轮胎之振动与噪 声
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从左图开始观察，90至250赫兹是第一带，从最低四个节点随频率增加到十六个节点；特点是阻尼低，0度到 的振幅衰减很少。第二带是从280到400赫兹，阶数更高，20以上，阻尼明显加大，同时振动幅度最大，尤其是在敲击点附近。400赫兹以上有若干个振动带，特点是阻尼很大，到1000赫兹时，振动几乎传递不出去。
第14页
轮胎高速越过路面障碍物比低速时要复杂得多。这里在转鼓上的障碍物是5厘米厚60厘米长，左图是垂直向之力的反应，两次冲击震荡显示进入和离开时的状况。右图是纵向力的反应。
第15页
本图说明轮胎的振动传递到乘客，其中有三次过滤，即轮胎、车身和人体。
第16页
轮胎做为机械振动的过滤器有三个频率段：1）30赫兹以下，轮胎像个弹簧，由轮胎径向刚性决定，2）30到250赫兹之间，由轮胎胎体振动的不同模态及其本征频率决定，这里胎体振动的阻尼较小，3）250赫兹以上，这里也是由轮胎振动的高阶模态决定，其特点是阻尼随频率大为增高。
第43页
左图演示的是胎冠断面的胎体振动模态之概要，横轴是圆周向模态号码，纵轴是频率；其中不同家族的断面振动模态，以m= 1, 3, 5, 7…为模态号码。很明显，如果在振幅最高点加零度带，是简易的降低胎体振动的良法，且不会增加阻尼和能耗。
第44页
果不其然，米其林在2011年得到的美国专利便是在胎冠以及左右肩部加零度带（m= 5），可以降低胎体振动及其噪声。
其次让我们比较右图，即充气压增加一倍时，会有那些变化？首先，所有对应的模态的本证频率都升高了，例如第二带的频率范围，升高至300到470赫兹；更重要的是阻尼降低了。这个现象的解释很简单，即当充气压增高时，所有帘线的张力增加，橡胶变形产生的力，对充气压的平衡之贡献降低了，从而由橡胶变形产生的能量速损耗相对也减小了。根据右图，此轿车胎的胎体振动振幅最大，发声面积最高的是第二带，频率范围在300到470赫兹之间。
L= ,n =正整数，则车身会产生严重的纵摇（Pitching,或者叫做俯仰或前后波动）。
第21页
车子纵摇时幅度大小和位置相关，图中显示离重心近的前座的振动幅度要比后座为小。
第22页
和页20相比，当L= n(n为整数)时，车子会产生上下跳动（Bouncing）。
第23页
改善车身振动，主要是靠车轮的悬挂系统。右图的悬挂系统用的是叶片弹簧，常见于载重量较大的车子；左图还显示了减震器的位置。
轮胎基础知识讲座第五讲轮胎之振动与噪声
第2页
欧洲轮胎新法规2012年11月起生效，是改进环保的一种措施，也对外贸易的技术壁垒；比起美国对中国轮胎的惩罚性关税的办法，要文明得多。贴标签的规定，将影响顾客购买轮胎的决定过程，对中国轮胎而言，既是刁难，但如果我们的轮胎质量能得到优质的评定，那么就是一种免费的宣传，所以也是一种机遇。
下图演示当激励来自接地面，并且是纵向时的试验安排；胎面不同部位的振动是周向的，激光不利于测量，因此改为用加速度传感器来测量。
左上图的激光测量，由于没有直接接触，没有惯性，有利于高频率测量。
第35页
这里演示不同的振动模态及其编号。上半部的图代表径向振动，红色线和棕色线代表相反方向的最大振动。接地点不算，红棕线的交叉点为节点，节点的数目愈大则模态的阶数越高；用大写的R代表径向振动模态，节点数除以2，为其阶数。例如上面第一排中间的图有3个节点，其模态编号为R1.5，其余以此类推。
胎侧的包容性改善可以来自于胎体帘线张力的下降：我们可以缩短胎侧柔软薄膜部分的宽度，使得胎侧下沉后，子午帘线之张力大幅下降。即利用上、下三角胶有效地控制胎侧胎体刚性之变化（请复习第一讲中的薄膜理论）。
第12页
我们接着讲轮胎胎体振动及其传递作用。
第13页
本图演示不同胎体结构，对冲击波传递的特性。这是用激光全息摄影技术，显示斜交胎的胎体受冲击后，变形是局部性的，而子午轮胎由于钢丝带束层的关系，振动可以传至轮胎全体。
第17页
本表显示人体对振动之不同的加速度（或g值）的反应；看来0.1个g就开始相当不舒服了。
第18页
本表显示振动频率与人的感觉之间的关系。
第19页
下面简单介绍轮胎/悬挂系统，其振动和共振以及力的传递。
第20页
车内的振动除了路面障碍物的冲击所引起的之外，本图所示是路面的高低不平的作用；这里指出如果路面高低变化的周期，，与前后轮距离，L，满足以下的公式，
第24页
左图显示的悬挂系统中，弹簧和减震器是套在一起的，常见于轿车。为了简化分析，我们只考虑一个轮子，也就是所谓1/4车模型的悬架系统，用右边的简单模型代表，其中
MS:簧载质量，指此轮承担的车身重量（约全车1/4），减去轮胎组合及悬挂系统；
MU:非簧载质量，指的是轮胎组合及悬挂系统；
KS:悬架弹簧，及其弹性系数；
第42页
这里总结关于轮胎胎体振动的主要观察点：
1）各态本征频率由轮胎结构决定，是无可避免的，其各个模态的本征频率可以有限度地调变，虽然增加阻尼可能可以降低振幅，但是不利于滚动能耗。
2）高于1000 Hz的振动阻尼很大，换言之，发声效率会很差。
3）增加充气压後本征频率升高，阻尼下降会消失，意味着胎体振动产生的噪声会加大。
；振幅X,相位角 之公式如图中所示。
第31页
受迫振动模型中振幅X随频率比 和阻尼大小的变化。当接近共振，即r 1,振幅会变大，而阻尼大，即加大，则有利于降低振幅。
第32页
这里演示相位角随频率和阻尼的变化。
第33页
下面开始讨论轮胎胎体的振动与模态分析。
第34页
左上演示模态分析实验的一种安排，即接地点（0º）固定不动，激励器在接地点附近敲击，而胎面的振动用激光测距仪测量。右上图演示振动幅度随角度位置而变化。
第45页
这是米其林利用C3M新技术设计的轮胎结构图，显示了前页讨论的3条减震用的零度带。
第46页
我们接着讨论均匀性与轮胎振动的关系。
第47页
轮胎的不均匀问题主要有三方面，即1）几何形状的不均匀，通俗语言就是不够圆，有径向和横向得到不均匀性，2）胎体刚性的不均匀，有径向刚性、横向刚性和胎冠纵向弯曲刚性，沿着圆周方向的变化，即不均匀，3）胎体质量沿圆周向分布的不均匀。
本图显示，右边的方形波和下面的锯齿波随着项数N的增加，傅里叶级数就能愈来愈准确地代表它们。
第40页
这里进一步计算前图的锯齿波函数，把系数 算出来；这些系数代表的就是对应阶数的正弦或余弦函数的振幅大小。右下图把这些振幅的绝对值按阶数升高画出来，其横轴代表的就是频率逐渐升高；换言之，这就是这个锯齿波的频谱图。
在滚动阻力、通过噪声及湿地抓着力三项中，噪声是难度最高的。
第3页
这是欧洲新法规的轮胎噪声标准，其中C1是轿车胎；C2，轻卡轮胎；C3，卡车胎。
第4页
在欧洲新法规裡，对噪声特别低的轮胎授以Low Noise的标签。
第5页
我们要以欧洲新法规之挑战为契机，应该及时改进轮胎性能，不但要合格，而且要以中间偏上为目标。我们应当加强研发水平，制造并销售高性价比的轮胎，为提高利润，打好基础。
第50页
轮胎的横向不均匀Lateral Run-Out，LRO，通常是量胎冠某一点沿圆周向的位置偏离中心面的距离之变化。在轮胎滚动时，会产生横向力的变化。
第51页
胎面平点变形（Flat Spot），通常发生在车子行走一段时间之后，在轮胎温度下降过程产生的变形；造成接地面部分形成平点，即不圆了；经过一段时间的行走升温，轮胎才能恢复正常。原因在于一般的聚酯帘线在冷却过程中缩短的多少是受张力大小控制的；接地区的张力下降大，会缩得比较短，于是造成变形，致使局部变平。在此，帘线的力学/温度特性在此非常重要，聚酯有问题，尼龙的问题更大。目前，一般的办法是加一道工序，即PCI（Post Inflation Cure）,意即在轮胎硫化过程中，让胎体帘线在高张力的状况下，冷却回归常温，如此帘线的温度稳定性较高，可以改善胎面平点变形问题。另外，则是使用稳定性高的聚酯帘线，即高DSP（High Dimension Stable Polyester）帘线。
本图给出运动方程式之解，并且在右图将i）欠阻尼（1），ii）临界阻尼（1）和iii）过阻尼（1）的不同表示出来。欠阻尼时余震大，舒适性低；过阻尼则冲击力缓慢消退，也是不好；最理想的是临界阻尼，冲击力下降得快，而且没有余震。关键在于选择适当的减震器，即 。
第30页
在第28页的运动方程式力加入受迫振动，即F 0，此处 ，其解为
奥
第41页
这里是第38页Bolton教授轮胎振动径向模态分析实验的结果。左图的轮胎充气压是20psi,右图是40psi。横轴是角坐标，从-到，也就是-180度到+180度；纵轴是振动频率，从0到1000赫兹。假设我们选定一点，在轮胎赤道上-90度的位置，用激光量出其径向位移的周期函数，然后用傅里叶法得出其振动频谱。我们在横轴-90度的位置画一条垂直线（即频率轴）沿着此轴上将频谱用颜色尺画出；如此将沿赤道一周所有的结果都画出来，就可得到本页图的最后结果。
第48页
轮胎不均匀造成力的变化：
RFV (Radial force variation)
LFV (Lateral force variation)
TFV (Tangential force variation)
这些是胎体振动的主要激励源。
第49页
这里演示的是轮胎径向不均匀（Radial Run-Out，RRO）的定义，以及滚动时引起垂直向的力的变化。
下半部的图代表横向振动，这里节点的计算法不同，以左右振动时不动的部分为节点，因此接地点算作节点。其余和前面所述的一样，横向振动模态以T为代表。如图所示T0.5只有接地点一个节点，所以是0.5阶；T1.5的三个节点，如图所标示；T1.0只有接地点和顶点两个节点；其余类推。
第36页
本图演示径向振动模态，R0.5,R1明显，本征频率是随着模态阶数而增高的。
C:悬架减震器，及其减震系数；
Kt:轮胎作为一个弹簧，及其弹性系数。
请注意，这里悬挂系统的弹簧和减震器是并联的。
第25页
我们用x0, x1, x2分别代表轮胎接地点，非簧载质量中心和簧载质量中心的坐标；
簧载质量MS和非簧载质量MU的运动程式如右下所示。
第26页
这里说明1）对簧载质量MS而言，轮胎和悬挂系统的两个弹簧是串联的，因此其等效弹簧是二者的串联，即 ; 2)对非簧载质量MU而言，轮胎和悬挂系统的两个弹簧是并联的，因此其等效弹簧是二者的并联，即 ；图中右边给的例子指出，簧载质量MS的振动固有频率为1.5赫兹，而对非簧载质量MU的固有频率则是13赫兹。
第37页
同样，横向振动模态，T0.5,T1.0,T1.5,T2.0的本征频率分别为48,61,90和111赫兹。
第38页
这是Purdue大学的Bolton教授的轮胎振动模态分析实验的装置。左边是激励振动器，轮胎赤道面上的白点是反光漆，用以改善激光测距仪的信号。
第39页
在这里我们简单复习一下傅里叶级数法。法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示，後世稱為傅里叶级数( Fourier series)。如图所示，这里 是周期函数，。傅里叶说 , ，以及其更高阶的 , 诸函数的级数来表征，如图中的第一行公式所示，其中 代表只到第N项的级数。其中的系数 和 可以用第二和第三条公式算出。
第9页
当車行速度加快时，路面障碍物引起的冲击还会造成胎体的振动，本图显示在动态楔入转鼓试验中，实心轮子和充气轮胎的垂直向之力的反应；充气轮胎的冲击和余震要好得多。
第10页
本图演示的是低速充气轮胎越过障碍物在不同位置时，纵向力和垂直向之力的反应，以及余震。
第11页
充气轮胎的包容性主要考虑胎体的两个部分：胎冠的弯曲刚性要低，带束层的钢丝层夹角加大，有利于包容性的改善；但是造成带束层的接地面的弯曲刚性下降（会伤害轮胎的转向刚性），则可以用零度带来加强，达到两者同时改进的效果。
第6页
轮胎舒适性是轿车轮胎配套主要的门槛之一；主要问题有二，即轮胎的振动问题，和轮胎的噪声问题。
第7页
在轮胎的振动问题上，我们首先讨论轮胎对路面障碍物之包容性。
第8页
这里是实心轮子和充气轮胎在‘低速’越过路面障碍物时的反应；实心轮没有包容性，轮轴必须随着障碍物升高，充气轮胎则不然，胎体接地部分的变形，使得胎体连线的张力大为下降，对障碍物产生‘包容’作用，轮轴只需稍微升高，甚至不必升高，因此冲击力要小得多，减少车子的颠簸，改善乘坐的舒适性。右图是不同轮胎越过障碍物时，垂直方向力的变化。
第27页
左图代表的是在1/4模型中，路面不同频率的激励源对车子振动反应频谱。右图则是整车实验的频谱，非簧载质量有两个不同频率的峰值，来自于前后轮的不同。
第28页
这里我们复习一下受迫振动的模型之特性。弹簧k和减震器C是并联;强迫振动的外力，F,从右边施加于质量m。当F=0时，运动方程式如图下所示。
第29页
第14页
轮胎高速越过路面障碍物比低速时要复杂得多。这里在转鼓上的障碍物是5厘米厚60厘米长，左图是垂直向之力的反应，两次冲击震荡显示进入和离开时的状况。右图是纵向力的反应。
第15页
本图说明轮胎的振动传递到乘客，其中有三次过滤，即轮胎、车身和人体。
第16页
轮胎做为机械振动的过滤器有三个频率段：1）30赫兹以下，轮胎像个弹簧，由轮胎径向刚性决定，2）30到250赫兹之间，由轮胎胎体振动的不同模态及其本征频率决定，这里胎体振动的阻尼较小，3）250赫兹以上，这里也是由轮胎振动的高阶模态决定，其特点是阻尼随频率大为增高。
第43页
左图演示的是胎冠断面的胎体振动模态之概要，横轴是圆周向模态号码，纵轴是频率；其中不同家族的断面振动模态，以m= 1, 3, 5, 7…为模态号码。很明显，如果在振幅最高点加零度带，是简易的降低胎体振动的良法，且不会增加阻尼和能耗。
第44页
果不其然，米其林在2011年得到的美国专利便是在胎冠以及左右肩部加零度带（m= 5），可以降低胎体振动及其噪声。
其次让我们比较右图，即充气压增加一倍时，会有那些变化？首先，所有对应的模态的本证频率都升高了，例如第二带的频率范围，升高至300到470赫兹；更重要的是阻尼降低了。这个现象的解释很简单，即当充气压增高时，所有帘线的张力增加，橡胶变形产生的力，对充气压的平衡之贡献降低了，从而由橡胶变形产生的能量速损耗相对也减小了。根据右图，此轿车胎的胎体振动振幅最大，发声面积最高的是第二带，频率范围在300到470赫兹之间。
L= ,n =正整数，则车身会产生严重的纵摇（Pitching,或者叫做俯仰或前后波动）。
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车子纵摇时幅度大小和位置相关，图中显示离重心近的前座的振动幅度要比后座为小。
第22页
和页20相比，当L= n(n为整数)时，车子会产生上下跳动（Bouncing）。
第23页
改善车身振动，主要是靠车轮的悬挂系统。右图的悬挂系统用的是叶片弹簧，常见于载重量较大的车子；左图还显示了减震器的位置。
轮胎基础知识讲座第五讲轮胎之振动与噪声
第2页
欧洲轮胎新法规2012年11月起生效，是改进环保的一种措施，也对外贸易的技术壁垒；比起美国对中国轮胎的惩罚性关税的办法，要文明得多。贴标签的规定，将影响顾客购买轮胎的决定过程，对中国轮胎而言，既是刁难，但如果我们的轮胎质量能得到优质的评定，那么就是一种免费的宣传，所以也是一种机遇。
下图演示当激励来自接地面，并且是纵向时的试验安排；胎面不同部位的振动是周向的，激光不利于测量，因此改为用加速度传感器来测量。
左上图的激光测量，由于没有直接接触，没有惯性，有利于高频率测量。
第35页
这里演示不同的振动模态及其编号。上半部的图代表径向振动，红色线和棕色线代表相反方向的最大振动。接地点不算，红棕线的交叉点为节点，节点的数目愈大则模态的阶数越高；用大写的R代表径向振动模态，节点数除以2，为其阶数。例如上面第一排中间的图有3个节点，其模态编号为R1.5，其余以此类推。
胎侧的包容性改善可以来自于胎体帘线张力的下降：我们可以缩短胎侧柔软薄膜部分的宽度，使得胎侧下沉后，子午帘线之张力大幅下降。即利用上、下三角胶有效地控制胎侧胎体刚性之变化（请复习第一讲中的薄膜理论）。
第12页
我们接着讲轮胎胎体振动及其传递作用。
第13页
本图演示不同胎体结构，对冲击波传递的特性。这是用激光全息摄影技术，显示斜交胎的胎体受冲击后，变形是局部性的，而子午轮胎由于钢丝带束层的关系，振动可以传至轮胎全体。
第17页
本表显示人体对振动之不同的加速度（或g值）的反应；看来0.1个g就开始相当不舒服了。
第18页
本表显示振动频率与人的感觉之间的关系。
第19页
下面简单介绍轮胎/悬挂系统，其振动和共振以及力的传递。
第20页
车内的振动除了路面障碍物的冲击所引起的之外，本图所示是路面的高低不平的作用；这里指出如果路面高低变化的周期，，与前后轮距离，L，满足以下的公式，
第24页
左图显示的悬挂系统中，弹簧和减震器是套在一起的，常见于轿车。为了简化分析，我们只考虑一个轮子，也就是所谓1/4车模型的悬架系统，用右边的简单模型代表，其中
MS:簧载质量，指此轮承担的车身重量（约全车1/4），减去轮胎组合及悬挂系统；
MU:非簧载质量，指的是轮胎组合及悬挂系统；
KS:悬架弹簧，及其弹性系数；
第42页
这里总结关于轮胎胎体振动的主要观察点：
1）各态本征频率由轮胎结构决定，是无可避免的，其各个模态的本征频率可以有限度地调变，虽然增加阻尼可能可以降低振幅，但是不利于滚动能耗。
2）高于1000 Hz的振动阻尼很大，换言之，发声效率会很差。
3）增加充气压後本征频率升高，阻尼下降会消失，意味着胎体振动产生的噪声会加大。
；振幅X,相位角 之公式如图中所示。
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受迫振动模型中振幅X随频率比 和阻尼大小的变化。当接近共振，即r 1,振幅会变大，而阻尼大，即加大，则有利于降低振幅。
第32页
这里演示相位角随频率和阻尼的变化。
第33页
下面开始讨论轮胎胎体的振动与模态分析。
第34页
左上演示模态分析实验的一种安排，即接地点（0º）固定不动，激励器在接地点附近敲击，而胎面的振动用激光测距仪测量。右上图演示振动幅度随角度位置而变化。
第45页
这是米其林利用C3M新技术设计的轮胎结构图，显示了前页讨论的3条减震用的零度带。
第46页
我们接着讨论均匀性与轮胎振动的关系。
第47页
轮胎的不均匀问题主要有三方面，即1）几何形状的不均匀，通俗语言就是不够圆，有径向和横向得到不均匀性，2）胎体刚性的不均匀，有径向刚性、横向刚性和胎冠纵向弯曲刚性，沿着圆周方向的变化，即不均匀，3）胎体质量沿圆周向分布的不均匀。
本图显示，右边的方形波和下面的锯齿波随着项数N的增加，傅里叶级数就能愈来愈准确地代表它们。
第40页
这里进一步计算前图的锯齿波函数，把系数 算出来；这些系数代表的就是对应阶数的正弦或余弦函数的振幅大小。右下图把这些振幅的绝对值按阶数升高画出来，其横轴代表的就是频率逐渐升高；换言之，这就是这个锯齿波的频谱图。
在滚动阻力、通过噪声及湿地抓着力三项中，噪声是难度最高的。
第3页
这是欧洲新法规的轮胎噪声标准，其中C1是轿车胎；C2，轻卡轮胎；C3，卡车胎。
第4页
在欧洲新法规裡，对噪声特别低的轮胎授以Low Noise的标签。
第5页
我们要以欧洲新法规之挑战为契机，应该及时改进轮胎性能，不但要合格，而且要以中间偏上为目标。我们应当加强研发水平，制造并销售高性价比的轮胎，为提高利润，打好基础。
第50页
轮胎的横向不均匀Lateral Run-Out，LRO，通常是量胎冠某一点沿圆周向的位置偏离中心面的距离之变化。在轮胎滚动时，会产生横向力的变化。
第51页
胎面平点变形（Flat Spot），通常发生在车子行走一段时间之后，在轮胎温度下降过程产生的变形；造成接地面部分形成平点，即不圆了；经过一段时间的行走升温，轮胎才能恢复正常。原因在于一般的聚酯帘线在冷却过程中缩短的多少是受张力大小控制的；接地区的张力下降大，会缩得比较短，于是造成变形，致使局部变平。在此，帘线的力学/温度特性在此非常重要，聚酯有问题，尼龙的问题更大。目前，一般的办法是加一道工序，即PCI（Post Inflation Cure）,意即在轮胎硫化过程中，让胎体帘线在高张力的状况下，冷却回归常温，如此帘线的温度稳定性较高，可以改善胎面平点变形问题。另外，则是使用稳定性高的聚酯帘线，即高DSP（High Dimension Stable Polyester）帘线。
本图给出运动方程式之解，并且在右图将i）欠阻尼（1），ii）临界阻尼（1）和iii）过阻尼（1）的不同表示出来。欠阻尼时余震大，舒适性低；过阻尼则冲击力缓慢消退，也是不好；最理想的是临界阻尼，冲击力下降得快，而且没有余震。关键在于选择适当的减震器，即 。
第30页
在第28页的运动方程式力加入受迫振动，即F 0，此处 ，其解为
奥
第41页
这里是第38页Bolton教授轮胎振动径向模态分析实验的结果。左图的轮胎充气压是20psi,右图是40psi。横轴是角坐标，从-到，也就是-180度到+180度；纵轴是振动频率，从0到1000赫兹。假设我们选定一点，在轮胎赤道上-90度的位置，用激光量出其径向位移的周期函数，然后用傅里叶法得出其振动频谱。我们在横轴-90度的位置画一条垂直线（即频率轴）沿着此轴上将频谱用颜色尺画出；如此将沿赤道一周所有的结果都画出来，就可得到本页图的最后结果。
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轮胎不均匀造成力的变化：
RFV (Radial force variation)
LFV (Lateral force variation)
TFV (Tangential force variation)
这些是胎体振动的主要激励源。
第49页
这里演示的是轮胎径向不均匀（Radial Run-Out，RRO）的定义，以及滚动时引起垂直向的力的变化。
下半部的图代表横向振动，这里节点的计算法不同，以左右振动时不动的部分为节点，因此接地点算作节点。其余和前面所述的一样，横向振动模态以T为代表。如图所示T0.5只有接地点一个节点，所以是0.5阶；T1.5的三个节点，如图所标示；T1.0只有接地点和顶点两个节点；其余类推。
第36页
本图演示径向振动模态，R0.5,R1明显，本征频率是随着模态阶数而增高的。
C:悬架减震器，及其减震系数；
Kt:轮胎作为一个弹簧，及其弹性系数。
请注意，这里悬挂系统的弹簧和减震器是并联的。
第25页
我们用x0, x1, x2分别代表轮胎接地点，非簧载质量中心和簧载质量中心的坐标；
簧载质量MS和非簧载质量MU的运动程式如右下所示。
第26页
这里说明1）对簧载质量MS而言，轮胎和悬挂系统的两个弹簧是串联的，因此其等效弹簧是二者的串联，即 ; 2)对非簧载质量MU而言，轮胎和悬挂系统的两个弹簧是并联的，因此其等效弹簧是二者的并联，即 ；图中右边给的例子指出，簧载质量MS的振动固有频率为1.5赫兹，而对非簧载质量MU的固有频率则是13赫兹。
第37页
同样，横向振动模态，T0.5,T1.0,T1.5,T2.0的本征频率分别为48,61,90和111赫兹。
第38页
这是Purdue大学的Bolton教授的轮胎振动模态分析实验的装置。左边是激励振动器，轮胎赤道面上的白点是反光漆，用以改善激光测距仪的信号。
第39页
在这里我们简单复习一下傅里叶级数法。法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示，後世稱為傅里叶级数( Fourier series)。如图所示，这里 是周期函数，。傅里叶说 , ，以及其更高阶的 , 诸函数的级数来表征，如图中的第一行公式所示，其中 代表只到第N项的级数。其中的系数 和 可以用第二和第三条公式算出。
第9页
当車行速度加快时，路面障碍物引起的冲击还会造成胎体的振动，本图显示在动态楔入转鼓试验中，实心轮子和充气轮胎的垂直向之力的反应；充气轮胎的冲击和余震要好得多。
第10页
本图演示的是低速充气轮胎越过障碍物在不同位置时，纵向力和垂直向之力的反应，以及余震。
第11页
充气轮胎的包容性主要考虑胎体的两个部分：胎冠的弯曲刚性要低，带束层的钢丝层夹角加大，有利于包容性的改善；但是造成带束层的接地面的弯曲刚性下降（会伤害轮胎的转向刚性），则可以用零度带来加强，达到两者同时改进的效果。
第6页
轮胎舒适性是轿车轮胎配套主要的门槛之一；主要问题有二，即轮胎的振动问题，和轮胎的噪声问题。
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在轮胎的振动问题上，我们首先讨论轮胎对路面障碍物之包容性。
第8页
这里是实心轮子和充气轮胎在‘低速’越过路面障碍物时的反应；实心轮没有包容性，轮轴必须随着障碍物升高，充气轮胎则不然，胎体接地部分的变形，使得胎体连线的张力大为下降，对障碍物产生‘包容’作用，轮轴只需稍微升高，甚至不必升高，因此冲击力要小得多，减少车子的颠簸，改善乘坐的舒适性。右图是不同轮胎越过障碍物时，垂直方向力的变化。
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左图代表的是在1/4模型中，路面不同频率的激励源对车子振动反应频谱。右图则是整车实验的频谱，非簧载质量有两个不同频率的峰值，来自于前后轮的不同。
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这里我们复习一下受迫振动的模型之特性。弹簧k和减震器C是并联;强迫振动的外力，F,从右边施加于质量m。当F=0时，运动方程式如图下所示。
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