条件极值简介

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11.3条件极值
极值问题
不带约束条件的极值问题，称为
无条件极值问题.
附有约束条件的极值问题，称为
条件极ห้องสมุดไป่ตู้问题.
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极值问题特点
无条件极值问题的特点：
其极值点的搜索范围是目标函数的定 义域.
条件极值问题的特点：
其极值点的搜索范围还要受到自变量 附加条件的限制.
这种方法称为拉格朗日乘数法, 辅助函数(x, y, )称为拉格朗日函数, 辅助变量 称为拉格朗日乘数.
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推广: 一般而言
求目标函数: y f ( x1 , x2 , , xn ) 在约束条件组 F1 ( x1 , x2 ,..., xn ) 0 F ( x , x ,..., x ) 0 2 1 2 n (m n) .............................. Fm ( x1 , x2 ,..., xn ) 0 下的条件极值.
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例如P204例7：水箱设计问题
目标函数: S ( x, y, z ) xy 2 xz 2 yz ( x 0, y 0, z 0) 约束条件: xyz V .
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条件极值问题的一般形式
求目标函数: y f ( x1 , x2 , , xn ) 在满足函数方程组(限制条件) F1 ( x1 , x2 ,..., xn ) 0 F2 ( x1 , x2 ,..., xn ) 0 (1) (m n) .............................. Fm ( x1 , x2 ,..., xn ) 0 下的极值. 这就是条件极值.函数方程组 称为联系方程组.
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若点P 0 ( x0 , y0 )是条件极值问题的极值点.其必要 条件恰好是点( x0 , y0 , 0 )是辅助函数(x, y, )的 稳定点.
由此产生了一个重要思想 : 通过引入辅助函数(x, y, )把条件极值问题, 转化成为关于这个辅助函数的普通极值问题.
0 0 0 而方程组又只有一个稳定点P0 ( x1 , x2 ,..., xn ),
该点必为所求问题的极值点.
0 0 0 把极值点( x1 , x2 ,..., xn )代入目标函数,求得极值.
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例：用拉格朗日乘数法,重新求水箱设计问题: 目标函数: S ( x, y, z ) xy 2 xz 2 yz ( x 0, y 0, z 0) 约束条件: xyz V .
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求条件极值问题步骤:
1、引入拉格朗日函数 ( x1 , x2 , , xn , 1 , 2 , , m ) f ( x1 , x2 , , xn ) k Fk ( x1 , x2 , , xn ) .
k 1 m
f 1F1 m Fm .
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解：作辅助函数
(x , y , z , ) 2( xz yz ) xy ( xyz V ),
解方程组: x 2 z y yz 0, y 2 z x xz 0, 2( x y ) x y 0, z x yz V 0.
Fx( x0 , y0 ) f x( x0 , y0 ) 1 f y ( x0 , y0 ) 0. Fy ( x0 , y0 )
f x( x0 , y0 )
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( x0 , y0 ) fy ( x0 , y0 ) Fy
Fx( x0 , y0 ) 0.
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如果引入辅助变量和辅助函数 (x, y, ) f ( x, y) F ( x, y)
x (x0 , y0 , 0 ) f x( x0 , y0 ) 0 Fx( x0 , y0 ) 0 y (x0 , y0 , 0 ) f y ( x0 , y0 ) 0 Fy ( x0 , y0 ) 0 ( x , y , ) F ( x , y ) 0 0 0 0 0 0
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条件极值
条件极值的定义 条件极值的求法 拉格朗日乘数法
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例如P204例7：水箱设计问题
例7、用钢板制造容积为V的无盖长方形水箱，问 怎么选择水箱的长、宽、高才最省钢板.
目标函数: S ( x, y, z ) xy 2 xz 2 yz ( x 0, y 0, z 0) 约束条件: xyz V .
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引入辅助函数 ( x1 , x2 , , xn , 1 , 2 , , m ) f ( x1 , x2 , , xn ) k Fk ( x1 , x2 , , xn ).
k 1 m
称此函数为拉格朗日函数, 其中
1 , 2 , , m 称为拉格朗日乘数.
为消去 , 将前三式分别乘以 x , y , z , 则得
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2 xz x y x yz , 2 yz x y x yz , 2 z ( x y ) x yz .
两两相减后立即得出 x y 2 z , 再代入第四式,
n n
求函数 x1 x2 xn 并证明:
x1 x2 xn x1 x2 xn n
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为了便于记忆, 令0 = f y ( x0 , y0 ) Fy ( x0 , y0 ) .
若点P . 0 ( x0 , y0 )是条件极值问题的极值点 其必要条件是点( x0 , y0 )应满足方程:
f x( x0 , y0 ) 0 Fx( x0 , y0 ) 0 f y ( x0 , y0 ) 0 Fy ( x0 , y0 ) 0 F (x , y ) 0 0 0
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2、求拉格朗日函数的稳定点.
即求下述n m个方程的解.
m f Fk 0, i 1, 2, , n; k xi xi k 1 xi F ( x , x ,..., x ) 0, k 1, 2, , m; k 1 2 n k
3
x =y 2 z
Smin 2
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4 2V , 3 2V
3
3
2V 3 ( 2V 3 2V ) ( 2
2V )2 3
3
4V 2
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例2：
设n个正数xi的和为定值a, 即 x1 x2 xn a 的条件下, u 的最大值.
设解是M 0

0 0 0 0 0 0 x1 , x2 ,..., xn , 1 , 2 ,..., m

,

求解过程可以消去 k , (k 1, 2, , m),
0 0 0 求得满足方程组得稳定点P0 ( x1 , x2 ,..., xn )
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3、由问题的实际意义,如果函数必存在条件极值,
将 y g ( x)代入目标函数f ( x, y )之中, f 化为 关于 x 的一元函数, z f x, g ( x) h( x).
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若点P0 ( x0 , y0 )是条件极值问题的极值点. 那么点x x0必定也是z h( x)的极值点.
从而有一元函数极值的必要条件可知, 点x x0必定是z h( x)的稳定点.
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注:
1、消元法并不是对所有的条件极值都是可行 的.比如约束条件是由隐函数组给出，而隐函 数组的解不一定是初等函数. 2、变量的平等性受到破坏.
所以我们要去寻找新的一般的方法。
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例: 求条件极值
目标函数: z f ( x, y ) 约束条件: C : F ( x, y) 0.
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寻找必要条件：
设z f ( x, y )在点P0 ( x0 , y0 )处取得极值，即 点P0 ( x0 , y0 )是条件极值问题的极值点. 那么P0 ( x0 , y0 )的坐标应满足什么样的条件?
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为此,设函数 f , F 的所有偏导数在点P0 的 ( x0 , y0 ) 0, 某邻域G连续, 且 Fy 则有隐函数定理,F ( x, y ) 0在G确定函数 y g ( x).
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条件极值的求法:
用消元法化为无条件极值. 拉格朗日乘数法.
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例如P204例7：
目标函数: S ( x, y, z ) xy 2 xz 2 yz ( x 0, y 0, z 0) 约束条件: xyz V .
1 1 V F ( x, y ) S x, y, xy 2V xy y x ( x 0, y 0)
dz h( x0 ) 0. 即 dx x x0
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f x( x0 , y0 ) 1 f y ( x0 , y0 ) g( x0 ) 0.
Fx( x0 , y0 ) 由隐函数定理 g ( x0 )= ,代入上式. Fy ( x0 , y0 )