定积分习题课

ຫໍສະໝຸດ Baidu
则I + J = ∫
π 2 0
π dx = , 2
π
I −J = ∫
π 2 0
sin x − cos x d(cos x + sin x) 2 dx = −∫ = 0. 0 sin x + cos x sin x + cos x
π 故得 2 I = , 2
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π 即I = . 4
例3 解
tan(sinx) ⋅ cosx sin(tanx) ⋅ sec2 x
1 2
x→0+0
原式 = lim
tan(sin x ) = lim sin(tan x ) x →0 + 0
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=1
sin x = lim x →0+0 tan x
1 2
[ x , x + dx ]上所受的压强为 p = ρ gx ,窄条 [ x , x + dx ] 的
近似代替, 面积 ∆A用对应矩形的面积 dA近似代替, 得到 2 4 dA = 2 ⋅ ( x − 3)dx = ( x − 3)dx , 3 3 4 所以的水压力元素为 dP = pA = ρgx ( x − 3)dx 3 (3) 求定积分：每面所受的压力为 求定积分：
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4 P = ∫ ρgx ( x − 3)dx = 1.65( N ) 3 3
9
例14 解 作x轴如图.
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例6 求极限
解
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例7 设 f ( x) = ∫ e
0
x
− y2 +2 y
dy,求 ∫ ( x − 1)2 f ( x)dx.
0
− y2 +2 y
1
解
原式 = ∫ ( x − 1) [ ∫ e
2 0 0
2
1
x
dy ]dx
2
x 11 1 3 1 − y +2 y dy ]0 − ∫ ( x − 1)3 e − x = [ ( x − 1) ∫ e 0 0 3 3 1 1 = − ∫ ( x − 1)2 e −( x −1) +1d [( x − 1)2 ] 6 0
0
y
(3, 0)
x
x + dx
9
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(9, 4)
x
确定积分变量和积分区间： 解: (1) 确定积分变量和积分区间：建立如图所示的 2 坐标系， 坐标系，则直线 AB的方程为 y = ( x − 3),取 x 为积分 3 变量， 变量，则 x ∈ [3, 9].
∀ (2) 求微元： x ∈ [3, 9] [ x , x + dx ] ∈ [3, 9], 求微元： 且 窄条
旋转体的体积
V = ∫ π a − x −a
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2 3
dx = 32 πa 3 . 105
例12 求曲线的弧长
解 因为
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一底为8厘米，高为 厘米的等腰三角形片 厘米的等腰三角形片， 一底为 厘米，高为6厘米的等腰三角形片，铅直沉 厘米 入水中，顶在上，底在下，底与水平面平行，顶距水面 厘 入水中，顶在上，底在下，底与水平面平行，顶距水面3厘 米，求每面所受的压力。 求每面所受的压力。
求∫
令e
ln 2
0
1 − e−2 x dx.
x 0 π t 2
−x
= sin t ,
cos t dt . 则 x = − ln sin t , dx = − sin t
原式 = ∫
π 6 π 2
ln 2 π 6
cos t cos t ( − )dt = ∫ sin t
π
π 2 π 6
cos 2 t dt sin t
y = x3 − 6x
⇒ (0,0), ( −2,4), ( 3,9).
y = x2
− 选 x 为积分变量 x ∈ [−2, 3]
(1) x ∈ [−2, 0], dA1 = ( x 3 − 6 x − x 2 )dx ( 2) x ∈ [0,3], dA2 = ( x 2 − x 3 + 6 x )dx
π
证
令 x = π − t,
0
dx = − dt ,
( π − t ) f (sin t ) ( − dt ) 左边 = ∫ 2 π 1 + cos t =∫
π 0
( π − x ) f (sin x ) dx 2 1 + cos x
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π xf (sin x ) f (sin x ) dx − ∫ dx = π∫ 2 2 0 1 + cos x 0 1 + cos x π f (sin x ) xf (sin x ) dx = π ∫ dx 即 2∫ 2 2 0 1 + cos x 0 1 + cos x π π
原式 = ∫ sin x − cos x dx
= ∫ (cos x − sin x )dx + ∫ (sin x − cos x )dx = 2 2 − 2.
π 4 0 π 2 π 4
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例2 求 ∫
π 2 0
sin x dx. sin x + cos x
π 2 0
解 由I = ∫
π sin x cos x dx, 设 J = ∫ 2 dx, 0 sin x + cos x sin x + cos x
=∫
π 2 π 6
dt 3 2sin tdt − ∫π . = ln( 2 + 3 ) − sin t 6 2
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例4
解： 令 则
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所以
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例5. 解：
∫ lim ∫
x→ +0 0
sinx
0 tan x 0
tan t dt sin t dt
0 ( 型不定型 ) 0
第五章 定积分习题课 主要内容 典型例题
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一、主要内容
问题1: 问题1:
曲边梯形的面积
问题2: 问题2:
变速直线运动的路程
存在定理
的 性 质 定 积 分
定积分
反常积分
计 算 法 定 积 分 的
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二、典型例题
例1 解
求∫
π 2 0
1 − sin 2xdx.
π 2 0
4 5 及 π ≤ θ ≤ π. 3 3
由对称性
π 1 2 A = 6∫ r d θ = 3 a 2 ∫ 06 sin 2 3 θ d θ 2 π π 6 1 3 2 1 π 2 2 6 (1 − cos 6θ )dθ = a [θ − sin 6θ] = a = 3a ∫0 2 2 6 4 0
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于是所求面积 A = A1 + A2
253 A = ∫− 2 ( x − 6 x − x )dx + ∫0 ( x − x + 6 x )dx = . 2011-4-30 12
0 3 2 3 2 3
例10求r = a sin3θ所围的面积。 求 θ所围的面积。 这是三叶玫瑰线， 解 这是三叶玫瑰线，由 sin3 θ ≥0，有 ， π 2 0≤θ≤ , π≤θ≤π 3 3
π
∴
∫0
xf (sin x ) π π f (sin x ) dx = ∫ dx . 2 2 2 0 1 + cos x 1 + cos x
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例 9
计算由曲线 y = x 3 − 6 x 和 y = x 2 所围成
的图形的面积. 的图形的面积 3 两曲线的交点 y = x − 6 x
π 6 0
例 11 求星形线 x + y = a ( a > 0) 绕 x 轴旋转 构成旋转体的体积. 构成旋转体的体积
y
2 3 2 3 2 3
2 3
2 3
2 3
Qy =a −x ,
∴ y = a − x
2 2 3
a 2 3
2 3

3
x ∈ [− a , a ]
3
−a
o
a x
2
+2 x
dx
令 ( x − 1)2 = u
e 0 −u 1 − ∫ ue du = − (e − 2). 6 1 6
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例8 设 f ( x) 在[0, π] 上连续, 证明:
xf (sin x) π π f (sin x) ∫0 1+ cos2 x dx = 2 ∫0 1+ cos2 x dx.