人教版高数必修四第4讲：三角函数的图像与性质(教师版)

三角函数的图像与性质一、三角函数的图像：1． 正弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x ，y)，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有MP ry==αsin ，向线段MP 叫做角α的正弦线， 2．用单位圆中的正弦线作正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象（几何法）：把y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象，沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx ，x ∈R 叫做正弦曲线-11y x-6π-5π6π5π-4π-3π-2π-π4π3π2ππf x () = sin x ()3．用五点法作正弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是： 1、用单位圆中的余弦线作余弦函数的图象（几何法）： 为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识．2、余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的五个点关键是(0,1) (2π,0) (π,-1) (23π,0) (2π,1) 现在把上述图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=cosx ，x ∈R 的图象，-11y x-6π-5π6π5π-4π-3π-2π-π4π3π2ππf x () = cos x ()3、正切函数x y tan =的图象： 我们可选择⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ的区间作出它的图象根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ2的图象，称“正切曲线”(0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0)二、三角函数的性质:siny x=cosy x=tany x=图象定义域R R,2x x k kππ⎧⎫≠+∈Z⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x kππ=+时，max1y=；当22x kππ=-时，min1y=-．当2x kπ=时，max1y=；当2x kππ=+时，min1y=-．既无最大值也无最小值周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k kππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上是增函数；在32,222k kππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上是减函数．在[]2,2k kπππ-上是增函数；在[]2,2k kπππ+上是减函数．在,22k kππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭上是增函数．对称性对称中心(),0kπ对称轴2x kππ=+对称中心,02kππ⎛⎫+⎪⎝⎭对称轴x kπ=对称中心,02kπ⎛⎫⎪⎝⎭无对称轴类型一、三角函数的图像：例1. 作出函数xy2cos1-=的图象分析：首先将函数的解析式变形，化为最简形式，然后作出函数的图象。

解析：y x=-12cos化为y x=|sin|函数性质即y x k x k x k x k =≤≤+-+<<+⎧⎨⎩sin ()sin ()22222πππππππ()k Z ∈ 其图象如图：点评：画y x =|sin |的图象可分为两步完成，第一步先画出y x x =∈sin []，，0π和y x =-sin ，x ∈()ππ，2的图象，第二步将得到的图象向左、右平移，即可得到完整的曲线。

例2：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈+=611,6)6cos(πππx x y ， 解析：类型二、三角函数的性质：例3. 求下列函数的周期 （1）x y 21sin= （2）)63sin(2π-=x y 分析：该例的两个函数都是复合函数，我们可以通过变量替换将它们归结为基本三角函数去处理。

解析：（1）如果令，则m xsin 2sin=是周期函数，且周期为2π∴+=sin()sin 12212x xπ 即x x 21sin )]4(21sin[=+π2sin x∴的周期是4π（2）)63sin(2)263sin(2πππ-=+-x x Θ即)63sin(2]6)6(31sin[2πππ-=-+x x)63sin(2π-=∴x y 的周期是6π。

练习：求下列三角函数的周期：1︒ y=sin(x+3π) 2︒ y=cos2x 3︒ y=3sin(2x +5π) 4︒ y=tan3x例:4. 比较下列各组数的大小。

（1）sin194°和cos160°；（2）47sin 和35cos ； （3）)83sin(sinπ和)83sin(cos π分析：先化为同名函数，然后利用单调性来比较函数值的大小。

解析：（1）sin sin()sin 1941801414οοοο=+=-cos cos()cos sin 160180202070οοοοο=-=-=-Θοοοο0147090<<<，∴<sin sin 1470οο从而->-sin sin 1470οο即sin cos 194160οο>（2）)352sin(35cos+=πΘ 又πππ27425332<<+< y x =sin 在［232ππ，］上是减函数∴>+=sin sin()cos7425353π 即35cos 47sin >（3）Θcos sin388ππ=∴<<<<0383812cossin πππ 而y x =sin 在⎪⎭⎫⎝⎛20π，内递增∴<sin(cos)sin(sin )3838ππ点评：（1）比较同名的三角函数值的大小，首先把三角函数转化为同一单调区间上的同名三角函数，利用单调性，由自变量的大小确定函数值的大小。

（2）比较不同名的三角函数的大小时，应先化为同名三角函数，然后再进行比较。

练习：比较下列各组数的大小(1)sin(－18π)、sin(－10π)； (2)cos(－523π)、cos(－417π)．解：(1)∵－2π＜－10π＜－18π＜2π． (2)cos(－523π)＝cos 523π＝cos 53π且函数y ＝sin x ，x ∈［－2π，2π］是增函数 cos(－417π)＝cos 417π＝cos 4π∴sin(－10π)＜sin(－18π) ∵0＜4π＜53π＜π即sin(－18π)－sin(－10π)＞0 且函数y ＝cos x ，x ∈［0，π］是减函数∴cos 53π＜cos 4π即cos 53π－cos 4π＜0∴cos(－523π)－cos(－417π)＜0例5. 求下列函数的最大值和最小值（1）y x=-112sin（2）y x =++3223sin()π（3）y x x =+-≤≤22366sin()()πππ分析：可利用sinx 与cosx 的值域求解，求解过程中要注意自变量的取值范围。

解析：（1）∴-≤≤11sin x ∴当sin x =-1时，y max =62当sin x =1时，y min =22（2）Θ-≤+≤12231sin()x∴当sin()231x +=π时，y max =5；当sin()231x +=-π时，y min =1。

（3）Θ-≤≤ππ66x ，∴≤+≤02323x ππ∴≤+≤0231sin()x π∴当sin()231x +=π时，y max =2；当sin()23x +=π时，y min =0。

点评：求三角函数的值域或最大值、最小值问题主要得利用sinx 与cosx 的有界性，以及复合函数的有关性质。

练习：求下列函数的定义域和值域： （1）2sin y x =- （2）3sin y x =- （3）lgcos y x =例6：求函数⎪⎭⎫⎝⎛-=33tan πx y 的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性 解：由233πππ+≠-k x 得1853ππ+≠k x ， ∴所求定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈z k k x R x x ,1853,|ππ且 值域为R ，周期3π=T ，是非奇非偶函数在区间()z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛+-1853,183ππππ上是增函数 例6．求下列函数的单调区间： （1）y =21sin （4π－32x ）；（2）y =－｜sin （x +4π）｜。

分析：（1）要将原函数化为y =－21sin （32x －4π）再求之。

（2）可画出y =－|sin （x +4π）|的图象。

解：（1）y =21sin （4π－32x ）=－21sin （32x －4π）。

故由2k π－2π≤32x －4π≤2k π+2π。

⇒3k π－8π3≤x ≤3k π+8π9（k ∈Z ），为单调减区间；由2k π+2π≤32x －4π≤2k π+2π3。

⇒3k π+8π9≤x ≤3k π+8π21（k ∈Z ），为单调增区间。

∴递减区间为［3k π－8π3，3k π+8π9］， 递增区间为［3k π+8π9，3k π+8π21］（k ∈Z ）。

（2）y =－|sin （x +4π）|的图象的增区间为［k π+4π，k π+4π3］，减区间为［k π－4π，k π+4π］。

-5π4-3π47π45π43π4π4-π4oy x一、选择题1．函数y ＝sin ax (a ≠0)的最小正周期为π，则a 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．12[答案] C[解析] 由题意，得2π|a |＝π，∴a ＝±2.2．函数y ＝sin(x －π4)的一条对称轴可以是直线( )A ．x ＝π2B ．x ＝7π4C ．x ＝－3π4D ．x ＝π4[答案] B[解析] 解法一：令x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋3π4，k ∈Z .当k ＝1时，x ＝7π4，故选B.解法二：当x ＝7π4时，y ＝sin(7π4－π4)＝sin 3π2＝－1，∴x ＝7π4是函数y ＝sin(x －π4)的一条对称轴．3．函数y ＝sin2x 的单调减区间是( ) A ．⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，32π＋2k π(k ∈Z ) B ．⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋34π(k ∈Z ) C ．[π＋2k π，3π＋2k π](k ∈Z ) D ．⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ) [答案] B[解析] 由2k π＋π2≤2x ≤2k π＋32π，k ∈Z 得y ＝sin2x 的单调减区间是[k π＋π4，k π＋34π](k ∈Z )．4．函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (a )＝2，则f (－a )的值为( ) A ．3 B ．0 C ．－1 D ．－2[答案] B[解析] f (a )＝a 3＋sin a ＋1＝2. f (－a )＝－a 3－sin a ＋1＝－f (a )＋2＝0.5．y ＝sin x －|sin x |的值域是( ) A ．[－1,0] B ．[0,1] C ．[－1,1] D ．[－2,0][答案] D[解析] 当sin x ≥0即2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z 时， y ＝0；当sin x <0，即2k π＋π<x <2k π＋2π，k ∈Z 时，y ＝2sin x ， ∴－2≤y <0.综上，y ∈[－2,0]．6．已知函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]，则该函数图象与直线y ＝32交点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 [答案] C[解析] 分别作出函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]与直线y ＝32的图象，如下图所示：由图可知，函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]与直线y ＝32有两个交点，故选C.二、填空题7．f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－sin x ，则当x <0时，f (x )＝________. [答案] －x 2－sin x [解析] ∵x <0，∴－x >0，∴f (－x )＝(－x )2－sin(－x )＝x 2＋sin x ， ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝－x 2－sin x .8．函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ·cos(π2＋x )是________函数．(奇、偶性) [答案] 偶函数 [解析] f (x )＝sin2x sin x ∵f (－x )＝sin(－2x )·sin(－x ) ＝sin2x ·sin x ＝f (x )， ∴f (x )为偶函数． 三、解答题9．求函数y ＝7－6sin x －2cos 2x 的最值． [解析] y ＝7－6sin x －2cos 2x ＝2sin 2x －6sin x ＋5＝2⎝⎛⎭⎫sin x －322＋12. 由于二次函数y ＝2⎝⎛⎭⎫sin x －322＋12的二次项系数为2>0，所以抛物线开口向上，顶点坐标为⎝⎛⎭⎫32，12. 又sin x ∈[－1,1]，故当x ＝2k π－π2(k ∈Z )，即sin x ＝－1时，y 有最大值13；当x ＝2k π＋π2(k ∈Z )，即sin x ＝1时，y 有最小值1._________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1．函数y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫25x ＋π6的最小正周期是( ) A ．25πB ．52πC ．5πD ．π6[答案] C[解析] T ＝2π|ω|＝2π25＝5π.2．曲线y ＝sin(2x ＋π6)的一条对称轴是( )A ．－5π12B ．x ＝5π12C ．x ＝－7π6D ．x ＝7π6[答案] D[解析] 令2x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，∴x ＝π6＋k π2，k ∈Z .当k ＝2时，x ＝7π6，故选D.3．下列表示最值是12，周期是6π的三角函数的表达式是( )A ．y ＝12sin(x 3＋π6)B ．y ＝12sin(3x ＋π6)C ．y ＝2sin(x 3－π6)D ．y ＝12sin(x ＋π6)[答案] A[解析] 函数y ＝12sin(x 3＋π6)的最大值为12，周期为6π，初相为π6，故选A.4．下列四个函数中，最小正周期是π且图象关于x ＝π3对称的是( )A ．y ＝sin(x 2＋π6)B ．y ＝sin(2x ＋π6)C ．y ＝sin(2x －π3)D ．y ＝sin(2x －π6)[答案] D[解析] ∵函数的最小正周期为π，排除A ，又∵函数图象关于x ＝π3对称，∴当x ＝π3时，函数取最大值或最小值，只有选项D 满足，故选D.5．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3在区间[0，π]内的一个单调递减区间是( ) A ．⎣⎡⎦⎤0，5π12 B ．⎣⎡⎦⎤π12，7π12 C ．⎣⎡⎦⎤5π12，11π12 D ．⎣⎡⎦⎤π6，π2 [答案] B[解析] 由π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π(k ∈Z )得π12＋k π≤x ≤7π12＋k π(k ∈Z )，∴选B. 6．设点P 是函数f (x )＝sin ωx 的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴的距离的最小值是π4，则f (x )的最小正周期是( )A ．2πB ．πC ．π2D ．π4[答案] B[解析] 由题意知T 4＝π4，∴T ＝π，故选B.二、填空题7．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫7π12＝________.[答案] 0[解析] 由图象知，T ＝2π3，∵f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫7π12＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋π3 ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋T 2＝－f ⎝⎛⎭⎫π4＝0. 8．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图，则y ＝________.[答案] sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4 [解析] T 4＝2，∴T ＝8，ω＝π4，将点(1,1)代入y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ中得π4＋φ＝2k π＋π2，∵0≤φ<2π， ∴φ＝π4.三、解答题9．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示，求函数f (x )的解析式．[解析] 由图象知，周期T ＝2(11π12－5π12)＝π，所以ω＝2πT＝2.因为点(5π12，0)在函数图象上，所以A sin(2×5π12＋φ)＝0，即sin(5π6＋φ)＝0.又因为0<φ<π2，所以5π6<5π6＋φ<4π3.从而5π6＋φ＝π，即φ＝π6.又点(0,1)在函数图象上，所以A sin π6＝1，解得A ＝2.故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π6)．能力提升一、选择题1．若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )A ．π2B ．2π3C ．3π2D ．5π3[答案] C[解析] 本题考查了三角函数奇偶性，诱导公式．由y ＝sin x ＋φ3是偶函数知φ3＝π2＋k π，即φ＝3π2＋3k π，又∵φ∈[0,2π]，∴φ＝3π2适合．本题也可用偶函数定义求解．2．若A 、B 是钝角△ABC 的两个锐角，则点P (cos B －sin A ，sin B －cos A )在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限[答案] D[解析] ∵A 、B 是钝角△ABC 的两个锐角，∴A ＋B <π2，0<A <π2－B <π2，0<B <π2－A <π2.∵y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数， ∴sin A <sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ，sin B <sin ⎝⎛⎭⎫π2－A ， ∴sin A <cos B ，sin B <cos A ，∴点P 在第四象限．3．已知方程cos 2x ＋4sin x －a ＝0有解，则a 的范围是( ) A ．[－2,5] B ．(－∞，5] C ．[－4,4] D ．[0,5][答案] C[解析] 原式可化为：(sin x －2)2＝5－a . ∵－1≤sin x ≤1，∴1≤(sin x －2)2≤9，∴1≤5－a ≤9，解得a ∈[－4,4]．4．函数y ＝74＋sin x －sin 2x 的最大值是( )A ．74B ．－14C ．2D ．不存在[答案] C[解析] y ＝－⎝⎛⎭⎫sin x －122＋2， ∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝12时，函数y ＝－(sin x －12)2＋2取最大值2.二、填空题5．函数y ＝a ＋b sin x 的最大值是32，最小值为－12，则a ＝________，b ＝________.[答案] 12±1[解析] 当b >0时，由题意得⎩⎨⎧a ＋b ＝32a －b ＝－12，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝1. 当b <0时，由题意得⎩⎨⎧a －b ＝32a ＋b ＝－12，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝－1. 6．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－x ＋π4的单调递减区间为________． [答案] ⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π，3π4＋2k π(k ∈Z ) [解析] y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－x ＋π4＝－sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－x ＋π4的递减区间， 即为函数y ′＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的递增区间，令－π2＋2k π≤x －π4≤π2＋2k π，k ∈Z ， 得－π4＋2k π≤x ≤3π4＋2k π，k ∈Z ，∴函数y ＝sin(－x ＋π4)的单调递减区间为[－π4＋2k π，3π4＋2k π](k ∈Z )．三、解答题7．已知函数f (x )＝sin(2x －π4)，求函数f (x )的最大值及f (x )取最大值时x 的取值集合．[解析] 当2x －π4＝π2＋2k π，k ∈Z 时，f (x )取最大值1，此时x ＝3π8＋k π，k ∈Z .即f (x )的最大值是1，取最大值时x 的取值集合为{x |x ＝3π8＋k π，k ∈Z }． 8．用五点法画出函数f (x )＝3sin(x 2＋π6)＋3在一个周期内的图象．[解析] 列表如下：x －π3 2π3 5π3 8π3 11π3 x 2＋π6 0 π2 π 3π2 2π y3633描点连线：9．已知函数f (x )＝log 12⎝⎛⎭⎫12sin2x . (1)求f (x )的定义域、值域和单调区间； (2)判断f (x )的奇偶性．[解析] (1)要使函数有意义，须sin2x >0， ∴2k π<2x <2k π＋π， ∴k π<x <k π＋π2(k ∈Z )，∴f (x )定义域为⎝⎛⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z . ∵0<sin2x ≤1，∴0<12sin2x ≤12，∴log 12⎝⎛⎭⎫12sin2x ≥1，即值域为[1，＋∞)． 令y ＝sin2x ，则函数y ＝sin2x 的增区间即为函数f (x )的减区间，函数y ＝sin2x 的减区间即为函数f (x )的增区间．∴函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π4(k ∈Z )， 单调递增区间为⎣⎡⎭⎫k π＋π4，k π＋π2(k ∈Z )． (2)定义域关于原点不对称，故既不是奇函数，也不是偶函数．。