高二数学上册期末考试试卷及答案

解 (1) 由 x2－4ax＋3a2＜ 0，得： ( x－ 3a)( x－ a) ＜ 0， 当 a＝ 1 时，解得 1＜x＜ 3， 即 p 为真时实数 x 的取值范围是 1＜x＜3。
x2－ x－ 6≤0， 由
x2＋ 2x－ 8＞0。
解得： 2＜x≤3，
即 q 为真时实数 x 的取值范围是 2＜x≤3。
3
=1
1
(3n 2)(3n 1) 3n 2 3n 1
1111 1
1
Tn 1
...
1 =1 1
3n .
4 4 7 7 10
3n 2 3n 1
3n 1 3n 1
22．( 本小题满分 12 分) 已知椭圆 x2＋ 2y2＝a2( a＞0) 的一个顶点和两个焦
点构成的三角形的面积为 4。
(1) 求椭圆 C 的方程；
a≤2， 所以当 a＞0 时，有
3＜ 3a，
解得 1＜a≤2，
(2) 经过点 (2,0) 且倾斜角等于 135°的直线 l 与轨迹 M相交于 A，B两 点，求 | AB| 。
解 (1) 设动圆圆心 P( x， y) 。
因为动圆经过点 F(2,0) ，并且与直线 x＝－ 2 相切，
所以点 P 到定点 F(2,0) 的距离与到定直线 x＝－ 2 的距离相等，
故点 P 的轨迹是一条抛物线，其焦点为 F，准线为 x＝－ 2，设轨迹
方程为
y2＝
2px(
p＞
0)
，则
p 2＝
2
，
所以轨迹 M的方程为 y2＝8x。
(2) 轨迹 M的焦点 (2,0) ，直线 l 的斜率 k＝tan 135 °＝－ 1，于是其 方程为 y＝－ ( x－ 2) 。
y＝－ x－ 2 ， 由
解 (1) 由 sin 2B＝2sin Asin C及正弦定理，得 b2＝ 2ac，
∵a＝b，∴a＝ 2c。由余弦定理，得
a2＋ c2－ b2 a2＋ 14a2－ a2
cosB＝ 2ac ＝
1＝
2a×2a
1 4。
(2) 由(1) 得 b2＝2ac。∵B＝90°，a＝ 2，∴a2＋ c2＝2ac，∴a＝ c＝ 2，
π 5π 2， 6
B． A∈
π 2π 3， 3
C
．A∈
ππ 3， 2
D． A
C． p：? x∈ R，sinx>1 sinx>1
D． p：? x∈R，
2．等差数列 { an} 中， a1＋ a2＋ a3＝－ 24，a18＋ a19＋ a20＝78，则此数列前 20
项和等于 ( B ) ．
6．△ ABC中，如果 a ＝ b ＝ c ，那么△ ABC是 ( tan A tan B tan C
21． ( 本小题满分 12 分 ) 若 { an} 的前 n 项和为 Sn ，点 (n, Sn ) 均在函数 y＝
3 x 2 1 x 的图像上。
22
（Ⅰ）求数列 { an} 的通项公式 ; an =3n-2
（Ⅱ） bn
3 ， Tn 是数列 { bn} 的前 n 项和，
anan 1
(1) 点 (n, Sn ) 均在函数 y＝ 3 x2 1 x 的图像上 ,
若 p 且 q 为真，则 p 真且 q 真，所以实数 x 的取值范围是 2＜x＜ 3。 (2) p 是 q 的必要不充分条件，即 q 推出 p，且 p 推不出 q， 设集合 A＝{ x| p( x)} ；集合 B＝ { x| q( x)} ，则集合 B是集合 A的真子 集， 又 B＝ (2,3] ， 当 a＞ 0 时， A＝ ( a, 3a) ； a＜0 时， A＝ (3 a，a) 。
是 AD上一点，当 BF⊥ PE时， AF∶FD的值为 ( B
)
A ． 1∶2 D． 2∶ 1
B． 1 ∶ 1
C． 3 ∶ 1 取值范围是 ( A ) A． a≤－ 4
B． a≥－4
C． a≥－ 12
D． a≤－12
12．定义域为 R的偶函数 f ( x) 满足：对 ? x∈R，有 f ( x＋2) ＝f ( x) －f (1) ， 且当 x∈ [2,3] 时，f ( x) ＝－ 2( x－ 3) 2，若函数 y＝f ( x) － log a( x＋ 1) 在 (0 ，
＝
(
k 2＋
1)
2k 2－ 2k 2＋
8 1－
(
m＋
k2)
4k2 2k2＋
1
＋
k2＋
m2
＝－
5＋ 4m 2k2＋
k2＋ 1
8 ＋
m2，
当
5＋ 4m＝ 16，即
2＝
a2－
a2 ＝
a2 ，
2
22
1 由2×b×2c＝ 4 解得
2
a
＝
8，
b2＝
4，则椭圆方程为
x2 y2 ＋ ＝1。
84
y＝k x－1 ， (2) 由 x2＋2y2＝ 8，
得(2 k2＋1) x2－ 4k2x＋2k2－8＝0，
设 A( x1， y1) ，B( x2，y2) ，
由根与系数的关系，得
4k 2
B) ．
A．直角三角形
B．等边三角形 C ．等腰直角三角形 D．钝
角三角形
A． 160
B． 180
C．200
D．220
3．△ ABC中，∠ A，∠ B，∠ C所对的边分别为 a，b，c．若 a＝3，b＝ 4， 7. 如图， PA⊥平面 ABCD，四边形 ABCD为正方形， E 是 CD的中点， F
∠ C＝60°，则 c 的值
所以∠ PQB＝∠ PQC＝90°。
设 PA＝ 2a，则 Q( a，a, 2a) ， B(0,2 a, 0) ， P(0,0,2 a) 。 设平面 QPB的法向量为 n＝ ( x， y，z) ，
因为 P→Q＝ ( a， a, 0) ，P→B＝(0,2 a，－ 2a) ，
ax＋ay＝ 0，
所以
取 n＝ (1 ，－ 1，－ 1) 。
5 C. 0， 5
9．当 x＞1 时，不等式 x＋ 1 ≥ a 恒成立，则实数 a 的取值范围是 ( D ) ． x1
A． ( －∞， 2] B．[2 ，＋∞ )
C．[3 ，＋∞ )
D．( －∞，
3]
解析 由于定义为 R 的偶函数 f ( x) 满足：对 ? x∈R，有 f ( x＋2) ＝ f ( x) －f (1) ，得 f ( －1＋2) ＝f ( －1) －f (1) ＝0，即 f (1) ＝0，故 f ( x＋2) ＝ f ( x) ，可知 f ( x) 的周期 T＝2，图象以 x＝ 2 为对称轴，作出 f ( x) 的部
22
= Sn 3 n 2 1 n ,
22
故 Sn 1
3 (n
1) 2
1 ( n 1)
(n
2) , …
2
2
从而当 n 2
Sn - Sn 1 =3n-2, 即 an =3n-2,
又当 n=1 时, a1 S1 1 , 满足上式 an =3n-2
(2) bn 3 , an =3n-2,
an an 1
bn
值是 ______ 7 __。
5Fra Baidu bibliotek
15．过椭圆 x2 y2 1 内一点 M(2,1) 引一条弦，使弦被点
16 4
M 平分，则这条
弦所在直线
1 的斜率等于 ________ －2
1
16．已知函数 f ( x) ＝xα的图象过点 (4,2) ，令 an＝
，
f n＋1 ＋f n
(2) 设 B＝90°，且 a＝ 2，求△ ABC的面积。
2k2－ 8
x1＋ x2＝ 2k2＋ 1， x1x2＝ 2k2＋ 1，
则M→A·M→B＝( x1－ m，y1) ·( x2－ m，y2)
＝ x1x2－ m( x1＋x2) ＋ m2＋ k2( x1－ 1)( x2－ 1)
＝ ( k2＋ 1) x1x2－( m＋ k2) ·( x1＋ x2) ＋k2＋ m2
8．如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB， ＋ ∞) 上至少有三个零点，则 a 的取值范围为 ( B )
则直线 BC1 与直线 A B1夹角的余弦值为 ( A )
5 A. 5
5
B.
3
25
3
C. 5
D.
5
2 A. 0， 2
6 D. 0， 6
3 B. 0， 3
高二数学上册期末考试试卷及答案
等于 ( C ) ．
试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。共 时间 120 分钟 .
150 分 . 考试
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分）
A． 5
B．13
C． 13
D． 37
x2 y2 4．若双曲线 a2－b2＝ 1 的一条渐近线经过点 (3 ，－4) ，则此双曲线的离心
y2＝8x，
消去 y 得 x2－12x＋4＝ 0。
设 A( x1， y1) ，B( x2，y2) ，则 x1＋x2＝ 12，
当 a＜ 0 时，显然 A∩B＝ ? ，不合题意，
于是 | AB| ＝x1＋x2＋p＝ 12＋ 4＝16。 20．(12 分) 如图，在三棱锥 P－ABC中， PA⊥底面 ABC，△ ABC是直角三 角形，且 PA＝AB＝AC。又平面 QBC垂直于底面 ABC。
19．( 本小题满分 12 分 ) 已知动圆经过点 F(2,0) ，并且与直线 x＝－ 2 相 切。
(1) 求动圆圆心 P 的轨迹 M的方程；
(1) 求证： PA∥平面 QBC； (2) 若 PQ⊥平面 QBC，求锐二面角 Q－PB－
解 (1) 证明：过点 Q作 QD⊥BC交 BC于点 D， 因为平面 QBC⊥平面 ABC。 所以 QD⊥平面 ABC。 又 PA⊥平面 ABC， 所以 QD∥PA。 而 QD? 平面 QBC， PA? 平面 QBC， 所以 PA∥平面 QBC。 (2) 因为 PQ⊥平面 QBC，
率为 ( D )
7
5
4
A. 3
B.
4
C.
3
5 D. 3
3 5．在△ ABC中，能使 sinA ＞ 2 成立的充分不必要条件是 ( C )
1．已知命题 p：? x∈R， sinx ≤1，则 ( C ) A． p：? x∈ R，sinx ≥1
sinx ≥1
A． A∈
π 0， 3
B． p：? x∈ R，
∈
(2) 已知直线 y＝k( x－ 1) 与椭圆 C 交于 A， B 两点，是否存在 x 轴上
的点 M( m,0) ，使得对任意的 k∈ R，M→A·M→B为定值？若存在，求出点 M的坐
标；若不存在，说明理由。
解 (1) 设椭圆的短半轴为 b，半焦距为 c，
则
b2＝
a2 ，由
c2＝ a2－ b2，得
c
3 1，解得 a∈ 0， 3 。
log a(2
n∈N*。记数列 { an} 的前 n 项和为 Sn，则 S2 016 ＝ ________。 2 017 － 1
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过
第Ⅱ卷（选择题 共 90 分）
程或演算步骤 . 解答写在答题卡的制定区域内 . 17．(12 分 ) 已知 a，b， c 分别是△ ABC内角 A， B，C 的对边， sin 2B＝ 2sin Asin C。
1
∴
S△
＝ ABC
ac 2
＝1。
18．设 p：实数 x 满足 x2－4ax＋ 3a2＜ 0，其中 a≠0，q：实数 x 满足
x2－ x－ 6≤0， x2＋ 2x－ 8＞0。
(1) 若 a＝1，且 p∧q 为真，求实数 x 的取值范围； (2) 若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围。
(1) 若 a＝b，求 cosB；
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 20 分. 把答案填在答题 卡的相应位置
13 ．已知某抛物线的准线方程为 ________。x2＝－ 4y
y ＝ 1，则该抛物线的标准方程为
14. 若 a＝(1,1,0) ，b＝ ( －1,0,2) ，且 ka＋ b 与 2a－ b 互相垂直，则 k 的
2ay－ 2az＝ 0，
又平面 PAB的一个法向量为 m＝ (1,0,0) ，
设锐二面角 Q－PB－ A的大小为 θ，
m·n
3
则 cosθ＝|cos 〈m， n〉| ＝| m|| n| ＝ 3 ，
3 即锐二面角 Q－PB－ A的余弦值等于 3 。
又 PB＝ PC， PQ＝PQ， 所以△ PQB≌△ PQC， 所以 BQ＝CQ。 所以点 D 是 BC的中点，连接 AD，则 AD⊥BC，因此 AD⊥平面 QBC， 故四边形 PADQ是矩形。 分别以 AC，AB， AP所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所示的 空间直角坐标系。
分图象，如图，
10．若不等式组
x≥0
x＋3y ≥4 ，所表示的平面区域被直线
3x＋y ≤ 4
y＝kx＋ 4 分为面积
3
相等的两部分，则 k 的值是 ( A ) ．
A． 7
3
B． 3
7
C． 4
3
D． 3
4
11．若关于 x 的不等式 2x2－ 8x－ 4－a≥0 在 1≤x≤4 内有解，则实数 a 的
∵y＝log a( x＋1) 的图象与 f ( x) 的图象至少有三个交点，即有 ＋ 1)> f (2) ＝－ 2 且 0<a<