2012海淀区高三一模数学文试题及参考答案

1
海淀区高三年级第二学期期中练习
数 学（文科）
2012.04
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
（1）已知集合2{|1}A x x ==，{|(2)0}B x x x =-<，那么A B = （A ）Æ （B ） {1}- （C ）{1} （D ）{1,1}- （2）在等比数列{}n a 中，26a =，318a =-，则1234a a a a +++=
（A ）26
（B ）40 （C ）54
（D ）80
（3）已知向量=(12=(1)x x +-,a b ,),. 若a 与b 垂直，则||b =
（A ）1 （B
（C ）2 （D ）4
（4）过双曲线
22
1916
x y -=的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 （A ）34150x y +-= （B ）34150x y --= （C ）43200x y -+= （D ）43200x y --=
（5）执行如图所示的程序框图，输出的k 值是
（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8
（6）若满足条件020x y x y y a -≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
的整点(,)x y 恰有9个，其中整点是指横、
纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为
（A ）3- （B ） 2- （C ）1- （D ）0
（7）已知函数2,1,
()1,1,x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩若1212,,x x x x ∃∈≠R ，使得
12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是
（A ）2a < （B ）2a >
（C ）22a -<< （D ）2a >或2a <-
（8）在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，若点P 是棱上一点，则满足'2PA PC +=的点P 的个数为
（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）12
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上. （9）复数
2i
1i
-在复平面内所对应的点的坐标为 . （10）若tan 2α=，则sin 2α= .
（11）以抛物线24y x =上的点0(,4)x 为圆心，并过此抛物线焦点的圆的方程是 .
（12已知三条侧棱两两垂直的正三棱锥的俯视图如图所示，那么此三棱锥的体积是 ，左视图的面积是 .
（13）设某商品的需求函数为1005Q P =-，其中,Q P 分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性
EQ
EP
大于1（其中
'
EQ Q P EP Q
=-，'Q 是Q 的导数），则商品价格P 的取值范围是 .
（14）已知函数1,,
()0,.
x f x x ìÎïï=í
ïÎïîR Q Q ð 则()()______f f x =； 下面三个命题中，所有真命题的序号是 . ① 函数()f x 是偶函数；
② 任取一个不为零的有理数T ，()()f x T f x +=对x ∈R 恒成立；
③ 存在三个点112233(,()),(,()),(,()),A x f x B x f x C x f x 使得ABC ∆为等边三角形.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
A'
B'C'
D'
A
B
C
D
俯视图
3
（15）（本小题满分13分）
已知函数()sin sin()3
f x x x π
=+-. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；
（Ⅱ）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c .
已知()f A =
a =，试判断ABC ∆的
形状.
（16）（本小题满分13分）
某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，
[80,100].
（Ⅰ）求直方图中x 的值；
（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿.
(17)（本小题满分14分）
已知菱形ABCD 中，AB =4， 60BAD ∠=
（如图1所示），将菱形ABCD 沿对角线BD 翻折，使点C
翻折到点1C 的位置（如图2所示），点E ，F ，M 分别是AB ，DC 1，BC 1的中点． （Ⅰ）证明：BD //平面EMF ； （Ⅱ）证明：1AC BD ⊥；
（Ⅲ）当EF AB ⊥时，求线段AC 1 的长．
(18)（本小题满分13分）
已知函数211
()ln (0)22
f x a x x a a =-+∈≠且R . （Ⅰ）求()f x 的单调区间；
A
B
C
D
图1
M F
E
A
B
C 1
D
图2
（Ⅱ）是否存在实数a ，使得对任意的[)1,x ∈+∞，都有()0f x ≤？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由. （19）（本小题满分13分）
已知椭圆:C 22
22 1 (0)x y a b a b
+=>>的右顶点(2,0)A ，
，O 为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）已知P （异于点A ）为椭圆C 上一个动点，过O 作线段
AP 的垂线l 交椭圆C 于点,E D ，求
DE AP
的取值范围.
（20）（本小题满分14分）
对于集合M ，定义函数1,,
()1,.
M x M f x x M -∈⎧=⎨
∉⎩对于两个集合M ，N ，定义集合
{()()1}M N M N x f x f x ∆=⋅=-. 已知A ={2，4，6，8，10}，B ={1，2，4，8，16}.
（Ⅰ）写出(1)A f 和(1)B f 的值，并用列举法写出集合A B ∆； （Ⅱ）用Card (M )表示有限集合M 所含元素的个数.
（ⅰ）求证：当()()Card X A Card X B ∆+∆取得最小值时， 2X Î； （ⅱ）求()()Card X A Card X B ∆+∆的最小值.
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海淀区高三年级第二学期期中练习
数 学（文科）
参考答案及评分标准 2012．04
一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. （9）(1,1)- （10）
4
5
（11）22(4)(4)25x
y -+-=
（12）
3 2
（13）(10,20)
（14）1 ①②③ 三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）()sin sin()3
f x x x π
=+-
1sin sin 22
x x x =+
- ………………………………………2分
3sin 2x x =
-
1cos 2x x
÷÷=-÷÷
)
6
x π
=
-
. ………………………………………4分 由22,262k x k k πππ
ππ-<-<+ Z ， 得：222,33
k x k k ππππ-<<+ Z . 所以 ()f x 的单调递增区间为2(2,2)33
k k ππππ-+，k ÎZ . ………………………………………6分
（Ⅱ）因为 ()f A =
， 所以
)6A π-
=
.所以1sin()62A π-=.
………………………………………7分
因为 0A π<<，所以 5
666
A πππ-<-<. 所以 3A π
=
. ………………………………………9分 因为 sin sin a b
A B
=
，a =， 所以 1
sin 2
B =. ………………………………………11分
因为 a b >，3A π=，所以 6B π=.所以 2
C π
= .
所以 ABC ∆为直角三角形. ………………………………………13分
(16)（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由直方图可得
200.025200.0065200.0032201x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.
所以0.0125x =. ………………………………………6分
（Ⅱ）由直方图可知，新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.003220=0.12创
. ………………………………………9分
因为 6000.1272⨯=.
所以 600名新生中有72名学生可以申请住宿.
………………………………………13分
(17)（本小题满分14分）
证明：（Ⅰ）因为点,F M 分别是11,C D C B 的中点，
所以//FM BD ． ………………………………………2分 又FM ⊂平面EM F ，BD ⊄平面EM F ,
所以//BD 平面EM F ． ………………………………………4分
（Ⅱ）在菱形ABCD 中，设O 为,AC BD 的交点,
则AC BD ⊥． ………………………………………5分 所以 在三棱锥1C ABD -中，
1,C O BD AO BD ⊥⊥.
又 1,C O AO O =
所以 BD ⊥平面1AOC ． ………………………………………7分
又 1AC ⊂平面1AOC ，
所以 BD ⊥1AC ． ………………………………………9分
O M F
E
A
B
C 1D
7
（Ⅲ）连结1,DE C E ．在菱形ABCD 中，,60DA AB BAD =∠= ，
所以 ABD ∆是等边三角形.
所以 DA DB =． ………………………………………10分
因为 E 为AB 中点，所以 DE AB ⊥． 又 EF AB ⊥，EF DE E = ．
所以 AB ⊥平面DEF ，即AB ⊥平面1DEC ．
………………………………………12分
又 1C E ⊂平面1DEC ，
所以 AB ⊥1C E ．
因为 ,4AE EB AB ==，1BC AB =，
所以 114AC BC ==． ………………………………………14分 (18)（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞.
2'()a x a
f x x x x
-+=-=. ………………………………………2分
当0a <时，在区间(0,)+∞上，'()0f x <.
所以 ()f x 的单调递减区间是(0,)+∞. ………………………………………3分当0a >时，令
'()0f x =
得x =
x =.
函数()f x ,'()f x 随x 的变化如下：
所以 ()f x 的单调递增区间是，单调递减区间是)+∞.
………………………………………6分
综上所述，当0a <时， ()f x 的单调递减区间是(0,)+∞；
当0a >时，()f x 的单调递增区间是，单调递减区间是)+∞. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知：
M F
E
A
B
C 1
D
当0a <时, ()f x 在[1,)+∞上单调递减.
所以()f x 在[1,)+∞上的最大值为(1)0f =，即对任意的[1,)x ∈+∞，都有
()0f x ≤. ………………………………………7分
当0a >时，
① 1≤，即01a <≤时，()f x 在[1,)+∞上单调递减.
所以()f x 在[1,)+∞上的最大值为(1)0f =，即对任意的[1,)x ∈+∞，都有
()0f x ≤. ………………………………………10分
② 1>，即1a >时，()f x 在上单调递增，
所以 (1)f f >.
又 (1)0f =，
所以 0f >，与对于任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤矛盾.
………………………………………12分
综上所述，存在实数a 满足题意，此时a 的取值范围是(,0)(0,1]-∞ .
………………………………………13分
（19）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为 (2,0)A 是椭圆C 的右顶点，所以 2a =.
又
2
c a =，所以 c = 所以 2
2
2
431b a c =-=-=.
所以 椭圆C 的方程为2
214
x y +=. ………………………………………3分 （Ⅱ）当直线AP 的斜率为0时，||4AP =，DE 为椭圆C 的短轴，则||2DE =. 所以
||1
||2
DE AP =. ………………………………………5分 当直线AP 的斜率不为0时，
设直线AP 的方程为(2)y k x =-，00(,)P x y ，
9
则直线DE 的方程为1
y x k
=-
. ………………………………………6分 由 22
(2),14
y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22
4[(2)]40x k x +--=. 即2222(14)161640k x k x k +-+-=.
所以 2
02162.41
k x k +=
+
所以 20282
.41
k x k =
+-
………………………………………8分
所以
||AP =
=
即 ||AP =. 类似可求||DE =
所以2||||DE AP
==
………………………………………11分 设t =
则224k t =-，2t >.
22||4(4)1415
(2).||DE t t t AP t t
-+-==> 令2415()(2)t g t t t -=>，则22
415
'()0t g t t
+=>. 所以 ()g t 是一个增函数.
所以 2||41544151
||22
DE t AP t -⨯-=>=.
综上，
||
||
DE AP 的取值范围是1[,)2+ . ………………………………………13分
（20）（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：(1)=1A f ，(1)=1B f -，{1,6,10,16}A B ∆=.
………………………………………3分
（Ⅱ）设当()()Card X A Card X B ∆+∆取到最小值时，X W =. （ⅰ）证明：假设2W Ï，令{2}Y W = .
那么 ()()Card Y A Card Y B ∆+∆
()1()1Card W A Card W B =∆-+∆-()()Card W A Card W B <∆+∆.这与题设矛盾.
所以 2W Î，即当()()Card X A Card X B ∆+∆取到最小值时，2X Î. ………………………………………7分 （ⅱ）同（ⅰ）可得：4W Î且8W Î.
若存在a X Î且a A B Ï ，则令{}X Z a =ð. 那么()()Card Z A Card Z B ∆+∆
()1()1Card X A Card X B =∆-+∆-()()Card X A Card X B <∆+∆.
所以 集合W 中的元素只能来自A B .
若a A B Î 且a A B Ï ，同上分析可知：集合X 中是否包含元素a ，
()()Card X A Card X B ∆+∆的值不变.
综上可知，当W 为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时，()()Card X A Card X B ∆+∆取到最小值4.
………………………………………14分。