与弦的中点坐标．．．．．．．．．．．

之间关系式。 即已知弦的中点，可求弦的斜率；已知斜率，可求弦的中点坐标。同时也告诉我们当题目问题涉及到弦的斜率与弦的中点在一起时，就要想到“点差法”。

一、 以定点为中点的弦所在直线的方程

例1、已知抛物线x y 42

=，过点)4,3(P 的直线l 交抛物线于A 、B 两点且点P 平分AB ，求直线l 的方程。

分析：此题涉及到弦AB 的斜率及弦AB 的中点坐标，故采用“点差法”。

解：设),,(),,(2211y x B y x A 则2184)(4))((44212121222121==⇒-=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧==AB k x x y y y y x y x y 从而直线l 的方程为052=+-y x

练习1、过椭圆14

162

2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。

2、已知ABC ∆的三个顶点都在抛物线2

32y x =上，其中()2,8A ，且ABC ∆的重心G 是抛物线的焦点，求直线BC 的方程.

二、 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹

例2、已知椭圆C ：13

42

2=+y x ，直线l 过点P （1,1）交椭圆C 于A 、B 两点，求AB 中点M 的轨迹方程。

分析：此题涉及到弦AB 的中点坐标，且弦的斜率等于MP 的斜率。故采用“点差法”。 解：设),,(),,(2211y x B y x A ),(y x M ，则

⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+12

4312432222121y x y x 0))((4))((321212121=+-++-y y y y x x x x 0)1(4)1(301

1430432121=-+-⇒=--•+⇒=--•+⇒y y x x x y y x x x y y y x ∵点P 在椭圆内部，直线l 与椭圆恒有两个交点，∴点M 的轨迹方程为：

0)1(4)1(3=-+-y y x x

三、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题

例3、已知椭圆13

42

2=+y x ，试确定的m 取值范围，使得对于直线m x y +=4，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。

解：设),(111y x P ，),(222y x P 为椭圆上关于直线m x y +=4的对称两点，),(y x P 为弦21P P 的中

点，则12432121=+y x ，12432222=+y x 两式相减得，0)(4)(32

2212221=-+-y y x x 即0))((4))((321212121=-++-+y y y y x x x x x x x 221=+，y y y 221=+，4

12121-=--x x y y ∴x y 3= 这就是弦21P P 中点P 轨迹方程。

它与直线m x y +=4的交点必须在椭圆内

联立⎩⎨⎧+==m x y x y 43，得⎩⎨⎧-=-=m

y m x 3 则必须满足22433x y -<， 即224

33)3(m m -<，解得1313213132<<-m 练习、若抛物线2:C y x =上存在不同的两点关于直线():3l y m x =-对称，求实数

m 的取值范围.

四、证明定值问题

例4 已知AB 是椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>不垂直于x 轴的任意一条弦，P 是AB 的中点，O 为椭圆的中心.求证：直线AB 和直线OP 的斜率之积是定值.

证明 设()()1122,,,A x y B x y 且12x x ≠， 则2211221x y a b +=，（1）2222221x y a b

+=，（2） ()()12-得：2222121222x x y y a b

--=-， ()()2121221212b x x y y x x a y y +-∴=--+，()()

2121221212AB b x x y y k x x a y y +-∴==--+. 又1212OP y y k x x +=+，221AB OP

b k k a ∴=-⋅，22AB OP b k k a ∴⋅=-（定值）. 五、求参数的取值范围

例5、（稳派2013年5月高二年级模底考试理科第20题）

如图，在DEF R t ∆中，25||,2||,90=+=︒=∠ED EF EF DEF ，椭圆C ：12222=+b

y a x ，以E 、F 为焦点且过点D ，点O 为坐标原点。

（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；

（Ⅱ）若点K 满足.3

1ED OK =，问是否存在不平行于EF 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M 、N 且||||NK MK =，若存在，求出直线l 的斜率的取值范围，若不存在，说明理由。

解：（Ⅰ）略： 13422=+y x ，)2

1,0(K （Ⅱ）分析：∵||||NK MK =，

设MN 的中点为H ，则MN KH ⊥，此条件

涉及到弦MN 的中点及弦MN 设),(),,(),,(002211y x H y x N y x M ，直线l