等腰三角形 最短路径(含例题)

1．等腰三角形的性质

性质1：等腰三角形的两个底角__________（简写成“等边对等角”）．

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互__________（简写成“三线合一”）．等腰三角形的其他性质：

（1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等．

（2）等腰三角形两底角的平分线相等．

（3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．

（4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°．

2．等腰三角形的判定

判定等腰三角形的方法：

（1）定义法：有两边__________的三角形是等腰三角形；

（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对__________”）．数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．

【注意】（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”

“腰”．

（2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定．

3．等边三角形及其性质

等边三角形的概念：三边都相等的三角形是__________三角形．

等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于__________．

【注意】（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；

（2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质．

4．等边三角形的判定

判定等边三角形的方法：

（1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形．

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形．

（3）有一个角是60°的__________三角形是等边三角形．

5．含30°角的直角三角形的性质

一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的__________．

【注意】（1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用．

（2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系．

（3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切．

（4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题．

6．最短路径问题

1．求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置．

2．求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置．

K知识参考答案：

1．相等，重合2．相等，等边3．等边，60°4．等腰5．一半

K—重点等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质

K—难点等腰三角形中的分类讨论问题

K—易错等腰三角形“三线合一”性质的应用

一、等腰三角形的性质和判定

1．应用“三线合一”性质的前提条件是在等腰三角形中，且必须是底边上的中线、底边上的高和顶角平分线，若是一腰上的高与中线就不一定重合．

2．等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（或底边上的高、底边上的中线）所在的直线是它的对称轴．【例1】如图，AD⊥BC，D是BC的中点，那么下列结论错误的是

A．△ABD≌△ACD B．∠B=∠C

C．△ABC是等腰三角形D．△ABC是等边三角形

【答案】D

【解析】因为AD⊥BC，D是BC的中点，所以△ABD与△ACD关于直线AD对称，由轴对称的性质可知△ABD ≌△ACD，∠B=∠C，△ABC是等腰三角形，但不能得到△ABC是等边三角形，故选D．

【例2】已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60︒，则这个等腰三角形的顶角是

A．30︒B．60︒

C．150︒D．30︒或150︒

【答案】D

【例3】如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，E是AB上的一点，EF∥AD交CA的延长线于F．求证：△AEF是等腰三角形．

【解析】∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD．

又∵AD∥EF，∴∠F=∠CAD，∠FEA=∠BAD，

∴∠FEA=∠F，

∴△AEF是等腰三角形．

二、等边三角形的性质和判定

判定等边三角形时常用的选择方法：

若已知三边关系，一般选用（1）；

若已知三角关系，一般选用（2）；

若已知该三角形是等腰三角形，一般选用（3）．

【例4】下列推理中，错误的是

A．∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形

B．∵AB=AC，且∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形

C．∵∠A=60°，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形

D．∵AB=AC，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形

【答案】B

【例5】如图，已知OA=5，P是射线ON上的一个动点，∠AON=60°．当OP=__________时，△AOP为等边三角形．

【答案】5

【解析】已知∠AON=60°，当OP=OA=5时，根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，可得△AOP 为等边三角形．故答案为：5．

三、含30°角的直角三角形的性质

含30°角的直角三角形的性质是求线段长度和证明线段倍分关系的重要依据．

【例6】在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A=30°，AE=6 cm，那么CE等于

A．4 cm B．2 cm

C．3 cm D．1 cm

【答案】C

四、最短路径问题

通常利用轴对称变换将不在一条直线上的两条或多条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的选择. 【例7】公园内两条小河MO，NO在O处汇合，两河形成的半岛上有一处景点P（如图所示）．现计划在两条小河上各建一座小桥Q和R，并在半岛上修三段小路，连通两座小桥与景点，这两座小桥应建在何处才能使修路费用最少？请说明理由．

【解析】如图，作P关于OM的对称点P′，作P关于ON的对称点P″，连接P′P″，分别交MO，NO于Q，R，连接PQ，PR，则P′Q=PQ，PR=P″R，则Q，R就是小桥所在的位置．

理由：在OM上任取一个异于Q的点Q′，在ON上任取一个异于R的点R′，连接PQ′，P′Q′，Q′R′，P″R′，