有限元板壳——王勖成

xi x i a a yi y i b b

广义应变
[ ] L w L N a
薄板应变能：
h /2 1 1 T T ' U dV D dzdA 2 V 2 A h/2 1 1 T T D dA M dA 2 A 2 A

泛函表达式：
1 w T p D dxdy Vn dS M n dS S S S 3 2 3 2 n
边界条件
（1）位移边界条件
S1 S2
w |s1 w
（2）混合边界条件
w n s1
M n |s2 M n w |s2 w M ns 其中 (Qn ) Vn S s3 （3）力边界条件 2w 2w S3 M n |s3 M n M n |s2 D0 n 2 s 2
1 0 E [ D0 ] 1 0 1 2 1 0 0 2

内力：板单位宽度 上弯矩Mx 、 My和 Mxy ，为应力分量 在板截面上的合力 矩：
M x t [ M ] M y 2t z{ }dz 2 M xy
1-3项刚体位移
单元间法线导数 可能不连续
4-5项常应变 非协调元

将结点坐标和结点位移代入上式，可解出 a1~a12，再代入该式并整理得位移函数
w [ N ]{a}
式中形函数
e
[ N ] [ N1 N2 N3 N4 ]
[ N ]i [ Ni N xi N yi ]
1 N i (1 i )(1 i )(2 i i 2 2 8 1 N xi bi (1 i )(1 i )(1 2 ) ) (i 1,2,3,4 8 1 2 N yi a i (1 i )(1 i )(1 ) 8
t 2 t 2
弹性矩阵
3 t z 2 [ D p ]{ }dz [ D p ]{ } [ D ][ ] 12

薄板弯曲问题中的弹性矩阵[D]
1 0 1 0 Et3 1 [ D] 0 D0 1 0 2 12(1 ) 1 1 0 0 0 0 2 2

形变分量：中面x和y方向的曲率与x，y方向 的扭率。
广 义 应 变
2w 2 x 2 w { } 2 y 2 w 2 xy
{ } z{ }

应力
x { } y [ D p ]{ } z[ D p ]{ } xy
第十章
平板弯曲问题
主要内容：
薄板弯曲理论基本假设和基本方程
基于薄板理论的非协调板单元
基于薄板理论的协调板单元
1、薄板弯曲理论基本假设和基本方程
基本假设 ——Kirchhoff假设 （1）直法线假设：薄板中面法线变形后仍保持为法线 。由此，板中面内剪应变为零。 （2）忽略板中面的法线应力分量，且不计其引起的应 变。 （3）薄板中面内的各点没有平行于中面的位移，即中 面不 变形。 利用上述假设将平板弯曲问题转化为二维问题， 且全部应力和应变可以用板中面挠度w表示。 w w w w( x, y ) u z v z x y
a 2 e {a} a 3 a 4
Байду номын сангаас
2、位移模式 矩形薄板单元有4个结点，12个结点位移分 量，1个挠度独立变量，根据选取位移函数的原 则，取：
w( x, y) a1 a 2 x a3 y a 4 x 2 a5 xy a6 y 2 a7 x 3 a8 x 2 y a9 xy 2 a10 y 3 a11 x 3 y a12 xy 3


基本方程
w v z y
(1)位移：由假设（1）、（3），有 w w w( x, y ) u z x (2)应变
由假设（1）、（2），薄板弯曲问题只需要考虑三 个分量。根据几何方程，应变可表示为
2 w u 2 x x x u 2 w { } y z 2 y y xy u v 2w 2 y x xy
2、基于薄板理论的非协调板单元
2.1、矩形板元
wi 1)、结点位移 wi w 结点位移 {ai } xi ( ) i y 单元结点位移列阵 yi w ( ) i a 1 x
Et3 D0 12(1 2 )
内力矩表示薄板应力的公式
12 z { } 3 {M } t

平衡方程
2 M xy 2 M y 2M x 2 q( x, y) 0 2 2 x xy y

由广义应力应变关系及几何关系代入平衡方程得 由W的微分方程：
4w 4w 4w D0 ( 4 2 2 2 4 ) q( x, y) x x y y