四川省广元市2021届新高考三诊数学试题含解析
2020年四川省广元市高考数学三诊试卷（理科）（解析版）
2020年高考数学三诊试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．若复数z=2??1+??，则|z|＝（）A．12B．√22C．1D．√??2．已知集合A＝{x|x2﹣2x≤8}，B＝{﹣2，0}，下列命题为假命题的是（）A．?x0∈A，x0∈B B．?x0∈B，x0∈A C．?x∈A，x∈B D．?x∈B，x∈A 3．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面为梯形，AD∥BC，AD＝3，BC＝6，E，F分别为棱PB，PC的中点，则（）A．AE≠DF，且直线AE，FD是共面直线B．AE≠DF，且直线AE，FD是异面直线C．AE＝DF，且直线AE，FD是异面直线D．AE＝DF，且直线AE，FD是共面直线4．若log2a＝0.3，0.3b＝2，c＝0.32，则实数a，b，c之间的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞a＞c5．已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，则sin A＝sin B是a＝b的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《数书九章》中的“中国剩余定理”．执行该程序框图，则输出的n为（）A．50B．53C．59D．627．中国农业银行广元分行发行“金穗广元?剑门关旅游卡”是以“游广元、知广元、爱广元、共享和谐广元”为主题活动的一项经济性和公益性相结合的重大举措，以最优惠的价格惠及广元户籍市民、浙江及黑龙江援建省群众、省内援建市市民，凡上述对象均可办理此卡，本人凭此卡及本人身份证一年内（期满后可重新充值办理）在广元市范围内可无限次游览所有售门票景区景点，如：剑门关、朝天明月峡、旺苍鼓城山﹣七里峡、青川唐家河、广元皇泽寺、苍溪梨博园、昭化古城等，现有浙江及黑龙江援建省群众甲乙两人准备到广元旅游（同游），他们决定游览上面7个景点，首先游览剑门关但不能最后游览朝天明月峡的游览顺序有（）种．A．300B．480C．600D．7208．函数f（x）=4??23|??|的图象大致为（）A．B．C．D．9．在△ABC中，AB＝2，BC＝4，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若→=→+→，则λ+μ＝（）A．13B．23C．38D．5810．已知O为坐标原点，双曲线：22-??=??(??＞??)，过双曲线C的左焦点F作双曲线两条渐近线的平行线，与两渐近线的交点分别为A，B，若四边形OAFB的面积为1，则双曲线C的离心率为（）A．√??B．??√??C．2D．√5 211．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（ω＞0）对任意的x∈R都有f（x）＝f（2a﹣x），且a＜0时a的最大值为-5，下列四个结论：①??=-5是f（x）的一个极值点；②若f（x）为奇函数，则f（x）的最小正周期=4?? 5；③若f（x）为偶函数，则f（x）在[-5，??]上单调递增；④ω的取值范围是（0，5）．其中一定正确的结论编号是（）A．①②B．①③C．①②④D．②③④12．设函数f（x）的定义域为（1，+∞），满足f（2x）＝2f（x），且当x∈（1，2]时，f （x）＝（x﹣1）（x﹣2），若对任意x∈（1，m]，都有f（x）≥﹣1，则m的取值范围是（）A．(??，??-√??]B．(??，??+√??]C．(??，-??√??]D．(??，+??√??]二、填空题13．如果(??-12)(??+??)的展开式中各项系数之和为32，则n的值为．14．若=(??+4)，且??∈(??2，)，则sin2θ的值为．15．抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝k（x﹣2）（k＞0）与抛物线C交于不同的A，B两点，且||||=25，则k＝．16．如图，二面角α﹣l﹣β的大小为3，半平面α内有一点A（不在l上），半平面β内有一点C（不在l上），A，C在直线l上的射影分别为B，D（B，D不重合），AB＝CD ＝1，=√??，则三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为．三、解答题17．记S n为各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和，已知??=118，S3+2S2＝13a1，记b n＝[log2a n]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[43]=??，[2]＝2．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和T n．18．如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，E为边CD的中点，以EB为折痕把△CEB折起，使点C到达点P的位置，且使平面PEB⊥平面ABED．（Ⅰ）证明：PB⊥AE；（Ⅱ）求直线BE与平面PAB所成角的正弦值．19．冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS）和严重急性呼吸综合征（SARS）等较严重疾病．而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒（nCoV）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株．人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等．在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡．某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有4份需检验血液．（Ⅰ）假设这4份需检验血液有且只有一份为阳性，从中依次不放回的抽取3份血液，已知前两次的血液均为阴性，求第3次出现阳性血液的概率；（Ⅱ）现在对4份血液进行检验，假设每份血液的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，据统计每份血液是阳性结果的概率为(＜??＜1100)，现在有以下两种检验方式：方式一：逐份检验．方式二：混合检验，将4份血液分别取样混合在一起检验（假设血液混合后不影响血液的检验）．若检验结果为阴性，则这4份血液全为阴性，检验结束；如果检验结果为阳性，则这4份血液中有为阳性的血液，为了明确这4份血液究竟哪几份为阳性，就要对这4份再逐份检验．从检验的次数分析，哪一种检验方式更好一些，并说明理由．参考数据：0.994≈0.96．20．已知函数f（x）＝lnx．（Ⅰ）函数()=12??-(??+??)??+(??)，讨论t（x）的单调性；（Ⅱ）曲线g（x）＝x3（x＞0）在点P处的切线为l，是否存在这样的点P使得直线l 与曲线y＝f（x）也相切，若存在，判断满足条件的点P的个数，若不存在，请说明理由．21．已知椭圆：22+??=??，过点P（0，1）作互相垂直的两条直线分别交椭圆C于点A，B（A，B与P不重合）．（Ⅰ）证明：直线AB过定点(??，-13)；（Ⅱ）若以点??(??，19)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形PAEB的面积．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{=√=??+√（β为参数），直线l过原点且倾斜角为α，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C1和直线l的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C1相交于不同的两点A，B，求||||+||||的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b都是实数，a≠0，函数f（x）＝|x+1|+|2x﹣3|．（Ⅰ）若f（x）＞1，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若|52??+??|+|??-|≥|??|??(??)对满足条件的所有a，b都成立，求实数t的取值范围．参考答案一、选择题1．若复数z=2??1+??，则|z|＝（）A．12B．√22C．1D．√??【分析】首先对所给的式子进行整理，分子和分母同乘以分母的共轭复数1﹣i，这样分母变为一个实数，把复数写成a+bi的形式，即1+i，求出模长即可．解：∵复数z=2??1+??=2??(1-??)(1+??)(1-??)=2??-2??22=2+2??2=1+i，∴|z|=√??+????=√??故选：D．2．已知集合A＝{x|x2﹣2x≤8}，B＝{﹣2，0}，下列命题为假命题的是（）A．?x0∈A，x0∈B B．?x0∈B，x0∈A C．?x∈A，x∈B D．?x∈B，x∈A 【分析】先求出集合A，再根据A，B之间的关系即可求解结论．解：因为集合A＝{x|x2﹣2x≤8}＝{x|﹣2≤x≤4}；∵B＝{﹣2，0}?A，∴?x∈A，x∈B；故选：C．3．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面为梯形，AD∥BC，AD＝3，BC＝6，E，F分别为棱PB，PC的中点，则（）A．AE≠DF，且直线AE，FD是共面直线B．AE≠DF，且直线AE，FD是异面直线C．AE＝DF，且直线AE，FD是异面直线D．AE＝DF，且直线AE，FD是共面直线【分析】可连接EF，根据条件即可说明四边形ADFE是平行四边形，从而得出AE＝DF，且直线AE，FD是共面直线．解：如图，连接EF，∵E，F分别为棱PB，PC的中点，AD∥BC，AD＝3，BC＝6，∴EF∥BC，=1，2∴EF∥AD，且EF＝AD，∴四边形ADFE是平行四边形，∴AE＝DF，且AE∥DF，∴AE，FD是共面直线．故选：D．4．若log2a＝0.3，0.3b＝2，c＝0.32，则实数a，b，c之间的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞a＞c【分析】可以得出a＝20.3＞1，b＝log0.32＜0，0＜c＜1，从而得出a，b，c的大小关系．解：a＝20.3＞20＝1，b＝log0.32＜log0.31＝0，0＜0.32＜1；∴a＞c＞b．故选：B．5．已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，则sinA＝sinB是a＝b的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】在三角形中，由等边对等角及充分必要条件的判定得答案．解：在△ABC中，由sinA＝sinB?A＝B?a＝b，反之，由a＝b?A＝B?sinA＝sinB，∴sinA＝sin B是a＝b的充要条件．故选：C．6．如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《数书九章》中的“中国剩余定理”．执行该程序框图，则输出的n为（）A．50B．53C．59D．62【分析】根据程序框图求出n的初值，代入循环结构中求得输出n的值．解：模拟程序运行知，m1＝112，m2＝120，m3＝105；n＝2×112+4×120+5×105＝1229，代入循环结构，计算得，n＝1229﹣168＝1061，n＝1061﹣168＝893，n＝893﹣168＝725，n＝725﹣168＝557，n＝557﹣168＝389，n＝389﹣168＝221，n＝221﹣168＝53，所以输出n的值为53．故选：B．7．中国农业银行广元分行发行“金穗广元?剑门关旅游卡”是以“游广元、知广元、爱广元、共享和谐广元”为主题活动的一项经济性和公益性相结合的重大举措，以最优惠的价格惠及广元户籍市民、浙江及黑龙江援建省群众、省内援建市市民，凡上述对象均可办理此卡，本人凭此卡及本人身份证一年内（期满后可重新充值办理）在广元市范围内可无限次游览所有售门票景区景点，如：剑门关、朝天明月峡、旺苍鼓城山﹣七里峡、青川唐家河、广元皇泽寺、苍溪梨博园、昭化古城等，现有浙江及黑龙江援建省群众甲乙两人准备到广元旅游（同游），他们决定游览上面7个景点，首先游览剑门关但不能最后游览朝天明月峡的游览顺序有（）种．A ．300B ．480C ．600D ．720【分析】根据题意，假设7个景点的游览顺序对应7个位置，分2步进行分析：①分析易得：剑门关有1种情况，朝天明月峡有5种情况，②将剩下的5个景点全排列，安排到剩下的5个位置，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，假设7个景点的游览顺序对应7个位置，分2步进行分析：①首先游览剑门关但不能最后游览朝天明月峡，则剑门关必须在第1个位置，有1种情况，朝天明月峡可以在第2、3、4、5、6的位置，有5种情况，②将剩下的5个景点全排列，安排到剩下的5个位置，有A 55＝120种情况，则有1×5×120＝600种符合题意的游览顺序；故选：C ．8．函数f （x ）=4??23|??|的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【分析】先判断函数的奇偶性和对称性，利用极限思想以及当x ＝2时的函数值是否对应进行排除即可．解：f （﹣x ）=4(-??)23|-??|=4??23|??|=f （x ），则函数f （x ）为偶函数，图象关于y 轴对称，排除B ，当x →+∞，f （x ）→0，排除C ，当x ＝2时，f （2）=4×２232=169＜2，排除D ，故选：A ．9．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝4，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若→=→+→，则λ+μ＝（）A ．13B ．23C ．38D ．58【分析】根据题意选定两个向量→，→作为基向量，将向量→用两个基向量表示出来，与已知中→=→+→对照，求出两个参数的值，即可得到λ+μ的值，选出正确选项解：由已知，如图→=12→=12(→+→)=12→+12→，又AD 为BC 边上的高，∴→→=??，又→=→+→=→+→，∴→→+→=??，即2×4×cos （180°﹣60°）+m ×42＝0，解得m =14，∴→=12→+18→，又→=→+→，可得λ=12，μ=18，∴λ+μ=58．故选：D ．10．已知O 为坐标原点，双曲线：22-??=??(??＞??)，过双曲线C 的左焦点F 作双曲线两条渐近线的平行线，与两渐近线的交点分别为A ，B ，若四边形OAFB 的面积为1，则双曲线C 的离心率为（）A ．√??B ．??√??C ．2D ．√52【分析】求得双曲线的焦点坐标，利用已知条件求出A 的坐标，结合面积求解a ，然后求解双曲线的离心率即可．解：由双曲线方程可得渐近线方程x±ay＝0，设F（﹣c，0）是双曲线的焦点，设过F平行于x+ay＝0的直线为l，则l的方程为：x+ay+c＝0，l与渐近线x﹣ay＝0交点为A，则A（-2，2??），四边形OAFB的面积为1，得c×2??=1．即c2＝2a＝a2+1，解得a＝1，所以c=√??．∴e=√??．故选：A．11．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（ω＞0）对任意的x∈R都有f（x）＝f（2a﹣x），且a＜0时a的最大值为-5，下列四个结论：①=-5是f（x）的一个极值点；②若f（x）为奇函数，则f（x）的最小正周期??=4?? 5；③若f（x）为偶函数，则f（x）在[-5，]上单调递增；④ω的取值范围是（0，5）．其中一定正确的结论编号是（）A．①②B．①③C．①②④D．②③④【分析】根据题意可知，f（x）的图象关于直线x＝a对称，再结合三角函数的图象和性质，即可判断各结论的真假．解：因为f（x）＝f（2a﹣x），所以f（x）的图象关于直线x＝a对称，又当a＜0时，a的最大值为-5，由于三角函数的对称轴对应x的值是函数的极值点，所以①正确；又f（x）为奇函数，且在y轴左侧离y轴最近的对称轴为x=-5，所以在y轴右侧离y轴最近的对称轴为x=5，所以T=??×[5-(-??5)]=4??5，②正确；若f（x）为偶函数，则f（x）在[-5，??]上可能单调递增，也可能单调递减，所以③不一定正确；令ωx+φ=2+2kπ，所以x=2-??+2，当φ＞??2时，即有2-??=-5，∴ω＞0当φ≤2时，2-??-2??=-5，∴ω=5(??+32??)≤10，即ω的取值范围是（0，10]，所以④不一定正确．故选：A．12．设函数f（x）的定义域为（1，+∞），满足f（2x）＝2f（x），且当x∈（1，2]时，f （x）＝（x﹣1）（x﹣2），若对任意x∈（1，m]，都有f（x）≥﹣1，则m的取值范围是（）A．(??，??-√??]B．(??，??+√??]C．(??，-??√??]D．(??，+??√??]【分析】先判断f（2x）＝2f（x）对于函数f（x）图象的变换，确定x所在的区间，求出解析式，得到m的最大值即可．解：当x∈（1，2]时，f（x）＝（x﹣1）（x﹣2），函数f（x）单调先减后增，所以f min＝f（32）=-14，因为f（2x）＝2f（x），∴f（x）＝2f（2）；∵x∈（1，2]时，f（x）＝（x﹣1）（x﹣2）；∴x∈（2，4]时，2∈（1，2]，f（x）＝2f（??2）＝2（??2-1）（??2-2）=12（x﹣2）（x﹣4）最小值为-12；x∈（4，8]时，2∈（2，4]，f（x）＝2f（??2）＝（??2-2）（??2-4）=14（x﹣4）（x﹣8）最小值为﹣1；x∈（8，16]时，2∈（4，8]，f（x）＝2f（??2）＝2×14（??2-4）（??2-8）=18（x﹣8）（x﹣16）最小值为﹣2；18（x﹣8）（x﹣16）＝﹣1?x＝12±2√；若对任意x∈（1，m]，都有f（x）≥﹣1，则m∈（1，12﹣2√??]．所以m的取值范围是（1，12﹣2√??]，故选：C．二、填空题13．如果(??-12)(??+??)的展开式中各项系数之和为32，则n 的值为5．【分析】直接令x ＝1即可求得结论．解：因为(??-12)(??+??)的展开式中各项系数之和为32，令x ＝1可得：（2﹣1）?（1+1）n ＝32?n ＝5；故答案为：5．14．若=(??+4)，且??∈(??2，)，则sin2θ的值为-78．【分析】由二倍角的余弦函数公式，两角和的余弦函数公式化简已知等式，结合cos θ﹣sin θ≠0，可得cos θ+sin θ=√24，两边平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式可求sin2θ的值．解：∵=(??+4)，∴2（cos 2θ﹣sin 2θ）＝2（cos θ+sin θ）（cos θ﹣sin θ）=√22（cos θ﹣sin θ），又∵??∈(2，??)，∴cos θ﹣sin θ≠0，∴解得：cos θ+sin θ=√24，∴两边平方，可得：1+sin2θ=18，∴可得：sin2θ=-78．故答案为：-78．15．抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝k （x ﹣2）（k ＞0）与抛物线C 交于不同的A ，B 两点，且||||=25，则k ＝2．【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，直线AB 的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及抛物线的焦点弦公式，联立即可求得x 1，x 2，由x 1?x 2＝4，即可求得k 的值．解：抛物线y 2＝4x 的焦点F （1，0），准线方程为x ＝﹣1，直线AB 的方程为y ＝k （x ﹣2），k ＞0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立直线AB 的方程和抛物线y 2＝4x ，化简可得k 2x 2﹣（4k 2+4）x+4k 2＝0，∴x1+x2＝4+42①，x1?x2＝4②，由抛物线的焦半径公式可知|AF|＝x1+2=x1+1，|BF|＝x2+??2=x2+1，由|AF|=25|BF|，可得x1+1=25（x2+1），即x1-25x2=-35③，由①③解得x1=57+87??2，x2=237+207??2，则x1x2＝（57+87??2）（237+207??2）＝4，化为（k2﹣4）（81k2+40）＝0，整理得k2＝4，解得k＝±2，由k＞0，则k＝2，故答案为：2．16．如图，二面角α﹣l﹣β的大小为3，半平面α内有一点A（不在l上），半平面β内有一点C（不在l上），A，C在直线l上的射影分别为B，D（B，D不重合），AB＝CD＝1，=√??，则三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为13??3．【分析】将三棱锥A﹣BCD补全为三棱柱，求出底面的外接圆半径，再通过勾股定理即可求出外接球的半径，代入外接球表面积公式即可．解：将三棱锥A﹣BCD补全为三棱柱，如图所示，由题可知，三棱柱FDC﹣ABE为直三棱柱，∠ABE是二面角α﹣l﹣β的平面角，即∠=3，∵AB＝BE＝1，∴△ABE 是等边三角形，设△ABE 的外接圆半径是r ，则13=，解得=√33，设三棱锥A ﹣BCD 的外接球的半径是R ，则=√(√32)+(√33)??=√1312，∴三棱锥A ﹣BCD 外接球的表面积为=133??．故答案为：13??3．三、解答题17．记S n 为各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和，已知=118，S3+2S 2＝13a 1，记b n＝[log 2a n ]，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[43]=??，[2]＝2．（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）求{b n }的前n 项和T n ．【分析】（Ⅰ）根据等比数列的前n 项和公式求出公比q ，即可写出通项；（Ⅱ）根据题意求出数列{b n }是等差数列，再求它的前n 项和．解：（Ⅰ）数列{a n }中，由S 3+2S 2＝13a 1，所以：a 3+3a 2﹣10a 1＝0；所以：q 2+3q ﹣10＝0，解得：q ＝2或q ＝﹣5（舍）；所以数列{a n }的通项公式为：=118×??-=?????-??(??∈???)；（Ⅱ）根据题意有：??=[??????]=[??(???-)]=[??-??+??]；因为：3＜log 111＜4，所以：b n ＝[n ﹣4+log 211]＝n ﹣4+3＝n ﹣1；所以：数列{b n }是以首项为0，公差为1的等差数列；所以{b n }的前n 项和为=(0+-1)2=??2-??2(??∈??)．18．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2，E 为边CD 的中点，以EB 为折痕把△CEB 折起，使点C 到达点P 的位置，且使平面PEB ⊥平面ABED ．（Ⅰ）证明：PB ⊥AE ；（Ⅱ）求直线BE 与平面PAB 所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）由已知求解三角形得AE⊥BE．由面PEB⊥面ABED，结合面面垂直的性质可得AE⊥面PEB，则PB⊥AE；（Ⅱ）设直线BE与平面PAB所成角为θ，以E为原点，分别以EA，EB所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系．求出平面PAB的一个法向量，再求出→的坐标，由两向量所成角的余弦值可得直线BE与平面PAB所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：由已知得BC＝CE＝ED＝AD＝1，∴==√??，又∵AB＝2，∴EA2+EB2＝AB2，得AE⊥BE．∵面PEB⊥面ABED，面PEB∩面ABED＝BE，∴AE⊥面PEB，则PB⊥AE；（Ⅱ）解：设直线BE与平面PAB所成角为θ，以E为原点建立如图所示的空间直角坐标系．根据题意有：E（0，0，0），(√??，??，??)，??(??，√??，??)，(，√22，√22)．得→=(??，-√??，??)，→=(-√??，√??，??)，→=(??，√22，-√22)．设平面PAB的法向量为：→=(??，??，??)．由{→→=-√+√=??→→=√22??-√22??=??，取z＝1，得→=(??，??，??)．∴sinθ＝|cos＜→，??→＞|＝|→→|→|?|??→||=|-√2|√2?√3=√33．19．冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS ）和严重急性呼吸综合征（SARS ）等较严重疾病．而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒（nCoV ）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株．人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等．在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡．某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有4份需检验血液．（Ⅰ）假设这4份需检验血液有且只有一份为阳性，从中依次不放回的抽取3份血液，已知前两次的血液均为阴性，求第3次出现阳性血液的概率；（Ⅱ）现在对4份血液进行检验，假设每份血液的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，据统计每份血液是阳性结果的概率为(＜??＜1100)，现在有以下两种检验方式：方式一：逐份检验．方式二：混合检验，将4份血液分别取样混合在一起检验（假设血液混合后不影响血液的检验）．若检验结果为阴性，则这4份血液全为阴性，检验结束；如果检验结果为阳性，则这4份血液中有为阳性的血液，为了明确这4份血液究竟哪几份为阳性，就要对这4份再逐份检验．从检验的次数分析，哪一种检验方式更好一些，并说明理由．参考数据：0.994≈0.96．【分析】（Ⅰ）直接利用古典概型概率的求法求解即可．（Ⅱ）方式一：检验次数4次．设方式二需要需检验的次数为X ．根据题意有X 的可能取值为1，5．求出概率，得到X 的分布列，然后求解期望．解：（Ⅰ）这4份需检验血液有且只有一份为阳性，从中依次不放回的抽取3份血液，已知前两次的血液均为阴性，第3次出现阳性血液的概率；相当于在4份血液中，去掉2份隐性，余下的2份中，抽取1份为阳性的概率：??=1121=12．（Ⅱ）方式一：检验次数4次．设方式二需要需检验的次数为X ．根据题意有X 的可能取值为1，5．P （x ＝1）＝（1﹣p ）4，P （x ＝5）＝1﹣（1﹣p ）4．所以：X 的分布列为：X 15P（1﹣p ）41﹣（1﹣p ）4所以：E （X ）＝（1﹣p ）4+5[1﹣（1﹣p ）4]＝5﹣4（1﹣p ）4．因为：＜??＜1100，所以：()=??-??(??-??)＜??-??(??-1100)??=??-??×??.???≈??-??×??.?≈.?＜??．所以：从检验的次数分析，方式二更好一些．20．已知函数f （x ）＝lnx ．（Ⅰ）函数()=12??-(??+??)??+(??)，讨论t （x ）的单调性；（Ⅱ）曲线g （x ）＝x 3（x ＞0）在点P 处的切线为l ，是否存在这样的点P 使得直线l与曲线y ＝f （x ）也相切，若存在，判断满足条件的点P 的个数，若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）设出切点坐标，表示出切线l 的方程，结合函数的单调性，判断即可．解：（Ⅰ）因为：()=12-(??+??)??+，所以：′(??)=??-(??+??)+2??=(??-2)(??-??)??．所以：①当a ≤0时：t （x ）在（0，2]减，在[2，+∞）增；②当a ＝2时：t （x ）在（0，+∞）增；③当0＜a ＜2时：t （x ）在（0，a]增，在[a ，2]减，在[2，+∞）增；④当a ＞2时：t （x ）在（0，2]增，在[2，a]减，在[a ，+∞）增．（Ⅱ）设??(??，????)(????＞??)．因为：g '（x ）＝3x 2，所以：??′(??)=??．所以直线l 的方程为：??-??=????(??-????)，即：??=??????-????①．假设直线l 与f （x ）的图象也相切，切点为：（x 1，lnx 1）．因为′(??)=1，所以：′(????)=11．所以直线l 的方程也可以写作为：??-??=11(??-????)．又因为：=11，即：??=13??02．所以直线l 的方程为：-13??02=(??-13??02)，即：=????-??--??②．由①②有：---??=-??，即：????-??-??-=??．令：()=-??-??-=??(????＞??)，所以：′(??)=-2．令′(????)=??-20≥??，得：??≥√13，所以：m （x 0）在(??，√13]减，在[√13??，+∞）增．所以：(??)=??(√13)=??×13-√13??-??-=-13-13＜??，又因为：当x →0时，m （x 0）→+∞；当x →+∞时，m （x 0）→+∞．所以：??(??)=-??-??-=??在（0，+∞）有且只有两个实数根．所以：存在这样的点P 使得直线l 与函数f （x ）的图象也相切，这样的点P 有且只有两个．21．已知椭圆：22+??=??，过点P （0，1）作互相垂直的两条直线分别交椭圆C 于点A ，B （A ，B 与P 不重合）．（Ⅰ）证明：直线AB 过定点(??，-13)；（Ⅱ）若以点(，19)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形PAEB 的面积．【分析】（Ⅰ）直线AB 、PB 、PA 斜率均存在．设l AB ：y ＝kx+m ，A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），联立：{22+??=??=+??，消去y ，利用韦达定理，以及PB ⊥PA ，求出m ，然后求解直线系方程，得到定点坐标．（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）有：=-13，求出直线AB 的方程，结合韦达定理，求解D的坐标，利用→⊥→，求出k ，通过弦长公式，求解三角形的面积即可．方法二：由（Ⅰ）写出直线方程，表示出四边形PAEB 的面积，结合图形，转化求解即可．解：（Ⅰ）证明：根据题意有：直线AB 、PB 、PA 斜率均存在．设l AB ：y ＝kx +m ，A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）联立：{22+??=??=+??，有：（2k 2+1）x 2+4kmx +2m 2﹣2＝0，所以：??+????=-42??2+1，??????=2??2-22??2+1．因为PB ⊥PA ，所以：??=1-11???2-1??2=1+??-1??1?2+??-1??2=-??，化简得：(??+??)????????+??(??-??)(????+????)+(??-??)??=??，所以：(??+??)2??2-22??2+1-??(??-??)42??2+1+(??-??)??=??，化简得：3m 2﹣2m ﹣1＝0，解得=-13或1．当m ＝1时，l AB ：y ＝kx+1过点P ，则P 与A 或B 重合，不满足题意，舍去，所以：=-13，即??：??=-13所以：直线AB 过定点(??，-13)．（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）有：=-13，则：：??=-13，??+????=432??2+1，????????=-1692??2+1．如图所示：设线段AB 的中点为D （x D ，y D ），则：=1+??22=232??2+1，????=??-13=23??2??2+1-13=-132??2+1．因为以(，19)为圆心的圆与直线AB 相切于AB 的中点，所以：→⊥→，又因为：→=(232??2+1，-132??2+1-19)，且→与（1，k ）平行，所以：232??2+1+(-132??2+1-19)??=??，解得k ＝0或±1．由上图有：四边形PAEB 的面积=12|||??-????|=12×89|????-????|=49|????-????|．①当k ＝0时：：=-13，易得：??(-43，-13)、??(43，-13)，所以：=49|??-????|=49|-43-43|=3227．②当k ＝±1时：有：|??-????|=√(????+????)-??????=√(432??2+1)??+6492??2+1=4√139，所以：=49|??-????|=49×4√139=16√1381．由①②有：=3227或16√1381．方法二：由（Ⅰ）有：：??=-13，+????=432??2+1，????????=-1692??2+1．由上图有：四边形PAEB 的面积=12|||??-????|=12×89|????-????|=49|????-????|．根据题意结合图形有：|EA |＝|EB |，即：√?+(????-19)=√??????+(????-19)??，即：√-+(??-19)=√??-????+(????-19)??，化简得：(????-????)(????+????+29)=??，所以：y 1﹣y 2＝0或??+????=-29．①当y 1﹣y 2＝0时，易得：k ＝0，即：??：??=-13，易得：??(-43，-13)、??(43，-13)，所以：=49|??-????|=49|-43-43|=3227．②当??+????=-29时：??+????=??(????+????)-23=4322??2+1-23=-29，解得：k ＝±1．有：|??-????|=√(????+????)-??????=√(432??2+1)??+6492??2+1=4√139，所以：=49|??-????|=49×4√139=16√1381．由①②有：??=3227或16√1381．一、选择题22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{=√=??+√（β为参数），直线l 过原点且倾斜角为α，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C 1和直线l 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 1相交于不同的两点A ，B ，求||||+||||的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据曲线C 1的参数方程{=√=??+√，先求出普通方程，然后转化为极坐标方程即可，根据直线l 过原点且倾斜角为α，可直接得到直线l 的极坐标方程；（Ⅱ）联立{-+??=??=??，可得ρ1+ρ2＝4sin α，ρ1ρ2＝2，然后根据||||+||||=21+??1??2，结合sin 2α的范围，求出||||+||||的取值范围．解：（Ⅰ）由{=√=??+√（β为参数）有x 2+y 2﹣4y+2＝0，∴C 1的极坐标方程为ρ2﹣4ρsin θ+2＝0，直线l 的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R ）（α∈[0，π））．（Ⅱ）联立{-+??=??=??，有ρ2﹣4ρsin α+2＝0，根据题有△＝16sin 2α﹣8＞0，∴12＜????≤??．在极坐标系下设A （ρ1，α）、B （ρ2，α），∴ρ1+ρ2＝4sin α，ρ1ρ2＝2．∴||||+||||=??2??1+??1??2=??22+??12??1??2=162??-42=??-??．∵12＜??≤??，∴2＜8sin 2α﹣2≤6，∴||||+||||取值范围为（2，6]．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a ，b 都是实数，a ≠0，函数f （x ）＝|x+1|+|2x ﹣3|．（Ⅰ）若f （x ）＞1，求实数x 的取值范围；（Ⅱ）若|52+??|+|??-|≥|??|??(??)对满足条件的所有a ，b 都成立，求实数t 的取值范围．【分析】（Ⅰ）由f （x ）＝|x +1|+|x -32|+|x -32|，运用绝对值不等式的性质和绝对值的几何意义，可得f （x ）的最小值，即可得到所求x 的范围；（Ⅱ）由题意可得()≤(|52??+??|+|??-2??||??|)．运用绝对值的性质和绝对值的几何意义，可得最小值，再由零点分区间和绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求范围．解：（Ⅰ）因为()=|??+??|+|-??|=|??+??|+??|??-32|≥|??+??|+|??-32|≥52（=32时取等号），而52＞．可得x 的取值范围为R ；（Ⅱ）由|52??+??|+|??-|≥|??|??(??)，有()≤|52??+??|+|??-2??||??|，即()≤(|52??+??|+|??-2??||??|)．因为：|52??+??|+|??-2??||??|=|52??+??|+2|??2-??||??|≥|52??+??|+|??2-??||??|≥3|??||??|=??（a ＝2b 时取等号），所以f （t ）≤3．即|t +1|+|2t ﹣3|≤3，即{≥32+??+-??≤??或{-??＜??＜32??+??+??-≤??或{≤-??-??-??+??-≤??，解得32≤??≤53或≤??＜32或无解，所以∈[??，53]．。
四川省广元市2021届新高考第三次质量检测数学试题含解析
四川省广元市2021届新高考第三次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知a ，b ，c 分别是ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，cos 3sin a C c A b c +=+，则A =（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π 【答案】C 【解析】 【分析】原式由正弦定理化简得3sin sin cos sin sin C A A C C =+，由于sin 0C ≠，0A π<<可求A 的值. 【详解】解：由cos 3sin a C c A b c +=+及正弦定理得sin cos 3sin sin sin sin A C C A B C +=+. 因为B A C π=--，所以sin sin cos cos sin B A C A C =+代入上式化简得3sin sin cos sin sin C A A C C =+.由于sin 0C ≠，所以1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭.又0A π<<，故3A π=.故选：C. 【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，三角函数恒等变换等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，属于中档题.2．下图所示函数图象经过何种变换可以得到sin 2y x =的图象（ ）A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位【分析】根据函数图像得到函数的一个解析式为()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据平移法则得到答案. 【详解】设函数解析式为()()sin f x A x b ωϕ=++， 根据图像：1,0A b ==，43124T πππ=-=，故T π=，即2ω=， sin 1126f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,3k k Z πϕπ=+∈，取0k =，得到()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，函数向右平移6π个单位得到sin 2y x =. 故选：D . 【点睛】本题考查了根据函数图像求函数解析式，三角函数平移，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用. 3．已知{}1A x x =<，{}21xB x =<，则A B =（ ）A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,-+∞D ．(),1-∞【答案】D 【解析】 【分析】分别解出集合,A B 、然后求并集. 【详解】解：{}{}111A x x x x =<=-<<，{}{}210xB x x x =<=<A B =(),1-∞故选：D 【点睛】考查集合的并集运算，基础题.4．已知(0,)απ∈，且tan 2α=，则cos2cos αα+=（ ）A ．35B ．35C ．35D ．35【答案】B 【解析】详解：根据题中的条件，可得α为锐角，根据tan 2α=，可求得cos 5α=，而22cos 2cos 2cos cos 115αααα+=+-=+-=，故选B. 点睛：该题考查的是有关同角三角函数关系式以及倍角公式的应用，在解题的过程中，需要对已知真切求余弦的方法要明确，可以应用同角三角函数关系式求解，也可以结合三角函数的定义式求解. 5．将函数sin 2y x =的图像向左平移(0)ϕϕ>个单位得到函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，则ϕ的最小值为（ ） A ．6πB ．12πC ．1112πD ．56π 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的平移求出函数的解析式，结合三角函数的性质进行求解即可． 【详解】将函数sin 2y x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位， 得到sin 2()sin(22)y x x ϕϕ=+=+， 此时与函数sin(2)6y x π=+的图象重合， 则226k πϕπ=+，即12k πϕπ=+，k Z ∈，∴当0k =时，ϕ取得最小值为12πϕ=，故选：B ． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的平移关系求出解析式是解决本题的关键．6．已知函数())f x x R =∈，若关于x 的方程()10f x m -+=恰好有3个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ）A ．1)B ．(C ．(11,1)e+D ．1()+ 【答案】D讨论0x >，0x =，0x <三种情况，求导得到单调区间，画出函数图像，根据图像得到答案. 【详解】当0x >时，()x f x =，故'()2x f x xe =，函数在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减，且122e f ⎛⎫=⎪⎝⎭； 当0x =时，()00f =；当0x <时，()x f x -=，'()02x f e x x =-<，函数单调递减； 如图所示画出函数图像，则12012e m f ⎛⎫<-<= ⎪⎝⎭，故()21,1e m +∈. 故选：D .【点睛】本题考查了利用导数求函数的零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力. 7．以下关于()sin 2cos 2f x x x =-的命题，正确的是 A ．函数()f x 在区间20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 B ．直线8x π=需是函数()y f x =图象的一条对称轴C ．点,04π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =图象的一个对称中心 D ．将函数()y f x =图象向左平移需8π个单位，可得到22y x =的图象 【答案】D利用辅助角公式化简函数得到()2sin(2)4f x x π=-，再逐项判断正误得到答案.【详解】()sin 2cos 22sin(2)4f x x x x π=-=-A 选项，132(,)4413220,x x ππππ⎛⎫∈⇒ ⎪⎝⎭-∈-函数先增后减，错误 B 选项，2084x x ππ=⇒-=不是函数对称轴，错误 C 选项，2444x x πππ=⇒-=，不是对称中心，错误D 选项，图象向左平移需8π个单位得到2sin(2())2sin 284y x x ππ=+-=，正确故答案选D 【点睛】本题考查了三角函数的单调性，对称轴，对称中心，平移，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用，其中化简三角函数是解题的关键.8．为研究某咖啡店每日的热咖啡销售量y 和气温x 之间是否具有线性相关关系，统计该店2017年每周六的销售量及当天气温得到如图所示的散点图（x 轴表示气温，y 轴表示销售量），由散点图可知y 与x 的相关关系为（ ）A ．正相关，相关系数r 的值为0.85B ．负相关，相关系数r 的值为0.85C ．负相关，相关系数r 的值为0.85-D ．正相关，相关负数r 的值为0.85- 【答案】C 【解析】 【分析】根据正负相关的概念判断． 【详解】由散点图知y 随着x 的增大而减小，因此是负相关．相关系数为负．本题考查变量的相关关系，考查正相关和负相关的区别．掌握正负相关的定义是解题基础． 9．在ABC 中，D 为BC 边上的中点，且||1,|2,120AB AC BAC ==∠=︒，则||=AD （ ）A．2B ．12C ．34D．4【答案】A 【解析】 【分析】由D 为BC 边上的中点，表示出()12AD AB AC =+，然后用向量模的计算公式求模. 【详解】解：D 为BC 边上的中点，()12AD AB AC =+， ()()()21124AD AB AC AB AC=+=+==故选：A 【点睛】在三角形中，考查中点向量公式和向量模的求法，是基础题.10．正项等比数列{}n a 中，153759216a a a a a a ++=，且5a 与9a 的等差中项为4，则{}n a 的公比是 ( ) A ．1 B ．2 C ．2D【答案】D 【解析】 【分析】设等比数列的公比为q ，q 0>，运用等比数列的性质和通项公式，以及等差数列的中项性质，解方程可得公比q ． 【详解】由题意，正项等比数列{}a 中，a a 2a a a a 16++=，5a 与9a 的等差中项为4，即59a a 8+=，设公比为q ，则()2237q a a 4q 8+==，则q 2(=负的舍去)，故选D ． 【点睛】本题主要考查了等差数列的中项性质和等比数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等比数列通项公式，合理利用等比数列的性质是解答的关键，着重考查了方程思想和运算能力，属于基础题．11．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设22DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（ ）A ．413B ．21313C ．926D ．31326【答案】A 【解析】 【分析】根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可． 【详解】在ABD ∆中，3AD =，1BD =，120ADB ∠=︒，由余弦定理，得222cos12013AB AD BD AD BD =+-⋅︒所以13DF AB =. 所以所求概率为24=DEF S ∆=.【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．12．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右顶点分别为1A ，2A ，虚轴的两个端点分别为1B ，2B ，若四边形1122A B A B 的内切圆面积为18π，则双曲线焦距的最小值为（ ）A ．8B ．16C ．62D ．122【答案】D 【解析】 【分析】根据题意画出几何关系，由四边形1122A B A B 的内切圆面积求得半径，结合四边形1122A B A B 面积关系求得c 与ab 等量关系，再根据基本不等式求得c 的取值范围，即可确定双曲线焦距的最小值.【详解】根据题意，画出几何关系如下图所示：设四边形1122A B A B 的内切圆半径为r ，双曲线半焦距为c ， 则21,,OA a OB b == 所以2221A B a b c =+=，四边形1122A B A B 的内切圆面积为18π， 则218r ππ=，解得32OC r ==则112212122111422A B A B S A A B B A B OC =⋅⋅=⨯⋅⋅四边形， 即112243222a b c ⋅⋅=⨯⋅⋅故由基本不等式可得222a b c +=≤=，即c ≥， 当且仅当a b =时等号成立.故焦距的最小值为故选：D 【点睛】本题考查了双曲线的定义及其性质的简单应用，圆锥曲线与基本不等式综合应用，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年四川省广元市高考数学第三次适应性试卷(文科)
2021年四川省广元市高考数学第三次适应性试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|0<x<2}，B={x|x2−1<0}，则A∪B=()A. (−1,1)B. (−1,2)C. (1,2)D. (0,1)2.设i是虚数单位，则复数(2+i)(1−i)在复平面内对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知p：x(x−1)=0，q：x=1，则p是q的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件4.已知非零向量a⃗、b⃗ 满足向量a⃗+b⃗ 与向量a⃗−b⃗ 的夹角为π，那么下列结论中一定成立的是()2A. a⃗=b⃗B. |a⃗|=|b⃗ |C. a⃗⊥b⃗D. a⃗//b⃗5.已知a=log0.82，b=sin1，c=20.3，则()2A. a<b<cB. b<a<cC. a<c<bD. b<c<a6.执行如图的程序，若输入n=3，x=3，则输出y的值为()A. 4B. 13C. 40D. 1217.已知函数f(x)=ln x，则()4−xA. y =f(x)的图象关于点(2,0)对称B. y =f(x)的图象关于直线x =2对称C. f(x)在(0,4)上单调递减D. f(x)在(0,2)上单调递减，在(2,4)上单调递增8. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A. 若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥nB. 若m ⊥α，m//n ，n//β，则α⊥βC. 若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥βD. 若α//β，m ⊂α，n ⊂β，则m//n9. 数列{a n }满足a 1=1，且a n+1−a n =n +1(n ∈N +)，则数列{1a n}的前10项和为( )A. 25B. 2011C. 1120D. 5710. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x 2+y 2≤2，若将军从点A(3,0)处出发，河岸线所在直线方程为x +y =4，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为( )A. 2√5B. √17−√2C. √17D. 3−√211. 若函数f(x)=x +asinx 在[0,π4)上单调递增，则a 的取值范围是( )A. [−12,0]B. (−∞,−12]C. [−12,+∞)D. [−1,+∞)12. 设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，且AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则椭圆E 的离心率为( )A. 23B. 34C. √53 D. √74二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知等差数列{a n }满足a 2+a 5+a 8=15，则a 3+a 7= ______ ． 14. 某正三棱锥正视图如图所示，则正三棱锥的体积为______ ．15. 某产品生产厂家的市场部在对4家商城进行调研时，获得该产品售价x(元/件)和销售量y(万件)之间的四组数据如表所示．为决策产品的市场指导价，用最小二乘法求得销售量y与售价x之间的线性回归方程为ŷ=1.4x+â，若售价为8元/件，则销售量约为______ 万件．16.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)，f(x)的一个零点是π6，f(x)图象的一条对称轴是直线x=π2，下列四个结论：①φ=π4；②ω=92+3k(k∈N)；③f(−π2)=0；④直线x=−π3是f(x)图象的一条对称轴．其中所有正确结论的编号是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A+C)=8sin2B2．(1)求cos B；(2)若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．18.广元某中学调查了该校某班全部40名同学参加棋艺社团和武术社团的情况，数据如表：(单位：人)参加棋艺社团未参加棋艺社团参加武术社团810未参加武术社团715(Ⅰ)能否有95%的把握认为参加棋艺社团和参加武术社团有关？(Ⅱ)已知在参加武术社团且未参加棋艺社团的10人中，从2到11进行编号，从中抽取一人.按照先后两次抛掷一枚骰子，出现的点数之和为被抽取的序号，试求抽到6号或7号的概率．．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k0)0.100.050.025k0 2.706 3.841 5.02419.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．(Ⅰ)求证：AD⊥C1D；(Ⅱ)求三棱锥B1−AC1D的体积．20.已知函数f(x)=x3−12x2+bx+c．(1)若f(x)在(−∞,+∞)是增函数，求b的取值范围；(2)若f(x)在x=1时取得极值，且x∈[−1,2]时，f(x)<c2恒成立，求c的取值范围．21.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F．(Ⅰ)若点C(p,1)到抛物线准线的距离是它到焦点距离的√3倍，求抛物线的方程；(Ⅱ)点C(p,1)，若线段CF的中垂线交抛物线于A，B两点，求三角形ABF面积的最小值．22.在极坐标系下，知圆O：ρ=cosθ+sinθ和直线l：ρsin(θ−π4)=√22(ρ≥0,0≤θ≤2π)．(1)求圆O与直线l的直角坐标方程；(2)当θ∈(0,π)时，求圆O和直线l的公共点的极坐标．23.已知函数f(x)=|x−m|−|x+2|(m∈R)，不等式f(x−2)≥0的解集为(−∞,4]．(1)求m的值；(2)若a>0，b>0，c>3，且a+2b+c=2m，求(a+1)(b+1)(c−3)的最大值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合A={x|0<x<2}，B={x|x2−1<0}={x|−1<x<1}，A∪B={x|−1<x<2}=(−1,2)．故选：B．先分别求出集合A和B，由此能求出A∪B．本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．2.【答案】D【解析】解：因为(2+i)(1−i)=2−2i+i−i2=3−i，其对应点(3,−1)在第四象限．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z对应点的坐标得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】B【解析】解：p：解方程x(x−1)=0，得x=0或x=1，∴p是q的必要不充分条件，故选：B．求出方程x(x−1)=0的根，再结合充分必要条件的定义判断即可．本题考查充分必要条件的判断，考查一元二次方程的解法，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：由题意可得(a⃗+b⃗ )⊥(a⃗−b⃗ )，∴(a⃗+b⃗ )⋅(a⃗−b⃗ )=a⃗2−b⃗ 2=0，∴|a⃗|=|b⃗ |，故选：B．由题意可得(a⃗+b⃗ )⊥(a⃗−b⃗ )，从而有(a⃗+b⃗ )⋅(a⃗−b⃗ )=a⃗2−b⃗ 2=0，从而得到结论．本题考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，得到(a⃗+b⃗ )⋅(a⃗−b⃗ )=a⃗2−b⃗ 2=0，是解题的关键．5.【答案】A【解析】解：a=log0.82<log o.81=0，b=sin12∈(0,1)，c=20.3>20=1，所以c>b>a，故选：A．利用指数，对数的运算性质以及三角函数的性质即可求解．本题考查了数值大小的比较，涉及到指数，对数的运算性质，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：模拟程序的运行，可得n=3，x=3，y=1，i=2满足条件i≥0，执行循环体，y=4，i=1满足条件i≥0，执行循环体，y=13，i=0满足条件i≥0，执行循环体，y=40，i=−1不满足条件i≥0，退出循环，输出y的值为40．故选：C．首先分析程序框图，按照循环结构进行运算，求出满足题意时的y．本题为程序框图题，考查对循环结构的理解和认识，按照循环结构运算后得出结果，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：x4−x >0，则函数定义域为(0,4)，f(1)=ln13，f(3)=ln3，即f(3)=−f(1)，有关于点(2,0)对称的可能，进而推测f(x+2)为奇函数，关于原点对称，f(x+2)=ln x+2，定义域为(−2,2)，奇函数且单调递增，∴f(x)为f(x+2)向右平移两个单位得到，2−x则函数在(0,4)单调递增，关于点(2,0)对称，故选：A．观察函数的特点，求出定义域，在定义域内根据选项代入特殊值判断函数的对称性和单调区间，再进一步证明．本题考查函数图象平移，函数的基本性质，定义域、奇偶性、单调性、对称性，是中等题目．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的判定，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．由已知条件，利用直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，能求出结果．【解答】解：若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故A错误；∵m⊥α，m//n，∴n⊥α，又∵n//β，∴α⊥β，故B正确；若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β平行或α与β相交，故C错误；若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n或m，n异面，故D错误．故选：B．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查了“累加求和”、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用“累加求和”可得a n，再利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：∵a1=1，且a n+1−a n=n+1(n∈N+)，∴a n=(a n−a n−1)+(a n−1−a n−2)+⋯+(a2−a1)+a1=n +(n −1)+⋯+2+1 =n(n+1)2，∴1a n=2(1n −1n+1)．∴数列{1a n}的前10项和=2[(1−12)+(12−13)+⋯+(110−111)]=2×(1−111)=2011． 故选：B ．10.【答案】B【解析】解：设点A 关于直线x +y =4的对称点A′(a,b)，设军营所在区域为的圆心为C ， 根据题意，A′C −√2为最短距离，先求出A′的坐标， AA′的中点为(a+32,b 2)，直线AA′的斜率为1，故直线AA′为y =x −3，由{a+32+b2=4b =a −3，联立得 故a =4，b =1，所以A′C =√42+12=√17， 故A ′C −√2=√17−√2， 故选：B ．求出A 关于x +y =4的对称点A′，根据题意，A′C −√2为最短距离，求出即可． 考查点关于直线的对称点的计算，点到点的距离最值问题，中档题．11.【答案】D【解析】解：由题意，可知：f′(x)=1+acosx ， ∵函数f(x)=x +asinx 在[0,π4)上单调递增， ∴f′(x)=1+acosx ≥0，∴a ≥−1cosx ，∵0≤x <π4，∴√22<cosx ≤1，∴−1cosx≤−1，∴a ≥−1． 故选：D ．本题根据题意可知f′(x)在[0,π4)上大于等于0，然后对f′(x)=1+acosx ≥0进行参变量分离得到a ≥−1cosx ，再根据x ∈[0,π4)，得出−1cosx 的取值范围，即可得到a 的取值范围．本题主要考查函数求导法，参变量分离，不等式的求解等问题，本题属中档题．12.【答案】C【解析】 【分析】本题考查了椭圆的定义、标准方程及其性质，勾股定理，考查了计算能力，属于中档题．设|AB|=3m ，由AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得|AF 2|=2m ，|F 2B|=m ，|AF 1|=2a −2m ，|BF 1|=2a −m.由AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得AB ⊥AF 1，利用勾股定理即可得出． 【解答】解：设|AB|=3m ，∵AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴|AF 2|=2m ，|F 2B|=m ，∴|AF 1|=2a −2m ，|BF 1|=2a −m ． ∵AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴AB ⊥AF 1， ∴4c 2=(2m)2+(2a −2m)2，在Rt △ABF 1中(2a −m)2=(3m)2+(2a −2m)2，即m =13a ， ∴4c 2=49a 2+169a 2，∴9c 2=5a 2， ∴ca =√53． 故选C ．13.【答案】10【解析】解：∵等差数列{a n }满足a 2+a 5+a 8=15， ∴a 2+a 5+a 8=3a 5=15，解得a 5=5，∴a 3+a 7=2a 5=10． 故答案为：10．由等差数列通项公式得a 2+a 5+a 8=3a 5=15，从而a 5=5，再由a 3+a 7=2a 5，能求出结果． 本题考查等差数列的运算，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．14.【答案】12√3【解析】解：由正三棱锥的正视图知，该三棱锥是底面边长为6，高为√52−(62)2=4的三棱锥，计算该三棱锥的体积是V 三棱锥=13S 底面ℎ=13×√34×62×4=12√3．故答案为：12√3．由正三棱锥的正视图得出该三棱锥的底面三角形边长和高，由此求出三棱锥的体积． 本题考查了利用三视图判断几何体的结构特征应用问题，也考查了空间想象能力，是基础题．15.【答案】14.7【解析】解：由题意可得，x −=14×(4+4.5+5.5+6)=5， y −=14×(12+11+10+9)=10.5，因为线性回归方程y ̂=1.4x +a ̂经过样本中心(5,10.5)， 则有10.5=1.4×5+a ̂，解得a ̂=3.5， 故线性回归方程为y ̂=1.4x +3.5， 当x =8时，y ̂=1.4×8+3.5=14.7， 所以售价为8元/件，则销售量约为14.7万件． 故答案为：14.7．先计算出样本中心，代入线性回归方程，求出a ^的值，从而得到线性回归方程，将x =8代入求解即可． 本题考查了线性回归方程的求解，要掌握线性回归方程必过样本中心这一知识点，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．16.【答案】①③【解析】解：函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)，f(x)图象的一条对称轴是直线x=π2，所以f(x+π2)=f(π2−x)，由f(x)的一个零点是π6，所以f(π6+x)=−f(π6−x)，整理得T4+k⋅T2=π2−π6=π3，整理得：T=4π3(1+2k)，故ω=32+3k，故②错误；当k=1时，f(x)=sin(92x+φ)，把(π6,0)代入关系式，得到：sin(3π4+φ)=0，由于0<φ<π2，所以φ=π4，故①正确；由于f(−π3)=sin(92×π3+π4)≠±1，故④错误；由于f(−π2)=sin(−92×π2+π4)=sin(−2π)=0，故③正确；故选：①③；直接利用三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用判断①②③④的结论．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．17.【答案】解：(1)∵sin(A+C)=8sin2B2，，∴sinB=4(1−cosB)，∵sin2B+cos2B=1，∴16(1−cosB)2+cos2B=1，∴17cos2B−32cosB+15=0，∴(17cosB−15)(cosB−1)=0，∵B为三角形内角，则cosB≠1，∴cosB=1517．(2)由(1)可得，∵S△ABC=12ac·sinB=2，∴ac=172，∴由余弦定理可得：b2=a2+c2−2ac·cosB=a2+c2−2×172×1517=a2+c2−15=(a+c)2−2ac−15=36−17−15=4，∴b=2．【解析】本题考查了三角形的内角和定理，降幂公式，三角形的面积公式，余弦定理，属于中档题．(1)利用三角形的内角和定理可知A+C=π−B，再利用诱导公式化简sin(A+C)，利用降幂公式化简8sin2B2，结合sin2B+cos2B=1，求出cos B．(2)由(1)可得sinB=817，利用三角形面积公式求出ac的值，再利用余弦定理变形即可求出b．18.【答案】解：(Ⅰ)根据列联表中的数据，计算K2=40×(8×15−7×10)218×22×15×25=200297≈0.6734，因为K2<3.841，所以没有95%的把握认为参加棋艺社团和参加武术社团有关；(Ⅱ)两次抛掷一枚骰子的点数记为(x,y)，则基本事件为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)共36种，其中点数之和为6号或7号的基本事件为：(1,5)，(1,6)，(2,4)，(2,5)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(6,1)共11种，故所求的概率为P=1136．【解析】(Ⅰ)根据列联表中数据计算K2，对照附表得出结论；(Ⅱ)利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了数据分析与运算求解能力，是基础题．19.【答案】解：(Ⅰ)证明：由AB=AC，D为BC的中点，可知AD⊥BC，又AA1//CC1，AA1⊥平面ABC，∴CC1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，∴AD⊥CC1，又BC∩CC1=C，BC、CC1⊂平面BCC1B1，∴AD⊥平面BCC1B1，又C1D⊂平面BCC1B1，∴AD⊥C1D；(Ⅱ)依题意，V ABC−A1B1C1=S△ABC⋅AA1=12×2×2×4=8，∴V B1−AC1D =V ABC−A1B1C1−V A−A1B1C1−V C1−ACD−V B1−ABD=8−13×12×2×2×4−13×12×12×2×2×4−13×12×12×2×2×4=83．【解析】(Ⅰ)易知AD⊥BC，再由题意可得AD⊥CC1，由此可证得AD⊥平面BCC1B1，再由线面垂直的性质定理得证；(Ⅱ)由V B1−AC1D =V ABC−A1B1C1−V A−A1B1C1−V C1−ACD−V B1−ABD，然后直接计算求解即可．本题考查线线，线面垂直关系的判定及性质定理的运用，考查运用割补法求几何体的体积，考查推理能力及运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)f′(x)=3x2−x+b，∵f(x)在(−∞,+∞)是增函数，∴f′(x)≥0恒成立，∴△=1−12b≤0，解得b≥112．∵x ∈(−∞,+∞)时，只有b =112时，f′(16)=0，∴b 的取值范围为[112,+∞]． (2)由题意，x =1是方程3x 2−x +b =0的一个根，设另一根为x 0，则{x 0+1=13x 0×1=b 3∴{x 0=−23b =−2∴f′(x)=3x 2−x −2， 列表分析最值：∴当x ∈[−1,2]时，f(x)的最大值为f(2)=2+c ，∵对x ∈[−1,2]时，f(x)<c 2恒成立，∴c 2>2+c ，解得c <−1或c >2， 故c 的取值范围为(−∞,−1)∪(2,+∞)【解析】(1)由已知中函数f(x)=x 3−12x 2+bx +c ，我们可以求出函数的导函数，进而根据f(x)在(−∞,+∞)是增函数，则f′(x)≥0恒成立，构造关于b 的不等式，解不等式即可得到答案．(2)当f(x)在x =1时取得极值时，则x =1是方程3x 2−x +b =0的一个根，由韦达定理可以求出方程3x 2−x +b =0的另一个根，进而分析出区间[−1,2]的单调性，进而确定出函数f(x)在区间[−1,2]的最大值，进而构造关于c 的不等式，根据二次不等式恒成立问题，即可得到答案．本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，函数恒成立问题，函数在某点取得极值的条件，利用导数研究函数的极值，是函数与导数问题比较综合的应用，其中(1)的关键是构造关于b 的不等式，而(2)的关键是问题转化为关于c 的不等式恒成立问题．21.【答案】解：(I)抛物线的准线方程是x =−p 2，焦点坐标为F(p2,0)∴|p +p 2|=√3√(p −p2)2+1， ∵p >0， ∴p =√2，∴抛物线的方程为y 2=2√2x ，(II)由题意，可得线段CF 的中点坐标为M(3p 4,12)，k CF =1−0p−p 2=2p ，∴k AB =−p2，∴直线AB的方程为y−12=p2(x−3p4)，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，{y2=2px,y−12=−p2(x−3p4)，∴y2+4y−3p22−2=0，∴y1+y2=−4,y1y2=−3p22−2，∴|AB|=√1+1k AB2|y1−y2|=√1+4p×√(y1+y2)2−4y1y2=√6(p2+4)p，又∵根据两点之间距离公式，∴|CF|=√(p−p2)2+1=√p2+42，∴S△ABF=12×|AB|×12×|CF|=√68×√(p2+4)3p，令t=p2，(t>0)，则f(t)=(t+4)3t，求导f′(x)=2(t+4)2(t−2)t2，∴当0<t<2时，f′(t)<0，f(t)单调递减，当t>2时，f′(x)>0，f(t)单调递增，∴当t=2时，即p=√2时，S△ABF取得最小值，最小值为√68×√108=9√24．【解析】(I)利用点C(p,1)到抛物线准线的距离是它到焦点距离的√3倍，列出关于p的方程，即可求解；(II)根据已知条件，线段CF的中垂线交抛物线于A，B两点，求出直线AB的斜率，联立直线与抛物线方程，求出AB的长度，最后结合三角形面积公式，即可求解．本题考查了抛物线的标准方程及其应用，以及利用导数求最小值，考查了数形结合的思想方法，还考查了计算能力，属于难题．22.【答案】解：(1)圆O：ρ=cosθ+sinθ，即ρ2=ρcosθ+ρsinθ，故圆O的直角坐标方程为：x2+y2−x−y=0，直线l：ρsin(θ−π4)=√22，即ρsinθ−ρcosθ=1，则直线的直角坐标方程为：x−y+1=0．(2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程，将两方程联立得{x 2+y 2−x −y =0x −y +1=0，解得{x =0y =1．即圆O 与直线l 的在直角坐标系下的公共点为(0,1)， 转化为极坐标为(1,π2)．【解析】(1)圆O 的极坐标方程化为ρ2=ρcosθ+ρsinθ，由此能求出圆O 的直角坐标方程；直线l 的极坐标方程化为ρsinθ−ρcosθ=1，由此能求出直线l 的直角坐标方程．(2)圆O 与直线l 的直角坐标方程联立，求出圆O 与直线l 的在直角坐标系下的公共点，由此能求出圆O 和直线l 的公共点的极坐标．本题考查直线与圆的直角坐标方程的求法，考查圆与直线的公共点的极坐标的求法，涉及到参数方程、普通方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．23.【答案】解：(1)∵f(x)=|x −m|−|x +2|，∴f(x −2)=|x −m −2|−|x|≥0的解集为(−∞,4]， ∴|x −m −2|≥|x|，即(x −m −2)2≥x 2的解集为(−∞,4]， 得2(m +2)x ≤(m +2)2的解集为(−∞,4]， 故m +2>0且m +2=8， 即m =6． (2)∵m =6， ∴a +2b +c =12． 又∵a >0，b >0，c >3，∴(a +1)(b +1)(c −3)=(a +1)(2b +2)(c −3)2≤12[(a +1)+(2b +2)+(c −3)3]3 =12(a+2b+c 3)3=12×(123)3=32，当且仅当a +1=2b +2=c −3，结合a +2b +c =12， 解得a =3，b =1，c =7时，等号成立， ∴(a +1)(b +1)(c −3)的最大值为32．【解析】本题考查不等式的解法，均值不等式求最值，考查转化思想以及计算能力，是中档题．(1)通过|x−m−2|−|x|≥0的解集为(−∞,4]，转化为2(m+2)x≤(m+2)2的解集为(−∞,4]，即可得．(2)通过(a+1)(b+1)(c−3)=(a+1)(2b+2)(c−3)，利用均值不等式转化求解函数的最值即可．2。
四川省广元市2021届新高考适应性测试卷数学试题(2)含解析
四川省广元市2021届新高考适应性测试卷数学试题（2）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}{}22(,)4,(,)2xA x y x yB x y y =+===，则AB 元素个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】作出两集合所表示的点的图象，可得选项. 【详解】由题意得，集合A 表示以原点为圆心，以2为半径的圆，集合B 表示函数2xy =的图象上的点，作出两集合所表示的点的示意图如下图所示，得出两个图象有两个交点:点A 和点B ，所以两个集合有两个公共元素，所以A B 元素个数为2，故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算，关键在于作出集合所表示的点的图象，再运用数形结合的思想，属于基础题. 2．某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（ ） A ．方差 B ．中位数 C ．众数 D ．平均数【答案】A 【解析】 【分析】通过方差公式分析可知方差没有改变，中位数、众数和平均数都发生了改变. 【详解】由题可知，中位数和众数、平均数都有变化.本次和上次的月考成绩相比，成绩和平均数都增加了50，所以2)n x x -（没有改变， 根据方差公式222181[()()]8S x x x x =-++-可知方差不变.故选：A【点睛】本题主要考查样本的数字特征，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 3．关于函数()sin 6f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭的单调性，下列叙述正确的是（ ） A ．单调递增 B ．单调递减C ．先递减后递增D ．先递增后递减【答案】C 【解析】 【分析】先用诱导公式得()sin cos 63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再根据函数图像平移的方法求解即可.【详解】函数()sin cos 63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移3π个单位得到,如图所示,()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增.故选：C 【点睛】本题考查三角函数的平移与单调性的求解.属于基础题.4．袋中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和是3的倍数，则获奖，若有5人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是（ ） A ．40243B ．70243C ．80243D ．38243【答案】C 【解析】 【分析】先确定摸一次中奖的概率，5个人摸奖，相当于发生5次试验，根据每一次发生的概率，利用独立重复试验的公式得到结果． 【详解】从6个球中摸出2个，共有2615C =种结果，两个球的号码之和是3的倍数，共有(1,2),(1,5),(2,4),(3,6),(4,5)∴摸一次中奖的概率是51153=， 5个人摸奖，相当于发生5次试验，且每一次发生的概率是13， ∴有5人参与摸奖，恰好有2人获奖的概率是35222180()()33243C ⋅⋅=， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率，考查独立重复试验的概率，解题时主要是看清摸奖5次，相当于做了5次独立重复试验，利用公式做出结果，属于中档题． 5．在平行四边形ABCD 中，113,2,,D,32AB AD AP AB AQ A ====若CP C 12,Q ⋅=则ADC ∠=( ) A ．56πB ．34π C ．23π D ．2π 【答案】C 【解析】 【分析】由23CP CB BP AD AB =+=--，12CQ CD DQ AB AD =+=--,利用平面向量的数量积运算,先求得,3BAD π∠=利用平行四边形的性质可得结果.【详解】如图所示,平行四边形ABCD 中, 3,2AB AD ==,11,32AP AB AQ AD ==， 23CP CB BP AD AB ∴=+=--，12CQ CD DQ AB AD =+=--,因为12CP CQ ⋅=, 所以2132CP CQ AD AB AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22214323AB AD AB AD =++⋅222143232cos 12323BAD =⨯+⨯+⨯⨯⨯∠=, 1cos 2BAD ∠=，,3BAD π∴∠= 所以233ADC πππ∠=-=，故选C. 【点睛】本题主要考查向量的几何运算以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题. 向量的运算有两种方法：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）. 6．函数()cos 22x xxf x -=+的部分图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】根据函数解析式，可知()f x 的定义域为x ∈R ，通过定义法判断函数的奇偶性，得出()()f x f x -=，则()f x 为偶函数，可排除,C D 选项，观察,A B 选项的图象，可知代入0x =，解得()00f >，排除B 选项，即可得出答案. 【详解】 解：因为()cos 22x xxf x -=+，所以()f x 的定义域为x ∈R ， 则()()()cos cos 2222x x x xx xf x f x ----===++， ∴()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，排除,C D 选项， 且当0x =时，()1002=>f ，排除B 选项，所以A 正确. 故选：A. 【点睛】本题考查由函数解析式识别函数图象，利用函数的奇偶性和特殊值法进行排除. 7．函数2sin 1x xy x+=+的部分图象大致为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】图像分析采用排除法，利用奇偶性判断函数为奇函数，再利用特值确定函数的正负情况。
四川省广元市高三第三次高考适应性统考(三诊)数学(理)试题 Word版含答案
数学试卷(理工类)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合}04{2<-=x x x A ,}{a x x B <=,若B A ⊆,则实数a 的取值范围是( ) A ．（0,4] B. )4,(-∞ C ．),4[+∞ D ．),4(+∞2. 欧拉公式x i x e ix sin cos += (i 为虚数单位)是瑞士数学家欧拉发明的,将指数的定义域扩大到复数集,建立了三角函数和指数函数的联系,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知, i e -3π表示的复数的模为( )A ．21 B ．1 C ．23 D ．3π3. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )A ．100B ．82 C. 96 D ．1124. 已知函数)sin()(ϕω+=x A x f (A ,ω,ϕ为常数,0>A ,0>ω, πϕ<)的部分图像如图所示,则下列结论正确的是( )A ．函数)(x f 的最小正周期为2π B ．直线12π-=x 是函数)(x f 图象的一条对称轴C.函数)(x f 在区间]6,125[ππ-上单调递增 D. 将函数)(x f 的图象向左平移3π个单位,得到函数)(x g 的图象,则x x g 2sin 2)(=5. 对于四面体BCD A -,有以下命题:①若AD AC AB ==,则AB ,AC ,AD 与底面所成的角相等；②若CD AB ⊥,BD AC ⊥,则点A 在底面BCD 内的射影是BCD ∆的内心；③四面体BCD A -的四个面中最多有四个直角三角形；④若四面体BCD A -的6条棱长都为1,则它的内切球的表面积为6π.其中正确的命题是( ) A ．①③ B ．③④ C.①②③ D ．①③④6. 中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为)(mod m n N =，例如)3(mod 211=．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n 等于( )A ．21B ．22 C.23 D ．247. 若数列}{n a 是正项数列，且...21++a a n n a n +=+2，则na a a n +++ (22)1等于( )A ．n n 222+B ．n n 22+ C. n n +22 D ．)2(22n n +8. 某城市关系要好的A ，B ，C ，D 四个家庭各有两个小孩共8人，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4名小孩不考虑位置），其中A 户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有( ) A ．18种 B ．24种 C. 36种 D ．48种 9. 命题p ：已知数列}{n a 为等比数列，且满足dx x a a ⎰-=∙242654，则22log log 54=+a a x x ；命题q ：“R x ∈∀，1sin ≠x ”的否定是“R x ∈∃，1sin =x ”.则下列四个命题：q p ⌝∨⌝、q p ∧、q p ∧⌝、q p ⌝∧中，正确命题的个数为( ) A ．4 B ．3 C.2 D ．110.已知定义在R 上的偶函数)(x f ，满足)()4(x f x f =+，且]2,0[∈x 时，x x x f ππsin 2sin )(+=，则方程0lg )(=-x x f 在区间[0，10]上根的个数是（ )A ． 20B ．19 C.18 D ．1711. 抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，其准线经过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点，点M 为这两条曲线的一个交点，且p MF =，则双曲线的离心率为( )A ．2B ．22 C.212+ D ．12+ 12. 已知函数23ln )(-+=x x x x f ，射线l ：)1(≥-=x k kx y .若射线l 恒在函数)(x f y =图象的下方，则整数k 的最大值为( )A ．4B ．5 C. 6 D ．7第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 6)12)(121(xx x --的展开式中x 的系数为 ．（用数字作答）14.若实数x ，y 满足不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-+≤+-≥≥,03,01,0,0y x y x y x 则x y 1+的最小值为 ．15.在[-2,2]上随机抽取两个实数a ，b ，则事件“直线1=+y x 与圆2)()(22=-+-b y a x 相交”发生的概率为 ．16.在平面内，定点A ，B ，C ，D =2==，∙=∙0=∙=，动点P ，M 1=，PM =的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且bc a c a 23)(3222+=+. （Ⅰ）若C B cos 2sin =，求C tan 的大小；（Ⅱ）若2=a ，ABC ∆的面积22=S 且c b >，求b ，c . 18. 质监部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中分别各随机抽取100桶检测某项质量指标，由检测结果得到如下的频率分布直方图：②若Z ),(~2σμN ，则6826.0)(=+<<-σμσμZ P ，9544.0)22(=+<<-σμσμZ P ．19. 如图，四边形ABCD 是梯形.四边形CDEF 是矩形.且平面⊥ABCD 平面CDEF ，︒=∠90BAD ，CD AB //，CD DE AD AB 21===，M 是线段AE 上的动点.（Ⅰ）试确定点M 的位置，使//AC 平面DMF ，并说明理由；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求平面DMF 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值.20. 已知ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且点)01(，-A ，）（0,1B ，动点C 满足λ=+cba （λ为常数且1>λ），动点C 的轨迹为曲线E . （Ⅰ）试求曲线E 的方程； （Ⅱ）当3=λ时，过定点）（0,1B 的直线与曲线E 交于P ，Q 两点，N 是曲线E 上不同于P ，Q 的动点，试求NPQ ∆面积的最大值.21. 已知函数x x e x f xcos sin )(-=，xe x x x g 2cos )(-=，其中e 是自然常数.（Ⅰ）判断函数)(x f y =在)2,0(π内零点的个数，并说明理由；（Ⅱ）]2,0[1π∈∀x ，]2,0[2π∈∃x ，使得不等式m x g x f ≥+)()(21成立，试求实数m 的取值范围；（Ⅲ）若1->x ，求证：0)()(>-x g x f .请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C ：⎩⎨⎧+-=+-=ααsin 1,cos 2y x （α是参数）．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：03cos =-θρ．点P 是曲线1C 上的动点.（Ⅰ）求点P 到曲线2C 的距离的最大值； （Ⅱ）若曲线3C ：4πθ=交曲线1C 于A ，B 两点，求1ABC ∆的面积.23.选修4-5：不等式选讲 已知a x x f -=)(，其中1>a .（Ⅰ）当2=a 时，求不等式44)(--≥x x f 的解集；（Ⅱ）已知关于x 的不等式2)(2)2(≤-+x f a x f 的解集为}21{≤≤x x ，求a 的值.数学答案（理）一、选择题1-5: CBABD 6-10:CABCB 11、12：DB二、填空题13.-80 14.3 15.1611 16. 449 三、解答题17.解：（Ⅰ）∵bc a c b 23)(3222+=+，∴312222=-+bc a c b ， ∴31cos =A ，∴322sin =A ，∵C B cos 2sin =，∴C C A cos 2)sin(=+，∴C C C cos 2sin 31cos 322=+， ∴C C sin 31cos 32=， ∴2tan =C ；（Ⅱ）∵ABC 的面积22=S ，∴22sin 21=A bc ，∴23=bc ① ∵2=a ，∴由余弦定理可得312422⨯-+=bc c b ， ∴522=+c b ②∵c b >，∴联立①②可得223=b ，22=c . 18. 解：（Ⅰ）015.0=a ，2221S S >.（Ⅱ）设事件A ：在甲种食用油中随机抽取1桶，其质量指标不大于20， 事件B ：在乙种食用油中随机抽取1桶，其质量指标不大于20，事件C ：在甲、乙两种食用油中随机抽取1桶，恰有一个桶的质量指标不大于20，且另一个不大于20，则3.010.020.0)(=+=A P ，3.020.010.0)(=+=B P ， ∴+=)()()(B P A P C P 42.0)()(=B P A P ，（Ⅲ）计算得：5.26=x ，由条件得)75.142,5.26(~N Z ，从而6826.0)95.115.2695.115.26(=+<<-Z P ，∴从乙种食用油中随机抽取10桶，其质量指标值位于（14.55,38.45）的概率是0.6826， 根据题意得)6826.0,10(~=B X ， ∴826.66826.010=⨯=EX .19. 解：（Ⅰ）当M 是AE 线段的中点时，//AC 平面DMF ，证明如下：连接CE ，交DF 于N ，连接MN ，由于M 、N 分别是AE 、CE 的中点，所以AC MN //， 由于⊂MN 平面DMF ，又AC 不包含于平面DMF ， ∴//AC 平面DMF .（Ⅱ）方法一：过点D 作平面DMF 与平面ABCD 的交线l ，∵//AC 平面DMF ，∴//AC l ， 过点M 作AD MG ⊥于G ，∵平面⊥ABCD 平面CDEF ，CD DE ⊥， ∴⊥DE 平面ABCD ，∴平面⊥ADE 平面ABCD ， ∴⊥MG 平面ABCD ，过G 作l GH ⊥于l GH ⊥，连接MH ，则直线⊥l 平面MGH ，∴MH l ⊥， 设2=AB ，则1=DG ，=∠=GDH DG GH sin 52521sin =⨯=∠DAC DG ，121==DE MG ，则531)52(22=+=MH ， ∴325352cos =⨯==∠MH GH MHG ， ∴所求二面角的余弦值为32. 方法二：∵平面⊥ABCD 平面CDEF ，CD DE ⊥，∴⊥DE 平面ABCD ，可知AD 、CD 、DE 两两垂直， 分别以、、的方向为x ，y ，z 轴， 建立空间直角坐标系xyz O -.设2=AB ，则)101(，，M ，)240(，，F ，)101(，，=，)240(，，=， 设平面DMF 的法向量),,(1z y x n =， 则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+011n n ，∴⎩⎨⎧=+=+0240z y z x ，令1=y ，得平面MDF 的一个法向量)2,1,2(-=n ， 取平面ABCD 的法向量)1,0,0(=， 由3214142,cos =⨯++->=<，∴平面MDF 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值为32. 20. 解：（Ⅰ）在ABC ∆中，因为2=AB ，所以λ2=+CB CA （定值），且22>λ， 所以动点C 的轨迹P 为椭圆（除去A 、B 与共线的两个点）.设其标准方程为)0(12222>>=+b a b y a x ，所以12222=--λλb a ，所以求曲线的轨迹方程为112222=-+λλy x （λ±≠x ），（Ⅱ）当3=λ时，椭圆方程为)3(12322±≠=+x y x . ①过定点B 的直线与x 轴重合时，NPQ ∆面积无最大值， ②过定点B 的直线不与x 轴重合时,设l 方程为：1+=my x ，),(11y x P 、),(22y x Q ， 若0=m ，因为3±≠x ，故此时NPQ ∆面积无最大值. 根据椭圆的几何性质，不妨设0>m ，联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=123122y x my x 消去x 整理得：044)23(22=-++my y m ，所以⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=+221221234234m y y m m y y 则2121y y m PQ -+=2223)1(34m m ++=. 因为当直线l 与平行且与椭圆相切时，切点N 到直线l 的距离最大， 设切线l ：)3(<+=n n my x ，联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=12322y x nmy x 消去x 整理得0624)23(222=-+++n nmy y m ， 由+-=∆3(4)4(2mn 0)62)(222=-n m ，解得22232m n +-)3(-<n . 又点N 到直线l 的距离112+-=m n d ，所以2223)1(342121m m d PQ S NPQ++⨯==∆22223113211m m n m n ++-=+-⨯， 所以22222)23()1()1(12m m n S ++-=.将2223m n +=代入得：)11()11(622nn S --=，令)0,33(1-∈=n t ，设函数)1)(1(6)(22t t t f --=，则)12()1(12)(2+--='t t t f ， 因为当)21,33(--∈t 时，0)(>t f ，当)0,21(-∈t 时，0)(<t f ， 所以)(t f 在)21,33(--上是增函数，在)0,21(-上是减函数，所以881)21()(max =-=f t f . 故212=m 时，NPQ ∆面积最大值是429. 所以，当l 的方程为122+±=y x 时，NPQ ∆的面积最大，最大值为429. 21. 解：（Ⅰ）函数)(x f y =在)2,0(π上的零点的各数为1，理由如下： 因为x x e x f x cos sin )(-=，所以x x e x e x f x x sin cos sin )(++=. 因为20π<<x ，所以0)(>x f .所以函数)(x f 在)2,0(π上是单调递增函数.因为01)0(<-=f ，0)2(2>=ππe f ， 根据函数零点存在性定理得函数)(x f y =在)2,0(π上的零点的个数为1.（Ⅱ）因为不等式m x g x f ≥+)()(21等价于)()(21x g m x f -≥， 所以]2,0[1π∈∇x ，]2,0[2π∈∃x ，使得不等式m x g x f ≥+)()(21成立，等价于 max 2max 1))(()(x g m x f -≥，即max 2max 1)()(x g m x f -≥. 当]2,0[π∈x 时，0sin cos sin )(>++=x x e x e x f x x ，故)(x f 在区间]2,0[π上单调递增，所以0=x 时，)(x f 取得最小值-1， 又x e x x x x g 2sin cos )(--='，由于1cos 0≤≤x ，0sin ≥x x ，22≥x e ，所以0)(<'x g ，故)(x g 在区间]2,0[π上单调递增.因此，0=x 时，)(x g 取得最大值2-. 所以)2(1--≥-m ，所以12--≤m ，所以实数m 的取值范围是]21,(---∞.（Ⅲ）当0>x 时，要证0)()(>-x g x f ，只要证)()(x g x f >， 只要证>-x x e x cos sin xe x x 2cos -， 只要证x x x e x cos )1()2(sin +>+， 由于02sin >+x ，01>+x 只要证2sin cos 1+>+x x x e x . 下面证明1->x 时，不等式2sin cos 1+>+x x x e x 成立. 令)1(1)(->+=x x e x h x ，则22)1()1()1()(+=+-+='x xe x e x e x h x x x ， 当)0,1(-∈x 时，0)(<'x h ，)(x h 是单调递减；当),0(+∞∈x 时，0)(>'x h ，)(x h 是单调递增.所以当且仅当0=x 时，)(x h 取得极小值也就是最小值为1. 令2sin cos +=x x k ，其可看作点)cos ,(sin x x A 与点)0,2(-B 连线的斜率， 所以直线AB 的方程为：)2(+=x k y ，由于点A 在圆122=+y x 上，所以直线AB 与圆122=+y x 相交或相切， 当直线AB 与圆122=+y x 相切且切点在第二象限时，当直线AB 取得斜率k 的最大值为1.故0=x 时，)0(122h k =<=；0≠x 时，k x h ≥>1)(. 综上所述，当1->x 时，0)()(>-x g x f 成立.22. 略23. 解：（Ⅰ）当2=a 时，⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<≤+-=-+4,6242,22,624)(x x x x x x x f当2≤x 时，由44)(--≥x x f 得462≥+-x ，解得1≤x ； 当42<<x 时，44)(--≥x x f 无解；当4≥x 时，由44)(--≥x x f 得，解得5≥x ； 所以44)(--≥x x f 的解集为1{≤x x 或}5≥x .（Ⅱ）)(2)2()(x f a x f x h -+=记，则⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤-=a x a a x a x x a x h ,20,240,2)( 由2)(≤x h ，解得2121+≤≤-a x a ， 又已知2)(≤x h 的解集为}21{≤≤x x ， 所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=-221121a a 于是3=a .。
2021届四川省凉山州高三第三次诊断性检测数学(理科)试卷(解析版)
2021年四川省凉山州高考数学三诊试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分.）1．已知集合A＝{（x，y）|x＝1}，B＝{（x，y）|y＝x+1}，则A∩B＝（）A．（1，2）B．{（1，2）} C．[1，+∞）D．{1}2．若复数z满足z•i＝|﹣1﹣i|，则z＝（）A．1﹣i B．1+i C．﹣D．3．直线l1：ax+y﹣1＝0，l2：（a﹣1）x﹣2y+1＝0，则“a＝2”是“l1⊥l2”的（）条件A．必要不充分B．充分不必要C．充要D．既不充分也不必要4．已知定义在R上的函数f（x）满足：∀x，y∈R，f（x+y）＝f（x）•f（y），且f（1）＝2，则f（0）+f（2）＝（）A．4 B．5 C．6 D．75．已知三条不重合的直线m，n，l，三个不重合的平面α，β，γ，下列命题中正确的是（）A．⇒m∥n B．⇒n∥αC．⇒α∥βD．⇒α∥β6．等差数列{a n}，S n为其前n项和，a1＝dx，S6＝36，记数列{（﹣1）n a n}的前n项和为T n，则T10+T21＝（）A．﹣11 B．﹣9 C．﹣13 D．﹣77．我国古代很早就有对等差数列和等比数列的研究成果．北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》首创的“隙积术”，就是关于高阶等差数列求和的问题．现有一物品堆，从上向下数，第一层有1个货物，第二层比第一层多2个，第三层比第二层多3个，…，以此类推．记第n层货物的个数为a n，则数列{}的前2021项和为（）A．B．C．D．8．定义运算＝a1a4﹣a2a3，设f（x）＝（ω＞0），若f（x）的图象与直线y＝﹣2相交，且交点中两点间的最短距离为π，则满足f（m+x）＝f（m﹣x）的一个m的值为（）A．B．C．D．9．已知O为坐标原点，P为⊙C：（x﹣a）2+（y﹣1）2＝2（a＞0）上的动点，直线l：x+y﹣1＝0，若P到l的最小距离为2，则a的值为（）A．2 B．4 C．6 D．810．已知曲线C：2x2﹣2y2＝1，过它的右焦点F作直线交曲线C于M、N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于点P，可证明是一个定值m，则m＝（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）＝，记a＝f（log32），b＝f（log53），c＝f（ln），则（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a12．已知函数f（x）＝e x﹣﹣+a，若曲线y＝f（x）在点（b，f（b））处与直线y＝0相切，则a＝（）A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣1或1二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若（x﹣）n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项为.（用数字作答）14．樱花如约而至，武汉疫后重生．“相约春天赏樱花”的诺言今年三月在武汉大学履行．武汉大学邀请去年援鄂的广大医护人员前来赏樱．某医院计划在援鄂的3名医生和5名护士（包含甲医生和乙护士）任选3名作为第一批人员前去赏樱，则甲医生被选中且乙护士未被选中的概率为．15．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，其准线l与x轴的交点为K，点P（x，y）（y＞0）为C上一点，当最大时，直线KP的斜率为．16．如图，P为△ABC内任意一点，角A，B，C的对边分别为a，b，c．总有优美等式S△+S△PAC+S△PAB＝成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理．现PBC有以下命题：（1）若P是△ABC的重心，则有++＝；（2）若a+b+c＝成立，则P是△ABC的内心；（3）若＝+，则S△ABP：S△ABC＝2：5；（4）若P是△ABC的外心，A＝，＝m+n，则m+n∈[﹣，1）．则正确的命题有．三、解答题：（解答过程应写出必要的文字说明，解答步骤．共70分）（一）必考题：每题12分，共60分．17．在钝角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且sin C﹣sin（A﹣B）＝4sin2A．（1）求的值；（2）若△ABC的外接圆半径为，C＝，求△ABC的面积．18．某品牌汽车4S店对2020年该市前几个月的汽车成交量进行统计，用y表示2020年第x月份该店汽车成交量，得到统计表格如表：x i 1 2 3 4 5 6 7 8 u i14 12 20 20 22 24 30 26 （1）求出y关于x的线性回归方程＝x+，并预测该店9月份的成交量；（，精确到整数）（2）该店为增加业绩，决定针对汽车成交客户开展抽奖活动，若抽中“一等奖”获5千元奖金；抽中“二等奖”获2千元奖金；抽中“祝您平安”则没有奖金．已知一次抽奖活动中获得“二等奖”的概率为，没有获得奖金的概率为．现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额X（千元）分布列及数学期望．参考数据及公式：x i y i＝850，x i2＝204.＝，＝﹣b．19．如图，在圆锥PO中，AC为⊙O的直径，点B在上，OD∥BC，∠CAB＝．（1）证明：平面PAB⊥平面POD；（2）若直线PA与底面所成角的大小为，E是PD上一点，且OE⊥PD，求二面角E ﹣AC﹣B的余弦值．20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的两个焦点与短轴的两个顶点围成一个正方形，且P（2，1）在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）A，B是椭圆上异于P的两点，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，点Q（8，3）到直线AB的距离为d，若k1+k2＝1，求以d的最大值为直径的圆的面积．21．已知函数f（x）＝x3+x2+ax+a．（1）若曲线y＝f（x）在点（0，a）处的切线l与曲线x2+y2＝相切，求a的值；（2）若函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围．（二）选做题：（共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分．）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（）＝．（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）在极坐标系中射线θ＝（ρ≥0）与曲线C1交于点A，射线θ＝（ρ≥0）与曲线C2交于点B，求△AOB的面积．[选修4-5：不等式选讲]（10分23．函数f（x）＝|2x﹣1|+|x﹣2|+1．（1）若方程f（x）＝m无实根，求实数m的取值范围；（2）记f（x）的最小值为n．若a，b＞0，且5a+5b＝2n，证明：a+4b﹣9ab≥0．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A＝{（x，y）|x＝1}，B＝{（x，y）|y＝x+1}，则A∩B＝（）A．（1，2）B．{（1，2）} C．[1，+∞）D．{1}解：因为集合A＝{（x，y）|x＝1}，B＝{（x，y）|y＝x+1}，直线x＝1与直线y＝x+1的交点为（1，2），所以A∩B＝{（1，2）}．故选：B．2．若复数z满足z•i＝|﹣1﹣i|，则z＝（）A．1﹣i B．1+i C．﹣D．解：由，得z＝．故选：C．3．直线l1：ax+y﹣1＝0，l2：（a﹣1）x﹣2y+1＝0，则“a＝2”是“l1⊥l2”的（）条件A．必要不充分B．充分不必要C．充要D．既不充分也不必要解：若l1⊥l2，则a（a﹣1）﹣2＝0，∴a2﹣a﹣2＝0，∴a＝2或a＝﹣1，∴a＝2是l1⊥l2的充分不必要条件．故选：B．4．已知定义在R上的函数f（x）满足：∀x，y∈R，f（x+y）＝f（x）•f（y），且f（1）＝2，则f（0）+f（2）＝（）A．4 B．5 C．6 D．7解：因为∀x，y∈R，f（x+y）＝f（x）•f（y），且f（1）＝2，令x＝0，y＝1，则有f（1）＝f（1）f（0），又f（1）＝2，则f（0）＝1，令x＝y＝1，则有f（2）＝f（1）f（1）＝2×2＝4，故f（0）+f（2）＝5．故选：B．5．已知三条不重合的直线m，n，l，三个不重合的平面α，β，γ，下列命题中正确的是（）A．⇒m∥n B．⇒n∥αC．⇒α∥βD．⇒α∥β解：A．m⊥l，n⊥l，则m与n平行、相交或为异面直线三种情况都有可能，因此不正确；B．l⊥α，l⊥n，则n∥α或n⊂α，因此不正确；C．α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或α与β相交，因此不正确；D．m⊥α，m⊥β，可得α∥β，因此正确．故选：D．6．等差数列{a n}，S n为其前n项和，a1＝dx，S6＝36，记数列{（﹣1）n a n}的前n项和为T n，则T10+T21＝（）A．﹣11 B．﹣9 C．﹣13 D．﹣7解：等差数列{a n}，S n为其前n项和，a1＝dx＝lnx＝1，S6＝36，∴＝36，解得d＝2，记数列{（﹣1）n a n}的前n项和为T n，则（﹣1）n a n＝（﹣1）n[1+2（n﹣1）]＝（﹣1）n（2n﹣1），T10+T21＝（﹣1+3﹣5+7﹣9+11﹣13+15﹣17+19）+（﹣1+3﹣5+7﹣9+11﹣13+15﹣17+19﹣21+23﹣25+27﹣29+31﹣33+35﹣37+39﹣41）＝5×2+10×2﹣41＝﹣11．故选：A．7．我国古代很早就有对等差数列和等比数列的研究成果．北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》首创的“隙积术”，就是关于高阶等差数列求和的问题．现有一物品堆，从上向下数，第一层有1个货物，第二层比第一层多2个，第三层比第二层多3个，…，以此类推．记第n层货物的个数为a n，则数列{}的前2021项和为（）A．B．C．D．解：由题意得，a1＝1，a n﹣a n﹣1＝n（n≥2），∴a n＝a n﹣a n﹣1+a n﹣1﹣a n﹣2+……+a2﹣a1+a1＝n+n﹣1+……+3+2+1＝（n＝1时也成立）．∴＝＝2（﹣），∴数列{}的前2021项和＝2（1﹣+﹣+……+﹣+﹣）＝2（1﹣）＝．故选：B．8．定义运算＝a1a4﹣a2a3，设f（x）＝（ω＞0），若f（x）的图象与直线y＝﹣2相交，且交点中两点间的最短距离为π，则满足f（m+x）＝f（m﹣x）的一个m的值为（）A．B．C．D．解：，根据题意，可知f（x）的周期为π，∴，解得ω＝1，∴，由，得，∴f（x）关于对称，∵f（m+x）＝f（m﹣x），∴f（x）关于x＝m对称，∴满足f（m+x）＝f（m﹣x）的一个m的值为．故选：C．9．已知O为坐标原点，P为⊙C：（x﹣a）2+（y﹣1）2＝2（a＞0）上的动点，直线l：x+y ﹣1＝0，若P到l的最小距离为2，则a的值为（）A．2 B．4 C．6 D．8解：圆C：（x﹣a）2+（y﹣1）2＝2（a＞0）的圆心坐标C（a，1），半径为，圆心到直线l：x+y﹣1＝0的距离d＝，要使P到l的最小距离为2，则＝3，即|a|＝6，又a＞0，∴a＝6．故选：C．10．已知曲线C：2x2﹣2y2＝1，过它的右焦点F作直线交曲线C于M、N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于点P，可证明是一个定值m，则m＝（）A．B．C．D．解：由C：2x2﹣2y2＝1，得，则c＝1．∴F（1，0），设MN：x＝ty+1，联立，得（2t2﹣2）y2+4ty+1＝0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，|MN|＝＝＝＝．，，则MN的中点坐标为（），则MN的垂直平分线方程为，令y＝0，可得，则|PF|＝||＝，∴＝，即m＝．故选：A．11．已知函数f（x）＝，记a＝f（log32），b＝f（log53），c＝f（ln），则（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a解：f（x）为偶函数，x＞0时，，，∴0＜x≤1时，f′（x）≥0，∴f（x）在（0，1]上单调递增，∵，，c＝，∴log32＜log53＜1，∴f（log32）＜f（log53）＜f（1），∴c＞b＞a．故选：D．12．已知函数f（x）＝e x﹣﹣+a，若曲线y＝f（x）在点（b，f（b））处与直线y＝0相切，则a＝（）A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣1或1解：由f（x）＝e x﹣﹣+a，得f'（x）＝＝，因为曲线y＝f（x）在点（b，f（b））处与直线y＝0相切，则f'（b）＝0，即＝0，所以，两边同取以e为底得对数，可得ln（e b•b）＝ln（），即lne b+lnb＝ln+ln（ln），所以b+lnb＝ln+ln（ln），设g（x）＝x+lnx，g'（x）＝1+＞0，函数在（0，+∞）上单调递增，所以b＝ln，即b＝﹣lnb，又f（b）＝0，所以f（b）＝＝0，解得a＝﹣1．故选：C．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若（x﹣）n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项为.（用数字作答）解：∵（x﹣）n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，∴n＝8，故展开式的通项公式T r+1＝••x8﹣2r，令8﹣2r＝0，求得r＝4，可得展开式中常数项为•＝，故答案为：．14．樱花如约而至，武汉疫后重生．“相约春天赏樱花”的诺言今年三月在武汉大学履行．武汉大学邀请去年援鄂的广大医护人员前来赏樱．某医院计划在援鄂的3名医生和5名护士（包含甲医生和乙护士）任选3名作为第一批人员前去赏樱，则甲医生被选中且乙护士未被选中的概率为．解：某医院计划在援鄂的3名医生和5名护士（包含甲医生和乙护士）任选3名作为第一批人员前去赏樱，基本事件总数n＝＝56，甲医生被选中且乙护士未被选中包含的基本事件个数m＝＝15，则甲医生被选中且乙护士未被选中的概率为P＝＝．故答案为：．15．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，其准线l与x轴的交点为K，点P（x，y）（y＞0）为C上一点，当最大时，直线KP的斜率为1．解：由题意可得，焦点F（1，0），准线方程为x＝﹣1，K（﹣1，0），过点P作PM垂直于准线l，垂足为M，＝＝（（0≤∠PKF＜））．当最大时，即cos∠PKF的值最小，等价于求tan∠PKF的值最大，则tan∠PKF＝＝＝＝1，故cos∠PKF≥．当且仅当，即y＝2时等号成立，此时x＝1，所以当最大时，点P的坐标为（1，2），此时直线KP的斜率为＝1．故答案为：1．16．如图，P为△ABC内任意一点，角A，B，C的对边分别为a，b，c．总有优美等式S△+S△PAC+S△PAB＝成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理．现PBC有以下命题：（1）若P是△ABC的重心，则有++＝；（2）若a+b+c＝成立，则P是△ABC的内心；（3）若＝+，则S△ABP：S△ABC＝2：5；（4）若P是△ABC的外心，A＝，＝m+n，则m+n∈[﹣，1）．则正确的命题有（1）（2）（4）．解：（1）∵P是△ABC的重心，∴S△PBC＝S△PAC＝S△PAB＝S△ABC，∵S△PBC+S△PAC+S＝成立，∴S△ABC（++）＝，∴++）＝，因此（1）正确．△PAB（2）若a+b+c＝成立，又S△PBC+S△PAC+S△PAB＝成立，∴S△PBC：S△PAC：S△PAB＝a：b：c成立，∴S△PBC：S△PAC：S△PAB＝ar：rb：rc成立，∴点P为△ABC的内心，因此（2）正确．（3）若＝+，则+（﹣）+（﹣）＝，化为：2+2+＝，∵S△PBC+S△PAC+S△PAB＝成立，∴S△ABP：S△ABC＝1：5，因此不正确；（4）若P是△ABC的外心，A＝，∴∠BPC＝90°，∴PB⊥PC，∵＝m+n，则＝m2+n2，∴m2+n2＝1，又m+n＜1，（m+n）2≤2（m2+n2），∴﹣≤m+n＜1，∴m+n∈[﹣，1）．故答案为：（1）（2）（4）．三、解答题：（解答过程应写出必要的文字说明，解答步骤．共70分）（一）必考题：每题12分，共60分．17．在钝角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且sin C﹣sin（A﹣B）＝4sin2A．（1）求的值；（2）若△ABC的外接圆半径为，C＝，求△ABC的面积．解：（1）∵sin C﹣sin（A﹣B）＝4sin2A；A+B+C＝π，∴sin（A+B）﹣sin（A﹣B）＝4sin2A，即2cos A sin B＝8sin A cos A．又△ABC为钝角三角形，∴cos A≠0．∴2sin B＝8sin A，即sin B＝4sin A．∴根据正弦定理，得b＝4a，即＝4．（2）由正弦定理，得c＝2R sin C＝，又根据余弦定理，得c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝a2+（4a）2﹣2a•4a•cos＝13a2＝13．所以a＝1，b＝4，则S△ABC＝ab sin C＝×1×4×＝．18．某品牌汽车4S店对2020年该市前几个月的汽车成交量进行统计，用y表示2020年第x月份该店汽车成交量，得到统计表格如表：x i 1 2 3 4 5 6 7 8 u i14 12 20 20 22 24 30 26 （1）求出y关于x的线性回归方程＝x+，并预测该店9月份的成交量；（，精确到整数）（2）该店为增加业绩，决定针对汽车成交客户开展抽奖活动，若抽中“一等奖”获5千元奖金；抽中“二等奖”获2千元奖金；抽中“祝您平安”则没有奖金．已知一次抽奖活动中获得“二等奖”的概率为，没有获得奖金的概率为．现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额X（千元）分布列及数学期望．参考数据及公式：x i y i＝850，x i2＝204.＝，＝﹣b．解：（1）由题意可得，，，所以＝＝，所以＝﹣b＝，所以y关于x的线性回归方程为，当x＝9时，，故预测该店9月份的成交量为30辆；（2）由题意可得，获得“一等奖”的概率为，所以X的可能取值为0，2，3，5，7，10，所以P（X＝0）＝×＝，P（X＝2）＝+×＝，P（X＝3）＝×＝，P（X＝5）＝+×＝，P（X＝7）＝+＝，P（X＝10）＝＝，则X的分布列为：X0 2 4 5 7 10P所以E（X）＝0×+2×+4×+5×+7×+10×＝．19．如图，在圆锥PO中，AC为⊙O的直径，点B在上，OD∥BC，∠CAB＝．（1）证明：平面PAB⊥平面POD；（2）若直线PA与底面所成角的大小为，E是PD上一点，且OE⊥PD，求二面角E ﹣AC﹣B的余弦值．【解答】（1）证明：因为在圆锥PO中，PO⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，所以PO⊥AB，又AC为圆O的直径且点B在上，所以AB⊥BC，又因为OD∥BC，所以AB⊥OD，又PO∩DO＝O，PO，DO⊂平面POD，所以AB⊥平面POD，又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面POD；（2）解：设AC＝4，因为直线PA与底面所成角的大小为，所以PO＝AO＝2，又∠CAB＝，所以BC＝2，AB＝2，故以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则D（0，0，0），，又点E是PD上一点，且OE⊥PD，，所以，设平面EAC的法向量为，则，即，令y＝1，则，故，又平面ABC的法向量为，所以＝，故二面角E﹣AC﹣B的余弦值为．20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的两个焦点与短轴的两个顶点围成一个正方形，且P（2，1）在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）A，B是椭圆上异于P的两点，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，点Q（8，3）到直线AB的距离为d，若k1+k2＝1，求以d的最大值为直径的圆的面积．解：（1）由题意可知，b＝c，a＝b，所以椭圆的方程为，因为点P（2，1）在椭圆上，所以，解得b2＝3，所以椭圆的方程；（2）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＝m，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，可得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣6＝0，则△＝8（6k2﹣m2+3），且，因为直线PA，PB的斜率分别为k1，k2且k1+k2＝1，所以，即y1x2+x1y2+（x1+x2）﹣2（y1+y2）﹣x1x2＝0，所以，所以（m+3）（2k+m﹣1）＝0，故m＝﹣3或m＝1﹣2k，当m＝1﹣2k时，直线AB的方程为y＝k（x﹣2）+1，恒过点P（2，1），不符合题意；当m＝3时，由△＝8（6k2﹣m2+3）＞0，可得k＞1或k＜﹣1，当直线AB的斜率不存在时，直线AB过点C（0，﹣3）时，不妨设A（0，﹣），B（0，），，所以当直线AB恒过定点C（0，﹣3）时，则Q（8，3）到直线AB的距离d≤|QC|＝10，当AB⊥CD时等号成立，此时，故以d的最大值为直径的圆的面积＝25π．21．已知函数f（x）＝x3+x2+ax+a．（1）若曲线y＝f（x）在点（0，a）处的切线l与曲线x2+y2＝相切，求a的值；（2）若函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围．解：（1）∵f′（x）＝x2+2x+a，f′（0）＝a，∴在（0，a）处的切线方程为ax﹣y+a＝0，又切线与x2+y2＝1相切，∴，解得a＝±1；（2）由f′（x）＝x2+2x+a，（i）当△＝4﹣4a≤0，即a≥1时，f′（x）≥0恒成立，f（x）在R上单调递增，满足f（x）与c轴有且只有一个交点；（ii）当△＝4﹣4a＞0，即a＜1时，f′（x）＝0有两个不同的实根，设两根为x1，x2（x1＜x2），则x1+x2＝﹣2，x1x2＝a，由f′（x）＞0得x＜x1或x＞x2，由f′（x）＜0得x1＜x＜x2，∴f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）单调递增，在（x1，x2）单调递减，y＝f（x）与x轴有且只有一个交点等价于f（x1）f（x2）＞0，又f′（x）＝x2+2x+a＝0，则x2＝﹣a﹣2x，∴＝＝，∴＝＝，∴0＜a＜1．综上所述，a的取值范围为（0，+∞）．（二）选做题：（共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分．）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（）＝．（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）在极坐标系中射线θ＝（ρ≥0）与曲线C1交于点A，射线θ＝（ρ≥0）与曲线C2交于点B，求△AOB的面积．解：（1）曲线C1的参数方程为（t为参数），消去参数得：（y ≥0）．根据转换为极坐标方程为ρ2（2﹣cos2θ）﹣3＝0（θ∈[0，π]），曲线C2的极坐标方程为ρsin（）＝，根据，转换为直角坐标方程为．（2）极坐标系中射线θ＝（ρ≥0）与曲线C1交于点A，所以，解得，所以A（）．射线θ＝（ρ≥0）与曲线C2交于点B，所以，解得，所以B（），所以．[选修4-5：不等式选讲]（10分23．函数f（x）＝|2x﹣1|+|x﹣2|+1．（1）若方程f（x）＝m无实根，求实数m的取值范围；（2）记f（x）的最小值为n．若a，b＞0，且5a+5b＝2n，证明：a+4b﹣9ab≥0．解：（1）f（x）＝|2x﹣1|+|x﹣2|+1＝，作出函数的图象如图：由函数图象可知，，要使f（x）＝m无实数根，则m＜．∴实数m的取值范围为（﹣∞，）；证明：（2）由（1）可知，n＝，∴5a+5b＝5，a+b＝1，即b＝1﹣a，由，得0＜a＜1．∴a+4b﹣9ab＝a+4（1﹣a）﹣9a（1﹣a）＝9a2﹣12a+4，当a＝时等号成立．∴a+4b﹣9ab≥0．。
四川省广元市2021届新高考数学仿真第三次备考试题含解析
四川省广元市2021届新高考数学仿真第三次备考试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知等差数列{}n a 中，51077,0a a a =+=，则34a a +=（ ） A ．20 B ．18C ．16D ．14【答案】A 【解析】 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ,再利用基本量法与题中给的条件列式求解首项与公差,进而求得34a a +即可. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d .由51077,0a a a =⎧⎨+=⎩得11147,960a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩,解得115,2a d =⎧⎨=-⎩.所以341252155(2)20a a a d +=+=⨯+⨯-=.故选：A 【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量求解,属于基础题.2．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若290ABF ∠=︒，且2ABF 的三边长2BF ，AB ，2AF 成等差数列，则C 的离心率为（ ） A ．12B．C．2D【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质设出2BF ，AB ，2AF ，利用勾股定理列方程，结合椭圆的定义，求得21BF a BF ==.再利用勾股定理建立,a c 的关系式，化简后求得离心率.【详解】由已知2BF ，AB ，2AF 成等差数列，设2BF x =，AB x d =+，22AF x d =+.由于290ABF ∠=︒，据勾股定理有22222BF AB AF +=，即()()2222x x d x d ++=+，化简得3x d =； 由椭圆定义知2ABF 的周长为233124x x d x d x d d a ++++=+==，有3a d =，所以x a =，所以21BF a BF ==；在直角21BF F 中，由勾股定理，2224a c =，∴离心率2e =. 故选：C 【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的定义，考查等差数列的性质，属于中档题.3．设全集U =R ，集合{|(1)(3)0}A x x x =--≥，11|24xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭.则集合()U A B 等于（ ）A ．(1,2)B ．(2,3]C ．(1,3)D ．(2,3)【答案】A 【解析】 【分析】 先算出集合UA ，再与集合B 求交集即可.【详解】因为{|3A x x =≥或1}x ≤.所以{|13}UA x x =<<，又因为{}|24{|2}xB x x x =<=<.所以(){|12}UA B x x ⋂=<<.故选：A. 【点睛】本题考查集合间的基本运算，涉及到解一元二次不等式、指数不等式，是一道容易题.4．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，A B 、是抛物线上两个不同的点，若||||8AF BF +=，则线段AB的中点到y 轴的距离为（ ） A ．5 B ．3C ．32D ．2【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线方程可得焦点坐标及准线方程,由抛物线的定义可知12||||228AF BF x x +=+++=,继而可求出124x x +=,从而可求出AB 的中点的横坐标,即为中点到y 轴的距离. 【详解】解：由抛物线方程可知，28p =，即4p =，()2,0F ∴.设()()1122,,,A x y B x y 则122,2AF x BF x =+=+，即12||||228AF BF x x +=+++=，所以124x x +=.所以线段AB 的中点到y 轴的距离为1222x x +=. 故选:D. 【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了抛物线的方程.本题的关键是由抛物线的定义求得A B 、两点横坐标的和.5．已知不等式组y xy x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为9，若点，则的最大值为（ ） A ．3 B ．6C ．9D ．12【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】分析：先画出满足约束条件对应的平面区域，利用平面区域的面积为9求出3a =，然后分析平面区域多边形的各个顶点，即求出边界线的交点坐标，代入目标函数求得最大值. 详解：作出不等式组对应的平面区域如图所示：则(,),(,)A a a B a a -，所以平面区域的面积1292S a a =⋅⋅=， 解得3a =，此时(3,3),(3,3)A B -，由图可得当2z x y =+过点(3,3)A 时，2z x y =+取得最大值9，故选C.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.6．(),0F c -为双曲线2222:1x y E a b-=的左焦点，过点F 的直线与圆22234x y c +=交于A 、B 两点，（A在F 、B 之间）与双曲线E 在第一象限的交点为P ，O 为坐标原点，若FA BP =，且23100OA OB c ⋅=-，则双曲线E 的离心率为（ ） A ．5 B ．52C ．5 D ．5【答案】D 【解析】 【分析】过点O 作OM PF ⊥，可得出点M 为AB 的中点，由23100OA OB c ⋅=-可求得cos AOB ∠的值，可计算出cos2AOB∠的值，进而可得出OM ，结合FA BP =可知点M 为PF 的中点，可得出PF '，利用勾股定理求得PF （F '为双曲线的右焦点），再利用双曲线的定义可求得该双曲线的离心率的值. 【详解】如下图所示，过点O 作OM PF ⊥，设该双曲线的右焦点为F '，连接PF '.2333cos 22100OA OB AOB c ⋅=⋅⋅∠=-，1cos 25AOB ∴∠=-.1cos 23cos 22AOB AOB ∠+∠∴==， 3cos 25AOB OM OA c ∠∴==， FA BP =，M ∴为PF 的中点，//PF OM '∴，90FPF '∠=，625cPF OM '==， ()22825c PF c PF '∴=-=， 由双曲线的定义得2PF PF a '-=，即225ca =，因此，该双曲线的离心率为5ce a==. 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，解题时要充分分析图形的形状，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中的最长棱长为（ ）A ．32B ．25C ．26D ．27【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图，可得该几何体是一个三棱锥S ABC -，并且平面SAC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，过S 作SD AC ⊥，连接BD ，2,2,2,2AD AC BC SD ====，再求得其它的棱长比较下结论.【详解】 如图所示：由三视图得：该几何体是一个三棱锥S ABC -，且平面SAC ⊥ 平面ABC ，AC BC ⊥， 过S 作SD AC ⊥，连接BD ，则2,2,2,2AD AC BC SD ==== ， 所以=+=2220BD DC BC ，226SB SD BD =+=，2222SA SD AD =+=2225SC SD AC =+=，该几何体中的最长棱长为26. 故选：C 【点睛】本题主要考查三视图还原几何体，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.8．函数()y f x =()x R ∈在(]1∞-，上单调递减，且(1)f x +是偶函数，若(22)(2)f x f -> ，则x 的取值范围是（ ） A ．（2，+∞） B ．（﹣∞，1）∪（2，+∞） C ．（1，2） D ．（﹣∞，1）【答案】B 【解析】 【分析】根据题意分析()f x 的图像关于直线1x =对称，即可得到()f x 的单调区间，利用对称性以及单调性即可得到x 的取值范围。
第7讲 构造函数解不等式(学生版)2023年高考数学重难突破之导数、数列(全国通用)
第七讲构造函数法解决导数不等式思维导图——知识梳理脑洞(常见考法)：浮光掠影，抑或醍醐灌顶考法一加减法模型构造函数思维导图-----方法梳理1.对于不等式()k x f >'()0≠k ，构造函数()()bkx x f x g +-=2.形如(x)g(x)f >或(x)g(x)f <的函数不等式，（1）.可以构造函数)(-)(x g x f x F =）（，然后求）（x F 的最大值和最小值；（2）.如果(x)0g >，我们也可以构造函数()(x)(x)f G xg =，求()G x 的最值.，且为且当A ．c a b >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．a c b>>围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹例1．（2021·四川广元市·高三三模）已知定义在R 上的偶函数()f x ，其导函数为()f x '，若()2()0xf x f x '->，(3)1f -=，则不等式()19f x x x <的解集是（）A．(,3)(0,3)-∞- B．()3,3-C．(3,0)(0,3)-⋃D．(,3)(3,)-∞-⋃+∞例2．（2022·广东·华南师大附中高三阶段练习）设函数()f x '是奇函数()(R)f x x ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '->，则使得()0f x >成立的x 取值范围是（）A ．(,1)(1,)-∞-+∞ B ．(1,0)(0,1)-⋃C ．(,1)(0,1)-∞-⋃D ．(1,0)(1,+)-⋃∞例3．（2022·西藏昌都市第四高级中学一模（理））已知函数()f x 是定义在−∞，∪，+∞的奇函数，当()0x ∈+∞，时，()()xf x f x '<，则不等式()()()52+25<0f x x f --的解集为（）A ．()()33-∞-⋃+∞，，B ．()()3003-⋃，，C ．()()3007-⋃，，D ．−∞，−∪，套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫1．（2021·安徽高二月考（理））设函数()f x 是定义在()0,∞+上的可导函数，其导函数为()'f x ，且有()()2'f x xf x >，则不等式()()()24202120212f x x f ->-的解集为（）A ．()2021,2023B ．()0,2022C ．()0,2020D ．()2022,+∞2．（2020·广州市育才中学高二月考）函数()f x 的导数为()'f x ，对任意的正数x 都有()()2'f x xf x >成立，则（）A ．()()9243f f >B ．()()9243f f <C ．()()9243f f =D ．()92f 与()43f 的大小不确定3.（2015新课标Ⅱ）设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=当0x >时，'()()xf x f x -0<，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是（）A ．()(),10,1-∞- B ．()()1,01,-+∞ C ．()(),11,0-∞-- D ．()()0,11,+∞ 题型二：构造()()nx F x e f x =或()()nxf x F x e =(n Z ∈，且0n ≠)型思维导图-----方法梳理类型一：构造可导积函数1])([)]()(['=+'x f e x nf x f e nx nx 高频考点1：])([)]()(['=+'x f e x f x f e x x 类型二：构造可商函数①])([)()('=-'nxnx ex f e x nf x f 高频考点1：])([)()('=-'xx ex f e x f x f 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹例1.（2021·内蒙古锡林郭勒盟）设函数()'f x 是函数()f x 的导函数，x R ∀∈，()()0f x f x '+>，且(1)2f =，则不等式12()x f x e ->的解集为（）A．(1,)+∞B．(2,)+∞C．(,1)-∞D．(,2)-∞例2.（2022·陕西榆林·三模）已知()f x 是定义在R 上的函数，()'f x 是()f x 的导函数，且()()1f x f x '+>，(1)2f =，则下列结论一定成立的是（）A ．12(2)f +<e eB ．1(2)f +<e eC ．12(2)f +>e eD ．1(2)f +>e e例3．（2021·赤峰二中高三月考）定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x >-'，()06f =，则不等式()51x f x e>+(e 为自然对数的底数)的解集为（）A．()0,∞+B．()5,+∞C．()(),05,-∞⋃+∞D．(),0-∞套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫1．（2020·贵州贵阳·高三月考（理））已知()f x '是函数()f x 的导数，且满足()()0f x f x '+>对[]0,1x ∈恒成立，A ，B 是锐角三角形的两个内角，则下列不等式一定成立的是（）A ．()()sin sin sin sin e eB A f A f B <B ．()()sin sin sin sin e e B A f A f B >C ．()()sin cos cos sin e e B Af A f B <D ．()()sin cos cos sin e e B Af A f B >2．（2022·宁夏·平罗中学高三阶段练习（文））设()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()f x '，若()()1f x f x '+>，()02018f =，则不等式()e e 2017x x f x >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（）A ．(),0∞-B ．()(),02017,-∞⋃+∞C ．()2017,+∞D ．()0,∞+3．（2022·陕西渭南·高二期末（理））已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，对任意R x ∈满足()()0f x f x '+<，则下列结论一定正确的是（）A ．()()23e 2e 3f f >B ．()()23e 2e 3f f <C ．()()32e 2e 3f f >D ．()()32e 2e 3f f <围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹例1．（2021·全国高三）定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意实数x ，有()()f x f x '>，且()2022f x +为奇函数，则不等式()20220xf x e +<的解集是（）A．(),0-∞B．−∞,l BC．()0,∞+D．()2022,+∞例2．（2020·吉林高三月考（理））已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为'()f x ，满足'()()f x f x <，且(2)f x +为偶函数，(4)1f =，则不等式()x f x e <的解集为（）A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．()4,e-∞D ．()4,e +∞例3．（河南省多校联盟2022）已知函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意的R x ∈，都有()()2f x f x >'+，且()12022f =，则不等式()12020e 2x f x --<的解集为（）A ．()0,∞+B ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．(),1-∞例4．（2021·全国高三）已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()'f x ，且满足()()0f x f x '->，2021(2021)f e =，则不等式31(ln )3f x x <的解集为（）A．6063(,)e +∞B．2021(0,)e C．2021(,)e +∞D．6063(0,)e 套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫1．（2022·湖北·襄阳五中高三开学考试）设()f x '是定义在R 上的连续的函数()f x 的导函数，()()2e 0xf x f x '-+<（e 为自然对数的底数），且()224e f =，则不等式()2e x f x x >的解集为（）A ．()()2,02,-+∞B ．()e,+∞C ．()2,+∞D ．()(),22,∞∞--⋃+2．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（理））已知()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()f x '，且不等式()()f x f x '>恒成立，则下列不等式成立的是（）A ．e (1)(2)f f >B ．()()e 10f f -<C ．()()e 21f f ->-D ．()()2e 11f f ->3．（2022·江西省信丰中学高二阶段练习（文））若定义在R 上的函数()f x 的导函数()f x '为，且满足()()f x f x '>，则(2017)f 与e (2016)f ⋅的大小关系为（）A ．(2017)f ＜e (2016)f ⋅B ．(2017)f =e (2016)f ⋅C ．(2017)f ＞e (2016)f ⋅D ．不能确定4．（2022·江苏·涟水县第一中学高三阶段练习）()f x 是定义在R 上的函数，()f x '是()f x 的导函数，已知()()f x f x '>，且(1)e f =，则不等式()2525e 0x f x --->的解集为（）A ．(),3-∞-B ．(),2-∞-C ．()2,+∞D ．()3,+∞5．（2021·江苏高二月考）已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()0f x f x '->，若()()2211x ax e f ax ef x +>-恒成立，则实数a 的取值范围为___________.2．（2022·吉林·长岭县第三中学高三阶段练习）已知奇函数()f x 的定义域为,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其导函数是'()f x ．当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'()sin ()cos 0f x x f x x -<，则关于x 的不等式()2sin 6f x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为（）A ．,0,266πππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．,,2662ππππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．,00,66ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．,0,662πππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3．（2022·湖北·高二阶段练习）奇函数()f x 定义域为()(),00,ππ-⋃，其导函数是()f x '.当0πx <<时，有()()sin cos 0f x x f x x '-<，则关于x 的不等式()2sin 4f x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为（）A ．（4π，π）B ．,,44ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．,00,44ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ． ,0,44πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4．（2021·甘肃省武威第二中学高二期中（理））对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，不等式()()sin cos x f x x f x ⋅⋅'＜恒成立，则下列不等式错误的是（）A ．234f f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞B ．()2cos113f f π⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭＞C ．()2cos114f f π⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭＜D ．6426f f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜op上的奇函数，且套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫。
2021年高考全国卷III理科数学试题精析详解(四川、陕西、云南、甘肃等地区用)
1普通高等学校招生全国统一考试数学（全国 3 理）试题精析详解一、选择题(每小题 5 分，共 60 分) 1．已知α为第三象限角，则α所在的象限是（）2A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限【思路点拨】本题考查任意角的表示方法及讨论整数的奇偶性.【正确解答】解法(1)因为α为第三象限角，所以α∈ (2k π-π, 2k π-π)(k ∈ Z ) ，2α ππα所以 ∈ (k π-, k π-)(k ∈ Z ) ，即 所在的象限是 224 2第二或第四象限.选 D解法 2：用图象法类似角分线，由图象可以轻易得到答案.选 D解法 3：用特值法令 α= -1350和α= 2250,也可以得到答案 D 23π解法 4：α第三象限，即 2k π+π<α< 2k π+ 2k ∈ Z ,π α3π ∴ k π+< < k π+k ∈ Z ,可知 α在第二象限或第四象限,选(D)2 242【解后反思】熟悉角的终边在坐标系内的画法,可以求任意角简单分割后的终边所在象α限.如何求任意角经复杂分割后的终边所在象限如n围(3)再分成 n 类情况讨论可完成.(1)先写出α范围(2)再求出除以 n 的范2．已知过点 A(－2，m)和 B(m ，4)的直线与直线 2x +y －1=0 平行，则 m 的值为 （）A ．0B ．－8C ．2D ．10【思路点拨】本题考查直线方程中系数与直线几何性质的关系.4 - m【正确解答】解法(1)两直线平行，则斜率相等，因此有 选 B.m + 2= -2 ，得 m = -8 .解法2：直线2x+y-1=0 的一个方向向量为 a =(1,-2), AB = (m + 2, 4 - m ) ,由AB ∥ a 即(m+2)×(-2)-1×(4-m)=0,m=-8,选(B)28 8 11 V V V解法 3：可用特值法逐个代入,与条件相匹配.也能得到答案 B.【解后反思】掌握直线方程五种形式的相互转化及其参数对几何性质的影响.即把相应条件变成等式,从平行等重要条件入手. 3．在(x -1)(x + 1)8 的展开式中 x 5 的系数是（）A ．－14B ．14C ．－28D ．28【思路点拨】本题考查二项式定理通项公式的应用.【正确解答】(x -1)(x +1)8 = x (x +1)8 - (x +1)8 ， 5 的系数为C 4 - C 5= 14 .选 B.x8 8解法 2：(x+1)8 展开式中 x 4,x 5 的系数分别为C 4, C 5,∴(x-1)(x+1)8 展开式中 x 5 的系数为88C 4 - C 5= 14 ,选(B)【解后反思】多项式乘法的进位规则.在求系数过程中,尽量先化简,降底数的运算级别, 尽量化成加减运算,在运算过程可以适当注意令值法的运用,例如求常数项,可令 x = 0 .在二项式的展开式中，要注意项的系数和二项式系数的区别.4．设三棱柱 ABC —A 1B 1C 1 的体积为 V ，P 、Q 分别是侧棱 AA 1、CC 1 上的点，且 PA=QC 1，则四棱锥 B —APQC 的体积为（ ）A ． 1 VB ． 1VC ． 1VD ． 1V6432【思路点拨】本题考查几何体的分解后求体积的方法（化整为零）及考查棱锥,棱柱体积公式的运用.【正确解答】解法 1：可以假设三棱柱为直三棱柱，则四棱锥 B-APQC 的高h 等于底面三角形 AC 边上的高.所以V 四棱锥B - APQC = 1 S 3APQC ⋅h = 1 ⋅ [1 AC ⋅ (PA + QC )]⋅h = 1 ⋅ [1 AC ⋅ AA 1]⋅h = 1⋅3 2 3 2 1 1 1 V[ AC ⋅ h ] ⋅ AA 1 = S ABC ⋅ AA 1 = V 三棱柱ABC - A B C =3 2 3 3 1 1 1 3解法 2：设三棱柱 ABC-A 1B 1C 1 为正三棱柱，P 、Q 、R 分别为侧棱 AA 1、CC 1、BB 1 上的中点，则 V 三棱锥B-PQR = 3V 三棱柱ABC -PRQ = 6V ，进而有V四棱锥B-APQC =2-6=3.选C.34解法 3：如图，V A - ABC = V B - A B C = V B - AC Q = 1 V ABC - A B CV B -PCQA= V B -CQA 1 1 1 1 13+V B -PCA ,∵AF=QC 1,1 1 1111∴APQC 1,APQC 都是平行四边形,1∴V B -PCQA = V B -CQA +V B -PCA = 2(V B -CQA +V B -PCA )11111= 1 ⋅ 2V= 1V,选(C)2 3 ABC - A 1B 1C 1 3 ABC - A 1B 1C 1【解后反思】掌握特殊化方法和分解几何体的基本原则.在求这一类的问题中,如果题目中没有对几何体作任何规定时,可将几何体进行特殊化,变成有规律的几何体,不但不影响我 们求解,相反会给我们解题带来柳暗花明又一村的感觉.5． lim( x →11 - x2 - 3x + 2 2 ) = （ ）x 2 - 4x + 3A ． - 1B ．1C ． - 1D ． 12266【思路点拨】本题考查函数在某一点极限的基本求法. 先通分整理，再约分化简，最后代入求值. 【正确解答】lim( 1 - 2 ) = lim ( x -3) -2( x -2) = lim -1 = -1 x →1 x2 - 3x + 2 x 2 - 4x +3 x →1 (x -1)(x - 2)(x - 3) x →1 (x - 2)(x - 3) 2选 A.【解后反思】在求函数某一点极限的过程中,总是先化简,再代入的思路,不要先随便代入或不加思索的用极限计算的运算法则进行分离. 6．若a = ln 2 , b = ln 3 , c = ln 5 ，则（）235A ．a <b<cB ．c<b<aC ．c<a <bD ．b<a <c【思路点拨】本题考查对数函数单调性和分数比较法则.ln 215 ln 310 ln 56 6 15 10 【正确解答】 a = ,b = ,c = ， 5 < 2 < 3 ，∴ c < a < b .30 30 30选 C解法 2：由题意得 a= ln 30 215,b= ln 30 310,c= ln 30 56,∵ 56= (52 )3< (25 )3= 215= (23 )5< (32 )5= 310,∴c<a<b,选(C)【解后反思】在数的比较大小过程中,要遵循这样的规律,异中求同即先将这些数的部分因式化成相同的部分,再去比较它们剩余部分,就会很轻易啦.一般在数的比较大小中有如下几种方法：(1)作差比较法和作商比较法,前者和零比较,后者和1 比较大小；(2)找中间量,往往是1,在这些数中,有的比1 大,有的比1 小；,(3)计算所有数的值；(4)选用数形结合的方法, 画出相应的图形；(5)利用函数的单调性等等.7．设0 ≤x ≤ 2π,且= sin x - cos x,则（）A．0 ≤x ≤π B．π≤x ≤7π4 4C．π≤x ≤5π4 4D．π≤x ≤3π2 2【思路点拨】本题考查在确定范围内,利用三角函数公式.来求解三角函数方程.【正确解答】解法1：∵由= sin x - cos x 得|sinx-cosx|=sinx-cosx, 因此sin x ≥ cos x ，又0 ≤x < 2π,由正弦、余弦函数的图象可知∴π≤x ≤5π,选(C)4 4π7π 解法2：用特值法,先取x =验证成立,则答案为A、B、C,再分别取x = 0 和x =,4 4排除答案A、B,最后我们可以轻易得到正确答案C.【解后反思】在求有关函数问题过程中,优先考虑函数的取值范围或函数存在条件是解决问题的重要手段之一,同时我们也注意到函数有很强的规律性,再加上选择题的答案必在四个选项中,所以做此类题目可从局部入手,利用特值方法,也可得到正确答案,且简单易行,所以对于函数选择题,利用特值法求解是做此类题目的一个亮点.8．2 sin 2α⋅1 + cos 2αcos 2 αcos 2α= （）A．tanαB．tan 2αC．1 D．12【思路点拨】本题考查三角公式的记忆及三角公式的熟练运用2 sin 2α cos2 α 2 s in 2αcos2 α【正确解答】解法(1) ⋅=⋅= tan 2α.选B1+ cos 2αcos 2α 2 cos 2αcos 2απ解法(2) 可以用特殊值验证（令α=）得之.选B.6【解后反思】方法不拘泥,要注意灵活运用,在求三角的问题中,要注意这样的口决“三看” 即(1)看角,把角尽量向特殊角或可计算角转化，(2)看名称,把一道等式尽量化成同一名称或相562 332x = ,y =近的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切，(3)看式子, 看式子是否满足三角函数的公式.如果满足直接使用,如果不满足转化一下角或转换一下名称, 就可以使用.9．已知双曲线 x 2- y 2= 1的焦点为 F 1、F 2，点 M 在双曲线上且 MF 1 ⋅ MF 2 = 0,则点 M 到x 轴的距离为（）A ． 43B ． 53C ．2 3 D ． 3【思路点拨】本题主要考查向量垂直的等价条件，要求会根据双曲线方程求出其几何性质.【正确解答】设 M (x , y ) ， x > 0, y > 0 ， F 1 (- 3, 0), F 2 ( 3, 0) ，则 MF 1 = (x + 3, y ), MF 2 = (x - 3, y )由 MF 1 ⋅ MF 2 = 0,，则(x + 3)(x - 3) + y 2= 0 ，又因为点 M 在双曲线上，x -所以 y =.选 C y = 1，2解法 2：由 MF 1 ⋅ MF 2 = 0 ,得 MF 1⊥MF 2,不妨设 M(x,y)上在双曲线右支上，且在 x 轴上方,则有(ex-a)2+(ex+a)2=4c 2，即(ex)2+a 2=2c 2,∵a=1,b= ,c=,e= ,得 2 5 22 ,由此 33可知 M 点到 x 轴的距离是3,选(C)【解后反思】向量的坐标表示和数量积的性质在平面向量中的应用是学习的重点和难点.也是高考常常考查的重要内容之一.在平时请多多注意用坐标如何来表示向量平行和向量垂直, 既要注意它们联系,也要注意它们的区别.圆锥曲线的性质也是高考重要知识点之一,不仅要 注意它们的第一定义,同时对于第二定义(圆锥曲线上的点到一定点的距离比此点到一定直 线的距离为一常数,此常数是圆锥曲线的离心率)也要作深入了解,第二定义对解决关于圆锥 曲线的最值等问题有很强的运用.32 3 3 2 32 2722 F 1F 2PF 1 + PF 2 1+ 23 4 10．设椭圆的两个焦点分别为 F 1、、F 2，过 F 2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A ． 22B ． 2 -12C ． 2 -D ． -1【思路点拨】重点知识，重点考查,本题考查椭圆各相关参数的几何意义及其求法.【正确解答】设 F 1 (-c , 0) ， F 2 (c , 0) ，由题意易知， PF 2 = F 1F 2 = 2c , PF 1 = 2 2c ，2c1 ∴e = = = = 2a2 - 1，选 D.b 2 解法 2：由题意可得 a = 2c ,∵b 2=a 2-c 2e= c a,得 e 2+2e-1=0,∵e>1,解得 e=-1,选(D)【解后反思】本题有很强有隐蔽性,本题提到的重点是椭圆,那椭圆的性质也在可用范围之列. 这一点往往是同学所忽略.巧用圆锥曲线的几何性质来解决有关解析几何有关问题是一个好的方法, 本题目是一道综合题,综合运用所学的知识,能简化数学问题. 11．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有（）A ．3 个B ．4 个C ．6 个D ．7 个【思路点拨】本题考查分类思想的运用和立体几何的基本性质.【正确解答】由题意可知，四个点不可能都在平面α的同侧.只要考虑将四个平面分成两组， C 1+ C 2/ 2.共有 7 种可能.选 D解法 2：共有 7 个，它们是由四个定点组成的四面体的三对异面直线间的公垂线的三个中垂面；四面体的四条高的四个中垂面，选(D)【解后反思】分步计数原理与分类计数原理是排列组合中解决问题的重要手段,也是基础 方法,在高中数学中,只有这两个原理,尤其是分类计数原理与分类讨论有很多相通之处,当遇到比较复杂的问题时,用分类的方法可以有效的将之化简,达到求解的目的.12．计算机中常用十六进制是逢 16 进 1 的计数制，采用数字 0～9 和字母 A ～F 共 16 个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：例如，用十六进制表示：E+D=1B ，则 A ×B=（）2 十六进制 0 1 23456789 A B C D E F十进制 012345678910 11 12 13 14 158⎨A ．6EB ．72C ．5FD ．B0【思路点拨】本题考查计数法则和进位规则.【正确解答】 E + D = 14 +13 = 27 = 1⨯16 +11 = 1B ，∵A=10,B=11, A ⨯ B = 10 ⨯11 = 110 = 6 ⨯16 +14 = 6E . ∴在 16 进制中 A ×B=6E,选 A 【解后反思】这是一道新型题目,让学生体会各种进制之间的异形同质.不管哪一种进制都是十进制的一种拓展,类比一下十进制,我们可以轻易解决这一系列问题,当然我们如果对 计算机的进制有一个了解,解决这个问题会变得非常简单,高考每年都有一到二道新型题目, 解决胜这些问题,不仅仅需要数学,其他知识也是一个重要的补充,所以在平时请同学们要多 多进行知识积累.二、填空题（4 分⨯4=16 分）13．已知复数 z 0 = 3 + 2i ,复数z 满足z ⋅ z 0 = 3z + z 0 ,则复数z = .【思路点拨】本题考查复数相等的定义. 设 z = a + bi (a ,b ∈ R ) ，再用复数相等的定义列方程组求解即可.【正确解答】 z = a + bi ,则 z ⋅ z 0 = (3a - 2b ) + (3b + 2a )i ， 3z + z 0 = (3 + 3a ) + (2 + 3b )i ， 故⎧3a - 2b = 3 + 3a ，得 a = 1,b = - 3 ，所求复数 z = 1- 3i⎩3b + 2a = 2 + 3b2 2 解法 2：由 z 0 =3 + 2i , 和z ⋅ z 0 = 3z + z 0 , 得 (z 0 - 3)z = z 0 ，z =z 0=3 + 2i = (3 + 2i) ⋅ (-i) = - 3i + 2 = 1 - 3 iz 0 - 3 2i2i ⋅ (-i) 2 2 【解后反思】方程的思想在复数求值中的重要运用,自从我们学习了方程,方程就成为我们求值的重要手段,面对本题相似的问题时,应优先考虑到方程的思想,应大胆假设,细心求解,所有问题可以迎刃而解.14．已知向量OA = (k ,12), OB = (4, 5), OC = (-k ,10) ，且 A 、B 、C 三点共线，则 k= . 【思路点拨】本题主要考查三点共线的等价条件.k - 4 4 + k2【正确解答】解法(1)由三点共线的性质知：= ⇒ k=- . 12 - 5 5 -10 39⨯解法(2)利用向量本身的性质求解:由三点共线,得AB // AC ，AB = OB - OA , AC = OC - OA ,解之得 k = - 2.3解法（3） AB = (4 - k , -7), AC = (-2k , -2) ,由题意得(4-k)(-2)-2k ×7=0,解得 k= - 23【解后反思】由于以原点为起点的向量坐标等于其终点坐标，所以本题也可用定比分点中三 点共线的充要条件求解.向量的解法也可以轻易求解的,多种方法在同一题目的使用,既加深 我们对题目的了解,又使得我们对数学方法能更好地掌握,所以解决数学问题时,要尽量一题 多解,丰富自己的数学知识,加强数学解题能力,加深对学习数学的兴趣,达到解一题,取得是解 多题的效果.15．设 l 为平面上过点（0，1）的直线，l 的斜率等可能地取 - 22,-3,-5 ,0, 5 , 2 23,2 2,用ξ表示坐标原点到 l 的距离，则随机变量ξ的数学期望 E ξ=.【思路点拨】理解随机变量、数学期望等概念，会写离散型随机变量的分布列，并能在此基础之上求其数学特征.1【正确解答】由题意及点（0,0）到直线 y = kx + 1距离 d =有，随机变量ξ的分布k 2+1列为斜率 k-2 2 - 3- 5 25 232 2ξ13 1 2 2 3 12 3 1 2 1 3 P （ξ）1 71 7 17171 71 71 7故有 E ξ= (1+ + + + + + )=7 3 3 2 2 3 3 7. 解法 2：随机变量可能的取值为 x 1= 1 ,x 2= 1,x 3= 2,x 4=1,它们的概率分别为 p 1= 3 2 ,p 2= 7 2 2 ,p 3= 7 3 2,p 4= 1,7 7 ∴随机变量ζ的数学期望 E ζ=2 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 + 1 ⋅1= 4 73 7 2 7 3 7 7【解后反思】准确确定随机变量的所有可能取值及其概率是正确解题的关键.细心也是解决10此类问题的决窍之一,平时应多进行数的复杂运算,少用计算器，以便在高考中争取时间，取得先机.16．已知在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P 是 AB 上的点，则点 P 到 AC 、BC的距离乘积的最大值是【思路点拨】学会将平面几何问题转化为线性规划问题求解.【正确解答】以C 为原点， CB 为 x 轴， CA 为 y 轴建立直角坐标系， A (0, 4), B (3, 0) ，设P (x , y ) 且0 < x < 3, 0 < y < 4 ，则 AB 直线方程为 4x + 3y -12 = 0 .点 P 到 AC 、BC 的距离乘积 xy = x (- 4 x + 4) = - 4 (x - 3) 2+ 3 ≤ 333 2所以最大值为 3.解法 2：P 到 BC 的距离为 d 1,P 到 AC 的距离为 d 2,则三角形的面积得 3d 1+4d 2=12,∴3d 1 ⋅ 4d 2 ≤ (12)2 = 62 = 36 ,∴d 1d 2 的最大值为 3,这时 3d 1+4d 2=12, 3d 1=4d 2 得 d 1=2,d 2= 32 2【解后反思】近年来高考题不再只是直接考查线性规划问题，而是需要考生通过对问题的分 析整理，将原有问题转化为线性规划问题，并用数形结合的方法加以解决.数形结合是数学思想的重要手段之一,是连接代数和几何的重要方法. 随着要求数学知识从书本到实际生活的呼声不断升高,线性规划这一类新型数学应用问题已成为高考数学考试的热点.要加强在这一方面的练习,此类问题还有一些,例如使用材料的最优化,部分概率应用题、数理统计题等等. 三.解答题（共 74 分） 17．(本小题满分 12 分)设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响.已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为 0.05，甲、丙都需要照顾的概率为 0.1，乙、丙都需要照顾的概率为 0.125，（Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率.【思路点拨】本题考查独立事件概率的求法.【正确解答】（Ⅰ）记甲、乙、丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件 A 、B 、C ， 则 A 、B 、C 相互独立， 由题意得：33VDBP（AB）=P（A）P（B）=0.05P（AC）=P（A）P（C）=0.1 P（BC）=P（B）P（C）=0.125解得：P（A）=0.2；P（B）=0.25；P（C）=0.5所以, 甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是0.2、0.25、0.5（Ⅱ）∵A、B、C 相互独立，∴ A、B、C 相互独立，∴甲、乙、丙每台机器在这个小时内需都不需要照顾的概率为P( A ⋅B ⋅C) =P( A)P(B)P(C) = 0.8⨯ 0.75⨯ 0.5 = 0.3∴这个小时内至少有一台需要照顾的概率为p = 1-P( A ⋅B ⋅C) = 1- 0.3 = 0.7【解后反思】概率问题的难点在于分析某事件所有可能出现的结果及其表示方法，而运用概率部分的性质、公式求某事件概率只是解决问题的工具而已.18．(本小题满分12 分)如图，在四棱锥V-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明AB⊥平面VAD；C （Ⅱ）求面VAD 与面VDB 所成的二面角的大小．A【思路点拨】熟练掌握线面垂直、线线垂直、面面垂直的判定及其相互推导.并了解每个定理所需要的条件和适用的范围.【正确解答】（Ⅰ）作AD 的中点O，则VO⊥底面ABCD．建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为 1，1则 A（211，0，0），B（21，1，0），C（-2，1，0），D（-2，0，0），V（0，0，），2∴AB = (0,1, 0), AD = (1, 0, 0), AV = (- 1, 0, ) 2 2由AB ⋅AD = (0,1, 0) ⋅ (1, 0, 0) = 0 ⇒AB ⊥AD1133213⎬1 AB ⋅AV = (0,1, 0) ⋅(-, 0, ) = 0 ⇒AB ⊥AV ，2 2又AB∩AV=A，∴AB⊥平面 VAD.（Ⅱ）由（Ⅰ）得AB = (0,1, 0) 是面 VAD 的法向量. 设n = (1, y, z) 是面 VDB 的法向量，则⎧ ⎧ 1 3 ⎧x =-1⎪n ⋅VB = 0⇒⎪(1, y, z) ⋅(- ,1, -) = 0⇒⎪ ⇒n= (1,- 1,3)⎨ ⎨⎪⎩n⋅BD=0⎪⎩2 2(1, y, z) ⋅(-1, -1, 0) = 0(0,1, 0) ⋅(1, -1,3)⎨⎪⎩z=-33∴c os <AB, n >= 3 =-21，1⨯21 7 3又由题意知，面VAD 与面VDB 所成的二面角，所以其大小为arccos .7解法2：（Ⅰ）证明：平面VAD ⊥平面ABCDAB ⊥ADAB ⊂平面ABCD ⎫⎪⎪⇒AB ⊥平面VAD ⎪AD =平面VAD ⋂平面ABCD⎪⎭（Ⅱ）解：取VD 的中点E，连结AE，BE∵VAD 是正三角形∴AE⊥VD，AF= AD2∵AB⊥平面VAD ∴AB⊥AE又由三垂线定理知BE⊥VD因此，∠AEB 是所求二面角的平面角于是，tan ∠AEB =AB =2 3AE 3即得所求二面角的大小为arctan32 312【解后反思】在立体几何学习中,我们要多培养空间想象能力,并要注意直线和平面之间各种1314位置关系的相互推导，二面角的平面角的适当选取是立体几何的核心考点之一.是高考数学必考的知识点之一.作,证,解,是我们求二面角的三步骤.作:作出所要求的二面角,证:证明这是我们所求二面角,并将这个二面角进行平面化,置于一个三角形中,最好是直角三角形, 解:利用我们解三角形的知识求二面角的平面角.向量的运用也为我们拓宽了解决立体几何 问题的角度,不过在向量运用过程中,要首先要建系,建系要建得合理,最好依托题目的图形, 坐标才会容易求得. 19．（本小题满分 12 分）△ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 a ，b ，c 成等比数列，cos B = 3.4（Ⅰ）求 cotA+cotC 的值；3（Ⅱ）设 BA ⋅ BC = , 求a + c 的值.2【思路点拨】本题考查：1.三角式的化简、求值；2.向量法的应用.解决问题 1.应该注意先整理所求三角式，再利用公式、性质等进行化简，最后将已知条件（可能要在整理之后）代入化简后的三角式求值.解决问题 2.则应该注意使用数形结合的思想方法并注意随时与问题的具体情境相结合.【正确解答】（Ⅰ）由cos B = 3, 得sin B = 4= 7 ,4由 b 2=a c 及正弦定理得 sin 2 B = sin A sin C . 于是cot A + cot C = 1 + 1= cos A + cos C = sin C cos A + cos C sin A = sin( A + C )tan A tan C sin A sin C sin A sin C sin 2 B=sin B sin 2 B = 1 = 4 7.sin B 7（Ⅱ）由 BA ⋅ BC = 3 得ca ⋅ cos B = 3 ,由cos B = 3,可得ca = 2,即b 2 = 2.22 4由余弦定理 b 2=a 2+c 2－2a c+cosB得 a 2+c 2=b 2+2a c ·cosB=5.(a + c )2 = a 2 + c 2 + 2ac = 5 + 4 = 9,a + c = 3【解后反思】当问题中出现三角形边、角之间的比例关系时，应首先考虑采用正弦定理，因 为所有三角基本公式中只有它涉及边与角之间的比例关系.利用正弦定理求角时,注意有可能出现多解情况,要好好讨论,防止出现漏解或多解情况. 20．(本小题满分 12 分)1 - ( 3)2 4151 2 n21 41 k n1n在等差数列{a n }中，公差 d ≠ 0, a 2是a 1与a 4 的等比中项.已知数列 a 1 , a 3 , a k , a k , , a k , 成等比数列，求数列{k n }的通项 k n .【思路点拨】本题考查等差、等比数列的性质.要求考生熟练掌握等差等比数列的定义、通项公式及其由来. 【正确解答】由题意得： a 2 = a a即(a +d )2= a (a + 3d )111又 d ≠ 0, ∴ a1= d又 a 1,a 3, a k , ak 2, a k n 成等比数列,∴该数列的公比为 q =a3=3d= 3， a1d所以a = a ⋅3n +1又 a k n= a 1+ (k n-1)d = k na1∴k = 3n +1所以数列{k n}的通项为 k n= 3n +1【解后反思】理解公比 q 和公差 d 的涵义，能把文字叙述转化为符号关系式.利用基本量法是解决数列的重要方法,在等差数列中,把所有值转化成首项和公差,在等比数列中,把所有值转化成首项和公比,一定可以求解,不过在某些题目中,用;这种方法会比较难,所以在某些步骤中采用数列的性质,能简化计算过程,达到快速求解的目的. 21．（本小题满分 14 分）设 A (x , y ), B (x , y ) 两点在抛物线 y = 2x 2上，l 是 AB 的垂直平分线.1122（Ⅰ）当且仅当 x 1 + x 2 取何值时，直线 l 经过抛物线的焦点 F ？证明你的结论； （Ⅱ）当直线 l 的斜率为 2 时，求 l 在 y 轴上截距的取值范围.【思路点拨】根据题目所给条件绘制草图，寻找函数代数、几何性质的结合点是解决综合题 的主要途径之一.适当选取等价条件将原问题转化为熟知的问题是解决综合应用问题的关161 1 键.【正确解答】（Ⅰ） F ∈ l ⇔| FA |=| FB |⇔ A , B 两点到抛物线的准线的距离相等.∵抛物线的准线是 x 轴的平行线， y 1 ≥ 0, y 2 ≥ 0,依题意y 1 , y 2 不同时为 0，∴上述条件等价于 y = y ⇔ x 2 = x 2 ⇔ (x + x )(x - x ) = 0;12121212∵ x 1 ≠ x 2 ，∴上述条件等价于 x 1 + x 2 = 0.即当且仅当 x 1 + x 2 = 0 时，l 经过抛物线的焦点 F.（II ）设 l 在 y 轴上的截距为 b ，依题意得 l 的方程为 y = 2x + b ；过点 A 、B 的直线方程可写为 y = - x + m ，所以 x , x 满足方程 2x 2+ 1x - m = 0, 得 x + x = - ；2 1 221 24A ，B 为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式∆ = 1+ 8m > 0,4即 m > - 1.32设 AB 的中点 N 的坐标为(x 0 , y 0 ) ，则x = 1 (x + x = - 1 , y = - 1 x + m = 1+ m . 0 2 1 2 8 0 2 0 16由 N ∈ l , 得 1 16 + m = - 1 + b ,于是b = 54 16+ m > 5 - 1 16 32 = 9 .32 即得 l 在 y 轴上截距的取值范围为（ 9 ,+∞）.32【解后反思】这是一道常规的解析几何的问题,也是近年高考数学常考的重要内容之一,解析几何属于比较讲究步骤的这一类问题,我们可以遵循这样的步骤:先将直线或曲线设出,然后 将直线方程代入曲线方程中,整理一下,变成一道方程,再使用韦达定理,写出两根之和与之积, 最后再根据题目的要求求解,在求解的过程中,要注意韦达定理存在的条件,同时也要加强对 计算能力的训练.22．（本小题满分 12 分）4x 2 - 7 已知函数 f (x ) = 2 - x, x ∈[0,1].（Ⅰ）求 f (x ) 的单调区间和值域；171 0 （Ⅱ）设a ≥ 1，函数 g (x ) = x 3 - 3a2 x - 2a , x ∈ [0,1].若对于任意x ∈ [0,1],总存在x ∈ [0,1],使得 g (x 0 ) = f (x 1 ) 成立，求 a 的取值范围.【思路点拨】本题由分式函数的有关性质，考查运算能力和思维能力.涉及导数在解决分式函数、高次函数问题中的重要应用，熟练掌握导数的运算法则是解决这类问题的关键.而第 （Ⅱ）问中对 a 的讨论是解决这一问题的难点，也是作为压轴题的亮点.【正确解答】（I ）对函数 f (x ) 求导，得 f '(x ) =令 f '(x ) = 0解得 x = 1 或x = 7.- 4x 2 + 16x - 7 (2 - x )2= -(2x - 1)(2x - 7) (2 - x )2 2 2当 x 变化时， f '(x ), f (x ) 的变化情况如下表：所以，当 x ∈ (0, 1 )时， f (x ) 是减函数；当 x ∈ ( 1 2 2,1)时， f (x ) 是增函数.当 x ∈ [0,1] 时， f (x ) 的值域为[－4，－3].（II ）对函数 g (x ) 求导，得 g '(x ) = 3(x 2- a 2).因为 a ≥ 1，当 x ∈ (0,1) 时， g '(x ) < 3(1 - a 2) ≤ 0.因此当 x ∈ (0,1) 时， g (x ) 为减函数，从而当 x ∈ [0,1] 时有 g (x ) ∈ [g (1), g (0)].又 g (1) = 1 - 2a - 3a 2, g (0) = -2a , 即 x ∈ [0,1] 时有 g (x ) ∈[1 - 2a - 3a 2,-2a ].任给 x 1 ∈[0,1]， f (x 1 ) ∈[-4,-3]，存在 x 0 ∈ [0,1]使得 g (x 0 ) = f (x 1 )，⎧1 - 2a - 3a 2 ≤ -4, ①则[1 - 2a - 3a 2,-2] ⊃ [-4,-3].即 ⎨⎩- 2a ≥ -3.②解①式得a ≥ 1或a ≤ - 53 ；解②式得 a ≤ 3 . 2又a ≥ 1，故 a 的取值范围为1 ≤a ≤3 .2【解后反思】注意导数是新课改重要内容，是高考的又一热点，也是学生学习数学的难点，导数在高中数学中有如下几种应用：(1)求单调区间；(2)求函数的极值；(3)求切线；(4)求最值.必须认真学好.18。
四川省广元市2021届新高考数学模拟试题(1)含解析
四川省广元市2021届新高考数学模拟试题（1）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数cos ()cos x xf x x x+=-在[2,2]ππ-的图象大致为A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】因为(0)1f =，所以排除C 、D ．当x 从负方向趋近于0时，0cos cos x x x x <+<-，可得0()1<<f x .故选A ．2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．83B ．3C ．113D ．4【答案】C 【解析】 【分析】首先把三视图转换为几何体，该几何体为由一个三棱柱体，切去一个三棱锥体，由柱体、椎体的体积公式进一步求出几何体的体积.【详解】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为由一个三棱柱体，切去一个三棱锥体，如图所示：故：11111 2221122323 V=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=.故选：C.【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积、需熟记柱体、椎体的体积公式，考查了空间想象能力，属于基础题. 3．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（）A．16B．14C．13D．12【答案】A【解析】【分析】每个县区至少派一位专家，基本事件总数36n=，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数6m=，由此能求出甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率.【详解】派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家基本事件总数：234336n C A ==甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数：2122326m C C A==∴甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为：61366mpn===本题正确选项：A 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题. 4．已知，都是偶函数，且在上单调递增，设函数，若，则（ ）A ．且B ．且C ．且D ．且【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，，∴，，∵，∴，∴， ∴若：，，∴， 若：，，∴，若：，，∴，综上可知，同理可知，故选A.考点：1.函数的性质；2.分类讨论的数学思想.【思路点睛】本题在在解题过程中抓住偶函数的性质，避免了由于单调性不同导致与大小不明确的讨论，从而使解题过程得以优化，另外，不要忘记定义域，如果要研究奇函数或者偶函数的值域、最值、单调性等问题，通常先在原点一侧的区间(对奇(偶)函数而言)或某一周期内(对周期函数而言)考虑，然后推广到整个定义域上.5．下列函数中，既是偶函数又在区间0,上单调递增的是（ ）A ．y x =B ．()sin f x x x =C ．()2f x x x =+ D ．1y x =+【答案】C 【解析】 【分析】结合基本初等函数的奇偶性及单调性，结合各选项进行判断即可.A ：y =B ：()sin f x x x =在()0,∞+上不单调，不符合题意；C ：2y xx =+为偶函数，且在()0,∞+上单调递增，符合题意；D ：1y x =+为非奇非偶函数，不符合题意. 故选：C. 【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题. 6．将函数()2sin(3)(0)f x x ϕϕπ=+<<图象向右平移8π个单位长度后，得到函数的图象关于直线3x π=对称，则函数()f x 在,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是（ ）A ．[1,2]-B ．[2]C ．2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[2]【答案】D 【解析】 【分析】由题意利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，余弦函数的值域，求得结果. 【详解】解：把函数()2sin(3)(0)f x x ϕϕπ=+<<图象向右平移8π个单位长度后， 可得32sin 38y x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象； 再根据得到函数的图象关于直线3x π=对称，33382k πππϕπ∴⨯-+=+，k Z ∈， 78πϕ∴=，函数7()2sin 38f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.在,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，753,824x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，sin 38x π⎡⎤⎛⎫∴-∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，故()2sin 3[8f x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，即()f x 的值域是[2]，故选：D.本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，余弦函数的值域，属于中档题．7．函数f(x)＝21xx e -的图象大致为()A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】根据函数为非偶函数可排除两个选项，再根据特殊值(2)f 可区分剩余两个选项. 【详解】因为f(－x)＝21x x e--≠f(x)知f(x)的图象不关于y 轴对称，排除选项B ，C.又f(2)＝214e -＝－23e<0.排除A ，故选D. 【点睛】本题主要考查了函数图象的对称性及特值法区分函数图象，属于中档题. 8．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A ．78B ．158C ．3116D ．1516【答案】D 【解析】 【分析】由程序框图确定程序功能后可得出结论． 【详解】执行该程序可得12341111150222216S =++++=． 故选：D ． 【点睛】本题考查程序框图．解题可模拟程序运行，观察变量值的变化，然后可得结论，也可以由程序框图确定程序功能，然后求解．9．已知命题p ：任意4x ≥，都有2log 2x ≥；命题q ：a b >，则有22a b >．则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．()p q ∧⌝C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ⌝∨【答案】B 【解析】 【分析】先分别判断命题,p q 真假，再由复合命题的真假性，即可得出结论. 【详解】p 为真命题；命题q 是假命题，比如当0a b >>,或=12a b =-，时，则22a b > 不成立. 则p q ∧，()()p q ⌝∧⌝，()p q ⌝∨均为假. 故选:B 【点睛】本题考查复合命题的真假性，判断简单命题的真假是解题的关键，属于基础题. 10．已知(,)a bi a b R +∈是11ii +-的共轭复数,则a b +=（ ） A ．1- B ．12- C ．12 D ．1【答案】A 【解析】 【分析】先利用复数的除法运算法则求出11ii+-的值，再利用共轭复数的定义求出a+bi ，从而确定a ，b 的值，求出a+b ． 【详解】()()21(1)21112i i ii i i ++===-+-i ， ∴a+bi ＝﹣i ， ∴a ＝0，b ＝﹣1， ∴a+b ＝﹣1， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．11．如图是国家统计局于2020年1月9日发布的2018年12月到2019年12月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.（注：同比是指本期与同期作对比；环比是指本期与上期作对比.如：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比）根据该折线图，下列结论错误的是（ ）A ．2019年12月份，全国居民消费价格环比持平B ．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格环比均上涨C ．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格同比均上涨D ．2018年11月的全国居民消费价格高于2017年12月的全国居民消费价格 【答案】D 【解析】 【分析】先对图表数据的分析处理，再结简单的合情推理一一检验即可 【详解】由折线图易知A 、C 正确；2019年3月份及6月份的全国居民消费价格环比是负的，所以B 错误；设2018年12月份，2018年11月份，2017年12月份的全国居民消费价格分别为,,a b c ，由题意可知，b a =，1.9%a c c -=，则有1 1.9%ac a b =<=+，所以D 正确. 故选：D 【点睛】此题考查了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属于中档题.12．2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示（以十位数字为茎，个位数字为叶）.若甲队得分的中位数是86，乙队得分的平均数是88，则x y +=（ ）A ．170B ．10C ．172D ．12【答案】D 【解析】 【分析】中位数指一串数据按从小（大）到大（小）排列后，处在最中间的那个数，平均数指一串数据的算术平均数. 【详解】由茎叶图知，甲的中位数为8086x +=，故6x =； 乙的平均数为78828089919397887y +++++++=，解得6y =，所以12x y +=. 故选：D. 【点睛】本题考查茎叶图的应用，涉及到中位数、平均数的知识，是一道容易题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年四川广元高三三模理科数学试卷-学生用卷
2021年四川广元高三三模理科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2021年四川广元高三三模理科第1题5分已知集合A={x|0<x<2}，B={x|x2−1<0}，则A∪B=（）．A. (−1,2)B. (−1,1)C. (1,2)D. (0,1)2、【来源】 2021年四川广元高三三模理科第2题5分设i是虚数单位，则复数(2+i)(1−i)在复平面内对应的点位于（）．A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3、【来源】 2021年四川广元高三三模理科第3题5分已知p:x(x−1)=0，q:x=1，则p是q的（）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件4、【来源】 2021年四川广元高三三模理科第4题5分非零向量a→，b→满足向量a→+b→与向量a→−b→的夹角为π2，下列结论中一定成立的是（）．A. a→=b→B. a→⊥b→C. |a→|=|b→|D. a→//b→5、【来源】 2021年四川广元高三三模理科第5题5分执行如图的程序，若输入n=3，x=3，则输出y的值为（）．A. 4B. 13C. 40D. 1216、【来源】 2021年四川广元高三三模理科第6题5分2019~2020学年10月广东梅州高三上学期月考理科第10题5分已知函数f(x)=lnx4−x，则（）．A. f(x)的图象关于点(2,0)对称B. f(x)的图象关于直线x=2对称C. f(x)在(0,4)上单调递减D. f(x)在(0,2)上单调递减，在(2,4)上单调递增7、【来源】 2021年四川广元高三三模理科第7题5分2017~2018学年甘肃武威凉州区武威市第六中学高二上学期期末2021年四川广元高三三模文科第8题5分2017~2018学年甘肃武威凉州区武威市第六中学高三上学期期末2017~2018学年黑龙江双鸭山友谊县高一上学期期中设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A. 若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB. 若m⊥α，m//n，n//β，则α⊥βC. 若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD. 若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n8、【来源】 2021年四川广元高三三模理科第8题5分2019~2020学年1月湖南长沙岳麓区湖南师范大学附属中学高三上学期月考理科第4题5分2021年四川广元高三三模文科第9题5分数列{a n}满足a1=1，且a n+1−a n=n+1(n∈N∗)，则数列{1an}的前10项的和为（）．A. 911B. 1011C. 2011D. 21119、【来源】 2021年四川广元高三三模理科第9题5分(1+x)2+(1+x)3+⋯+(1+x)9的展开式中x2的系数是（）．A. 60B. 80C. 84D. 12010、【来源】 2021年四川广元高三三模理科第10题5分2020~2021学年山东泰安泰山区山东省泰安第一中学高二上学期期中第6题3分2019~2020学年广东广州荔湾区广东实验中学高一下学期期中第10题5分2020~2021学年10月辽宁沈阳皇姑区沈阳市第一二〇中学高二上学期月考第9题5分2020~2021学年3月四川成都金牛区成都市实验外国语学校高三下学期月考文科第7题5分唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+y2⩽2，若将军从点A(3,0)处出发，河岸线所在直线方程为x+y=4，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）．A. 2√5B. √17−√2C. √17D. 3−√211、【来源】 2021年四川广元高三三模理科第11题5分已知定义在R上的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)，若xf′(x)−2f(x)>0，f(−3)=1，则不等式f(x)x <19x的解集是（）．A. (−∞,−3)∪(0,3)B. (−3,3)C. (−3,0)∪(0,3)D. (−∞,−3)∪(3,+∞)12、【来源】 2021年四川广元高三三模理科第12题5分已知双曲线E：x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F2作圆O：x2+y2=a2的切线，切点为T，延长F2T交双曲线E的左支于点P．若|PF2|>2|TF2|，则双曲线E的离心率的取值范围是（）．A. (2,√6)B. (√5,+∞)C. (2,+∞)D. (√2,√5)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2021年四川广元高三三模理科第13题5分已知等差数列{a n}满足a2+a5+a8=15，则a3+a7=．14、【来源】 2021年四川广元高三三模理科第14题5分2021年四川广元高三三模文科第14题5分某正三棱锥正视图如右图所示，则正三棱锥的体积为．15、【来源】 2021年四川广元高三三模理科第15题5分有4名男生、3名女生排队照相，7个人排成一排．①如果4名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法；②如果3名女生按确定的某种顺序，那么有840种不同的排法；③如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法；④如果3名女生中任何两名不能排在一起，那么有1440种不同排法．则以上说法正确的有．16、【来源】 2021年四川广元高三三模理科第16题5分用T(n)表示正整数n所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1，3，9，则T(9)=9，10的因数有1，2，5，10，则T(10)=5．计算T(1)+T(2)+T(3)+⋯+T(22021−1)=．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2021年四川广元高三三模理科第17题12分已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若sin(A+C)=8sin2B2．(1) 求cosB．(2) 若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．18、【来源】 2021年四川广元高三三模理科第18题12分2020~2021学年5月广东广州番禺区广州大学附属中学大学城校区高二下学期月考第19题广元某中学调查了该校某班全部40名同学参加棋艺社团和武术社团的情况，数据如下表：（单位：人）(1) 能否有95%的把握认为参加棋艺社团和参加武术社团有关？(2) 已知既参加棋艺社团又参加武术社团的8名同学中，有3名男同学，5名女同学．现从这3名男同学，5名女同学中随机选5人参加综合素质大赛，求被选中的女生人数X的分布列和期望．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19、【来源】 2021年四川广元高三三模理科第19题12分2019~2020学年四川绵阳高二下学期期末理科第18题10分如图，在三棱柱A1B1C1−ABC中，AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．(1) 求证：AD⊥C1D；(2) 求平面ADC1与平面ABB1A1所成二面角的正弦值．20、【来源】 2021年四川广元高三三模理科第20题12分2021年四川广元高三三模文科第21题12分已知抛物线y2=2px (p>0)的焦点为F.(1) 若点C(p,1)到抛物线准线的距离是它到焦点距离的√3倍，求抛物线的方程．(2) 点C(p,1),若线段CF的中垂线交抛物线于A，B两点，求三角形ABF面积的最小值.21、【来源】 2021年四川广元高三三模理科第21题12分已知函数f(x)=e x−ax−ln2(a∈R)．(1) 讨论函数f(x)的单调性．,+∞)上的零点个数．(2) 当a=2时，求函数g(x)=f(x)−cosx+ln2在(−π2四、选考题（本大题共2小题，每小题10分，选做1小题）【选修4-4：坐标系与参数方程】22、【来源】 2021年四川广元高三三模理科第22题10分2017年四川成都武侯区成都第七中学高三三模2021年四川广元高三三模文科第22题10分2017~2018学年高三单元测试在极坐标系下，知圆O:ρ=cosθ+sinθ和直线l:ρsin(θ−π4)=√22(ρ⩾0,0⩽θ⩽2π)．(1) 求圆O与直线l的直角坐标方程；(2) 当θ∈(0,π)时，求圆O和直线l的公共点的极坐标．【选修4-5：不等式选讲】23、【来源】 2021年四川广元高三三模理科第23题10分2020年安徽合肥高三一模2019~2020学年2月湖北武汉洪山区华中师范大学第一附属中学高三下学期月考理科第23题10分2020~2021学年4月陕西西安雁塔区西北大学附属中学高三下学期月考理科（十模）第23题10分已知函数f(x)=|x−m|−|x+2|(m∈R)，不等式f(x−2)⩾0的解集为(−∞,4]．(1) 求m的值．(2) 若a>0，b>0，c>3，且a+2b+c=2m，求(a+1)(b+1)(c−3)的最大值．1 、【答案】 A;2 、【答案】 D;3 、【答案】 B;4 、【答案】 C;5 、【答案】 C;6 、【答案】 A;7 、【答案】 B;8 、【答案】 C;9 、【答案】 D;10 、【答案】 B;11 、【答案】 A;12 、【答案】 D;13 、【答案】10;14 、【答案】12√3;15 、【答案】②③④;;16 、【答案】42021−1317 、【答案】 (1) 15．17;(2) 2．;18 、【答案】 (1) 没有95%的把握认为参加棋艺社团和参加武术社团有关．;(2) X的分布列为：．期望：E(X)=258;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) √5．3;20 、【答案】 (1) y2=2√2x．;(2) 9√2．4;21 、【答案】 (1) 当a>0时，f(x)在(−∞,lna)上为减函数，在(lna,+∞)上为增函数．;(2) 两个零点．;22 、【答案】 (1) 见解析．;)．(2) (1,π2;23 、【答案】 (1) m=6 ;(2) 32;。
四川省广元市2021届新高考数学教学质量调研试卷含解析
四川省广元市2021届新高考数学教学质量调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为20cm ，高度为100cm ，现往里面装直径为10cm 的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装（ ）2.236≈≈≈） A ．22个 B ．24个C ．26个D ．28个【答案】C 【解析】 【分析】计算球心连线形成的正四面体相对棱的距离为，得到最上层球面上的点距离桶底最远为)()101n +-cm ，得到不等式)101100n +-≤，计算得到答案.【详解】由题意，若要装更多的球，需要让球和铁皮桶侧面相切，且相邻四个球两两相切， 这样，相邻的四个球的球心连线构成棱长为10cm 的正面体，易求正四面体相对棱的距离为，每装两个球称为“一层”，这样装n 层球，则最上层球面上的点距离桶底最远为)()101n +-cm ，若想要盖上盖子，则需要满足)101100n +-≤，解得113.726n ≤+≈， 所以最多可以装13层球，即最多可以装26个球． 故选：C 【点睛】本题考查了圆柱和球的综合问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 2．已知函数()sin(2019)cos(2019)44f x x x ππ=++-的最大值为M ，若存在实数,m n ，使得对任意实数x 总有()()()f m f x f n ≤≤成立，则M m n ⋅-的最小值为（ ） A ．2019πB ．22019π C ．42019πD ．4038π【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的两角和差公式得到()f x =2sin(2019)4x π+，进而可以得到函数的最值，区间(m,n)长度要大于等于半个周期，最终得到结果.函数()sin 2019cos 201944f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)sin 2019cos 2019cos 2019sin 20192x x x x +++)sin 2019cos 20192sin(2019)4x x x π=+=+则函数的最大值为2，2M m n m n ⋅-=-存在实数,m n ，使得对任意实数x 总有()()()f m f x f n ≤≤成立，则区间(m,n)长度要大于等于半个周期，即min 2220192019m n m n ππ-≥∴-=故答案为：B. 【点睛】这个题目考查了三角函数的两角和差的正余弦公式的应用，以及三角函数的图像的性质的应用，题目比较综合.3．已知复数z 满足1z =，则2z i +-的最大值为（ ）A ．23+B ．1+C ．2+D ．6【答案】B 【解析】 【分析】设i,,z a b a b R =+∈，2z i +-=，利用复数几何意义计算. 【详解】设i,,z a b a b R =+∈，由已知，221a b +=，所以点(,)a b 在单位圆上，而2i |(2)(1)i |=z a b +-=++-(,)a b到(2,1)-的距离，故21z i +-≤+=1. 故选：B. 【点睛】本题考查求复数模的最大值，其实本题可以利用不等式|2||||2|z i z i +-≤+-来解决. 4．已知函数()()4,2x f x x g x a x =+=+，若[]121,3,2,32x x ⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤ B ．1a ≥ C ．0a ≤D ．0a ≥【解析】试题分析：由题意知，当11,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由()4424f x x x x x=+≥⋅=，当且仅当4x x =时，即2x =等号是成立，所以函数()f x 的最小值为4，当[]22,3x ∈时，()2xg x a =+为单调递增函数，所以()()min 24g x g a ==+，又因为[]121,3,2,32x x ⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x ≥，即()f x 在1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值不小于()g x 在[]2,3x ∈上的最小值，即44a +≤，解得0a ≤，故选C ． 考点：函数的综合问题．【方法点晴】本题主要考查了函数的综合问题，其中解答中涉及到基本不等式求最值、函数的单调性及其应用、全称命题与存在命题的应用等知识点的综合考查，试题思维量大，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，其中解答中转化为()f x 在1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值不小于()g x 在[]2,3x ∈上的最小值是解答的关键．5．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分； ②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关； ④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步． 其中正确的个数为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】利用图形，判断折线图平均分以及线性相关性，成绩的比较，说明正误即可．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高分，平均成绩为低于分，①错误；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内，②正确；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确； ④乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步，故④不正确． 故选：C ． 【点睛】本题考查折线图的应用，线性相关以及平均分的求解，考查转化思想以及计算能力，属于基础题． 6．如图，在中，点M 是边的中点，将沿着AM 翻折成，且点不在平面内，点是线段上一点.若二面角与二面角的平面角相等，则直线经过的（ ）A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心【答案】A 【解析】 【分析】根据题意到两个平面的距离相等，根据等体积法得到，得到答案.【详解】 二面角与二面角的平面角相等，故到两个平面的距离相等.故，即，两三棱锥高相等，故，故，故为中点.故选：. 【点睛】本题考查了二面角，等体积法，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.7．要得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（ ）A ．向右平移6π个单位 B ．向右平移3π个单位C ．向左平移3π个单位 D ．向左平移6π个单位 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据三角函数的图象平移规则得出正确的结论即可； 【详解】解：函数sin 2sin 236y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∴要得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象向左平移6π个单位． 故选：D ． 【点睛】本题考查三角函数图象平移的应用问题，属于基础题． 8．已知函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为(),f x π的图象向左平移6π个单位长度后关于y 轴对称，则()6f x π-的单调递增区间为( )A ．5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦B ．,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦D ．,63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】先由函数()sin()f x x ωϕ=+的周期和图象的平移后的函数的图象性质得出函数()sin()f x x ωϕ=+的解析式，从而得出()6f x π-的解析式，再根据正弦函数()sin f x x =的单调递增区间得出函数()6f x π-的单调递增区间，可得选项. 【详解】因为函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期是π，所以2ππ=ω，即2ω=，所以()()sin 2f x x ϕ=+，()()sin 2f x x ϕ=+的图象向左平移6π个单位长度后得到的函数解析式为sin 2+sin 2++63y x x ππϕϕ⎤⎡⎫⎛⎫⎛⎫=+=⎥ ⎪ ⎪⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎭⎦，由于其图象关于y 轴对称，所以++2,32k k Z ππϕπ=∈，又2πϕ<，所以6π=ϕ，所以()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以sin 2(+)6sin 2666x f x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣-⎦， 因为()sin f x x =的递增区间是：2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，由+222262k x k πππππ-≤-≤+，k Z ∈，得：63k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，所以函数()6f x π-的单调递增区间为,63k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦（k Z ∈）. 故选：D. 【点睛】本题主要考查正弦型函数的周期性，对称性，单调性，图象的平移，在进行图象的平移时，注意自变量的系数，属于中档题.9．函数3()cos ln ||f x x x x x =+在[,0)(0,]ππ-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】先考虑奇偶性，再考虑特殊值，用排除法即可得到正确答案. 【详解】()f x 是奇函数，排除C ，D ；()2()ln 0f ππππ=-<，排除A.故选：B. 【点睛】本题考查函数图象的判断，属于常考题.10．在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点M 满足2B M M C =，则AB AM ⋅等于（ ） A ．10 B ．9 C ．8 D ．7【答案】D 【解析】 【分析】利用已知条件，表示出向量AM ,然后求解向量的数量积． 【详解】在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点M 满足2B M M C =，可得12.33AM AB AC =+ 则AB AM ⋅=12()33AB AB AC ⋅+=212213347.3332AB AB AC +⋅=+⨯⨯⨯=【点睛】本题考查了向量的数量积运算，关键是利用基向量表示所求向量．11．在直角梯形ABCD 中，0AB AD ⋅=，30B ∠=︒，AB =2BC =，点E 为BC 上一点，且AE xAB y AD =+，当xy 的值最大时，||AE =( )A B ．2C ．2D ．【答案】B 【解析】 【分析】由题，可求出1,AD CD ==2AB DC =，根据共线定理，设(01)BE BC λλ=，利用向量三角形法则求出12AE AB AD λλ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，结合题给AE xAB y AD =+，得出1,2x y λλ=-=，进而得出12xy λλ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，最后利用二次函数求出xy 的最大值，即可求出||AE =.【详解】由题意，直角梯形ABCD 中，0AB AD ⋅=，30B ∠=︒，AB =2BC =，可求得1,AD CD ==2AB DC =·∵点E 在线段BC 上， 设(01)BE BC λλ= ，则()AE AB BE AB BC AB BA AD DC λλ=+=+=+++(1)12AB AD DC AB AD λλλλλ⎛⎫=-++=-+ ⎪⎝⎭，即12AE AB AD λλ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，又因为AE xAB y AD =+ 所以1,2x y λλ=-=，所以2211111(1)1(1)22222xy λλλλ⎛⎫⎡⎤=-=---=--+ ⎪⎣⎦⎝⎭， 当1λ=时，等号成立. 所以1||||22AE AB AD =+=. 故选：B. 【点睛】本题考查平面向量线性运算中的加法运算、向量共线定理，以及运用二次函数求最值，考查转化思想和解题能力. 12．双曲线的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于( )A ．B ．2C ．3D ．6【答案】A 【解析】 【分析】由圆心到渐近线的距离等于半径列方程求解即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，圆心坐标为(3,0)．由题意知，圆心到渐近线的距离等于圆的半径r ，即r＝.答案：A 【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程及直线与圆的位置关系，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年四川省天府名校高考数学诊断性试卷(学生版+解析版)(理科)(4月份)
2021年四川省天府名校高考数学诊断性试卷（理科）（4月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合{|24}x M x =<，集合{|2}1xN x x =-，则(N M = )A ．[1，2)B ．[1，2]C ．(1,2)D ．(1，2]2．（5分）已知复数满足211ii z =--，则||(z = ) A ．5B ．2C ．1D ．2 3．（5分）已知角α的终边绕原点O 逆时针旋转2π后，得到角β的终边，角β的终边过点(8,)P m -，且24cos 5mβ=，则tan α的值为( ) A ．34±B ．34-C ．43-D ．434．（5分）宋代学者聂崇义编撰的《三礼图集注》中描述的周王城，“匠人营国，方九里，旁三门，国中九经九纬⋯”；意思是周王城为正方形，边长为九里，每边都有左中右三个门；城内纵横各有九条路⋯⋯；则依据此种描述，画出周王城的平面图，则图中共有( )个矩形A ．3025B ．2025C ．1225D ．25255．（5分）设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，0(5,)M y 为抛物线C 上一点，以M 为圆心的圆M 与准线l 相切，且过点(9,0)E ，则抛物线的方程为( ) A ．24y x = B ．22y x =C ．236y x =D ．24y x =或236y x =6．（5分）已知a ，b 为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列结论不正确的是( ) A ．若a α⊥，//b α，则b a ⊥ B ．若a α⊂，//αβ，则//a β C ．若//a α，b β⊥，//a b ，则αβ⊥D ．若b αβ=，a α⊂，a b ⊥，则αβ⊥7．（5分）设7log 4a =，172log 3b =，232c =，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．a c b >>8．（5分）若变量x ，y 满足约束条件2,1,,y x x y y a ⎧⎪+⎨⎪⎩且2z x y =+的最小值是2-，则a 的值为()A ．45-B ．54-C ．23-D ．1-9．（5分）函数2()sin 3sin cos f x x x x =+的图象在[0，)m 上恰有两个极大值点．则sin m 的取值范围为( ) A ．33[,]-B ．33[,)-C ．3[1,)- D ．3[1,]- 10．（5分）在ABC ∆中，23BAC π∠=，AD 平分BAC ∠交BC 于D ，且2AD =，则ABC ∆的面积的最小值为( ) A ．3B ．43C ．4D ．6311．（5分）已知三棱锥D ABC -的棱长均为1，现将三棱锥D ABC -绕着DA 旋转，则D ABC -所经过的区域构成的几何体的体积为( )A ．2πB ．4π C ．34π D ．π12．（5分）定义函数F （x ）＝，若函数f （x ）＝x 2﹣2x +1．g （x ）＝x 2﹣ax ﹣b ．且对任意的x ∈R ，都有F （x ）＝F （4﹣x ）成立，函数y ＝F （x ）的图象与y ＝m 自左向右有四个交点A 、B 、C 、D ，则|BC |•m 的范围为（ ） A ．B ．C ．（0，1）D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
四川省广元市2021届新高考第三次模拟数学试题含解析
四川省广元市2021届新高考第三次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数的诱导公式和倍角公式化简即可. 【详解】 因为，由诱导公式得，所以.故选B 【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式和倍角公式，灵活掌握公式是关键，属于基础题. 2．已知数列{}n a 是公差为()d d ≠0的等差数列，且136,,a a a 成等比数列，则1a d=（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答案. 【详解】由136,,a a a 成等比数列得2316a a a =⋅，即()()211125a d a a d +=+，已知0d ≠，解得14a d=. 故选：A . 【点睛】本题考查了等差数列，等比数列的基本量的计算，意在考查学生的计算能力.3．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x 值的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】试题分析：根据题意，当2x ≤时，令213x -=，得2x =±；当2x >时，令2log 3x =，得9x =，故输入的实数值的个数为1．考点：程序框图．4．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ）种. A ．408 B ．120 C ．156 D ．240【答案】A 【解析】 【分析】利用间接法求解，首先对6门课程全排列，减去“乐”排在第一节的情况，再减去“射”和“御”两门课程相邻的情况，最后还需加上“乐”排在第一节，且“射”和“御”两门课程相邻的情况； 【详解】解：根据题意，首先不做任何考虑直接全排列则有66720A =（种），当“乐”排在第一节有55120A =（种），当“射”和“御”两门课程相邻时有2525240A A =（种），当“乐”排在第一节，且“射”和“御”两门课程相邻时有242448A A =（种），则满足“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻的排法有72012024048408--+=（种）， 故选：A ． 【点睛】本题考查排列、组合的应用，注意“乐”的排列对“射”和“御”两门课程相邻的影响，属于中档题．5．己知全集为实数集R ，集合A={x|x 2 +2x-8>0}，B={x|log 2x<1}，则()RA B ⋂等于（ ）A ．[-4,2]B ．[-4,2)C ．(-4,2)D ．(0,2)【答案】D 【解析】 【分析】求解一元二次不等式化简A ，求解对数不等式化简B ，然后利用补集与交集的运算得答案. 【详解】解：由x 2 +2x-8>0，得x ＜-4或x ＞2， ∴A={x|x 2 +2x-8>0}＝{x| x ＜-4或x ＞2}， 由log 2x<1，x ＞0，得0＜x ＜2， ∴B={x|log 2x<1}＝{ x |0＜x ＜2}， 则{}|42RA x x =-≤≤， ∴()()0,2RA B =.故选：D. 【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了对数不等式，二次不等式的求法，是基础题.6．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点为12,F F ，一条渐近线方程为:b l y x a=-，过点1F 且与l 垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于,P Q ，满足11122OP OF OQ =+，则该双曲线的离心率为（ ） AB ．3CD ．2【答案】A 【解析】 【分析】设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 的方程为b x y c a =-，联立方程得到()312222ab y y b a c +=-，()2412222a b y y b a c=-，根据向量关系化简到229b a =，得到离心率.【详解】设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 的方程为bx y c a=-. 联立2222,1,b x y c a x y a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩整理得()44232420b a y ab cy a b --+=，则()()3241212222222,ab a b y y y y b a c b a c +==--.因为11122OP OF OQ =+，所以P 为线段1QF 的中点，所以212y y =，()()()()22622221222222224124942a b b a c y y b y y b a b a c a b -+===⋅--，整理得229b a =， 故该双曲线的离心率10e =. 故选：A .【点睛】本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.7．已知点(25,310A 在双曲线()2221010x y b b-=>上，则该双曲线的离心率为（ ）A 10B 10C 10D ．210【答案】C 【解析】 【分析】将点A 坐标代入双曲线方程即可求出双曲线的实轴长和虚轴长，进而求得离心率. 【详解】将5x =310y =()2221010x y b b-=>得310b =，而双曲线的半实轴10a =，所以2210c a b =+=，得离心率10ce a==故选C. 【点睛】此题考查双曲线的标准方程和离心率的概念，属于基础题.8．已知命题p ：1m =“”是“直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直”的充要条件；命题q ：对任意()2,∈=+a R f x x a 都有零点；则下列命题为真命题的是（ ）A ．()()p q ⌝∧⌝B ．()p q ∧⌝C ．p q ∨D ．p q ∧【答案】A 【解析】 【分析】先分别判断每一个命题的真假，再利用复合命题的真假判断确定答案即可. 【详解】当1m =时，直线0x my -=和直线0x my +=，即直线为0x y -=和直线0x y +=互相垂直， 所以“1m =”是直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直“的充分条件， 当直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直时，21m =，解得1m =±. 所以“1m =”是直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直“的不必要条件.p ：“1m =”是直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直“的充分不必要条件，故p 是假命题．当1a =时，2()1f x x =+没有零点， 所以命题q 是假命题．所以()()p q ⌝∧⌝是真命题，()p q ∧⌝是假命题，p q ∨是假命题，p q ∧是假命题． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查充要条件的判断和两直线的位置关系，考查二次函数的图象， 考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．给出50个数 1，2，4，7，11，，其规律是：第1个数是1，第2个数比第1个数大 1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，以此类推，要计算这50个数的和．现已给出了该问题算法的程序框图如图，请在图中判断框中的①处和执行框中的②处填上合适的语句，使之能完成该题算法功能( )A ．i 50≤；p p i =+B ．i 50<；p p i =+C ．i 50≤；p p 1=+D ．i 50<；p p 1=+【答案】A 【解析】 【分析】要计算这50个数的和，这就需要循环50次，这样可以确定判断语句①，根据累加最的变化规律可以确定语句②. 【详解】因为计算这50个数的和，循环变量i 的初值为1，所以步长应该为1，故判断语句①应为1i i =+，第1个数是1，第2个数比第1个数大 1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，这样可以确定语句②为p p i =+，故本题选A. 【点睛】本题考查了补充循环结构，正确读懂题意是解本题的关键.10．设a ，b ，c 为正数，则“a b c +>”是“222a b c +>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不修要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】 解：a ，b ，c 为正数，∴当2a =，2b =，3c =时，满足a b c +>，但222a b c +>不成立，即充分性不成立，若222a b c +>，则22()2a b ab c +->，即222()2a b c ab c +>+>，a b c +>，成立，即必要性成立， 则“a b c +>”是“222a b c +>”的必要不充分条件， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的性质是解决本题的关键． 11．已知{}1A x x =<，{}21xB x =<，则A B =（ ）A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,-+∞D ．(),1-∞【答案】D 【解析】 【分析】分别解出集合,A B 、然后求并集. 【详解】解：{}{}111A x x x x =<=-<<，{}{}210xB x x x =<=<A B =(),1-∞故选：D 【点睛】考查集合的并集运算，基础题. 12．设数列{}()*n a n N ∈的各项均为正数，前n 项和为nS，212log 1log n n a a +=+，且34a =，则6S =（ ） A ．128 B ．65C ．64D ．63【答案】D 【解析】 【分析】根据212log 1log n n a a +=+，得到212log l g 2o n n a a +=，即12n n a a +=，由等比数列的定义知数列{}n a 是等比数列，然后再利用前n 项和公式求6S . 【详解】因为212log 1log n n a a +=+， 所以212log l g 2o n n a a +=， 所以12n n a a +=，所以数列{}n a 是等比数列， 又因为34a =， 所以312414a a q ===， ()()6616111263112a q S q-⨯-===--.故选：D 【点睛】本题主要考查等比数列的定义及等比数列的前n 项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
四川省广元市2021届新高考数学最后模拟卷含解析
四川省广元市2021届新高考数学最后模拟卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．要得到函数2sin 2y x x =-的图像，只需把函数sin 22y x x =-的图像（ ）A ．向左平移2π个单位 B ．向左平移712π个单位 C ．向右平移12π个单位D ．向右平移3π个单位 【答案】A 【解析】 【分析】运用辅助角公式将两个函数公式进行变形得2sin 23y x π⎛⎫=--⎪⎝⎭以及2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,按四个选项分别对2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭变形，整理后与2sin 23y x π⎛⎫=--⎪⎝⎭对比，从而可选出正确答案. 【详解】 解：1sin 22sin 22sin 22sin 22233y x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1sin 222sin 222sin 223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===-. 对于A ：可得2sin 22sin 22sin 22333y x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故选:A. 【点睛】本题考查了三角函数图像平移变换，考查了辅助角公式.本题的易错点有两个，一个是混淆了已知函数和目标函数;二是在平移时，忘记乘了自变量前的系数. 2．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是( )A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④ 【答案】D【解析】【分析】利用线面平行和垂直，面面平行和垂直的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择．【详解】当两个平面相交时，一个平面内的两条直线也可以平行于另一个平面，故①错误；由平面与平面垂直的判定可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线还可以相交或者异面，故③错误；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．综上，真命题是②④.故选：D【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．3．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为=．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n (mod)=，例如112(mod3)N n m等于（）．A．21B．22C．23D．24【答案】C【解析】从21开始，输出的数是除以3余2，除以5余3，满足条件的是23，故选C.4．蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系；用均匀投点实现统计模拟和抽样，以获得问题的近似解，故又称统计模拟法或统计实验法.现向一边长为2a的正方形模型内均匀投点，落入阴影部分的概率为p，则圆周率π≈（）A ．42p +B ．41p +C ．64p -D ．43p +【答案】A 【解析】 【分析】计算出黑色部分的面积与总面积的比，即可得解. 【详解】由2222244S a a p S a ππ--===阴正，∴42p π=+. 故选：A 【点睛】本题考查了面积型几何概型的概率的计算，属于基础题.5．已知向量(22cos 3m x =，()1,sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是( )A ．关于直线12x π=对称B ．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．周期为2π D ．()y f x =在,03π⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】()22cos 32cos 23212sin(2)16f x x x x x x π=+=+=++，当12x π=时,sin(2)sin163x ππ+=≠±,∴f(x)不关于直线12x π=对称；当512x π=时,2sin(2)116x π++= ,∴f(x)关于点5(,1)12π对称； f(x)得周期22T ππ==，当(,0)3x π∈-时,2(,)626x πππ+∈-,∴f(x)在(,0)3π-上是增函数． 本题选择D 选项.6．函数()xf x e ax =+（0a <）的图像可以是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】根据()0,0x f x <>，可排除,A D ，然后采用导数，判断原函数的单调性，可得结果. 【详解】由题可知：0a <，所以当0x <时，()0f x >， 又()'x f x e a =+，令()'0f x >，则()ln x a >- 令()'0fx <，则()ln x a <-所以函数()f x 在()(),ln a -∞-单调递减 在()()ln ,a -+∞单调递增， 故选：B 【点睛】本题考查函数的图像，可从以下指标进行观察：（1）定义域；（2）奇偶性；（3）特殊值；（4）单调性；（5）值域，属基础题.7．定义：{}()()N f x g x ⊗表示不等式()()f x g x <的解集中的整数解之和.若2()|log |f x x =，2()(1)2g x a x =-+，{}()()6N f x g x ⊗=，则实数a 的取值范围是A ．(,1]-∞-B ．2(log 32,0)-C ．2(2log 6,0]-D ．2log 32(,0]4- 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】由题意得，{}()()6N f x g x ⊗=表示不等式22|log |(1)2x a x <-+的解集中整数解之和为6.当0a >时，数形结合（如图）得22|log |(1)2x a x <-+的解集中的整数解有无数多个，22|log |(1)2x a x <-+解集中的整数解之和一定大于6.当0a =时，()2g x =，数形结合（如图），由()2f x 解得144x <<.在1(,4)4内有3个整数解，为1，2，3，满足{}()()6N f x g x ⊗=，所以0a =符合题意.当0a <时，作出函数2()|log |f x x =和2()(1)2g x a x =-+的图象，如图所示.若{}()()6N f x g x ⊗=，即22|log |(1)2x a x <-+的整数解只有1，2，3.只需满足(3)(3)(4)(4)f g f g <⎧⎨≥⎩，即2log 342292a a <+⎧⎨≥+⎩，解得2log 3204a -<≤，所以2log 3204a -<<. 综上，当{}()()6N f x g x ⊗=时，实数a 的取值范围是2log 32(,0]4-.故选D.8．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 可以为（ ）A ．3()3x f x x=-B ．e e ()x xf x x --= C ．2()f x x x =-D ．||e ()xf x x=【答案】A 【解析】 【分析】根据图象可知，函数()f x 为奇函数，以及函数在()0,∞+上单调递增，且有一个零点，即可对选项逐个验证即可得出． 【详解】首先对4个选项进行奇偶性判断，可知，e e ()x xf x x--=为偶函数，不符合题意，排除B ；其次，在剩下的3个选项,对其在()0,∞+上的零点个数进行判断, ||e ()xf x x=在()0,∞+上无零点, 不符合题意，排除D ；然后,对剩下的2个选项,进行单调性判断, 2()f x x x=-在()0,∞+上单调递减, 不符合题意，排除C. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查图象的识别和函数性质的判断，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于容易题． 9．已知向量11,,2a b m ⎛⎫==⎪⎝⎭，若()()a b a b +⊥-，则实数m 的值为（ ） A ．12B ．3C ．12±D ．3±【答案】D 【解析】 【分析】由两向量垂直可得()()0a b a b +⋅-=，整理后可知220a b -=，将已知条件代入后即可求出实数m 的值. 【详解】解：()()a b a b +⊥-，()()0a b a b ∴+⋅-=，即220a b -=，将1a =和22212b m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭代入，得出234m =，所以2m =±. 故选:D. 【点睛】本题考查了向量的数量积，考查了向量的坐标运算.对于向量问题，若已知垂直，通常可得到两个向量的数量积为0，继而结合条件进行化简、整理.10．若424log 3,log 7,0.7a b c ===，则实数,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．c a b >> C ．b a c >> D ．c b a >>【答案】A 【解析】 【分析】将a 化成以4 为底的对数，即可判断,a b 的大小关系；由对数函数、指数函数的性质，可判断出,b c 与1的大小关系，从而可判断三者的大小关系. 【详解】依题意，由对数函数的性质可得244log 3log 9log 7a b ==>=.又因为40440.70.71log 4log 7c b =<==<=，故a b c >>.故选:A. 【点睛】本题考查了指数函数的性质，考查了对数函数的性质，考查了对数的运算性质.两个对数型的数字比较大小时，底数相同，则构造对数函数，结合对数的单调性可判断大小；若真数相同，则结合对数函数的图像或者换底公式可判断大小；若真数和底数都不相同，则可与中间值如1,0比较大小.11．若复数z 满足2312z z i -=+，其中i 为虚数单位，z 是z 的共轭复数，则复数z =（ ）A ．B ．C ．4D ．5【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的四则运算法则先求出复数z ，再计算它的模长． 【详解】解：复数z ＝a+bi ，a 、b ∈R ； ∵2z 312z i -=+，∴2（a+bi ）﹣（a ﹣bi ）＝312i +， 即23212a a b b -=⎧⎨+=⎩，解得a ＝3，b ＝4， ∴z ＝3+4i ，∴|z|5=． 故选D ． 【点睛】本题主要考查了复数的计算问题，要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式，是基础题． 12．若ABC ∆的内角A 满足2sin 23A =-，则sin cos A A -的值为（ ）A B ． C D ．5-3【答案】A 【解析】 【分析】由2sin 22sin cos 3A A A ==-，得到1sin cos 03A A =-<，得出(,)2A ππ∈，再结合三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】由题意，角A 满足2sin 22sin cos 3A A A ==-，则1sin cos 03A A =-<， 又由角A 是三角形的内角，所以(,)2A ππ∈，所以sin cos A A >，因为()225sin cos 12sin cos 1()33A A A A -=-=--=，所以sin cos A A -=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了正弦函数的性质，以及三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式的化简、求值问题，着重考查了推理与计算能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
四川省广元市2020-2021学年高三第三次诊断性考试数学(文)试题
由题,组合体中圆锥的体积为 .圆柱的体积为 .
故总体积为 .
故选：C
【点睛】
本题主要考查了根据三视图求圆锥圆柱的体积,属于基础题型.
4．B
【分析】
设 ,再表达出 的坐标,再利用抛物线的性质求解即可.
【详解】
设 ,则 ,又点M到y轴的距离为2,故 ,即 ,又 , .故 .
故选：B
【点睛】
本题主要考查了抛物线的焦半径公式,属于基础题型.
9．若三棱锥P﹣ABC的底面边长与侧棱长都是3，则它的内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数f（x）＝sin（ωx+2φ）﹣2sinφcos（ωx+φ）（ω＞0，φ∈R）的图象的相邻两条对称轴相距 个单位，则ω＝（ ）
A．1B． C． D．2
11．已知函数f（x） 其中[x]表示不超过x的最大整数，若直线y＝kx+k（k＞0）与y＝f（x）的图象恰有三个不同的交点，则k的取值范围是（ ）
A．{x|x≤3}B．{x|﹣1＜x＜3}C．{x|0≤x＜3}D．{x|﹣1＜x≤3}
3．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．28πB．22πC．20πD．18π
4．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点M到y轴的距离为2，则|AB|＝（ ）
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求 的值．
23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣|x+1|．
（1）求不等式f（x）≤﹣1的Байду номын сангаас集M；
（2）结合（1），若m是集合M中最大的元素，且a+b＝m（a＞0，b＞0），求 的最大值．
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四川省广元市2021届新高考三诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知i 为虚数单位，则()2312ii i +=-（ ） A ．7455i + B ．7455i - C ．4755i + D ．4755i - 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数乘除运算法则，即可求解. 【详解】()()()()()2322323741222255i i i i i i i i i i +-++===+-++-.故选：A. 【点睛】本题考查复数代数运算，属于基础题题.2．已知集合{}{}2340,13A x x x B x x =-->=-≤≤，则R ()A B =( )A ．()1,3-B ．[]1,3-C ．[]1,4-D ．()1,4-【答案】B 【解析】 【分析】先由2340x x -->得4x >或1x <-，再计算R ()A B 即可.【详解】由2340x x -->得4x >或1x <-，()(),14,A ∴=-∞-⋃+∞，[]R 1,4A =-,又{}13B x x =-≤≤，[]R()1,3A B ∴=-.故选：B 【点睛】本题主要考查了集合的交集，补集的运算，考查学生的运算求解能力.3．已知a>0，b>0，a+b =1，若 α=11a b a bβ+=+，，则αβ+的最小值是（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，将a 、b 代入αβ+，利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】∵a>0，b>0，a+b=1，∴211111152a b a bab a b αβ+=+++=+≥+=+⎛⎫⎪⎝⎭， 当且仅当12a b ==时取“＝”号． 答案：C 【点睛】本题考查基本不等式的应用，“1”的应用，利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是首先要判断参数是否为正；二定是其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是最后一定要验证等号能否成立，属于基础题.4．观察下列各式：2x y ⊗=，224x y ⊗=，339x y ⊗=，4417x y ⊗=，5531x y ⊗=，6654x y ⊗=，7792x y ⊗=，，根据以上规律，则1010x y ⊗=（ ）A ．255B ．419C ．414D ．253【答案】B 【解析】 【分析】每个式子的值依次构成一个数列{}n a ，然后归纳出数列的递推关系12n n n a a a n --=++后再计算． 【详解】以及数列的应用根据题设条件，设数字2，4，9，17，31，54，92，构成一个数列{}n a ，可得数列{}n a 满足12n n n a a a n --=++()*3,n n ≥∈N ，则876854928154a a a =++=++=，9879154929255a a a =++=++=，10981025515410419a a a =++=++=．故选：B ．【点睛】本题主要考查归纳推理，解题关键是通过数列的项归纳出递推关系，从而可确定数列的一些项． 5．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）．若从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦，这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】B 【解析】 【分析】基本事件总数为6个，都恰有两个阳爻包含的基本事件个数为3个，由此求出概率. 【详解】解：由图可知，含有两个及以上阳爻的卦有巽、离、兑、乾四卦，取出两卦的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（巽，乾），（离，兑），（离，乾），（兑，乾）共6个，其中符合条件的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（离，兑）共3个， 所以，所求的概率3162P ==. 故选：B. 【点睛】本题渗透传统文化，考查概率、计数原理等基本知识，考查抽象概括能力和应用意识，属于基础题． 6．已知命题p ：,x R ∃∈使1sin 2x x <成立． 则p ⌝为（ ） A ．,x R ∀∈1sin 2x x ≥均成立 B ．,x R ∀∈1sin 2x x <均成立 C ．,x R ∃∈使1sin 2x x ≥成立D ．,x R ∃∈使1sin 2x x 成立 【答案】A 【解析】试题分析：原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即:p ⌝,sin 2x x x ∀∈≥R ． 考点：全称命题.7．过抛物线()220y px p =>的焦点F 作直线与抛物线在第一象限交于点A ，与准线在第三象限交于点B ，过点A 作准线的垂线，垂足为H .若tan 2AFH ∠=，则AF BF=（ ）A ．54B ．43C ．32D ．2【答案】C 【解析】 【分析】需结合抛物线第一定义和图形，得AFH 为等腰三角形，设准线与x 轴的交点为M ，过点F 作FC AH ⊥，再由三角函数定义和几何关系分别表示转化出()cos 2pBF πα=-，()tan sin 2p AF απα=-，结合比值与正切二倍角公式化简即可【详解】如图，设准线与x 轴的交点为M ，过点F 作FC AH ⊥.由抛物线定义知AF AH =， 所以AHF AFH α∠=∠=，2FAH OFB πα∠=-=∠，()()cos 2cos 2MF pBF παπα==--，()()()tan tan sin 2sin 2sin 2CF CH p AF ααπαπαπα===---，所以()2tan tan tan 13tan 2tan 222AFBF αααπαα-====--.故选：C 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，三角函数的性质，数形结合思想，转化与化归思想，属于中档题8．如图，2AB =是圆O 的一条直径，,C D 为半圆弧的两个三等分点，则()AB AC AD ⋅+=（ ）A ．52B ．4C ．2D ．13+【答案】B 【解析】 【分析】连接CD 、OD ，即可得到60CAB DOB ︒∠=∠=，1AC =，再根据平面向量的数量积及运算律计算可得； 【详解】解：连接CD 、OD ，C ，D 是半圆弧的两个三等分点， //CD AB ∴，且2AB CD =，60CAB DOB ︒∠=∠=所以四边形AODC 为棱形，1cos 1212AC AB AC AB BAC ∴=∠=⨯⨯= ∴()11222AB AC AD AB AC AC AB AB AC AB ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2122AC AB AB =+． 2121242=⨯+⨯=故选：B【点睛】本题考查平面向量的数量积及其运算律的应用，属于基础题.9．已知函数f （x ）＝e b ﹣x ﹣e x ﹣b +c （b ，c 均为常数）的图象关于点（2，1）对称，则f （5）+f （﹣1）＝（ ） A ．﹣2 B ．﹣1C ．2D ．4【答案】C 【解析】 【分析】根据对称性即可求出答案． 【详解】解：∵点（5，f （5））与点（﹣1，f （﹣1））满足（5﹣1）÷2＝2，故它们关于点（2，1）对称，所以f （5）+f （﹣1）＝2， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查函数的对称性的应用，属于中档题．10．已知双曲线()222:10y C x b b-=>的一条渐近线方程为y =，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且13PF =，则2PF =( ) A ．9 B ．5C ．2或9D ．1或5【答案】B 【解析】 【分析】根据渐近线方程求得b ，再利用双曲线定义即可求得2PF . 【详解】由于ba=b = 又122PF PF -=且22PF c a ≥-=， 故选：B. 【点睛】本题考查由渐近线方程求双曲线方程，涉及双曲线的定义，属基础题.11．在ABC ∆中，内角A 的平分线交BC 边于点D ，4AB =，8AC =，2BD =，则ABD ∆的面积是（ ）A ．B ．C ．3D ．【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理求出CD ，可得出BC ，然后利用余弦定理求出cos B ，进而求出sin B ，然后利用三角形的面积公式可计算出ABD ∆的面积. 【详解】AD 为BAC ∠的角平分线，则BAD CAD ∠=∠.ADB ADC π∠+∠=，则ADC ADB π∠=-∠，()sin sin sin ADC ADB ADB π∴∠=-∠=∠，在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AB BDADB BAD =∠∠，即42sin sin ADB BAD=∠∠，①在ACD ∆中，由正弦定理得sin sin AC CD ADC ADC =∠∠，即8sin sin CDADC CAD=∠∠，②①÷②得212CD =，解得4CD =，6BC BD CD ∴=+=，由余弦定理得2221cos 24AB BC AC B AB BC +-==-⋅，sin B ∴==因此，ABD ∆的面积为1sin 2ABD S AB BD B ∆=⋅=故选：B. 【点睛】本题考查三角形面积的计算，涉及正弦定理和余弦定理以及三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题.12．已知3log 74a =，2log b m =，52c =，若a b c >>，则正数m 可以为（ ） A ．4 B ．23C ．8D ．17【答案】C 【解析】 【分析】首先根据对数函数的性质求出a 的取值范围，再代入验证即可； 【详解】解：∵3333log 27log 74log 814a =<=<=，∴当8m =时，2log 3b m ==满足a b c >>，∴实数m 可以为8. 故选：C 【点睛】本题考查对数函数的性质的应用，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知多项式54(1)(12)ax x +-的各项系数之和为32，则展开式中含x 项的系数为______． 【答案】3- 【解析】 【分析】令1x =可得各项系数和为54(1)(12)32a +-=，得出1a =,根据第一个因式展开式的常数项与第二个因式的展开式含x 一次项的积与第一个因式展开式含x 的一次项与第二个因式常数项的积的和即为展开式中含x 项，可得解.【详解】 令1x =，则得54(1)(12)32a +-=， 解得1a =，所以54(1)(12)x x +-展开式中含x 项为：11451(2)()1853C x C x x x x ⨯-+⨯=-+=-，故答案为：3- 【点睛】本题主要考查了二项展开式的系数和，二项展开式特定项，赋值法，属于中档题.14．两光滑的曲线相切，那么它们在公共点处的切线方向相同．如图所示，一列圆()222:n n n C x y a r +-= (a n >0，r n >0，n=1，2…)逐个外切，且均与曲线y=x 2相切，若r 1=1，则a 1=___，r n =______【答案】54n 【解析】 【分析】第一空：将圆()1122:1C x y a +-=与2yx 联立，利用0∆=计算即可；第二空：找到两外切的圆的圆心与半径的关系11n n n n a a r r --=++，再将()222:n n n C x y a r +-=与2y x 联立，得到214n n a r =+，与11n n n n a a r r --=++结合可得n r 为等差数列，进而可得n r . 【详解】当r 1=1时，圆()1122:1C x y a +-=， 与2yx 联立消去y 得()22112110y a y a --+-=，则()()221121410a a ∆=---=，解得154a =； 由图可知当2n ≥时，11n n n n a a r r --=++①， 将()222:n n n C x y a r +-=与2yx 联立消去y 得()222210n n n y a y a r --+-=，则()()2222140n n na a r ∆=---=，整理得214n n a r=+，代入①得22111144n n n n r r r r --+=+++， 整理得11n n r r --=， 则()11n r r n n =+-=. 故答案为：54；n . 【点睛】本题是抛物线与圆的关系背景下的数列题，关键是找到圆心和半径的关系，建立递推式，由递推式求通项公式，综合性较强，是一道难度较大的题目.15．如图，在平面四边形ABCD 中，点A ，C 是椭圆22143x y +=短轴的两个端点，点B 在椭圆上，90BAD BCD ∠=∠=︒，记ABC 和ADC 的面积分别为1S ，2S ，则12S S =______.【答案】43【解析】 【分析】依题意易得A 、B 、C 、D 四点共圆且圆心在x 轴上，然后设出圆心，由圆的方程与椭圆方程联立得到B 的横坐标，进一步得到D 横坐标，再由12||||B D S x S x =计算比值即可. 【详解】因为90BAD BCD ∠=∠=︒，所以A 、B 、C 、D 四点共圆，直径为BD ，又A 、C 关于x 轴对称，所以圆心E 在x 轴上，设圆心E 为(,0)t ，则圆的方程为222()3x t y t -+=+，联立椭圆方程22143x y +=消y 得280x tx -=，解得8x t =，故B 的横坐标为8t ，又B 、D 中点是E ，所以D 的横坐标为6t -， 故12||||B D S x S x =43=.故答案为：43. 【点睛】本题考查椭圆中的四点共圆及三角形面积之比的问题，考查学生基本计算能力及转化与化归思想，本题关键是求出B 、D 横坐标，是一道有区分度的压轴填空题.16．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213x y -=的右准线与渐近线的交点在抛物线22y px =上，则实数p 的值为________. 【答案】14【解析】 【分析】求出双曲线2213x y -=的右准线与渐近线的交点坐标，并将该交点代入抛物线的方程，即可求出实数p 的方程. 【详解】双曲线2213x y -=的半焦距为2，则双曲线2213x y -=的右准线方程为32x =，渐近线方程为3y x =±，所以，该双曲线右准线与渐近线的交点为3,2⎛ ⎝⎭.由题意得23222p ⎛⎫±=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭，解得14p =. 故答案为：14.【点睛】本题考查利用抛物线上的点求参数，涉及到双曲线的准线与渐近线方程的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：共70分。