数学建模试题及答案

数学专业（本科）《数学建模》

注意事项：1、本试卷共6页，满分100分，考试时间为120分钟。

2、答卷前将密封线内的项目填写清楚。

一、填空题(每题5分，共15分)

1．一个连通图能够一笔画出的充分必要条件是。2．设银行的年利率为0．2，则五年后的一百万元相当于现在的

万元．

3．在夏季博览会上，商人预测每天冰淇淋销量N将和下列因素有关：

（1）参加展览会的人数n；(2)气温T超过10℃；(3)冰淇淋的售价由此建立的冰淇淋销量的比例模型应为。

二、简答题：（25分）

1、建立数学模型的基本方法有哪些？写出建模的一般步骤。（5分）

2、写出优化模型的一般形式和线性规划模型的标准形式。（10分） 2、数据拟合方法在数学建模过程中有什么意义？常见的数据拟合方法有哪些？（10分）

三、（每小题15分，共60分）

1、设某产品的供给函数)(p ϕ与需求函数)(p f 皆为线性函数： 9)(,

43)(+-=+=kp p f p p ϕ

其中p 为商品单价，试推导k 满足什么条件使市场稳定。

2、1968年，介壳虫偶然从澳大利亚传入美国，威胁着美国的柠檬生产。随后，

美国又从澳大利亚引入了介壳虫的天然捕食者——澳洲瓢虫。后来，DDT 被普通使用来消灭害虫，柠檬园主想利用DDT 进一步杀死介壳虫。谁料，DDT 同样杀死澳洲瓢虫。结果，介壳虫增加起来，澳洲瓢虫反倒减少了。试建立数学模型解释这个现象。

3、试建立人口Logistic(逻辑)模型，并说明模型中何参数为自然增长率，为什

么？4、建立捕鱼问题的模型，并通过求解微分方程的办法给出最大的捕捞量

数学建模参考答案

一、填空题

1．奇数顶点个数是0或2 2．约40．1876 3．p T Kn N /)10(-=，（T ≥10℃)，K 是比例常数 二、1、建立数学模型的基本方法：

机理分析法，统计分析法，系统分析法

2、优化模型的一般形式

将一个优化问题用数学式子来描述，即求函数 ，

在约束条件

下的最大值或最小值，其中 为设计变量（决策变量）， 为目标函数

为可行域

3、意义：数据拟合方法主要是用来从已给数据中发现一般规律从而建立起描述问题中变量之间的关系，即数学模型。但由于组建这类模型时，缺乏有关因素之间作用的机理的细致讨论，模型的使用和分析的深度受到一定的限制。

几种常用的拟合方法：

1、 一般插值法，

2、样条插值法，

3、最小二乘法，

三、1、解：设Pn 表示t=n 时的市场价格，由供求平衡可知：

)()(1n n p f p =-ϕ

9431+-=+-n n kp p

即： k

p k p n n 531+-

=- 经递推有：

k

k p k

k k k p k p n n

n n

n n 5)

3

()3

(5

)53(31

1

02⋅

-+

⋅-=++-⋅-=-=-∑

0p 表示初始时的市场价格

:∞→时当n 若即市场稳定收敛则时,,30,13

n p k 即k

<<<-

。 2、解：依据题意，设介壳虫的数量为x(t)，澳洲瓢虫的数量为y(t),则有数模方程组：

（1）⎪⎩⎪⎨

⎧⨯+-=-=y f cy dt

dy

bxy ax dt dx

式中a b c f 均大于零。

解方程组（1）

y

f cy bxy ax dy dx ⨯+--= 得：

dx x

c

fx y dy by a -=-)( k by fx x c y a ++=+ln ln

k e x y by fx c a '⨯=⋅+

.

,...,,,)(m i h i 210==x )

(x f u =.

,...,,),)(()(p i g g i i 2100=≥≤x x x )

(x f Ω

∈x Ω∈=x x f u )(max)min(or .

,...,,,)(..m i h t s i 210 ==x .

,...,,),)(()(p i g g i i 2100=≥≤x x

（3） k e

e x y by fc c

a '=⋅⋅

式（3）给出一族封闭曲线，显然x(t)、y(t)即为以下为周期（T>0）的周期函数，由于调查的虫子的数量为一个周期内的均值 则有 dt c y

y f T x T )(110+'

=

⎰ dt x

x a b T y T ⎰'

-⋅=0)(11

b

a

T b a y f

c

y T y f c x =××+=

=+=(0)])([(0)])([ln ln ln ln

当使用杀虫剂DDT 后，设杀死介壳虫，)(t x ⋅ε，澳洲瓢虫)(t y ⋅ε

则有模型为：⎪⎩⎪⎨⎧++-=+--=--=--=fxy y c fxy y cy dt

dy

bxy

x a bxy x ax dt dx

)()(εεεε

显然此时有： b

a y f

c x ε

ε-=

+=

即介壳虫的数量增加，澳洲瓢虫的数量反而减小。

3、解：人口净增长率与人口极限以及目前人口均相关。人口量的极限为M ，当前人口数量为N （t ），r 为比例系数。建立模型：

)())

(1()(t N M

t N r dt t dN ⋅-⋅= 00|N N t ==

求解得到

rt

m m

e N N

N t N --+=

)1(1)(0

注意到当M t N →)(时，r M

t N r →-

⋅))

(1(并说明r 即为自然增长率。 4、解：设某水域现有鱼量x ，由于受资源限制所能容纳的最大鱼量m x ，高自然增长率r ，捕捞增长率k ，按人口的逻辑模型建立微分方程。

kx x x

rx dt dx m

--=)1( 要保持鱼量平衡

0=dt dx ，设平衡点为0x ，解得m x r

k r x -=0 设

),(x f dt

dx

=考虑)(x f 在0x 的泰勒展式 )(0))(()(000x x x x x f x f -+-'= r k x f -=')(0

当)(0x f '＞0时 )(x f 与0x x -同号 0x 为不稳定平衡点 当)(0x f '＜0时 )(x f 与0x x -异号 0x 为稳定平衡点

)(0x f '＜0即 r ＞k

设)1()(1m

x x

rx x f -

= kx x f =)(2 由于k ＜r 曲线)(1x f 与)(2x f 有交点，因)(1x f 在原点切线为rx y = 解得，易知当2

0m

x x =

时，取得最大捕捞量