基本计数原理2
基本计数原理和排列组合
附录一.两个基本计数原理分类加法计数原理：做一件事情，完成它有n 类办法，在第一类办法中有m 1种不同的方法，在第二类办法中有m 2种不同的办法……在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝m 1＋m 2＋…＋m n 种不同的方法。
分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一个步骤有m 1种不同的方法，做第二个步骤有m 2种不同的办法……做第n 个步骤有m n 种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。
两个基本计数原理是解决计数问题最基本的理论根据，它们分别给出了用两种不同方式（分类和分步）完成一件事情的方法总数的计算方法。
考虑用哪个计数原理，关键是看完成一件事情是否能独立完成，决定是分类还是分步。
如果完成一件事情有n 类办法，每类办法都能独立完成，则用分类加法计数原理；如果完成一件事情，需要分成n 个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有步骤，才能完成这件事情，则用分步乘法计数原理。
二.排列以下陈述中如无特别说明，n、m 都表示正整数。
一般的，从n 个不同的元素中任取m （m ≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
如果要求排列中诸元素互不相同，则称为选排列；反之，若排列中的元素可以有相同时，则称为可重复排列。
可重复排列在生活中比较常见，如电话号码、证件号码、汽车牌照，等等。
从n 个不同的元素中任取m（m ≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中任取m 个元素的排列数。
用符号m n A 。
为导出m n A 的计算公式，注意到对任一选排列，其第一位（从左到右计）可以放置编号1到n 的n 个元素的任意一个，共有n 种可能的结果；对于第一位的每一种放置结果，第二位可以放置剩下的n-1个元素中的任意一个，共有n-1种可能的结果；...,对于第m-1位的每一种放置结果，第m 位可以放置最后剩下的n-m+1个元素中的任何一个，共有n-m+1种可能结果。
1.1 两个基本计数原理(2)
教学内容§1.1 两个基本计数原理（2）教学目标要求（1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能根据具体问题的特征，选择分类加法原理或分步乘法原理解决一些简单的实际问题；（2）通过对分类计数原理与分步计数原理的理解和运用，提高学生分析问题和解决问题的能力，开发学生的逻辑思维能力．教学重点分类计数原理与分步计数原理的区别和综合应用．教学难点分类计数原理与分步计数原理的区别和综合应用．教学方法和教具教师主导活动学生主体活动一．问题情境复习回顾：1．两个基本计数原理；2．练习：（1）从2，3，5，7，11中每次选出两个不同的数作为分数的分子、分母，则可产生不同的分数的个数是，其中真分数的个数是．（2）①用0，1，2，……，9可以组成多少个8位号码；②用0，1，2，……，9可以组成多少个8位整数；③用0，1，2，……，9可以组成多少个无重复数字的4位整数；④用0，1，2，……，9可以组成多少个有重复数字的4位整数；⑤用0，1，2，……，9可以组成多少个无重复数字的4位奇数．二．数学运用1．例题：例1 用4种不同颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，共有多少种不同的涂法？分析完成这件事可分四个步骤，不妨设①、②、③、④的次序填涂．解：第一步，填涂①，有4种不同颜色可选用；第二步，填涂②，除①所用过的颜色外，还有3种不同颜色可选用；第三步，填涂③，除①、②用过的2种颜色外，还有2种不同颜色可选用；第四步，填涂④，除②、③用过的2种颜色外，还有2种不同颜色可选用．⨯⨯⨯=种不同的方法，即填涂这张所以，完成这件事共有432248地图共有48种方法．答共有48种不同的涂法．思考：如果按①、②、④、③的次序填涂，怎样解决这个问题？例2 由1，2，3，4可以组成多少个自然数（数字可以重复，最多只能是四位数）？分析：按自然数的位数多少，可以分为以下四类：一位，二位，三位，四位的自然数，而在每一类中，又可以分成几步进行．解：组成的自然数可以分为以下四类：第一类：一位自然数，共有4个；第二类：二位自然数，又可分两步来完成．先取出十位上的数字，再取出个位上的数字，共有4416⨯=（个）；第三类：三位自然数，又可分三步来完成．每一位都可以从4个不同的数字中任取一个，共有44464⨯⨯=（个）；第四类：四位自然数，又可分四步来完成．每一位都可以从4个不同的数字中任取一个，共有44256=（个）．由分类计数原理，可以组成的不同自然数的个数为41664256340+++=（个）．[变式延伸] 从1到200的这200个自然数中，各个位数上都不含数字8的共有多少个？（162）说明：（1）在同一题目中牵涉两个原理时，必须搞清是先“分类”，还是先“分步”；“分类”和“分步”的标准又是什么？（2）本题是先分类，后分步，按自然数的位数“分类”，按组成数的过程“分步”．例3 在1到20共20个整数中任取两个数相加，使其和为偶数的不同取法共有多少种？解：第一类：两个偶数相加，由分步计数原理，共有10990⨯=（种）不同的取法，由于两个偶数相加时，与次序无关，即2+4和4+2是同一个数字，因此适合题意的不同取法总数共有90452=（种）；第二类：两个奇数相加，由分步计数原理，共有109452⨯=（种）不同的取法．由分类计数原理，共有45+45=90（种）不同取法．[变式延伸]在1和20共20个整数中任取两个相加，使其和大于20的不同取法共有多少种？答案：100例4 某艺术组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴与会小号的各1人，有多少种不同的选法？解：由题意可知，在艺术组9人中，有且仅有一人既会钢琴又会小号（把该人称为“多面手”），只会钢琴的有6人，只会小号的有2人，把会钢琴、小号各1人的选法分为两类：第一类：多面手入选，另一人只需从其他8人中任选一个，故这类选法共有8种．第二类：多面手不入选，则会钢琴者只能从6个只会钢琴的人中选出，会小号的1人也只能从只会小号的 2人中选出，放这类选法共有6×2＝12种，故共有8+12=20种不同的选法．2．练习：用1，2，3可以写出多少个小于1000的正整数？五．回顾小结：分类计数原理与分步计数原理的综合应用六．课外作业：P习题1．1 第5，6，7，8，9，10，11题课本9板书设计教后札记。
两个基本计数原理加法原理和乘法原理
两个基本计数原理加法原理和乘法原理两个基本计数原理：加法原理和乘法原理在我们日常生活和数学学习中，计数是一项非常重要的任务。
而加法原理和乘法原理就是两个帮助我们解决计数问题的基本原理。
让我们先来聊聊加法原理。
想象一下，你要从 A 地去 B 地，有三条不同的路可以走，分别是路 1、路 2 和路 3。
那么从 A 地到 B 地，总的路线选择就是这三条路的总和，这就是加法原理。
加法原理说的是，如果完成一件事情有 n 类不同的方式，在第一类方式中有 m1 种不同的方法，在第二类方式中有 m2 种不同的方法，以此类推，在第 n 类方式中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情总的方法数就是 m1 ＋m2 ＋… ＋ mn 种。
比如说，在一个班级里评选优秀学生，有学习成绩优秀的、品德优秀的、社会实践积极的三种类型。
假设学习成绩优秀的有 10 人，品德优秀的有 8 人，社会实践积极的有 6 人。
那么这个班级里优秀学生的总数就是 10 ＋ 8 ＋ 6 ＝ 24 人。
再比如，你周末想去图书馆看书，图书馆在三个不同的区域分别有分馆，第一个区域有 2 家分馆，第二个区域有 3 家分馆，第三个区域有 1 家分馆。
那么你可以选择去的图书馆分馆总数就是 2 ＋ 3 ＋ 1 ＝ 6 家。
接下来，我们说一说乘法原理。
假设你早上要穿衣服出门，上衣有3 件不同的款式可以选择，裤子有 2 条不同的款式可以选择。
那么你搭配衣服的方式总共有 3×2 ＝ 6 种。
这就是乘法原理。
乘法原理是指，如果完成一件事情需要 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，以此类推，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情总的方法数就是m1×m2×…×mn 种。
比如说，要从 0 、 1 、 2 、 3 这 4 个数字中选出 3 个数字组成一个三位数，百位上有 3 种选择（因为 0 不能在百位），十位上有 3 种选择，个位上有 2 种选择，那么总共能组成的三位数个数就是 3×3×2 ＝18 个。
两个基本原理-PPT课件
例1、某班共有男生28名、女生20名，
从该班选出学生代表参加校学代会。
（1)若学校分配给该班1名代表，有多少种
不同的选法？
（2）
若学校分配给该班2名代表，且男女生代表
各1名，有多少种不同的 不同方法各有多少种？
A
B （1）
A
B
（2）
8
例3、为了确保电子信箱的安全，在注册
1.1 两个基本计数原理
1
问题一：从甲地到乙地，可以乘火车， 也可以乘汽车，一天中，火车有3班，汽车有 2班．那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地 到乙地共有多少种不同的走法？
解：因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有2 种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，所 以共有 3＋2＝5 种不同的走法。
2
分类计数原理 完成一件事，有n类方 式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在 第2类方式中有m2种不同的方法，…，在第 n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这 件事共有：
例5、自然数2520有多少个正约数？
例6、书架上原来并排放着5本不同的书， 现要插入三本不同的书，那么不同的插法有 多少种？
15
时，通常要设置电子信箱密码。在某网站设
置的信箱中，
（1）
密码为4位，每位均为0到9这10个数字中的一
个数字，这样的密码共有多少个？（2）密码
为4位，每位均为0到9这10个数字中的一个，
或是从A到Z这26个英文字母中的1个。这样的
密码共有多少个？
（3）密码
为4到6位，每位均为0到9这10个数字中的一
个。这样的密码共有多少个？
9
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
10
例4、（1）4名同学选报跑步、跳高、跳 远三个项目，每人报一项，共有多少种报名 方法？
新教材人教b版选择性必修第二册311第2课时基本计数原理的应用课件2
A. 16种
B. 18种
C. 37种
D. 48种
8
第4类，选乙、丙、丁3人，同样也只有1种方法. 根据分类加法计数原理，共有4+2+1+1=8种选派方法.
解题感悟 求解抽取（分配）问题的方法
1.当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树形图法、框图法或图表法. 解题感悟 2.当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接法：直接使用分类加 法计数原理或分步乘法计数原理.②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方 法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数.
14. [2020北京房山模拟] 李明自主创业种植有机蔬菜，并且为甲、乙、丙、 丁四家超市提供配送服务，甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔2天、3天、 5天、6天去配送一次.已知5月1日李明去了这四家超市配送，那么整个5月他不 用去配送的天数是( B )
A. 12
B. 13
C. 14
D. 15
[解析] 将5月剩余的30天依次编号为1，2，3，…，30， 因为甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔2天、3天、5天、6天去配送一次， 且5月1日李明去了这四家超市配送，所以李明每逢编号为3的倍数的那天要去甲 超市配送，每逢编号为4的倍数的那天要去乙超市配送，每逢编号为6的倍数的 那天要去丙超市配送，每逢编号为7的倍数的那天要去丁超市配送， 则李明去甲超市的天数编号为3、6、9、12、15、18、21、24、27、30，共10天； 李明去乙超市但不去甲超市的天数编号为4、8、16、20、28，共5天；
B
[解析] 由分步乘法计数原理得，完全展开后的项数为2×2×3=12.
2. [2021北京丰台高二期末] 用0，1，2，3组成的没有重复数字的全部四位 数中，若按照从小到大的顺序排列，则第10个数应该是( B )
基本计数原理
基本计数原理一、主要内容一般计数原理部分的考试，分为两种，一是排列组合二项式定理单独出题，二是在概率中需要用到排列组合二项式定理。
1、基本计数原理2、排列和组合3、常用方法二、知识梳理1、基本计数原理（1）分类加法计数原理从甲地到乙地，可乘坐三类交通工具：可以乘火车，可以坐汽车，还可以乘轮船，假定火车每日1班，汽车每日3班，轮船每日2班，那么一天中从甲地到乙地有多少种不同的走法？（1+3+2=6种）做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中，有1m 种不同的方法，在第二类办法中，有2m 种不同的方法，以此类推，在第n 类办法中，有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +++=...21种不同的方法。
（2）分步乘法计数原理。
某中学的阅览室有50本不同的科技书，80本不同的文艺书，现在张三同学想借1本科技书和1本文艺书，共有多少种借法？（50*80=4000）做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同的方法，以此类推，做第n 个步骤有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N ⨯⨯⨯=...21种不同的方法。
以上两个基本计数原理是解决计数问题最基本的理论依据。
他们分别给出了两种不同方式完成一件事的方法总数的不同计算方法。
注意：分类要“不重不漏”，每类的每一种方法都能独立完成事件；分步要“步骤完整”，每一步不能完成事件，只有各步依次都完成，才能完成事件。
2、排列与组合（1）排列有红球、白球、黄球各一个，现从这三个小球中任取两个，分别放入甲、乙盒子里，有多少种不同的方法？（3*2=6）我们把被取的对象叫做元素。
取出的元素按照已知的顺序排成一列，我们称它为该问题的一个排列。
一般地，从n 个不同元素中任取出)(n m m ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
两个排列相同，则组成排列的元素相同，并且元素的排列顺序也相同。
两个基本计数原理加法原理和乘法原理
两个基本计数原理加法原理和乘法原理两个基本计数原理：加法原理和乘法原理在我们日常生活和数学世界中，经常会遇到需要计算可能性、数量或者方案的情况。
而两个基本的计数原理——加法原理和乘法原理，就像是我们解决这类问题的得力工具。
它们虽然看似简单，但却有着极其重要的应用和深刻的内涵。
先来说说加法原理。
想象一下，你要从北京去上海，有两种交通方式可以选择，一种是坐飞机，另一种是坐高铁。
那么你去上海的方式总共有几种呢？答案很明显，就是 2 种。
这就是加法原理的一个简单例子。
加法原理说的是，如果完成一件事有 n 类办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第二类办法中有 m2 种不同的方法，……，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝ m1 ＋m2 ＋… ＋ mn 种不同的方法。
再来看一个稍微复杂点的例子。
假设你周末想去运动，有三种选择：打篮球、踢足球或者打羽毛球。
如果打篮球有 5 个场地可以选择，踢足球有 3 个场地可以选择，打羽毛球有 4 个场地可以选择，那么你周末运动的场地选择总共有多少种呢？根据加法原理，就是 5 ＋ 3 ＋ 4＝ 12 种。
加法原理的关键在于“分类”，每一类方法都能独立完成这件事，而且这些类之间是相互独立的，没有重叠和交叉。
接下来聊聊乘法原理。
假如你要从 A 地去 B 地，中途需要经过 C 地中转。
从 A 地到 C 地有 3 条路线可以选择，从 C 地到 B 地有 2 条路线可以选择。
那么从 A 地经过 C 地到 B 地总共有多少条路线呢？答案是 3×2 ＝ 6 条。
这就是乘法原理的体现。
乘法原理是说，如果完成一件事需要 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，……，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝m1×m2×…×mn 种不同的方法。
乘法原理的核心在于“分步”，每一步都不能单独完成这件事，只有完成所有步骤，才能最终完成这件事，而且每一步的方法之间是相互独立的。
计数方法和应用
计数方法和应用计数是一种非常基础和普遍的数学概念，也称为计数学。
在日常生活和工作中，计数方法和技术被广泛应用。
本文将从计数方法和应用两个方面进行阐述。
一、计数方法1.1 基本计数原理基本计数原理是计数领域最基础的公理之一，也称为加法计数原理，是指如果一个事件发生的次数是 m，而另一个事件发生的次数是 n，则这两个事件连续发生的总次数是 m+n。
举个例子，假设一个学校有三个年级，每个年级有30 个学生，那么这个学校的学生总人数就是 3 × 30 = 90 人。
1.2 排列和组合排列和组合是计数中两个基本的概念。
排列是指 n 个元素中任取 r 个元素进行排列，不考虑元素的顺序。
排列数用 P(n,r) 来表示。
组合是指n 个元素中任取r 个元素进行组合，考虑元素的顺序。
组合数用 C(n,r) 来表示。
举个例子，假设有 ABC 三个字母，我们从中任取两个字母进行排列和组合，其结果如下：- 排列：AB, AC, BA, BC, CA, CB，共 6 种。
- 组合：AB, AC, BC，共 3 种。
1.3 树状图树状图是计数中一种常用的图形表示方法，也被称为树状图法。
它通过树的枝干和节及其上的符号来表示问题的分支和可能的结果。
树状图通常用于组合问题和排列问题。
举个例子，假设一个口袋里有三个苹果和两个梨，从中任取两个水果，可能的取法有：苹果-苹果、苹果-梨、梨-苹果、梨-梨、共 4 种可能。
这个问题的树状图可以如下表示：二、计数应用2.1 组合优化组合优化是计算机科学中的一个重要分支，其应用于各种领域，如图形学、数据库、网络等，旨在寻找最优的组合方案。
举个例子，在网络优化中，如何在一个有向图中找到最短或最快的路径是一个经典问题，可以用 Dijkstra 算法或 Bellman-Ford算法以及其他更高级的算法来解决。
而求解这些问题的基础，则是组合优化的概念和算法。
2.2 计算概率计数方法还可以用于计算概率，这是概率论的基础之一。
高二数学两个基本计数原理PPT优秀课件
2021/02/25
11
A.45个 B 55个 C 78个 D 91个
例4、如图从A到B，使路程最短的 不同走法有多少种？
A
B
变式:
西北
如右图：从城市的西
北到东南角有多少种
不同走 法？（沿最短
路径）
东南
反馈练习：
• 1。十字路口来往的车辆： • （1）若不允许车辆回头，共有多少种不同的行车路线？ • （2）若允许车辆回头，共有多少种不同的行车路线？
数学应用:
• 例1
AB (1) 满足集合
{a,b},的集合A,B共有多少组?
(2)已知 A{ab,}A, B{ab,,c}, 则满足条件B可 的能 集是 合？
例2、用4种不同颜色给地图上色，要求相邻的两块涂不同的颜色， 共有多少种不同的涂色方法？1324
变式1:如果按①②④③的次序填涂,怎样解 决这个问题? 变式2:试着另外改变次序填涂,怎样解决这 个问题?你能发现解决问题有何规律?
• 2。已知A={1，2，3} • （1）由A A可以组成多少个不同的映射？ • (2) 若A A的映射中，元素2不能对应2，这样的映射有多少
个？
• 思考： 你能推广（1）到更一般的结论吗？
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• 练习、用五种不同的颜色给图中四个区域涂色,每个区域涂一种 颜色,
(1)共有多少种不同的涂色方法?
(2)若要求相邻(有公共边)的区域不同色,那么共有多少种不同的涂 色方法?
例3
已知集A合{x| xZ,-2x10}, m,nA方程x2 y2 1,表示焦点在
苏教版高中数学选修2-3 1.1 两个基本计数原理(二)课件(37张)
1.1 两个基本计数原理(二)
34
课堂小结
1.分类计数原理与分步计数原理是两个最基本,也是最重要的 原理,是解答排列、组合问题,尤其是较复杂的排列、组合问 题的基础. 2.应用分类计数原理要求分类的每一种方法都能把事件独立 完成；应用分步计数原理要求各步均是完成事件必须经过的 若干彼此独立的步骤.
11
(2)无重复数字的三位整数？ 解 由于数字不可重复,可知百位数字有9种选择,十位数字也 有9种选择,但个位数字仅有8种选择.由分步计数原理知,适合 题意的三位数共有9×9×8＝648(个).
1.1 两个基本计数原理(二)
12
(3)小于500的无重复数字的三位整数？ 解 百位数字只有4种选择,十位数字有9种选择,个位数字有 8种选择. 由分步计数原理知,适合题意的三位数共有4×9×8＝288(个).
1.1 两个基本计数原理(二)
5
思考1 火车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可 能方式有多少种？ 答 分10步. 第1步：考虑第1名乘客下车的所有可能有5种； 第2步：考虑第2名乘客下车的所有可能有5种； …
1.1 两个基本计数原理(二)
6
第10步：考虑第10名乘客下车的所有可能有5种. 故共有乘客下车的可能方式有5×5×5×…×5＝510(种).
的情况,即4×4×4－3×3×3＝37(种)方案.
1.1 两个基本计数原理(二)
15
反思与感悟 解决抽取(分配)问题的方法：
(1)当涉及对象数目不大时,一般选用枚举法、树状图法、框图
原创2 ：1.1基本计数原理（二）
试验田也有2种方法，种c或a.
(1)若第三块试验田种c,则第四、五块田分别有2种种法，共有2×2种种
法．
abc
(2)若第三块试验田种a:
aБайду номын сангаасa
第四块田仍有2种种法
①若第四块田种c： a b a c
则第五块田仍有2种种法．
②若第四块田种b：
abab
则第五块田只能种c，只有1种种法．
综上，共有3×2×[2×2＋(2＋1)]＝42(种)种法．
解：(1)该问题中要完成的事是4名同学报名，因而可按学生分步完成， 每一名同学有3种选择方法，故共有34＝81(种)报名方法． (2)该问题中，要完成的事是三项冠军花落谁家，故可按冠军分步完 成，每一项冠军都有4种可能，故可能的结果有43＝64(种)．
师生合作探究
分类计数与分步计数的综合应用
3.用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色，规定一个区域只涂一
变式练习
变式1:从1～20共20个整数中任取两个相加，使其和为偶数的不同取法共有 多少种？
解:第一类：两个偶数相加，由分步乘法计数原理，共有＝45(种)不同的取 法； 第二类：两个奇数相加，由分步乘法计数原理，共有＝45(种)不同的取 法． 由分类加法计数原理得，共有45＋45＝90(种)不同取法．
种颜色，相邻的区域颜色不同，问有多少种不同的涂色方案？
规范解答
先分两类：
第一类：D与A不同色，分四步完成． 第一步涂A有5种方法；第二步涂B有4种方法； 第三步涂C有3种方法；第四步涂D有2种方法，
则共有5×4×3×2＝120(种)方法．
第二类：D与A同色，分三步完成． 第一步涂A和D有5种方法；第二步涂B有4种方法； 第三步涂C有3种方法，则共有5×4×3＝60(种)方法．
两个基本计数原理加法原理和乘法原理
两个基本计数原理加法原理和乘法原理两个基本计数原理：加法原理和乘法原理在我们的日常生活和数学学习中，经常会遇到需要计算各种可能性和数量的情况。
而两个基本的计数原理——加法原理和乘法原理，为我们解决这些问题提供了重要的方法和思路。
让我们先来了解一下加法原理。
想象一下，你要从 A 地去 B 地，有三条不同的路线可以选择，分别是路线 1、路线 2 和路线 3。
那么，你从 A 地到 B 地一共有多少种走法呢？答案很简单，就是这三条路线的总和，也就是 3 种。
这就是加法原理的一个简单例子。
加法原理指的是，如果完成一件事情有 n 类不同的办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第二类办法中有 m2 种不同的方法，……，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝ m1 ＋ m2 ＋… ＋ mn 种不同的方法。
再来看一个稍微复杂一点的例子。
假设你周末想去图书馆看书，图书馆有数学、语文、英语、历史和地理这五类书籍。
你决定只看一本，那么你有多少种选择呢？这里，因为你只能选择其中的一类书籍，而每一类书籍都算是一种选择，所以总的选择方法就是这五类书籍的总和，即 5 种。
接下来，我们说一说乘法原理。
假如你要从 A 地去 C 地，但是中间必须经过 B 地。
从 A 地到 B 地有 2 条路可以走，从 B 地到 C 地有 3条路可以走。
那么，从 A 地经过 B 地到 C 地一共有多少种走法呢？答案是 2×3 ＝ 6 种。
这就是乘法原理的体现。
乘法原理是指，如果完成一件事情需要分成 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，……，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝m1×m2×…×mn 种不同的方法。
为了更好地理解乘法原理，我们再举一个例子。
你要参加一个活动，需要选择一套服装。
上衣有 3 种款式，裤子有 2 种款式。
基本的计数原理
基本的计数原理计数是我们日常生活中不可或缺的一种能力，它涉及到我们对事物的量化和统计。
基本的计数原理是指在离散数学中，用于计算组合和排列的原理。
本文将介绍基本的计数原理及其应用。
一、基本的计数原理是指组合和排列的计数原则：1. 组合计数原理：组合是指从n个不同的元素中选取r个元素形成一个子集，其中元素的顺序不重要。
组合计数原理可以表示为C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)，其中n表示元素的总数，r表示选取的元素数量。
2. 排列计数原理：排列是指从n个不同的元素中选取r个元素形成一个有序的集合，其中元素的顺序重要。
排列计数原理可以表示为P(n, r) = n! / (n-r)!，其中n表示元素的总数，r表示选取的元素数量。
这两个计数原理是解决组合问题和排列问题的基础，通过运用组合和排列计数原理，我们可以更方便地解决实际问题。
二、基本的计数原理的应用基本的计数原理在不同领域都有广泛的应用，下面将介绍几个常见的应用场景：1. 考试成绩排名：假设一场考试有n个学生参加，我们希望计算出某个学生的排名。
根据排列计数原理，我们可以计算出有多少种可能的排名情况，从而确定该学生的排名。
2. 同学小组分配：假设班级有n个学生，老师要将他们分为r个小组，每个小组人数可以不同。
根据组合计数原理，我们可以计算出不同分组情况的数量，从而帮助老师进行合理的分组安排。
3. 彩票中奖概率计算：彩票中奖的概率可以通过排列计数原理来计算。
假设彩票有n个号码，每次开奖选取r个号码，根据排列计数原理，我们可以计算出中奖的可能性。
4. 字符串的排列组合：在计算机领域，字符串的排列组合常常用于密码破解或者生成字典等场景。
通过排列组合计数原理，我们可以计算出字符串可能的组合情况。
以上仅是基本的计数原理应用的一些例子，实际应用场景非常广泛，涵盖了各个学科和行业。
总结：基本的计数原理是离散数学中重要的概念，用于计算组合和排列的原理。
两个基本计数原理
两个基本计数原理基本计数原理是组合学中应用广泛的数学原理，用于计算组合问题的方法。
它包括两个主要原理，分别是加法原理和乘法原理。
以下是关于这两个基本计数原理的详细介绍。
一、加法原理加法原理也称为分支原理，是一种用于计算多个不同情况的总数的方法。
具体而言，加法原理提供了计算不同情况总和的方法。
加法原理适用于以下情况：1.互斥情况：如果事件A和事件B是不相关的，且两者不能同时发生，那么发生A或发生B的总数就是事件A和事件B发生总数的和。
例如，抛掷一枚硬币，获得正面或者获得背面的总数是1+1=22.不互斥情况：如果事件A和事件B之间存在重叠的情况，那么发生A或发生B的总数是事件A的总数加上事件B的总数，再减去两者发生的重叠部分的总数。
例如，有10个人中，有4人会弹吉他，5人会弹钢琴，其中有2人既会弹吉他又会弹钢琴。
那么会弹吉他或会弹钢琴的总数是4+5-2=7二、乘法原理乘法原理也称为选择原理，是一种用于计算事件依次发生的组合计数问题的方法。
具体而言，乘法原理提供了计算每个阶段都有n种选择的总数的方法，以及计算一些特定情况下的总数的方法。
乘法原理适用于以下情况：1.每个阶段都有n种选择的情况：假设一些事件有m个阶段依次发生，且每个阶段都有n种选择，那么该事件发生的总数就是每个阶段选择数量的乘积。
例如，晨跑时路线有3个选择（A、B、C），早餐有4个选择（米饭、面包、牛奶、鸡蛋），那么不同的晨跑路线加上早餐的总数是3*4=122.一些特定情况下的总数：假设一些事件有m个阶段依次发生，而其中有k个阶段存在多种选择，那么该事件发生的总数就是每个阶段选择数量的乘积。
例如，密码锁有4位数字密码，每一位数字是0-9之间的任意一个数字，那么可能的密码总数是10*10*10*10=10^4总结：加法原理和乘法原理是组合数学中常用的计数方法。
加法原理用于计算互斥情况和不互斥情况下的总数，可以通过求和、减法和加减混合等操作实现。
02基本计数原理(2课时)
7.用0,1,2,3,4这五个数字共可以组成多少个无重复 用 这五个数字共可以组成多少个无重复 数字的： 数字的： 1）3位数？（2）3位偶数 位数？（ 位偶数？ （1）3位数？（2）3位偶数？
8.从 8.从1到200的这200个自然数中,各个位数上都不含数 200的这200个自然数中 的这200个自然数中, 的共有多少个? 字8的共有多少个?
复习
1. 分类加法计数原理
完成一件事， 类办法， 分类计数原理 完成一件事，有 n 类办法， m1 在第1类办法中有 种不同的方法，在第2类办 在第 类办法中有 种不同的方法，在第 类办 n m2 种不同的方法， ， 法中有 种不同的方法，…，在第 类办法中 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有： 有 种不同的方法，那么完成这件事共有：
３×４×５＝６０
3、把四封不同的信任意投入三个信箱中,不同投法种数 、把四封不同的信任意投入三个信箱中 不同投法种数 A. 12 B.64 C.81 D.7 是( C ) 4、火车上有10名乘客，沿途有 个车站，乘客下车的 、火车上有 名乘客 沿途有5个车站 名乘客， 个车站， 可能方式有 （ A ）种 A. 510 B. 105 C. 50 D. 以上都不对
9.如图 在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中 与 如图:在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中 如图 在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中,与 正八边形有公共边的三角形有多少个? 正八边形有公共边的三角形有多少个
B
C 有两条公共边的有: 有两条公共边的有 8个 个 有一条公共边的有: 8×4个 有一条公共边的有 × 个
例5.用0,1,2,3,4这五个数字共可以组成多少个无重 用 这五个数字共可以组成多少个无重 复数字的： 复数字的： （1）银行存折的四位密码？ ）银行存折的四位密码？ ？（3）四位偶数？ （2）四位数？（ ）四位偶数？ ）四位数？（
基本计数原理2
2、由数字 1,2,3,4,5,6 可以组成没有重复数字的两位数的个数为
3、一个城市的某电话局管辖范围内的电话号码由 8 位数组成，其中前四位数字是统一的，后四位 数字都是 0 到 9 这十个数中的一个数字，那么不同的电话号码最多有 个.
20112011-2012 学年高二数学选修 2-3 学案
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三、合作探究
探究一：组数问题 探究一： 例 1：用 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个无重复数字的比 2000 大的四位偶数？
变式 1：个位数字比十位数字大的两位数有多少个？
间要相互独立.分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法 数相乘，得到总数. 思考讨论： 思考讨论：解决实际问题时，如何应用两个计数原理？
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编号： 使用时间：2012 编号：28 使用时间：2012-3-15
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探究二： 探究二：涂色问题 例 2：用红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入图中五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相 同，则有多少种不同的涂色方法？ 思路点拨：由题目可获取如下主要信息： ① 用四种不同的颜色给五个区域涂色； ② 相邻区域不能涂同种颜色； ③ 不相邻区域可以涂相同颜色.
变式 3：如图用 5 种不同颜色给 A,B,C,D 四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻区域的 ： 颜色不能相同，共有多少种不同的涂色方案？
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两个基本计数原理
两个基本计数原理基本计数原理是概率论中的重要概念，用于计算和求解组合问题和排列问题。
其核心思想是通过分析事件的性质和条件，利用计数的方法，得到事件的可能性。
第一个基本计数原理是加法原理，也称做并事件的计数原理。
它指的是如果一个事件可以被分解为若干个互不相交的子事件，那么这个事件的发生总数等于这些子事件发生总数的和。
假设有n1种物品和n2种物品，如果两种物品都相互独立地选择，那么一共有n1 + n2种选择的可能性。
例如，现在有一堆红色木块，绿色木块和蓝色木块，其中红色木块有n1种，绿色木块有n2种，蓝色木块有n3种。
如果要从这些木块中选择一个来搭建一个木块城堡，那么一共有n1 + n2 + n3种可能的选择。
第二个基本计数原理是乘法原理，也称做交事件的计数原理。
它指的是如果一个事件可以被分解为若干个相互独立的子事件，那么这个事件的发生总数等于这些子事件发生总数的乘积。
假设有n1种选择第一个事件的方式，n2种选择第二个事件的方式，n3种选择第三个事件的方式，以此类推，那么这些事件同时发生的总数等于n1 ×n2 ×n3 × ... 。
例如，现在有一张卡片，有n1种选择颜色的方式；另外还有一本书，有n2种选择封面的方式；还有一个背包，有n3种选择图案的方式。
如果要同时选择卡片颜色、书封面和背包图案，那么一共有n1 ×n2 ×n3种可能的选择。
综上所述，加法原理和乘法原理是组合问题和排列问题中常用的数学原理。
这两个原理为我们计算和分析事件的可能性提供了重要的数学工具。
通过应用这两个原理，我们可以解决各种各样的组合问题，例如计算排列的总数、选择可能性的总数、计算概率等。
这些原理在概率论、组合数学以及其他领域的应用非常广泛。
计数知识点归纳总结
计数知识点归纳总结计数是数学中非常重要的一部分，它涉及到我们日常生活中的许多实际问题，如时间、距离、数量等等。
在学习计数的过程中，我们将会接触到各种各样的计数方法和技巧。
在这篇文章中，我将为大家总结一下计数的一些重要知识点，希望可以帮助大家更好地理解和掌握计数的相关内容。
一、基本计数原理基本计数原理是计数问题中最基本的原理。
它包括了两个基本的规则：加法原理和乘法原式。
1.1 加法原理加法原理是指如果一个事件可以分解为两个或多个互不相容的事件的并集，那么这个事件的发生次数等于这些事件的发生次数之和。
换句话说，如果A和B是两个互不相容的事件，那么A和B的并集的发生次数等于A的发生次数加上B的发生次数。
例如，一个班级有30个男生和20个女生，那么班级一共有多少个学生？答案是30+20=50，这里使用了加法原理。
1.2 乘法原理乘法原理是指如果一个事件可以分解为两个或多个独立事件的交集，那么这个事件的发生次数等于这些事件的发生次数的乘积。
换句话说，如果A和B是两个独立事件，那么A和B的交集的发生次数等于A的发生次数乘以B的发生次数。
例如，一个由3位数字组成的密码，每位数字可以是0到9之间的任何一个数字，那么一共有多少种可能的密码？答案是10*10*10=1000，这里使用了乘法原理。
二、排列和组合排列和组合是计算一组事物的不同排列和组合方式的方法。
在计数中，排列和组合经常会被用到。
2.1 排列排列是指从一组事物中抽取一部分进行排列，要求这些事物之间有顺序之分。
例如，从1、2、3、4这4个数字中抽取3个数字进行排列，一共有多少种排列方式？答案是4*3*2=24种，这里使用了排列的计算方法。
2.2 组合组合是指从一组事物中抽取一部分进行组合，不要求事物之间有顺序之分。
例如，从1、2、3、4这4个数字中抽取2个数字进行组合，一共有多少种组合方式？答案是4*3/2=6种，这里使用了组合的计算方法。
三、计数的应用计数不仅仅是一门理论学科，它还涉及到许多实际问题的解决。
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精彩点评15分钟
展示问题 例1 例2 位置 前黑板 后黑板 展示小组 点评小组 1组 7组 8组 6组
目标：
（1）先分析解题思 路，再规范步骤，总 结易错点，给展示题 打分0--5 （2）其它同学认真 倾听、积极思考,重 点内容记好笔记。有 不明白或有补充的要 大胆提出。 （3）力争全部达成 目标，A层多拓展、 质疑,B层注重总结， C层多整理，记忆。 科研小组成员首先要 质疑拓展。
基本计数原理
高二数学 衣利
存在问题：
1、对于分类计数原理中的“分类”时分不清， 有重复或遗漏； 2、在分步计数原理中先后顺序不清，分步不 明确. 3、分不清完成某件事是分类还是分步。
学习目标
1. 进一步巩固和体会两个计数原理在生产、 生活、科学中的应用，提高分析问题能力； 2.独立思考，合作学习，探究运用基本计数 原理解题的规律和方法； 3.激情投入，体会分类讨论的思想在解决具 体问题时的合理应用.
要求：
（1）小组长首先安排任务先一对一分层讨论，再小组内集中讨论，AA 力争拓展提升，BB、CC解决好全部展示问题。 （2）讨论时，手不离笔、随时记录，争取在讨论时就能将错题解决， 未解决的问题，组长记录好，准备展示质疑。 （3）讨论结束时，将对各组讨论情况进行评价。
高效展示5分钟
展示问题
例1 例2 例2 例3
位置
前黑板 后黑板 后黑板 后黑板
展示小组
1组 7组 3组 4组
例3
变式4
后黑板
后黑板
2组
9组
目标： （ 1）规范认真， 脱稿展示 （2）不但要展 示解题过程，更 重要的是展示规 律方法、注意的 问题、拓展 其他同学讨论完 毕总结完善，A 层注意拓展，不 浪费一分钟； （3）小组长要 检查落实，力争 全部达标
自主学习
1、 ； 42 例1 : 120 变 1： 式 36
2、 30
3、 10
4
变 2： 式 15 变 3 : 180 式 变 4 : 130 式
例 2 : 72 ； 例3 : 20
合作探究 3分钟
内容： 重点讨论：例1、例2、例3、变式4
通过讨论这些题目，总结分类加法、分步乘法计数原 理的区别与联系。
整理巩固
要求：
分类整理落实
总结规律与方法
课堂评价
学科班长：1.回扣目标 总结收获 2.评出优秀小组和个人
课后完成训练学案并整理巩固
Байду номын сангаас
例2
例3
后黑板
后黑板
3组
4组
例3 变式4
后黑板 后黑板
2组 9组
5组
变式： 一个地区分为5个行政区，现给地图着色，要求相 邻区域不得使用同一种颜色.现有4种颜色可供使 用，则不同的着色方法共有多少种？
变式2： 某电子器件是由三个电阻组成的回路，其中有6个 焊接点A,B,C,D,E,F，如果某个焊接点脱落，整个电 路就会不通，现发现电路不通了，那么焊接点脱落 的可能性共有多少种？