函数对称中心的求法解析
第60课--求三角函数的对称轴或对称中心
第60课求三角函数的对称轴或对称中心基本方法：将问题转化为单一名称的三角函数，再求三角函数的对称轴或对称中心(1)函数sin y x =的对称性对称轴：ππ()2x k k =+∈Z ，对称中心：(π,0)()k k ∈Z (2)函数cos y x =的对称性对称轴：π()x k k =∈Z ，对称中心：π(π,0)()2k k +∈Z (3)函数tan y x =的对称性对称中心：π(,0)()2k k ∈Z 一、典型例题1.将函数πcos(4)6y x =+的图象向右平移π6个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，求所得新函数的对称轴方程和对称中心的坐标.答案：对称轴方程为ππ()42k x k =+∈Z ，对称中心坐标为π(,0)()2k k ∈Z 解析：将函数πcos(4)6y x =+的图象向右平移π6个单位，得到ππcos[4(]66y x =-+，即πcos(4)sin 42y x x =-=图像.sin 4y x =的图像纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到sin 2y x =的图像.令π2π()2x k k =+∈Z ，解得ππ()42k x k =+∈Z ，所以sin 2y x =的对称轴方程为ππ()42k x k =+∈Z .令2π()x k k =∈Z ，解得π()2k x k =∈Z ，所以对称中心坐标为π(,0)()2k k ∈Z .2.已知函数()()πsin 2(0,)2f x x ωϕωϕ=+><的最小正周期为π，它的一个对称中心为π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭,求函数()y f x =图象的对称轴方程.答案：2π512πk x k =+∈Z ，解析：由题得()2=22πππππ6k k Z ωωϕϕ⎧⎪⎪⎪⋅+=∈⎨⎪⎪<⎪⎩，π1,3ωϕ∴==-，所以()sin(2)3f x x π=-．令()232x k k ππ-=π+∈Z ，得()5122k x k =π+π∈Z ，即()y f x =的对称轴方程为()5122k x k =π+π∈Z .二、课堂练习1.已知函数())2sin8cos4sin 4cos8sin4cos46f x x x x x x x x π⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭.求函数()f x 图象的对称轴方程.答案：() 848k x k Z π5π=+∈.解析：())2sin8cos4sin 4cos8sin4cos46f x x x x x x x x π⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭12sin8cos4cos422x x x x ⎫=+-⎪⎪⎝⎭)cos8sin4cos4x xx x +))sin8cos4cos4cos8sin4cos4x x x x x x x x =+-+)()+cos4sin8cos4cos8sin4x x x x x x =-)()cos4sin 84x x x x =+-)cos4sin4x x x =+24sin4cos4x x x =+1cos81sin822x x -=+1sin82x x =-+sin 83x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭令()8+32x k k ππ-=π∈Z ，得()848k x k Z π5π=+∈.所以函数()f x 图象的对称轴方程为()848k x k Z π5π=+∈.2.函数()()sin 04,4f x x x ωωπ⎛⎫=-<<∈ ⎪⎝⎭R 的一条对称轴为38x π=，求4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭.答案：22解析：由题意()sin 4f x x ωπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭一条对称轴为38x π=，得()3842k k ωπππ⨯-=π+∈Z ，解得2ω=，()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以2sin 2sin 44442f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.三、课后作业1.求函数π2tan(26y x =-的对称中心坐标.答案：ππ(,0)()124k k +∈Z 解析：令ππ2()62k x k -=∈Z ，解得ππ()124k x k =+∈Z ，故π2tan(26y x =-的对称中心坐标为ππ(,0)()124k k +∈Z .2.已知函数()2sin sin 63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∈R .求函数()f x 的最小正周期及其图象的对称中心.答案：最小正周期为π，对称中心为,062k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈Z 解析：()2sin sin 2sin sin 63626f x x x x x πππ⎡ππ⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2sin cos 66x x ππ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期为22π=π.令π2π()3x k k -=∈Z ，解得()62k k x ππ+=∈Z ，所以对称中心为,062k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈Z .3.将函数2()cos 2cos ()f x x x x x =+∈R 图像向左平移π6个单位，再向下平移1个单位，得到函数()g x 图像，求()g x 的对称轴方程和对称中心坐标.答案：对称轴为直线π,()2k x k =∈Z ，对称中心为ππ(,0)()42k k +∈Z解析：2()cos 2cos f x x x x =+2cos21x x =++π2sin(216x =++，将函数()f x 图像向左平移π6个单位，再向下平移1个单位，得到函数()g x 的解析式为ππ()2sin[2()]112cos 266g x x x =+++-=.令2π()x k k =∈Z ，解得π()2k x k =∈Z ，所以()g x 的对称轴方程为π()2k x k =∈Z .令π2π()2x k k =+∈Z ，解得ππ()42k x k =+∈Z ，所以对称中心坐标为ππ(,0)()42k k +∈Z .。
函数对称中心的求法解析
函数对称中心的求法解析湖北省广水市第一中学（432700） 刘才华题目 函数32()367f x x x x =-+-的图象是中心对称图象，其对称中心为________.一、利用定义求对称中心分析 根据中心对称图形的定义，在函数()f x 图象上的任意一点(,)A x y 关于对称中心(,)a b 的对称点(,)A x y '''也在函数()f x 的图象上.∴22x x a y y b '+=⎧⎨'+=⎩，即22x a x y b y'=-⎧⎨'=-⎩. ∴(2,2)A a x b y '--，代入函数式有：322(2)(2)3(2)6(2)7b y f a x a x a x a x -=-=---+--,化简得：32232(36)(12126)(2781212)y x a x a a x b a a a =+-+-+++-+-， 与32()367f x x x x =-+-是同一函数，则对应系数相等， 故23236312126627812127a a a b a a a -=-⎧⎪-+=⎨⎪+-+-=-⎩，∴1a =，3b =-，即函数()f x 的对称中心为(1,3)-. 点评 利用中心对称的定义求解是基本方法，考察基本概念，通过同一函数的对应系数相等构建方程解出对称中心.二、巧取特殊点求对称中心分析 在函数()f x 的图象上取点(1,3)-、(2,1)，它们关于对称中心(,)a b 的对称点分别为(21,23)a b -+、(22,21)a b --也在函数()f x 的图象上.∴323223(21)3(21)6(21)721(22)3(22)6(22)7b a a a b a a a ⎧+=---+--⎪⎨-=---+--⎪⎩，相减则26(253)0a a -+=， ∴13a b =⎧⎨=-⎩或321a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩.又若对称中心为3(,1)2，则(0,7)-关于3(,1)2的对称点(3,9)应在函数图象上，而(3)119f =≠，∴3(,1)2不是对称中心，故对称中心为(1,3)-.点评 这里巧妙地在函数图象上取两个特殊点，构建关于对称中心坐标的方程，解出对称中心，但要注意由特殊点求出的解是否也满足一般的点，因此还要继续检验，排除增解.三、巧构奇函数求对称中心分析 把函数()y f x =变形为33(1)3(1)y x x +=-+-，设函数3()y g x x x ==+，∵()y g x =为奇函数，∴其对称中心为(0,0)O ，又将函数3y x x =+的图象按向量(1,3)a =-r 平移刚好得到33(1)3(1)y x x +=-+-，∴()y f x =的对称中心是由()y g x =的对称中心(0,0)O 按向量(1,3)a =-r 平移得到的，即为(1,3)-．∴()y f x =的对称中心为(1,3)-．点评 这里巧妙地构造奇函数，将原函数看作是由奇函数平移得到的，利用奇函数关于原点对称的性质，这样原函数的对称中心就是由奇函数的对称中心按向量平移得到的.四、巧用导函数求对称中心分析 如右图示，若函数()f x 的对称中心为00(,)x y ，且点11(,)x y和点22(,)x y 是函数图象上关于对称中心对称的两点，由对称性知，函数在1x ，2x 处的切线斜率相等，设斜率为k ，则2()366f x x x k '=-+=∴23660x x k -+-=的两根为1x ，2x ，则12022x x x +==，∴0x .又00()(1)3y f x f ===-.∴函数()f x 的对称中心为(1,3)-.点评 这里充分利用对称中心的性质：两点关于对称中心对称，则这两点处的切线平行，这样转化为研究导函数，导函数的对称轴就是对称中心的横坐标，从而求出对称中心.。
二次函数与曲线的对称中心求解方法
二次函数与曲线的对称中心求解方法在数学中，二次函数是一种常见的数学函数类型。
它的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
二次函数的图像通常呈现出一种特殊的曲线形状，称为抛物线。
本文将介绍二次函数与其图像的对称中心的求解方法。
一、二次函数的对称性在讨论二次函数的对称中心求解方法之前，有必要先了解二次函数的对称性。
对于一般二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们可以通过对称轴的位置来确定它的对称性质。
二次函数的对称轴是指函数图像的一个轴线，使得函数图像关于该轴线对称。
二、对称中心的求解方法对于一般二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们可以通过以下步骤求解其对称中心的坐标。
步骤一：求解对称轴的x坐标。
对称轴的x坐标可以通过以下公式得到：x = -b / (2a)步骤二：将步骤一得到的x坐标代入原始二次函数中，求解对称中心的y坐标。
y = f(x)三、示例分析为了更好地理解对称中心的求解方法，我们将通过一个实例进行详细分析。
例1：考虑二次函数f(x) = 2x^2 + 4x + 1，求解其对称中心。
步骤一：求解对称轴的x坐标。
将a = 2, b = 4代入公式 x = -b / (2a) 中，得到：x = -4 / (2*2) = -4 / 4 = -1步骤二：求解对称中心的y坐标。
将x = -1代入原始二次函数中，得到：y = f(-1) = 2*(-1)^2 + 4*(-1) + 1 = 2 + (-4) + 1 = -1因此，二次函数f(x) = 2x^2 + 4x + 1的对称中心坐标为(-1, -1)。
四、总结通过以上示例分析，我们可以总结出求解二次函数对称中心的方法：1. 首先，求解对称轴的x坐标，使用公式 x = -b / (2a)；2. 其次，将步骤一得到的x坐标代入原始二次函数中，求解对称中心的y坐标。
这种方法简单而直观，适用于任意二次函数的对称中心求解。
函数对称中心的求解方法探究及应用
函数对称中心的求解方法探究及应用函数的对称性是函数的一个重要性质.充分体现了数学的形式美，给学生以美的感受的同时，锻炼学生的思维，拓展学生的视野，丰富学生的想象.函数的奇偶性就是函数的对称性的特例．如何探求函数的中心对称性呢？为此，本文将函数的中心对称性的探求策略及简单应用，整理如下，以飨读者.一、反比例函数图解法初中数学的学习中，我们接触了一次函数、反比例函数是中心对称图形，自然可以借助于常见的基本初等函数来探求等次分式函数的图象的对称中心.函数()()(),0cx d c ad bcf x ad bc a ax b a c ax b +-==+≠≠++图象的两条渐近线方为：b x a =-，cy a =，它的对称中心是,b c a a ⎛⎫-⎪⎝⎭.【例1】函数()1122ax f x a x +⎛⎫=≠ ⎪+⎝⎭的对称中心是()2,5-，则实数a 的值是.【解析】()()2121222a x aaf x a x x ++--==+++，其对称中心为()2,a -，所以5a =.【评注】上述分式函数通过分离常数，求出函数渐近线方程，这两条渐近线的交点，便是函数图象的对称中心。
【变式1】函数()321xf x x -=，该函数图象的对称中心是.遇到抽象函数的对称中心的探求，从图象平移变换的角度不易理解，这【解析】用2x -替换，得4f x f x -=-，可知，函数f x 关于点2,0对称，函数()()3f x x a =+的对称中心是(),0a -，则2-=a ，所以()()33124.f f -+=-【思考1】上面条件()32f x f x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭说明了函数对称中心是3,04⎛⎫⎪⎝⎭，具有一般性吗？定义在R 上的函数()f x 满足()()2f a x f x -=，则函数图像关于022a x xx a -+==对称，即点()(),x f x 与()()2,a x f x -点关于x a =对称，这是大家熟知对称轴的计算公式.那么()()2,a x f x -关于x 轴对称翻折成()()2,a x f x --，那么点()(),x f x 与()()2,a x f x --点关于(),0a 中心对称，此时满足()()2f a x f x -=-，因此函数满足()()2f a x f x -=-，则函数图像必然关于(),0a 中心对称.【思考2】如果把对称点()()2,a x f x --向上抬高2b 单位,得到()()2,a x f x --与()(),x f x 的连线的中点上移几个单位？能得到什么结论？若对称点()()2,a x f x --向上平移2b 单位，根据中位线性质，其连线的中点也就是对称中心上移b 单位变为(),a b ，也就是若有()()22,f a x b f x -=-则函数对称中心变为(),a b .类似结论还有，()()2f a x c f b x +=+-，则()y f x =y =f (x )的图象关于点,2a b c +⎛⎫⎪⎝⎭对称．三、奇函数图像转化法函数()f x 的图像向右移动a 个单位，再向上平移b 个单位，得到奇函数()f x a b -+，则原函数图像关于点( )a b --,成中心对称图形.【例3】已知函数1y x =的图像的对称中心为()0,0;函数111y x x =++的图像的对称中心为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭;函数11112y x x x =++++的图像的对称中心为()1,0-;……;由此推测函数111112y x x x x n=++++++ 的图像的对称中心为．【解析】11()1f x xx =++图像右移12个单位后变成函数111()11222f x x x -=+-+.该函数是奇函数，故原函数中心为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭.函数111()12f x x x x =++++图像右移1个单位后，变成奇函数111(1)11f x x x x -=++-+，故原来的函数对称中心为()1,0-.由此1111()12f x x x x x n =++++++ ，图像右移2n 个单位后，变为奇函数111111+++212122222n f x n n n n n x x x x x x ⎛⎫-=++++⎪⎝⎭--+-++-+，因此原函数对称中心为,02n⎛⎫- ⎪⎝⎭.【变式3】若()11111234g x x x x x =+++++++，求()()5g x g x +--=.【解析】51111311322222g x x x x x ⎛⎫-=+++ ⎪⎝⎭--++是奇函数，()g x 对称中心为5,02⎛⎫- ⎪⎝⎭.因为点(),x y 关于5,02⎛⎫- ⎪⎝⎭的对称点是()5,x y ---，所以()()5g x g x --=-，故()()5g x g x +--=0.【变式4】函数()11111232013f x x x x x =++++++++ 图像的对称中心是（）A．()10060-，B．()10070-，C．()10060，D．()10070，【解析】()111110071006100510051006f x x x x x -=++++--++ ，则()1007f x -为奇函数，所以()f x 的图像关于点()10070-，对称.所以选B.【变式5】已知函数()1220121232013x x x x f x x x x x +++=++++++++ ，则()()02014f f +-=_______．【例4】已知函数()2112cos 221x xf x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=-，其图像的对称中心是【变式6】(2013全国)已知函数误的是().A．0x R ∃∈，()00f x =B．函数()f x 的图象是中心对称图形C．若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间()0,x -∞上单调递减D．若0x 是()f x 的极值点，则()00f x '=【解析】若0c =，则有()00f =，所以A 正确．由()32f x x ax bx c =+++，得()32f x c x ax bx -=++，因为函数()32f x x ax bx =++的对称中心为()0,0，所以()32f x x ax bx c =+++的对称中心为()0,c ，所以B 正确．由三次函数的图象可知，若0x 是()f x 的极小值点，则极大值点在0x 的左侧，所以函数在区间()0,x -∞单调递减是错误的，D 正确．选C.【变式7】()()311f x x =-+，则()()()()()43056f f f f f -+-+++++=．【解析】()()311f x x =-+是由3y x =平移得到的，由于3y x =是奇函数，图像关于原点对称，因此()f x 的对称中心为()1,1，有()()22f x f x +-=，所以()()()()()43056f f f f f -+-+++++ ()()()()()()()4635021f f f f f f f =⎡-+⎤+⎡-+⎤++⎡+⎤+⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 52111=⨯+=．四、导数拐点法【例5】对于三次函数()()320,f x ax bx cx d a =+++≠给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.请你根据这一发现判断下列命题：①任意三次函数的图像都关于点,33bb f aa ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对称；②存在三次函数()y f x =，()0f x ''=有实数解0x ，点()()00,x f x 为函数()y f x =的图像的对称中心；③存在三次函数的图像有两个及两个以上对称中心；④若函数()3211513cos()32122g x x x x x π+=-+-+-，则12342012100620132013201320132013g g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.其中正确命题的序号为(把所有正确命题的序号都填上).【解析】对于①②明显正确；对于③，任意的三次函数满足()62f x ax b ''=+，而()0f x ''=只有一个根，所以任意三次函数的图像只有一个对称中心,33bb f aa ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.③错；对于④，令()3211533212u x x x x =-+-，()1cos 2v x x π+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()21u x x ''=-，所以()u x 的图像关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭对称，同理，函数()v x 的图像关于点1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以122012122012201320132013201320132013u u u v v v ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 120121006100621201220132013u u ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=⨯⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，④错.故正确命题的序号为①②.【评注】三次函数的对称中心的横坐标实质上即为其二阶导函数的零点。
二次函数中心对称后的解析式
二次函数中心对称后的解析式在数学的海洋里，二次函数就像一位优雅的舞者，总是吸引着我们眼球。
今天我们要聊聊一个有趣的话题：二次函数的中心对称。
别担心，听起来复杂，其实说起来就是那么回事，咱们慢慢聊。
1. 二次函数的基本知识1.1 什么是二次函数？二次函数，顾名思义，就是形如 (y = ax^2 + bx + c) 的函数。
这是一个抛物线，打开的方向取决于 (a) 的符号。
如果 (a > 0)，抛物线向上；如果 (a < 0)，那就向下了。
简单来说，它就是一条曲线，像极了你在公园里看到的小朋友们在滑滑梯一样，哈哈，轻松又自在。
1.2 对称轴是什么？说到对称，咱们不得不提到对称轴。
对于二次函数来说，这个对称轴就像是个隐形的线，把整个抛物线一分为二，左右对称。
公式上说，对称轴的坐标是(x = frac{b{2a)。
在这个地方，抛物线的“心”就藏着，正如每个故事都有一个核心，抛物线也有它的中心。
2. 中心对称的概念2.1 什么是中心对称？好，聊完基础知识，我们进入中心对称的世界。
中心对称其实就是对称于某个点，简单点说，就是在这个点周围，任意一点到这个点的距离，反方向同样有个点与之对应。
想象一下你和朋友在湖边丢石头，湖面波光粼粼，石头落下的地方前后左右都对称，既美又和谐。
2.2 二次函数的中心对称对二次函数而言，它的中心对称点正好在对称轴上。
我们之前提到的 (x = frac{b{2a) 其实就是这个中心点的横坐标。
也就是说，不论你的抛物线开向哪里，都是围绕这个点旋转的。
咱们就可以想象成，你把一张纸折成两半，折痕就是这个中心对称的“线”。
3. 如何求解析式？3.1 中心对称后的解析式那么，问题来了，中心对称后，二次函数的解析式变了吗？答案是肯定的！在进行中心对称时，我们需要对函数的 (x) 进行变换。
具体操作是把 (x) 换成 (x)，这样一来，二次函数的解析式就变成了 (y = a(x)^2 + b(x) + c)。
函数的对称问题重点
函数的对称问题湖南彭向阳一、函数的自对称问题1．函数 y=f(x 的图象关于直线x=a 对称f(a+x=f(a-x ；特别，函数y=f(x 的图象关于y 轴对称f(x=f(-x.2．函数 y=f(x 的图象关于点(a,b 对称f(a+x+f(a-x=2b ；特别，函数y=f(x 的图象关于原点对称f(-x=-f(x.主要题型：1.求对称轴 (中心：除了三角函数y=sinx ， y=cosx 的对称轴〔中心〕可以由以下结论直接写出来 (对称轴为函数取得最值时的x=,对称中心为函数与x 轴的交点外，其它函数的对称轴(中心就必须求解，求解有两种方法，一是利用对称的定义求解；二是利用图象变换求解.例 1 确定函数的图象的对称中心.解析 1 设函数的图象的对称中心为〔h， k〕，在图象上任意取一点P 〔x， y〕，它关于〔 h， k〕的对称点为Q〔 2h-x， 2k-y 〕， Q 点也在图象上，即有，由于，两式相加得，化简得〔*〕.由于 P 点的任意性，即〔 * 〕式对任意 x 都成立，从而必有 x 的系数和常数项都为 0，即h=1，k=1.所以函数的图象的对称中心为〔1,1〕.解析 2 设函数，那么g(x为奇函数，其对称中心为原点，由于，说明函数f(x 的图象是由g(x 的图象分别向右、向上平移 1 个单位得到，而原点向右、向上分别平移 1 个单位得到点 (1,1.所以函数的图象的对称中心为〔1,1〕.例 2 曲线 f(x=ax 3+bx2+cx ，当 x=1-时，f(x有极小值；当x=1+时，f(x有极大值，且在x=1 处切线的斜率为.(1 求 f(x ；(2 曲线上是否存在一点P，使得 y=f(x 的图象关于点P 中心对称？假设存在，求出点P 的坐标，并给出证明；假设不存在，请说明理由.解析 (1 =3ax2+2bx+c ，由题意知 1- 与 1+ 是 =3ax2+2bx+c=0 的根，代入解得 b=-3a， c=-6a.又 f(x 在 x=1 处切线的斜率为，所以，即3a+2b+c=，解得. 所以f(x .f(x0+x+f(x0-x=2y0 ，(2 假设存在P(x0 ， y0，使得f(x 的图象关于点P 中心对称，那么即，化简得.由于是对任意实数x 都成立，所以，而 P在曲线y=f(x上.所以曲线上存在点P，使得y=f(x的图象关于点P 中心对称 .2.证明对称性：证明对称性有三种方法，一是利用定义，二是利用图象变换，三是利用前面的结论 ( 函数 y=f(x的图象关于点(a,b对称f(a+x+f(a-x=2b来解决.例 3 求证函数的图象关于点P〔 1,3 〕成中心对称.证明 1 在函数的图象上任意取一点A〔x， y〕，它关于点P〔 1,3 〕的对称点为 B〔2-x ， 6-y 〕，因为，所以点 B 在函数的图象上，故函数的图象关于点P〔 1,3 〕对称 .证明2因为.由于是奇函数，所以的图象关于原点对称，将它的图象分别向右平移 1 个单位，向上平移 3 个单位，就得到函数的图象，所以的图象关于点P〔 1,3 〕对称 .所以的图象关于点 P〔 1,3 〕对称 .3．函数的对称性求函数的值或参数的值:由函数的对称性求值，关键是将对称问题转化为等式问题，然后对变量进行赋值求解. 例4 定义在R 上的函数f(x的图象关于点对称，且满足那么f(1+f(2+f(3++f(2005 的值为〔〕.A ．解析由f(x 的图象关于点，即，即对称，那么说明函数，又，函数 f(x是偶函数是奇函数，也就是有，所以.所以，又，即 f(x 以 3 为周期， f(2=f(-1=1 ， f(3=f(0=-2 ，所以 f(1+f(2+f(3+ +f(2005=668 〔 f(1+f(2+f(3 〕 +f(2005=f(2005=f(1=1 ，选 D.例 5 函数f(x=的图象关于点中心对称，求f(x.解析 1 设 f(x图象上任意一点A〔 x，y〕，它关于点的对称点为B，由于 A、 B 都在 f(x上，所以，相加整理得，解得 a=1.所以 f(x=.解析 2 由上面的公式有，代入化简整理得a=1.解析 3 由题意知将函数y=f(x的图象向左平移 1 个单位长度，向下平移个单位长度得y=的图象，它关于原点对称，即是奇函数，=，即 y=，它是奇函数必须常数项为0，即 a=1.二、函数的互对称问题1． y=f(x 与 y=g(x 的图象关于直线x=a 对称f(a+x=g(a-x ；2． y=f(x 与 y=g(x 的图象关于直线y=b 对称f(x+g(x=2b ；3． y=f(x 与 y=g(x 的图象关于点 (a ， b 对称f(a+x+g(a-x=2b.4． y=f(x 与 y=g(x 的图象关于直线y=x 对称f(x 和 g(x 互为反函数 .记住这些结论不仅仅便于解决选择填空题，也便于解答题中的图象互相对称的函数解析式的求解问题 . 主要题型：1. 判断两个函数图象的对称关系例 6 在同一平面直角坐标系中，函数f(x=2x+1与g(x=21-x的图象关于(.A．直线ｘ＝ 1 对称 B. ｘ轴对称C.ｙ轴对称D. 直线ｙ＝ｘ对称解析作为一个选择题，可以取特殊点验证法，在f(x上取点(1,4，g(x上点(-1,4，而这两个点关于y 轴对称，所以选择 C.当然也可利用上面的结论解决，因为f(-x=2-x+1=g(x，所以f(x、g(x的图象关于y 轴对称，选 C.2．证明两个函数图象的对称性：一般利用对称的定义，先证明前一个函数图象上任意一点关于直线 ( 点的对称点在后一个函数的图象上，再证明后一个函数图象上任意一点关于直线( 点的对称点也在前一个函数的图象上，这两个步骤不能少.当然也可利用上面的结论来解决.例 7 函数f(x=x3-x，将y=f(x的图象沿x 轴、 y 轴正向分别平行移动t 、 s 单位，得到函数 y=g(x 的图象 . 求证： f(x和g(x的图象关于点A〔〕对称.解析由得g(x=(x-t3-(x-t+s.在 y=f(x的图象上任取一点P(x1,y1 ，设Q(x2,y2是P 关于点 A 的对称点，那么有，∴x1=t -x2, y1=s-y2.代入 y=f(x ，得 x2 和 y2 满足方程：s-y2=(t-x23-(t-x2，即y2=(x2-t3-(x2-t+s，可知点 Q(x2,y2 在 y=g(x 的图象上 .反过来，同样可以证明，在y=g(x的图象上的点关于点 A 的对称点也在y=f(x的图象上，因此，f(x和g(x的图象关于点A〔〕对称.3．由两个函数图象的对称性求参数值：首先必须根据对称性由函数求出另一函数的解析式，然后再由条件确定参数的值.例 8 f(x 是定义在上的偶函数，g(x的图象与f(x的图象关于直线x=1 对称，且当时， g(x=2a(x-2-3(x-23 ，其中为常数，假设f(x 的最大值为12，求 a 的值 .解析由于 g(x 的图象与 f(x 的图象关于直线x=1 对称，所以 f(1+x=g(1-x ，即 f(x=g(2-x.当时，，所以f(x=g(2-x= 2a(2-x-2-3(2-x-23=-2ax+3x3，因为f(x 是偶函数，所以当时，， f(x=f(-x=2ax-3x3.因为当时，=-2a+9x2 ≤ -2a+9<0，所以f(x 在上是减函数，从而f(x 在上是增函数，所以f(x 的最大值为f(1=f(-1=2a-3=12 ，即.。
正弦、余弦函数的对称中心和对称轴教学
正弦、余弦函数的对称中心和对称轴教学王光荣(广东省惠州市第一中学,516007 -函数的奇偶性是函数的一个重要性质，它有助 于培养学生的理解能力，推理论证能力和探索精神，同时也能唤起学生对数学的学习兴趣，在高中数学 中占有重要位置.直观刻画函数奇偶性则是其对称 中心和对称轴.三角函数在中学数学中占有重要地 位，对高等数学的傅里叶级数、泛函分析等具有重要 意义，因此研究"=#sin(-及"=#cos( !$ + ")型函数的对称中心和对称轴具有重要意义.1案例背景是—=%! +署,=sin$的对称中心坐标是:（％!,0 )生6:不对.应强师:很好！那" = cos$对称中心和对称轴？生7 —= cos$的对称轴方程是—=%!( % ( Z), "=C O S$的对称中心坐标是:+f,0)(% ( Z).师:好！我们下面进一步对它们进行深人探究，首 先大家试试能否说出"=(in2$的对称中心和对称轴.生8 :结合函数图象容易看到它的对称中心是研究函数的奇偶性是了解函数性质的非常重要 的手段之一，如果我们知道一个函数是奇函数或偶函 数，则只要把这个函数的定义域分成关于坐标原点对 称的两部分，就可得出这个函数的另一部分的性质和 图像.函数的对称中心和对称轴实际上是函数奇偶性 的拓展.而形如"=#sin(!$ + ")及"=#cos(!$ + ") 的三角函数与对称中心、对称轴关系密切.2案例片段片段-对称中心和对称轴的探究）师:上节课我们学习了正、余弦函数"=Sin$, =c〇($的定义域、值域、单调性、周期性和奇偶性，请 大家结合函数图象讨论是否还有其他性质.我们先 从正弦函数开始.生1:正弦函数是关于原点对称，因为它是奇函数生2 :正弦函数关于直线$ = f对称.生3 :因为正弦函[是周期函[，我发现"=sin$ 还关于直线 $= -/!，，=^^，，=5!，，=7!\对称，关于点（-2!,)，（0,)( 2!，0 )( 4!，0 )…对称，它们之间都相差2#的整数倍.生4:不对，我觉得应该是关于直线$=-署，=署，(-f，0)，(0,)，，0)，( ！,)…，对称轴是 $ =!!3!__--/y—--/y—--•••-j A/— .y A/—.4 4 4U%9:: = sin(2$+^)]?"=2sin(2$+^)]?生10:用五点法画出函数图像观察后可得，两者对称中心和对称轴相同，它的对称中心是(-|，0)，(子’0) ’(穿’。
高考数学培优---几类函数的对称中心及应用
高考数学培优---几类函数的对称中心及应用【方法点拨】1.三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的对称中心为(0x ，0()f x )，其中0()0f x ''=，即00()620f x ax b ''=+=，03b x a=-. 记忆方法：类比于二次函数的对称轴方程02b x a=-，分母中23→. 2. 一次分式函数（或称双曲函数）()(0)cx d f x ac ax b -=≠-的对称中心为(,)b c a a . 记忆方法：横下零，纵系数（即横坐标是使分母为0的值，而纵坐标是分母、分子中的一次项系数分别作为分母、分子的值）.3. 指数复合型函数()x n f x a m =+(01,0)a a mn >≠≠且的对称中心为(log ,)2m a n m. 记忆方法：横下对，纵半分（即横坐标是使分母取对数的值，但真数为保证有意义，取的是绝对值而已，而纵坐标是分母、分子中的常数分别作为分母、分子的值的一半）.【典型题示例】例1 已知函数2()231x f x x =-+，则满足不等式()(32)2f a f a ++>的实数a 的取值范围是 .【答案】1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ 【解析】231x y =+的对称中心是(0,1)，其定义域为R 且单减 令2()()12131x g x f x x =-=--+，则()g x 为R 上的单调递减的奇函数 由()(32)2f a f a ++>得(32)11()f a f a +->-，即(32)()g a g a +>-因为()g x 为奇函数，故()()g a g a -=-，所以(32)()g a g a +>-又()g x 在R 上单减，所以32a a +<-，解之得12a <-所以实数a 的取值范围是1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭.例2设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()f x ''＝0有实数解0x ，则称点(0x ，0()f x )为函数()y f x =的“拐点”．已知：任何三次函数都有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心．设3218()2133f x x x x =-++，数列{}n a 的通项公式为27n a n =-，则128()()()f a f a f a +++＝ ．【解析】令()24=0f x x ''=-得2x =，(2)1f = 3218()2133f x x x x =-++对称中心为()2,1， 所以()(4)2f x f x +-=对于任意x R ∈恒成立因为27n a n =-，所以182736454a a a a a a a a +=+=+=+=所以18273645()()()()()()()()2f a f a f a f a f a f a f a f a +=+=+=+=所以128()()()8f a f a f a +++=．【巩固训练】1. 设函数，数列是公差不为0的等差数列，，则（ ）A 、0B 、7C 、14D 、212. 函数y=24x y x -+=-的对称中心是 ． 3. 已知函数2()1ax a f x x +-=+（其中a R ∈）图象关于点P (－1，3)成中心对称，则不等式()1f x x >-的解集是 ．4. 在平面直角坐标系中，已知直线与曲线依次交于 三点，若点使，则的值为_____.5. 已知函数1()21x f x a =+-的图象关于坐标原点对称，则实数a 的值为_____. 6. 已知函数31()231x x f x x -=++，则满足不等式()(32)0f a f a ++>的实数a 的取值范围是 . 7.已知4()42xx f x =+，则12310001001100110011001f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为 ． 8.已知函数()x f =ax x -+-2，若对*∈∀N x ，()()5f x f ≤恒成立，则a 的取值范围是 ． 3()(3)1f x x x =-+-{}n a 127()()()14f a f a f a ++⋅⋅⋅+=127a a a ++⋅⋅⋅+=xOy k kx y 22-+=x x y +-=3)2(2C B A ,,P2|PC PA |=+||PB。
三次函数的对称中心问题
三次函数的对称中心问题广州市第四中学高二3班 梁隽铭指导教师 刘运科对于三次函数()320y ax bx cx d a =+++≠，作出图象，经观察，发现其图象有四种形状：可以发现，其图象具有中心对称性.如何考虑求出()320y ax bx cx d a =+++≠的图象的对称中心坐标呢？下面是我的探究过程.先考虑较简单的两个特殊情况：一、求()30y ax cx a =+≠的图象对称中心坐标.此特殊情况较简单.因()30y ax cx a =+≠是奇函数，故其对称中心坐标为()00O ，.二、求()30y ax cx d ad =++≠的图象对称中心坐标.此特殊情况也较简单.将3y ax cx =+的图象通过适当平移就可得到()30y ax cx d ad =++≠的图象.当0d >时，将3y ax cx =+的图象向上平移d 个单位长度，就可得到()30y ax cx d ad =++≠的图象；当0d <时，将3y ax cx =+的图象向下平移d 个单位长度，就可得到()30y ax cx d ad =++≠的图象.因3y ax cx =+是奇函数，对称中心坐标为()00O ，，故()30y ax cx d ad =++≠的图象对称中心为()0P d ，.上面两个特殊情况，主要是利用了奇函数的性质、平移的性质.有了上面两种情况的铺垫，似乎求()320y ax bx cx d ab =+++≠的图象的对称中心坐标较容易了，其实不然.因()320y ax bx cx d ab =+++≠是非奇非偶函数，无法从奇偶性方面找到突破口.下面先来考虑当0ab ≠时，最简单的一个具体实例：三、求32y x x =+的图象对称中心坐标.首先，利用GC ，探究32y x x =+的图象对称中心坐标. 步骤：①．画出()321f x x x =+的图象，并适当调整x y 、的取值范围，如图1；②．观察图象，函数有两个极值点，对称中心应该是两个极值点的中点.按MENU 键，选择菜单的FCN 键，再选择Extremum ，OK ，可以得到一个极值点()00，；移动光标到另外一个极值点附近，重复刚才的操作，得到另外一个极值点233f ⎛-2⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，如图2、3； ③．求出两个极值点的中点12327⎛⎫- ⎪⎝⎭，，画出()3221123327f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象如图4，可求2()f x 的两个极值点，发现是关于原点成中心对称的，如图5、6；④．故可知，2()f x 是奇函数，对称中心为()00O ，；故()321f x x x =+的对称中心为12327P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，.图1图2图3图4图5图6那么，如果不使用图形计算器，该如何考虑呢？受到第二种特殊情况的启发，考虑到32y x x =+的图象可能是由某个奇函数()30y ax cx a =+≠通过适当平移得到，故有如下的解法：【解】设将()30y ax cx a =+≠的图象通过适当平移可以得到32y x x =+的图象，则可设()()332y x x a x m c x m n =+=-+-+，显然，1a =，故()()()()332322333y x x x m c x m n x mx m c x n m cm =+=-+-+=-+++--，比较系数，可知：2331300m m c n m cm -=⎧⎪+=⎨⎪--=⎩解得1123327m c n =-=-=，，. 故332111233327y x x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将313y x x =-的图象向左平移13个单位长度，再向上平移227个单位长度，即可得到32y x x =+的图象. 因313y x x =-的图象对称中心坐标为()00O ，， 故32y x x =+的图象对称中心坐标为12327P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，.将此法推广到一般情况，就可以解决求()320y ax bx cx d ab =+++≠的对称中心坐标问题：四、求()320y ax bx cx d ab =+++≠的对称中心坐标.【解】设()()332y ax bx cx d a x m k x m n =+++=-+-+，()()()()3322333a x m k x m n ax amx am k x n m km -+-+=-+++--，比较系数，有2333am b am k c n m km d -=⎧⎪+=⎨⎪--=⎩解得23332332793b b b b bcm k c n d a a a a a=-=-=-+-+，，， 故()320y ax bx cx d ab =+++≠的对称中心坐标为333232793b b b bcd a a a a ⎛⎫--+-+ ⎪⎝⎭，. 五、综上，()320y ax bx cx d a =+++≠的对称中心坐标为333232793b b b bc d a a a a ⎛⎫--+-+ ⎪⎝⎭，.在上面的解题过程中，我们先考虑特殊情况，再考虑一般情况.对于0b =的情况，利用了奇函数性质、平移性质来求解；对于0b ≠的情况，利用待定系数法求解.下面我们利用导函数的相关知识来解决此问题.六、利用导数知识，求()32()0y f x ax bx cx d a ==+++≠的对称中心坐标.【解】()232f x ax bx c =++/，其判别式246b ac ∆=-，导函数图象对称轴方程为3b x a=-. ⑴．当0∆>时，导函数有两个零点12x x 、，()y f x =有一个极大值、一个极小值，两个极值点的中点即为对称中心，故对称中心横坐标为1223x x bx a+==-，纵坐标为333232793b b b bc f d a a a a ⎛⎫-=-+-+ ⎪⎝⎭. ⑵．当0∆≤时，若0a >，则()0f x /≥恒成立，()y f x =在R 上单调递增，当3bx a=-时，()f x /取到最小值，函数增长率最小，对应()y f x =图象上的对称中心点；若0a <，则()0f x /≤恒成立，()y f x =在R 上单调递减，当3bx a=-时，()f x /取到最大值，函数增长率最大，对应()y f x =图象上的对称中心点.故对称中心横坐标为3bx a=-，纵坐标为333232793b b b bc f d a a a a ⎛⎫-=-+-+ ⎪⎝⎭. 七、一点心得图形计算器可以将抽象问题直观化，给我们提供思考的方向，加深我们对问题的理解；但机器毕竟是机器，不可能替代人的思维.我们要合理使用好图形计算器，要用好它，而不是依赖它，被机器所奴役.Welcome !!! 欢迎您的下载，资料仅供参考！。
高中函数的对称性(含练习题及解析)
【答案】5【分析】先根据①①可知函数的对称中心和对称轴，再分别画出()f x 和()g x 的部分图像，由图像观察交点的个数．【详解】根据题意，①(2)()0f x f x -+=，得函数()f x 的图像关于点()1,0对称，①(2)()0f x f x ---=，得函数()f x 的图像关于1x =-对称，则函数()f x 与()g x 在区间[3,3]-上的图像如图所示，由图可知()f x 与()g x 的图像在[]3,3-上有5个交点．由图知()f x 与()h x 的图象在区间()2,6-有四个交点，设交点横坐标分别为1234,,,x x x x ，且1422x x +=，2322x x +=，所以12348x x x x +++=，所以()f x 与()h x 的图象所有交点的横坐标之和为8， 3．定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x -=，且当1≥x 时()23,141log ,4x x f x x x -+≤<⎧=⎨-≥⎩，若对任意的[,1]x t t ∈+，不等式()()21f x f x t -≤++恒成立，则实数t 的最大值为（ ）A ．1-B ．23-C ．13-D ．13【答案】C 【分析】若对任意的[,1]x t t ∈+，不等式()()21f x f x t -≤++恒成立，即对[,1]x t t ∈+，不等式()()1f x f x +t ≤+恒成立，-1x x t ≥+，进而可得答案.【详解】当14x ≤<时，3y x =-+单调递减，()()241log 41f x f >=-=-，当4x ≥时，()f x 单调递减，()()41f x f ≥=-，故()f x 在[)1,+∞上单调递减，由()(2)f x f x -=，得()f x 的对称轴为1x =， 若对任意的[,1]x t t ∈+，不等式()()21f x f x t -≤++恒成立，即对[,1]x t t ∈+，不等式()()1f x f x +t ≤+恒成立，-1x x t ∴≥+，即()()221x x t -≥+，即()22110t x t ++-≤，()()()22211011321110t t t t t t t ⎧++-≤⎪⇒-≤≤-⎨+++-≤⎪⎩，故实数t 的最大值为13-. 4．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，(1)(1)f x f x +=-，当01x ≤≤时，()1xf x e =-，则23x ≤≤时，()f x 的解析式为（ ）6．已知函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有11222⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x 成立，则 127...888f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝ ． 【答案】7 【解析】设，则，因为11222⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x ，所以，,故答案为7.7．已知函数21()ln |2|45f x x x x =---+，则使不等式(21)(2)f t f t +>+成立的实数t 的取值范围是___________.【答案】111(,)(,1)322⋃ 【分析】由函数解析式知函数()f x 的图象关于直线2x =对称，利用定义证得2x >时，函数()f x 是减函数，2x <时，函数为增函数，利用对称性和单调性解不等式即可.【详解】∵f(x)=1x 2−4x+5−ln |x −2|=1(x−2)2+1−ln |x −2|，21(2)ln ||1f t t t ∴-=-+，。
三角函数对称轴与对称中心
三角函数对称轴与对称中间y=sinx 对称轴：x=kπ+π/2（k∈z) 对称中间：(kπ,0）（k∈z) y=cosx 对称轴：x=kπ（k∈z) 对称中间：（kπ+π/2,0）(k∈z) y=tanx 对称轴：无对称中间：（kπ,0）(k∈z)两角和与差的三角函数cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)和差化积公式sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]积化和差公式sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin&su p2;αtan(2α)=2tanα/(1-tan²α)cot(2α)=(cot²α-1)/(2cotα)sec(2α)=sec²α/(1-tan²α)csc(2α)=1/2*secα·cscα三倍角公式sin(3α) = 3sinα-4sin³α =4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)cos(3α) = 4cos³α-3cosα =4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)tan(3α) = (3tanα-tan³α)/(1-3tan²α) =tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)cot(3α)=(cot³α-3cotα)/(3cotα-1)n倍角公式sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C (n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-…cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α-…sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-co sα)/sinαcot(α/2)=±√((1+cosα)/(1-cosα))=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα)sec(α/2)=±√((2secα/(secα+1))csc(α/2)=±√((2secα/(secα-1))帮助角公式Asinα+Bcosα=√(A²+B²)sin(α+arctan(B/A))Asinα+Bcosα=√(A²+B²)cos(α-arctan(A/B))全能公式sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan²(a/2))cos(a)= (1-tan²(a/2))/(1+tan²(a/2))tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan²(a/2))降幂公式sin²α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos²α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan²α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))三角和的三角函数sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cos α·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sin α·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)÷(1 -tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·t角的三角函数值幂级数c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞)c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞)它们的各项都是正整数幂的幂函数, 个中c0,c1,c2,...及a都是常数, 这种级数称为幂级数.泰勒睁开式泰勒睁开式又叫幂级数睁开法f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...+f(n)(a)/n!* (x-a)n+……适用幂级数：e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k (|x|<1)sin x =x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……. (-∞<x<∞)cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+…… (-∞<x<∞)arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……(|x|<1) arccos x = π - ( x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + …… ) (|x|<1)arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -…… (x≤1)sinh x =x+x^3/3!+x^5/5!+……+(-1)^(k-1)*(x^2k-1)/(2k-1)!+…… (-∞<x<∞)cosh x =1+x^2/2!+x^4/4!+……+(-1)k*(x^2k)/(2k)!+……(-∞<x<∞) arcsinh x = x - 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 - …… (|x|<1) arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ……(|x|<1)在解初等三角函数时,只需记住公式即可轻松作答,在比赛中,往往会用到与图像联合的办法求三角函数值.三角函数不等式.面积等等.傅立叶级数傅里叶级数又称三角级数f(x)=a0/2+∑(n=0..∞) (ancosnx+bnsinnx)a0=1/π∫(π..-π) (f(x))dxan=1/π∫(π..-π) (f(x)cosnx)dxbn=1/π∫(π..-π) (f(x)sinnx)dx三角函数的数值符号正弦第一,二象限为正, 第三,四象限为负余弦第一,四象限为正第二,三象限为负正切第一,三象限为正第二,四象限为负编辑本段相干概念三角形与三角函数1.正弦定理：在三角形中,各边和它所对的角的正弦的比相等,即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R ．(个中R为外接圆的半径)2.第一余弦定理：三角形中随意率性一边等于其他双方以及对应角余弦的交叉乘积的和,即a=c cosB + b cosC3.第二余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其它双方的平方之和减去这双方与它们夹角的余弦的积的2倍,即a^2=b^2+c^2-2bc·cosA4.正切定理(napier比较)：三角形中随意率性双方差和的比值等于对应角半角差和的正切比值,即（a-b）/(a+b)=tan[(A-B)/2]/tan[(A+B)/2]=tan[(A-B)/2]/cot(C/2) 5.三角形中的恒等式：对于随意率性非直角三角形中,如三角形ABC,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证实:已知(A+B)=(π-C)所以tan(A+B)=tan(π-C)则(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)整顿可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC相似地,我们同样也可以求证:当α+β+γ=nπ(n∈Z)时,总有tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ三角函数图像：界说域和值域sin(x),cos(x)的界说域为R,值域为〔-1,1〕tan(x)的界说域为x不等于π/2+kπ,值域为Rcot(x)的界说域为x不等于kπ,值域为Ry=a·sin(x)+b·cos(x)+c 的值域为 [ c-√(a²+b²) , c+√(a²+b²）]初等三角函数导数三角函数图像y=sinx---y'=cosxy=cosx---y'=-sinxy=tanx---y'=1/cos^2x =sec^2xy=cotx---y'= -1/sin^2x = - csc^2xy=secx---y'=secxtanxy=cscx---y'=-cscxcotxy=arcsinx---y'=1/√(1-x²)y=arccosx---y'= -1/√(1-x²)y=arctanx---y'=1/(1+x²)y=arccotx---y'= -1/(1+x²)倍半角纪律假如角a的余弦值为1/2,那么a/2的余弦值为√3/2反三角函数三角函数的反函数,是多值函数.它们是横竖弦Arcsin x,反余弦Arccos x,横竖切Arctan x,反余切Arccot x等,各自暗示其正弦.余弦.正切.余切.正割.余割为x的角.为限制反三角函数为单值函数,将横竖弦函数的值y限在y=-π/2≤y≤π/2,将y为横竖弦函数的主值,记为y=arcsin x;响应地,反余弦函数y=arccos x 的主值限在0≤y≤π;横竖切函数y=arctan x的主值限在-π/2<y<π/2;反余切函数y=arccot x的主值限在0<y<π.反三角函数现实上其实不克不及叫做函数,因为它其实不知足一个自变量对应一个函数值的请求,其图像与其原函数关于函数y=x对称.其概念起首由欧拉提出,并且起首运用了arc+函数名的情势暗示反三角函数,而不是f-1(x).反三角函数主如果三个：y=arcsin(x),界说域[-1,1],值域[-π/2,π/2],图象用红色线条; y=arccos(x),界说域[-1,1],值域[0,π],图象用兰色线条;y=arctan(x),界说域(-∞,+∞),值域(-π/2,π/2),图象用绿色线条;sinarcsin(x)=x,界说域[-1,1],值域【-π/2,π/2】证实办法如下：设arcsin(x)=y,则sin(y)=x ,将这两个式子代入上式即可得其他几个用相似办法可得.编辑本段高级数学内容总体情形高级代数中三角函数的指数暗示(由泰勒级数易得)：sinz=[e^(iz)-e^(-iz)]/(2i)cosz=[e^(iz)+e^(-iz)]/2tanx=[e^(iz)-e^(-iz)]/[ie^(iz)+ie^(-iz)]泰勒睁开有无限级数,e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋… ≦此时三角函数界说域已推广至全部复数集.·三角函数作为微分方程的解：对于微分方程组 y=-y'';y=y'''',有通解Q,可证实Q=Asinx+Bcosx,是以也可以从此动身界说三角函数.填补：由响应的指数暗示我们可以界说一种相似的函数－－双曲函数,其失去许多与三角函数的相似的性质,二者相映成趣.:复数域内正余弦函数的性质（1）对于z为实数y来说,复数域内正余弦函数的性质与平日所说的正余弦函数性质是一样的.（2）复数域内正余弦函数在z平面是解析的.（3）在复数域内不克不及再断言|sinz|≦1,|cosz|≦1.（4）sinz.cosz分离为奇函数,偶函数,且以2π为周期.编辑本段三角函数的性质定理三角函数,正如其名称那样,在三角学中是十分重要的,主如果因为下列两个成果.正弦定理于边长为a, b 和 c 而响应角为A, B 和C的三角形,有：sinA / a = sinB / b = sinC/c也可暗示为：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R个中R是三角形的外接圆半径.它可以经由过程把三角形分为两个直角三角形并运用上述正弦的界说来证实.在这个定理中消失的公共数 (sinA)/a 是经由过程A, B 和 C 三点的圆的直径的倒数.正弦定理用于在一个三角形中（1）已知两个角和一个边求未知边和角（2）已知双方及其一边的对角求其他角和边的问题.这是三角测量中罕有情形.余弦定理对于边长为a, b 和 c 而响应角为A, B 和C的三角形,有：c^2=a^2＋b^2－2ab·cosC.也可暗示为：cosC=（a^2＋b^2－c^2）/ 2ab.这个定理也可以经由过程把三角形分为两个直角三角形来证实.余弦定理用于在一个三角形的两个边和一个角已知时肯定未知的数据.假如这个角不是两条边的夹角,那么三角形可能不是独一的（边-边-角）.要当心余弦定理的这种歧义情形.正切定理对于边长为a, b 和 c 而响应角为A, B 和C的三角形,有：(a+b)/(a-b) = tan[(A+B)/2]/tan[(A-B)/2]编辑本段三角函数在解三次方程中的运用一元三次方程的解是三个不相等的实根时,可用三角函数常识求出方程的解.一元三次方程aX^3＋bX^2＋cX＋d=0,（a,b,c,d∈R,且a≠0）重根判别式：A=b^2－3ac;B=bc－9ad;C=c^2－3bd.总判别式：Δ=B^2－4AC.当Δ=B^2－4AC＜0时,盛金公式④：X⑴=(－b－2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a);X(2,3)=(－b＋A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a),个中θ=arccosT,T=(2Ab－3aB)/(2A^(3/2)),(A＞0,－1＜T＜1).在运用卡尔丹公式解三次方程时,对于x^3+px+q=0,有x1=√(-p/3)cos(Φ/3)x2=√(-p/3)cos(Φ/3+2π/3)x3=√(-p/3)cos(Φ/3+4π/3)对于一般的方程ax^3+bx^2+cx+d=0,只需令x=y-b/(3a)即可化为上式求解.例：一建筑物的楼顶要建一个储水池,按施工的设计请求,这个储水池的长.宽.高之和为70.5dm（为了削减占用楼顶面积,取长＞高＞宽）,满储水量为10082.44(dm)^3,立体对角线为1903.17dm,问：若何施工才干达到设计请求？解：设取长.宽.高分离为X⑴.X⑵.X⑶,依题意：X⑴＋X⑵＋X⑶=70.5;X⑴·X⑵·X⑶=10082.44;X⑴^2＋X⑵^2＋X⑶^2=1903.17.解这个方程组.依据韦达定理,得一元三次方程：X^3－70.5X^2＋1533.54X－10082.44=0a=1,b=－70.5,c=1533.54,d=－10082.44.A=369.63;B=－17372.61;C=219308.8716,Δ=－22444974.63＜0.依据盛金判别法,此方程有三个不相等的实根.运用盛金公式④求解.θ=90°.把有关值代入盛金公式④,得：X⑴=12.4(dm);X⑵=34.6(dm);X⑶=23.5(dm).经磨练,成果准确.因为取长＞高＞宽,所以,应取长为34.6dm;高为23.5dm;宽为12.4dm来进行施工.。
如何求三角函数的对称中心及对称轴
令 ＋ ＝ ＋ ＿ 得 Ｔ ，
Ａ ｉ （） ｓ Ｏ ｎ Ｘ
从而 函数 Ｙ ：
按 量 平 后 函 ｙｓ２ —）— ＋的 像 向 移 得 数 ＝ ［ ｍ＋ 】ｎ ． ｉ（ ｎ
函 ｙｓ ２ 号 的 像 向 移 所 的 数 ＝ （ 十 ）罔 按 量 平 后 得 图 ｉ ｎ 像 于 （—，中 对 ， 关 点一 ｏ 心 称 ） － ， ｆ
） Ａ ＞０ ｃ （ ， ｕ＞０， ＞０ ）图 像 的 埘 称 轴 为 ＝ （ ｚ） ．
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由（ ， ｍ＋ ： ，ｍ １ （ ） 一 ～ 了 ｋ得 ＝ 一 ｚ 向 ）， － Ｉ ｆ ｒ ＇ｋ Ｔ Ｉ＇ ， Ｔｆ ２
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０ ∞ ＞ ， ＞ｏ 图 像 的对 称 轴 为 ： ， ｏ ）
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ｚ）
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ｚ ， ＋ Ｔ ÷， ： ） 令 ： １＋ 得 生
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Ｙ ｃｓ Ｏ ＝Ａ ｏ（） Ｘ
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２ 数 Ｙ＝ ｔ （ ．函 Ａａ ｎ
称 中 心
像 按 量詈，平 得 图 Ｆ若 一 对 轴 Ｆ 向 （ ３ 移 到 像 的 条 称 是 ） ，
求函数对称轴的方法与技巧
求函数对称轴的方法与技巧求函数的对称轴是在数学中常见的一个问题。
当我们知道一个函数的方程时，找到它的对称轴是非常有用的，因为它可以帮助我们更好地理解函数的性质和图像。
在本文中，我将介绍一些方法和技巧，帮助我们求解函数的对称轴。
在开始之前，让我们先回顾一下什么是对称轴。
对称轴是指函数图像关于一个直线对称的特殊线。
在对称轴上的任意一点到函数图像的距离与该点在对称轴的对称点到函数图像的距离相等。
通过找到对称轴，我们可以将函数的图像分成两个对称的部分。
一种常见的方法来求函数的对称轴是通过观察函数的方程。
如果函数的方程是一个二次函数，也就是一个形如f(x) = ax² + bx + c的方程，我们可以使用以下步骤来求解对称轴：1. 确定a、b和c的值：根据给定的函数方程，我们首先确定二次项、一次项和常数项的系数a、b和c的值。
2. 计算对称轴的x坐标：对函数方程中的x²项的系数a取相反数并除以2a，得到对称轴的x坐标。
即 x = -b / 2a。
3. 得出对称轴的方程：将x坐标带入原始方程，可以得到过对称轴的方程。
这个方程描述了对称轴与x轴的交点。
举个例子来说明这个方法。
假设我们有一个函数f(x) = 2x² + 4x + 1。
按照上述步骤，我们可以得到：1. 确定a、b和c的值：在这个例子中，a = 2，b = 4，c = 1。
2. 计算对称轴的x坐标：将b = 4代入公式 x = -b / (2a)，得到 x = -4 / (2 * 2) = -1。
3. 得出对称轴的方程：将x = -1代入原始方程，可以得到 f(-1) = 2(-1)² + 4(-1) + 1 = 1。
因此，对称轴的方程是f(x) = 1。
除了观察函数方程外，还有其他方法来求函数的对称轴。
例如，我们可以通过观察函数的图像来估计对称轴的位置。
当图像呈现对称形状时，对称轴通常位于图像的中心。
在一些特殊的情况下，函数的对称轴可能不是垂直于x轴的直线，而是斜线或曲线。
二元函数极限求解中的对称性技巧
二元函数极限求解中的对称性技巧在解决二元函数的极限问题时，对称性技巧是一种常用的方法。
通过利用对称性，我们可以简化计算过程，使得求解过程更加高效。
本文将介绍二元函数极限求解中常用的对称性技巧，并以具体例子进行说明。
一、对称性技巧的基本原理对称性技巧是指通过利用函数的对称性来简化求解过程。
在二元函数中，常见的对称性包括轴对称性和中心对称性。
1. 轴对称性：如果对于函数中的任意点(x,y)，点(-x,-y)也在函数图像上，则函数具有轴对称性。
具体来说，如果函数f(x,y)=f(-x,-y)，则函数具有轴对称性。
2. 中心对称性：如果对于函数中的任意点(x,y)，点(-x,-y)也在函数图像上，则函数具有中心对称性。
具体来说，如果函数f(x,y)=f(-x,-y)，则函数具有中心对称性。
利用对称性技巧求解二元函数的极限问题，可以将复杂的计算简化为更简单的计算。
二、利用对称性技巧计算二元函数极限下面通过两个具体例子，分别展示如何利用对称性技巧计算二元函数的极限。
例子1：计算函数f(x,y)=(x^3-y^3)/(x^2-y^2)的极限，当(x,y)趋向于(0,0)时。
解析：观察函数表达式，我们可以发现函数具有轴对称性。
即当(x,y)趋向于(0,0)时，函数值在(x,y)趋向于(0,0)和(x,-y)趋向于(0,0)时是相等的。
因此，我们可以通过先求解(x,y)趋向于(0,0)的极限，再求解(x,-y)趋向于(0,0)的极限，最后将两个结果取平均值，即可得到函数在(x,y)趋向于(0,0)时的极限。
首先，考虑(x,y)趋向于(0,0)时，函数值的极限。
将函数表达式进行因式分解，得到f(x,y)=(x-y)(x^2+xy+y^2)/(x-y)(x+y)。
由于函数在(x,y)趋向于(0,0)时，分母(x-y)和(x+y)都趋向于0，因此我们可以简化函数表达式为f(x,y)=x^2+xy+y^2。
接下来，我们分别考虑(x,y)趋向于(0,0)和(x,-y)趋向于(0,0)时，函数值的极限。
怎么求函数的对称中心
怎么求函数的对称中心
对称是代数中一个非常重要的概念，对称中心就是指函数的对称轴，
并且表示该函数可以以对称轴为轴进行旋转对称。
在数学中，函数的对称
性是一种基本的调查要素之一，它在很多场合的分析和计算中都是非常关
键的。
下面我们将详细介绍如何求函数的对称中心。
一.确定函数的对称类型
首先，我们需要明确函数的对称类型，以确定函数的对称中心。
通常
情况下，函数的对称类型有三种，即：偶函数、奇函数以及周期函数。
其中，偶函数就是满足f(-某)=f(某)的函数；奇函数就是满足f(-某)=-
f(某)的函数；而周期函数则是周期性相等的函数，即f(某)=f(某+T)，
其中T为正数。
二.确定对称中心的坐标
接着，我们需要找到函数的对称轴，以确定函数的对称中心。
对于偶
函数，其对称轴一般为y轴，因此其对称中心的坐标为(0,0)；对于奇函数，其对称轴一般为原点，因此其对称中心的坐标也为(0,0)；而周期函
数则有多个对称轴，其对称中心的坐标一般为相邻对称轴的中点。
最后，我们需要在函数图像中确定函数的对称中心。
对于偶函数和奇
函数，它们的对称中心即为图像上的对称点，该点为图像的对称轴上的点。
对于周期函数，其对称中心即为图像上任意一点到最近的对称轴的距离等
于该点到对称轴的距离。
总之，求函数的对称中心是一件比较复杂的工作，需要采用多种方法
和技巧。
通常情况下，我们可以通过分析函数的对称类型来确定其对称轴
和对称中心。
在实际计算中，我们还需要注意各种函数的特点，灵活使用相关的公式和方法，以达到准确求解的目的。
对称中心怎么求
对称中⼼怎么求如果⼀个函数能拆分成“奇函数+常数m”的形式，则函数对称中⼼为（0，m）。
把⼀个图形绕着某⼀个点旋转180°，如果它能够与另⼀个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称，这个点叫做对称中⼼。
1函数的对称中⼼求法设函数的对称中⼼为（a,b)那么如果点（x,y)在函数的图象上，则点(2a-x,2b-y)⼀定也在函数的图象上，所以将点(2a-x,2b-y)代⼊到函数的解析式中，化简为y=f(x)的形式。
此时表达式中含有a,b,将这个式⼦与原函数表达式进⾏⽐较，因为这两个函数表达式，表⽰的是⼀个函数，所以有进⾏⽐较系数，就可以得出a,b的值，⾃然也就求出了对称中⼼。
如果⼀个函数图象围绕某⼀点旋转180°后，得到另⼀个函数的图象，那么我们说这两个函数图象关于这点成中⼼对称，把这个点叫做这两个函数的对称中⼼。
把⼀个图形绕着某⼀点旋转180°，如果它能与另⼀个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中⼼对称，这个点叫做对称中⼼，这两个图形的对应点叫做关于中⼼的对称点。
⼆者相辅相成，两图形成中⼼对称，必有对称中点，⽽点只有能使两个图形旋转180°后完全重合才称为对称中点。
识别⼀个图形是否是中⼼对称图形就是看是否存在⼀点，使图形绕着这个点旋转180°后能与原图形重合。
2什么是对称中⼼把⼀个图形绕着某⼀点旋转180°，如果它能与另⼀个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中⼼对称，这个点叫做对称中⼼，这两个图形的对应点叫做关于中⼼的对称点。
⼆者相辅相成，两图形成中⼼对称，必有对称中点，⽽点只有能使两个图形旋转180°后完全重合才称为对称中点。
识别⼀个图形是否是中⼼对称图形就是看是否存在⼀点，使图形绕着这个点旋转180°后能与原图形重合。
函数对称中心的求法
函数对称中心的求法在数学中，函数的对称中心是指函数图像上的一个点，当该点关于坐标轴作镜像时，图像不变。
换句话说，如果将函数图像折叠在对称中心上，则可以将两个部分完全重合。
要找到一个函数的对称中心，需要分别确定函数的横轴和纵轴的对称。
1.确定横轴对称：横轴对称是指当函数的图像以横轴为轴线进行对称时，图像不变。
要确定横轴对称，可以按照以下步骤进行：步骤1：确定函数图像在横轴上是否对称。
查看函数图像是否在横轴两侧对称，如果是，则函数具有横轴对称。
步骤2：使用函数性质来推导是否有横轴对称。
有些函数具有特定的性质，使其在横轴上具有对称，例如奇函数和偶函数。
-奇函数：奇函数是指满足f(x)=-f(-x)的函数。
奇函数图像以原点为对称中心。
-偶函数：偶函数是指满足f(x)=f(-x)的函数。
偶函数图像以纵轴为对称中心。
通过判断函数是否为奇函数或偶函数，可以确定函数是否具有横轴对称。
2.确定纵轴对称：纵轴对称是指当函数的图像以纵轴为轴线进行对称时，图像不变。
要确定纵轴对称，可以按照以下步骤进行：步骤1：确定函数图像在纵轴上是否对称。
查看函数图像是否在纵轴两侧对称，如果是，则函数具有纵轴对称。
步骤2：使用函数性质来推导是否有纵轴对称。
-周期性：如果函数图像在一个周期内对称，则函数具有纵轴对称。
例如正弦函数和余弦函数。
只有在特定条件下，函数才具有纵轴对称。
3.综合确定对称中心：通过分别确定函数的横轴对称和纵轴对称，可以找到函数的对称中心。
当函数图像同时具有横轴对称和纵轴对称时，对称中心是函数图像的一个交点。
需要注意的是，并非所有的函数都具有对称中心。
有些函数图像没有对称中心，而是平移的。
总结：要确定函数图像的对称中心，首先需要确定函数的横轴对称和纵轴对称。
如果函数具有横轴对称，可以按照奇函数和偶函数的性质进行判断；如果函数具有纵轴对称，可以通过观察函数的周期性。
如果函数同时具有横轴对称和纵轴对称，则对称中心是函数图像的一个交点。
正弦函数图象的对称轴与对称中心
函数)sin(ϕω+=x A y 图象的对称轴与对称中心新疆民丰县一中 亚库普江·奥斯曼摘要：新课标高中数学教材上函数的性质就着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏的会出现函数对称性、连续性、凹凸性的考查。
尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴、反此例函数的对称性、三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。
以我的经验看，这方面一直是教学的难点，尤其是轴象函数的对称性判断。
所以这里我对高中阶段所涉及的函数)sin(ϕω+=x A y 的对称性知识提出自己的观点。
关键词：对称轴，对称中心，正弦型函数函数轴对称：如果一个函数的图象沿一条直线对折，直线两则的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。
中心对称：如果一个函数的图像沿一个点折旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。
正弦函数x y sin =的图像既是轴对称又是中心对称，它的图象关于过最值点且垂直于x 轴的直线分别成轴对称图形； x y sin =的图象的对称轴是经过其图象的“峰顶点”或“谷底点”，且平行于y 轴的无数条直线；它的图象关于x 轴的交点分别成中心对称图形。
∴正弦函数x y sin =的对称轴方程为2ππ+=k y ，对称中心点为（0,πk ）,其中 Z k ∈。
正弦型函数)sin(ϕω+=x A y 是由正弦函数x y sin =演变而成。
一般只要知道正弦函数x y sin =图象的对称轴与对称中心就可以快速准确的求出正弦型函数)sin(ϕω+=x A y 的对称轴与对称中心。
若a x =是)sin()(ϕω+==x A x f y 的对称轴，则A a f ±=)(；若)0,(a 是它的对称中心，则0)(=a f 。
函数)sin(ϕω+=x A y 对称轴方程的求法：令1)sin(±=+ϕωx ，得）（Z k 2k ∈+=+ππϕωx ，则ωϕππ222-+=k x （Z k ∈），所以函数)sin(ϕω+=x A y 的图象的对称轴方程为ωϕππ222-+=k x ，其中 Z k ∈。
二次函数关于顶点对称的解析式
二次函数关于顶点对称的解析式二次函数是数学中比较重要的概念，有着广泛的应用。
其特征之一就是关于顶点对称，若一个二次函数满足对称性，它就是关于顶点对称的。
今天我们就来讨论一下二次函数关于顶点对称的解析式。
首先，我们来看一下什么是顶点对称。
若一个函数是关于顶点对称的，它的图像会满足下面的规律：顶点是函数图像中心，指数函数的曲线和以顶点为中心的对称线对称。
一般情况下，对称的函数为y=ax^2+bx+c，其中a≠0，满足|a|=1。
其次，我们来看一下二次函数关于顶点对称的解析式。
首先，通过求解二次函数f(x)=ax^2+bx+c的顶点，可以得出解析式：x=-b/2a， y=f(-b/2a)。
这样，f(x)的顶点就可以求出来了。
接下来，再通过解析的方法，可以求出f(x)关于顶点对称的解析式。
具体而言，由于f(x)经过顶点(x0,y0)，则关于顶点对称的函数的表达式为：y=2y0-f(2x0-x)，其中y0为顶点的函数值，x0为顶点的横坐标。
最后，我们再来看一下，根据上面的解析式，如何绘制一个关于顶点对称的二次函数，使得函数经过指定的顶点（x0,y0）。
首先，我们可以使用一元二次方程来求函数f(x)。
使用求解二次函数顶点的公式带入即可求出ax^2+bx+c=0的解，其中a, b, c 皆为已知量。
接下来，解出的ax^2+bx+c=0即可作为求函数f(x)的一元二次方程，求出解析式。
最后，将f(x)的解析式带入关于顶点对称的解析式：y=2y0-f(2x0-x)，即可得出关于顶点对称的f(x)的解析式。
综上所述，二次函数关于顶点对称的解析式为y=2y0-f(2x0-x)，其具有重要的应用价值，可以为研究二次函数关于顶点对称的性质提供方便。
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函数对称中心的求法解析
湖北省广水市第一中学（432700） 刘才华
题目 函数32()367f x x x x =-+-的图象是中心对称图象，其对称中心为________.
一、利用定义求对称中心
分析 根据中心对称图形的定义，在函数()f x 图象上的任意一点(,)A x y 关于对称中心(,)a b 的对称点(,)A x y '''也在函数()f x 的图象上.
∴22x x a y y b '+=⎧⎨'+=⎩，即22x a x y b y
'=-⎧⎨'=-⎩. ∴(2,2)A a x b y '--， 代入函数式有：322(2)(2)3(2)6(2)7b y f a x a x a x a x -=-=---+--,
化简得：32232
(36)(12126)(2781212)y x a x a a x b a a a =+-+-+++-+-，
与32()367f x x x x =-+-是同一函数，则对应系数相等， 故23236312126627812127a a a b a a a -=-⎧⎪-+=⎨⎪+-+-=-⎩
，∴1a =，3b =-，即函数()f x 的对称中心为(1,3)-. 点评 利用中心对称的定义求解是基本方法，考察基本概念，通过同一函数的对应系数相等构建方程解出对称中心.
二、巧取特殊点求对称中心
分析 在函数()f x 的图象上取点(1,3)-、(2,1)，它们关于对称中心(,)a b 的对称点分别为(21,23)a b -+、(22,21)a b --也在函数()f x 的图象上.
∴323223(21)3(21)6(21)721(22)3(22)6(22)7
b a a a b a a a ⎧+=---+--⎪⎨-=---+--⎪⎩，相减则26(253)0a a -+=， ∴13a b =⎧⎨=-⎩或321a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩
.又若对称中心为3(,1)2，则(0,7)-关于3(,1)2的对称点(3,9)应在函数图象上，而(3)119f =≠，∴3(,1)2
不是对称中心，故对称中心为(1,3)-.
点评 这里巧妙地在函数图象上取两个特殊点，构建关于对称中心坐标的方程，解出对称中
心，但要注意由特殊点求出的解是否也满足一般的点，因此还要继续检验，排除增解.
三、巧构奇函数求对称中心
分析 把函数()y f x =变形为33(1)3(1)y x x +=-+-，设函数3
()y g x x x ==+，∵()y g x =为奇函数，∴其对称中心为(0,0)O ，又将函数3y x x =+的图象按向量(1,3)a =-平移刚好得到3
3(1)3(1)y x x +=-+-，∴()y f x =的对称中心是由()y g x =的对称中心(0,0)O 按向量(1,3)a =-平移得到的，即为(1,3)-．∴()y f x =的对称中心为(1,3)-．
点评 这里巧妙地构造奇函数，将原函数看作是由奇函数平移得到的，利用奇函数关于原点对称的性质，这样原函数的对称中心就是由奇函数的对称中心按向量平移得到的.
四、巧用导函数求对称中心
分析 如右图示，若函数()f x 的对称中心为00(,)x y ，且点11(,)x y
和点22(,)x y 是函数图象上关于对称中心对称的两点，由对称性知，函数
在1x ，2x 处的切线斜率相等，设斜率为k ，则2()366f x x x k '=-+=
∴23660x x k -+-=的两根为1x ，2x ，则12022x x x +==，∴0x .
又00()(1)3y f x f ===-.∴函数()f x 的对称中心为(1,3)-.
点评 这里充分利用对称中心的性质：两点关于对称中心对称，则这两点处的切线平行，这样转化为研究导函数，导函数的对称轴就是对称中心的横坐标，从而求出对称中心.。