点集拓扑学教学大纲

《点集拓扑学》教学大纲

课程名称：《点集拓扑学》Point Set Topology

课程性质：数学与应用数学专业必修课

学时数：36

教材:《点集拓扑讲义》熊金城编著.高等教育出版社, 2011年12月第4版.

主要参考书：

《点集拓扑学》徐森林编著，高等教育出版社，2007年7月第1版.

《基础拓扑学》胡适耕编著，华中科技大学出版社，2007年8月第1版.

《基础拓扑学讲义》尤承业编著，北京大学出版社，1997年11月第1版.

《拓扑学》 [美] 芒克里斯编著，熊金城等翻译，机械工业出版社，2006年4月第1版. 授课方式：课堂讲授为主

所属院系：数学学院数学与应用数学系

课程基础：《数学分析》、《实变函数论》

一、课程简介

拓扑学是近代数学的三大基础之一，是研究抽象空间的理论的一门学科，它具有高度的概括性和抽象性.点集拓扑学产生于19世纪.G.康托尔建立了集合论，定义了欧几里得空间中的开集、闭集、导集等概念，获得了欧几里得空间拓扑结构的重要结果.1906年M.-R.弗雷歇把康托尔的集合论与函数空间的研究统一起来，建立了广义分析，可看为拓扑空间理论建立的开始.

泛函分析的兴起，希尔伯特空间和巴拿赫空间的建立，促进了把点集当作空间来研究.数学分析研究的中心问题是极限，而收敛与连续又是极限的基本问题.为把收敛与连续的研究推广到一般集合上，需要在一般集合上描述与点或与集合“邻近”的概念.如何描述“邻近”，可以用“距离”，但“距离”与“邻近”并无必然的联系.1914年F.豪斯道夫开始考虑用“开集”来定义拓扑.对一个非空集合X，规定X的每点有一个包含此点的子集作成的子集族，满足一组开集公理（即仿照欧几里得空间邻域所具特性给出的一组性质）.该子集族中的每个集合称为这点的一个邻域，这就给出了X的一个拓扑结构，X连同此拓扑结构称为一个拓扑空间.

X的每点有邻域，故可研究一点的邻近，由此可仿照微积分的方法定义两个拓扑空间之间的连续映射的概念.若一个映射连续，且存在逆映射，逆映射也连续，则称此映射为同胚映射.具有同胚映射的两个拓扑空间称为同胚的（直观地说即两个空间相应的图形从一个可连续地形变为另一个）.要证明两个空间同胚，只要找到它们之间的同胚映射即可.在欧几里得直线上，作为子空间，两个任意的闭区间同胚；任意两开区间同胚；半开半闭的区间[c,d)与[a,b)同胚；二维球面挖去一个点S2－p与欧几里得平面K2同胚.

要证明两个拓扑空间不同胚，需证明它们之间不存在同胚映射.方法是找同胚不变量或拓扑不变性（即在同胚映射下保持不变的性质）；第一个空间具有某同胚不变量，另一个空

间不具有，则此二空间不同胚.一般拓扑学中常见的拓扑不变性有连通性、道路连通性、紧性、列紧性、分离性等.在历史上F.豪斯多夫提出了分离空间；弗雷歇看出了紧性与列紧性有密切关系；帕维尔·萨穆伊洛维奇·乌雷松对紧空间进行了系统研究，且在拓扑空间可否变量化的问题上作出了贡献；1937年H.嘉当引进了“滤子”的概念，能进一步刻画一致收敛，使收敛的更本质的属性揭示了出来；维数的问题是E.嘉当在研究皮亚诺曲线（一种可填满整个正方形的“曲线”）时提出的，1912年H.庞加莱给出定义，由乌雷松等人加以改进.

二、教学目的

点集拓扑近代数学的三大基础之一，是研究抽象空间的理论的一门学科.该课程从点集拓扑学的发展简史出发，深入浅出地阐述了点集拓扑学的基本理论、基本问题和基本方法.内容包括：点集拓扑基础、拓扑空间与连续映射、子空间、积空间、商空间及有关可数性的公理等.其中各部分主题鲜明，逻辑性强，通过对各部分内容由浅入深的讲解，使学生透彻地理解基本概念，努力将每个知识点与中学数学的知识及已经学过的大学其它数学课程(例如实变函数论)联系起来，便于学生比较理解，增加对知识背景的认识.

三、教学要求

本课程研究点集拓扑学的基本理论和基本方法。要求学生通过系统学习，掌握点集拓扑学的基本知识，进一步提高学生应用点集拓扑的推理方法分析问题的能力.从集合论入手，拓扑空间与连续映射、子空间、积空间、商空间及有关可数性的公理等.为其他学科的研究与发展提供广泛的应用工具.

四、教学方法

1.分层分班教学

结合高考数学成绩及数学分析、高等代数、解析几何等大学数学基础课成绩将成绩接近的学生分在相同的班级进行教学，即卓越班与普通班，因材施教.对卓越班的同学多安排教学实践环节，对普通班的学生多做一些习题的训练.

2.注重信息教学手段在教学中的应用

根据每节课的教学内容选择不同的教学手段，不能将课件应用停留在放映幻灯片，应体现课件教学的演示生动性，重实质与效果，而并非只是形式.

3. 探究式，研究性教学方法的广泛应用

不仅将探究式、研究性学习的方式用于问题提出后的解决方案、途径、技巧的探寻，而且用于课程本身产生、发展的过程介绍，以及许多重要概念提出背景的还原.

4. 适当开展一些让学生有充分准备后的讨论课

比如拓扑空间与度量空间的区别与联系，度量空间的开集、闭集与拓扑空间中的开集、闭集的相同之处与不同之处，无限积空间的概念等.

5.作业每星期布置一次

强调写作业的目的不在于完成任务，而在于对知识的充分复习与深入理解，培养数学思维.

五、教学内容及重点、难点

第一章点集拓扑基础

基本内容：

1.1绪论、集合论基础

1.2关系与映射

基本要求：

（1）掌握集合论的基本知识；

（2）掌握关系的概念及运算规律；

（3）掌握映射的概念及其运算规律；

（4）掌握关系与映射之间的联系.

教学重点及难点：

（1）教学重点：关系与映射的概念；

（2）教学难点：关系与映射的运算.

第二章拓扑空间与连续映射

基本内容：

2.1度量空间与连续映射

2.2拓扑空间与连续映射

2.3邻域与邻域系

2.4 导集、闭集、闭包

2.5 内部、边界

2.6 基与子基

基本要求：

（1）掌握度量空间的概念及其开集的性质；

（2）掌握度量空间之间的连续映射的概念；

（3）掌握拓扑空间的概念；

（4）掌握拓扑空间之间的连续映射的概念；

（5）掌握邻域与邻域系的概念；

（6）掌握利用邻域的概念定义拓扑空间中的集合的导集、闭集与闭包的概念；

（7）掌握拓扑空间中集合的内部与边界的概念；

（8）掌握拓扑空间的基的概念；

（9）掌握拓扑空间的子基的概念.

教学重点及难点：

（1）教学重点：拓扑空间的概念与拓扑空间之间映射的连续性概念；

（2）教学难点：求给定拓扑空间中集合的导集、闭集、闭包、内部与边界；求给定拓扑空间的基与子基；基与子基的判定.

第三章子空间、（有限）积空间、商空间

基本内容：

3.1子空间

3.2（有限）积空间

基本要求：

（1）掌握子空间的概念；

（2）掌握子空间上的开集、闭集与拓扑空间中开集与闭集之间的关系；

（3）掌握拓扑积空间的概念及其性质.