[2020理数]第三章 第一节 导数的概念及运算定积分

第三章 导数及其应用

第一节 导数的概念及运算、定积分

[考纲要求]

1．了解导数概念的实际背景．

2．通过函数图象直观理解导数的几何意义．

3．能根据导数定义求函数y ＝c (c 为常数),y ＝x ,y ＝1

x ,y ＝x 2,y ＝x 3,y ＝x 的导数． 4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数． 5．了解复合函数求导法则,能求简单复合函数(仅限于形如y ＝f (ax ＋b )的复合函数)的导数．

6．了解定积分的概念,了解微积分基本定理的含义．

突破点一 导数的运算

[基本知识]

1．导数的概念

称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li m Δx →0

Δy

Δx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx

为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数,记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0,即f ′(x 0)＝li m Δx →0 Δy

Δx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx

.称函数f ′(x )＝li m Δx →0

f (x ＋Δx )－f (x )

Δx

为f (x )的导函数．

2．基本初等函数的导数公式

f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝ln x f ′(x )＝1

x 基本初等函数 导函数 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－

1 f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x (a >0,a ≠1) f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝log a x (a >0,a ≠1)

f ′(x )＝

1x ln a

3.导数运算法则

(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；

(3)⎣⎡⎦⎤

f x

g x ′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 4．复合函数的导数

复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u ),u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′,即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．

[基本能力]

一、判断题(对的打“√”,错的打“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′的计算结果相同．( ) (2)求f ′(x 0)时,可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( ) (3)f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 二、填空题

1．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为________． 答案：－x sin x

2．已知f (x )＝13－8x ＋2x 2,f ′(x 0)＝4,则x 0＝________. 解析：∵f ′(x )＝－8＋4x , ∴f ′(x 0)＝－8＋4x 0＝4,解得x 0＝3. 答案：3

3．已知函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π4cos x ＋sin x ,则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________． 解析：∵f ′(x )＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4sin x ＋cos x , ∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4×22＋22

,

得f ′⎝⎛⎭⎫π4＝2－1.

∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x . ∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝1. 答案：1

[典例感悟]

1．已知函数f (x )＝x

e x ,则其导函数

f ′(x )＝( )

A.1＋x

e x

B.1－x e x

C ．1＋x

D ．1－x

解析：选B 函数f (x )＝x

e x ,则其导函数

f ′(x )＝e x －x e x e 2x ＝1－x e

x ,故选B.

2．(2019·枣庄三中质检)已知函数f (x )的导函数为f ′(x ),且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ,则f ′(1)＝( )

A ．－e

B ．1

C ．－1

D ．e

解析：选C 由题可得f ′(x )＝2f ′(1)＋1

x ,则f ′(1)＝2f ′(1)＋1,解得f ′(1)＝－1,所以选C.

3．函数f (x )＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π

2,则其导函数f ′(x )＝________. 解析：∵f (x )＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝1

2x sin(4x ＋π) ＝－12x sin 4x ,∴f ′(x )＝－12sin 4x －1

2

x ·4cos 4x

＝－1

2sin 4x －2x cos 4x .

答案：－1

2

sin 4x －2x cos 4x

[方法技巧]

导数运算的常见形式及其求解方法

1．设f (x )＝x (2 019＋ln x ),若f ′(x 0)＝2 020,则x 0等于( ) A ．e 2 B ．1 C ．ln 2

D ．e

解析：选B f ′(x )＝2 019＋ln x ＋1＝2 020＋ln x ,由f ′(x 0)＝2 020,得2 020＋ln x 0＝2 020,则ln x 0＝0,解得x 0＝1.

2．(2019·长沙长郡中学一模)等比数列{a n }中,a 1＝2,a 8＝4,函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8),则f ′(0)＝( )

A ．26

B ．29

C ．212

D ．215

解析： 选C f ′(x )＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′,所以f ′(0)＝a 1a 2a 3…a 8＝(a 1a 8)4＝(2×4)4＝212.故选C.

突破点二 导数的几何意义