高二数学上学期竞赛试题实验班

安徽省太和县2016-2017学年高二数学上学期竞赛试题（实验班）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若集合中三个元素为边可构成一个三角形，则该三角形一定不可能是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形2. 抛物线24x y =的准线方程是( ) A. 1x =- B.116x =-C.116x = D. 1x = 3. 已知向量(2,),(1,2)a m b ==-，若22(2)a a b b m ⋅-=+，则实数m 等于（ ）A.21B.25C.45D.454. 函数2ln ||xy x =的图象大致为（ ） 5.若13tan ,,tan 242ππααα⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，则sin 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．BC ．D6. 下列选项错误的是（ ）A ．命题：“若2x ≠，则2560x x -+≠”的逆否命题是“若2560x x -+=，则2x =” B ．“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件C. 若命题“2:,10p x R x x ∀∈++≠”，则“2000:,10p x R x x ⌝∃∈++=”D ．若“p q ∨”为真命题，则,p q 均为真命题7. 若实数y x ,满足条件1022010x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则y x z 345+-=的最大值为（ ）A.815-B. 45-C.21-D.1-8. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．73 B ．83π－ C ．83 D ．73π－ 9. 在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，P 为底面正方形ABCD 内一个动点，Q 为棱1AA 上的一个动点，若2PQ =，则PQ 的中点M 的轨迹所形成图形的面积是A ．24π B ． 2πC ． 3D ． 4π 10.如图，1F ，2F 是双曲线222124x y a -=（0a >）的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线交于点A 、B ，若2ABF ∆为等边三角形，则12BF F ∆的面积为（ ） A ．8 B ．82C ．83D ．1611. 阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为58，则判断框中应填入的条件为（ ）A ．3k ≤B ．4k ≤C ．5k ≤D ．6k ≤ 12. 若分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数．我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之和．如：1111236=++，1111124612=+++，1111112561220=++++，……， 依此类推可得：1111111111111126123042567290110132156m n =++++++++++++， 其中n m ≤，*,m n ∈N ．设n y m x ≤≤≤≤1,1，则12+++x y x 的最小值为（ ）A ．223 B ．25 C ．78 D ．334 第II 卷二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上。

答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。

13. 不等式()210x x -+≥的解集是 ．14. 在ABC ∆中,60ABC ∠=, 且5,7AB AC ==,则BC = ．15. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其姓名命名的函数()1,0,Rx Q f x x C Q ∈⎧=⎨∈⎩，被称为狄利克雷函数，其中R 为实数集，Q 为有理数集，则关于函数()f x 有如下四个命题：①()()0ff x =； ②函数()f x 是偶函数；③任取一个不为零的有理数T , ()()f x T f x +=对任意的x R ∈恒成立；④存在三个点()()()()()()112233,,,,,A x f x B x f x C x f x ，使得ABC ∆为等边三角形. 其中真命题的个数是 。

16. 我国齐梁时代的数学家祖暅（公元前56-世纪）提出了一条原理“幂势既同，则积不容异．”这句话的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积总是相等，那么这两个几何体的体积相等．设由曲线24x y =和直线4x =，0y =所围成的平面图形，绕y 轴旋转一周所得到的旋转体为1Г；由同时满足0x ≥，2216x y +≤，22(2)4x y +-≥，22(2)4x y ++≥的点(,)x y 构成的平面图形，绕y 轴旋转一周所得到的旋转体为2Г，根据祖暅原理等知识，通过考察2Г可以得到1Г的体积为 ．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. （本小题满分10分）某工厂为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组检测数据)6,,2,1)(,(⋅⋅⋅=i y x i i 如下表所示：已知变量y x ,具有线性负相关关系，且1139,480ii i i xy ====∑∑，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其线性回归方程分别为：甲544+=x y ；乙1064+-=x y ；丙1052.4+-=x y ，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的.（1)试判断谁的计算结果正确？并求出b a ,的值；（2）若由试销价格x （元） 45 6 7 9 产品销量y （件）8483807568线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则该检测数据是“理想数据”。

现从检测数据中随机抽取2个，求这两个检验数据均为“理想数据”的概率。

18. （本小题满分12分）已知函数()23sin 4f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭在同一半周期内的图象过点,,O P Q ，其中O为坐标原点，P 为函数()f x 图象的最高点，Q 为函数()f x 的图象与x 轴的正半轴的交点。

（1）试判断OPQ ∆的形状，并说明理由；（2）若将OPQ ∆绕原点O 按逆时针方向旋转角02ααπ⎛⎫<< ⎪⎝⎭时，顶点,P Q ''恰好同时落在曲线ky x=()0x >上（如图），求实数k 的值。

19. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =134(2)n n a S n -=+≥.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令22log 7n n a b +=，12n n n b c +=，其中*n N ∈，记数列{}n c 的前项和为n T ，求22nnn T ++的值.20. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，2CD =，1BC AC ==，O 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ，2PO =，M 为PD 的中点．（1）证明：//PB 平面ACM ； （2）证明：平面PAD ⊥平面PAC ；（3）求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．21. （本小题满分12分）同学们都有这样的解题经验：在某些数列的求和中，可把其中一项分裂成两项之差，使得某些项可以相互抵消，从而实现化简求和．“斐波那契数列”是数学史上一个著名的数列，这个数列中的每一项称为“斐波那契数”.在斐波那契数列{}n a 中，()12211,1,3.n n n a a a a a n --==+=≥（1）若2016,a a =那么数列{}n a 的前2014项的和；（2）证明：22221231n n n a a a a a a +++++=。

22.（本小题满分12分）已知动圆P 与圆221:(2)49F x y ++=相切，且与圆1)2(:222=+-y x F 相内切，记圆心P 的轨迹为曲线C .xyP'Q'QPO（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设Q 为曲线C 上的一个不在x 轴上的动点，O 为坐标原点，过点2F 作OQ 的平行线交曲线C 于,M N 两个不同的点, 求△QMN 面积的最大值． 参考答案一、选择题ABDBD DCBBC BC 12.提示 1111111111111112233456671213m n =-+-+-+++-+-++-即1111104513m n -+++-=，所以11111320m n +=+，即13,20m n ==，而()()12111111y x y y x x x --+++=+=+++--。

二．填空题 13. [){}2,1+∞-；14.8；15．3；提示 ①根据函数的对应法则，可得不管x 是有理数还是无理数，均有()()1f f x =，故①不正确；②根据函数奇偶性的定义，可得()f x 是偶函数，故②正确； ③根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质，故③正确； ④取12333033x x x =-==，，，可得33001033A B C -（，），（，），（，），三点恰好构成等边三角形．故④正确．16.32π．提示：作出两曲线所表示的可行区域知，2Г的轴截面为一半径为4的半圆内切两半径为2的小圆所形成，面积近似为1Г的轴截面面积的两倍，符合祖暅原理．又2Г的体积为3443V π=⨯-3422643ππ⨯⨯=，于是1Г所表示几何体的体积应为32π．故填32π．三．解答题：17. 解析：（1）因为变量y x ,具有线性负相关关系，所以甲的答案是错误的； 又661139,480ii i i xy ====∑∑，所以 6.5,80x y ==，满足方程1064+-=x y ，不满足1052.4+-=x y ， 所以乙的答案是正确的； 又661139,480ii i i xy ====∑∑，所以8,90a b ==；．．．．．．．．5分 （2）计算可得“理想数据”有三个，分别是()()()4,90,6,83,8,75，从检测数据中随机抽取2个，共有15种不同的情形，其中这两个检测数据均为“理想数据”有3种情形，故所求概率为31155P ==。

．．．．．．．．10分 18.解析：（1）OPQ ∆为等边三角形。

理由如下：因为函数()23sin 4f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以2π84T ==π，所以函数()f x 的半周期为4，所以4OQ =；又因为P 为函数()f x 图象的最高点，所以点P 坐标为(223)，，4OP =， 又Q 坐标为(4,0)，所以22(24)(230)4PQ =-+-=，故OPQ ∆为等边三角形。

．．．．．．．．6分（2）由（1）知，4OP OQ ==，所以点P ',Q '的坐标分别为4cos 4sin 33αα⎛⎫ππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，,(4cos 4sin )αα,，代入ky x =，得216cos sin 8sin(2π)333k αααππ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且16sin cos 8sin2k ααα==，所以2sin 2sin(2π)3αα=+，由22sin (2)cos (2)1αα+=，02απ<<，解得1sin 22α=，所以4k =，即所求的实数k 的值为4。