2019北京汇文中学高三(上)期中数学

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2023-2024学年北京东城区汇文中学高三(上)期中数学试题及答案

北京汇文中学教育集团2023-2024学年度第一学期期中考试高三年级数学学科本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.一、选择题(每题4分，共40分)1. 已知集合{}260A x x x =--≤，{}||1B y y x ==+，则AB =( )A. [1，2]B. [1，3]C. [0，2]D. [0，3] 2. 下列命题中，正确的是( )A ．12i -的虚部是2B ．|12|i -=C ．12i -的共轭复数是12i --D ．12i -在复平面内对应的点在第二象限3．已知点(6,8)P -是角α终边上一点，则sin()(2πα+= )A ．35B ．35- C ．45 D ．45-4. 已知l ，m 表示两条不同的直线，α表示平面，则下列说法正确的是( ) A ．若//l m ，m α⊂，则//l α B ．若//l α，m α⊂，则//l m C ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ D ．若l α⊥，m α⊂，则l m ⊥5.在△ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m =，CD n =.则CB =( ) A. 32m n - B. 23m n -+ C. 32m n + D. 23m n +6．函数2()22cos f x x x =-在区间[0,]2π上的最大值为( )A ．12B 1-C ．1D 7. 在数列{}n a 中，已知2n a n n λ=+，*N n ∈，则“12a a <”是“{}n a 是单调递增数列”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移(0)t t >个单位长度，得到函数()y f x =的图象．若函数()y f x =为奇函数，则t 的最小值是( )A ．12πB ．6πC ．4πD ．3π9．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达⋅芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案(如图1)，把三片这样的达⋅芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．如图3中每个正方体的棱长为1，则点A 到平面QGC 的距离为( )图1 图2 图3A.2B.2C.1D.10.设函数2(1)2,1()|2|,1x a x a x f x a x x ⎧-++<=⎨-≥⎩，给出下列四个结论：①当0a <时，函数()f x 有三个极值点； ②当01a <<时，函数()f x 有三个极值点； ③R,2a x ∀∈=是函数()f x 的极小值点； ④1R,2a a x +∀∈=不是函数()f x 的极大值点．其中，所有正确结论的序号是( ) A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ②④ 二、填空题(每题5分，共25分)11．首项为1的等比数列{}n a 中，12342,,a a a 成等差数列，则公比q =_______．12.若函数1()2()2x x f x a =-⋅为偶函数，则a =________，()f x 的最小值为_______.13.已知正四棱锥S ABCD -，底面边长为2 ，体积为3，则这个四棱锥的侧棱长为_______. 14．已知数列{}n a 满足122122111n n n n a a n a a a +-==+=+，，，*N n ∈.则集合{|20}m m a ≤中元素的个数为________.15.已知12,e e 是空间单位向量，1212e e ⋅=，若空间向量b 满足12b e ⋅=，252b e ⋅=，且对于任意,R x y ∈，12010200()()1(,R)b xe ye b x e y e x y -+≥-+=∈，则00x y += ，b = ．三、解答题（本大题共6小题，共85分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.（13分）△ABC 中，222b c a +=+．（Ⅰ）求A ∠的大小；（Ⅱ）以下三组条件中恰有一组条件使得三角形存在且唯一确定，请选出该组条件，并求△ABC 的面积．条件①：sin 2B =，b =；条件②：cos 3B =，a = 条件③：1a =，b =．注：条件选择错误，第（2）问得0分．在17. （14分）如图，已知PAB ⊥平面平面，四边形是矩形，PA AB =，点，分别是，的中点．（Ⅰ）若点为线段中点，求证：∥平面；（Ⅱ）求证：AF ⊥平面PBC .18. （15分）已知函数()ln f x x x =.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若对于任意1[,]x e e∈，都有()1f x ax ≤-，求实数a 的取值范围．ABCD ABCD E F BC PB M AD PMAEF19. （14分）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱BC 的中点，F为棱CD 上一点．（Ⅰ）求直线1AC 与平面11A EC 所成角的正弦值；（Ⅱ）求二面角11A A C E --的正弦值；（Ⅲ）是否存在点F ，使1D F //平面11A EC ？若存在，求出DF 的长度；若不存在，请说明理由.20. （14分）已知函数()(2)ln x f x x e x x =--+．（Ⅰ）求证：函数()f x 在区间[1,)+∞上为单调递增函数；（Ⅱ）若函数()f x 在1[,1]4上的最大值在区间(,1)m m +内，求整数m 的值．21. （15分）已知数列12:,,,n n A a a a .如果数列12:,,,n n B b b b 满足1n b a =，11k k k k b a a b --=+-，其中2,3,,k n =，则称n B 为n A 的“衍生数列”.（Ⅰ）若数列41234:,,,A a a a a 的“衍生数列”是4:5,2,7,2B -，求4A ；（Ⅱ）若n 为偶数，且n A 的“衍生数列”是n B ，证明：n B 的“衍生数列”是n A ；（Ⅲ）若n 为奇数，且n A 的“衍生数列”是n B ，n B 的“衍生数列”是n C ，….依次将数列n A ，n B ，n C ，…的第(1,2,,)i i n =项取出，构成数列:,,,i i i i a b c Ω.求证：i Ω是等差数列.【参考答案】一、选择题：BBADB CCBAD二、填空题11. 212. -1,214.2415.16.（1）由余弦定理2222cosa b c bc A=+-，又222b c a+=+，可得2cosbc A=，所以cos2A=，又因为()0,Aπ∈，所以6Aπ=（2）选择条件②由（1）知，6Aπ=，根据条件②中cos3B=，()0,Bπ∈，所以B∠也是唯一确定的，从而可得C∠也是唯一确定的，再由a=,b c也是唯一确定的，故选择条件②.因为cos3B=，()0,Bπ∈，所以1sin3B=．由正弦定理sin sina bA B=，可得1sin31sin32Bb aA===，所以()11sin sin sin cos cos sin23236C A B A B A B=+=+=⨯+⨯=所以三角形面积1sin29S ab C+==17.（Ⅰ）证明：连结BM 交AE 于N ，连结PM ，FN ．因为四边形ABCD 是矩形，所以//AD BC ，且=AD BC ，又M ，E 分别为AD ，A 的中点，所以四边形AMEB 是平行四边形，所以N 为BM 的中点，又因为M 是PB 的中点，所以PM ∥FN ，因为PM ⊄平面AEF ，NF ⊂平面AEF ，所以PM ∥平面AEF . （Ⅱ）证明：,ABCD BC AB ⊥在矩形中BC AB PAB ABCD PAB ABCD AB BC ABCD ⊥⎧⎪⊥⎪⎨⋂=⎪⎪⊂⎩面面面面面 BC PAB ∴⊥面因为AF ⊂平面PAB ，所以BC AF ⊥．因为PA AB =，点M 是PB 的中点，所以PB AF ⊥ 又因为BCPB B =，所以AF ⊥平面PBC ．18.解：(Ⅰ)因为函数f(x)=xlnx ，所以f ′(x)=lnx +x ⋅1x=lnx +1， f′(1)=ln1+1=1．又因为f(1)=0，所以曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y =x −1．(Ⅱ)函数f(x)=xlnx 定义域为(0,+∞)，由(Ⅰ)可知，f′(x)=lnx +1．令f′(x)=0，解得x =1e．f(x)与f′(x)在区间(0,+∞)上的情况如下：故f(x)的增区间为(e ,+∞)，减区间为(0,1e )．(Ⅲ)当1e⩽x ⩽e 时，“f(x)≤ax −1”等价于“a ≥lnx +1x”恒成立，令g(x)=lnx +1x ，x ∈[1e ,e]， g′(x)=1x−1x 2=x−1x 2，x ∈[1e,e]．当x ∈[1e ,1)时，gˈ(x)<0，所以g(x)在区间[1e ,1)单调递减．当x ∈(1,e]时，gˈ(x)>0，所以g(x)在区间(1,e]单调递增．而g(1e )=−lne +e =e −1>1.5，g (e )=1+1e <1.5，所以g(x)在区间[1e ,e]上的最大值为g(1e)=e −1．所以当a ≥e −1时，对于任意x ∈[1e,e]，都有f(x)≤ax −1． 19.(1) 以 A 为原点， AB,AD,AA 1分别为 x,y,z 轴，建立如图空间直角坐标系，则 A(0,0,0)， A 1(0,0,2)， B(2,0,0)， C(2,2,0)， D(0,2,0)， C 1(2,2,2)， D 1(0,2,2)，E(2,1,0)1111(2,2,2),(2,2,0),(0,1,2)AC AC EC ===设平面11A C E 的一个法向量为(,,)m x y z =1110m A C m EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 不妨设y =2，则x =−2，z =−1, (2,2,1)m =--设直线 AC 1与平面 A 1EC 1所成角为 θ，则111sin |cos ,|3,m AC m AC m AC θ⋅=<>===⨯． (2)由正方体可得，平面 AA 1C 1的一个法向量为 DB →=(2,−2,0)，则cos ,33DB m DB m DB m⋅<>===⨯⋅ . 因为二面角 A −A 1C 1−E 为锐二面角，所以二面角 A −A 1C 1−E 的正弦值为 √1−cos 2 ⟨DB →,m →⟩=13．（3）存在，设F 点的坐标为(t,2,0),所以FD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−t,0,2) 平面 A 1EC 1的一个法向量为 m →=(−2,2,−1)，因为FD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥m →，所以m ⃗⃗ ∙FD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，t =1因为 D 1F ⊄平面 A 1EC 1，所以 D 1F//平面 A 1EC 1．此时DF =120.解：(1)x ∈[1,+∞),f ′(x )=e x +(x −2)e x −1+1x =(x −1)(e x −1x ) 当x ≥1时x −1≥0,e x ≥e,1x ≤1,e x >1x ∴f ′(x )≥0，f (x )单调递增 (2)f′(x)=(x −1)e x −1+1x =(x −1)(e x −1x). 令ℎ(x)=e x −1x ，则ℎ′(x)=e x +1x 2>0，所以ℎ(x)在[14,1]上单调递增，因为ℎ(12)=e 12−2<0，ℎ(1)=e −1>0，所以存在x 0∈(12,1)，使得ℎ(x 0)=0，即e x 0=1x 0，即lnx 0=−x 0，故当x ∈[14,x 0)时，ℎ(x)<0，当x ∈(x 0,1]时，ℎ(x)>0，又当x ∈[14,1]时，x −1≤0(等号仅在x =1时成立)，所以当x ∈[14,x 0)时，f′(x)>0，当x ∈(x 0,1]时，f′(x)≤0(等号仅在x =1时成立)，所以f(x)在[14,x 0)上单调递增，在(x 0,1]上单调递减，则f(x)max =g(x 0)=(x 0−2)e x 0−x 0+lnx 0=(x 0−2)⋅1x 0−x 0−x 0=1−2x 0−2x 0，令G(x)=1−2x −2x ，x ∈(12,1)，则G′(x)=2x2−2=2(1−x 2)x2>0(x ∈(12,1))，所以G(x)在(12,1)上单调递增，则G(x)>G(12)=−4，G(x)<G(1)=−3，所以−4<f(x)max <−3，所以m =−4．21.（Ⅰ）解：4:2,1,4,5A . ………3分（Ⅱ）证法一：证明：由已知，111()n b a a a =--，212121()n b a a b a a a =+-=+-.因此，猜想1(1)()i i i n b a a a =+--. ………………4分 ① 当1i =时，111()n b a a a =--，猜想成立； ② 假设*()i k k =∈N 时，1(1)()k k k n b a a a =+--. 当1i k =+时，11k k k k b a a b ++=+-11[(1)()]k k k k n a a a a a +=+-+-- 11(1)()k k k k n a a a a a +=+----111(1)()k k n a a a ++=+--故当1i k =+时猜想也成立.由 ①、② 可知，对于任意正整数i ，有1(1)()i i i n b a a a =+--. ………………7分设数列n B 的“衍生数列”为n C ，则由以上结论可知111(1)()(1)()(1)()i i i i i n i n n c b b b a a a b b =+--=+--+--，其中1,2,3,,i n =.由于n 为偶数，所以11(1)()n n n n b a a a a =+--=，所以 11(1)()(1)()iii i n n i c a a a a a a =+--+--=，其中1,2,3,,i n =.因此，数列n C 即是数列n A . ………………9分证法二：因为 1n b a =，1212b b a a +=+， 2323b b a a +=+，……11n n n n b b a a --+=+，由于n 为偶数，将上述n 个等式中的第2,4,6,,n 这2n个式子都乘以1-，相加得11223112231()()()()()()n n n n n b b b b b b b a a a a a a a ---+++--+=-+++--+即1n b a -=-，1n b a =. ………………7分由于1n a b =，11(2,3,,)i i i i a b b a i n --=+-=，根据“衍生数列”的定义知，数列n A 是n B 的“衍生数列”. ………………9分（Ⅲ）证法一：证明：设数列n X ,n Y ,n Z 中后者是前者的“衍生数列”.欲证i Ω成等差数列，只需证明,,i i i x y z 成等差数列，即只要证明2(1,2,3,,)i i i y x z i n =+=即可. ……10分由（Ⅱ）中结论可知 1(1)()i i i n y x x x =+--，1(1)()i i i n z y y y =+--11(1)()(1)()i i i n n x x x y y =+--+--11(1)()(1)[(1)()]i i n i n n n n x x x x x x x =+--+----- 11(1)()(1)()i i i n n x x x x x =+--+--12(1)()i i n x x x =+--，所以，122(1)()2i i i i n i x z x x x y +=+--=，即,,i i i x y z 成等差数列，所以i Ω是等差数列. ………………13分证法二：因为 11(2,3,4,,)i i i i b a a b i n --=+-=，所以 11()(2,3,4,,)i i i i b a b a i n ---=--=. 所以欲证i Ω成等差数列，只需证明1Ω成等差数列即可. ………………10分对于数列n A 及其“衍生数列”n B ，因为 1n b a =， 1212b b a a +=+，2323b b a a +=+，……11n n n n b b a a --+=+，由于n 为奇数，将上述n 个等式中的第2,4,6,,1n -这12n -个式子都乘以1-，相加得 11223112231()()()()()()n n n n n b b b b b b b a a a a a a a ---+++-++=-+++-++ 即112n n n n b a a a a a =-+=-. 设数列n B 的“衍生数列”为n C ，因为 1n b a =，112n n c b a a ==-，所以 1112b a c =+，即111,,a b c 成等差数列. 同理可证，111111,,;,,,b c d c d e 也成等差数列. 即 1Ω是等差数列.所以 i Ω成等差数列. ………………13分。

北京市海淀区2019届高三上期中考试数学试题(文)含答案

海淀区高三年级第一学期期中练习数学（文科）2019.11本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合P{｜-≤0}，M{0,1,3,4}，则集合P M中元素的个数为A．1 B．2 C．3 D．42．下列函数中为偶函数的是A．B．|| C．D．3．在中，∠A60°，||2，||1，则的值为-1 A．B．-C．1 D．4．数列{}的前项和，若－2－1(≥2)，且3，则1的值为A．0 B．1 C．3 D．55．已知函数，下列结论中错误．．的是A．B．的最小正周期为C．的图象关于直线对称D．的值域为[,]6．“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．如图，点O 为坐标原点，点A （1,1）.若函数（>0，且≠1）及（，且≠1）的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则，满足 A ．<<1 B ．<<1 C ．>>1 D ．>>18.已知函数()1,1,,11,1,1,x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<-⎨⎪≥⎩，函数21()4g x ax =+.若函数()()y f x g x =-恰好有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是 A.(0,)+∞ B.(,0)(2,)-∞+∞C.1(,)(1,)2-∞-+∞ D.(,0)(0,1)-∞s二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9.函数()22x f x =-的定义域为_____. 10.若角α的终边过点（1，-2），则cos()2πα+=_____.11. 若等差数列{}n a 满足14a =-，39108a a a a +=-，则n a = ______.12.已知向量(1,0)a =，点()4,4A ，点B 为直线2y x =上一个动点.若AB //，则点B 的坐标为____.13.已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>.若()f x 的图像向左平移3π个单位所得的图像与()f x 的图像重合，则ω的最小值为____.14.对于数列{}n a ，若m ∀，()n N m n *∈≠，均有()为常数m na a t t m n-≥-，则称数列{}n a 具有性质()P t .（i ）若数列{}n a 的通项公式为2n a n =，且具有性质()P t ，则t 的最大值为____；（ii ）若数列{}n a 的通项公式为2n aa n n=-，且具有性质(7)P ，则实数a 的取值范围是____.三、解答题共6小题，共80分。

2019年海淀区高三数学(文)期中试卷及答案

2019年海淀区高三年级第一学期期中练习数学（文科）本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

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一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

【数学】北京市朝阳区2019届高三上学期期中考试试卷(理)(精解版)

北京市朝阳区2019届高三上学期期中考试数学试卷（理）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】先把集合A解出来，然后求A∪B即可．因为集合合，所以，故选：B．2.执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A. -10B. -2C. 2D. 10【答案】C【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．模拟程序的运行过程，第一次运行：，第二次运行：第三次运行：第四次运行：此时，推出循环，输出输出.故选 C.3.设平面向量，，，，则实数的值等于（）A. B. C. 0 D.【答案】A【解析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出k的值．向量，，，∴故选 A.4.已知，则下列不等关系中正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】利用指函数的单调性得出结论．A. ，显然不成立；B. 错误，因为函数在上为增函数，由，可得；同理 C. ，因为函数在上为增函数，由，可得；D. ，正确，因为函数在上为减函数，由，可得；故选 D.5.“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】观察两条件的互推性即可求解．由“”可得到“”，但“”不一定得到“”，。

【精品高三数学试卷】2019-2020北京高三(上)期中+答案

2019-2020学年北京高三（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A ={x|x 2−2x ＞0}，B ={x|−√5＜x ＜√5}，则（） A ．A ∪B ＝RB ．A ∩B ＝∅C ．B ⊆AD ．A ⊆B2．（5分）化简AB →+BC →−AD →等于（） A ．CD →B ．DC →C ．AD →D ．CB →3．（5分）函数f （x ）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f （x ）＝（） A ．e x +1B ．e x ﹣1C ．e﹣x +1D ．e﹣x ﹣14．（5分）“向量a →与向量b →共线”是“存在λ∈R ，使得a →=λb →”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．（5分）函数f （x ）＝（x −1x）cos x （﹣π≤x ≤π且x ≠0）的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．6．（5分）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m ﹣1＝﹣2，S m ＝0，S m +1＝3，则m ＝（） A ．3B ．4C ．5D ．67．（5分）函数y ＝f （x ）的图象如图所示，在区间[a ，b ]上可找到n （n ≥2）个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得f(x 1)x 1=f(x 2)x 2=⋯=f(x n )x n，则n 的取值范围是（）A ．{3，4}B ．{2，3，4}C ．{3，4，5}D ．{2，3}8．（5分）已知函数f （x ）=sinxx，下列四个命题正确的序号是（） ①y ＝f （x ）是偶函数；②f （x ）＜1；③当x =3π2时，y ＝f （x ）取得极小值 ④满足f （nπ6）＜f （n+16π）的正整数n 的最小值为9A ．①②③B ．①③④C ．①②D ．①②④二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）函数f （x ）＝sin (π2x −π4)，在区间[0，1]上的最小值是． 10．（5分）若等比数列{a n }，满足a 2+a 4＝20，a 4+a 6＝60，则公比q ＝．11．（5分）在平面直角坐标系中，点0（0，0），P （1，√3），将向量OP →绕点O 顺时针方向旋转弯π2后，得到向量OQ →，则点Q 的坐标是．12．（5分）已知e 1→、e 2→是夹角为60°的两个单位向量，则向量2e 1→+e 2→与向量2e 2→−3e 1→的夹角为．13．（5分）已知函数f （x ）={x 2−2x(x ≤0)e x −1(x ＞0)，若对∀x ∈R ，不等式f （x ）≥ax 成立，则a的取值范围是．14．（5分）设Q 为平面直角坐标系xOy 中的点集，从Q 中的任意一点P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，记点M 的横坐标的最大值与最小值之差为x （Q ），点N 的纵坐标的最大值与最小值之差为y （Q ）．若Q 是边长为1的正方形，给出下列三个结论： ①x （Q ）的最大值为√2②x （Q ）+y （Q ）的取值范围是[2，√2] ③x （Q ）﹣y （Q ）恒等于0．其中所有正确结论的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程成演其步骤）15．（13分）△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别是a 、b 、c ，且cos A =13．（1）求sin 2B+C 2+cos2A 的值；（2）若a =√3，求△ABC 面积的最大值．16．（13分）已知等比数列{a n }满足：a 3﹣a 2＝10，a 1a 2a 3＝125．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数m ，使得1a 1+1a 2+⋯+1a m≥1？若存在，求m 的最小值；若不存在，请说明理由．17．（13分）小波以游戏方式决定参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以原点O 为起点，再丛A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8，（如图）这8个点中任取（两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X ．若X ＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．（Ⅰ）求小波参加学校合唱团的概率；（Ⅱ）求X 的分布列和数学期望．18．（14分）在四棱锥P ﹣ABCD 中，△P AB 为正三角形，四边形ABCD 为矩形，平面P AB ⊥平面ABCD ，AB ＝2AD ，M ，N 分别为PB ，PC 中点．（Ⅰ）求证：MN ∥平面P AD ；（Ⅱ）求二面角B ﹣AM ﹣C 的大小；（Ⅲ）在BC 上是否存在点E ，使得EN ⊥平面AMN ？若存在，求BE BC的值；若不存在，请说明理由．19．（14分）已知函数f （x ）＝a （x −1x ）﹣2lnx ，其中a ≥0．（Ⅰ）若a ＝2，求曲线f （x ）在x ＝1处的切线方程；（Ⅱ）设函数g （x ）=−ax若至少存在一个x 0∈[1，e ]，使得f （x 0）＜g （x 0）成立，求实数a 的取值范围．20．（13分）将所有平面向量组成的集合记作R 2，f 是从R 2到R 2的映射，记作y →=f （x →）或（y 1，y 2）＝f （x 1，x 2），其中x 1，x 2，y 1，y 2都是实数．定义映射f 的模为：在|x |＝1的条件下|y →|的最大值记做∥f ∥．若存在非零向量x →∈R ，及实数λ使得f （x →）＝λx →，则称λ为f 的一个特征值．（Ⅰ）若f （x 1，x 2）＝（12x 1，x 2）求∥f ∥；（Ⅱ）如果f （x 1，x 2）＝（x 1+x 2，x 1﹣x 2），计算f 的特征值，并求相应的x →；（Ⅲ）试找出一个映射f ，满足以下两个条件：①有唯一特征值λ，②||f ∥＝|λ|．（不需证明）2019-2020学年北京高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【解答】解：由A 中不等式变形得：x （x ﹣2）＞0，解得：x ＜0或x ＞2，即A ＝{x |x ＜0或x ＞2}， ∵B ＝{x |−√5＜x ＜√5}，∴A ∩B ＝{x |−√5＜x ＜0或2＜x ＜√5}，A ∪B ＝R ，故选：A ．2．【解答】解：AB →+BC →−AD →=AC →−AD →=DC →．故选：B ．3．【解答】解：函数y ＝e x 的图象关于y 轴对称的图象的函数解析式为y ＝e ﹣x ，而函数f （x ）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 的图象关于y 轴对称，所以函数f （x ）的解析式为y ＝e ﹣（x +1）＝e﹣x ﹣1．即f （x ）＝e﹣x ﹣1．故选：D ．4．【解答】解：若存在λ∈R ，使得a →=λb →”，则向量a →与向量b →共线，即必要性成立，当b →为零向量时，a →为非零向量时，满足向量a →与向量b →共线”但不存在λ∈R ，使得a →=λb →”成立，即充分性不成立，故“向量a →与向量b →共线”是“存在λ∈R ，使得a →=λb →”的必要不充分条件，故选：B ．5．【解答】解：对于函数f （x ）＝（1x −x ）cos x （﹣π≤x ≤π且x ≠0），由于它的定义域关于原点对称，且满足f （﹣x ）＝（−1x +x ）cos x ＝﹣f （x ），故函数f （x ）为奇函数，故它的图象关于原点对称．故排除A 、B ．当x ＝π，f （x ）＜0，故排除C ，但是当x 趋向于0时，f （x ）＜0，故选：D ．6．【解答】解：a m ＝S m ﹣S m ﹣1＝2，a m +1＝S m +1﹣S m ＝3，所以公差d ＝a m +1﹣a m ＝1， S m =m(a 1+a m )2=0， m ﹣1＞0，m ＞1，因此m 不能为0，得a 1＝﹣2，所以a m ＝﹣2+（m ﹣1）•1＝2，解得m ＝5，另解：等差数列{a n }的前n 项和为S n ，即有数列{S n n}成等差数列，则S m−1m−1，S m m，S m+1m+1成等差数列，可得2•S m m=S m−1m−1+S m+1m+1，即有0=−2m−1+3m+1，解得m ＝5．又一解：由等差数列的求和公式可得12（m ﹣1）（a 1+a m ﹣1）＝﹣2，12m （a 1+a m ）＝0，12（m +1）（a 1+a m +1）＝3，可得a 1＝﹣a m ，﹣2a m +a m +1+a m +1=6m+1+−4m−1=0，解得m ＝5．故选：C ．7．【解答】解：令y ＝f （x ），y ＝kx ，作直线y ＝kx ，可以得出2，3，4个交点，故k =f(x)x （x ＞0）可分别有2，3，4个解．故n 的取值范围为2，3，4．故选：B ．8．【解答】解：由定义域关于原点对称，且f （﹣x ）＝f （x ），f （x ）是偶函数，①对，当x ＞0时，sin x ＜x ，所以f （x ）＜1，因为偶函数，所以当x 不等于0时，f （x ）＜1故②成立， f '（x ）=xcosx−sinx x 2，f '（3π2）不等于0，故③错，函数y ＝sin π6x ，上的横坐标为正数的整点分别为x ＝1，2，3，4，…对应的点为（1，12），（2，√32），（3，1），（4，√32），（5，12），（6，0），（7，−12），（8，−√32），（9，﹣1）…f （x ）=sinxx =sinx−0x−0，即表示点（x ，sin x ）与原点（0，0）的斜率， f （nπ6）＜f （n+16π）正整数n 的最小值，表示斜率变小时最小的n ，观察图象，红色的直线表示（10，−√32），（0，0）连线，斜率开始变大，而前面n ＝1到9，斜率由大变小，故满足条件的最小的n ＝9，④成立．故选：D ．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．【解答】解：∵x ∈[0，1]，∴π2x ∈[0，π2]，∴π2x −π4∈[−π4，π4]，∴sin (π2x −π4)∈[−√22，√22]，∴函数f （x ）＝sin (π2x −π4)在区间[0，1]上的最小值是−√22，故答案为：−√22．10．【解答】解：由a 2+a 4＝20，a 4+a 6＝60， ∴20q 2＝60，解得q =±√3．故答案为：±√3．11．【解答】解：∵平面直角坐标系中，点0（0，0），P （1，√3），则|OP |＝2．将向量OP →绕点O 顺时针方向旋转弯π2后，得到向量OQ →，设OP →=（1，√3）＝（2cos θ，2sin θ），故 cos θ=12，sin θ=√32．设点Q 的坐标为（ x ，y ），则x ＝2cos （θ+π2）＝2sin θ=√3，y ＝2sin （θ+π2）＝2cos θ＝1，故点Q 的坐标为（ √3，1），故答案为：（ √3，1）．12．【解答】解：∵已知e 1→、e 2→是夹角为60°的两个单位向量，∴e 1→•e 2→=1×1×cos60°=12．设向量2e 1→+e 2→与向量2e 2→−3e 1→的夹角为θ，θ∈[0，π]．∵（2e 1→+e 2→）•（2e 2→−3e 1→）=e 1→⋅e 2→−6e 1→2+2e 2→2=12−6+2=−72， |2e 1→+e 2→|=√(2e 1→+e 2→)2=√4+4×12+1=√7，|2e 2→−3e 1→|=√(2e 2→−3e 1→)2=√4−12×12+9=√7，故cos θ=(2e 1→+e 2→)⋅(2e 2→−3e 1→)|2e 1→+e 2→|⋅|2e 2→−3e 1→|=−727⋅7=−12，∴θ=2π3，故答案为：2π3．13．【解答】解：当x ≤0，f （x ）＝x 2﹣2x ≥ax ，得x 2﹣x （a +2）＝x [x ﹣（a +2）]≥0， x ≤a +2，即a ≥x ﹣2，a ≥﹣2，当x ＞0时，f （x ）＝e x ﹣1，f '（x ）＝e x ，f '（0）＝1，所以过（0，0）的切线为y ＝x ，f （x ）≥ax ，则a ≤1，故a ∈[﹣2，1]，故答案为：[﹣2，1]．14．【解答】解：∵正方形的边长为1， ∴正方形的对角线√2，故x （Ω）的最大值√2，故①正确；如图：当正方形的对角线在x 轴上时，此时x （Ω）=√2，y （Ω）=√2，此时x （Ω）+y （Ω）＝2√2最大，当正方形的边长有一边位于坐标轴上时，如图，此时x （Ω）＝1，y （Ω）＝1，此时x （Ω）+y （Ω）＝2为最小值．故x （Ω）+y （Ω）的取值范围是[2，2√2]，故②错误；由于x （Ω）＝y （Ω）恒成立，故x （Ω）﹣y （Ω）恒等于0，故③正确；故所有正确结论的序号是①③ 故答案为：①③．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程成演其步骤） 15．【解答】解：（1）sin 2B+C 2+cos2A ＝sin 2π−A 2+2cos 2A ﹣1＝cos 2A2+2cos 2A ﹣1=1+cosA2+2cos 2A ﹣1 =1+132+2×19−1=−19；（2）cos A =13，可得sin A =√1−19=2√23，由余弦定理可得a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝b 2+c 2−23bc ≥2bc −−23bc =43bc ，即有bc ≤34a 2=94，当且仅当b ＝c =32，取得等号．则△ABC 面积为12bc sin A ≤12×94×2√23=3√24．即有b＝c=32时，△ABC的面积取得最大值3√24．16．【解答】解：（I）设等比数列{a n}首项为a1，公比为q，则a3−a2=a1q2−a1q=10⋯⋯①，则a1a2a3=a1⋅a1q⋅a1q2=(a1q)3=125⋯⋯②，解①②得：q＝3，从而a1=5 3．∴数列{a n}的通项公式a n=a1q n−1=53×3n−1=5×3n−2．（II）假设存在正整数m，使得1a1+1a2+⋯+1a m≥1．∵a n=5×3n−2，∴1a n =15×(13)n−2，从而数列{1a n}是首项为35，公比为13的等比数列，从而得1a1+1a2+⋯+1a m=35[1−(13)m]1−13=910(1−13m)≥1，从而解得32﹣m≤﹣1，显然不成立，因此不存在这样的整数m使得使得1a1+1a2+⋯+1a m≥1成立．17．【解答】解：（Ⅰ）从8个点中任意取两点为向量的终点的不同取法共有C82=28种，X＝0时，两向量夹角为直角共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P（X＝0）=828=27；（Ⅱ）两向量数量积X的所有可能取值为﹣2，﹣1，0，1．X＝﹣2时有两种情形，X＝1时有8种情形，X＝﹣1时有10种情形，X＝0时有8种情形，所以X的分布列为X﹣2﹣101P 1145142727∴E（X）＝（﹣2）×114+（﹣1）×514+0×27+1×27=−314．18．【解答】（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）∵M，N分别是PB，PC中点∴MN是△ABC的中位线∴MN ∥BC ∥AD又∵AD ⊂平面P AD ，MN ⊄平面P AD所以MN ∥平面P AD ．…．（4分）解：（Ⅱ）过点P 作PO 垂直于AB ，交AB 于点O ，因为平面P AB ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ，如图建立空间直角坐标系，设AB ＝2，则A （﹣1，0，0），C （1，1，0），M （12，0，√32）， B （1，0，0），N （12，12，√32），则AC →=(2，1，0)，AM →=(32，0，√32)设平面CAM 法向量为n 1→=(x 1，y 1，z 1)，由{n 1→⋅AC →=0n 1→⋅AM →=0，得{2x 1+y 1=032x 1+√32z 1=0，令x 1＝1，则y 1=−2，z 1=−√3，即n 1→=(1，−2，−√3)平面ABM 法向量n 2→=(0，1，0)所以，二面角B ﹣AM ﹣C 的余弦值|cosθ|=n 1→⋅n 2→|n 1→||n 2→|=√22 因为二面角B ﹣AM ﹣C 是锐二面角，所以二面角B ﹣AM ﹣C 等于45°…．（10分）（Ⅲ）存在点E ，使得EN ⊥平面AMN …．（11分）设E （1，λ，0），则EN →=(−12，12−λ，√32)，由{EN →⋅AM →=0EN →⋅MN →=0可得λ=12，所以在BC 存在点E ，使得EN ⊥平面AMN ，此时BE BC =12．…．（14分）19．【解答】解：（Ⅰ）当a＝2时，f(x)=2(x−1x−lnx)，f(1)=0，f′(x)=2(1+1x2−1x)，∴f′（1）＝2，即切线斜率为2，故由点斜式方程可得切线方程为y＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣2＝0；（Ⅱ）原问题等价于至少存在一个x∈[1，e]，使得f（x）﹣g（x）＜0成立，令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝ax﹣2lnx，x∈[1，e]，则ℎ′(x)=a−2x=ax−2x，①当a＝0时，ℎ′(x)=−2x＜0，则函数h（x）在[1，e]上单调递减，故h（x）min＝h （e）＝﹣2＜0，符合题意；②当a＞0时，令h′（x）＜0，解得0＜x＜2a，则函数h（x）在(0，2a)上单调递减，令h′（x）＞0，解得x＞2a，则函数h（x）在(2a，+∞)单调递增，（i）当2a≤1，即a≥2时，h（x）min＝h（1）＝a＜0，此时无解；（ii）当1＜2a＜e，即2e＜a＜2时，ℎ(x)min=ℎ(2a)=2−2ln2a＜0，解得0＜a＜2e，此时无解；（iii）当2a≥e，即0＜a≤2e时，h（x）min＝h（e）＝ae﹣2＜0，解得0＜a＜2e，此时0＜a＜2 e．综上，实数a的取值范围为[0，2e )．20．【解答】解：（Ⅰ）由于此时y12+y22=14x12+x22，又因为是在x12+x22=1的条件下y12+y22=14x12+x22═14+34x22≤1（x2＝±1时取最大值），所以此时有||f ||＝1；（Ⅱ）由f （x 1，x 2）＝（x 1+x 2，x 1﹣x 2）＝λ（x 1，x 2），可得{x 1+x 2=λx 1x 1−x 2=λx 2：，解此方程组可得：（λ﹣1）（λ+1）＝1，从而λ＝±√2．当λ=√2时，解方程组{x 1+x 2=√2x 1x 1−x 2=√2x 2，此时这两个方程是同一个方程，所以此时方程有无穷多个解，为x →=m(√2+1，1)，其中m ∈R 且m ≠0．当λ=−√2时，同理可得相应的x →=m(1−√2，1)，其中m ∈R 且m ≠0．（Ⅲ）由方程组{a 1x 1+a 2x 2=λx 1b 1x 1+b 2x 2=λx 2，可得x 1（a 1﹣λ，b 1）+x 2（a 2，﹣b 1﹣λ）＝0 从而向量（a 1﹣λ，b 1）与（a 2，﹣b 1﹣λ）平行，从而有a 1，a 2，b 1，b 2应满足：(a 1−b 1)2+4a 2b 1=0；当f （λ→ ）＝λx → 时，f 有唯一的特征值，且||f ||＝|λ|，故f(λ→)=λx →．。

北京汇文中学届高三上学期期中考试数学理试题

北京汇文中学 2015-2016 学年度第一学期期中考试高三（理科）数学一、选择题：（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）1. 复数i (3 + 4i ) 的虚部为（）（A ）3（B ） 3i （C ）4（D ） 4i2 已知命题 p : ∀x ∈ R , x ≥ 2 ,那么下列结论正确的是（）A ．命题 ⌝p : ∀x ∈ R ，x ≤ 2B ．命题 ⌝p : ∃x ∈ R ，x < 2C ．命题 ⌝p : ∀x ∈ R ，x ≤ -2D ．命题 ⌝p : ∃x ∈ R ，x < -23．下列函数中，对于任意 x ∈ R ，同时满足条件 f (x ) = f (-x ) 和 f (x - π) = （）f (x ) 的函数（A ） f (x ) = sin x（C ） f (x ) = cos x（B ） f (x ) = sin x cos x（D ） f (x ) = cos 2x - sin 2x4．执行如图所示的程序框图，如果输入 a = 2, b = 2，那么输出的 a 值为（）（A ） 4 （B ）16 （C ） 256（D ） log 3 165.满足 a , b ∈{-1, 0,1, 2} ,且关于 x 的方程ax 2 + 2x + b = 0 有实数解的有序数对 (a , b ) 的个数为（）A ．14B ．13C ．12D ．102 32115俯⎨ 6 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）（A ） 2（C ） 44（B ）3（D ） 5正(主)视图侧(左)视图视图7．已知 a , b ∈ R ．下列四个条件中，使 a > b 成立的必要而不充分的条件是（）（A ） a > b -1（C ）| a | >| b |8.点 P (x , y ) 是曲线 C : y =（B ） a > b +1（D ） 2a> 2b1(x > 0) 上的一个动点，曲线 C 在点 P 处的切线与 x 轴、 y 轴分别交于 xA ,B 两点，点 O 是坐标原点. 给出三个命题：① PA = PB ；② ∆OAB 的周长有最小值 4 + 2 ；③曲线 C 上存在两点 M , N ，使得 ∆OMN 为等腰直角三角形．其中真命题的个数是（）（A ）１（B ）２（C ）３（D ）０二.填空题：（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）9. 若向量a ,b 满足 | a |=| b |=| a + b |= 1 ,则 a ⋅ b 的值为 .a = 3,b = 2, A = π10．在△ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别是 a , b , c .6 ，则tan B = .11.若数列{a n }的前 n 项和 S n = n -10n (n = 1，2，3， ) ，则此数列的通项公式为 .12. 已知为锐角， cos =5 ，则 tan( π+) = 5 4⎧ x ≥ 1,⎪x + y - 4 ≤ 0,⎪kx - y ≤ 0 13. 不等式组表示面积为 1 的直角三角形区域，则的值为.⎩ k14．设某商品的需求函数为 Q = 100 -EQQ '5P ，其中 Q , P 分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性 EQEP大于 1（其中 = - EP QP ， Q ' 是 Q 的导数），则商品价格 P 的取值范围是 .2 2北京汇文中学2015-2016 学年度第一学期期中考试答题纸高三（理科）数学班级姓名学号成绩一、选择题：题号１２３４５６７８选项二、填空题：9. 10. 11.12. 13. 14.三、解答题,共6 小题，共80 分.解答要写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．已知∆ABC 的三个内角分别为A,B,C,且2sin2 (B + C) = （Ⅰ）求A 的度数；（Ⅱ）若BC = 7, AC = 5, 求∆ABC 的面积S.sin 2 A. 316. 如图，PA ⊥ 平面ABC ，AB ⊥ BC ，AB = PA = 2BC = 2 ，M 为PB 的中点．（Ⅰ）求证：AM ⊥ 平面PBC ；（Ⅱ）求二面角A - PC - B 的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段PC 上存在点D ，使得BD ⊥ AC ，并求PD的值．PCCBP17.设函数f (x) = (x + 1)2 - 2k ln x ．（Ⅰ）k=2 时，求函数f(x)的增区间；（Ⅱ）当k<0 时，求函数g(x)= f '(x) 在区间（0，2]上的最小值．* 18.设数列{a n}的前n 项和为S n，且2a n=S n+2n+1(n∈N).（Ⅰ）求a1 ，a2 ，a3 ；（Ⅱ）求证：数列{a n+2}是等比数列；（Ⅲ）求数列{n ⋅ a n }的前n 项和T n .19．已知函数f (x) = ln x - a，其中a ∈ R ．x（Ⅰ）当a = 2 时，求函数f (x) 的图象在点(1, f (1)) 处的切线方程；（Ⅱ）如果对于任意x ∈ (1, +∞) ，都有f (x) > -x + 2 ，求a 的取值范围．20. 设满足以下两个条件的有穷数列a1 , a2 ,⋅⋅⋅, a n 为n（n =2, 3, 4, … ,）阶“期待数列”：① a1 + a2 + a3 + + a n = 0 ；②a1+a2+a3+ + a n= 1.（1）分别写出一个单调递增的3 阶和4 阶“期待数列”；（2）若某2015 阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（3）记n 阶“期待数列”的前k 项和为S k (k = 1, 2, 3, , n) ，试证：S k≤ 1 .22题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ABDCBCAC-1 9.2 ；10. ； 11. 2n-11；41213.114 (10, 20)15．解: （Ⅰ） 2sin 2(B + C ) =sin 2 A .∴ 2 s in 2 A = 2 sin A c os A ,……………………….2 分sin A ≠ 0,∴sin A = cos A ,∴tan A = ,……………………….4 分0 < A < ,∴ A = 60 °.…………………….6 分（Ⅱ）在 ∆ABC 中, BC 2= AB 2+ AC 2- 2 A B ⨯ AC ⨯ cos 60, BC = 7, AC = 5,∴ 49 = AB 2 + 25 - 5AB , ∴ AB 2 - 5AB - 24 = 0,∴ AB = 8 或 AB = -3 (舍),………….10 分∴ S= 1 AB ⨯ AC ⨯ sin 60 = 1 ⨯ 5 ⨯ 8 ⨯ 3= 10 . …………………….13 分∆ABC2 2 216. 解：（Ⅰ）因为 PA ⊥ 平面 ABC ， BC ⊂ 平面 ABC ，所以 PA ⊥ BC ．因为 BC ⊥ AB ， PA AB = A ，所以 BC ⊥ 平面 PAB ．又 AM ⊂ 平面 PAB ，所以 AM ⊥ BC ．因为 PA = AB ， M 为 PB 的中点，所以 AM ⊥ PB ．又 PB BC = B ，所以 AM ⊥ 平面 PBC ．……………………………5 分3 3 3 3 3xyz ．zCDAByMP （Ⅱ）如图，在平面 ABC 内，作 AZ ∥ BC ，则 AP , AB , AZ 两两互相垂直，建立空间直角坐标系 A -x则 A (0, 0, 0), P (2, 0, 0), B (0, 2, 0), C (0, 2,1) ， M (1,1, 0) ．AP = (2, 0, 0) ， AC = (0, 2,1) ， AM = (1,1, 0) ．设平面 APC 的法向量为 n = (x , y , z ) ，则⎧⎪n ⋅ AP = 0, ⎧x = 0,⎨ 即 ⎨⎪⎩n ⋅ AC = 0, ⎩2 y + z = 0.令 y = 1，则 z= -2 ．所以 n = (0,1, -2) ．由（Ⅰ）可知 AM = (1,1, 0) 为平面 BPC 的法向量，设 n , AM 的夹角为，则 c os =因为二面角 A - PC - B 为锐角，所以二面角 A - PC - B 的余弦值为10 ．1010 ．…………………………10 分10（Ⅲ）设 D (u , v , w ) 是线段 PC 上一点，且 PD = PC (0≤ ≤ 1) ．即 (u - 2, v , w ) = (-2, 2,1) ．所以 u = 2 - 2, v = 2, w = ．所以 BD = (2 - 2, 2- 2,) ．由 BD ⋅ AC = 0 ，得= 4． 5因为 4∈[0,1] ，所以在线段 PC 上存在点 D ，使得 BD ⊥ AC ．5-k -k -k -k nPD 此时，PC= =4 ． ………………………………14 分517. 解：（1）k =2， f (x ) = (x + 1)2 - 4 l n x ．则 f '(x ) = 2x + 2 - 4．x= 2(x -1)(x + 2) ＞0，（此处用“≥”同样给分） x注意到 x ＞0，故 x ＞1，于是函数的增区间为 (1, +∞) ．（写为 [1, +∞) 同样给分）6 分（2）当 k ＜0 时，g (x )= f '(x ) = 2x + 2 -2k ．g (x )= 2(x +-k) + 2 ≥ 4 + 2 9 分 xx当且仅当 x = 时，上述“≥”中取“=”．①若 ∈ (0, 2]，即当 k ∈[-4, 0) 时，函数 g (x )在区间 (0, 2] 上的最小值为 4 + 2 ；…②若 k ＜-4，则 g '(x ) = 2(1 +k) 在 (0, 2] 上为负恒成立，x 2故 g (x )在区间 (0, 2] 上为减函数，于是 g (x )在区间 (0, 2] 上的最小值为 g (2)=6-k ． ………………………13 分综上所述，当 k ∈[-4, 0) 时，函数 g (x )在区间 (0, 2] 上的最小值为 4 + 2 ；当 k ＜-4 时，函数 g (x )在区间 (0, 2] 上的最小值为 6-k ． ………………………15 分18.（Ⅲ）由(Ⅱ) 得： a n + 2 = 5⨯ 2n -1 ，即 a = 5⨯ 2n -1- 2 (n ∈ N * ) . -knn -1*则 na n = 5n ⋅ 2 - 2n (n ∈ N ) .……………8 分设数列{5n ⋅ 2n -1} 的前 n 项和为 P ,12n -2n -1则 P n = 5⨯1⨯ 2 + 5⨯ 2 ⨯ 2 + 5⨯ 3⨯ 2 +... + 5⨯(n -1) ⋅ 2+ 5⨯ n ⋅ 2 ，123n -1n所以 2P n = 5⨯1⨯ 2 + 5⨯ 2 ⨯ 2 + 5⨯ 3⨯ 2 +... + 5(n -1) ⋅ 2 + 5n ⋅ 2 ，12n -1n所以 -P n = 5(1+ 2 + 2 +... + 2 ) - 5n ⋅ 2 ，即 P n = (5n - 5) ⋅ 2n + 5 (n ∈ N * ) .……………11 分nn (n +1)所以数列{n ⋅ a n }的前 n 项和 T n = (5n - 5) ⋅ 2 + 5 - 2 ⨯ ， 2n 2 *整理得， T n = (5n - 5) ⋅ 2 - n - n + 5 (n ∈ N ) .……………13 分19．（Ⅰ）解：由 f (x ) = ln x - 2 12 ，得 f '(x ) = + x x x 2，……………… 2 分所以 f '(1) = 3 ，又因为 f (1) = -2 ，所以函数 f (x ) 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 3x - y - 5 = 0 .……………… 4 分（Ⅱ）解：由f (x ) > -x + 2 ，得 ln x - a > -x + 2 ， x即 a < x ln x + x 2 - 2x .……………… 6 分设函数g (x ) = x ln x + x 2 - 2x ，则 g '(x ) = ln x + 2x - 1 ， ……………… 8 分因为 x ∈ (1, +∞) ，所以 ln x > 0 ， 2x -1 > 0 ，所以当 x ∈ (1, +∞) 时， g '(x ) = ln x + 2x - 1 > 0 ， ……………… 10 分故函数 g (x ) 在 x ∈ (1, +∞) 上单调递增，所以当 x ∈ (1, +∞) 时， g (x ) > g (1) = -1.……………… 11 分因为对于任意 x ∈ (1, +∞) ，都有 f (x ) > -x + 2 成立，所以对于任意 x ∈ (1, +∞) ，都有a < g (x ) 成立.所以 a ≤-1.……………… 13 分- 1 , 0, 120. 解：（Ⅰ）数列- 3 , - 1 , 1 , 3为三阶期待数列 …………………………………………1 分22数列88 8 8为四阶期待数列, ………………………………………2 分（Ⅱ）设该 2013 阶“期待数列”的公差为 d ，2013(a + a) 因为a 1 + a 2 + a 3 + + a 2013 = 0 ，∴12013= 0,2∴ a 1 + a 2013 = 0 ，即a 1007 ∴ a 1008 = d ,= 0 ， …………………………………………3 分当 d=0 时,与期待数列的条件①②矛盾，a+ a+ + a= 1, 当 d>0 时，据期待数列的条件①②可得 1008100920132∴ 1006d + 1006 ⨯1005 d = 1 ,即d = 1,2 2 1006 ⨯1007 ∴ a n = a 1007 + (n -1007)d =n -1007. 1006 ⨯1007(n ∈ N *且n ≤ 2013) ，当 d<0 时，同理可得a n = -n +10071006 ⨯1007. (n ∈ N *且n ≤ 2013) .…………………………………8 分【注】只写一种的扣一分; n 的范围未写的扣一分S = 0 ≤ 1（Ⅲ）当 k=n 时，显然n成立； …………………………………………………………10 分2当 k<n 时，根据条件①得S k = a 1 + a 2 + + a k = -(a k +1 + a k +2 + ⋅⋅⋅ + a n ) ，即 S k = a 1 + a 2 + + a k = a k +1 + a k +2 + + a n ，∴ 2 S k = a 1 + a 2 + + a k + a k +1 + a k +2 + + a n ≤ a 1 + a 2 + + a k + a k +1 + a k +2 + + a n = 1,S ≤ 1(k = 1, 2, 3, , n).k2………………………………………………………………………14分。

2019届北京高三上学期期中数学(文)试卷含解析

2019届北京高三上学期期中数学试卷数学（文）第I卷（选择题, 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑。

1.已知集合，若，则的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据2∈A即可得出2﹣a≤0，从而可解出a的取值范围．【详解】∵2∈A；∴2﹣a≤0；∴a≥2；∴a的取值范围为[2，+∞）．故选：C．【点睛】考查描述法表示集合的定义，元素与集合的关系．2.下列函数中，是奇函数且在上存在最小值的是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与（0，+∞）的最值情况，综合即可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）=x2﹣x，f（﹣x）=（﹣x）2﹣（﹣x）=x2+x≠﹣f（x），不是奇函数，不符合题意；对于B，f（x）=|lnx|，f（﹣x）=ln|﹣x|=lnx=f（x），为偶函数，不是奇函数，不符合题意；对于C，f（x）=x3，为幂函数，是奇函数，但在（0，+∞）上不存在最小值对于D，f（x）=sinx，为正弦函数，是奇函数，在（0，+∞）上存在最小值﹣1；故选：D．【点睛】本题考查函数的奇偶性以及最值的判断，关键是掌握常见函数的性质，属于基础题．3.函数满足，则的值是A. 0B.C.D. 1【答案】A【解析】【分析】由已知求得φ，进一步得到的值．【详解】由f（x）=sin（x+φ）满足，得sin（φ）=1，即φ=，k∈Z．则φ=，k∈Z．∴f（x）=sin（x+φ）=sin（x+）=sin（x+）．∴=sinπ=0．故选：A．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查由已知三角函数值求角，是基础题．4.已知向量，，则向量，夹角的大小为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意利用两个向量的夹角公式，求得向量，夹角的大小．【详解】设向量，夹角的大小为θ，θ∈[0，π]，∵向量=（1，2），=（3，1），∴cosθ===，所以故选：B．【点睛】本题主要考查两个向量的夹角公式的应用，属于基础题．5.已知函数，，的图像都经过点，则的值为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】函数f（x）=log a x，g（x）=b x，的图象都经过点，可得=2，=2，解得a，b 即可得出．【详解】函数f（x）=log a x，g（x）=b x，的图象都经过点，∴=2，=2，解得a=，b=16．则ab=8．故选：D．【点睛】本题考查了函数的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.在中，“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，，所以，成立；当时，如取时，成立，此时，所以不成立；综上知“”是“”的”的充分不必要条件，选A.7.数列的通项公式为，若数列单调递增，则的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】数列{a n}单调递增⇔a n+1＞a n，可得：n+1+＞n+，化简解出即可得出．【详解】数列{a n}单调递增⇔a n+1＞a n，可得：n+1+＞n+，化为：a＜n2+n．∴a＜2．故选：C．【点睛】本题考查了等比数列的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.已知向量满足，且，则、、中最小的值是A. B. C. D. 不能确定的【答案】A【解析】【分析】可在的两边分别乘可得出，，，再根据即可得到，，这样整理即可得出．【详解】∵；∴，，；∴，，；∵；∴，；∴；∴．故选：A．【点睛】考查数量积的定义及运算，不等式的性质．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2022-2023学年北京市汇文中学高三上学期期中考试数学试卷(带讲解)

【详解】由全称命题的否定是特称命题知：，，
是，，
故选：C.
5.下列函数中，是奇函数且在其定义域上为增函数的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据给定条件逐一分析各选项即可判断作答.
【详解】对于A，函数是奇函数，但在其定义域上不单调，A不正确；
对于B，函数定义域是R，是奇函数，当时，在上单调递增，当时，在上也单调递增，
【详解】．若，当时，，所以选项不成立；
．若，当时，则，所以选项不成立；
．因为，将两边同除以，则，所以选项成立；
．如果满足，但是，所以选项不成立．
故选：．
8.已知等比数列中，，且，那么的值是（）.
A.15B.31C.63D.64
【答案】B
【分析】设等比数列公比为，根据已知求出的值即得解.
【答案】
【分析】根求出和，由即可求解.
【详解】因为是数列的前项和.若，
可得，，
所以，
故答案为： .
14.已知，则的最小值是________.
【答案】5
【分析】将变形为，利用基本不等式即可求得答案.
【详解】∵ ，∴ ，
∴ ，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值是5,
A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项
C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项
【答案】B
【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.
【详解】由题意可知，等差数列的公差，
则其通项公式为：，
注意到，

2019年高三上学期期中联考数学(文)试题含答案

2019年高三上学期期中联考数学（文）试题含答案命题校：北京市六十五中学 xx11月本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

）1. 设,}1x=xBxA, 则= （）x>{|},{>|=A. B. C. D.2. 已知，则下列不等式正确的是（）A. B. C. D.3. 下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（）A . B. C. D.4. 已知，则等于（）A. B. C. D.5. 若,则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 若x c x b a x 3223log ,,)32(===，当时，的大小关系为（） A. B. C. D.7. 已知正方形的边长为,为的中点,则（）A. B. C. D. 8. 已知函数，满足，且在上的导数满足，则不等式的解为（） A. B. C. D.第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分。

）9．若曲线在原点处的切线方程是，则实数。

10．若向量a ＝，，b ＝(－，)，则 a·bab ＝。

11．设是周期为2的奇函数，当时，，则。

12．已知是公比为的等比数列，若，则；______________。

13．函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<=1,log 1,)21()(2x x x f xx的值域为______________。

14. 关于函数，给出下列四个命题：①，时，只有一个实数根；②时，是奇函数；③的图象关于点，对称；④函数至多有两个零点。

其中正确的命题序号为______________。

三、解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

北京市海淀区2019届高三上学期期中练习数学(文)试题PDF版含答案

海淀区高三年级第一学期期中练习数学（文科）2018.11本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合|0Ax x a，若2A ，则a 的取值范围为A.(,4] B.(,2] C. [2,) D.[4,)2. 下列函数中，是奇函数且在(0,)上存在最小值的是A. 2()f x xx B.()ln f x xＣ. 3()f x xD.()sin f x x3. 函数()sin()f x x满足()13f ，则5()6f 的值是A. 0B.12C.32D. 14. 已知向量(1,2)a ，(3,1)b，则向量a ，b 夹角的大小为A.6 B.4C.2D.235.已知函数()log a f x x ，()xg x b ，的图像都经过点1(,2)4，则ab 的值为A. 1B. 2C. 4D. 86.在ABC 中，“2C”是“sin cos A B ”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 数列n a 的通项公式为na a nn，若数列n a 单调递增，则a 的取值范围为A.(,0]B.[0,)C.(,2) D.[1,)8.已知向量a,b,c 满足a +b +c =0，且222a bc ，则a b 、b c 、c a 中最小的值是A. a bB. b cC. c aD. 不能确定的二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9. 角的终边经过点(4,3)P ，则nta 。

10. 等差数列n a 中，1=5a ，25=0a a ，则n a 中为整数的项的个数为。

11.已知AB ，AC 是不共线的两个向量，BE12ACAB ，则AE AC。

12. 函数()sin22x f x 在区间[0,]上的最大值为。

2019-2020学年北京市海淀区高三(上)期中数学试卷 (含答案解析)

2019-2020学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 设集合A ={x|−5≤x <1}，B ={x|x ≤2}，则A ∪B =( )A. {x|x ≤2}B. {x|−5≤x <1}C. {x|−5≤x ≤2}D. {x|x <1}2. 下列函数中，在(−∞,0)上单调递减的是( )A. y =xx+1 B. y =1−xC. y =x 2+xD. y =1−x 23. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 10=15，且S 2=S 7，则a 8=( )A. 6B. 7C. 8D. 9 4. 不等式x 2−2x −3<0成立的一个充分不必要条件是 ( )A. (−1,3)B. (−2,0)C. (−12,32)D. (−1,4)5. 设角α的终边与单位圆相交于点P(−35,45)，则sinα−cosα的值是( )A. −75B. −15C. 15 D. 756. 在梯形ABCD 中，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ的值为( )A. 1B. 2C. 52D. 37. 已知函数f(x)={x 2−x +3,x ⩽1x +2x ,x >1，设a ∈R ，若关于x 的方程f(x)=a|x −1|有且仅有一个实数解，则a 的取值范围是( )A. (1,3)B. (2√6−4,3)C. (1,2√3−1)D. (2√6−4,2√3−1)8. 设集合A ={a, b}，集合，若A ∩B ={0}，则A ∪B 等于( )A. {−1,0,3}B. {−2,0,3}C. {0,3,4}D. {1,0,3}二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. 若向量a ⃗ =(1,k)，b ⃗ =(−2,6)，且a ⃗ //b ⃗ ，则实数k = ______ ． 10. 已知函数f(x)={x(x +4),x <0,x(x −4),x ≥0,则该函数的零点的个数为________．11. 若数列{a n }的前n 项和为S n =log 3(n +1)，则a 5=_________．12. 已知两个单位向量a ⃗ 和b ⃗ 的夹角为120°，则a ⃗ +b ⃗ 在b ⃗ 方向上的投影为___________．13.若函数f(x)=x+a2x , g(x)=x−lnx，对任意x1∈[1e,1]，存在x2∈[1e,1],使得g(x1)≤f(x2)成立，则实数a的取值范围是________．14.已知ω>0，函数f(x)=cos(ωx−π3)过点(π2,0)，则ω的最小值为________．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知等比数列{a n}的各项均为正数，且6a2，1，4a1成等差数列，3a6，a3，3a2成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)已知b n=log31a n，记c n=a n⋅b n，求数列{c n}的前n项和S n．16.已知函数f(x)=cos4x−2sinxcosx−sin4x.(1)求f(x)的最小正周期。

北京朝阳区2019届高三数学上学期期中试卷文科附解析范文整理

北京朝阳区2019届高三数学上学期期中试卷（文科附解析）北京市朝阳区2019届高三上学期期中考试数学文试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.已知集合，，则A.B.c.D.【答案】B【解析】【分析】先把集合A解出来，然后求A∪B即可．【详解】因为集合合，所以，故选：B．【点睛】本题主要考查集合的交集，属于基础题．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是A.B.c.D.【答案】D【解析】根据偶函数的定义以及零点的定义判断．【详解】选项A,是非奇非偶函数,且没有零点,选项B,没有零点,选项c,是奇函数,选项D,是偶函数，又有解，既是偶函数又存在零点．故选D【点睛】本题考查偶函数和零点的概念．设平面向量，，，，则实数的值等于A.B.c.0D.【答案】A【解析】【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出的值．【详解】向量，，，∴=故选A.【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理的应用问题，是基础题．执行如图所示的程序框图，输出的值为A.-10B.-2c.2D.10c【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【详解】模拟程序的运行过程，次运行：，第二次运行：第三次运行：第四次运行：此时，推出循环，输出输出.故选c.【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．设、为非零向量，则“”是“”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条c.充分必要条件D.既不充分也不必要条【答案】A【解析】【分析】根据向量共线的含义及向量共线的条件,结合充要条件的概念即可得出结论.【详解】由能够推出，但由不能推出，所以选A.【点睛】本题考查向量共线的含义,向量共线的条件以及充要条件的概念.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，有以下四个命题：①若，，则②若，，则③若，，则④若，，则其中真命题的序号为A.①③B.②③c.①④D.②④【答案】D【解析】【分析】构造正方体模型,观察正方体中的线面关系可以得出结论.【详解】对于①,观察正方体,知与可以平行,可以在内,①不符合;对于②,与内任意一条直线都垂直,又,与内任意一条直线都垂直,,②成立;对于③,观察正方体,知与可以平行,可以在内,③不符合;对于④,观察正方体,知④成立,这也可以作为两个平面平行的判定.D.因此选【点睛】构造正方体模型,观察正方体中的线面关系,抽象的推理再结合直观的判断,常有四两拨千斤的效果.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于A.B.2c.D.6【答案】A【解析】【分析】观察三视图,可知三棱锥的形状如图所示．【详解】观察三视图,可知三棱锥的直观图如图所示，．【点睛】由三视图推出三棱锥的形状，画出三棱锥的直观图是解题的关键．已知定义域为的奇函数的周期为2，且时，.若函数在区间上至少有5个零点，则的最小值为A.2B.3c.4D.6【答案】A【解析】【分析】在同一坐标系中作出函数和的图像,观察图像分析即可.注意点,,也是函数图像上的点.【详解】因为是奇函数,所以又因为函数的周期为2,所以在同一坐标系中作出函数和的图像,观察图像可知和的图像在[-3,2]上有五个交点,从而函数在区间上有5个零点.【点睛】数形结合是很重要的数学方法,本题在同一坐标系中作出函数和的图像,借助函数图像求解,直观高效.第Ⅱ卷二、填空题已知，，则_________，__________．【答案】..--【解析】【分析】利用同角三角函数基本关系式和诱导公式可解.【详解】由题，，则即答案为..【点睛】本题考查同角三角函数基本关系式和诱导公式，属基础题.0.已知等差数列的公差，且满足，则___________．【答案】2【解析】【分析】利用等差数列的通项公式为即得.【详解】,以【点睛】本题考查等差数列基本量的计算.．__________已知，满足则的最大值为1.【答案】【解析】【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABc及其内部，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，可得当x=3，y=1时，z=x+2y取得最大值为5．【详解】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABc及其内部，其中A，B，c设z=x+2y，将直线l：z=x+2y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值∴z最大值=3故答案为：3【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+2y 的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．如图，甲、乙、丙三人在同一个圆形跑道上运动，计时开始时，甲、乙、丙分别从、、三点出发，三个人的前进方向相同，甲在乙后面圈，乙在丙后面圈，甲以圈/分钟的速度慢跑，乙以圈/分钟的速度快走，丙以圈/分钟的速度慢走.那么经过__________分钟，甲和乙两人次相遇；30分钟之内，甲、乙、丙三人_________同时相遇．【答案】.4.不能【解析】【分析】在环形相遇问题中,甲乙两人相距x圈,甲的速度快于乙的速度,两人同时同向出发,第n次相遇,则甲比乙多跑圈.⑴甲和乙两人次相遇,甲比乙多跑圈,设经过t分钟,甲和乙两人次相遇,可列方程;⑵,设经过t分钟,甲、乙、丙同时相遇,则方程组有解.【详解】⑴甲和乙两人次相遇,甲比乙多跑圈,设经过t分钟,甲和乙两人次相遇,可列方程,解得:;⑵设经过t分钟,甲、乙、丙同时相遇,则方程组有解,即有解,易知,三个方程不可能同时成立,从而甲、乙、丙三人不能同时相遇.【点睛】本题属于相遇问题中的追及问题,对学生的逻辑推理思维有一定的要求.3.海水受日月的引力，在一定的时候发生的涨落现象叫潮.港口的水深会随潮的变化而变化.某港口水的深度是时刻的函数，记作.下面是该港口某日水深的数据：03691215182124011.07.95.08.011.08.05.08.0经长期观察，曲线可近似地看成函数的图象，根据以上数据，函数的近似表达式为__________．【答案】【解析】【分析】设出函数解析式，据最大值与最小值的差的一半为A；最大值与最小值和的一半为h；通过周期求出ω，得到函数解析式．【详解】根据已知数据数据可以得出A=3，b=8，T=12，φ=0，由，得ω=，所以函数的近似表达式即答案为【点睛】本题考查通过待定系数法求函数解析式、属基础题.已知函数.若，则关于的方程的根的个数为__________．若，且，则的取值范围是__________．【答案】.1.【解析】【分析】在同一坐标系中作出函数和函数y=的图像,观察图像分析即可;不妨设,则有,利用均值不等式求解.【详解】在同一坐标系中作出函数和函数y=的图像,观察图像,可知直线y=与函数的图像有且只有一个交点,因此关于的方程的根的个数为1,不妨设,由得,,又【点睛】在同一坐标系中作出函数和函数y=的图像,利用数形结合是解题的关键.三、解答题已知函数.求的最小正周期和最大值；求的单调递增区间.【答案】最小正周期为，最大值1；，.【解析】【分析】先”降次”,再利用辅助角公式将化成的形式,求最小正周期和最大值;利用正弦函数的单调性解不等式求单调增区间.【详解】.所以，的最小正周期为.令，，可得，，所以，当，时，取最大值1.由，可得：所以的单调递增区间为，.【点睛】逆用倍角公式及辅助角公式将化成的形式,是解题的关键,在三角函数问题中,求最小正周期、值域和单调. 一定要重视,是常见的题型,区间．设是各项均为正数的等比数列，且，.求的通项公式；若，求.【答案】，.【解析】【分析】设为首项为，公比为，则依题意，解得，，即可得到的通项公式；因为，利用分组求和法即可得到.【详解】设为首项为，公比为，则依题意，解得，，所以的通项公式为，.因为，所以【点睛】本题考查等比数列的基本量计算，以及分组求和法属基础题.我国古代数学中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，侧棱底面，是的中点，连接，，.求证：为直角三角形；求证：平面；若，求多面体的体积.【答案】见解析；见解析；.【解析】【分析】由直线与平面垂直的判定定理容易证明平面,再由直线与平面垂直的性质定理,可知,从而为直角三角形;连接，设，连接,则,由直线与平面平行的判定定理,可知平面;,利用锥体的体积公式来解决.【详解】证明：因为四边形为矩形，所以.又因为平面，所以.所以平面，所以.所以为直角三角形.证明：连接，设，连接.因为四边形为矩形，所以为中点，又因为为中点，所以.因为平面，平面，所以平面.解：过点作于.因为平面，所以平面平面.因为平面平面，且平面，所以平面，即为三棱锥的高，且.因为为中点，所以..又因为，所以于是【点睛】直线和直线垂直,直线与平面垂直,直线与平面平行,是空间线面关系中最重要的几种关系,熟练掌握直线和直线垂直,直线与平面垂直,直线与平面平行的判定和性质是解决立体几何问题的关键.求多面体的体积常见的有割补法,等体积法,再利用锥体的体积公式来解决.在中，角，，的对边分别为，，，，，.求；求点到边的距离.【答案】；.【解析】【分析】由,及,联立解得的值,再利用正弦定理求的值;由求出的值,代入得点到的距离.【详解】因为，即，又，为钝角，所以.由，即，解得.在中，由知为钝角，所以.点到的距离为.【点睛】有关解三角形问题,正弦、余弦定理是基础,灵活运用正弦、余弦定理把边、角之间的关系相互转化,是解题的关键.已知函数.若，求曲线在点处的切线方程；若在上无极值点，求的值；当时，讨论函数的零点个数，并说明理由.【答案】；时函数在上无零点；当时，函数在上有一个零点；当时，函数在上有两个零点.【解析】【分析】由导数的几何意义,切线的斜率,先求，，,利用直线方程的点斜式求解.因为,所以若在上无极值点,则，即，，解得.讨论当时,在上的符号,函数的单调性、极值情况,从而分析函数的图像与x轴的交点个数,得出函数的零点个数.【详解】当时，，，所以曲线在点处的切线方程为.依题意有，即，解得..时，函数在上恒为增函数且，函数在上无零点时：当，，函数为增函数；当，，函数为减函数；当，，函数为增函数.由于，此时只需判定的符号：当时，函数在上无零点；当时，函数在上有一个零点；当时，函数在上有两个零点.综上，时函数在上无零点；当时，函数在上有一个零点；当时，函数在上有两个零点.【点睛】本题考查了导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性、极值，结合函数的大致图像判断零点的个数． 0.已知函数.求证：当时，；设，.试判断函数的单调性并证明；若恒成立，求实数的最小值.【答案】见解析；在上递减；.【解析】【分析】求导,考查函数的单调性和最小值;求导,考查的符号;恒成立,等价于，恒成立,问题转化为求，的最值,求,分和讨论.【详解】因为在区间上，所以.即在上递增，所以.因为，，所以.由知，当时，所以.所以在上递减.依题意，.恒成立即，恒成立，令，，则.若，则当时，，则在上递增.即时，.则时，.即当时，恒成立.若，令得.因为在上减，且，所以方程在上恰有一个根，记为，当时，；当时，..所以在上递减，在上递增所以.此时不恒成立.综上，的最小值为1.【点睛】导数作为一种研究数学知识的工具,在求单调性、最值方面发挥了独特的作用;同时利用函数的单调性也能完成不等式的证明,通过构造函数求最值解决恒成立问题．。

2019年汇文高三上数学期中考试

2019-2020学年度第一学期北京汇文中学期中考试高三年级数学班级姓名学号一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.函数222x xy =+的最小值为（）A.1B.2C.2.己知命题p:∃c>0，方程x 2-x+c=0有解，则⌝p 为（）A.∀c>0，方程x 2-x+c=0无解B.∀c ≤0，方程x 2-x+c=0有解C.∃c>0，方程x 2-x+c=0无解D.∃c ≤0，方程x 2-x+c=0有解3.已知函数y=a x ，y=x b ,v=log c x 的图象如图所示，则（）A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a4.已知集合P={x|x 2≤1},M={a}若P ∪M=P,则a 的取值范围是（）A.(-∞,-1]B.[1，+∞)C.[-1，1]D.(-∞，-1]∪[1,+∞)5.函数f （x ）的图象向石平移1个单位长度,所得图象与y=e x ；关于y 轴对称,则f （x ）=（） A.1x e + B.1x e - C.1x e -+ D.1x e --6.函数f(x)=4 3sin x π⎛+⎫ ⎪⎝⎭的一条对称轴方程为（） A.3x π=- B.6x π= C.2x π= D.23π 7.已知x ∈R,则“|x+1|+|x-2|>4”是“x<-2”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.已知向量(1,1),(2,2)m n λλ=+=+，若()()m n m n +⊥-，则λ=（）A.-4B.-3C. -2D.-19.已知函数f(x)=cosxsin2x,下列结论中错误的是（）A.y=f(x)的图像关于(π,0)中心对称B.y=f(x)的图像关于直线x=2π对称 C.f(x)的最大值为2D.f(x)既奇函数，又是周期函数 10.已知函数()22,0ln(1),0x x x f x x x ⎧-+=⎨+<⎩≤若|f(x)|≥ax ，则a 的取值范围是（）A.(- ∞,0]B.(-∞,1]C.[-2,1]D.[-2,0]11.若等比数列{a n }满足a 1+a 3=5,且公比q=2,则a 3+a 5=（）A.10B.13C.20D.25 12已.知{a n }是各项均为正数的等比数列,3a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则1113810+=+a a a a （ A.27 B.3 C.-1或3 D.1或27二、填空题(共8小题,每小题5分，共40分.13.已知数列{a n }的n 项和S n =3n +1.则a 2+a 3=__________14.若角θ的终边过点P(3.-4).则sin(θ-π)=_____________15.已知正方形ABCD 边长为1.E 是线段CD 的中点，则AE BD ___________16.已知向量a ，b 的夹角为120°，且|a |=|b |=2.则a (2a-b )的值为__________17.将232，1223（），122从大到小的顺序排列应该是____________ 18.给定下列四个命题: ①“6x π=”是“1sin 2x =”的充分不必要条件；②若“p ∨q ”为真.则“p ∧q”为真； ③若a<b ，则am 2<bm 2； ④若集合A ∩B=A.则A ⊆B.其中为真命题的是______________ (填上所有正确命题的序号)19.在ABC 中，已知cosA=513，sinB=35,则cosC 的值为___________ 20.设当x=θ时，函数f(x)=sinx-2cosx 取得最大值，则cos θ=___________三、解答题(共4小题，共50分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程)21.如图，在四边形ACBD 中，cos ∠CAD=-17,∆ABC 为正三角形.(I)求cos ∠BAD 的值;(II)若,求AB 和CD 的长.23.如图，在三棱锥P-ABC 中AC=BC=2，∠ACB=90 ，AP=BP=AB ，PC ⊥AC.(I)求证:PC ⊥AB ；(I1)求二面角B-AP-C 的余弦值.23.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2+2n ，正项等比数列{b n }滿足:b 1=a 1-1.b 4=2b 2+b 3.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若数列{c n }满足n n n c a b =，其前n 项和为T n ，证明:32<T n <524.己知函数()sin (0)x f x x x π=<<()()(1?)g x x Inx m m R =-+∈ (I)求f(x)的单调区间；(II)求证:1是g(x)的唯一极小值点；(III)若存在a,b ∈(0,π),满足f(a)=g(b)，求m 的取值范围。

2019届北京市高三上学期期中考试数学理试卷含解析

2019届北京市高三上学期期中考试数学理试卷数学试卷（理工类）第I卷（选择题, 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑。

1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先把集合A解出来，然后求A∪B即可．【详解】因为集合合，所以，故选：B．【点睛】本题主要考查集合的交集，属于基础题．2.执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A. -10B. -2C. 2D. 10【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【详解】模拟程序的运行过程，第一次运行：，第二次运行：第三次运行：第四次运行：此时，推出循环，输出输出.故选C.【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．3.设平面向量，，，，则实数的值等于（）A. B. C. 0 D.【答案】A【解析】【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出k的值．【详解】向量，，，∴=故选A.【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理的应用问题，是基础题．4.已知，则下列不等关系中正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指函数的单调性得出结论．【详解】A. ，显然不成立；B. 错误，因为函数在上为增函数，由，可得；同理C. ，因为函数在上为增函数，由，可得；D. ，正确，因为函数在上为减函数，由，可得；故选D.【点睛】本题考查函数单调性的应用，属基础题.5.“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】观察两条件的互推性即可求解．【详解】由“”可得到“”，但“”不一定得到“”，故“”是“”的充分而不必要条件.故応A.6.已知函数，若（），则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，可知由可得根据基本不等式可求的取值范围.【详解】若由，则与矛盾；同理也可导出矛盾，故而即【点睛】本题考查分段函数的性质以及基本不等式的应用，属中档题.7.已知函数当时，方程的根的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】画出函数的图像，由图像可得结论.【详解】画出函数的图像，有图可知方程的根的个数为3个.故选C.【点睛】本题考查分段函数的性质、方程的根等知识，综合性较强，考查利用所学知识解决问题的能力，是中档题．8.将正奇数数列1,3,4,5,7,9，…依次按两项、三项分组，得到分组序列如下：，，，，…，称为第1组，为第2组，依此类推，则原数列中的2019位于分组序列中（）A. 第404组B. 第405组C. 第808组D. 第809组【答案】A【解析】【分析】求出2019为第1010个证奇数，根据富足规则可得答案.【详解】正奇数数列1,3,4,5,7,9，的通项公式为则2019为第1010个奇数，因为按两项、三项分组，故按5个一组分组是有202组，故原数列中的2019位于分组序列中第404组【点睛】本题考查闺女是推理，属中档题.第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.已知，，则_________，__________．【答案】(1). (2). --【解析】【分析】利用同角三角函数基本关系式和诱导公式可解.【详解】由题，，则即答案为(1). (2).【点睛】本题考查同角三角函数基本关系式和诱导公式，属基础题.10.已知，满足则的最大值为__________．【答案】【解析】【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，可得当x=3，y=1时，z=x+2y取得最大值为5．【详解】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，1），B（-2，-2），C（4，-2）设z= x+2y，将直线l：z=x+2y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值∴z最大值= 3故答案为：3【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+2y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．11.已知函数满足下列条件：①定义域为；②函数在上单调递增；③函数的导函数有且只有一个零点，写出函数的一个表达式__________．【答案】【解析】【分析】利用已知条件，直接推出结果即可．【详解】①定义域为；②函数在上单调递增；③函数的导函数有且只有一个零点，满足条件一个函数可以为：．或+2等等．故答案为：．（答案不唯一）【点睛】本题考查函数的简单性质的应用，函数的解析式的求法，考查判断能力．12.如图，在平行四边形中，，分别为边，的中点，连接，，交于点，若（，），则__________．【答案】【解析】【分析】根据平行线分线段成比例解答即可.【详解】根据平行线分线段成比例可得而故即答案为.【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，属中档题.13.海水受日月的引力，在一定的时候发生的涨落现象叫潮.港口的水深会随潮的变化而变化.某港口水的深度（单位：米）是时刻（，单位：小时）的函数，记作.下面是该港口某日水深的数据：经长期观察，曲线可近似地看成函数（，）的图象，根据以上数据，函数的近似表达式为__________．【答案】【解析】【分析】设出函数解析式，据最大值与最小值的差的一半为A；最大值与最小值和的一半为h；通过周期求出ω，得到函数解析式．【详解】根据已知数据数据可以得出A=3，b=8，T=12，φ=0，由，得ω=，所以函数的近似表达式即答案为【点睛】本题考查通过待定系数法求函数解析式、属基础题.14.从标有数字，，，（，且，，，）的四个小球中任选两个不同的小球，将其上的数字相加，可得4种不同的结果；将其上的数字相乘，可得3种不同的结果，那么这4个小球上的不同的数字恰好有__________个；试写出满足条件的所有组，，，__________．【答案】(1). 3 (2). 1,2,2,4;1,3,3,9;2,4,4,8;4,6,6,9【解析】【分析】由，且个小球中任选两个不同的小球，将其上的数字相加，可得4种不同的结果；将其上的数字相乘，可得3种不同的结果，则必有两个数字相等，分析可得4个小球上的不同的数字恰好有3个，在逐一分析可得满足条件的所有组，，，.【详解】由，且个小球中任选两个不同的小球，将其上的数字相加，可得4种不同的结果；将其上的数字相乘，可得3种不同的结果，则必有两个数字相等，分析可得4个小球上的不同的数字恰好有3个，若两个相等的数为1，如1，1,2，4，则四个小球中任选两个不同的小球，将其上的数字相加，可得3种不同的结果，不符合题意，若若两个相等的数为2，则符合题意的为1,2,2,4;推理可得1,3,3,9;2,4,4,8;4,6,6,9符合题意.即答案(1). 3 (2). 1,2,2,4;1,3,3,9;2,4,4,8;4,6,6,9【点睛】本题考查归纳推理，属难题.三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.设（）是各项均为正数的等比数列，且，.（I）求的通项公式；（II）若，求.【答案】（I），.（II）【解析】【分析】（I）设为首项为，公比为（），则依题意，，解得，，即可得到的通项公式；（II）因为，利用分组求和法即可得到.【详解】（I）设为首项为，公比为（），则依题意，，解得，，所以的通项公式为，.（II）因为，所以【点睛】本题考查等比数列的基本量计算，以及分组求和法属基础题.16.已知函数.（I）求的最小正周期及单调递增区间；（II）若对任意，（为实数）恒成立，求的最小值.【答案】（I）最小正周期为,单调递增区间为，.（II）的最小值为2【解析】【分析】（I）根据二倍角公式及辅助角公式求得f（x）的解析式，根据正弦函数的性质即可求得f （x）的最小正周期及其单调递增区间；II）由.可得.由此可求的最小值.【详解】（I）由已知可得.所以最小正周期为.令，.所以，所以，即单调递增区间为，.（II）因为.所以，则，所以，当，即时，.因为恒成立，所以，所以的最小值为2【点睛】本题考查三角恒等变换，正弦函数的单调性及最值，考查转化思想，属于中档题．17.在中，角，，的对边分别为，，，，，.（I）求；（II）求的面积.【答案】证明见解析（II）【解析】【分析】（Ⅰ）利用同角三角函数基本关系式求得.，利用正弦定理可求；；（II）在中，由知为钝角，所以.利用，可求求的面积.【详解】证明：（I）因为，即，又，为钝角，所以.由，即，解得.（II）在中，由知为钝角，所以.，所以所以【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．18.已知函数（）（I）当时，求在区间上的最大值和最小值；（II）求证：“”的“函数有唯一零点”的充分而不必要条件.【答案】（I）；.（II）“”是“有唯一零点”的充分不必要条件【解析】【分析】（Ⅰ）先求导，再由导函数为0，求出极值，列表解得即可；（Ⅱ）根据（Ⅰ）分类讨论，分别利用导数和函数的零点的关系以及充分不必要条件的定义即可证明．【详解】（I），当时，，当在内变化时，，的变化如下表：当时，；.（II）若，.当变化时，，的变化如下表：，因为，所以.即.且，所以有唯一零点.所以“”是“有唯一零点”的充分条件.又时，当变化时，，的变化如下表：又，，.所以此时也有唯一零点.从而“”是“有唯一零点”的充分不必要条件【点睛】本题考查了导数和函数的极值和零点的关系，考查了学生的运算能力和转化能力，属于难题．19.已知函数（）.（I）求曲线在点处的切线方程；（II）试判断函数的单调性并证明；（III）若函数在处取得极大值，记函数的极小值为，试求的最大值.【答案】（I）.（II）函数在和上单调递增，在上单调递减.（III）函数的最大值为.【解析】【分析】函数的定义域为，且.（I）易知，，代入点斜式即可得到曲线在点处的切线方程；（II）令，得，，分类讨论可得函数的单调性，（III）由（II）可知，要使是函数的极大值点，需满足.此时，函数的极小值为.，利用导数可求的最大值.【详解】函数的定义域为，且.（I）易知，所以曲线在点处的切线方程为.即.（II）令，得，①当时，.当变化时，，变化情况如下表：所以函数在和上单调递增，在上单调递减.②当时，恒成立.所以函数在上单调递增.③当时，.当变化时，，变化情况如下表：所以函数在和上单调递增，在上单调递减.（III）由（II）可知，要使是函数的极大值点，需满足.此时，函数的极小值为.所以.令得.当变化时，，变化情况如下表：所以函数的最大值为.【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．20.设，为正整数，一个正整数数列，，…，满足，对，定义集合，数列，，…，中的（）是集合中元素的个数.（I）若数列，，…，为5,3,3,2,1,1，写出数列，，…，；（II）若，，，，…，为公比为的等比数列，求；（III）对，定义集合，令是集合中元素的个数.求证：对，均有.【答案】（I）数列，，…，是6,4,3,1,1.（II）（III），【解析】【分析】（I）根据数列，，…，数列，，…，是6,4,3,1,1.（II）由题知，由于数列，，…，是项的等比数列，因此数列，，…，为，，…，2，利用反证法证明；（III）对，表示，，…，中大于等于的个数，首先证明.再证对，即可.【详解】（I）解：数列，，…，是6,4,3,1,1.（II）由题知，由于数列，，…，是项的等比数列，因此数列，，…，为，，…，2下面证明假设数列中有个，个，…，个2，个1，显然所以.由题意可得，，，…，，…，.所以故即（III）对，表示，，…，中大于等于的个数由已知得，，…，一共有项，每一项都大于等于1，故，由于故由于，故当时，即.接下来证明对，，则，即1,2，…，，从而故，从而1,2，…，，故，从而，故有设，即，根据集合的定义，有.由知，1,2，…，，由的定义可得，而由，故因此，对，【点睛】本题考查新定义数列的理解与求法，考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意反证法的合理运用．属难题.。

2022-2023学年北京市汇文中学高三上学期期中考试数学试卷含答案

北京汇文中学教育集团2022-2023学年度第一学期期中考试高三年级数学学科本试卷共5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）1.已知集合{}11A x x =-<<，{}02B x x =≤≤，则A B = （）.A ．{}01x x ≤<B ．{}12x x -<<C ．{}12x x -<≤D ．{}02x x ≤≤2.已知a R ∈，则“2a >”是“22a a >”的（）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3．在复平面内，复数i(2i)z =+对应的点的坐标为A.(1,2)B.(1,2)- C.(2,1)D.(2,1)-4．已知命题:p (0,)a ∀∈+∞，12a a+>，则p ⌝是A.(0,)a ∃∈+∞，12a a +> B.(0,)a ∃∉+∞，12a a +>C.(0,)a ∃∈+∞，12a a +≤ D.(0,)a ∃∉+∞，12a a+≤5．下列函数中，是奇函数且在其定义域上为增函数的是A.sin y x= B.||y x x = C.tan y x= D.1y x x=-6．将函数sin 2y x =的图像向右平移π6个单位，得到函数()f x 的图像，则下列说法正确的是A ．π()sin(2)6f x x =- B.π3x =-是函数的()f x 图像的一条对称轴C.()f x 在ππ[,63-上是减函数 D.()f x 在π5π[,1212-上是增函数7.已知,,a b c R ∈，那么下列命题中正确的是（）.A ．若a b >，则22ac bc>B ．若a bc c>，则a b >C ．若a b >且0ab <，则11a b>D ．若22a b >，则11a b<8.已知等比数列{}n a 中，11a =，且58258a a a a +=+，那么5S 的值是（）.A ．15B ．31C ．63D ．649.在ABC ∆中,M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =，则)(PC PB AP +⋅等于（）.A ．43- B.43C.49- D.4910.定义：角θ与ϕ都是任意角，若满足2πθϕ+=，则称θ与ϕ“广义互余”．已知1sin 4=α，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是（）.A ．15sin 4β=B ．1cos()4πβ+=C ．15tan 5β=D ．15tan 15β=11.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在地为点(2,3)B -，若将军从点(2,0)A 处出发，河岸线所在直线方程为3x y +=，则“将军饮马”的最短总路程为（）.A 26B 29 C.31D 3412.在等差数列{}n a 中，19a =-，51a =-.记12n n T a a a = (1,2,)n = ，则数列{}n T （）.A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）13．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和.若2n S n =，则2a =_________.14.已知1a >，则4+1a a -的最小值为_________.15.若直线y a =与函数3()3f x x x =-的图象有相异的三个公共点，则a 的取值范围是.16.已知平面内的点()2,0A ，(),B x y ，()1,3C，若四边形OABC （O 为坐标原点）是平行四边形，则向量OB的模为.17.已知函数2ln ()x f x x x=-，给出下列四个结论：函数()f x 是奇函数；函数()f x 在(,0)-∞和(0,)+∞上都单调；当0x >时，函数()0f x >恒成立；当0x <时，函数()f x 有一个零点.其中所有正确结论的序号是____________.18．某生物种群数量Q 与时间t 的关系近似地符合10e ()e 9tt Q t =+.给出下列四个结论：1该生物种群的数量不会超过10；2②该生物种群数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小；③该生物种群数量的增长速度与种群数量成正比；3该生物种群数量的增长速度最大的时间0(2,3)t ∈．依据上述关系式，其中所有正确结论的序号是________．三、解答题（本大题共5小题，共72分）19．（本小题共14分）已知等差数列{}n a 满足142n na a n ++=+.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n n b a -是公比为3的等比数列，且13b =，求数列{}n b 的前n 项和n S .20．（本小题共14分）设△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且sin 3cos a B b A =．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）再从以下三组条件中选择一组条件作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求△ABC 的面积.第3组条件：19,5a c ==;第②组条件：1cos 423C c ==，;第③组条件：AB 边上的高3h =，3a =.21.（本题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ．PAD △为等腰直角三角形，且PA AD ⊥．E ，F 分别为底边AB 和侧棱PC 的中点．（1）求证：EF ∥平面PAD ；（2）求二面角E PD C --的余弦值．22．（本小题共15分）设函数2()(3),f x x x x a a =-+∈R .（Ⅰ）当9a =-时，求函数()f x 的单调增区间；（Ⅱ）若函数()f x 在区间(1,2)上为减函数，求a 的取值范围；（Ⅲ）若函数()f x 在区间(0,2)内存在两个极值点12,x x ，且满足1212()()()()f x f x f x f x ->+，请直接写出a 的取值范围.23．（本小题15分）设正整数3n ≥，集合{}12( )1 2 n k A x x x x k n ==⋅⋅⋅∈=⋅⋅⋅R ，，，，，，，，a a ，对于集合A 中的任意元素12( )n x x x =⋅⋅⋅，，，a 和12( )n y y y =⋅⋅⋅，，，b ，及实数λ，定义：当且仅当(1,2,,)i i x y i n == 时=a b ；1122( )n n x y x y x y +=++⋅⋅⋅+，，，a b ；12( )n x x x λλλλ=⋅⋅⋅，，，a ．若A的子集{}123B =，，a a a 满足：当且仅当1230λλλ===时，112233(0 0 0)λλλ++=⋅⋅⋅，，，a a a ，则称B 为A 的完美子集．（Ⅰ）当3n =时，已知集合1={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}B ，2={(1,2,3),(2,3,4),(4,5,6)}B ，分别判断这两个集合是否为A 的完美子集，并说明理由；（Ⅱ）当3n =时，已知集合{}(21) ( 21) (1 2)B m m m m m m m m m =---，，，，，，，，.若B 不是A 的完美子集，求m 的值；（Ⅲ）已知集合{}123,,B A =⊆a a a ，其中12( )(1 2 3)i i i in x x x i =⋅⋅⋅=，，，，，a ，若1232ii i i i x x x x >++对任意1 2 3i =，，都成立，判断B 是否一定为A 的完美子集.若是，请说明理由；若不是，请给出反例．答案选择题CABCB DCBDA BB填空题13．214.515.16.3217.18．①②④解答题19．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为142n n a a n ++=+,所以当1n =时，216a a +=.①-------------------------------------------1分当2n =时，3210a a +=,②-------------------------------------------2分②—①得314a a -=.因为{}n a 为等差数列，设公差为d ,所以3124d a a =-=，则2d =,-----------------------------------------4分由①可得126a d +=，所以12a =，----------------------------------------6分所以1(1)2(1,2,)n a a n d n n =+-==L .-----------------------------------7分经检验2n a n =符合题意，所以通项2n a n =.其它解法：因为{}n a 为等差数列，设公差为d ，则1(1)n a a n d =+-，11n a a nd +=+，---2分所以112(21)n n a a a n d ++=+-，由已知可得12(21)42a n d n +-=+，因为122(42)a d d n --=-对于n +∀∈N 成立，-----------------------3分所以2d =，12a =，----------------------------------------6分所以1(1)2(1,2,)n a a n d n n =+-==L .-----------------------------------7分（Ⅱ）因为{}n n b a -是公比为3的等比数列，又知13b =，所以11111()3=(32)3=3n n n n n b a b a ----=-⨯-⨯，-----------------------9分所以11332n n n n b a n --=+=+，所以0121(3333)+2(123)n n S n -=++++++++L L 132(1)132n n n -+=+-------------------------------------------------13分1(31)(1)2nn n =-++.---------------------------------------------------------14分20．（本小题共14分）解：（Ⅰ）由正弦定理sin sin a bA B=及sin 3cos a B b A =得sin sin 3cos A B B A =，------------------------------------------------------2分因为()0,πB ∈，所以sin 0B ≠--------------------------------------------------------3分所以sin 3A A =，----------------------------------------------------------4分所以tan 3A =----------------------------------------------------------5分因为()0,πA ∈，----------------------------------------------------------6分所以π3A =.----------------------------------------------------------7分（Ⅱ）选②：---------------------------------------------------8分法一：因为1cos 3C =，()0,πC ∈，所以22122sin 1cos 133C C ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.----------------------------------------9分由正弦定理sin sin a c A C =得342sin 233sin 223c Aa C===.--------------------10分由πA B C ++=得()31122223sin sin sin cos cos sin 23236B A C A C A C +=+=+=+⨯.-12分所以1123sin 334232226ABC S ac B ∆+==⨯=分法二：因为1cos 3C =，()0,πC ∈，所以22122sin 1cos 133C C ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.-------------------------------------9分由正弦定理sin sin a c A C =得342sin 233sin 223c Aa C===.-------------------10分由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得2322723b b =+-，即22350b b --=，解得322b =（舍负）所以322b =.------------------------------------12分所以113sin 322232222ABC S bc A ∆==⨯⨯=分法三：所以1cos 3C =，()0,πC ∈，所以22122sin 1cos 133C C ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.由正弦定理sin sin a c A C =得342sin 233sin 223c Aa C===.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得2273242b b =+-，即24250b b -+=，解得223b =由2221cos 023a b c C ab +-==>，得2225b c a >-=所以322b =.所以113sin 322232222ABC S bc A ∆==⨯⨯选③：-------------------------------------------------------------------------------------8分法一：因为π3A =，AB 边上的高3h =作CD AB ⊥，垂足为D ，则3CD Rt ∆CAD 中有sin h A b=，所以32sin 32hb A===.--------------------------------------------------------------10分由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得2942c c =+-，即2250c c --=，解得16c =±所以16c =+------------------------------12分所以(1132163222ABC S ch ==⨯+⨯ .---------------------------------14分法二：过C 作CD 垂直直线AB 于D ，则3CD h ==，所以32sin 32CDb A===，------------------------------------------------------------10分所以1cos 212AD b A ==⨯=.因为3a =，由勾股定理得22936BD a h =-=-=---------------------12分因为a b >，所以A B >，即60B < ，所以AB AD BD =+，所以(11332163222ABC S ch ∆==⨯+⨯.----------------------------14分21.（本小题共14分）⑴略33．22．（本小题共15分）解：（Ⅰ）当9a =-时，2()(39)f x x x x =--，2()3693(1)(3)f x x x x x '=--=+-，------------------------------------------2分'(),()f x f x 的情况如下：x (,1)-∞-1-(1,3)-3(3,)+∞()f x '+0-+()f x所以，函数()f x 的增区间为(,1]-∞-和[3,)+∞﹒--------------------------------4分（Ⅱ）由2()(3)f x x x x a =-+得2()36f x x x a '=-+，因为()f x 在区间(1,2)上为减函数，所以()0f x '≤在(1,2)内恒成立，-----------------------------------------------------6分因为22()363(1)3f x x x a x a '=-+=-+-，所以(1,2)x ∈时，'()(3,)f x a a ∈-，-----------------------------------------------8分所以(,0]a ∈-∞.---------------------------------------------------------------------------9分或者：()0f x '≤，即236,(1,2)a x x x ≤-+∈恒成立，(1,2)x ∈时，22363(1)3(0,3)x x x -+=--+∈（Ⅲ）所以a 的取值范围为9(0,4﹒----------------------------------------------------------15分23．（本小题共15分）解：（Ⅰ）1B 是完美集；-------------------------------------------1分设112233(0 0 0)λλλ++=，，a a a ，即1230λλλ===．所以1B 是完美集．------------------------------------------2分2B 不是完美集．------------------------------------------3分设112233(0 0 0)λλλ++=，，a a a ，即12312312324023503460λλλλλλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩．，，令3=1λ，则12=2=3λλ-，．所以2B 不是完美集．------------------------------------------5分（Ⅱ）因为B 不是完美集，所以存在123()(0 0 0)λλλ≠，，，，，使得112233(0 0 0)λλλ++=，，a a a ，即123123123202(1)0(1)(1)20m m m m m m m m m λλλλλλλλλ++=⎧⎪++-=⎨⎪-+-+=⎩，，．------------------------------------------6分因为{}(21) ( 21) (1 2)B m m m m m m m m m =---，，，，，，，，，由集合的互异性得，0m ≠且1m ≠-．------------------------------------------8分所以12320λλλ++=，3122λλλ=--，12()(0 0)λλ≠，，．所以1212(2)(1)0(31)(1)0m m m m λλλλ-+++=⎧⎨--+--=⎩．，所以1(41)0m λ-+=．所以14m =或10λ=．检验：当14m =时，存在1235,7,3λλλ==-=-使得112233(0 0 0)λλλ++=，，a a a ．当10λ=时，因为1m ≠-，所以230,0λλ==，舍．所以14m =．------------------------------------------10分（Ⅲ）B 一定是完美集．------------------------------------------11分假设存在不全为0的实数123,,λλλ满足112233(0 0 0)λλλ++=⋅⋅⋅，，，a a a ，不妨设123λλλ≥≥，则10λ≠（否则与假设矛盾）．由1112213310x x x λλλ++=，得3211213111x x x λλλλ=--．所以32112131213111x x x x x λλλλ≤+≤+．与111121312x x x x >++，即112131x x x >+矛盾．所以假设不成立．所以10λ=．所以230λλ==．所以B 一定是完美集．------------------------------------------15分。

【精品高三数学试卷】2019-2020北京高三(上)期中+答案

2019-2020学年北京高三（上）期中数学试卷一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）集合M ＝{x |x 2﹣1＝0}，集合N ＝{x |x 2﹣3x +2＝0}，全集为U ，则图中阴影部分表示的集合是（）A ．{﹣1，1}B ．{﹣1}C ．{1}D ．∅2．（5分）已知函数f （x ）＝|x ﹣2|，g （x ）＝kx ，若方程f （x ）＝g （x ）有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（） A ．(0，12)B ．（0，1）C ．（﹣1，0）D ．（1，+∞）3．（5分）直线y ＝2x +1和圆x 2+y 2＝1交于A ，B 两点，以x 轴的正方向为始边，OA 为终边（O 是坐标原点）的角为α，OB 为终边的角为β，则sin （α+β）＝（）A ．45B ．−45C ．35D ．−354．（5分）若A ，B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P （cos B ﹣sin A ，sin B ﹣cos A ）在（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．（5分）已知函数f （x ）＝（12）x ，a ，b ∈R +，A ＝f （a+b 2），B ＝f （√ab ），C ＝f （2ab a+b），则A 、B 、C 的大小关系为（） A ．A ≤B ≤CB ．A ≤C ≤BC ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A6．（5分）已知R 上可导函数f （x ）的图象如图所示，则不等式（x 2﹣2x ﹣3）f ′（x ）＞0的解集为（）A ．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）B ．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）C ．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪（2，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）7．（5分）设点A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →+AC →|＞|BC →|”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．（5分）设l 1，l 2，l 3为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4，5，6的直线．给出下列三个结论：①∃A i ∈l i （i ＝1，2，3），使得△A 1A 2A 3是直角三角形； ②①∃A i ∈l i （i ＝1，2，3），使得△A 1A 2A 3是等边三角形；③三条直线上存在四点A i （i ＝1，2，3，4），使得四面体A 1A 2A 3A 4为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体．其中，所有正确结论的序号是（） A ．①B ．①②C ．①③D ．②③二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）函数f （x ）＝1﹣2sin 22x 的最小正周期是．10．（5分）曲线y ＝3（x 2+x ）e x 在点（0，0）处的切线方程为． 11．（5分）已知正方体的外接球的体积为4√3π，则该正方体的体积为．12．（5分）设a →，b →是两个非零向量，且|a →|＝|b →|＝|a →+b →|，则向量b →与a →−b →的夹角为． 13．（5分）设函数f(x)=sin(ωx +2π3)(ω＞0)，已知f （x ）在[0，2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：①f （x ）在（0，2π）上可能有3个极大值点； ②f （x ）在（0，2π）上可能有3个极小值点； ③f （x ）在(0，5π18)单调递减；其中所有正确结论的编号是．14．（5分）设函数f （x ）的定义域为R ，满足f （x +1）＝3f （x ），且当x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （x ﹣1）．若对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f （x ）≥﹣2，则m 的取值范围是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（13分）设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝2b sin A ．（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求sinC cosA的取值范围．16．（14分）某食品厂为了检查一条自动自装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本，称出它们的重量（单位：克）重量的分组区间为（490，495]，（495，500]，…，（510，515]．由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．（Ⅰ）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；（Ⅱ）从流水线上（可视为独立重复试验）抽取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率；（Ⅲ）在上述抽取的40件产品中任取2件，设X 为重量超过505克的产品数量，求X 的分布列和期望．17．（13分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，AD ∥BC ，P A ＝AD ＝CD ＝3，BC ＝4，E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且PF PC=13；（Ⅰ）求证：CD ⊥平面P AD ；（Ⅱ）求二面角F ﹣AE ﹣P 的余弦值（Ⅲ）设点G 在PB 上，且PG PB=23．判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由．18．（13分）已知函数f （x ）＝6lnx （x ＞0）和g （x ）＝ax 2+8x ﹣b （a ，b 为常数）的图象在x ＝3处有公切线．（1）求实数a 的值；（2）求函数F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）的极大值和极小值；（3）关于x 的方程f （x ）＝g （x ）有几个不同的实数解？19．（14分）已知椭圆C ：x 2a2+y 2=1(a ＞1)的上顶点为A ，左右焦点分别为F 1、F 2，直线AF 2与圆M ：x 2+y 2﹣6x ﹣2y +7＝0相切．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若椭圆C 内的动点P ，使|PF 1|，|PO |，|PF 2|成等比数列（O 为坐标原点，）求PF 1→⋅PF 2→的取值范围．20．（13分）已知集合A n ＝{（x 1，x 2，…，x n ）|x i ∈{﹣1，1}（i ＝1，2，…，n ）}．x ，y ∈A n ，x ＝（x 1，x 2，…，x n ），y ＝（y 1，y 2，…，y n ），其中x i ，y i ∈{﹣1，1}（i ＝1，2，…，n ）．定义x ⊙y ＝x 1y 1+x 2y 2+…+x n y n ．若x ⊙y ＝0，则称x 与y 正交．（Ⅰ）若x ＝（1，1，1，1），写出A 4中与x 正交的所有元素；（Ⅱ）令B ＝{x ⊙y |x ，y ∈A n }．若m ∈B ，证明：m +n 为偶数；（Ⅲ）若A ⊆A n ，且A 中任意两个元素均正交，分别求出n ＝8，14时，A 中最多可以有多少个元素．2019-2020学年北京高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】解：由x 2﹣1＝0，解得x ＝﹣1或1，则M ＝{1，﹣1}；由x 2﹣3x +2＝0，解得x ＝1或2，则N ＝{1，2}，则图中阴影部分表示的集合是C U N∩M ＝{﹣1}．故选：B ．2．【解答】解：∵f （x ）＝g （x ）有两个不相等的实数根， ∴f （x ）＝|x ﹣2|和g （x ）＝kx 的图象有两个不同的交点．画出f （x ），g （x ）的图象如下：∴0＜k ＜1．故选：B ．3．【解答】解：联立y ＝2x +1与x 2+y 2＝1，解得：{x =0y =1，{x =−45y =−35，可得A （0，1），B （−45，−35）， ∴cos α＝0，sin α＝1，cos β=−45，sin β=−35，∴sin （α+β）＝sin αcos β+cos αsin β＝1×（−45）+0×（−35）=−45，故选：B ．4．【解答】解：∵△ABC 为锐角三角形， ∴A +B ＞π2．∴A ＞π2−B ，B ＞π2−A ．∵在[0，π2]上y ＝sin x 为增函数，∴sin A ＞sin （π2−B ），sin B ＞sin （π2−A ）．∴sin A ＞cos B ，sin B ＞cos A ∴cos B ﹣sin A ＜0，sin B ﹣cos A ＞0 ∴P 在第二象限．故选：B ． 5．【解答】解：∵a+b 2≥√ab ≥2aba+b ，又∵f （x ）＝（12）x 在R 上是单调减函数， ∴f （a+b 2）≤f （√ab ）≤f （2aba+b）．故选：A ．6．【解答】解：由图象可得：当f ′（x ）＞0时，函数f （x ）是增函数，所以f ′（x ）＞0的解集为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），当f ′（x ）＜0时，函数f （x ）是减函数，所以f ′（x ）＜0的解集为（﹣1，1）．所以不等式f ′（x ）＜0即与不等式（x ﹣1）（x +1）＜0的解集相等．由题意可得：不等式（x 2﹣2x ﹣3）f ′（x ）＞0等价于不等式（x ﹣3）（x +1）（x +1）（x ﹣1）＞0，所以原不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞），故选：D ．7．【解答】解：点A ，B ，C 不共线，“AB →与AC →的夹角为锐角”⇒“|AB →+AC →|＞|BC →|”， “|AB →+AC →|＞|BC →|”⇒“AB →与AC →的夹角为锐角”，∴设点A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →+AC →|＞|BC →|”的充分必要条件．故选：C ．8．【解答】解：我们不妨先将 A 、B 、C 按如图所示放置．容易看出此时BC＜AB＝AC．现在，我们将A和B往上移，并且总保持AB＝AC（这是可以做到的，只要A、B的速度满足一定关系），而当A、B移得很高很高时，不难想象△ABC将会变得很扁，也就是会变成顶角A“非常钝”的一个等腰钝角三角形．于是，在移动过程中，总有一刻，使△ABC成为等边三角形，亦总有另一刻，使△ABC成为直角三角形（而且还是等腰的）．这样，就得到①和②都是正确的．至于③，如图所示．为方便书写，称三条两两垂直的棱所共的顶点为⊤．假设A是⊤，那么由AD⊥AB，AD⊥AC知L3⊥△ABC，从而△ABC三边的长就是三条直线的距离4、5、6，这就与AB⊥AC矛盾．同理可知D是⊤时也矛盾；假设C是⊤，那么由BC⊥CA，BC⊥CD知BC⊥△CAD，而l1∥△CAD，故BC⊥l1，从而BC为l1与l2的距离，于是EF∥BC，EF＝BC，这样就得到EF⊥FG，矛盾．同理可知B是⊤时也矛盾．综上，不存在四点A i（i＝1，2，3，4），使得四面体A1A2A3A4为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体．故选：B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．【解答】解：函数f （x ）＝1﹣2sin 22x ＝cos4x 的最小正周期是2π4=π2，故答案为：π2．10．【解答】解：∵y ＝3（x 2+x ）e x ， ∴y '＝3e x （x 2+3x +1）， ∴当x ＝0时，y '＝3，∴y ＝3（x 2+x ）e x 在点（0，0）处的切线斜率k ＝3， ∴切线方程为：y ＝3x ．故答案为：y ＝3x ．11．【解答】解：设正方体的棱长为a ，且正方体外接球的直径为2R ，则（2R ）2＝3a 2，解得R =√32a ；所以外接球的体积为 V 球=4π3•R 3=√32πa 3＝4√3π，解得a 3＝8，所以该正方体的体积为 V 正方体＝a 3＝8．故答案为：8．12．【解答】解：∵|a |＝|b |＝|a +b |，由向量加法平行四边形法则得到由两个向量为邻边组成的四边形是菱形，菱形的一条对角线同边相等∴则向量b →与a →−b →的夹角为5π6故答案为：5π6．13．【解答】解：∵0≤x ≤2π， ∴0≤ωx ≤2ωπ，2π3≤ωx +2π3≤2ωπ+2π3，若f （x ）在[0，2π]有且仅有5个零点，则5π≤2ωπ+2π3＜6π，得136≤ω＜83，则此时f （x ）在（0，2π）上只有2个极大值点，故①错误，当11π2＜2ωπ+2π3＜6π时，f （x ）在（0，2π）上可能有3个极小值点，故②正确，当0＜x ＜5π18，∴0＜ωx ≤5ωπ18，2π3＜ωx +2π3≤5ωπ18+2π3，当ω=83时，5ωπ18+2π3=3π2，此时2π3＜ωx +2π3＜3π2，此时函数f （x ）为减函数，故③正确，故正确的命题是②③，故答案为：②③14．【解答】解：∵f （x +1）＝3f （x ）， ∴f （x ）＝3f （x ﹣1），∵x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （x ﹣1）∈[−14，0]，∴x ∈（1，2]时，x ﹣1∈（0，1]，f （x ）＝3f （x ﹣1）＝3（x ﹣1）（x ﹣2）∈[−34，0]； ∴x ∈（2，3]时，x ﹣1∈（1，2]，f （x ）＝3f （x ﹣1）＝9（x ﹣2）（x ﹣3）∈[−94，0]；当x ∈（2，3]时，由9（x ﹣2）（x ﹣3）＝﹣2，解得x =73或x =83；若对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f （x ）≥﹣2，则m ≤73．故答案为：m ≤73．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．【解答】解：（I ）∵a ＝2b sin A ，由正弦定理可得，sin A ＝2sin B sin A ， ∵sin A ≠0， ∴sin B =12， ∵B 为锐角， ∴B =π6，（II ）由（1）可知C =5π6−A ， ∵{0＜A ＜12π0＜5π6−A ＜12π，∴13π＜A ＜12π，∴tan A ＞√3，∴sinC cosA=sin(5π6−A)cosA=12cosA+√32sinA cosA=12+√32tanA ＞2． 16．【解答】解：（1）依题意，重量超过505克的产品的频率为：（0.05+0.01）×5＝0.3，所以重量超过505克的产品数量为40×0.3＝12件；（2）由（1）知，抽到的产品重量超过505克的概率为0.3，所以抽取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率P =C 52(0.3)2×(0.7)3=0.3087；（3）依题意40件产品中重量超过505克的产品数量为 12件，重量不超过505克的产品数量为28件，随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2，对应概率如下：P （X ＝0）=C 282C 402=63130，P （X ＝1）=C 121C 281C 402=2865，P （X ＝2）=C 122C 402=11130，所以随机变量X 的分布列如下：X0 1 2 P63130 2865 11130 所以E （X ）＝0×63130+1×2865+2×11130=35． 17．【解答】证明：（Ⅰ）∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥CD ，∵AD ⊥CD ，P A ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面P AD ．解：（Ⅱ）以A 为原点，在平面ABCD 内过A 作CD 的平行线为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，A （0，0，0），E （0，32，32），F （1，1，2）， P （0，0，3），B （3，﹣1，0），AE →=（0，32，32），AF →=（1，1，2），平面AEP 的法向量n →=（1，0，0），设平面AEF 的法向量m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅AE →=0m →⋅AF →=0，即{y +z =0x +y +2z =0，取x ＝1，得m →=（1，1，﹣1），设二面角F ﹣AE ﹣P 的平面角为θ，则cos θ=|m →⋅n →||m →||n →|=3=√33． ∴二面角F ﹣AE ﹣P 的余弦值为√33．（Ⅲ）直线AG 在平面AEF 内，理由如下：∵点G 在PB 上，且PG PB =23．∴G （2，﹣1，1）， ∴AG →=（2，﹣1，1），∵平面AEF 的法向量m →=（1，1，﹣1），m →•AG →=2﹣1﹣1＝0，故直线AG 在平面AEF 内．18．【解答】解：（1）f ′（x ）=6x，g ′（x ）＝2ax +8，根据题意，得f ′（3）＝g ′（3）解得a ＝﹣1；（2）F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）＝6lnx +x 2﹣8x +b ．令F ′（x ）=6x +2x ﹣8，得x ＝1，3．∵0＜x ＜1时，F ′（x ）＞0，F （x ）单调递增；1＜x ＜3时，F ′（x ）＜0，F （x ）单调递减；x ＞3时，F ′（x ）＞0，F （x ）单调递增．∴F （x ）的极大值为F （1）＝﹣7+b ，F （x ）的极小值为F （3）＝﹣15+6ln 3+b ；（3）∵F （x ）的极大值为F （1）＝﹣7+b ＜0，F （x ）的极小值为F （3）＝﹣15+6ln 3+b ＜0，∴b ≥7，关于x 的方程f （x ）＝g （x ）无解；15﹣6ln 3＜b ＜7，有1个不同的实数解；b ≥15﹣6ln 3无解．19．【解答】解：（1）将圆M ：x 2+y 2﹣6x ﹣2y +7＝0化为标准方程（x ﹣3）2+（y ﹣1）2＝3，圆M 的圆心为M （3，1），半径为r =√3，（2分）由A(0，1)，F 2(c ，0)，(c =√a 2−1)得直线AF 2：x c +y ＝1，即x +cy ﹣c ＝0（3分）直线AF 2与圆M ：相切得√c 2+1=√3，c =√2，c =−√2（舍去）（5分）当c =√2时，a 2＝c 2+1＝3，故椭圆C 的方程为x 23+y 2=1（6分）（2）由（1）得，F 1(−√2，0)，F 2(√2，0)，设P （x ，y ），由题意得|PO |2＝|PF 1||PF 2|，即(√x 2+y 2)2=√(x +√2)2+y 2•√(x −√2)2+y 2化简得：x 2﹣y 2＝1 （9分）PF 1→⋅PF 2→=x 2−2+y 2=2x 2−3（10分）∵点P 为椭圆内的动点，∴1≤x 2＜32（12分）∴﹣1≤PF 1→⋅PF 2→＜0（13分）20．【解答】解：（Ⅰ）A 4中所有与x 正交的元素为（﹣1，﹣1，1，1）（1，1，﹣1，﹣1），（﹣1，1，﹣1，1），（﹣1，1，1，﹣1），（1，﹣1，﹣1，1），（1，﹣1，1，﹣1）． …（3分）（Ⅱ）对于m ∈B ，存在x ＝（x 1，x 2，…，x n ），x i ∈{﹣1，1}，y ＝（y 1，y 2，…，y n ），其中x i ，y i ∈{﹣1，1}；使得x ⊙y ＝m ．令λ1={1(x i =y i )0(x i ≠y i )，k =∑ n i=1λi ；当x i ＝y i 时，x i y i ＝1，当x i ≠y i 时，x i y i ＝﹣1．那么x ⊙y =∑ n i=1x i y i =k −(n −k)=2k −n ．所以m +n ＝2k ﹣n +n ＝2k 为偶数．…（8分）（Ⅲ）8个，2个n ＝8时，不妨设x 1＝（1，1，1，1，1，1，1，1），x 2＝（﹣1，﹣1，﹣1，﹣1，1，1，1，1）．在考虑n ＝4时，共有四种互相正交的情况即：（1，1，1，1），（﹣1，1，﹣1，1），（﹣1，﹣1，1，1），（1，﹣1，﹣1，1）分别与x 1，x 2搭配，可形成8种情况．所以n ＝8时，A 中最多可以有8个元素．…（10分）N ＝14时，不妨设y 1＝（1，1…1，1），（14个1），y 2＝（﹣1，﹣1…﹣1，1，1…1）（7个1，7个﹣1），则y 1与y 2正交．令a ＝（a 1，a 2，…a 14），b ＝（b 1，b 2，…b 14），c ＝（c 1，c 2，…c 14）且它们互相正交．设 a 、b 、c 相应位置数字都相同的共有k 个，除去这k 列外a 、b 相应位置数字都相同的共有m 个，c 、b 相应位置数字都相同的共有n 个．则a ⊙b ＝m +k ﹣（14﹣m ﹣k ）＝2m +2k ﹣14．所以m +k ＝7，同理n +k ＝7．可得m ＝n ．由于a⊙c＝﹣m﹣m+k+（14﹣k﹣2m）＝0，可得2m＝7，m=72∉N矛盾．所以任意三个元素都不正交．综上，n＝14时，A中最多可以有2个元素．…（13分）。

2019北京汇文中学高三上学期期中

2019北京汇文中学高三（上）期中物理一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共24分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1. 将地面上静止的货物竖直向上吊起，货物由地面运动至最高点的过程中，v−t图象如图所示，以下判断正确的是（）A. 在整个运动过程中，货物的位移大小是21mB. 前3s内与最后2s内货物的运动方向相反C. 前3s内货物处于超重状态D. 最后2s内货物只受重力作用2. 如图所示，壁虎沿竖直墙面斜向上匀速爬行，速度为v，壁虎所受的重力为G，与墙面之间的摩擦力为f。

关于壁虎在竖直墙面内的受力分析，下列示意图中正确的是（）3. a、b、c、d是在地球大气层外的圆形轨道上运行的四颗人造卫星，其中a、c的轨道相交于p、b、d在同一个圆轨道上，b、c轨道在同一平面上，某时刻四颗卫星的运行方向及位置如图所示，下列说法中正确的是（）A. a、c存在在P点相撞危险B. b、c的角速度大小相等，且小于a的角速度C. a、c的线速度大小相等，且小于d的线速度D. a、c的加速度大小相等，且大于b的加速度4. 如图所示，质量为M的人在远离任何星体的太空中，与他旁边的飞船相对静止。

由于没有力的作用，他与飞船总保持相对静止的状态。

这个人手中拿着一个质量为m的小物体，他以相对飞船为v的速度把小物体抛出，在抛出物体后他相对飞船的速度大小为（）A. mM v B. Mmv C. M+mmv D. mM+mv5.(2019汇文高三期中) 如图甲所示为一列简谐横波在t=2s时的波形图，图乙为这列波上P点的振动图像，下列说法正确的是（）A. 该横波向右传播，波速为0.6m/sB. t=2s时,Q点的振动方向为y轴负方向C. 从t=2s到t=7s内，P质点沿x轴向右平行2.0mD. 从t=2s到t=7s内，Q质点通过的路程为25cm6. 向心力演示器如图所示，转动手柄1，可使变速塔轮2和3以及长槽和短槽5随之匀速转动，槽内的小球就做匀速圆周运动，小球做圆周运动的向心力由横臂6的挡板对小球的压力提供，求对挡板的反作用力通过横臂的杠杆使弹簧测力套筒7下降，从而露出标尺8，标尺8上露出的红白相间等分格子的多少可以显示出两个球所受向心力的大小，皮带分别套在塔轮2和3上的不通透圆盘上，可改变两个塔轮的转速比，以探究物体做圆周运动的向心力大小跟那些因素有关，具体关系怎样，现将小球A和B分别放在两边的槽内，小球A和B的质量分别为m A和m B，做圆周运动的半径分别为r A和r B。