冲激函数匹配法确定初始条件
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信号与系统第二章习题
当激励为et sin tut ut 1时的零状态响应为
rt et ht
sin tut ut 1ut ut 1
t
0
sin
d
τ
u
t
ut
2
1
t 1
sin
τ
d
τut
u
t
2
1 1 costut ut 2
X
20
第
例2-4 计算卷积 f1(t) f2(t)，并画出波形。
页
f1 t
f2 t
2
1
1 e t1u t 1
则得
A1 A2 3 3A1 2A2 2
解得
A1 A2
4 7
代入（1）得
ht 4e2t 7e3t ut X
18
例2-3
第
页
已知线性时不变系统的一对激励和响应波形如下图所示，
求该系统对激励的 et sin tut ut 1零状态响应。
et
r t
1
1
O 12
t
对激励和响应分别微分一次，得
t0
因为特解为3，所以 强迫响应是3，自由响应是 4 et e2t
X
12
方法二
第
页
零状态响应rzs t是方程
d2 r dt
t
2
3
dr d
t
t
2r
t
2
t
6ut
且满足rzs 0 rzs0 0的解
（5）
由于上式等号右边有 t项 ，故rzst应含有冲激函数，
从而rzs t 将发生跳变，即 rzs 0 rzs 0
d2 rt 3 d rt 2rt 0
dt2
dt
rt et ht
sin tut ut 1ut ut 1
t
0
sin
d
τ
u
t
ut
2
1
t 1
sin
τ
d
τut
u
t
2
1 1 costut ut 2
X
20
第
例2-4 计算卷积 f1(t) f2(t)，并画出波形。
页
f1 t
f2 t
2
1
1 e t1u t 1
则得
A1 A2 3 3A1 2A2 2
解得
A1 A2
4 7
代入（1）得
ht 4e2t 7e3t ut X
18
例2-3
第
页
已知线性时不变系统的一对激励和响应波形如下图所示，
求该系统对激励的 et sin tut ut 1零状态响应。
et
r t
1
1
O 12
t
对激励和响应分别微分一次，得
t0
因为特解为3，所以 强迫响应是3，自由响应是 4 et e2t
X
12
方法二
第
页
零状态响应rzs t是方程
d2 r dt
t
2
3
dr d
t
t
2r
t
2
t
6ut
且满足rzs 0 rzs0 0的解
（5）
由于上式等号右边有 t项 ，故rzst应含有冲激函数，
从而rzs t 将发生跳变，即 rzs 0 rzs 0
d2 rt 3 d rt 2rt 0
dt2
dt
第二章 连续时间系统的时域分析 重要公式
零状态响应 rzs ( t ) 的求解有两种方法 方法一：直接求解微分方程 步骤： （1）求出通解；
(k ) (0 + ) = r (k ) (0 + ) − r (k ) (0 − ) 确定 n 个待定常数。 （2）由跳变量 rzs
方法二：卷积积分法 步骤： （1）先求冲激响应 h(t ) ； （2）再利用 rzs (t ) = h(t ) ∗ e(t ) 求零状态响应。 五、冲激响应 h ( t ) 和阶跃响应 g ( t ) 1、冲激响应 h ( t ) 的定义 定义： 系统在单位冲激信号 δ ( t ) 的激励下产生的零状态响应， 称为冲激响应。 冲激响应 h ( t ) 满足的微分方程为：
4
方法一：比较系数（等式两端奇异函数项相平衡）法求 h ( t ) 步骤：a. 先求特征根，直接写出冲激响应的函数形式； b. 再用冲激函数平衡法确定系数 Ak 。 方法二：利用系统的线性时不变特性求 h ( t ) 对于 h ( t ) 满足的微分方程
dn d n −1 d h(t ) + a n −1 n −1 h(t ) + + a1 h(t ) + a 0 h(t ) n dt dt dt
dn d n −1 d ( ) r t a + r (t ) + + a1 r (t ) + a 0 r (t ) n −1 n n −1 dt dt dt
= bm dm d m −1 d ( ) e t b e(t ) + + b1 e(t ) + b0 e(t ) + m −1 m m −1 dt dt dt
dn d n −1 d ( ) h t a h(t ) + + a1 h(t ) + a 0 h(t ) + n −1 n n −1 dt dt dt
信号与系统第二章例题
r (0 ) 2 r (0 ) 3 r (0 ) r (0 ) 2
代入r (t ) Ae3t A2et 3e2t 1
A1 A2 3 2 得 3 A1 A2 6 3
r (t ) -4e3t 3et 3e2t
解：1）求自由响应的形式
r '' (t ) 4r ' (t ) 3r (t ) 0
特征方程为： 2 4 3 0 1 3, 2 1
rh (t ) Ae3t A2et 1
2）求强迫响应
利用筛选 特性
e(t ) e2t u(t ) e '(t ) 2e2t u(t ) e2t (t ) 2e2t u(t ) (t )
0 t 0
8
代入方程得
a 2 b 4a 1 c 4b 3a 0
a (t ) b 4a) (t ) (c 4b 3a)u (t ) （ 2 (t ) (t )
a 2 b 7 c 22
4 B 8B 3B 3
rp (t ) 4Be2t
B 3
rp (t ) 3e2t
3）求完全响应
r(t ) rh (t ) rp (t ) Ae3t A2et 3e2t 1
利用冲激函数匹配法求初始条件r (0 )和r(0 )
r '' (t ) 4r ' (t ) 3r (t ) 2 (t ) 3u(t ) r (t ) a (t ) bu (t )
1 3t 5 t (e e )u (t ) 2
注意：1、积分上下限问题； 2、积分结果的始终点问题。
第二章_连续时间系统的时域分析
第二章 连续时间系统的时域分析
2.1 引言 2.2 微分方程式的建立与求解 2.3 起始点的跳变—从0-到0+状态的转换 2.4 零输入响应和零状态响应 2.5 冲激响应与阶跃响应 2.6 卷积 2.7 卷积的性质
1
重点和难点
重点： 连续时间系统的零输入响应和零状态响应的含义和求解； 理解冲激响应、阶跃响应的意义，掌握其求解方法；
R1i ( t ) v C ( t ) e ( t ), t 0
4 6 5 14 5 A
e (0 ) v C (0 )
1 d d i (0 ) e (0 ) v C (0 ) dt R1 d t dt d
1/C iC(0+)
10 B 4 4 B 8 5
12
(4)
完全响应
i ( t ) A1 e
2 t
A2 e
5t
8/5
d dt i(0 )
(5)
确定换路后的 i ( 0 ) 和
13
§2.3 起始点的跳变—从0-到0+状态的转换 一、初始条件的求解——根据电路求
激励e(t)在t=0时刻加入，系统的响应区间为 0 t
d dt
n 1
n 1
r ( 0 )]
求解方法：根据系统的起始状态、激励信号情况以及元 件约束和网络拓扑约束求。
14
求初始条件
（1）首先求出vC(0-)和iL(0-)，即电容上的起始电压和 电感中的起始电流。 （2）根据能量连续性原理： a)当没有冲激电流（或阶跃电压）作用于电容C 有
v C (0 ) v C (0 )
6
a) 求齐次解rh(t)：系统固有的响应
2.1 引言 2.2 微分方程式的建立与求解 2.3 起始点的跳变—从0-到0+状态的转换 2.4 零输入响应和零状态响应 2.5 冲激响应与阶跃响应 2.6 卷积 2.7 卷积的性质
1
重点和难点
重点： 连续时间系统的零输入响应和零状态响应的含义和求解； 理解冲激响应、阶跃响应的意义，掌握其求解方法；
R1i ( t ) v C ( t ) e ( t ), t 0
4 6 5 14 5 A
e (0 ) v C (0 )
1 d d i (0 ) e (0 ) v C (0 ) dt R1 d t dt d
1/C iC(0+)
10 B 4 4 B 8 5
12
(4)
完全响应
i ( t ) A1 e
2 t
A2 e
5t
8/5
d dt i(0 )
(5)
确定换路后的 i ( 0 ) 和
13
§2.3 起始点的跳变—从0-到0+状态的转换 一、初始条件的求解——根据电路求
激励e(t)在t=0时刻加入，系统的响应区间为 0 t
d dt
n 1
n 1
r ( 0 )]
求解方法：根据系统的起始状态、激励信号情况以及元 件约束和网络拓扑约束求。
14
求初始条件
（1）首先求出vC(0-)和iL(0-)，即电容上的起始电压和 电感中的起始电流。 （2）根据能量连续性原理： a)当没有冲激电流（或阶跃电压）作用于电容C 有
v C (0 ) v C (0 )
6
a) 求齐次解rh(t)：系统固有的响应
冲击函数匹配法
iC + u(t) -
C
d2 dt 2
u(t)
1 R
d dt
u(t)
1 L
u (t )
d dt
iS (t)
(5)
对于复杂系统,设激励信号为e(t),系统响应为r(t),则可 以用一高阶微分方程表示
C0
dn dt n
r(t)
C1
d n 1 dt n 1
r(t)
C n 1
2)对于用微分方程表示的系统
系统的0-状态到0+状态有无跳变决定于微分方程 右端自由项中是否包含(t)及其各阶导数.如果包 含(t)及其各阶导数,则0-到0+状态发生了跳变, 即 r(0) r(0)或r(0) r(0)等等. .可用冲激函数匹配法 求出0+状态. 冲激函数匹配法的原理是根据t=0时刻微分方程 左右两端的(t)及其各阶导数应该平衡相等.
2.1 引言
线性连续时间系统的分析，归结为建立并且求解线 性微分方程。 在系统的微分方程中，包含有表示激励和 响应的间函数以及他们对于时间的各阶导数的线性组合。 因此，在分析过程中，如果不经过任何变换， 则所涉及 的函数的变量都是时间t，这种分析方法称为时域分析法。 如果为了便于求解方程而将时间变量变换成其他变量， 则相应的称为变换域分析法。例如在傅立叶变换中，将 时间变量变换为频率变量去进行分析，就称为频域分析 法。
3
2
6
完全解中的齐次解称为系统的自由响应,特解称 为系统的强迫响应.特征方程根i(i=1,2,…,n)称为系 统的‘固有频率’(或‘自由频率’)
上例中完全解的分解如下:
r (t ) 11 e t 5 e 2t 1 e 4t
信号与系统2.3起始点的跳变
1 L
0 0
vL
(
) d
1 L
0 vL ( ) d
令t 0,
iL
(0
)
iL
(0
)
1 L
0 0
vL
(
)
d
0
如果 vL(t)为有限值，
冲激电压或阶 跃电流作用于
0 0
v
L
(
)
d
0，
此时iL(0 ) iL(0 )
电感时：
如果vL(t)为 (t)，
iL(0 ) iL(0 )
1
L
0 0
v
L
(
)
d
1 ,
代入方程 a t b t cut 3a t 3but 3 t
得出
a 3 b 3a 0
c 3b 0
所以得 r0 r0 b 9
a 3
即 b 9
c 27
即 r0 r0 9
第 11 页
本节结束
•当系统用微分方程表示时，系统从 0到 状0态有没有
跳变取决于微分方程右端自由项是否包含 及其t各 阶
导数项。
1．电容电压的突变
由伏安关系
iC (t) C
1
vC (t) C
t
iC ( )d
vC (t)
1
C
0
iC
(
)d
1 C
i0
0 C
(
)d
1 C
t
0 iC ( )d
vC
(0
)
1 C
§2.3 起始点的跳变
一．起始点的跳变
t 0
0
0
O
t
0 状态、起始状态
r
2.3 起始点的跳变
所以得 r(0+ ) − r(0− ) = b = −9 即 r(0+ ) = r(0− ) − 9
四、小结
• 经典法求解微分方程的流程图，如图 经典法求解微分方程的流程图，
思考题
• 1.当系统用微分方程表示时，如何判断系 1.当系统用微分方程表示时， 当系统用微分方程表示时 统的0 状态到0+状态有没有跳变？ 0+状态有没有跳变 统的0-状态到0+状态有没有跳变？ • 2. 冲击函数匹配法的原理是什么？ 冲击函数匹配法的原理是什么？
§ 2.3 起始点的跳变
• 主要内容
•起始状态与初始条件的概念 起始状态与初始条件的概念 •如何求解起始条件与初始条件 如何求解起始条件与初始条件 •利用冲激函数匹配法求初始条件 利用冲激函数匹配法求初始条件
• 重点：初始条件的确定 重点： • 难点：利用冲激函数匹配法求解初始条件 难点：
一、起始条件与初始条件的概念
（1）列写电路的微分方程 ）
根据电路形式， 根据电路形式，列回路方程
R1i(t ) + vC (t ) = e(t )
d vC (t ) = L iL (t ) + iL (t )R2 dt 列结点电压方程 d i(t ) = C vC (t ) + iL (t ) dt v 先消去变量 C (t ),再消去变量iL (t ), 把电路参数代入整理得
(t ≥ 0+ )
小结
• 以上我们讨论了微分方程右端没有δ (t )及其各阶导 数
vC (0− ) ≠ vC (0+ ) 的条件。 下面我们来讨论 i (0 ) ≠i (0 ) 的条件。
L − L +
即可以利用冲激函数匹配法求解的问题
起始点的跳变
vC 0 vC 0 , iL0 iL0 .
•但是当有冲激电流强迫作用于电容或有冲激电压强迫
作用于电感，
0
到0
状态就会发生跳变。
•当系统用微分方程表示时，系统从 0 到 0 状态有
没有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含 t 及
其各阶导数项。
X
3
第
二.冲激函数匹配法确定初始条件 页
配平的原理：t =0 时刻微分方程左右两端的δ(t)及各阶
导数应该平衡(其他项也应该平衡，我们讨论初始条件，
可以不管其他项）
例：
d rt 3rt 3 t
dt
已知r0 ,求r0
方程右端含3 t 方程右端不含 t
d rt中必含3 t
r
k
0
r
0
,
d
r0
dt
,
d2 r0
dt2
,
dn1 r 0
d t n1
X
说明
2
第
页
•对于一个具体的电网络，系统的 储能元件的储能情况;
0
状态就是系统中
•一般情况下换路期间电容两端的电压和流过电感中的
电流不会发生突变。这就是在电路分析中的换路定则：
X
数学描述
5
第
页
由方程 d rt 3rt 3 t可知
d
t
方程右端含
t 项，它一定属于
d
r t
dt
设
d rt a t b t cut
dt
则
rt a t but
代入方程 a t b t cut 3a t 3but 3 t
用冲激函数匹配法求冲激响应
用冲激函数匹配法求冲激响应一、引言冲激响应是线性时不变系统的重要特性之一，它描述了系统在接受一个单位冲激信号时的输出响应。
在信号处理、控制系统等领域中，冲激响应的求解是非常重要的问题。
本文将介绍一种常用的方法——冲激函数匹配法，用于求解线性时不变系统的冲激响应。
二、冲激函数匹配法原理1. 线性时不变系统首先，我们需要明确什么是线性时不变系统。
线性时不变系统是指其输入与输出之间存在线性关系，并且其特性参数（如增益、相位等）与时间无关。
这类系统可以用微分方程或差分方程来描述。
2. 冲激函数接着，我们需要介绍什么是冲激函数。
在信号处理中，冲激函数通常指单位冲击函数，记作δ(t)。
它满足以下条件：$$\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)dt=1$$$$\delta(t)=0, t\neq 0$$$$\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\delta(t-t_0)dt=f(t_0)$$其中第三个条件称为采样定理。
3. 冲激响应对于一个线性时不变系统，其冲激响应h(t)定义为其接受单位冲激信号δ(t)后的输出响应。
即：$$h(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(\tau)x(t-\tau)d\tau$$其中x(t)为输入信号。
4. 冲激函数匹配法冲激函数匹配法是一种常用的求解线性时不变系统冲激响应的方法。
其基本思想是将输入信号x(t)表示为若干个单位冲击函数的线性组合，然后利用线性时不变系统的可叠加性质，将每个单位冲击函数的输出响应相加得到总的输出响应。
具体而言，设输入信号x(t)可以表示为：$$x(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_k\delta(t-kT)$$其中T为采样周期，a_k为系数。
则有：$$h(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_kh_k(t)$$其中h_k(t)为系统接受单位冲击函数δ(kT)后的输出响应。
离散时间系统的单位冲激响应初始条件的确定
Determ ini ng The In iti al Con dit ion Of t he Im pu lse Resp onse Of The Discrete- t im e Syst em ( Hu yu dong, Ch ong Qin g Comm un icat ion College, Inform ati on and Comm un icat ion Teach ing and Research Sect ion, Ch ong qin g 400035 )
则, 单位冲激响应的初始条件应该从 M+1- N 开始。在确定经典时域法
的初始条件时, 也可以采用以上的分析方法。科
●
【参 考 文 献 】 [ 1] 郑君里,应启珩,杨为理. 信号与系统( 第二版) . 北京:高等教育出版社, 2003. [ 2] 徐守时. 信号与系统 : 理论、方法和应用( 修订版) . 合肥: 中国科学 技术大学 出版社, 2006.
【Key wor ds 】di screte- ti me system; unit impulse response; initi al conditi on
1. 前 言 求解以常系数线性差分方程描述的离散时间系统 的时域方法中, 时 域 经 典 法 和 卷 积 方 法 是我 们 经 常 采 用 的 。这 两 种 方 法 都 需 要 确 定 通 解中的待定常数, 这时就需要利用系统的初始条件 来解出这些待定常
数。在卷积法中, 我们把系统对输入的响应分解为 零输入响应和零状
Hale Waihona Puke 态响应。在零状态响应中, 需要求出系统对单位冲激 δ(n)的响应 h(n)。 在确定 h(n)的 待定常数时, 一些《信号与系统》教材 中存在一些模糊的 地方。在求解 h(n)时, h(n)的时间范围为 n>0, 而在确定时间常数时, 有 的教材直接根据 n<0 的 h(n)来确定的。我们计算可以发现, 即使这样, 求出的解也是正确的。这就引出了一个问题, 为什 么这样确定初始条 件是可以的。
则, 单位冲激响应的初始条件应该从 M+1- N 开始。在确定经典时域法
的初始条件时, 也可以采用以上的分析方法。科
●
【参 考 文 献 】 [ 1] 郑君里,应启珩,杨为理. 信号与系统( 第二版) . 北京:高等教育出版社, 2003. [ 2] 徐守时. 信号与系统 : 理论、方法和应用( 修订版) . 合肥: 中国科学 技术大学 出版社, 2006.
【Key wor ds 】di screte- ti me system; unit impulse response; initi al conditi on
1. 前 言 求解以常系数线性差分方程描述的离散时间系统 的时域方法中, 时 域 经 典 法 和 卷 积 方 法 是我 们 经 常 采 用 的 。这 两 种 方 法 都 需 要 确 定 通 解中的待定常数, 这时就需要利用系统的初始条件 来解出这些待定常
数。在卷积法中, 我们把系统对输入的响应分解为 零输入响应和零状
Hale Waihona Puke 态响应。在零状态响应中, 需要求出系统对单位冲激 δ(n)的响应 h(n)。 在确定 h(n)的 待定常数时, 一些《信号与系统》教材 中存在一些模糊的 地方。在求解 h(n)时, h(n)的时间范围为 n>0, 而在确定时间常数时, 有 的教材直接根据 n<0 的 h(n)来确定的。我们计算可以发现, 即使这样, 求出的解也是正确的。这就引出了一个问题, 为什 么这样确定初始条 件是可以的。
冲激函数匹配法在初始条件计算中的应用
中 图分 类 号 ： Ｎ９ １ Ｔ １． ６ 文献标识码 ： Ａ 文章 编 号 ： ６ ２５ ９ （０ １０—０ １０ １ ７ －２ ８２ １）３０ ３ －４
Ａｐｐｌｃ ｔｏ ｆｔ ｍ ｐｕｌｅＦｕｎｃ ｉ ｎ Ｍ ａ ｃ ｎｇ Ｍ ｅ ｈｏ ｉ ａ ｉ ｎ ０ ｈｅＩ ｓ ｔｏ ｔ ｈｉ ｔ ｄ ｉ Ｃ ｌ ｕｌ ｔｎｇ ｔ ｎｉｉ ｌＣ ｎｄｉｉ ｎ ｎ ａ ｃ ａ ｉ ｈｅＩ ｔａ ｏ ｔｏ
第２ ４卷 第 ３期
２ １ 年 ９月 ０１
湖南理工学院学报（ 然科学版） 自
Ｊｕｎ ｌ ｆ ｕ ａ ｓ ｔｔ ｆ ｃｅ ｃ ｎ ｅ ｈ ｏｏ ｙ Ｎａ ｒｌ ｃ ｎ ｅ ） ｏ ｒａ Ｈ ｎ ｎＩ ｔ ｕｅ Ｓ ｉ ｅ ｄＴ ｃ ｎ ｌｇ （ ｔ ａ Ｓ ｉ ｃ ｓ ｏ ｎｉ ｏ ｎ ａ ｕ ｅ
Ｖｂ ． ４Ｎ Ｏ３ １ ． ２
Ｓ ｏ ２ １ ｅ． ０１
冲激 函数 匹配法在初 始条件计算 中的应用
张登 奇 ，张
摘
璇ｚ
（． 理工学院 信息 与通 信工程学院，湖南 岳 阳 ４ ４ ０ ； ． １ 湖南 １０ ６ ２ 湖南大 学 信息科学与工程学 院， 长沙 ４ ０ ８ ） １０ ２ 要：在连 续时间 系统 的时域 分析 中，直接 求解微分方程是 最基本的分析 方法，初始条件是 求解微分 方程 的基 本条
ｒ ｌ ｔ ｎ ｈ ｐ ｂ ｔ ｅ ｅ ｏ ｇｎ ｌｓａ ｅ ａ ｄ ｔ ｅ ｉ ｉ ａ ｏ ｄ ｔ ｎ ｗｅ ｅ ｄ ｄ ｃ ｄ ｈ ｅ ｓ ｎ ｗｈ ｅ ｏ ｇ ｎ ｌｓ ｔ ｄ ｔｅ ｉ ｉ ａ ｅ ａ ｉ ｓ ｉ ｅ ｗｅ ｎ ｔ ｒ ｉ ａ ｔｔ ｎ ｔ ｌｃ ｎ ｉ ｏ ｒ ｅ ｕ ｅ ．ｔ ｅ ｒ ａ ｏ ｙ ｔ ｒ ｉａ ｔ ｅ ａ ｎ ｔ ｌ ｏ ｈ ｉ ｎ ｈ ｉ ｉ ｈ ｉ ａ ｎ ｈ ｉ ｃ ｎ ｉ ｏ ｈ ｇ ｕ ｄ ｎ ｙ ｗｅ ｅ ｅ ｐ ａ ｎ ｄ ａ ｄ ａｓ ｈ ｗｓ ｅ ｃ ｌｕ ａ ｉ ｎ ａ ｄ ａ ｐ ｉ ａ ｉｎ ｏ ｔ ｅ ｉ ｉ ａ ｏ ｄ ｔ ｎ ｗｉ ｘ ｍｐ ｅ ｏ ｄ ｔ ｎ ｃ ａ ｅｓ ｄ ｅ ｌ ｒ ｘ ｌｉ ｅ ｌｏ ｓ ｏ ａｃ ｌｔ ｎ ｐ ｌ ｔ ｆ ｔ ｌ ｎ ｉ ｏ ｔ ａ ｅ ａ ｌ ． ｉ ｎ ｎ ｈ ｔ ｏ ｃ ｏ ｈ ｎ ｉ ｃ ｉ ｈ ｎ Ｋ ｅ ｒ ｓ ｃ ｎ ｉｕ ｕ － ｍｅｓ ｓｅ ｔ ・ ｏ ｉ ｎ ｌ ｓｓ ｏ ｇｎ ｌ ｔ ｔ ； ｎ ｔ ｌ ｏ ｄ ｔ ｎ ｆ ｎ ｔｏ ｔｈ ｎ ｔ ｏ ｙｗｏ ｄ ： ｏ ｔ ｏ ｓ ｔ ｙ ｔ ｍ； ｉ ・ ｍａ ｎａ ａｙ ｉ； ｒ ｉ ａ ａ ｅ ｉ ｉ ａ ｎ ｉ ｏ ； ｕ ｃｉ ｎ ｍａ ｃ ｉ ｇ ｍｅ ｄ ｎ － ｉ ｍｅ ｄｉ ａ ｆ ｃｉｅ ｗ ｙ ｔ ａ ｕａｅ ｉ Ｔ ｅ ｂ ｓ ｒ ｃ ｌ ｏ ｅ ｉ ｕｓ ｕ ｃ ｏ ｔ ｉｇ ｍｅ ｏ ｓ ｉ ｒ ｄ ｃ ｄ ｔｅ ｔｏ ｓ ｎ ｅ ｅ ｔ ａ ｃ ｌ ｌ ｔ ｈ ａｉ ｐ ｎ ｉ ｅ ｆｔ ｍｐ ｌ ｆｎ ｔ ｎ ｍａ ｈｎ ｔ ｄ ｗａ ｎ ｏ ｕ ｅ 。 ｖ ｏ ｃ ｔ ． ｃ ｉ ｐ ｈ ｅ ｉ ｃ ｈ ｔ ｈ
Ａｐｐｌｃ ｔｏ ｆｔ ｍ ｐｕｌｅＦｕｎｃ ｉ ｎ Ｍ ａ ｃ ｎｇ Ｍ ｅ ｈｏ ｉ ａ ｉ ｎ ０ ｈｅＩ ｓ ｔｏ ｔ ｈｉ ｔ ｄ ｉ Ｃ ｌ ｕｌ ｔｎｇ ｔ ｎｉｉ ｌＣ ｎｄｉｉ ｎ ｎ ａ ｃ ａ ｉ ｈｅＩ ｔａ ｏ ｔｏ
第２ ４卷 第 ３期
２ １ 年 ９月 ０１
湖南理工学院学报（ 然科学版） 自
Ｊｕｎ ｌ ｆ ｕ ａ ｓ ｔｔ ｆ ｃｅ ｃ ｎ ｅ ｈ ｏｏ ｙ Ｎａ ｒｌ ｃ ｎ ｅ ） ｏ ｒａ Ｈ ｎ ｎＩ ｔ ｕｅ Ｓ ｉ ｅ ｄＴ ｃ ｎ ｌｇ （ ｔ ａ Ｓ ｉ ｃ ｓ ｏ ｎｉ ｏ ｎ ａ ｕ ｅ
Ｖｂ ． ４Ｎ Ｏ３ １ ． ２
Ｓ ｏ ２ １ ｅ． ０１
冲激 函数 匹配法在初 始条件计算 中的应用
张登 奇 ，张
摘
璇ｚ
（． 理工学院 信息 与通 信工程学院，湖南 岳 阳 ４ ４ ０ ； ． １ 湖南 １０ ６ ２ 湖南大 学 信息科学与工程学 院， 长沙 ４ ０ ８ ） １０ ２ 要：在连 续时间 系统 的时域 分析 中，直接 求解微分方程是 最基本的分析 方法，初始条件是 求解微分 方程 的基 本条
ｒ ｌ ｔ ｎ ｈ ｐ ｂ ｔ ｅ ｅ ｏ ｇｎ ｌｓａ ｅ ａ ｄ ｔ ｅ ｉ ｉ ａ ｏ ｄ ｔ ｎ ｗｅ ｅ ｄ ｄ ｃ ｄ ｈ ｅ ｓ ｎ ｗｈ ｅ ｏ ｇ ｎ ｌｓ ｔ ｄ ｔｅ ｉ ｉ ａ ｅ ａ ｉ ｓ ｉ ｅ ｗｅ ｎ ｔ ｒ ｉ ａ ｔｔ ｎ ｔ ｌｃ ｎ ｉ ｏ ｒ ｅ ｕ ｅ ．ｔ ｅ ｒ ａ ｏ ｙ ｔ ｒ ｉａ ｔ ｅ ａ ｎ ｔ ｌ ｏ ｈ ｉ ｎ ｈ ｉ ｉ ｈ ｉ ａ ｎ ｈ ｉ ｃ ｎ ｉ ｏ ｈ ｇ ｕ ｄ ｎ ｙ ｗｅ ｅ ｅ ｐ ａ ｎ ｄ ａ ｄ ａｓ ｈ ｗｓ ｅ ｃ ｌｕ ａ ｉ ｎ ａ ｄ ａ ｐ ｉ ａ ｉｎ ｏ ｔ ｅ ｉ ｉ ａ ｏ ｄ ｔ ｎ ｗｉ ｘ ｍｐ ｅ ｏ ｄ ｔ ｎ ｃ ａ ｅｓ ｄ ｅ ｌ ｒ ｘ ｌｉ ｅ ｌｏ ｓ ｏ ａｃ ｌｔ ｎ ｐ ｌ ｔ ｆ ｔ ｌ ｎ ｉ ｏ ｔ ａ ｅ ａ ｌ ． ｉ ｎ ｎ ｈ ｔ ｏ ｃ ｏ ｈ ｎ ｉ ｃ ｉ ｈ ｎ Ｋ ｅ ｒ ｓ ｃ ｎ ｉｕ ｕ － ｍｅｓ ｓｅ ｔ ・ ｏ ｉ ｎ ｌ ｓｓ ｏ ｇｎ ｌ ｔ ｔ ； ｎ ｔ ｌ ｏ ｄ ｔ ｎ ｆ ｎ ｔｏ ｔｈ ｎ ｔ ｏ ｙｗｏ ｄ ： ｏ ｔ ｏ ｓ ｔ ｙ ｔ ｍ； ｉ ・ ｍａ ｎａ ａｙ ｉ； ｒ ｉ ａ ａ ｅ ｉ ｉ ａ ｎ ｉ ｏ ； ｕ ｃｉ ｎ ｍａ ｃ ｉ ｇ ｍｅ ｄ ｎ － ｉ ｍｅ ｄｉ ａ ｆ ｃｉｅ ｗ ｙ ｔ ａ ｕａｅ ｉ Ｔ ｅ ｂ ｓ ｒ ｃ ｌ ｏ ｅ ｉ ｕｓ ｕ ｃ ｏ ｔ ｉｇ ｍｅ ｏ ｓ ｉ ｒ ｄ ｃ ｄ ｔｅ ｔｏ ｓ ｎ ｅ ｅ ｔ ａ ｃ ｌ ｌ ｔ ｈ ａｉ ｐ ｎ ｉ ｅ ｆｔ ｍｐ ｌ ｆｎ ｔ ｎ ｍａ ｈｎ ｔ ｄ ｗａ ｎ ｏ ｕ ｅ 。 ｖ ｏ ｃ ｔ ． ｃ ｉ ｐ ｈ ｅ ｉ ｃ ｈ ｔ ｈ
信号与系统-第2章例题
线性时不变系统
例：判断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统?
d r(t) 10r(t) 5 e(t) dt
解：设信号 e(t) 作用于系统，响应为 r(t)
t 0
当Ae(t)作用于系统时，若此系统具有线性，则
d Ar(t) 10Ar(t) 5 Ae(t) dt
原方程两端乘A：
t 0 (1)
例4 已知某线性时不变系统的动态方程式为
d2 dt
y
2
2
dy dt
5
y(t
)
4
df dt
3 f (t)
系统的初始状态为y(0)=1，y'(0)=3，求系统的零
输入响应yx(t)。
• [解] 1 2 j，s2 1 2 j
yx (t) e（t K1 cos 2t K2 sin 2t)
dy(t) 3y(t) 2 f (t) dt
试求系统的冲激响应h(t)。
(t 0)
解 根据系统冲激响应h(t)的定义，当f(t)=δ(t)时，即为h(t)，即原动 态方程式为
dh(t) 3h(t) 2 (t) (t 0)
dt
由于动态方程式右侧存在冲激信号δ(t)，为了保持动态方程式的左 右平衡，等式左侧也必须含有δ(t)。这样冲激响应h(t)必为Aeλtu(t)
例2 已知某线性时不变系统的动态方程式为:
d2 dt
y
2
5
dy dt
6
y(t
)
4
f
(t)
t 0
系统的初始状态为y(0)=1，y' (0)=3，求系统的零
输入响应yx(t)。
[解] 系统的特征方程为 s2 5s 6 0
系统的特征根为 s1 2，s2 3
例：判断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统?
d r(t) 10r(t) 5 e(t) dt
解：设信号 e(t) 作用于系统，响应为 r(t)
t 0
当Ae(t)作用于系统时，若此系统具有线性，则
d Ar(t) 10Ar(t) 5 Ae(t) dt
原方程两端乘A：
t 0 (1)
例4 已知某线性时不变系统的动态方程式为
d2 dt
y
2
2
dy dt
5
y(t
)
4
df dt
3 f (t)
系统的初始状态为y(0)=1，y'(0)=3，求系统的零
输入响应yx(t)。
• [解] 1 2 j，s2 1 2 j
yx (t) e（t K1 cos 2t K2 sin 2t)
dy(t) 3y(t) 2 f (t) dt
试求系统的冲激响应h(t)。
(t 0)
解 根据系统冲激响应h(t)的定义，当f(t)=δ(t)时，即为h(t)，即原动 态方程式为
dh(t) 3h(t) 2 (t) (t 0)
dt
由于动态方程式右侧存在冲激信号δ(t)，为了保持动态方程式的左 右平衡，等式左侧也必须含有δ(t)。这样冲激响应h(t)必为Aeλtu(t)
例2 已知某线性时不变系统的动态方程式为:
d2 dt
y
2
5
dy dt
6
y(t
)
4
f
(t)
t 0
系统的初始状态为y(0)=1，y' (0)=3，求系统的零
输入响应yx(t)。
[解] 系统的特征方程为 s2 5s 6 0
系统的特征根为 s1 2，s2 3
§2.3 起始点的跳变——从0-到0+状态的转换
精品课件
例2-3-2
vL(t)
LdiL(t) dt
LdI[dsvt(t)]LsI(t)
iL(0)iL(0)L 10 0 LsI(t)dt
iL(0)Is
Isu(t)
iL (t)
L
vL(t)
精品课件
返回
2．冲激函数匹配法确定初始条件
若系统微分方程右端自由项中包含 及t其各阶导数
项时，一般用冲激函数匹配法。
跳变取决于微分方程右端自由项是否包含 及其 各t 阶
导数项。
对于其它情况：若微分方程的待求量是iC(t)、 vL(t)、iR(t)、vR(t)时，均不受此连续条件的约束，在
激励接入时可能会发生跳变。
利用物理概念确定系统初始条件的过程如下：
确定
vc(0-) iL(0-)
电容、电 感无跳变 连续性
确定
vc(0+) iL(0+)
§2.3 起始点的跳变——从0-到0+状态的转 换 作为数学问题，往往把微分方程的初始条件假设
为一组已知的数据，利用这组数据可以确定方程解的系数。 然而，在系统分析中，初始条件要根据激励接入
瞬 时系统的状态决定。在某些情况下，此起始状态可能发 生跳变，这将使确定初始条件工作复杂化。
一.起始状态和初始条件
二.初始条件的确定
三.求解线性时不变（LTI）电系统的流程图
精品课件
返回
一.起始状态和初始条件
在系统分析中，系统在t=t0时刻的状态是一组必须
知道的最少量的数据，用0-表示激励接入之前的这组数
据的瞬时值。定义为：0 状态、起始状态
rk 0 r0 ,d r d 0 t ,d 2 d r t0 2 , d n d 1 tr n 0 1
2-2零输入、零状态、冲激、阶跃响应
Azs1 Azs 2 0 故 Azs1 2 Azs 2 1
所以 rzs (t )
Azs1 1 Azs 2 1
2 t
(e e
t
)u(t )
哈尔滨工业大学自动化测试与控制系
信号与系统—signals and systems
4．稳态响应：t→∞ 时留下的响应分量 瞬态响应：t→∞ 时 趋于零的那部分响应 5．线性时不变系统概念的扩展 ①常系数线性微分方程，起始状态不为0，即 r ( k ) (0 ) 0 ， 则系统 i)不满足线性 {x(0-)} ≠0
求 rzi ( t ) 解： rzi (t ) A1e t A2 e 2t ，待定系数由r (0 )与r (0 ) 确定 将e(t)代入右端，得自由项= (t ) 目测法得： r (0 ) r (0 ) 1, r (0) - r (0-) 0 故 r (0 ) 1, r (0 ) 1
e1 (t ) r1 (t ) rzs1 (t ) rzi (t ) e2 (t ) r2 (t ) rzs 2 (t ) rzi (t )
e(t )
r (t ) rzs (t ) rzi (t )
e3 (t ) e1 (t ) e2 (t ) r3 (t ) rzs1 (t ) rzs 2 (t ) rzi (t ) r1 (t ) r2 (t )
d 2i di i 0 当t≥0+时， e(t ) 20 V ，故 2 dt dt
2 d ③当-∞<t<+∞ 时， e(t ) 10 10u(t ) 故 2i di i 10 (t ) dt dt
冲激函数匹配法：i(0 ) i(0 ) 0, i(0 ) i(0 ) 10
冲激函数匹配法(PPT课件)
i R (t )
u R (t )
t
R
iC (t ) C
1 u c (t ) C ic ( )d t 1 i L (t ) L u L( )d
d.耦合电感: +
i1(t)
L1
M
i2(t)
L2
+
u1(t)
-
u2(t)
-
di2 (t ) di1 (t ) u2 (t ) L2 M dt dt
c. 尺度－移位－反褶
t f (t ) f (at ) f [a(t 0 )] f (at t0 ) a
d. 移位－尺度－反褶
f (t ) f (t t0 ) f (at t0 ) f (at t0 )
e. 移位－反褶－尺度
f (t ) f (t t0 ) f (t t0 ) f (at t0 )
已知方程 r (t ) 4r (t ) 5r (t ) 2r (t ) (t ) 3 (t ) (0 )和rzs (0 ). 求跳变量rzs (0 ), rzs 解 : r (t ) 4r (t ) 5r (t ) 2r (t ) (t ) 3 (t ) (t ) (t ) (t ) u (t )
匹配步骤:
1.从最高阶项开始匹配.对不是冲激函数的项,不必考虑匹配, 其跳变为零.
2.最高阶项匹配好后,考虑其对低阶项的影响.保持已匹配好 的高阶冲激函数系数不变.
3.匹配低阶项.根据需要可返回最高阶项进行补偿. *这里u(t)并不是阶跃信号,仅代表单位跳变量.
(2)r (t ) e(t )u (t ) 时不变性：令激励为e(t t0 )，则对应响应为e(t t0 )u (t ) 而r (t t0 ) ＝e(t t0 )u (t t0 ) 系统为时变的。
信号与系统第二章习题
方法一
1. 完全响应
该完全响应是方程
d2 rt
dt2
3
dr d
t
t
2r
t
2δ
t
6ut
且满足r0 2, r0 0的解
方程（1）的特征方程为
特征根为
α 2 3α 2 0
α1 1，α2 2
（1）
方程（1）的齐次解为
r t A1 et A2 e2t
因为方程（1）在t>0时，可写为
1
1
1 t1 eτ 1 dτ 1 1 et u t 1
注意：1 et1 ut 1 et1 ut 1
X
例2-5
对图(a)所示的复合系统由三个子系统构成，已知各子系 统的冲激响应如图(b)所示。 (1)求复合系统的冲激响应h(t) ，画出它的波形；
(2)用积分器、加法器和延时器构成子系统 ha t和hb t
2
5
dr d
t
t
6r
t
3
de d
t
t
2et
试 求 其 冲 激 响 应 h(t )。
冲激响应是系统对单位冲激信号激励时的零状态响应。 在系统分析中，它起着重要的作用。下面我们用两种方 法来求解本例。
方法：奇异函数项相平衡法
奇异函数项相平衡法
首先求方程的特征根，得
α1 2,α2 3
因为微分方程左边的微分阶次高于右边的微分阶次，
A1 A2 t 3A1 2A2 t 3 t 2 t
则得
A1 A2 3 3A1 2A2 2
解得
A1 A2
4 7
代入（1）得
ht 4e2t 7e3t ut
例2-3
已知线性时不变系统的一对激励和响应波形如下图所示，
冲激函数匹配法确定初始条件的分析与教学探讨
冲激函数匹配法确定初始条件的分析与教学探讨【摘要】微分方程是“信号与系统”课程中连续时间线性时不变系统的数学模型，在求解过程中需要利用初始条件确定解中的系数。
针对大多数教科书对于利用冲激函数匹配法确定系统初始条件的推导过程不够详细完整，造成学生难以理解的问题，通过详细的数学推导使学生容易理解和掌握该方法，从而提高了教学质量并取得了良好的教学效果。
【关键词】信号与系统；冲击函数匹配法；微分方程；起始条件；初始条件【中图分类号】g642.4 【文献标识码】a 【文章编号】2095-3089（2013）24-00-02一、引言随着信息技术的发展，信号与系统的理论、方法和应用在通信、电子和自动控制等技术领域占有越来越重要的地位。
《信号与系统》是电气和电子信息类专业的重要基础课程之一，同时是一门理论性和技术性都很强的专业基础课。
该课是一门承上启下的课程，以“电路分析”、“高等数学”和“复变函数与数理方法”等先修课程的知识为基础，同时也是“数字信号处理”、“通信原理”等后续课程的基础。
由于概念抽象、定理、定义和性质多、数学公式复杂，一直以来都是一门难教、难学的课程。
因此，探讨《信号与系统》的学习和教学方法具有重要的意义[1-4]。
连续时间系统的时域分析是《信号与系统》中最基本的部分，该方法比较直观、物理概念清楚，是后续章节的基础。
微分方程是连续时间线性时不变系统的数学模型，无论是采用时域“经典法”（齐次解和特解）还是“双零法”（零输入和零状态）求解，都需要利用系统的初始条件来确定解中的待定系统。
从系统的起始条件（0-状态）计算初始条件（0+状态）有两种方法。
一是利用系统内部储能的连续性，即在没有冲激电流（或阶跃电压）强迫作用于电容的条件下，电容两端电压不发生跳变；在没有冲激电压（或阶跃电流）强迫作用于电感的条件下，流经电感的电流不发生跳变。
这种依据物理概念的方法只适用于简单和低阶的电路系统。
二是利用冲激函数匹配法确定初始条件。
冲激函数匹配法确定初始条件
a 3
即 b 9
c 9
所以得 r0 r0 b 9 即 r0 r0 9
X
即 r0 r0 9
X
第
数学描述
3
页
由方程 d rt 3rt 3 t可知
d
t
方程右端含
t
Hale Waihona Puke 项，它一定属于dr t
dt
设
d rt a t b t cut
dt
则
rt a t but
代入方程 a t b t cut 3a t 3but 3 t
得出
a 3 b 3a 0 c 3b 0
该过程可借助数学描述
表示0 到0 相对单位跳变函数
X
分析
第 2
页
方程右端含3 t 方程右端不含 t
d rt中必含3 t
rt中包含3 t
dt
d rt必含 9 t以平衡3rt中的9 t
dt
d rt 中的 9 t
dt
在 r中t t 时 0刻有 9ut
ut表示 0到 0的 相对跳变函数，所以，
r0 r0 9
冲激函数匹配法确定初始条件
第 1
页
配平的原理：t =0 时刻微分方程左右两端的δ(t)及各阶 导数应该平衡(其他项也应该平衡，我们讨论初始条件， 可以不管其他项）
例：
d rt 3rt 3 t
dt
已知r0 ,求r0
d rt 3rt 3 t
dt
3 t 3 t 3 t
3
9 t 9 t
ut :
9ut
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该过程可借助数学描述
表示0 到0 相对单位跳变函数
X
分析
第 2
页
方程右端含3 t 方程右端不含 t
d rt中必含3 t
rt中包含3 t
dt
d rt必含 9 t以平衡3rt中的9 t
dt
d rt 中的 9 t
dt
在 r中t t 时 0刻有 9ut
ut表示 0到 0的 相对跳变函数，所以，
r0 r0 9
即 r0 r0 9
X
第
数学描述
3
页
由方程 d rt 3rt 3 t可知
d
t方程右端含t来自项，它一定属于d
r t
dt
设
d rt a t b t cut
dt
则
rt a t but
代入方程 a t b t cut 3a t 3but 3 t
得出
a 3 b 3a 0 c 3b 0
冲激函数匹配法确定初始条件
第 1
页
配平的原理：t =0 时刻微分方程左右两端的δ(t)及各阶 导数应该平衡(其他项也应该平衡，我们讨论初始条件， 可以不管其他项）
例：
d rt 3rt 3 t
dt
已知r0 ,求r0
d rt 3rt 3 t
dt
3 t 3 t 3 t
3
9 t 9 t
ut :
9ut
a 3
即 b 9
c 9
所以得 r0 r0 b 9 即 r0 r0 9
X
表示0 到0 相对单位跳变函数
X
分析
第 2
页
方程右端含3 t 方程右端不含 t
d rt中必含3 t
rt中包含3 t
dt
d rt必含 9 t以平衡3rt中的9 t
dt
d rt 中的 9 t
dt
在 r中t t 时 0刻有 9ut
ut表示 0到 0的 相对跳变函数，所以，
r0 r0 9
即 r0 r0 9
X
第
数学描述
3
页
由方程 d rt 3rt 3 t可知
d
t方程右端含t来自项，它一定属于d
r t
dt
设
d rt a t b t cut
dt
则
rt a t but
代入方程 a t b t cut 3a t 3but 3 t
得出
a 3 b 3a 0 c 3b 0
冲激函数匹配法确定初始条件
第 1
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配平的原理：t =0 时刻微分方程左右两端的δ(t)及各阶 导数应该平衡(其他项也应该平衡，我们讨论初始条件， 可以不管其他项）
例：
d rt 3rt 3 t
dt
已知r0 ,求r0
d rt 3rt 3 t
dt
3 t 3 t 3 t
3
9 t 9 t
ut :
9ut
a 3
即 b 9
c 9
所以得 r0 r0 b 9 即 r0 r0 9
X