专升本中值定理及导数的应用

ba
f (b) f (a) f ()b a
例题：P66 例1，2
㈡罗必塔法则：P67,68
则 lim f (x) lim f (x) A, （或） xa() g(x) xa() g(x)
lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) A （或） xa() g( x) xa() g( x) xa() g( x)
因此
1 x ln(x 1 x2 ) 1 x2 , (x 0)
解：设
f (x) (1 x) ln(1 x) arctanx x 0
f
(
x)

ln(1

x)

1 1

x x

1
1 x
2
ln(1 x) x2 0, (x 0) 1 x2
所以 f (x) , x 0
（1）如果在(a,b) 内 f (x) 0 ，则函数 f (x) 在 [a, b]上单调增加；
（2）如果在(a,b)内 f (x) 0，则函数 f (x)在 [a,b] 上单调减少．
求单调区间的4个步骤：
（1）确定函数的定义域，求出导数 f (x)
（2）求出导数等于0（驻点）和导数不存在的点 （3）根据（2）中的点将定义域分成若干个区间，并确定
x
lim ln y lim ln ln x x
x
x x
1
lim x ln x lim 1 0



x
1
x x ln x
1
所以
lim y lim (ln x) x 1
x
x
解法2：(指数法）
1
ln ln x
lim (ln x) x lim e x
第三章 中值定理及导数的应用
3.1 中值定理 3.2 罗必塔法则 3.3 函数的单调性 3.4 函数的极值 3.5 函数的最值 3.6 函数的凹凸性及拐点，函数的图像
一、主要内容
㈠中值定理 1.罗尔定理: P63
如果函数 f (x) 满足条件:
120.0. 在在[(aa,,bb])上内连可续导;；
ln( x 1 x2 ) x( 1 x2 x) x 1 x2 (x 1 x2 ) 1 x2
ln(x 1 x2 ) 0, x 0
所以 f (x) , x 0 从而
f (x) f (0) [1 x ln(x 1 x2 ) 1 x2 ]x0 0
f (x) 在每个区间的符号
（4）判断： 当f (x) 0时，单调增加
当f (x) 0时，单调减少
注：单调区间无所谓开、闭区间，一般为开区间
掌握P71 例题1-4
证明：（采用函数的单调性证明）
例3. 证明:
1 x ln(x 1 x2 ) 1 x2 , (x 0)
证明: 设
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lim
x1
x1 x ln
ln x 1 x x 1
x
1

lim x1 1
ln x 1 ln x
x

lim
x 1
1 x2
x
1 x

1 2
.
例．求下列极限
ex ex （1） lim
x0 tan x
解：lxim0
ex ex tan x

0
lim
x0
x
(0 ) x
ln ln x
1
e e e 1 lim x x
lim x x ln x
0



㈢导数的应用
1. 切线方程和法线方程：
2. 曲线的单调性: P71 定理1
定理 2 设函数 f (x) 在[a,b] 上连续，在(a,b) 内 可导，则有
从而
f (x) f (0) [(1 x) ln(1 x) arctan x]x0 0, x 0
因此 ln(1 x) arctanx , x 0 1 x
3.函数的极值
⑴极值的定义：P72
定义 设函数 f (x)在 x0 的某邻域内有定义,且对 此 邻 域 内 任 一 点 x(x x0 ) , 均 有 f (x) f (x0 ) , 则 称 f (x0 )是函数 f (x) 的一个极大值;同样,如果对此邻域 内任一点 x(x x0 ) ,均有 f (x) f (x0 ) ,则称 f (x0 ) 是函 数 f (x)的一个极小值．函数的极大值与极小值统称为 函数的极值．使函数取得极值的点 x0,称为极值点．
ex ex sec2 x
2
0
ln x
（2）
lim
x
xa
,
a0
1
解：
lim
x
ln x xa



lim
x
x ax x 1

lim
x
1 axa
0

（3）
lim (
x0
1 x

e
1
x
) 1
解： 1 1
ex 1 x
lim( ) lim
x0 x ex 1 x0 x(ex 1)
1.认真掌握课本P68-69的例题 2.独立完成P70 的习题（用罗必塔法则求极限）
例 求lim x 1 ． x1 x 1 ln x
解 这是 未定型，通过“通分”将其化为
0 未定型．
0
lim x1
x
x
1

1 ln x


lim
x1
x
ln (x
x (x 1) 1) ln x
在(a, b)内至少
存在一点 ,
30. f (a)
f (b).

使得f ( ) 0.
2.拉格朗日定理：P64
如果函数 f ( x) 满足条件:
在(a, b)内 至 少 存
10 在[a, b]上 连 续 ， 20在(a,b)内可导；
在 一 点， 使 得 ： f ( ) f (b) f (a)
ex 1
ex
lim
lim
0 0
x0
ex
1
xe x

0 0

x
0
ex
ex

xe x
lim 1 1 x0 2 x 2
1
（4） lim (ln x) x x
(0未定式） 1
解法1：(对数法） 设 y (ln x) x
ln
y

ln(ln
1
x) x

ln ln
f (x) 1 x ln(x 1 x2 ) 1 x2 , (x 0)
f (x) ln( x 1 x2 ) x(x 1 x2 ) 2x
(x 1 x2 ) 2 1 x2
x(1 x )
ln( x 1 x2 )
1 x2 x
(x 1 x2 ) 1 x2