八年级数学培优专题 专题20 正方形
八年级数学培优——正方形
第22讲正方形考点•方法•破译1．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫正方形，即邻边相等的矩形或有一个角为直角的菱形叫正方形．2．熟练掌握正方形的性质，并能在解决问题时将正方形与等腰直角三角形进行替换思考．3．掌握正方形的判断方法，并应用它的对称性质解决问题．经典•考题•赏析【例1】如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O, E是BD延长线上的点，且“CE是等边三角形.⑴求证：四边形ABCD是菱形；⑵若/AED=2Z EAD,求证：四边形ABCD是正方形.【变式题组】01.如图，已知正方形ABCD的对角线AC和BD相交于O,点M、N分别在OA、OD上, 且MN〃AD.探究：线段DM和CN之间的数童关系，写出结论并给出证明.A02.如图，点P是正方形ABCD对角线AC上的点，PE±AB, PF±BC, E、F是垂足，问PD与EF有怎样的关系？请说明理由.03 .如图，将正方形ABCD中的△ ABD绕对称中心O旋转至△ GEF的位置，EF交AB于M, GF交BD于N.请猜想BM与FN有怎样的数量关系？并证明你的结论.04．把一个正方形分成面积相等的四个三角形的方法有很多，除了可以分成相互全等的四个三角形外，你还能用三种不同的方法将正方形分成面积相等的四个三角形吗？请分别画出示意图.【例2】如图，正方形ABCD绕点A逆时针旋转废后得到正方形AEFG,边EF与CD交于点O.⑴以图中已标有字母的点为端点连接两条线段（正方形的对角线除外），要求所连接的两条线段相交且互相垂直，并说明这两条线段互相垂直的理由；⑵若正方形的边长为2cm，重叠部分（四边形AEOD）的面积为“ cm2,求旋转的角度.3【变式题组】01.如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕点A顺时针旋转45°,则这两个正方形重叠部分的面积是_________ .02.我们给定两个全等的正方形ABCD、AEFG它们共顶点A（如图1）,可以绕顶点A旋转，CD、EF相交于点P.⑴连接BE、DG（如图2）,求证：BE=DG, BE±DG⑵连接BG、CF（如图），求证：BG//CF.【例3】数学课上，张老师提出了问题：如图1,四边形ABCD是正方形，点E是BC 边的中点.Z AEF = 90°,且EF交正方形外角N DCG的平分线CF于点F,求证：AE=EF.经过思考，小明展示了一种正确的解题思路:取AB的中点M,连接ME,则似AM=EC, 易证△ AME/△ ECF,所以AE=EF.在此基础上,同学们进一步的研究：⑴小颖提出：如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B、C外）的任意一点”，其他条件不变，那么结论"AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确,写出证明过程；如果不正确,请说明理由；（2）小华提出：如图3,点E是边BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论" AE=EF”仍然成立.你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确,请说明理由．图】图2 图3【变式题组】01.如图，已知正方形ABCD在直线MN上方，BC在直线MN上；E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG.⑴连接GD,求证：△ ADG/△ ABE；⑵连接FC,观察并猜测Z FCN的度数，并说明理由.02.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的点，且AE± EF.⑴延长EF交正方形外角平分线CP于点P，试判断AE与EP的大小关系，并说明理由;⑵在AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明;若不存在,请说明理由．【例4】已知：正方形ABCD中，N MAN=45°,N MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别CB、DC（或它们的延长线）点M、N.当N MAN绕点A旋转至U BM=DN时（如图1）, 易证BM+DN=MN.⑴当N MAN绕点A旋转至U BN W DN时（如图2）,线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想,并加以证明；⑵当N MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想并明．【变式题组】01.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上移动，但A到EF的距离AH始终保持与AB长相等，问在E、F移动过程中:⑴N EAF的大小是否有变化？请说明理由；⑵^ECF的周长是否有变化？请说明理由.02.如图，有四个动点P、Q、E、F分别从边长为1的正方形ABCD的四个顶点出发，沿AB、BC、CD、DA以同样的速度向B、C、D、A各点移动⑴试判断四边形PQEF的形状，并证明；⑵PE是否总过某一定点，并说明理由；⑶四边形PQEF的顶点位于何处时，其面积最小和最大？各是多少?03.在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、％轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕点O顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=%上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=%于点M,BC边交％轴于点N（如图）.⑴旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；⑵设△ MBN的周长为p，在正方形OABC旋转的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论．【例5】小杰和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到了这样一道题：“已知正方形ABCD，点E、F、G、H只分别在AB、BC、CD、DA上，若EG± FH ,则GE=FH”经过思考，大家给出了以下两个方案：（甲）过点A做AM〃HF交BC于点M，过点B作BN〃EG交CD于点N；（乙）过点A做AM〃HF交BC于点M,作AN〃EG交CD的延长线于点N；小杰和他的同学顺利的解决了该题后，人家琢磨着想改变问题的条件，作更多的探索．⑴对小杰遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个，加以证明（如图1）；⑵如果把条件中的“EG± HF"改为“EG与HF的夹角为45°”，并假设正方形ABCD的边长为1, FH的长为至（如图2）,试求EG的长度.2【变式题组】01.若正方形ABCD的边长为4, E为BC边上一点，BE =3, M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F,且BF = AE，则BM的长为.02.如图，已知正方形ABCD的边长为3, E为BC边上一点，BE=1.以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°,得4ADE'，连接EE，，则EE'的长等于.03.已知正方形ABCD中,点E在边DC上，DE=2, EC=1（如图所示）把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为.04.小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD>CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处,折痕为（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）.如果第二次折叠后，M 点正好在N NDG的平分线上，矩形ABCD长与宽的比值为.E B (! B C /? C B E C H E① ②③第之题图第W题掰第4噩图05.平面内有一等腰直角三角板（N ACB=90°）和一直线MN.过点C作以CE± MN于点E,过点B作BF± MN于点F.当点E与A重合时（如图1）,易证：AF+BF=2CE.当三角板绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，清直接写出你的猜想,并证明．演练巩固•反馈提高01．顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（）A .等腰梯形反 正方形C 平行四边形。
初二数学知识点专题讲解与练习20---正方形(培优版)
F
A
D
M
B
C
A
D
F
EB
M C
E
G
图1
图G2
【例 3】如图，正方形 ABCD 中，E ，F 是 AB ，BC 边上两点，且 EF = AE + FC ， DG ⊥ EF 于 G ，求证： DG = DA .
（重庆市竞
2 / 17
解题思路：构造 AE + FC 的线段是解本例的关键．
赛试题）
A
D
E
G
B
延长线上 (CG > BC) ，取线段 AE 的中点 M .连 MD ， MF ． （1）探究线段 MD ， MF 的关系，并加以证明． （2）将正方形 CGEF 绕点 C 旋转任意角后（如图 2），其他条件不变． 探究线段 MD ， MF 的关系，并加以证明．
（大
连市中考题改编） 解题思路：由 M 为 AE 中点，想到“中线倍长法”再证三角形全等．
（黑龙江省中考 试题）
解题思路：对于（2），构造 DN − BM 是解题的关键．
4 / 17
A
D
N
BM
C
图1
A
D
C MB
A
D
N
BM
C
图2
人教版数学八年级培优竞赛 正方形 专题课件
CD 于 F.
A
D
E
A
D
E
P
F
P
F
B
图⑴
C
B
C
图⑵
（1）求证：PC=PE； （2）求 CPE 的度数； （3）如图②，把正方形 ABCD 改为菱形 ABCD，其他条件不变，若 ABC 65 ，则 CPE =__________.
（1）提示：证△ABP≌△CBP（SAS）； （2）由（1）知，AABP≌△CBP，∴∠BAP＝∠BCP，∴∠DAP＝∠DCP，∵PA ＝PE， ∴∠DAP＝∠E，.∴∠DCP＝∠E，∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等）， ∴180°－∠PFC－∠PCF＝180°－∠DFE－∠E，即∠CPF＝∠EDF＝90°； （3）115.
B A
图1
B A
图2
10.如图，在由边长为 1 的小正方形组成的网格图中有两个格点 A、B.（注： 网格线交点称为格点）
（1）请在图 1 中确定格点 C，使得△ABC 的面积为 12.如果符合题意的格点 C 不止一个，请分别用 C1 、 C2 、 C3 …表示；
（2）请用无刻度的直尺在图 2 中以 AB 为一边画一个面积为 18 的矩形 ABMN.
（第 3 题）
H
A
D
F
E
G
B
C
（第4题）
4.如图，正方形 ABCD 的边长为 1，AC，BD 是对角线，将△DCB 绕着点 D 顺时针旋转 45 得到△DGH，
HG 交 AB 于点 E，连接 DE 交 AC 于点 F，连接 FG.则下列结论：
① 四边形 AEGF 是菱形； ②△AED≌△GED； ③ DFG 112.5 ；④ BC+FG=1.5
八年级数学《正方形》重点知识及经典例题
八年级数学《正方形》重点知识及经典例题【学习目标】1．掌握正方形的定义、性质和判定方法．2．能正确区别平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系．3．能运用正方形的性质和判定方法进行有关的计算和证明．【主体知识归纳】1．正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2．正方形的性质：正方形除具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质外，还具有：（1）正方形的四个角都是直角，四条边都相等；（2）正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．3．正方形的判定（1）根据正方形的定义；（2）有一组邻边相等的矩形是正方形；（3）有一个角是直角的菱形是正方形；（4）既是矩形又是菱形的四边形是正方形．【基础知识精讲】1．掌握正方形定义是学好本节的关键，正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：正方形矩形平行四边形并且有一个角是直角的菱形四边形有一组邻边相等的平行⎭⎬⎫)()2()()1( 正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．2．正方形的性质可归纳如下：边：对边平行，四边相等；角：四个角都是直角；对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．此外：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴，学习时，应熟悉这些最基本的内容．【例题精讲】［例1］如图4－50，已知矩形ABCD 中，F 为CD 的中点，在BC 上有一点E ，使AE ＝DC ＋CE ，AF 平分∠EAD ．求证：矩形ABCD 是正方形．图4—50剖析：欲证矩形ABCD是正方形，只要证明有一组邻边相等即可，由已知AE＝DC＋CE，容易想到若能证明AE＝AD＋CE便可证得AD＝DC，由于AF平分∠EAD，因此可在AE上截取AG＝AD，再证GE＝CE，就可得出要证的结论．证明：在AE上截取AG＝AD，连结FG、FE．∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠C＝90°．∵AD＝AG，∠DAF＝∠GAF，AF＝AF∴△ADF≌△AGF，∴DF＝GF，∠D＝∠AGF＝90°．∵DF＝CF，∴GF＝CF．∵∠FGE＝∠C＝90°，FE＝FE，∴Rt△GFE≌Rt△CFE．∴GE＝CE，∴AD＋CE＝AE．又DC＋CE＝AE，∴AD＝DC．∴矩形ABCD是正方形．说明：要判定一个四边形是正方形，可先判定这个四边形是矩形，再证明有一组邻边相等；或先判定它是菱形，再证明有一个角是直角．［例2］如图4－51，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，过点A作AG⊥EB，垂足为G，AG交BD于点F，则OE＝OF．图4—51对上述命题的证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOE＝∠AOF＝90°，BO＝AO．∴∠3＋∠2＝90°，∵AG⊥BE，∴∠1＋∠3＝90°．∴∠1＝∠2，∴△BOE≌△AOF，∴OE＝OF问题：对于上述命题，若点E在AC延长线上，AG⊥EB，交EB的延长线于G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其他条件不变（如图4－52），结论“OE＝OF”还成立吗?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．图4—52剖析：可仿上述的证明，证△BOE≌△AOF．解：结论OE＝OF仍然成立，证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOE＝∠AOF＝90°，BO＝AO，∴∠OFA＋∠FAE＝90°又∵AG⊥EB，∴∠OEB＋∠EAF＝90°，∴∠OEB＝∠OFA，∴△BOE≌△AOF，∴OE＝OF．［例3］有一正方形池塘，池塘四个角上有四棵树，现计划把此池塘改为面积扩大一倍的正方形，能否不毁掉树木而达到要求？请你设计出方案来．图4—53剖析：新改造的池塘的面积是原面积的2倍，因此，新边长应为原边长的2倍，而正方形的对角线是边长的2倍，故以原对角线的长为边长构造新的正方形．答案：如图4－53，分别过B、D作AC的平行线，分别过A、C作BD的平行线，四条线分别交于A′、B′、C′、D′，则四边形A′B′C′D′为要求的正方形．。
专题正方形综合问题大题专练八年级数学下册尖子生同步培优题典原卷版浙教版
八年级数学下册尖子生同步培优题典【浙教版】专题5.8正方形综合问题大题专练（重难点培优）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一．解答题（共24小题）1．（2020春•皇姑区期末）如图，在▱BCFD中，点E是DF的中点，连接CE并延长，与BD的延长线相交于点A，连接CD，AF．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）若CA＝CB，则▱ADCF为（填矩形、菱形、正方形中的一个）．2．（2021春•台江区校级期中）如图，在正方形ABCD中，P为对角线BD上一点，过点P作PE⊥BC，PF ⊥CD，垂足分别为E，F．（1）求证：四边形PECF为矩形；（2）试探究AP与EF的数量关系，并说明理由．3．（2020秋•沈阳期末）如图，正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，连接PB，边作PE⊥PB交AD 边于点E，且点E不与点A，D重合，作PM⊥AD，PN⊥AB，垂足分别为点M和N．（1）求证：PM＝PN；（2）求证：EM＝BN．4．（2021秋•南海区月考）四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上点，且DE＝BF，连接AE、AF、EF．（1）求证：△ADE≌△ABF；（2）若BC＝4，DE＝1，求△ABF的面积．5．（2020春•潼南区期末）如图，在正方形ABCD中，点P为AD延长线上一点，连接AC、CP，F为AB 边上一点，满足CF⊥CP，过点B作BM⊥CF，分别交AC、CF于点M、N．（1）若AC＝AP，AC＝3，求△ACP的面积；（2）若BC＝MC，证明：CP＝BM+2FN．6．（2021春•黄石港区期末）已知：P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，垂足分别为E，F．（1）求证：AP＝PC；（2）若∠DAP＝30°，PD＝，求EF的长．7．如图，在△AFE中，∠F AE＝90°，AB是EF边上的高，以AB为一边在AB的右侧作正方形ABCD，CD交AE于点M．（1）求证：△ABF≌△ADM；（2）若AF＝13，DM＝5，求CM的长；（3）连接DF交AB于点G，连接GM，若∠DFB＝∠F AB，求证：四边形AGMD是矩形．8．（2019春•沙河市期末）如图，矩形ABCD和正方形ECGF．其中E、H分别为AD、BC中点，连接AF、HG、AH．（1）求证：AF＝HG；（2）求证：∠F AE＝∠GHC；9．（2021春•沙坪坝区期末）在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC，CD上，连结AE、AF．（1）如图1，过点E作EM⊥AF交AD于点M，求证：AF＝EM；（2）如图2，若AE平分∠BAF，求证：AF＝BE+DF．10．（2017春•凌源市期末）如图，正方形ABCD中，G为DC上一点，E为BC上一点．AG平分∠DAE，AG的延长线交BC的延长线于点F．（1）若BF＝8，CD＝4，求BE的长．（2）求证：EF﹣DG＝BE．11．（2019春•西城区期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是AD上任意一点，连接EO 并延长，交BC于点F，连接AF，CE．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若∠DAC＝60°，∠ADB＝15°，AC＝4．①直接写出▱ABCD的边BC上的高h的值；②当点E从点D向点A运动的过程中，下面关于四边形AFCE的形状的变化的说法中，正确的是A．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形B．平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形C．平行四边形→菱形→平行四边形→菱形→平行四边形D．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形12．（2021春•中山市期末）如图，已知四边形ABCD为正方形，点E在对角线AC上，连接DE，过点E 作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：ED＝EF；（2）若四边形DECG的面积为9，求CE+CG的值．13．（2020•昭阳区模拟）如图，在正方形ABCD中，P为对角线BD上一点，过点P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F．（1）求证：四边形PECF为矩形；（2）若正方形ABCD的边长为2，EC：FC＝1：3，求AP的值．14．（2019春•安陆市期中）在一次课题学习活动中，老师提出了如下问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．请你探究AE与EF存在怎样的数量关系，并证明你的结论正确．经过探究，小明得出的结论是AE＝EF．而要证明结论AE＝EF，就需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但△ABE和△ECF显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点E是边BC 的中点，小明想到的方法是如图2，取AB的中点M，连接EM，证明△AEM≌△EFC．从而得到AE＝EF．请你参考小明的方法解决下列问题：（1）如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，证明结论AE＝EF仍然成立．（2）如图4，若把条件“点E是边BC的中点”改为：“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE＝EF是否还成立？若成立，请完成证明过程，若不成立，请说明理由．15．（2021春•浦东新区期末）如图，正方形ABCD中，点G是CD边上的一点（点G不与点C，点D重合），以CG为一边向正方形ABCD外做正方形GCEF，联结DE交BG的延长线于点H．（1）求证：BH⊥DE；（2）若正方形ABCD的边长为1，当点H为DE中点时，求CG的长．16．（2019春•浦东新区期末）如图，一次函数y＝2x+4的图象与x、y轴分别相交于点A和B，以AB为边作正方形ABCD．（1）求点A、B、D的坐标．（2）设点M在x轴上，如果△ABM为等腰三角形，求点M的坐标．17．（2021春•杨浦区期末）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，联结DE，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，BF与边CD相交于点G．（1）求证：CG＝CE；（2）联结CF，求证：∠BFC＝45°；（3）如果正方形ABCD的边长为2，点G是边DC的中点，求EF的长．18．（2019•金山区二模）已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD＝∠DBC．（1）求证：四边形ABCD是正方形．（2）E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE＝OF．19．（2019•宽城区一模）问题探究：如图①，在正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边CD上，且AE＝DF．线段BE与AF相交于点G，GH是△BFG的中线．（1）求证：△ABE≌△DAF．（2）判断线段BF与GH之间的数量关系，并说明理由．问题拓展：如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．点E在边AD上，点F在边CD上，且AE＝2，DF＝3，线段BE与AF相交于点G．若GH是△BFG的中线，则线段GH的长为．20．（2020春•兴化市期中）如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC边上的动点（不与点B、C重合），将射线AE绕点A按逆时针方向旋转45°后交CD边于点F，AE、AF分别交BD于G、H两点．（1）当∠BEA＝55°时，求∠HAD的度数；（2）设∠BEA＝α，试用含α的代数式表示∠DF A的大小；（3）点E运动的过程中，试探究∠BEA与∠FEA有怎样的数量关系，并说明理由．21．（2019秋•邳州市期中）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF＝45°．（1）如图（1），试判断EF，BE，DF间的数量关系，并说明理由；（2）如图（2），若AH⊥EF于点H，试判断线段AH与AB的数量关系，并说明理由．22．（2021秋•宿豫区期中）（1）如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF＝45°，连接EF，探究BE、DF、EF之间的数量关系，并说明理由；（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF ＝∠BAD，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．23．（2020秋•海珠区校级期中）（1）如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边AB、BC上，∠EDF＝45°，连接EF，求证：EF＝AE+FC．（2）如图②，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，∠EDF＝45°，猜想EF、AE、FC的数量关系，并说明理由．24．（2019春•滨海县期中）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝∠CEF ＝45°．（1）若直线EF与AB、AD的延长线分别交于点M、N，求证：EF2＝ME2+NF2；（2）如图2，将正方形改为矩形，若其余条件不变，请写出线段EF、BE、DF之间的数量关系，并说明理由．。
2024年中考数学总复习考点培优训练第五章第四节正方形
第四节正方形基础过关1. 正方形具有而菱形不具有的性质是()A. 对角线平分一组对角B. 对角线相等C. 对角线互相垂直平分D. 四条边相等2. (2022玉林)若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD的两条对角线AC，BD一定是()A. 互相平分B. 互相垂直C. 互相平分且相等D. 互相垂直且相等3. (2023自贡)如图，边长为3的正方形OBCD两边与坐标轴正半轴重合，点C的坐标是()A. (3，－3)B. (－3，3)C. (3，3)D. (－3，－3)第3题图4. (2023重庆A卷)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°.若∠BAE＝α，则∠FEC一定等于()A. 2αB. 90°－2αC. 45°－αD. 90°－α第4题图5. (2023龙东地区)在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，试添加一个条件_________________________，使得矩形ABCD为正方形．6. (2023宁夏)如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E在AD上，连接EB，EC，则图中阴影部分的面积是__________．第6题图7. (2023湘潭)七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为4 dm的正方形纸板制作了一副七巧板，如图所示，由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成，则图中阴影部分的面积为__________dm2.第7题图8. (2023怀化)如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E，PE＝3.则点P到直线AB的距离为__________．第8题图9. (2023枣庄)如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝7，点F为DE的中点，若△CEF的周长为32，则OF的长为__________．第9题图10. (2022贵阳)如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为O，点F在DC上，且MF∥AD.(1)求证：△ABE≌△FMN；(2)若AB＝8，AE＝6，求ON的长．第10题图综合提升11. (2023安徽)如图，点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上，EF ⊥AB 于点F ，连接DE 并延长，交边BC 于点M ，交边AB 的延长线于点G .若AF ＝2，FB ＝1，则MG ＝( ) A. 23 B.352C. 5 ＋1D. 10第11题图12. (2023黑白卷)如图，在正方形ABCD 中，点E 为BD 上一点，DE ＝3BE ，连接AE ，过点E 作AE 的垂线，交CD 于点F ，连接AF 交BD 于点G .下列结论：①sin ∠BAE ＝13 ；②∠EAF ＝45°；③点F 为CD 的中点；④BE ＋DG ＝GE .其中正确的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个第12题图新考法推荐13. (数学文化)(2023杭州)第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形(△DAE ，△ABF ，△BCG ，△CDH )和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF>∠BAF，连接BE.设∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1∶n，tan α＝tan2β，则n＝()A. 5B. 4C. 3D. 2第13题图。
初中八年级数学重点学习课件：正方形(知识点串讲)(解析版)
专题10 正方形知识网络重难突破一. 正方形的性质正方形：有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 如图：正方形ABCD.正方形除了具有平行四边形的所有性质外，还具有矩形和菱形的所有性质，如下：①正方形的对边平行且相等；（AB∥CD，AB=CD；BC∥AD，BC=AD）②正方形的四条边都相等；（AB=BC=CD=AD）③正方形的四个角都是直角；（∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠CBA=90°）④正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；（AC=BD，AC⊥BD，OA=OB=OC=OD，AC是∠DAB和∠DCB的角平分线，BD是∠ADC和∠CBA的角平分线）⑤对称性：正方形是一个轴对称图形，它有四条对称轴.（对称轴是它对边中点的连线和它的两条对角线所在的直线（AC，BD））典例1．（2018春•随县期末）已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE，过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB＝1．其中正确结论的序号是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④【答案】A【解析】解：①∵∠EAB+∠BAP＝90°，∠PAD+∠BAP＝90°，∴∠EAB＝∠PAD，又∵AE＝AP，AB＝AD，∵在△APD和△AEB中，，∴△APD≌△AEB（SAS）；故此选项成立；③∵△APD≌△AEB，∴∠APD＝∠AEB，∵∠AEB＝∠AEP+∠BEP，∠APD＝∠AEP+∠PAE，∴∠BEP＝∠PAE＝90°，∴EB⊥ED；故此选项成立；②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，∵AE＝AP，∠EAP＝90°，∴∠AEP＝∠APE＝45°，又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，∴∠FEB＝∠FBE＝45°，又∵BE，∴BF＝EF，故此选项正确；④如图，连接BD，在Rt△AEP中，∵AE＝AP＝1，∴EP，又∵PB，∴BE，∵△APD≌△AEB，∴PD＝BE，∴S△ABP+S△ADP＝S△ABD﹣S△BDP S正方形ABCD DP×BE（4）．故此选项不正确．综上可知其中正确结论的序号是①②③，故选：A．【点睛】①利用同角的余角相等，易得∠EAB＝∠PAD，再结合已知条件利用SAS可证两三角形全等；②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，利用③中的∠BEP＝90°，利用勾股定理可求BE，结合△AEP是等腰直角三角形，可证△BEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF、BF；③利用①中的全等，可得∠APD＝∠AEB，结合三角形的外角的性质，易得∠BEP＝90°，即可证；④连接BD，求出△ABD的面积，然后减去△BDP的面积即可．典例2．（2018春•宿松县期末）如图，正方形ABCD的边长为2，MN∥BC分别交AB、CD于点M、N，在MN上任取两点P、Q，那么图中阴影部分的面积是___．【答案】2【解析】解：由图知，阴影部分的面积等于正方形的面积减去△AQD和△BCP的面积．而点P到BC的距离与点Q到AD的距离的和等于正方形的边长，即△AQD和△BCP的面积的和等于正方形的面积的一半，故阴影部分的面积22＝2．故答案为：2．【点睛】阴影部分的面积等于正方形的面积减去△AQD和△BCP的面积和．而两个三角形等底即为正方形的边长，它们的高的和等于正方形的边长，得出阴影部分的面积＝正方形面积的一半即可．本题考查正方形的性质，正方形的面积，三角形的面积公式灵活运用，注意图形的特点．典例3．（2018春•长清区期末）如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去…记正方形ABCD的边为a1＝1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a2、a3、a4、…a n，根据以上规律写出的表达式_______．【答案】2n﹣1【解析】解：∵a2＝AC，且在直角△ABC中，AB2+BC2＝AC2，∴a2a1，同理a3a2＝2，a4a3＝2，…由此可知：a n＝（）n﹣1，则2n﹣1．故答案为：2n﹣1．【点睛】求a2的长即AC的长，根据直角△ABC中AB2+BC2＝AC2可以计算，同理计算a3、a4．由求出的a2a1，a3a2…，a n，a n﹣1＝（）n﹣1，可以找出规律，得到第n个正方形边长的表达式．本题考查了正方形的性质，以及勾股定理在直角三角形中的运用，考查了学生找规律的能力，本题中找到a n的规律是解题的关键．典例4．（2018春•东城区期末）正方形ABCD中，点P是边CD上的任意一点，连接BP，O为BP的中点，作PE⊥BD于E，连接EO，AE．（1）若∠PBC＝α，求∠POE的大小（用含α的式子表示）；（2）用等式表示线段AE与BP之间的数量关系，并证明．【答案】见解析【解析】解：（1）在正方形ABCD中，BC＝DC，∠C＝90°，∴∠DBC＝∠CDB＝45°，∵∠PBC＝α，∴∠DBP＝45°﹣α，∵PE⊥BD，且O为BP的中点，∴EO＝BO，∴∠EBO＝∠BEO，∴∠EOP＝∠EBO+∠BEO＝90°﹣2 α；（2）连接OC，EC，在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，BE＝BE，∴△ABE≌△CBE，∴AE＝CE，在Rt△BPC中，O为BP的中点，∴CO＝BO，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠COP＝2 α，由（1）知∠EOP＝90°﹣2α，∴∠EOC＝∠COP+∠EOP＝90°，又由（1）知BO＝EO，∴EO＝CO．∴△EOC是等腰直角三角形，∴EO2+OC2＝EC2，∴EC OC，即BP，∴BP．【点睛】（1）先根据正方形的性质得：∠DBC＝∠CDB＝45°，则∠DBP＝45°﹣α，根据直角三角形斜边中线的性质可得EO＝BO，由等腰三角形性质和外角的性质可得结论；（2）作辅助线，证明△ABE≌△CBE，则AE＝CE，根据直角三角形斜边中线的性质得：OC＝OB＝OP ＝OE，证明△EOC是等腰直角三角形，最后由勾股定理可得：BP，所以BP．本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，第（2）问有难度，作辅助线，构建全等三角形和等腰直角三角形是解决问题的关键．典例5．（2018春•永康市期末）如图，点A是x轴上的一个动点，点C在y轴上，以AC为对角线画正方形ABCD，已知点C的坐标是C（0，4），设点A的坐标为A（n，0）．（1）当n＝2时，正方形ABCD的边长AB＝_______．（2）连结OD，当OD时，n＝_____．【答案】见解析【解析】解：（1）当n＝2时，OA＝2，在Rt△COA中，AC2＝CO2+AO2＝20．∵ABCD为正方形，∴AB＝CB．∴AC2＝AB2+CB2＝2AB2＝20，∴AB．故答案为：．（2）如图所示：过点D作DM⊥y轴，DN⊥x轴．∵ABCD为正方形，∴A、B、C、D四点共圆，∠DAC＝45°．又∵∠COA＝90°，∴点O也在这个圆上，∴∠COD＝∠CAD＝45°．又∵OD，∴DN＝DM＝1．∴D（﹣1，1）．在Rt△DNA和Rt△DMC中，DC＝AD，DM＝DN，∴△DNA≌△DMC．∴CM＝AN＝OC﹣MO＝3．∵D（﹣1，1），∴A（2，0）．∴n＝2．如下图所示：过点D作DM⊥y轴，DN⊥x轴．∵ABCD为正方形，∴A、B、C、D四点共圆，∠DAC＝45°．又∵∠COA＝90°，∴点O也在这个圆上，∴∠AOD＝∠ACD＝45°．又∵OD，∴DN＝DM＝1．∴D（1，﹣1）．同理：△DNA≌△DMC，则AN＝CM＝5．∴OA＝ON+AN＝1+5＝6．∴A（6，0）．∴n＝6．综上所述，n的值为2或6．故答案为：2或6．【点睛】（1）在Rt△AOC中，利用勾股定理求出AC的长度，然后再求得正方形的边长即可；（2）先求得OD与y轴的夹角为45°，然后依据OD的长，可求得点D的坐标，过点D作DM⊥y轴，DN⊥x轴，接下来，再证明△DNA≌△DMC，从而可得到CM＝AN，从而可得到点A的坐标．本题主要考查的是正方形的性质、全等三角形的性质、四点共圆，证得OD与两坐标轴的夹角为45°是解题的关键．典例6．（2018春•鹿泉区期末）如图（1），正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．（1）求证：OE＝OF；（2）如图2若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，AM交DB的延长线于点F，其他条件不变，结论“OE＝OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．【答案】见解析【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形．∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA．又∵AM⊥BE，∴∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE，∴∠MEA＝∠AFO．在△BOE和△AOF中，∵，∴△BOE≌△AOF．∴OE＝OF．（2）OE＝OF成立．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA．又∵AM⊥BE，∴∠F+∠MBF＝90°，∠E+∠OBE＝90°，又∵∠MBF＝∠OBE，∴∠F＝∠E．在△BOE和△AOF中，∵，∴△BOE≌△AOF．∴OE＝OF．【点睛】（1）根据正方形的性质对角线垂直且平分，得到OB＝OA，又因为AM⊥BE，所以∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE，从而求证出Rt△BOE≌Rt△AOF，得到OE＝OF．（2）根据第一步得到的结果以及正方形的性质得到OB＝OA，再根据已知条件求证出Rt△BOE≌Rt△AOF，得到OE＝OF．本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质，将待求线段放到两个三角形中，通过证明三角形全等得到对应边相等是解题的关键．典例7．（2018春•梁山县期末）以四边形ABCD的边AB、AD为边分别向外侧作等边三角形ABF和ADE，连接EB、FD，交点为G．（1）当四边形ABCD为正方形时（如图1），EB和FD的数量关系是_______；（2）当四边形ABCD为矩形时（如图2），EB和FD具有怎样的数量关系？请加以证明；（3）四边形ABCD由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，∠EGD是否发生变化？如果改变，请说明理由；如果不变，请在图3中求出∠EGD的度数．【答案】见解析【解析】（1）EB＝FD，理由如下：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∵以四边形ABCD的边AB、AD为边分别向外侧作等边三角形ABF和ADE，∴AF＝AE，∠FAB＝∠EAD＝60°，∵∠FAD＝∠BAD+∠FAB＝90°+60°＝150°，∠BAE＝∠BAD+∠EAD＝90°+60°＝150°，∴∠FAD＝∠BAE，在△AFD和△ABE中，，∴△AFD≌△ABE，∴EB＝FD；（2）EB＝FD．证：∵△AFB为等边三角形∴AF＝AB，∠FAB＝60°∵△ADE为等边三角形，∴AD＝AE，∠EAD＝60°∴∠FAB+∠BAD＝∠EAD+∠BAD，即∠FAD＝∠BAE∴△FAD≌△BAE∴EB＝FD；（3）解：同（2）易证：△FAD≌△BAE，∴∠AEB＝∠ADF，设∠AEB为x°，则∠ADF也为x°于是有∠BED为（60﹣x）°，∠EDF为（60+x）°，∴∠EGD＝180°﹣∠BED﹣∠EDF＝180°﹣（60﹣x）°﹣（60+x）°＝60°．【点睛】（1）EB＝FD，利用正方形的性质、等边三角形的性质和全等三角形的证明方法可证明△AFD ≌△ABE，由全等三角形的性质即可得到EB＝FD；（2）当四边形ABCD为矩形时，EB和FD仍旧相等，证明的思路同（1）；（3）四边形ABCD由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，∠EGD不发生变化，是一定值，为60°．本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质以及矩形的性质，题目的综合性很强，难度也不小，解题的关键是对特殊几何图形的性质要准确掌握．二. 正方形的判定正方形的判定方法：①有一组邻边相等的矩形是正方形；②有一个角是直角的菱形是正方形.典例1．（2018春•宿豫区期末）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．要使四边形ABCD 是正方形，还需添加一组条件．下面给出了五组条件：①AB＝AD，且AC＝BD；②AB⊥AD，且AC ⊥BD；③AB⊥AD，且AB＝AD；④AB＝BD，且AB⊥BD；⑤OB＝OC，且OB⊥OC．其中正确的是________（填写序号）．【答案】①②③⑤【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形，又∵AC＝BD，∴四边形ABCD是正方形，①正确；∵四边形ABCD是平行四边形，AB⊥AD，∴四边形ABCD是矩形，又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形，②正确；∵四边形ABCD是平行四边形，AB⊥AD，∴四边形ABCD是矩形，又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形，③正确；④AB＝BD，且AB⊥BD，无法得出四边形ABCD是正方形，故④错误；∵四边形ABCD是平行四边形，OB＝OC，∴四边形ABCD是矩形，又∵OB⊥OC，∴四边形ABCD是正方形，⑤正确；故答案为：①②③⑤．典例2 ．（2018春•浦东新区期末）已知：如图，在等边三角形ABC中，过边AB上一点D作DE⊥BC，垂足为点E，过边AC上一点G作GF⊥BC，垂足为点F，BE＝CF，联结DG．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）连接AF，当∠BAF＝3∠FAC时，求证：四边形DEFG是正方形．【答案】见解析【解析】证明：（1）在等边三角形ABC中，∵DE⊥BC，GF⊥BC，∴∠DEF＝∠GFC＝90°，∴DE∥GF，∵∠B＝∠C＝60°，BE＝CF，∠DEB＝∠GFC＝90°，∴△BDE≌△CGF，∴DE＝GF，∴四边形DEFG是平行四边形；（2）在平行四边形DEFG中，∵∠DEF＝90°，∴平行四边形DEFG是矩形，∵∠BAC＝60°，∠BAF＝3∠FAC，∴∠GAF＝15°，在△CGF中，∵∠C＝60°，∠GFC＝90°，∴∠CGF＝30°，∴∠GFA＝15°，∴∠GAF＝∠GFA，∴GA＝GF，∵DG∥BC，∴∠ADG＝∠B＝60°，∴△DAG是等边三角形，∴GA＝GD，∴GD＝GF，∴矩形DEFG是正方形．【点睛】（1）根据等边三角形的性质和平行四边形的判定证明即可；（2）根据等边三角形的判定和性质以及正方形的判定解答即可．此题考查正方形的判定，关键是根据全等三角形的判定和性质以及正方形的判定解答．典例3．（2017秋•南海区期末）如图，以△ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形ABDI，BCFE，ACHG．（1）求证：△BDE≌△BAC；（2）求证：四边形ADEG是平行四边形．（3）直接回答下面两个问题，不必证明：①当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？②当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？【答案】见解析【解析】解析：（1）证明：∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，∴AC＝AG，AB＝BD，BC＝BE，∠GAC＝∠EBC＝∠DBA＝90°．∴∠ABC＝∠EBD（同为∠EBA的余角）．在△BDE和△BAC中，，∴△BDE≌△BAC（SAS），（2）∵△BDE≌△BAC，∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE．∵AD是正方形ABDI的对角线，∴∠BDA＝∠BAD＝45°．∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45°，∠DAG＝360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD＝360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°＝225°﹣∠BAC∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC＝180°∴DE∥AG，∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等）．（3）①当四边形ADEG是矩形时，∠DAG＝90°．则∠BAC＝360°﹣∠BAD﹣∠DAG﹣∠GAC＝360°﹣45°﹣90°﹣90°＝135°，即当∠BAC＝135°时，平行四边形ADEG是矩形；②当四边形ADEG是正方形时，∠DAG＝90°，且AG＝AD．由①知，当∠DAG＝90°时，∠BAC＝135°．∵四边形ABDI是正方形，∴AD AB．又∵四边形ACHG是正方形，∴AC＝AG，∴AC AB．∴当∠BAC＝135°且AC AB时，四边形ADEG是正方形．【点睛】（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得△BDE≌△BAC，（2）由△BDE≌△BAC，可得全等三角形的对应边DE＝AG．然后利用正方形对角线的性质、周角的定义推知∠EDA+∠DAG＝180°，易证ED∥GA；最后由“一组对边平行且相等”的判定定理证得结论；（3）①根据“矩形的内角都是直角”易证∠DAG＝90°．然后由周角的定义求得∠BAC＝135°；②由“正方形的内角都是直角，四条边都相等”易证∠DAG＝90°，且AG＝AD．由□ABDI和□ACHG 的性质证得，AC AB．巩固练习1．（2018春•琼中县期末）如图，在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE＝AC，连接AE交CD于F，则∠AFC等于（）A．112.5°B．120°C．135°D．145°【答案】A【解析】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠ACD＝90°，∴∠DCE＝90°，又∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠ACF＝45°，∴∠ACE＝∠DCE+∠ACF＝135°，∵CE＝CA，∴∠FAC＝∠E（180°﹣135°）＝22.5°∴∠AFD＝∠FAC+∠ACF＝22.5°+45°＝67.5°，∴∠AFC＝180°﹣67.5°＝112.5°，故选：A．2．（2018春•花都区期末）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．B．C．D．2【答案】A【解析】解：连接AC、CF，如图，∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴∠ACD＝45°，FCG＝45°，AC BC，CF CE＝3，∴∠ACF＝45°+45°＝90°，在Rt△ACF中，AF2，∵H是AF的中点，∴CH AF．故选：A．3．（2018春•济南期末）如图，P为边长为2的正方形ABCD的对角线BD上任一点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF，给出以下4个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③EF最短长度为；④若∠BAP＝30°时，则EF的长度为2．其中结论正确的有（）A．①②③B．①②C．②③④D．①③④【答案】B【解析】解：①如图，连接PC，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，在△ABP和△CBP中，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴AP＝PC，∵PE⊥BC，PF⊥CD，且∠FCE＝90°，∴四边形PECF为矩形，∴PC＝EF，∴AP＝EF，故①正确；②延长AP交BC于点G，由①可得∠PCE＝∠PFE＝∠BAP，∵PE∥AB，∴∠EPG＝∠BAP，∴∠EPG＝∠PFE，∵∠EPF＝90°，∴∠EPG+∠PEF＝∠PEG+∠PFE＝90°，∴AP⊥EF，故②正确；③当AP⊥BD时，AP有最小值，此时P为BD的中点，由①可知EF＝AP，∴EF的最短长度为，故③错误；④当点P在点B或点D位置时，AP＝AB＝2，∴EF＝AP≤2，∴当∠BAP＝30°时，AP＜2，即EF的长度不可能为2，故④错误；综上可知正确的结论为①②．故选：B．4．（2018春•苍南县期末）如图，点B在线段AC上，且BC＝2AB，点D，E分别是AB，BC的中点，分别以AB，DE，BC为边，在线段AC同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）．其面积分别记作S1，S2，S3，若S1+S3＝15，则S2＝___．【答案】6【解析】解：设DB＝x，则S1＝x2，S2＝x×2x＝2x2，S3＝2x×2x＝4x2．由题意得，S1+S3＝15，即x2+4x2＝15，解得x2＝3，所以S2＝2x2＝6，故答案为：6．5．（2018春•丰台区期末）菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个条件，使得菱形ABCD 成为正方形，这个条件可以是_______________________．（写出一种情况即可）【答案】AC＝BD（或∠ABC＝90°）【解析】解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：AC＝BD；根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：∠ABC＝90°；故添加的条件为：AC＝BD或∠ABC＝90°．故答案为AC＝BD（或∠ABC＝90°）6．（2018秋•普宁市期末）如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去第n个正方形的边长为____．【答案】（）n﹣1【解析】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝1，∠B＝90°，∴AC2＝12+12，AC同理可得：AE＝（）2，AG＝（）3…，∴第n个正方形的边长a n＝（）n﹣1．故答案为（）n﹣1．7．（2018春•惠山区期末）如图，正方形ABCD的边长为2，顶点A在y轴上，顶点B在x轴上，则OD 的最大值是___．【答案】1【解析】解：取AB的中点K，连接OK、DK．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OK＝1，再根据正方形的性质可得DK，∵OK+DK＞OD，∴当O、K、D三点共线时OD最长，∴OD的最大值为1，故答案为：1．8．（2018春•洛宁县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，四边形ABDE、AGFC都是正方形．求证：BG＝EC．【答案】见解析【解析】证明：∵四边形ABDE，AGFC都是正方形，∴AE＝AB，AC＝AG，∠EAB＝∠CAG＝90°.∵∠EAC+∠CAB＝∠EAB＝90°，∠GAB+∠CAB＝90°，∴∠EAC＝∠BAG，在△EAC和△BAG中，∴△EAC≌△BAG（SAS），∴BG＝CE．9．（2018春•庆云县期末）探究：如图，分别以△ABC的两边AB和AC为边向外作正方形ANMB和正方形ACDE，NC、BE交于点P．求证：∠ANC＝∠ABE．应用：Q是线段BC的中点，若BC＝6，则PQ的长度是多少？【答案】见解析【解析】证明：∵四边形ANMB和ACDE是正方形，∴AN＝AB，AC＝AE，∠NAB＝∠CAE＝90°，∵∠NAC＝∠NAB+∠BAC，∠BAE＝∠BAC+∠CAE，∴∠NAC＝∠BAE，在△ANC和△ABE中，ANAN＝AB，∠NAC＝∠BAE，AC＝AE ∴△ANC≌△ABE（SAS），∴∠ANC＝∠ABE．解：如图所示：∵四边形NABM是正方形，∴∠NAB＝90°，∴∠ANC+∠AON＝90°，∵∠BOP＝∠AON，∠ANC＝∠ABE，∴∠ABP+∠BOP＝90°，∴∠BPC＝∠ABP+∠BOP＝90°，∵Q为BC中点，BC＝6，∴PQ BC＝3．10．（2018春•徐州期末）已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在AB、AD、CD上，AB＝6，AE＝2，DG＞AE，BF＝EG，BF与EG交于点P．（1）求证：BF⊥EG；（2）连接DP，则DP的最小值为____．【答案】见解析【解析】（1）证明：如图1，过点E作EM⊥CD于M，交BF于点N，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠A＝∠D＝∠DME＝90°，∴四边形ADME是矩形，∴EM＝AD＝AB，∵BF＝EG，∴Rt△BAF≌Rt△EMG（HL），∴∠ABF＝∠MEG，在Rt△BEN中，∵∠ABF+∠ENB＝90°，∴∠MEG+∠ENB＝90°，∴∠EPF＝90°，∴BF⊥EG；（2）如图2，取BE的中点O，连接OP、OD，∵△EPB是直角三角形，∴OP BE，∵AB＝6，AE＝2，∴BE＝6﹣2＝4，OB＝OE＝2，∵OD﹣OP≤DP，∴当O、P、D共线时，DP有最小值，如图3，∵PO2，∴OD2，∴PD＝22，即DP的最小值为22；故答案为：22；11．（2018春•平定县期末）如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，PM⊥AD，PN⊥AB，垂足分别为点M和N，PE⊥PB交AD于点E．（1）求证：四边形MANP是正方形；（2）求证：EM＝BN．【答案】见解析【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°，AC平分∠DAB，∵PM⊥AD，PN⊥AB，∴∠PMA＝∠PNA＝90°，∴四边形MANP是矩形，∵AC平分∠DAB，PM⊥AD，PN⊥AB，∴PM＝PN，（3分）∴四边形MANP是正方形；（2）∵四边形ABCD是正方形，∴PM＝PN，∠MPN＝90°，∵∠EPB＝90°，∴∠MPE+∠EPN＝∠NPB+∠EPN＝90°，∴∠MPE＝∠NPB，在△EPM和△BPN中，∵，∴△EPM≌△BPN（ASA），∴EM＝BN．12．（2018春•秦淮区期末）如图，在矩形ABCD中，Q是BC的中点，P是AD上一点，连接PB、PC，E、F分别是PB、PC的中点，连接QE、QF．（1）求证：四边形PEQF是平行四边形．（2）①当点P在什么位置时，四边形PEQF是菱形？证明你的结论；②矩形ABCD的边AB和AD满足什么条件时，①中的菱形PEQF是正方形？（直接写出结论，不需要说明理由）【答案】见解析【解析】解：（1）证明：在△PBC中，E、F分别是PB、PC的中点，Q是BC的中点，∴QE、QF为△PBC的中位线，∴QE∥PF，QF∥PE，∴四边形PEQF是平行四边形；（2）①当点P为AD的中点时，四边形PEQF是菱形，理由是：当P为AD的中点时，AP＝PD，由勾股定理得：PB，PC，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∴PB＝PC，∵E、F分别是PB、PC的中点，∴PE＝PF，由（1）知：四边形PEQF是平行四边形，∴四边形PEQF是菱形；②矩形ABCD的边AB和AD满足AD＝2AB时，①中的菱形PEQF是正方形，理由是：∵AD＝2AB，AD＝2AP，∴AB＝AP，∴△ABP是等腰直角三角形，∴∠APB＝45°，同理可得∠CPD＝45°，∴∠EPF＝90°，∴①中的菱形PEQF是正方形．。
八年级数学培优资料word版(全年级全章节培优_保证经典)
目录第01讲全等三角形的性质与判定1经典·考题·赏析1演练巩固·反馈提高5培优升级·奥赛检测7第02讲角平分线的性质与判定10经典·考题·赏析10培优升级·奥赛检测13第3讲轴对称及轴对称变换15经典·考题·赏析15演练巩固·反馈提高18培优升级·奥赛检测20第4讲等腰三角形23经典·考题·赏析23培优升级·奥赛检测30第五讲等边三角形33经典考题赏析33巩固练习反馈提高36第06讲实数38经典·考题·赏析38演练巩固反馈提高39培优升级奥赛检测41第7讲变量与函数43经典·考题·赏析43演练巩固·反馈提高46第8讲一次函数的图象与性质48经典·考题·赏析48演练巩固·反馈提高52培优升级·奥赛检测55第9讲一次函数与方程、不等式56经典·考题·赏析56演练巩固·反馈提高59第10讲一次函数的应用61经典·考题·赏析61演练巩固反馈提高68第11讲幂的运算71经典·考题·赏析71演练巩固反馈提高72培优升级奥赛检测73第12讲整式的乘除75经典·考题·赏析75演练巩固·反馈提高77第13讲因式分解及其应用80经典·考题·赏析80演练巩固反馈提高83培优升级奥赛检测83第14讲分式的概念•性质与运算85经典•考题•赏析85演练巩固反馈提高89培优升级奥赛检测90第15讲分式的化简求值与证明92经典•考题•赏析92演练巩固反馈提高96培优升级奥赛检测98第16讲分式方程及其应用99经典·考题·赏析100演练巩固·反馈提高103培优升级·奥赛检测105第17讲反比例函数的图象与性质106经典·考题·赏析107演练巩固·反馈提高112培优升级·奥赛检测115第18讲反比例函数的应用118经典·考题·赏析118演练巩固反馈提高121培优升级奥赛检测123第19讲勾股定理125经典·考题·赏析125演练巩固·反馈提高130培优升级•奥赛检测132第20讲平行四边形135经典•考题•赏析135演练巩固反馈提高139培优升级奥赛检测141第21讲菱形与矩形143经典·考题·赏析143演练巩固反馈提高147培优升级奥赛检测150第22讲正方形154经典•考题•赏析154演练巩固·反馈提高159培优升级·奥赛检测161第23讲梯形163经典•考题•赏析163演练巩固反馈提高. 165培优升级奥赛检测167第24讲数据的分析171经典·考题·赏析171演练巩固·反馈提高175培优升级·奥赛检测177模拟测试卷（一）180模拟测试卷(二) 183模拟测试卷（三）186AF CEDB B AC DE F第01讲 全等三角形的性质与判定考点·方法·破译1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同； 2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；3．全等三角形判定方法有：SAS ,ASA ,AAS ,SSS ，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL 法；4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图，AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90°,AB ＝CD ，那么图中有全等三角形（ ） A ．5对 B ．4对 C ．3对 D ．2对【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.解：⑴∵AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90. ∴∠DCB ＝90.在△ABC 和△DCB 中 AB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABC ≌∴△DCB （SAS ） ∴∠A ＝∠D⑵在△ABE 和△DCE 中A DAED DEC AB DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△ABE ≌∴△DCE ∴BE ＝CE ⑶在Rt △EFB 和Rt △EFC 中BE CEEF EF=⎧⎨=⎩ ∴Rt △EFB ≌Rt △EFC （HL ）故选C .【变式题组】 01．（天津）下列判断中错误的是（ ）A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等 02．（丽水）已知命题：如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，且AD ＝BE ，∠A ＝∠FDE ，则△ABC ≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.03．(上海)已知线段AC 与BD 相交于点O , 连接AB 、DC ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，连接EF （如图所示）.⑴添加条件∠A ＝∠D ，∠OEF ＝∠OFE ，求证：AB ＝DC ； ⑵分别将“∠A ＝∠D ”记为①，“∠OEF ＝∠OFE ”记为②，“AB ＝DC ”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空格）.【例２】已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CF ＝FB . 求证：AF ＝DE .【解法指导】想证AF ＝DE ，首先要找出AF 和DE 所在的三角形.AF 在△AFB 和△AEF 中，而DE 在△CDE 和△DEF 中，因而只需证明△ABF ≌△DCE 或△AEF ≌△DFE 即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.证明：∵FB ＝CE ∴FB ＋EF ＝CE ＋EF ，即BE ＝CF在△ABE 和△DCF 中, AB DCAE DF BE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△DCF （SSS ） ∴∠B ＝∠C在△ABF 和△DCE 中, AB DC B C BF CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABF ≌△DCE ∴AF ＝DE【变式题组】01．如图，AD 、BE 是锐角△ABC 的高，相交于点O ，若BO ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，则AO 的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．502.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE 是过A 点的一条直线，AE ⊥CE 于E ，BD⊥AE 于D ，DE ＝4cm ，CE ＝2cm ，则BD ＝__________. \AE第1题图A BCDEBCDO第2题图A B C D O F E A C EFBD03．（北京）已知：如图，在△ABC 中，∠ ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE ＝BC ，过点E 作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F . 求证：AB ＝FC .【例３】如图①，△ABC ≌△DEF ，将△ABC 和△DEF 的顶点B和顶点E 重合，把△DEF 绕点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O .⑴当△DEF 旋转至如图②位置，点B （E ）、C 、D 在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA 的数量关系是________________;⑵当△DEF 继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.【解法指导】⑴∠AFD ＝∠DCA⑵∠AFD ＝∠DCA 理由如下：由△ABC ≌△DEF ，∴AB ＝DE ，BC ＝EF , ∠ABC ＝∠DEF , ∠BAC ＝∠EDF ∴∠ABC －∠FBC ＝∠DEF －∠CBF , ∴∠ABF ＝∠DEC在△ABF 和△DEC 中, AB DE ABF DEC BF EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABF ≌△DEC ∠BAF ＝∠DEC ∴∠BAC －∠BAF ＝∠EDF －∠EDC , ∴∠FAC ＝∠CDF∵∠AOD ＝∠FAC ＋∠AFD ＝∠CDF ＋∠DCA∴∠AFD ＝∠DCA 【变式题组】 01．（绍兴）如图，D 、E 分别为△ABC 的AC 、BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C落在AB 边上的点P 处.若∠CDE ＝48°，则∠APD 等于（ ） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58° 02．如图，Rt △ABC 沿直角边BC 所在的直线向右平移得到△DEF ，下列结论中错误的是（ ）A ．△ABC ≌△DEFB ．∠DEF ＝90° ．EC ＝CF得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下B （E ）OC F 图③DAAFECB DEFB ACDG第2题图图形式，使点B 、F 、C 、D 在同一条直线上. ⑴求证：AB ⊥ED ；⑵若PB ＝BC ，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.【例４】（第21上的高，点P 在BD 的延长线，BP ＝AC ，点Q 在CE 上，CQ ＝AB. 求证：⑴ AP ＝AQ ；⑵AP ⊥AQ【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP ＝AQ ,也就是证△APD 和△AQE ，或△APB 和△QAC 全等,由已知条件BP ＝AC ，CQ ＝AB ，应该证△APB ≌△QAC ，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可. 证AP ⊥AQ ，即证∠PAQ ＝90°，∠PAD ＋∠QAC ＝90°就可以.证明：⑴∵BD 、CE 分别是△ABC 的两边上的高，∴∠BDA ＝∠CEA ＝90°, ∴∠1＋∠BAD ＝90°，∠2＋∠BAD ＝90°，∴∠1＝∠2.在△APB 和△QAC 中, 2AB QC BP CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠1∠ ∴△APB ≌△QAC ， ∴AP ＝AQ⑵∵△APB ≌△QAC ，∴∠P ＝∠CAQ , ∴∠P ＋∠PAD ＝90° ∵∠CAQ ＋∠PAD ＝90°，∴AP ⊥AQ 【变式题组】01．如图，已知AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BA ＝ED ，点F 是CD 的中点，求证：AF ⊥CD .02．（湖州市竞赛试题）如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA 为am ，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为bm ，梯子倾斜角为45°，这间房子的宽度是（ ）A ．2a bm + B ．2a bm - C ．bm D ．am21ABC P Q E F D03．如图，已知五边形ABCDE 中，∠ ABC ＝∠AED ＝90°，AB ＝CD ＝AE ＝BC ＋DE ＝2，则五边形ABCDE 的面积为__________演练巩固·反馈提高01．（海南）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）A ．72°B ．60°C ．58°D ．50°02．如图，△ACB ≌△A /C /B /，∠ BCB /＝30°，则∠ACA 的度数是（ ）A ．20°B ．30°C ．35°D ．40° 03．（牡丹江）尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是（ ） A ．SAS B ．ASA C ．AAS D ．SSS 04．（江西）如图，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是（ ）A . CB ＝CD B .∠BAC ＝∠DAC 05将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A 、B 、D 不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（ ）A . △ABE ≌△CBDB . ∠ABE ＝∠CBDC . ∠ABC ＝∠EBD ＝45° D . AC ∥BE06．如图，△ABC 和共顶点A ，AB ＝AE ，∠1＝∠2，∠B ＝∠E . BC 交AD 于M ，DE 交AC 于第1题图a αc ca50° b72°58°AECBA 75° C45° BNM第2题图第3题图DN ，小华说：“一定有△ABC ≌△AED .”小明说：“△ABM ≌△AEN .”那么（ ） A . 小华、小明都对 B . 小华、小明都不对 C . 小华对、小明不对 D .小华不对、小明对07．如图，已知AC ＝EC , BC ＝CD , AB ＝ED ,如果∠BCA ＝119°，∠ACD ＝98°,那么∠ECA 的度数是___________.08．如图，△ABC ≌△ADE ，BC 延长线交DE 于F ，∠B ＝25°,∠ACB ＝105°，∠DAC ＝10°，则∠DFB 的度数为_______.09AE ＋DE ＝______10AE ＝_____. 11．如图, AB ＝CD , AB ∥CD . BC ＝12cm ，同时有P 、Q 两只蚂蚁从点C 出发，沿CB 方向爬行，P 的速度是0.1cm /s , Q 的速度是0.2cm /s . 求爬行时间t 为多少时，△APB ≌△QDC .12．如图, △ABC 中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D .⑴求证：AE ＝CD ；⑵若AC ＝12cm , 求BD 的长.13．（吉林）如图，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，AD 等于AE ，AB 平分∠DAE 交DE 于点F , 请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.14．如图，将等腰直角三角板ABC 的直角顶点C 放在直线l 上，从另两个顶点A 、B 分别作l 的垂线，垂足分别为D 、E . ⑴找出图中的全等三角形，并加以证明； ⑵若DE ＝a ，求梯形DABE 的面积.15．如图，AC ⊥BC , AD ⊥BD , AD ＝BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB 分别是E 、F .求证：CE ＝DF .D A C .QP.BD B AC EFAE BF D C16．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？ ⑴阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等；对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等（证明略）； 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下；已知△ABC 、△A 1B 1C 1均为锐角三角形，AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，∠C ＝∠C 1.求证：△ABC ≌△A 1B 1C 1.（请你将下列证明过程补充完整）⑵归纳与叙述：由⑴可得一个正确结论，请你写出这个结论.培优升级·奥赛检测01．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE ＝AF ，BF 、CE 相交于点O ，连接AO 并延长交BC 于点D ，则图中全等三角形有（ ） A ．4对 B ．5对 C ．6对 D ．7对02．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，OC ＝OD ，下列结论中：①∠A ＝∠B ②DE ＝CE ，③连接DE , 则OE 平分∠AOB ，正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③03．如图，A 在DE 上，F 在AB 上，且AC ＝CE , ∠1=∠2=∠3, 则DE 的长等于（）A ．DCB . BC C . ABD .AE ＋AC04．下面有四个命题，其中真命题是（ ）A ．两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等B ．两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C . 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D . 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等05．在△ABC 中，高AD 和BE 所在直线相交于H 点,且BH ＝AC ，则∠ABC ＝_______.06．如图，EB 交AC 于点M , 交FC 于点D , AB 交FC 于点N ，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C , AE＝AF . 给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE ＝CF ; ③△ACN ≌△ABM ; ④CD ＝DB ，其中正确的结论有___________.（填序号）07．如图，AD 为在△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ,且有BF ＝AC ，FD ＝CD .⑴求证：BE ⊥AC ；⑵若把条件“BF ＝AC ”和结论“BE ⊥AC ”互换，这个命题成立吗？证明你的判定.F 第6题图 21A B C E N M 321 A D E B C F A D E CO AE O BF C D 第1题图 B 第2题图 第3题图 A B CD A 1 B 1C 1D 1AEFC D B A B C DEA EB DC08．如图，D 为在△ABC 的边BC 上一点，且CD ＝AB ，∠BDA ＝∠BAD ，AE 是△ABD 的中线.求证：AC ＝2AE .09．如图，在凸四边形ABCD 中，E 为△ACD 内一点，满足AC ＝AD ，AB ＝AE , ∠BAE ＋∠BCE＝90°, ∠BAC ＝∠EAD .求证：∠CED ＝90°.10．（沈阳）将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图①方式摆放，其中∠ACB ＝∠DEB ＝90°，∠A ＝∠D ＝30°，点E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F .⑴求证：AF ＋EF ＝DE ;⑵若将图①中△DBE 绕点B 顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出（1）中结论是否仍然成立；⑶若将图①中△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°,其他条件不变，如图③你认为（1）中结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF 、EF 与DE 之间的关系，并说明理由。
八年级 下数学培优提高- 正方形
八年级S数理推演12—正方形班级_______姓名_________【基础知识回顾】1、正方形的性质：(1)正方形的四条边都________，四个角都是______．(2)正方形的对角线______，且互相________；每条对角线平分一组对角．(3)正方形是对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴；正方形是对称图形，对角线的交点是它的对称中心．2、正方形的判定：(1)定义：一组邻边相等并且有一个角是直角的__________是正方形．．(2) 一组邻边相等的________是正方形．(3) 对角线互相垂直的________是正方形．(4)对角线相等的________是正方形。
(5)有一个角是直角的________是正方形．3．正方形是轴对称图形它的对称轴有（）A 1条B 2条C 4条D 无数条4、如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，则∠ACE＝°.5、如图，四边形ABDC是正方形，延长CD到点E，使CE=CB，则∠BEC＝°.6、如图，正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，AE平分∠DAC,则下列结论：①∠E=22.5°；②∠AFC=112.5°；③∠ACE=135°；④AC=CE；⑤AD∶CE=1∶ 2. 其中正确的有。
7.如图，等边△EDC在正方形ABCD内，连结EA、EB，则°∠AEB＝°；∠ACE ＝8.如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③ AO=OE；④S△AOB=S四边形DEOF中，错误的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个B C DE FA 9.已知四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C=90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）A.∠D=90° B 、AB=CD C 、AD=BC D 、BC=CD10.已知正方形的一条对角线长为8cm ，则其面积是__________cm 2．【经典例题精讲】【例1】1.如图，将边长为8cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在BC 边中点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，则线段CN 的（ ）．（A ）3cm （B ）4cm（C ）5cm （D ）6cm2. 已知：如图点A ’、B ’、C ’、D ’ 分别是正方形ABCD 的四条边上的点，并且AA'=BB'=CC'=DD'求证：四边形A'B'C'D'是正方形【例2】1、已知：如图所示，E 、F 分别是正方形的边BC 、DC 上的点，且∠EAF ＝45°，求证：BE ＋DF ＝EF【例3】1．已知：如图在正方形ABCD中，F为CD延长线上一点，CE⊥AF于E，交AD于M，求证：∠MFD＝45°【例4】1.如图，正方形ABCD的对角线相交于O，EF∥AB，并且分别与OA，OB相交于E，F．若BE=3厘米，求CF的长．D C B AE FP 【课外巩固训练】1.如图，已知正方形ABCD 的边长为3，E 为CD 边上一点，1DE =．以点A 为中心，把△ADE 顺时针旋转90︒，得△ABE '，连接EE '，则EE '的长等于 ．2、如图，已知P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，且BP = BC ，则∠ACP 度数是 ．3.已知：如图，△ABC 中，︒=∠90C ，CD 平分ACB ∠，BC DE ⊥，AC DF ⊥，垂足分别为E 、F ．求证：四边形CFDE 是正方形．4、如图所示，正方形ABCD 中，P 是对角线BD 上一点，PE ⊥BC 于E ，PF ⊥DC 于F 。
人教版八年级数学培优题精选18例(含答案)
A、1.5B、2C、2.25D、2.5爬到点 B ，如果它运动的路径是最短，则 AC 的长度是多少？少？车是否超速？例题6、对实数 a , b ，定义新运算☆如下： a ☆ b =八年级数学培优题精选18例（含答案）例题7、计算八年级数学培优题精选18例（含答案）例题9、点 A（3x + 2y , -2）关于 y 轴的对称点为 B（-1 ，2x + 4y）, 则点 M （x , y）关于 x 轴的对称点的坐标为多少？答案：（1,1）。
例题10、如图所示，在平面直角坐标系中有 A ， B 两点：八年级数学培优题精选18例（含答案）（1）写出 A ， B 两点的坐标；（2）若线段 AB 各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘以 -1 ，请你在同一坐标系中描出对应的点 A1 ，B1 ，并连接 A1B1 ，所得的线段 A1B1 与线段 AB 有怎样的位置关系？（3）在（2）的基础上，纵坐标不变，横坐标都乘以 -1 ，请你在同一坐标系中描出对应的点 A2,B2 ，并连接这两个点，所得的线段 A2B2 与线段 AB 有怎样的位置关系？解：（1）点 A 的坐标为（1,2），点 B 的坐标为（3,1）；（2）如图所示，线段 A1B1 与线段 AB 关于 x 轴对称；（3）如图所示，线段 A2B2 与线段 AB 关于原点对称。
例题11、甲乙两人赛跑，所跑路程与时间的关系如图所示。
根据图像得到如下四个信息，其中错误的是（C ）八年级数学培优题精选18例（含答案）A、这是一次 1500 m 赛跑B、甲、乙两人中先到达终点的是乙C、甲、乙同时起跑D、甲在这次赛跑中的速度为 5 m/s例题12、如图，BE 是∠ABD 的角平分线，CF 是∠ACD 的角平分线，BE 与CF 交于点 G ，∠BDC = 140°，∠BGC = 110°，则∠A 的度数为（C）八年级数学培优题精选18例（含答案）A、70°B、75°C、80°D、85°例题13、如图所示，已知 AB∥DE ，一个弯形管道 ABCDE 的拐角∠EDC = 140°，∠CBA = 150°，则∠C = ？八年级数学培优题精选18例（含答案）答案：∠C = 70°。
《5.3正方形》期末复习培优提升训练(附答案)2020-2021年八年级数学浙教版下册
2021年浙教版八年级数学下册《5.3正方形》期末复习培优提升训练（附答案）1．如图，在平面直角坐标系xOy，四边形OABC为正方形，若点B（1，3），则点C的坐标为（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，）C．（﹣，2）D．（﹣1，）2．如图，在正方形ABCD中，点M，N为CD，BC上的点，且DM＝CN，AM与DN交于点P，连接AN，点Q为AN中点，连接PQ，若AB＝10，DM＝4，则PQ的长为（）A．4B．8C．D．3．下列性质中，矩形、正方形都具有，但是菱形却不具有的性质是（）A．对角线长度相等B．对角线互相垂直C．对角线互相平分D．一组对角线平分一组对角4．如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成一个正方形ABCD，它的面积是405，AE＝6，图中空白的地方是一个正方形，则阴影部分的面积为（）A．361B．360C．316D．3155．下列说法不正确的是（）A．有一个角是直角的菱形是正方形B．四条边都相等的四边形是正方形C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．两条对角线相等的菱形是正方形6．下列说法正确的是（）A．有一个角是直角的平行四边形是正方形B．对角线互相垂直的矩形是正方形C．有一组邻边相等的菱形是正方形D．各边都相等的四边形是正方形7．下列关于▱ABCD的叙述，正确的是（）A．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形B．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形C．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形D．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形8．两张对边平行的纸条，随意交叠放在一起，转动其中一张，重合的部分构成一个四边形，这个四边形是（）A．矩形B．平行四边形C．菱形D．正方形9．已知四边形ABCD是平行四边形，则下列结论中正确的是（）A．当AB⊥BD时，它是菱形B．当AC＝BD时，它是正方形C．当∠ABC＝90°时，它是矩形D．当AB＝BC时，它是矩形10．将图1中两个三角形按图2所示的方式摆放，其中四边形ABCD为矩形，连接PQ，MN，甲、乙两人有如下结论：甲：若四边形ABCD为正方形，则四边形PQMN必是正方形；乙：若四边形PQMN为正方形，则四边形ABCD必是正方形．下列判断正确的是（）A．甲正确，乙不正确B．甲不正确，乙正确C．甲、乙都不正确D．甲、乙都正确11．在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，EF⊥BD于点F，则EF的长度．12．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，连接BE、CE，∠CBE的度数是．13．如图，在正方形ABCD中，DE平分∠CDB，EF⊥BD于点F．若BE＝，则此正方形的边长为．14．如图，正方形ABCD的边长为4，E为CD中点，F为BC边上一点，且CF＝1，连AF，EG⊥AF交BC于G，则BG＝．15．下列说法：①对角线互相垂直且相等的四边形是菱形；②矩形的对角线互相垂直；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；④对角线垂直的矩形是正方形．其中正确的是．（把所有正确结论的序号都填上）16．如图菱形ABCD，AC与BD相交于点O，添加一个条件：，可使它成为正方形．17．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．（判断对错）18．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．（1）若E、F分别是AD、BC中点，G是对角线AC上的点，∠EGF＝90°，则AG的长为；（2）如果E、F分别是AD、BC上的点，G，H是对角线AC上的点．下列判断正确的是．①在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是平行四边形；②在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是矩形；③在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是菱形；④当AG＝时，存在E、F、H，使得四边形EGFH是正方形．19．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△BAD和△ACD的高，得到下列四个结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③当∠A＝90°时，四边形AEDF是正方形；④AE+DF ＝AF+DE．其中正确的是（填序号）．20．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先把活动学具制作成图1所示菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具制作成图2所示正方形，并测得正方形的对角线AC＝acm，则图1中对角线AC的长为cm．21．如图，已知四边形ABCD和四边形EFCG都是正方形．求证：∠CBF＝∠CDG．22．如图，ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE，作BF⊥AE，DG⊥AE，垂足分别为F，G，求证：BF＝FG+DG．23．如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上的一点，连接AE，以AE为一边，在AE的上方作正方形AEFG，连接DG．求证：AB＝CE+DG．24．如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE，AF，EF．（1）求证：△ADE≌△ABF；（2）若BC＝8，DE＝6，求EF的长．25．如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝BC，AC，BD相交于点G．过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E，过点B作BF∥CA交DA的延长线于点F，AE，BF相交于点H．（1）求证：△ABC≌△BAD；（2）若AB＝BC，四边形AHBG是什么特殊四边形？请说明理由．26．如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），G、F、H分别是BE、BC、CE的中点．（1）证明：四边形EGFH是平行四边形；（2）在（1）的条件下，连接EF，若BE⊥EC，EF⊥BC，证明：四边形EGFH是正方形．27．已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是两锐角平分线的交点，ED⊥BC，EF ⊥AC，垂足分别为D，F，求证：四边形CDEF是正方形．28．如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD上（点F与点C、D不重合），BE⊥EF，且∠ABE+∠CEF＝45°．求证：四边形ABCD是正方形．29．已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，AE⊥BF，且AE＝BF．（1）求证：矩形ABCD是正方形；（2）联结BE、EF，当线段DF是线段AF与AD的比例中项时，求证：∠DEF＝∠ABE．30．如图，▱ABCD中，∠A＝45°，过点D作ED⊥AD交AB的延长线于点E，且BE＝AB，连接BD，CE．（1）求证：四边形BDCE是正方形；（2）P为线段BC上一点，点M，N在直线AE上，且PM＝PB，∠DPN＝∠BPM．求证：AN＝PB．参考答案1．解：作CD⊥x轴于D，作BE⊥CD于E，交y轴于F，如图，∵B（1，3），∴DE＝3，BF＝1，设C（m，n），则OD＝EF＝﹣m，CD＝n，∵四边形ABCO为正方形，∴∠BCO＝90°，CB＝CO，∵∠BCE+∠OCD＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠OCD＝∠CBE，在△OCD和△CBE中，∴△OCD≌△CBE（AAS），∴CD＝BE，OD＝CE，即n＝1﹣m，﹣m＝3﹣n，∴m＝﹣1，n＝2，∴C点坐标为（﹣1，2）．故选：A．2．解：在正方形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝∠DCN＝90°，在△ADM与△DCN中，∵AD＝CD，DM＝CN，∠ADC＝∠DCN，∴△ADM≌△DCN（SAS），∴∠DAM＝∠CDN，∴∠DMA＝∠CND，在△DPM中∠PDM+∠PMD＝90°，∴∠DPM＝90°'∵∠DPM＝∠APN，∴△ANP为直角三角形，AN为直角三角形的斜边，由直角三角形的性质得PQ＝AN，在△ANB中AN＝＝2，故选：C．3．解：∵菱形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，对角线互相垂直；矩形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，对角线相等；正方形具有菱形和矩形的性质，∴菱形不具有的性质为：对角线长度相等，故选：A．4．解：∵正方形ABCD的面积是405，∴AB＝＝9，∵AE＝6，∴BE＝AB﹣AE＝3，∴阴影部分的面积＝4×6×3＝360，故选：B．5．解：A、有一个角是直角的菱形是正方形，故A选项不符合题意；B、四条边都相等的四边形是菱形，故B选项符合题意；C、对角线互相垂直的矩形是正方形，故C选项不符合题意；D、两条对角线相等的菱形是正方形，故D选项不符合题意；故选：B．6．解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，此选项错误，不符合题意；B、对角线互相垂直的矩形是正方形，此选项正确，符合题意；C、有一组邻边相等的菱形还是菱形，此选项错误，不符合题意；D、四条边都相等的四边形是菱形，此选项错误，不符合题意．故选：B．7．解：∵▱ABCD中，AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，选项A符合题意；∵▱ABCD中，AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形，不一定是正方形，选项B不符合题意；∵▱ABCD中，AB⊥BC，∴四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，选项C不符合题意；∵▱ABCD中，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，选项D不符合题意；故选：A．8．解：∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．故选：B．9．解：A、当AB⊥BD时，∠ABD＝90°，则∠ABC＞90°，当AC⊥BD，四边形ABCD是菱形，故A错误；B、由四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，则四边形ABCD为矩形，故B错误；C、当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形，故C正确；D、由四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，则四边形ABCD为菱形，故D错误．故选：C．10．解：若ABCD是正方形，可设AB＝BC＝CD＝AD＝x，∴AQ＝4﹣x，AP＝3+x，∴PQ2＝AQ2+AP2，即PQ＝＝＝，x取值不同则PQ的长度不同，∴甲不正确，若四边形PQMN为正方形，则PQ＝PN＝MN＝MQ＝5，且∠QMD+∠MQD＝∠QAP＝∠AQP+∠QP A＝90°，在△QMD和△PQA中，，∴△QMD≌△PQA（ASA），∴QD＝AP，同理QD＝AP＝MC＝BN，又∵BP＝MD＝AQ，∴QD﹣AD＝P A﹣AB，∴AB＝CD，同理AB＝CD＝AD＝BC，∵∠DAB＝180°﹣∠QAP＝90°，则四边形ABCD为正方形，∴乙正确，故选：B．11．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD＝45°，∵AB＝2，点E是AB的中点，∴BE＝AB＝1，∵EF⊥BD，∴∠EFB＝90°，∴EF＝BE＝，故答案为：．12．解：∵正方形ABCD，∴∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝AD，∵等边△ADE，∴AD＝AE，∠DAE＝60°，∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝150°，AB＝AE，∴∠ABE＝15°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝75°，故答案为：75°．13．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠CBD＝45°，∵EF⊥BD于点F．BE＝，∴EF＝BE•sin45°＝1，∵DE平分∠CDB，∴CE＝EF＝1，∴BC＝+1．故答案为：+1．14．解：如图，延长AE，BC交于点H，连接AG，设EG与AF交于点N，∵E为CD中点，∴DE＝CE＝2，在△ADE和△HCE中，，∴△ADE≌△HCE（ASA），∴AE＝EH，AD＝CH＝4，∵CF＝1，∴FH＝FC+CH＝5，BF＝3，∵AF＝＝＝5，∴AF＝FH，又∵AE＝EH，∴EF⊥AH，∠AFE＝∠HFE，又∵EG⊥AF，∠DCB＝90°，∴EC＝EN＝2＝DE，在Rt△ADE和Rt△ANE中，∴Rt△ADE≌Rt△ANE（HL），∴AD＝AN＝4＝AB，在Rt△AGN和Rt△AGB中，，∴Rt△AGN≌Rt△AGB（HL），∴BG＝GN，∵EG2＝EC2+CG2，∴（2+BG）2＝4+（4﹣BG）2，∴BG＝，故答案为：．15．解：①对角线互相垂直且相等的四边形不一定是菱形，说法错误；②矩形的对角线互相垂直，说法错误；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，说法正确；④对角线垂直的矩形是正方形，说法正确．故答案为：③④．16．解：由于四边形ABCD是菱形，如果∠BAD＝90°，那么四边形ABCD是正方形．故答案为：∠BAD＝90°．17．解：如图，已知AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，AC⊥BD，∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，又∵AC⊥BD，∴矩形ABCD是正方形，故答案为正确．18．解：（1）如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°，AD＝BC，∴AC＝＝＝10，∵AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，∵E、F分别是AD、BC的中点，∴AE＝CF＝BF＝DE，∴四边形ABFE是平行四边形，∴EF＝AB＝6，在△AEO和△CFO中，，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴EO＝FO＝3，AO＝CO＝5，当点G在点O上方时，∵∠EGF＝90°，EO＝FO，∴GO＝EO＝3，∴AG＝AO﹣GO＝5﹣3＝2，当点G'在点O下方时，∵∠EG'F＝90°，EO＝FO，∴G'O＝EO＝3，∴AG'＝AO+G'O＝5+3＝8，综上所述：AG＝2或8；（2）①在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是平行四边形，故该说法正确；②在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是矩形，故该说法正确；③在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是菱形，故该说法正确；④当AG＝时，存在E、F、H，使得四边形EGFH是正方形，故答案为①②③④．19．解：如果OA＝OD，则四边形AEDF是矩形，没有说∠A＝90°，不符合题意，故①错误；∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠F AD，在△AED和△AFD中，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE＝AF，DE＝DF，∴AE+DF＝AF+DE，故④正确；∵在△AEO和△AFO中，，∴△AEO≌△AFO（SAS），∴EO＝FO，又∵AE＝AF，∴AO是EF的中垂线，∴AD⊥EF，故②正确；∵当∠A＝90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，∴四边形AEDF是矩形，又∵DE＝DF，∴四边形AEDF是正方形，故③正确．综上可得：正确的是：②③④，故答案为：②③④．20．解：如图1，2中，连接AC．在图2中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝90°，∵AC＝a，∴AB＝BC＝a，在图1中，∵∠B＝60°，BA＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝a，故答案为：a，21．证明：∵四边形ABCD和四边形EFCG都是正方形，∴CB＝CD，CF＝CG，∠BCD＝∠FCG＝90°，∴∠BCF+∠DCF＝∠DCF+∠DCG＝90°，∴∠BCF＝∠DCG，在△BCF和△DCG中，，∴△BCF≌△DCG（SAS），∴∠CBF＝∠CDG．22．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠DAB＝90°，∵BF⊥AE，DG⊥AE，∴∠AFB＝∠AGD＝∠ADG+∠DAG＝90°，∵∠DAG+∠BAF＝90°，∴∠ADG＝∠BAF，在△BAF和△ADG中，，∴△BAF≌△ADG（AAS），∴BF＝AG，AF＝DG，由图可知：AG＝AF+FG，∴BF＝FG+DG．23．证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG均是正方形，∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，∴∠BAE＝∠DAG，∴△ABE≌△ADG（SAS）；∴BE＝DG．∵AB＝BC＝CE+EB＝CE+DG，即AB＝CE+DG．24．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADE＝∠ABC＝90°＝∠ABF，在△ADE和△ABF中，，∴△ADE≌△ABF（SAS）；（2）解：∵△ADE≌△ABF，DE＝6，∴BF＝DE＝6，∵BC＝DC＝8，∴CE＝8﹣6＝2，CF＝8+6＝14，在Rt△FCE中，EF＝＝＝10．25．（1）证明：在△ABC和△BAD中，，∴△ABC≌△BAD（SAS）；（2）解：∵AH∥GB，BH∥GA，∴四边形AHBG是平行四边形．∵△ABC≌△BAD，∴∠ABD＝∠BAC，∴GA＝GB，∴平行四边形AHBG是菱形．∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAG＝45°，又∵△ABC≌△BAD，∴∠ABG＝∠BAG＝45°，∴∠AGB＝90°，∴菱形AHBG是正方形．26．证明：（1）∵G、F分别是BE、BC的中点，∴GF∥EC，同理FH∥BE，∴四边形EGFH是平行四边形；（2）连接GH．∵G、H分别是BE，CE的中点，∴GH∥BC，∵EF⊥BC，∴EF⊥GH，又∵四边形EGFH是平行四边形，∴四边形EGFH是菱形，∵BE⊥EC，F是BC的中点，∴EF＝BC，∵G、H分别是BE、CE的中点，∴GH＝BC，∴EF＝GH，∴平行四边形EGFH是正方形．27．证明：过E作EM⊥AB，∵AE平分∠CAB，∴EF＝EM，∵EB平分∠CBA，∴EM＝ED，∴EF＝ED，∵ED⊥BC，EF⊥AC，△ABC是直角三角形，∴∠CFE＝∠CDE＝∠C＝90°，∴四边形EFDC是矩形，∵EF＝ED，∴四边形CDEF是正方形．28．证明：如图，作EM⊥BC于点M，∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC，∴EM∥AB，∴∠ABE＝∠BEM，∠BAC＝∠CEM，∵∠ABE+∠CEF＝45°，∴∠BEM+∠CEF＝45°，∵BE⊥EF，∴∠CEM＝45°＝∠BAC，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∴AB＝BC，∴矩形ABCD是正方形．29．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ADE＝90°，∴∠ABF+∠AFB＝90°，∵AE⊥BF，∴∠DAE+∠AFB＝90°，∴∠ABF＝∠DAE，在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形；（2）由（1）可知，△ABF≌△DAE，∴AF＝DE，∴DF＝CE，∴∠DEF＝∠CEB，∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠CEB，∴∠ABE＝∠DEF．30．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵BE＝AB，∴BE∥CD，∴四边形BDCE是平行四边形，∵ED⊥AD，∠A＝45°，∴∠A＝∠DEA＝45°，∴AD＝DE，∴△ADE是等腰直角三角形，又∵AB＝BE，∴DB＝BE，DB⊥BE，∴平行四边形BDCE是正方形；（2）∵四边形BDCE是正方形，∴BD＝BE＝AB，∠DBP＝∠EBP＝45°，∵PM＝PB，∴∠PBM＝∠PMB＝45°，∴∠BPM＝90°，∴∠DPN＝∠BPM＝90°，∴∠DPB＝∠NPM，在△DBP和△NMP中，，∴△DBP≌△NMP（ASA），∴DB＝MN，∴AB＝NM，∴AN＝BM，∵BP＝PM，∠BPM＝90°，∴BM＝BP，∴AN＝BP．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
D专题20 正方形阅读与思考矩形、菱形、正方形都是平行四边形，但它们都是有特殊条件的平行四边形，正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角是直角的菱形，因此，我们可以利用矩形、菱形的性质来研究正方形的有关问题．正方形问题常常转化为三角形问题解决，在正方形中，我们最容易得到特殊三角形、全等三角形，熟悉以下基本图形．例题与求解【例l】如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC，BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后，折痕DE分别交AB，AC于点E，G.下列结论：①05.112=∠AGD；②2=AEAD；③OGDAGDSS∆∆=；④四边形AEFG是菱形；⑤OGBE2=. 其中，正确结论的序号是______________．（重庆市中考试题）解题思路：本题需综合运用轴对称、菱形判定、数形结合等知识方法．（1）探究线段MD ，MF 的关系，并加以证明．（2）将正方形CGEF 绕点C 旋转任意角后（如图2），其他条件不变． 探究线段MD ，MF 的关系，并加以证明．（大连市中考题改编）解题思路：由M 为AE 中点，想到“中线倍长法”再证三角形全等．图2图1EABEBA【例3】如图，正方形ABCD 中，E ，F 是AB ，BC 边上两点，且FC AE EF +=，EF DG ⊥于G ，求证：DA DG =.（重庆市竞赛试题）解题思路：构造FC AE +的线段是解本例的关键．BA E【例4】 如图，正方形ABCD 被两条与边平行的线段EF 、GH 分割成四个小矩形，P 是EF 与GH 的交点，若矩形PFCH 的面积恰是矩形AGPE 面积的2倍，试确定HAF ∠的大小，并证明你的结论．（北京市竞赛试题）解题思路：先猜测HAF ∠的大小，再作出证明，解题的关键是由条件及图形推出隐含的线段间的关系．【例5】 如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是边BC ，CD 上的点，满足DF BE EF +=，AF AE ,分别与对角线BD 交于点N M ,．求证：（1）045=∠EAF ；（2）222DN BM MN +=． （四川省竞赛试题）解题思路：对于（1），可作辅助线，创造条件，再通过三角形全等，即可A BCD E FGHP解答；对于（2），很容易联想到直角三角形三边关系．BAF【例6】已知 ：正方形ABCD 中，045=∠MAN ，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB ，DC （或它们的延长线）于点N M ,．当MAN ∠绕点A 旋转到DN BM =时（如图1），易证MN DN BM =+． （1）当MAN ∠绕点A 旋转到DN BM ≠时（如图2），线段DN BM ,和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当MAN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时，线段DN BM ,和MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．（黑龙江省中考试题）解题思路：对于（2），构造BM DN -是解题的关键．能力训练A 级1. 如图，若四边形ABCD 是正方形，CDE ∆是等边三角形，则EAB ∠的度数为__________.（北京市竞赛试题）2. 四边形ABCD 的对角线BD AC 、相交于点O ，给出以下题设条件： ①DA CD BC AB ===； ②BD AC DO CO BO AO ⊥===,； ③BD AC DO BO CO AO ⊥==,,； ④DA CD BC AB ==,．其中，能判定它是正方形的题设条件是______________. （把你认为正ABCDM N图3 BC D M N图2 A C D M N 图1确的序号都填在横线上） （浙江省中考试题）3．如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住一个不动，将另一个绕顶点A 顺时针旋转030，则这两个正方形重叠部分的面积是__________.（青岛市中考试题）BAE第1题图 第3题图 第4题图4.如图，P 是正方形ABCD 内一点，将ABP ∆绕点B 顺时针方向旋转至能与'CBP ∆重合，若3=PB ，则'PP =__________.（河南省中考试题）5.将n 个边长都为cm 1的正方形按如图所示摆放，点n A A A Λ,,21分别是正方形的中心，则n 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为( )A .241cm B ．24cm n C.241cm n - D. 2)41(cm n （晋江市中考试题）ABCDPP ''B'D 'B F第5题图 第6题图6. 如图，以BCA Rt ∆的斜边BC 为一边在BCA ∆的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为O ，连接AO ，如果26,4==AO AB ，则AC 的长为( )A . 12B ．8 C.34 D. 28（浙江省竞赛试题）7．如图，正方形ABCD 中，035,=∠=MCE MN CE ，那么ANM ∠是( ) A .045 B ．055 C. 065 D. 0758．如图，正方形ABCD 的面积为256，点F 在AD 上，点E 在AB 的延长线上，CEF Rt ∆的面积为200，则BE 的值是( )A ．15B ．12C ．11D ．10第8题图第7题图ABAD E F9．如图，在正方形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BD 与CE 交于F 点，求证：BE AF ⊥．B A10. 如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 边的中点，F 是AD 上的一点，且AD AF 41=． 求证：CE 平分BCF ∠．BAE11. 如图，已知P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，F E BC PF DC PE ,,,⊥⊥分别是垂足．求证：EF AP =．（扬州市中考试题）EBA12.（1）如图1，已知正方形ABCD 和正方形)(BC CG CGEF >，G C B ,,在同一条直线上，M 为线段AE 的中点．探究：线段MF MD ,的关系．（2）如图2，若将正方形CGEF 绕点C 顺时针旋转045，使得正方形CGEF 的对角线CE 在正方形ABCD 的边BC 的延长线上，M 为AE 的中点．试问：（1）中探究的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（大连市中考试题）图1 图2B 级1. 如图，在四边形ABCD 中，090,=∠=∠=ABC ADC DC AD ，AB DE ⊥于E ，若四边形ABCD 的面积为8，则DE 的长为__________.2.如图，M 是边长为1的正方形ABCD 内一点，若02290,21=∠=-CMD MB MA ，则=∠MCD __________.ABCDEFGMABCDEFGM（北京市竞赛试题）第3题图第1题图第2题图CBAAAC3.如图，在ABC Rt ∆中，3,900==∠AC C ，以AB 为一边向三角形外作正方形ABEF ，正方形的中心为O ，且24=OC ，则BC 的长为__________.（“希望杯”邀请赛试题）4.如图：边长一定的正方形ABCD ，Q 是CD 上一动点，AQ 交BD 于M ，过M 作AQ MN ⊥交BC 于N 点，作BD NP ⊥于点P ，连接NQ ，下列结论：①MN AM =；②BD MP 21=； ③NQ DQ BN =+；④BMBNAB +为定值，其中一定成立的是( ) A . ①②③ B ．①②④ C. ②③④ D. ①②③④5.如图，ABCD 是正方形，AC BF //，AEFC 是菱形，则ACF ∠与F ∠度数的比值是( )A . 3B ．4 C. 5 D. 不是整数6.一个周长为20的正方形内接于一个周长为28的正方形，那么从里面正方形的顶点到外面正方形的顶点的最大距离是( )A . 58B ．527C. 8D. 65E.35（美国高中考试题）第7题图第5题图第4题图第6题图Q BABADAQP7.如图，正方形ABCD 中，8=AB ，Q 是CD 的中点，设α=∠DAQ ，在CD 上取一点P ，使α2=∠BAP ，则CP 的长度等于 ( )A . 1B ．2 C. 3 D. 3（“希望杯”邀请赛试题）8.已知正方形ABCD 中，M 是AB 中点，E 是AB 延长线上一点，DM MN ⊥且交CBE ∠平分线于N （如图1） （1）求证：MN MD =；（2）若将上述条件中的“M 是AB 中点”改为“M 是AB 上任意一点”其余条件不变（如图2），（1）中结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图2，点M 是AB 的延长线上（除B 点外）的任意一点，其他条件不变，则（1）中结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（临汾市中考试题）图3图2图1AAAD D DE`9.已知,10,10<<<<ba求证：22)1()1()1()1(22222222≥-+-+-+++-++babababa．10.如果，点NM,分别在正方形ABCD的边CDBC,上，已知MCN∆的周长等于正方形ABCD周长的一半，求MAN∠的度数．（“祖冲之杯”邀请赛试题）ADM11.如图，两张大小适当的正方形纸片，重叠地放在一起，重叠部分是一个凸八边形ABCDEFGH，对角线CGAE,分这个八边形为四个小的凸四边形，请你证明：CGAE⊥，且CGAE=．（北京市竞赛试题）12.如图，正方形MNBC内有一点A，以ACAB,为边向ABC外作正方形ABRT 和正方形ACPQ，连接BPRM,．求证：RMBP//．（武汉市竞赛试题）RPC。