数学建模——长江水质

全国大学生数学建模竞赛参赛队员 1.周少甫2.马铮3.周哲长江水质的评价和趋势分析模型【摘要】本文要解决的问题是：对长江沿江各处水质情况的相关数据进行分析，以确定哪些地方的水质污染较少和以后水质发展的一个相关的趋势。

通过对长江近几年水质的相关分析并结合了实际情况，对题目进行了简化假设。

在整体考虑各个问题的基础上抓住研究长江水质情况这根主线，建立了对长江水质的评价和趋势分析模型。

关于问题一的解决方法：首先，我们对长江近两年多来的观测数据做了一系列相关的分析和处理，将各种污染物的浓度进行标准的正交化，以得出一个年平均值标准；然后，以此年平均值标准考察沿江各个观测站的水质遭受污染的情况，并定量的进行相关数据的分析，并以此绘制了相关系列的图表，得出了长江水质污染总体上呈越来越严重的趋势；最后，分析比较各类主要污染物在沿江各各观测站污染程度的高低，综合评判了各观测站水质情况的好坏。

关于问题二的解决方法：首先，我们应用微分方程刻画出两个观测站之间污染物浓度的差值同污染物被降解的系数以及两个观测站距离的关系；然后建立浓度差值模型并绘制图表，通过分析两站点间的差值，方便快捷的找到了主要污染物的污染源。

关于问题三的解决方法：首先，我们对各类水质所占百分比的变化赋予权重，在验证了所赋权重的可靠性后，我们算出每年的污染指标；然后，依照过去10年的统计数据，预测了长江水质的污染趋势将会不断恶化变得越来越严重，国标将水质分为了六类，劣Ⅴ类水的比例将达到20%。

关于问题四的解决方法：首先，我们将水文年里干流中各类水的百分比变化情况反映在折线图上，并对各类水质的变化规律进行相关的研究，由此，我们推算出刚好使得干流水质超标的临界排放量；最后，我们线性拟合了年污水排放量的变化趋势，并预测了今后十年的污水排放总量。

从而，我们得到了每年应处理的污水量：关于问题五的解决方法：我们从经济管理的角度出发考虑如何有效的控制污物的排放量。

提供了两种管理方案：排污收费和排污征税。

对排放污水的企业分别采取不同的收费手段，在保证企业能够获得利润的前提下最大程度的限制污水的排放。

经计算，我们推荐采用排污征税方案，并且建议从创新的金融工具中筹集污水防治资金。

最后，我们对本模型的一些不足之处做了补充和修订，对第三问中的综合指标采用逐年预测法重新预测，每次预测一个指标，并将其作为新样本点预测下一个指标。

这样，最后的预测结果精度将会提高；另外，在第四问的计算中，我们引进随机函数：{(0,20),[0,0.3)(20,50),[0.3,1]()U x U x F x ∈∈=计算未来年份各类水所占的百分比，并由此确定每年应治理的河长。

关键词：综合指标算法 标准正交 浓度差值模型 逐年预测法问题重述近些年来,长江的水质已经越来越严重的被污染了,如果再得不到有效的治理，那么中国将面临更加严峻的形势.“保护母亲河”是我们数以万计的炎黄子孙义不容辞的责任和义务!附件里给出了17个观测站近两年多来主要水质指标的检测数据，以及干流上7个观测站近一年多的基本数据（站点距离、水流量和水流速）。

假设反映江河的自然净化能力的指标——降解系数为常数（介于0.1~0.5之间），水质标准分为5类和劣质水，现根据附表所提供的水质标准和水质报告，研究以下问题：1）定量的综合评价近两年来长江水质情况并分析各地区污染状况。

2）找出近一年多以来的主要污染源的位置。

3）根据近十年来的主要统计数据，预测长江未来水质污染的发展趋势。

4）根据上述预测，设计合理方案控制长江的水质污染。

5）你对解决长江水质污染问题有哪些切实可行的的建议和意见。

符号定义：D：溶解氧的指标数oM：高锰酸盐指标数nN：氨氮指标数P： ph值h：第i类水质，i=1，2，3，4，5，6ik：降解系数（单位：1/天）C：污染物浓度（单位：mg/L）模型假设1、长江干流的自然净化能力是均匀的，设它等于常数k。

2、一个观测站的水质污染只取决于本地区的排污和上游的污水。

3、不考虑降雨，蒸发等其他自然因素对长江污水浓度的影响。

4、假设相邻两观测站之间的水流速度我匀速的，且水流速等于两站点速度的平均值。

5、假设第一个（最上游的）观测站的污染物浓度是0C。

6、因为只有江西南昌滁槎在2004-12月时的ph值超标，其他时候各观测站的ph指标都在正常范围内。

故以下分析中我们都没有考虑ph值这项指标。

模型的建立问题一●综合指标算法首先根据附件3里的数据，计算出最近三年水质中污染物标准值的平均水平。

在《地表水环境质量标准》中我们发现3-、CODMn的标准值越小，NH N则该水质越好；而Do的标准值越大，该水质越好。

为了统一标准，我们取Do的倒数，使得三个标准值的大小与水质优劣相一致，那么综合指标越小说明该水质越好。

计算步骤如下：➢按年份计算17个地区3-、1/Do、CODMn年平均值NH N➢对3-、1/Do、CODMn赋予相同权重，计算17个地区各年的指标NH N➢计算17个地区的平均值可得到2003、2004、2005年的综合指标我们以这三个指标来判断各年长江的水质状况。

计算得：从上述的综合指标和附件4中可以看出长江水质在2003-2004年有恶化的趋势，可饮用的水从2003年的77.5%下降至68%，不可饮用水从12.2%上升至20.3%，更为严重的劣Ⅴ类水上升了1.6%。

当这种恶化的趋势引起政府和居民的高度重视，在2004年大力治理污水，因此在2005年长江的水质有了明显的改善。

进一步分析各地区水质的污染状况。

标准正交算法我们将ph值以外的污染物浓度按年份进行正交化处理，这样，我们便可以用统一标准来衡量三种污染物浓度的总和，然后，只要比较和的大小就能够综合评价水质的优劣。

首先将数据按列标准正交化，计算得到这两年多来各主要污染物的标准值如下表，考察各地区总体污染水平：由此数据绘制如下图像：从这张图里我们可以很直观的看出，近两年多来，四川乐山岷江大桥，江西南昌滁槎的水质基本上处在一个比较高的污染水平上，特别是江西南昌滁槎的水质，已经非常糟糕，污染指数总合甚至已经超过1；剩下的地区的水质都能维持在比较低的污染水平上。

然后考察各主要污染物在不同地区的污染程度先计算出各观测站近两年多来，他们评价的河长中所含的各类污染物的平均水平如下表：将数据绘制成折线图，如下：参照题目中所给的污染标准，我们可以非常方便的得出以下结论：➢对于指标3NH N来说，四川乐山岷江大桥、四川泸州沱江二桥、湖南长沙新港、江西南昌滁槎的污染比较严重，其中污染程度最严重的是江西南昌滁槎；➢对于指标CODM来说，湖南岳阳城陵矶、四川乐山岷江大桥、四川n泸州沱江二桥、湖南岳阳岳阳楼、湖北武汉宗关、江西九江蛤蟆石的污染比较严重，其中污染程度最严重的是四川乐山岷江大桥；➢对于指标D来说，四川乐山岷江大桥、四川泸州沱江二桥、湖南长o沙新港、江西南昌滁槎污染比较严重，其中四川乐山岷江大桥和江西南昌滁槎污染程度非常严重。

问题二浓度差值模型在第一问中，我们已经绘出了长江干流段各观测站水质中污染物的变化曲线，现在，我们只要把这些曲线集中的反映在下面这张表里，就可以非常直观的看出污染源究竟出现在哪些站点。

但在之前，我们还要考察一下江河的自然降解能力。

根据条件所给的数据，我们暂且假设降解系数k=0.2，下面我们计算污染物浓度随水流变化程度。

设C为上一个观测点的浓度，x为选取点到0C点的距离，v为水流速度，0t为时间，建立微分方程如下：*/,=-代入*v dC dx kC=，得：dx v dt=-=-，解微分方程，得：**/dC k dt k dx v/=，P是任意常数。

*kx vC P e-又 00,x C C == 所以，-/0*kx v C C e =而两检测点间污染物的浓度改变是由其自身降解和观测点处理（或排放）的污水决定的。

现在，我们定义污染物浓度差值：差值'0()C C C C ∆=--，若： {00C C ∆>∆<，有新增污染流入长江；，污水在此得到一定处理；由此算式可计算出监测站的污染物浓度差值如下表：绘制成下图：很明显，重庆朱沱和湖南岳阳的氨氮值一直都维持在很高的水平上，并且这两条曲线呈上升趋势，这种现象表明，即使污染物在不停的降解，水质污染依然加重。

于是我们可以断定，氨氮的污染源主要集中在重庆朱沱和湖南岳阳这两个地方。

同理，我们计算得出高锰酸盐浓度差值，绘得下图：在这张图里，观察发现：湖北宜昌南津关和湖南岳阳城陵矶是高锰酸盐的主要污染源。

问题三若不采取更有效的措施，很显然，随着污水年2排放总量的不断增加，长江水质将继续恶化。

对照附件4，我们重点考察了1995—2004这十年中，在水文年里长江流域水质情况。

为了能有效准确的预测长江未来十年的水质污染趋势，我们希望能计算出今后十年里长江各类河长所占百分比数值。

但是，如果直接将不同时期的同类河长的百分比数值放在一张表格中，并用多项式函数拟合，我们发现这样是不切实际的！因为这样拟合得到的函数曲线精度太低。

在这里，不妨以第Ⅳ类水质的河长百分比为例：从图里可以很清楚的反映出，点列分布得非常散，这些数值的出现几乎完全没有规律！但是由于 611i d =∑ ，若给各类河长百分比加权求和，我们将这个和定义成评价河长的指标值，记为：61()i i f x d β=∑ ，其中i d 是代表第i 类水河长所占百分比，i β是第i 类河长的权重。

接下来，我们要做的就是如何确定i β得到精度较高的拟合曲线，从而实现对未来十年长江水质污染情况的预测。

按照水质从优到劣，我们给i β赋值。

我们将Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类水质的河长赋予一个数量级的权重；将第Ⅳ、Ⅴ类水质的河长赋予另一个数量级的权重；最后剩下的劣Ⅴ类水质的河长赋予一个数量级的权重。

同时，我们规定，若()f x 越小，反映出优质水河长所占的百分比越大。

经反复计算后，得到以下这组权重以及对应的指标值()f x：然后，将这组数据用多项式拟合，得到下面的图像：20.9R ，表明拟合精度较高，可以用此曲线预测未来十年长江水质污染趋势。

利用excel软件计算，我们得到如下预测结果：由曲线的变化趋势，不难看出，在今后的十年中，污染指标值将高达200000，计算可以知道，届时劣Ⅴ类水质的河长所占比例将接近20%，换句话说，长江流域上的城市，有一半将无法使用长江水。

由此可见，若不采取任何有效措施保护母亲河，用不了多久，长江的整个生态系统就会经受巨大的破坏，中国的水资源将受到严重损害。

问题四在对附表四做了大量数据分析之后，我们发现用曲线来拟合点列分布，总是得不到很理想的结果。

但同时我们也发现，对于题目要求的：“将第Ⅳ、Ⅴ类水的比例控制在20%以内，且没有劣Ⅴ类水”这个条件，只有在少数几个年份里，长江的总体水质没有达到要求，具体情况见下表：（00、01、02、04年水质超标）再绘制出第Ⅳ、Ⅴ类水和第Ⅴ类水质河长所占百分比随年份变化的规律曲线：先考察一下这近十年来，长江水质的污染情况和恶化过程：➢95年—99年：长江的水质污染一直都没有超标，劣质水也没有出现，且第Ⅳ、Ⅴ类水呈周期性变化，振幅在15%左右。