函数最值问题教案

教学过程

'、导入

（1）由于某种原因，2019年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，

请查阅资料说明做出这个决定的主要原因•

⑵通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况.

课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平

均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜举办大型国际体育赛事. 下图

是北京市某年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.

问题：观察图形，能得到什么信息？

预案：（1）当天最高温度、最低温度以及何时达到；

（2）在某时刻的温度；

⑶某些时段温度升高，某些时段温度降低.

在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是

很有帮助的.

问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？

预案：水位高低、燃油价格、股票价格等.

归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小.

二、知识讲解

函考点象上任函数的p最大坐标(x, y)的意义：横坐标x是自变量的取值，纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小.

(3) 图象上最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值，即函数的最大值.

⑷由于点C是函数y= f(x)图象上的最高点，则点A在点C的下方，即对定义域内任意

x,都有y W y o,即f(x)w f(x°)，也就是对函数y= f(x)的定义域内任意x,均有f(x)w f(x o)成立.

(5) —般地，设函数y= f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

①对于任意的x€ I，都有f(x) WM;

②存在X o € I，使得f(x o)= M.

那么，称M是函数y= f(x)的最大值..

(6) f(x)W M反映了函数y= f(x)的所有函数值不大于实数M;这个函数的特征是图象有最

高点，并且最高点的纵坐标是M.

⑺函数图象上最高点的纵坐标.

(8) 函数y=—2x+ 1, x€ (- 1,+s)没有最大值，因为函数y=—2x + 1, x€ (—1,+

a)的图象没有最高点.

(9) 不是，因为该函数的定义域中没有一 1.

(10) 讨论函数的最大值，要坚持定义域优先的原则；函数图象上有最高点时，这个函数

才存在最大值，最高点必须是函数图象上的点.

考点2函数的最小值

(1)函数最小值的定义是：

一般地，设函数y= f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

①对于任意的x € I，都有f(x) >M ;

②存在x o € I，使得f(x o) = M.

那么，称M是函数y = f(x)的最小值。

函数最小值的几何意义：函数图象上最低点的纵坐标.

(2)讨论函数的最小值，也要坚持定义域优先的原则；函数图象上有最低点时，这个函数才存在最小值，最低点必须是函数图象上的点.

的求法

例题1 2

画出函数y= —x2+ 2|x|+ 3的图象，指出函数的单调区间和最大值.

【解析】：函数图象如图所示.

由图象得，函数的图象在区间(一8,—1)和［0,1］上是上升的，在［一1,0］和(1, )上是下

降的，最高点是(土1,4),

故函数在(—a, —1), ［0,1］上是增函数；函数在［—1,0］, (1 ,+^ )上是减函数，最大值是

4.

【总结与反思】本题主要考查函数的单调性和最值，以及最值的求法•求函数的最值时，

先画函数的图象，确定函数的单调区间，再用定义法证明，最后借助单调性写出最值，这种

方法适用于做解答题.

类型二单调法求函数最值

例题1

2 求函数y = x—1在区间［2,6］上的最大值和最小值.

【解析】设2< X1< X2W 6，则有f(x”—f(x2) =

2 2 _ 2 \X r i x2 -1 2 x2

为-1 x2 -1 x1 T x2 T x1 -1 x2 T

2 w X1 v X2W 6, —X2 —X［>0,(X1 —1)(x2 —1) >0.

2

f(X1)> f(x2)，即函数y = 在区间［2,6］上是减函数.

x T

2

•••当x= 2时，函数y= 在区间［2,6］上取得最大值f(2) = 2;

x -1

2 2

当x= 6时，函数y= 在区间［2,6］上取得最小值f(6) = 5.

x—1

【总结与反思】

单调法求函数最值：先判断函数的单调性，再利用其单调性求最值；常用到下面的结论：①

如果函数y = f(x)在区间(a, b］上单调递增，在区间［b, c)上单调递减，则函数y= f(x)在x= b 处有最大值f(b);②如果函数y= f(x)在区间(a, b］上单调递减，在区间［b, c)上单调递增，则函数y= f(x)在x= b处有最小值f(b).

类型三函数最值的应用

例题1

“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果烟花距

地面的高度hm与时间ts之间的关系为h(t) = — 4.9t2+ 14.7t + 18,那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少？(精确到1m)

【解析】：作出函数h(t) = — 4.9t2+ 14.7t + 18的图象，如图所示，

显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵

坐标就是这时距地面的高度.

由二次函数的知识，对于函数h(t)=— 4.9t2+ 14.7t + 18,我们有：

14.7 4.9： 18-14.72

当t = _ ------- =1 5时，函数有最大值h=--------------------------- &29 .

-4.9 -4.9

即烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约是29m.

【总结与反思】

本题主要考查二次函数的最值问题，以及应用二次函数解决实际问题的能力. 解应用题的步