高中数学必修5-均值不等式

高中数学必修5-均值不等式

均值不等式复习（学案）

基础知识回顾 1．均值不等式：ab ≤

a ＋b

2

(1)均值不等式成立的条件：_______________. (2)等号成立的条件：当且仅当____________时取等号．

2．几个重要的不等式

(1)a 2

＋b 2

≥2ab (a ，b ∈R)． (2)b a ＋a

b

≥2(a ，b

同号)．

(3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)． (4)a 2＋b 2

2≥⎝

⎛⎭⎪⎫

a ＋

b 22

(a ，b ∈R)．

注意：使用均值不等式求最值，前提是“一正、二

定、三相等”

3．算术平均数与几何平均数

设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b

2

，几

何平均数为ab ，均值不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用均值不等式求最值问题

已知x ＞0，y ＞0，则

(1) 如果积xy 是定值p ，那么当且仅当________时，__________有最_____值是_____(简记：积定和最小)

(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当_____时，____有最______值是_______.(简记：和定积最大)

双基自测

1．函数y ＝x ＋1

x

(x ＞0)的值域为( )．

A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)

B ．(0，＋∞)

C ．[2，＋∞)

D ．(2，＋∞)

2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab

≤2；③x 2

＋1x 2

＋1≥1.其中正确的个数是( )．

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

3．若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( )．

A.1a ＋1

b 有最大值4 B ．ab 有最小值1

4 C.a ＋b 有最大值 2 D ．a 2＋b 2有最小值2

2

4.若实数b a ,满足2=+b a ，则b

a

33+的最小值是( )

A ．18 B. 6 C. 3

2

D. 4

32

5.若正数b a ,满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 .

6.若+

∈R y x ,,且12=+y x ，则y

x 1

1+的最小值为 . 典型例题

类型一 利用均值不等式求最值

1．若函数f (x )＝x ＋1

x －2

(x ＞2)的最小值为

____________.

2．已知t ＞0，则函数y ＝t 2

－4t ＋1

t

的最小值为

________．

3. 当x ＞0时，则f (x )＝2x x 2＋1

的最大值为

________．

4. 已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1

y

的最小

值为________；

5. 若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________．

6. 已知0＜x ＜25

，则y ＝2x －5x 2

的最大值为

________．

7. 已知53

2,(0,0)x y x y +=>>,则xy 的最小值是_____________

8．已知x ，y ∈R ＋

，且满足x 3＋y

4

＝1，则xy 的最大

值为________． 类型二. 证明题

1.已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1

a

＋

1

b ＋1

c

≥9.

2.正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc

类型三. 恒成立问题

1.若对任意x ＞0，x

x 2＋3x ＋1

≤a 恒成立，则a 的取值范

围是________．

2.已知不等式1()()9a

x y x y

++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为

巩固练习

1．已知x ＞0，y ＞0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，

d ，y 成等比数列，则

2

()a b cd

+的最小值是

A ．0

B ．1

C ．2

D ．4

2．已知0＜x ＜1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( )．

A.13

B.12

C.34

D.23

3．把一段长16米的铁丝截成两段，分别围成正方形，则两个正方形面积之和的最小值为( )．

A ．4

B ．8

C ．16

D ．32

4. 设x 、y 为正数，则有(x+y)(1

x ＋4

y

)的最小值为（ ）

A ．15

B ．12

C ．9

D ．6

5. 已知,x y R +

∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为 .