节点导纳和阻抗矩阵

YZ j = e j
Zj
ej
物理意义：当节点j注入单位电流，其余节点的注入电流都等于零时，网络各 节点的电压在数值上就同阻抗矩阵的第j列的对应元素相等。
Y = LDU
LF = e j fi = =F DH UZ = H j
n
i< j 0 1 i j = i −1 l f i> j − ∑ k = j ik k
一、用线性方程直接解法对导纳矩阵求逆
YV = I
Y11 Y21 Yn1 Y12 Y1n Z11 Y22 Y2 n Z 21 Yi 2 Ynn Z n1 Z12 Z1n 1 Z 22 Z 2 n = Z n 2 Z nn 1 1
Y11 Y21 Yn1
Y12 Y22 Yn 2

I Y1n V 1 1 Y2 n V2 I 2 = Ynn Vn In
j =1
= V −V zkm I km k m
连枝的电压方程
I km
1 Z kk + Z mm − 2 Z km + zkm
∑ ( Z kj − Z mj ) I j
j =1
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p
用各节点注入电流表示的连枝电流
代入节点i的电压方程
V i
( Zik − Zim ) Z kj − Z mj Ij Z ij − ∑ Z kk + Z mm − 2 Z km + zkm j =1
一般地，对于有n个独立节点的网络，可以列写n个节点方程
+Y V I Y11V 1 12 2 + + Y1nVn = 1 ++ Y V I Y21V1 + Y22V 2 2n n = 2 Y V I n n1 1 + Yn 2V2 + + YnnVn =
p
(
)
修改后阻抗矩阵元素的计算式
作业：4-1,4-2,4-4（仅求Z证）
+Y V Y11V = I 1 12 2 1 +Y V 0 Y21V1 + Y22V 2 23 3 + Y24V4 = +Y V 0 Y32V 2 33 3 + Y34V4 = +Y V I Y42V 2 43 3 + Y44V4 = 4
j =1
n
—节点方程第i行
假设除第k个节点外，其它节点都接地，即
≠ 0, V = V 0 (j= 1, 2,..., n, j ≠ k ) k j I =I 或 Yik = i 所以 Yik V k i V
0, j ≠ k k V = j
当k=i时，自导纳Yii是节点i以外的所有节点都接地时节点i对地的总导纳 当k≠i时，自导纳Yik是节点k以外的所有节点都接地时，从节点i流入网络 的电流同施加于节点k的电压之比 节点导纳矩阵特点： ①可以直观且简单形成；②高度稀疏
YV = I
Y —节点导纳矩阵
Yii—节点i的自导纳，其值等于接于节点i的所有支路导纳之和
Yij—节点i和j之间的互导纳，它等于直接联接于节点i和j间的支路导纳的负值
如果节点i和j之间不存在直接支路，则Yij=0。由此可知节点导纳矩阵是一个 稀疏的对称矩阵
二、节点导纳矩阵元素的物理意义
∑ YijVj = Ii
思考：如果k节点是大地，如何修改？
4-3 节点阻抗矩阵
一、节点阻抗矩阵元素的物理意义
YV = I
其中，Z = Y −1 —节点阻抗矩阵
ZI = V
Z11 Z 21 Z n1
Z12 Z 22 Zn2

V Z1n I 1 1 Z 2n I V 2 2 = Z nn In Vn
一、节点方程
+ y (V −V )= y10V I 1 12 1 2 1 −V )+ y V y12 (V 0 2 1 20 2 + y23 (V2 − V3 ) + y24 (V2 − V4 ) = −V ) + y (V −V )= 0 y23 (V 3 2 34 3 4 I 4 y24 (V4 − V2 ) + y34 (V4 − V3 ) + y40V4 =
1. 追加树枝
Z11 Z12 Z1i Z1 p Z 21 Z 22 Z 2i Z 2 p Z i1 Z i 2 Z ii Z ip Z p1 Z p 2 Z pi Z pp Z q1 Z q 2 Z qi Z qp
当节点k单独注入电流，而所有其他节点的注入电流等于零时，自阻抗Zkk 等于节点k的电压与节点k的注入电流之比；互阻抗Zik等于节点i的电压与 节点k的注入电流之比。Zkk是从节点k向整个网络看进去的对地总阻抗 求解方法：逐点单独注入电流，计算网络电压分布；过程复杂，不可能 从网络的接线图和支路参数直观地求出 特点：没有零元素，是满矩阵
第四章 电力网络的数学模型
4-1 节点导纳矩阵 4-2 节点阻抗矩阵
柯德平 电话: 15071083119 邮箱: kedeping@whu.edu.cn 办公室: 工学部主教1710右
4-1 节点导纳矩阵
已知各个节点的电压或者各条支路的电流，电力网络的运行状态 便可唯一确定 节点方程以各节点电压为待求量，回路方程以各支路电流为待求 量（基尔霍夫电流和电压定律）
∑ Zij I j − ( Zik − Zim ) Ikm
j =1
p
V = k V = m
∑ Z kj I j − ( Z kk − Z km ) Ikm
j =1 p
p
追加连枝后，节点k的电压 追加连枝后，节点m的电压
∑ Z mj I j − ( Z mk − Z mm ) Ikm
三、节点导纳矩阵的修改
根据原始节点导纳矩阵和修改的网络接线方式，快速形成修改后 的节点导纳矩阵
(0) Y y + ii ik Y = − yik
− yik yik
(0) (0) + Y y Y − y ii ij ij ij Y= (0) (0) Y ji − yij Y jj +yij
Z ii—节点i的自阻抗或输入阻抗
Z ij—节点i和j之间的互阻抗
∑ Zij I j = Vi
j =1
n
—节点方程第i行
≠ 0, 如果令 I k
=V 则有 Z ik I k i
= I 0 j
或
1, 2,..., n, j ≠ k ) (j=
V Z ik = i I k
0, j ≠ k I = j
= Y y10 + y12 11 Y22 = y20 + y23 + y24 + y12 = Y y23 + y34 33 Y44 = y40 + y24 + y34 Y12 = Y21 = − y12 Y23 = Y32 = − y23 Y24 = Y42 = − y24 Y34 = Y43 = − y34
Z1q Z 2q Z iq Z pq Z qq
阻抗矩阵中对应于网络 原有部分的全部元素保 持原有数值不变
Z qq = ziq + Z ii
2. 追加连枝
叠加原理和替代定理
= Z I V i i1 1 + Z i 2 I 2 + + Z ik ( I k − I km ) + + Z im ( I m + I km ) + + Z ip I p =
i< j 0 hi = fi /dii i ≥ j
Z ij =hi - ∑ uik Z kj
k =i +1
二、用支路追加法形成节点阻抗矩阵
第一条支路必须是接地支路，以后每次追加的支路必须至少有一个端 点同已出现的节点相接，只要遵循此原则，追加顺序可以任意 增加一条连枝，节点数增加1，阻抗矩阵相应的扩大一阶 增加一条树枝，网络节点数保持不变，阻抗矩阵阶数不变