自动控制原理习题课2

进 解： （1）
（2）
因此可知，串联校正后系统平稳性、快速性，稳定性都变好 （P180）
6-10 单位反馈控制系统如图所示，要求采用速度反馈校正， 使系统具有临界阻尼（ξ = 1），试求校正环节的参数值，并比 较校正前后系统的精度。 解：（1）校正环节的参数值 加入速度反馈后（P184），新系 统的闭环传递函数为：
得k * = 9
∴ k = 9 / 200 = 0.045 当0 < k < 0.045时，根轨迹在实轴上， 阶跃响应无超调
6-14
Gc (s )
−
N (t )
k1
−
1 s2
k2 s
Gc ( s )
−
k1
N (t )
k1 s 2 + k1 k 2 s
7-5 输入信号r(t)及系统结构如图所示
（1）求{rn}及{cn}的Z变换
课堂习题第3题
10 Gk ( s ) = s(0.1s + 1)
求系统的对数频率特性曲线 解： 系统开环传递函数可分解为：
G1 ( s) = 10
比例环节P140
1 G2 ( s ) = s
积分环节P143
1 G3 ( s) = 0.1s + 1
惯性环节P141
5-15（4） 解：
G( s) =
⊗
14.4 s (0.1s + 1)
14.4 φ ( s) = 2 s + (10 + 14.4k ) s + 144
R(s)
Qξ = 1
_
⊗
_
14.4 s (0.1s + 1)
ks
c(s)
ω n = 144
2
2ξω = 144k + 10
∴ 解得k = 0.1
（2）比较校正前后系统的精度
14.4 原系统开环传递函数：Gk ( s) = 开环增益为14.4 s(0.1s + 1) 新系统的闭环传递函数为： 14.4 14.4 ' Gk ( s ) = = 0.1 s(0.1s + 1) + 14.4ks (1 + 14.4k ) s( s + 1) 1 + 14.4k 14.4 开环增益为 1 + 1.44 均为I型系统，但后者开环增益下降，系统对于斜坡输入的稳
A(ω ) =
50
ω
ω=0
2
1+ (
ω
50
)
2
ϕ (ω ) = −180° − arctan
ω
50
A(ω ) = ∞
ϕ (ω ) = −180°
2 1 * 50 * 2 2 50
ω = 50
ω=∞
A(ω ) =
A(ω ) = 0
ϕ (ω ) = 135°
ϕ (ω ) = 90°
绘出奈氏曲线如下图所示：
Gk ( jω ) =
令
K K = jω ( jω + 1)(0.1 jω + 1) jω (1 − 0.1ω 2 + 1.1 jω ) Im[G( jω )] = 0
求得 ω g = 10 此时 − L(ω g ) = −20 lg K = 20 1.1ω 2 K=1.1
(2)确定使系统的相角裕度等于60°的K值 解：
s + 10k φ ( s) = s(0.5s + 1)(0.1s + 1) + 10k
'
因此，若系统要求二阶无差 则 s [1 + Gc ( s)]10k = s + 10k ∴Gc ( s) = 10k 使回路的阶跃过渡过程无超调，则由根轨迹法， 1 1 1 + + =0 求分离点 得 d=-1 d d + 2 d + 10 代入 1 + Gk ( s) = 0
↓
0.5,
1.41,
1.665,
1.36}
φ (ωc ) = −90° − arg ωc − arg 0.1ωc = −120°
求得 ωc = 0.5 此时 L(ωc ) = 0 即 20 lg K − 20 lg ωc − 20 lg (ωc ) 2 + 1 − 20 lg (0.1ωc ) 2 + 1 = 0 计算得
Hale Waihona Puke Baidu
K = ωc * (ωc ) 2 + 1 − (0.1ωc ) 2 + 1 = 0.55
| G( jω ) |= 1
| G( jω ) |=
10
ωc 1 + (0.1ωc 2 ) 1 + (0.5ωc 2 )
=1
求得 ωc = 10 解出 ω g = 2 5
γ = 180° + arg G( jωc ) = 14.8°
故Kg= 7.6dB
再令 Im[G( jω )] = 0
5-22单位负反馈系统的开环传递函数为 K G( s) = s( s + 1)(0.1s + 1) (1)确定使系统的幅值裕度等于20dB的K值（P162-例5-8） 解：
定根，p=0.
250 G( jω ) = 由 G(s) 得 ( jw) 2 ( jω + 5)( jω + 15) 10 ω ω 3 A(ω ) = ϕ (ω ) = −180° − arctan − arctan ω 2 ω 2 5 15 2 ω 1+ ( ) 1+ ( ) 5 15 ω=0 A(ω ) = ∞ ϕ (ω ) = −180° 2 10 1 ω =5 A(ω ) = ϕ (ω ) = 116.5° * * 2 2 3 5 2 10 1 ω = 15 A(ω ) = * * 2 ϕ (ω ) = 63.43° 2 3 15 ω=∞ A(ω ) = 0 ϕ (ω ) = 90°
（2）用长除法（P215）
z 2 + 2z + 1 1 C( z) = 3 * 2 z − 0.82 z 2 1 = [2 z −1 + 5.64 z −2 + 6.62 z −3 + 6.62 * 0.82 z −4 + ...] 4 = 0.5 z −1 + 1.41z −2 + 1.665z −3 + 1.36 z −4 ∴{c n } = {0,
两个零根应增补半径无穷大，负转为π的大圆弧 当 ω 由0至 ∞ 变化时曲线对（-1，j0）点的相角增量为
− 2π 故 系统不稳定
（4） 解：
G( s) =
250 s 2 ( s + 5)(s + 15)
法1：对数频率特性
γ <0
系统不稳定
250 法2：奈氏曲线 G( s) = 2 s ( s + 5)(s + 15) 解：由开环频率特性知，系统有两个开环零根，可将其视为稳
5-1 设系统的开环传递函数为
1 1 Gk ( s ) = = Ts + 1 0.5s + 1
求信号频率为f=1Hz，振幅Ar=10时，系统的稳态输出.
1 解：由开环传递函数 Gk (s) 可得闭环传递函数： (s) = G 0.5s + 2 1 A(ω ) = 则幅频特性 (0.5ω ) 2 + 4 (P137)
5-20（2） G(s) = 解：
250 求幅相特性，并判断系统的稳定性 2 s ( s + 50)
法1：对数频率特性
γ <0
系统不稳定
法2：奈氏曲线(P157) 解：由开环频率特性知，系统有两个开环零根，可将其视为稳 定根，p=0. 由 G(s) 得
G( jω ) =
250 ( jw) 2 ( jω + 50)
1 1 r (t ) = t − t (t − 2T ) + t (t − 4T ) 2 2 由实数位移定理( P 209)
Tz Tz 1 −4 Tz ( z + 1) 3 R( z ) = − z −2 + z = 2 2 2 2 2( z − 1) ( z − 1) ( z − 1) 2z 3 1 z Q C ( z ) = R( z )G( z ) G( z ) = z ( )= s + 0.2 z − e −0.2 ( z + 1) 2 ∴ C ( z) = 2 2 z ( z − e −0.2 )
6 G0 ( s) = 6-2 系统的开环传递函数 s( s 2 + 4s + 6) 5( s + 1) Gc ( s) = （2） 闭环系统的相角裕度，幅值裕度 s+5 s +1 解：串联校正后的传递函数为：G( s) = 1 1 2 s( s + 1)( s 2 + s + 1) 5 6 3
| G( jω ) |= 1
10 6-8 设控制系统的开环传递函数 G0 ( s) = s(0.5s + 1)(0.1s + 1) （1）绘制系统的Bode图，求相角裕度 0.23( s + 1) （2）采用传递函数为 Gc ( s) = 的串联超前校正装 0.023s + 1 置，求校正后系统的相角裕度，并讨论校正后系统性能有和改
10( s + 0.2) s 2 ( s + 1)
5-19 （P175） 解: （c）当 ω 由0至 ∞变化时曲线对（-1，j0）点的相角增量为 0（不包围（-1，j0）），故 系统稳定 （h）当 ω 由0至 ∞ 变化时曲线对（-1，j0）点的相角增量为
− π 故 系统不稳定
做错的同学建议多看看书P155例5-4，P157-158 第5.4.4节
态误差增加（p98）
6-12已知系统如图所示，要求闭环回路过阻尼，即回路的阶跃 过渡过程无超调 ，并且整个系统具有二阶无差度，试确定K值 及前置校正装置
Gc
+
k 0.1s + 1
10 s (0.5s + 1)
解：系统的闭环传递函数为： 10k φ ( s) = s(0.5s + 1)(0.1s + 1) + 10k 期望闭环传递函数为（二阶系统）：
绘出奈氏曲线如下图所示：
两个零根应增补半径无穷大，负转为π的大圆弧 当 ω 由0至 ∞ 变化时曲线对（-1，j0）点的相角增量为
− 2π 故 系统不稳定
5-10单位负反馈系统的开环传递函数为
10 G( s) = s(0.1s + 1)(0.5s + 1)
求相角裕度和幅值裕度 解：（P162） 令
0.5ω ϕ (ω ) = − arctan( ) 2 ω = 2πf = 2π 已知f=1Hz，可得 带入 Ar=10，可得稳态输出: 10 2π c s (t ) = sin(2πt − arctan ) 2 4 (0.5 * 2π ) + 4
相频特性
= 2.69 sin(2πt − 57.5°)