江苏南通2011高考数学二轮冲刺小练(50)

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南通中学数学高考复习100练1-50参考答案

提示：解析式为

m 2 、 m 2 ,M 2 2 . M 2
y x2 ，定义域为{-2,-1} ,{-2,，1, },{-1，,2} ,{ -1，1,2},{1,2},{-2，
是开口向上的抛物线，从而△＜0，即 a2-4＜0，解得 -2＜a＜2． 13.f(x)=-
1 2 4 x + 3 3
2．2
x-1 8、函数的值域与最值
1．(－∞,
)∪(
,+ ∞) ；
；
3． (,1] ；
4．6
； 5．[
3 2
,3]
；
6．利用△≥0 a≥2 或 a≤-2．
7．
5 1 2
8．
10 3Βιβλιοθήκη a 2 4 a 2 a 2 或， ab b 3 b 1 b 3
∴ f(x)=2x+1 或 f(x)= -2x-3．
10 ．提示：在 f(x)+2f(
1 x
)=x ① 中，用
1 x
代换 x 得 f(
1 x
)+2 ;f(x)=
1 x
π 2
2
2x 2 0.
(2)p
1 6．真命题．
7． x R ，均有 x 2+ x +1≥0．8．提示：(1)p 且 q
(4)p 或 q； 9．提示：(1)菱形的对角线互相垂直或互相平分． 10．②③提示： 12、提示：1．(1)p 或 q：2 是偶数或质数，真命题 p 且 q：2 是偶数且是质数，真命题
1．
1, 2
2
；
2．｛x| 2
x 1}
； 3．｛x| 0

江苏省南通市2011届高三第二次调研测试试题(数学)

江苏省南通市2011届高三第二次调研测试试题（数学）数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．曲线32y x x =-在点（1,－1）处的切线方程是 ▲ ． 2．若15ii 3ia b +=+-（a b ∈，R ，i 为虚数单位），则ab = ▲ ． 3．命题“若实数a 满足2a ≤，则24a <”的否命题是 ▲ 命题（填“真”、“假”之一）． 4．把一个体积为27cm 3的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为1 cm 3的27个小正方体，现从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为 ▲ ．5．某教师出了一份三道题的测试卷，每道题1分，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为30％、50％、10％和10％，则全班学生的平均分为 ▲ 分．6．设{}(20)(01)M m m ==+∈R ，，，a a 和{}(11)(11)N n n ==+-∈R ，，，b b 都是元素为向量的集合，则M ∩N = ▲ ．7．在如图所示的算法流程图中，若输入m = 4，n = 3，则输出的a = ▲ ．8．设等差数列{}n a 的公差为正数，若1231231580a a a a a a ++==，，则111213a a a ++= ▲ ．9．设αβ，是空间两个不同的平面，m ，n 是平面α及β外的两条不同直线．从“①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题： ▲ （用代号表示）．10．定义在R 上的函数()f x 满足：()(2)f x f x =+，当[]35x ∈，时，()24f x x =--．下列四个不等关系：()()s i nc o s 6π6πf f <；(sin1)(cos1)f f >；()()cos sin 332π2πf f <；(cos2)(sin 2)f f >．其中正确的个数是 ▲ ．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知A 、B 分别是双曲线2213y x -=的左、右焦点，△ABC 的顶点C 在双曲线的右支上，则sin sin sin A BC-的值是 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，设点()11P x y ，、()22Q x y ，，定义：1212()d P Q x x y y =-+-，．已知点()10B ，，点M 为直线220x y -+=上的动点，则使()d B M ，取最小值时点M 的坐标是▲ ．13．若实数x ，y ，z ，t 满足110000x y z t ≤≤≤≤≤，则x z y t +的最小值为 ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，设A 、B 、C 是圆x 2+y 2=1上相异三点，若存在正实数λμ，，使得OC =OA OB λμ+，则()223λμ+-的取值范围是 ▲ ．【填空题答案】1. x －y －2=02. 825-3. 真4. 26275. 26.(){}20， 7. 12 8. 1059. ①③④⇒②（或②③④⇒①） 10. 1 11. 21- 12. ()312， 13. 150 14. ()2+∞，二、解答题：本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）如图，平面PAC ⊥平面ABC ，点E 、F 、O 分别为线段P A 、PB 、AC 的中点，点G 是线段CO的中点，4AB BC AC ===，PA PC ==．求证：（1）PA ⊥平面EBO ；（2）FG ∥平面EBO ．【证明】由题意可知，PAC ∆为等腰直角三角形，ABC ∆为等边三角形． …………………2分（1）因为O 为边AC 的中点，所以BO AC ⊥，PABCOEFG(第15题)因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，BO ⊂平面ABC ，所以BO ⊥面PAC ． …………………5分因为PA ⊂平面PAC ，所以BO PA ⊥，在等腰三角形PAC 内，O ，E 为所在边的中点，所以OE PA ⊥，又BO OE O =，所以PA ⊥平面EBO ；…………………8分（2）连AF 交BE 于Q ，连QO ．因为E 、F 、O 分别为边P A 、PB 、PC 的中点，所以2AO OG =，且Q 是△P AB 的重心，…………………10分于是2AQAO QF OG==，所以FG //QO . …………………12分因为FG ⊄平面EBO ，QO ⊂平面EBO ，所以FG ∥平面EBO ． …………………14分【注】第（2）小题亦可通过取PE 中点H ，利用平面FGH //平面EBO 证得.16．（本小题满分14分）已知函数)()2cos sin 222xx x f x =-．（1）设ππ22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，且()1f θ=，求θ的值；（2）在△ABC 中，AB =1，()1f C =，且△ABC ，求sin A +sin B 的值．【解】（1）2()2sin cos 222x x xf x =-cos )sin x x +-=()π2cos 6x ++． (3)分由()π2cos 16x ++=，得()π1co s 62x +=， ………………5分于是ππ2π()63x k k +=±∈Z ，因为ππ22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，所以ππ26x =-或． ………………7分（2）因为(0π)C ∈，，由（1）知π6C =． ………………9分因为△ABC 1πsin 26ab =，于是ab =. ① 在△ABC 中，设内角A 、B 的对边分别是a ，b .PABCOE FGQ由余弦定理得2222π12cos66a b ab a b =+-=+-，所以227a b +=． ② 由①②可得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，或2.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 于是2a b += ………………12分由正弦定理得sin sin sin 112A B C a b ===，所以()1s i 2A B a b +=+=． ………………14分 17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆E ：22221(0)y x a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A 、2A ，上、下顶点分别为1B 、2B ．设直线11A B 的倾斜角的正弦值为13，圆C 与以线段2OA 为直径的圆关于直线11A B 对称．（1）求椭圆E 的离心率；（2）判断直线11A B 与圆C 的位置关系，并说明理由；（3）若圆C 的面积为π，求圆C 的方程．【解】（1）设椭圆E 的焦距为2c （c >0），因为直线11A B 的倾斜角的正弦值为1313=，于是228a b =，即228()a a c =-，所以椭圆E 的离心率e …………4分（2）由e =可设()40a k k =>，c，则b =，于是11A B的方程为：40x k -+=，故2OA 的中点()20k ,到11A B 的距离d =2423k kk +=， …………………………6分又以2OA 为直径的圆的半径2r k =，即有d r =，所以直线11A B 与圆C 相切． …………………………8分（3）由圆C 的面积为π知圆半径为1，从而12k =， …………………………10分设2OA 的中点()10,关于直线11A B：20x -+=的对称点为()m n , ，则1,112022n m m n ⎧=-⎪-⎨+⎪-+=⎩． …………………………12分解得13m n =, ．所以，圆C 的方程为()(22113x y -+=．…………………14分18．（本小题满分16分）如图，实线部分的月牙形公园是由圆P 上的一段优弧和圆Q 上的一段劣弧围成，圆P 和圆Q 的半径都是2km ，点P 在圆Q 上，现要在公园内建一块顶点都在圆P 上的多边形活动场地．（1）如图甲，要建的活动场地为△RST ，求场地的最大面积；（2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD ，求场地的最大面积．【解】（1）如右图，过S 作SH ⊥RT 于H ， S △RST =RT SH ⋅21． ……………………2分由题意，△RST 在月牙形公园里， RT与圆Q只能相切或相离； ……………………4分（第17题甲）（第17题乙）TQPNMSR甲乙RT 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，则有RT ≤4，SH ≤2，当且仅当RT 切圆Q 于P 时（如下左图），上面两个不等式中等号同时成立．此时，场地面积的最大值为S △RST =1422⨯⨯=4（km 2）． (6)分（2）同(1)的分析，要使得场地面积最大，AD 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，AD 必须切圆Q 于P ，再设∠BP A =θ，则有()11π22sin 222sin(π2)4(sin sin cos )0222ABCD S =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-=+<<四边形θθθθθθ．……………………8分令θθθcos sin sin +=y ，则)sin (sin cos cos cos θθθθθ-++='y 1cos cos 22-+=θθ． ………………… 11分若0='y ，1πcos 23θθ==，，又()π03θ∈，时，0>'y ，()ππ32θ∈，时，0<'y ， …………………14分函数θθθcos sin sin +=y 在π3θ=处取到极大值也是最大值，故π3θ=时，场地面积取得最大值为（km 2）． …………………16分 19．（本小题满分16分）设定义在区间[x 1， x 2]上的函数y =f (x )的图象为C ，M 是C 上的任意一点，O 为坐标原点，设向量OA =()()11x f x ，，()()22OB x f x =，，OM =(x ，y )，当实数λ满足x =λ x 1+(1－λ) x 2时，记向量ON =λOA +(1－λ)OB ．定义“函数y =f (x )在区间[x 1，x 2]上可在标准k 下线性近似”是指“MN ≤k 恒成立”，其中k 是一个确定的正数．（1）设函数 f (x )=x 2在区间[0，1]上可在标准k 下线性近似，求k 的取值范围；（2）求证：函数()ln g x x =在区间1e e ()m m m +⎡⎤∈⎣⎦R ，上可在标准k=18下线性近似．（参考数据：e=2.718，ln(e －1)=0.541）【解】（1）由ON =λOA +(1－λ)OB 得到BN =λBA ，所以B，N，A三点共线， ……………………2分又由x =λ x 1+(1－λ) x 2与向量ON =λOA +(1－λ)OB ，得N 与M 的横坐标相同． ……………4分对于 [0，1]上的函数y=x 2，A (0，0)，B (1，1)，则有()221124MN x x x =-=--+，故104MN ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，；所以k 的取值范围是)14⎡+∞⎢⎣，． ……………………6分（2）对于1e e m m +⎡⎤⎣⎦，上的函数ln y x =，A (e m m ，)，B (1e 1m m ++，)， ……………………8分则直线AB 的方程11(e )eem m my m x +-=--， ……………………10分令11()ln (e )eem m mh x x m x +=----，其中()1e e m m x m +⎡⎤∈∈⎣⎦R ，，于是111()e em m h x x +'=--， ……………………13分列表如下：MN =(h x 又()1e 2(e e )ln e 1e 1m m h +--=--≈-0.12318<，从而命题成立． ……………………16分 20．(本小题满分16分)已知数列{}n a 满足2*12()n a a a n n +++=∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意给定的*k ∈N ，是否存在*p r ∈N ，（k p r <<）使111k p ra a a ，，成等差数列？若存在，用k 分别表示p 和r （只要写出一组）；若不存在，请说明理由；（3）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其边长为123,,n n n a a a ．【解】（1）当1n =时，11a =；当*2n n ∈N ≥，时，2121(1)n a a a n -+++=-，所以22(1)21n a n n n =--=-；综上所述，*21()n a n n =-∈N ． ……………………3分（2）当1k =时，若存在p ，r 使111k p r a a a ，，成等差数列，则1213221r p k pa a a p -=-=-，因为2p ≥，所以0r a <，与数列{}n a 为正数相矛盾，因此，当1k =时不存在； …………5分当2k ≥时，设k p r a x a y a z ===，，，则112x z y+=，所以2xyz x y=-， ……………………7分令21y x =-，得(21)z xy x x ==-，此时21k a x k ==-，212(21)1p a y x k ==-=--，所以21p k =-，2(21)(43)2(452)1r a z k k k k ==--=-+-，所以2452r k k =-+；综上所述，当1k =时，不存在p ，r ；当2k ≥时，存在221,452p k r k k =-=-+满足题设.……………………10分（3）作如下构造：12322(23)(23)(25)(25)n n n a k a k k a k =+=++=+，，，其中*k ∈N ，它们依次为数列{}n a 中的第2265k k ++项，第2288k k ++项，第221013k k ++项， ……12分显然它们成等比数列，且123n n n a a a <<，123n n n a a a +>，所以它们能组成三角形．由*k ∈N 的任意性，这样的三角形有无穷多个． ……………………14分下面用反证法证明其中任意两个三角形111A B C 和222A B C 不相似：若三角形111A B C 和222A B C 相似，且12k k ≠，则11222212(23)(25)(23)(25)(23)(23)k k k k k k ++++=++，整理得121225252323k k k k ++=++，所以12k k =，这与条件12k k ≠相矛盾，因此，任意两个三角形不相似．故命题成立． ……………………16分【注】1．第（2）小题当a k 不是质数时，p ，r 的解不唯一；2. 第（3）小题构造的依据如下：不妨设123n n n <<，且123n n n a a a ，，符合题意，则公比q >1，因123n n n a a a <<，又123n n n a a a +>，则21q q +>，所以1q <<因为三项均为整数，所以q为1⎛ ⎝内的既约分数且1n a 含平方数因子，经验证，仅含21或23时不合，所以12*(23)()n a k p k p =+∈N ，；3．第（3）小题的构造形式不唯一．数学II （附加题）21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题，请选定其中．．．．．两题．．作答．．，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲自圆O 外一点P 引圆的一条切线P A ，切点为A ，M 为P A 的中点，过点M 引圆O 的割线交该圆于B 、C 两点，且∠BMP =100°， ∠BPC =40°，求∠MPB 的大小．【解】因为MA 为圆O 的切线，所以2MA MB MC =⋅．又M 为P A 的中点，所以2MP MB MC =⋅．因为B M ∠=∠，所以B M∆∆∽． ………………5分于是MPB MCP ∠=∠．在△MCP中，由180MPB MCP BPC BMP ∠+∠+∠+∠=︒，得∠MPB =20°． ………………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换已知二阶矩阵A a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，矩阵A 属于特征值11λ=-的一个特征向量为111 ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦α，属于特征值24λ=的一个特征向量为232⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α．求矩阵A ．【解】由特征值、特征向量定义可知，A 1α1λ=1α，即11111 a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得11.a b c d -=-⎧⎨-=⎩，……………………5分同理可得321328a b c d +=⎧⎨+=⎩，，解得232，，， a b c d ====．因此矩阵A 2321 ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． …………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程（第21—A 题）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为()2cos sin ，为参数x y ααα=⎧⎨=⎩．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()πcos 4ρθ-=P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值．【解】()πcos 4ρθ-=cos sin 4ρθρθ+=，则直线l的直角坐标方程为4x y +=． …………………4分设点P 的坐标为()2cos sin ，αα，得P 到直线l 的距离d =，即d =，其中cos sinϕϕ==…………………8分当()sin 1αϕ+=-时，m a x d = ………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲若正数a ，b ，c 满足a +b +c =1，求111323232a b c +++++的最小值．【解】因为正数a ，b ，c 满足a +b +c =1，所以，()()()()()2111323232111323232a b c a b c +++++++++⎡⎤⎣⎦+++≥，………………5分即1111323232≥a b c +++++，当且仅当323232a b c +=+=+，即13a b c ===时，原式取最小值1． (10)分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是AC 的中点，E 是线段D 1O 上一点，且D 1E ＝λEO .ABDO（第22题）EB 1A 1CC 1D 1（1）若λ=1，求异面直线DE 与CD 1所成角的余弦值；（2）若平面CDE ⊥平面CD 1O ，求λ的值.【解】(1)不妨设正方体的棱长为1，以1,,DA DC DD 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -．则A (1，0，0)，()11022O ，，，()010C ，，，D 1(0，0，1)， E ()111442，，，于是()111442DE =，，，()1011CD =-，，. 由cos 1DE CD 〈〉，＝11||||DECD DE CD ⋅⋅＝. 所以异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为. ……………………5分（2）设平面CD 1O 的向量为m =(x 1，y 1，z 1)，由m ·CO ＝0，m ·1CD ＝0得 1111110220x y y z ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩，，取x 1＝1，得y 1＝z 1＝1，即m =(1，1，1) . (7)分由D 1E ＝λEO ，则E 12(1)2(1)1λλλλλ⎛⎫ ⎪+++⎝⎭，，，DE =12(1)2(1)1λλλλλ⎛⎫ ⎪+++⎝⎭，，.又设平面CDE 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，由n ·CD ＝0，n ·DE ＝0. 得 2222002(1)2(1)1y x y z λλλλλ=⎧⎪⎨++=⎪+++⎩，，取x 2=2，得z 2＝－λ，即n ＝(－2，0，λ) . 因为平面CDE ⊥平面CD 1F ，所以m ·n ＝0，得λ＝2． ……………………10分23．一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分.（1）设抛掷5次的得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望E ξ；（2）求恰好得到n *()n ∈N 分的概率．【解】（1）所抛5次得分ξ的概率为P (ξ＝i )= ()5551C2i - (i =5，6，7，8，9，10)，其分布列如下：E ξ=()5105551C2i i i -=⋅∑= 152(分) . ……………………5分（2）令p n 表示恰好得到n 分的概率. 不出现n 分的唯一情况是得到n －1分以后再掷出一次反面. 因为“不出现n 分”的概率是1－p n ，“恰好得到n －1分”的概率是p n －1，因为“掷一次出现反面”的概率是12，所以有1－p n =12p n －1， ……………………7分即p n －23=－12()123n p --. 于是{}23n p -是以p 1－23=12－23=－16为首项，以－12为公比的等比数列.所以p n －23=－16()112n --，即p n ＝()11232n⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦. 答：恰好得到n 分的概率是()11232n⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦. …………………10分。

数学_2011年江苏省南通市高考数学二模试卷(含答案)

2011年江苏省南通市高考数学二模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 曲线y＝x3−2x在点(1, −1)处的切线方程是________．2. 若1+5i3−i=a+bi（a，b∈R，i为虚数单位），则ab=________．3. 命题“若实数a满足a≤2，则a2<4”的否命题是________命题（填“真”、“假”之一）．4. 把一个体积为27cm3的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为1cm3的27个小正方体，现从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为________．5. 某教师出了一份三道题的测试卷，每道题1分，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为30%、50%、10%和10%，则全班学生的平均分为________分．6. 设M={a|a=(2, 0)+m(0, 1)}，m∈R和N={b|b=(1, 1)+n(1, −1)}，n∈R都是元素为向量的集合，则M∩N=________．7. 在如图所示的算法流程图中，若输入m=4，n=3，则输出的a=________．8. 设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=________．9. 设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________（用代号表示）．10. 定义在R上的函数f(x)满足：f(x)=f(x+2)，当x∈[3, 5]时，f(x)=2−|x−4|．下列四个不等关系：f(sinπ6)<f(cosπ6)；f(sin1)>f(cos1)；f(cos2π3)<f(sin2π3)；f(cos2)>f(sin2)．其中正确的个数是________．11. 在平面直角坐标系xOy中，已知A、B分别是双曲线x2−y23=1的左、右焦点，△ABC的顶点C在双曲线的右支上，则sinA−sinBsinC的值是________．12. 在平面直角坐标系xOy中，设点P(x1, y1)、Q(x2, y2)，定义：d(P, Q)=|x1−x2|+ |y1−y2|．已知点B(1, 0)，点M为直线x−2y+2=0上的动点，则使d(B, M)取最小值时点M的坐标是________．13. 若实数x，y，z，t满足1≤x≤y≤z≤t≤10000，则xy +zt的最小值为________．14. 在平面直角坐标系xOy 中，设A 、B 、C 是圆x 2+y 2=1上相异三点，若存在正实数λ，μ，使得OC →=λOA →+μOB →，则λ2+(μ−3)2的取值范围是________．数学II （附加题）【选做题】本题包括21，22，23，24四小题，请选定其中两题作答，每小题0分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．三、【选修4-1：几何证明选讲】15. 自圆O 外一点P 引圆的一条切线PA ，切点为A ，M 为PA 的中点，过点M 引圆O 的割线交该圆于B 、C 两点，且∠BMP =100∘，∠BPC =40∘，求∠MPB 的大小．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16. 如图，平面PAC ⊥平面ABC ，点E 、F 、O 分别为线段PA 、PB 、AC 的中点，点G 是线段CO 的中点，AB =BC =AC =4，PA =PC =2√2．求证：（1）PA ⊥平面EBO ；（2）FG // 平面EBO ．17. 已知函数f(x)=2cos x 2(√3cos x 2−sin x2)． (1)设θ∈[−π2，π2]，且f(θ)=√3+1，求θ的值；(2)在△ABC 中，AB =1，f(C)=√3+1，且△ABC 的面积为√32，求sinA +sinB 的值． 18. 在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆E:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1、A 2，上、下顶点分别为B 1、B 2．设直线A 1B 1倾斜角的余弦值为2√23，圆C 与以线段OA 2为直径的圆关于直线A 1B 1对称．(1)求椭圆E 的离心率；(2)判断直线A 1B 1与圆C 的位置关系，并说明理由；(3)若圆C 的面积为4π，求圆C 的方程．19. 如图，实线部分的月牙形公园是由圆P 上的一段优弧和圆Q 上的一段劣弧围成，圆P 和圆Q 的半径都是2km ，点P 在圆Q 上，现要在公园内建一块顶点都在圆P 上的多边形活动场地．（1）如图甲，要建的活动场地为△RST ，求场地的最大面积；（2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD ，求场地的最大面积．20. 设定义在区间[x 1, x 2]上的函数y =f(x)的图象为C ，M 是C 上的任意一点，O 为坐标原点，设向量OA →=（x 1, f(x 1)），OB →=(x 2,f(x 2))，OM →=(x, y)，当实数λ满足x =λ x 1+(1−λ) x 2时，记向量ON →=λOA →+(1−λ)OB →．定义“函数y =f(x)在区间[x 1, x 2]上可在标准k 下线性近似”是指“|MN →|≤k 恒成立”，其中k 是一个确定的正数．（1）设函数 f(x)=x 2在区间[0, 1]上可在标准k 下线性近似，求k 的取值范围；（2）求证：函数g(x)=lnx 在区间[e m , e m+1](m ∈R)上可在标准k =18下线性近似．（参考数据：e =2.718，ln(e −1)=0.541）21. 已知数列{a n }满足a 1+a 2+...+a n =n 2(n ∈N +)．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）对任意给定的k ∈N +，是否存在p ，y ∈N +(k <p <r)使1a k，1a p，1a r成等差数列？若存在，用k 分别表示p 和r （只要写出一组）；若不存在，请说明理由；（3）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其边长为a n 1，a n 2，a n 3．四、【选修4-2：矩阵与变换】 22. 已知二阶矩阵A ＝[abcd]，矩阵A 属于特征值λ1＝−1的一个特征向量为a 1＝[1#/DEL/#−1#/DEL/#]，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为a 1＝[3#/DEL/#2#/DEL/#]．求矩阵A ．五、【选修4-4：坐标系与参数方程】23. 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为{x =2cosαy =sinα(α为参数)．以直角坐标系原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ−π4)=2√2．点P 为曲线C 上的一个动点，求点P 到直线l 距离的最小值．六、【选修4-5：不等式选讲】24. 设正数a，b，c满足a+b+c＝1，求13a+2+13b+2+13c+2的最小值．七、【必做题】（共2小题，满分0分）25. 在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且D1E=λEO．(1)若λ=1，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值；(2)若平面CDE⊥平面CD1O，求λ的值．26. 一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分．（1）设抛掷5次的得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ；（2）求恰好得到n(n∈N∗)分的概率．2011年江苏省南通市高考数学二模试卷答案1. x−y−2＝02. −8253. 真4. 26275. 26. {(2, 0)}7. 128. 1059. ①③④⇒②（或②③④⇒①）10. 111. −1212. (1,32)13. 15014. (2, +∞)15. 选修4−1：几何证明选讲，解：因为MA 是圆O 的切线，所以MA 2=MB ⋅MC 又M 是PA 的中点，所以MP 2=MB ⋅MC 因为∠BMP =∠PMC ，所以△BMP ∽△PMC 于是∠MPB =∠MCP ，在△MCP 中，由∠MPB +∠MCP +∠BPC +∠BMP =180∘，即100∘+2∠MPB +40∘=180∘；得∠MPB =20∘16. （1）证明：由题意可知，△PAC 为等腰直角三角形，△ABC 为等边三角形．因为O 为边AC 的中点，所以BO ⊥AC ，因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC =AC ，BO ⊂平面ABC ，所以，BO ⊥面PAC ．因为PA ⊂平面PAC ，故BO ⊥PA ．在等腰三角形PAC 内，O ，E 为所在边的中点，故OE // PC ，∴ OE ⊥PA ，又BO ∩OE =O ，所以，PA ⊥平面EBO ．（2）证明：连AF 交BE 于Q ，连QO ．因为E 、F 、O 分别为边PA 、PB 、PC 的中点，所以AO OG=2．又Q 是△PAB 两条中线的交点，故Q 是△PAB 的重心，于是，AQ QF=2=AO OG，所以，FG // QO ．因为FG ⊄平面EBO ，QO ⊂平面EBO ，所以，FG // 平面EBO ． 17. 解：(1)f(x)=2√3cos 2x2−2sin x2cos x2 =√3(1+cosx)−sinx =2cos(x +π6)+√3．由2cos(θ+π6)+√3=√3+1，得，cos(θ+π6)=12，于是θ+π6=2kπ±π3(k ∈Z)，因为θ∈[−π2，π2]，所以θ=−π2或π6. (2)因为C ∈(0, π)，由(1)知，C =π6，因为△ABC 的面积为√32，所以√32=12absin π6，于是ab =2√3，① 在△ABC 中，设内角A ，B 的对边分别是a ，b ，由余弦定理得，1=a 2+b 2−2abcos π6=a 2+b 2−6，所以a 2+b 2=7，②由①②可得{a =2，b =√3，或{a =√3，b =2，于是a +b =2+√3．由正弦定理得，sinA a=sinB b=sinC 1=12，所以sinA +sinB =12(a +b)=1+√32． 18. 解：(1)设椭圆E 的焦距为2c(c >0)，因为直线A 1B 1的倾斜角的余弦值为2√23，所以直线A 1B 1的倾斜角的正弦值为13，所以√a 2+b 2=13，于是a 2=8b 2，即a 2=8(a 2−c 2)，所以椭圆E 的离心率e =√c 2a 2=√78=√144． (2)由e =√144可设a =4k(k >0)，c =√14k ，则b =√2k ，于是A 1B 1的方程为：x −2√2y +4k =0，故OA 2的中点(2k, 0)到A 1B 1的距离d =|2k+4k|3=2k ，又以OA 2为直径的圆的半径r =2k ，即有d =r ，所以直线A 1B 1与圆C 相切． (3)由圆C 的面积为4π，知圆半径为2，从而k =1，设OA 2的中点(2, 0)关于直线A 1B 1:x −2√2y +4=0的对称点为(m, n)，则{nm−2⋅√24=−1，m+22−2√2⋅n2+4=0，解得：{m =23，n =8√23，所以，圆C 的方程为(x −23)2+(y −8√23)2=4.19. 解：（1）如下右图，过S 作SH ⊥RT 于H ， S △RST =12SH ⋅RT ．由题意，△RST 在月牙形公园里， RT 与圆Q 只能相切或相离；RT 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，则有RT ≤4，SH ≤2，当且仅当RT 切圆Q 于P 时（如下左图），上面两个不等式中等号同时成立．此时，场地面积的最大值为S △RST =12×4×2=4(km 2)．甲图乙图（2）同（1）的分析，要使得场地面积最大，AD 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形， AD 必须切圆Q 于P ，再设∠BPA =θ，则S ABCD =12(AD +BC)×2sinθ=12(4+2×2cosθ)×2sinθ． =4(sinθ+sinθcosθ)… 令y =sinθ+sinθcosθ，则y ′=cosθ+cosθcosθ+sinθ(−sinθ)=2cos 2θ+cosθ−1．若y ′=0，cosθ=12，θ=π3，又θ∈(0,π3)时，y ′>0，θ∈(π3，π2)时，y ′<0，函数y =sinθ+sinθcosθ在θ=π3处取到极大值也是最大值，故θ=π3时，场地面积取得最大值为3√3(km 2)． 20. 解：（1）由ON →=λOA →+(1−λ)OB →得到BN →=λBA →，所以B ，N ，A 三点共线，又由x =λx 1+(1−λ)x 2与向量ON →=λOA →+(1−λ)OB →，得N 与M 的横坐标相同．对于[0, 1]上的函数y =x 2，A(0, 0)，B(1, 1)，则有|MN →|=x −x 2=−(x −12)2+14，故|MN →|∈[0,14]；所以k 的取值范围是[14，+∞)．（2）对于[e m , e m+1]上的函数y =lnx ， A(e m , m)，B(e m+1, m +1)，则直线AB 的方程y −m =1e m+1−e m (x −e m )，令ℎ(x)=lnx −m −1e m+1−e m (x −e m )，其中x ∈[e m , e m+1](m ∈R)，于是ℎ′(x)=1x −1e m+1−e m ，列表如下：则|MN →|=ℎ(x)，且在x =e m+1−e m 处取得最大值，又ℎ(e m+1−e m )=ln(e −1)−e−2e−1≈0.123<18，从而命题成立．21. 解：（1）当n =1时，a 1=1；当n ≥2，n ∈N ∗时，a 1+a 2++a n−1=(n −1)2，所以a n =n 2−(n −1)2=2n −1；综上所述，a n =2n −1(n ∈N ∗)．（2）当k =1时，若存在p ，r 使1a k，1a p，1a r等差数列，则1a r=2a p−1a k=3−2p2p−1，因为p ≥2，所以a r <0，与数列a n 为正数相矛盾，因此，当k =1时不存在；当k ≥2时，设a k =x ，a p =y ，a r =z ，则1x+1z=2y，所以z =xy 2x−y，令y =2x −1，得z =xy =x(2x −1)，此时a k =x =2k −1，a p =y =2x −1=2(2k −1)−1，所以p =2k −1，a r =z =(2k −1)(4k −3)=2(4k 2−5k +2)−1，所以r =4k 2−5k +2；综上所述，当k =1时，不存在p ，r ；当k ≥2时，存在p =2k −1，r =4k 2−5k +2满足题设．（3）作如下构造：a n 1=(2k +3)2，a n 2=(2k +3)(2k +5)，a n 3=(2k +5)2，其中k ∈N ∗，它们依次为数列a n 中的第2k 2+6k +5项，第2k 2+8k +8项，第2k 2+10k +13项，显然它们成等比数列，且a n 1<a n 2<a n 3，a n 1+a n 2>a n 3，所以它们能组成三角形．由k ∈N ∗的任意性，这样的三角形有无穷多个．下面用反证法证明其中任意两个三角形A 1B 1C 1和A 2B 2C 2不相似：若三角形A 1B 1C 1和A 2B 2C 2相似，且k 1≠k 2，则(2k 1+3)(2k 1+5)(2k 1+3)2=(2k 2+3)(2k 2+5)(2k 2+3)2，整理得k 1=k 2，这与条件k 1≠k 2相矛盾，因此，任意两个三角形不相似．故命题成立．22. 由特征值、特征向量定义可知，Aα1＝λ1α1，即[a b cd [1−1 1×[1−1 ，得{a −b =−1c −d =1同理可得{3a +2b =123c +2d =8 解得a ＝2，b ＝3，c ＝2，d ＝1．因此矩阵A =[2321 ．23. 解：将ρcos(θ−π4)=2√2，化简为：√22ρcosθ+√22ρsinθ=2√2，即ρcosθ+ρsinθ=4，又x =ρcosθ，y =ρsinθ，∴ 直线l 的直角坐标方程为x +y =4，设点P 的坐标为(2cosα, sinα)，可得点P 到直线l 的距离d =√2=√5sin(α+γ)−4|√2（其中cosγ=√55，sinγ=2√55），则当sin(α+γ)=1时，d min =√5√2=2√2−√102． 24. ∵ 正数a ，b ，c 满足a +b +c ＝1， ∴ (13a+2+13b+2+13c+2)[(3a +2)+(3b +2)+(3c +2)]≥(1+1+1)2，即13a+2+13b+2+13c+2≥1 当且仅当a ＝b ＝c =13时，取等号∴ 当a ＝b ＝c =13时，13a+2+13b+2+13c+2的最小值为1．25. 解：(1)以DA →，DC →，DD 1→为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ，则A(1, 0, 0)，O(12，12，0)，C(0, 1, 0)，D 1(0, 0, 1)，E(14，14，12)，于是DE →=(14,14,12)，CD 1→=(0,−1,1)．由cos⟨DE →，CD 1→>=DE →⋅CD 1→|DE|→⋅|CD 1→|=√36．所以异面直线DE 与CD 1所成角的余弦值为√36．(2)设平面CD 1O 的法向量为m →=(x 1, y 1, z 1)，由m →⋅CO →=0，m →⋅CD 1→=0得{12x 1−12y 1=0−y 1+z 1=0，取x 1=1，得y 1=z 1=1，即m →=(1, 1, 1)．由D 1E =λEO ，则E(λ2(1+λ)，λ2(1+λ)，11+λ)，DE →=(λ2(1+λ)，λ2(1+λ)，11+λ)．又设平面CDE 的法向量为n →=(x 2, y 2, z 2)，由n →⋅CD →=0，n →⋅DE →=0．得{y 2=0λx 22(1+λ)+λy22(1+λ)+z21+λ=0，取x 2=2，得z 2=−λ，即n →=(−2, 0, λ)．因为平面CDE ⊥平面CD 1O ，所以m →⋅n →=0，得λ=2．26. 所抛5次得分ξ的概率为P(ξ＝i)=C 5i−5(12)5(i ＝5, 6, 7, 8, 9, 10)，其分布列如下：Eξ=∑ 10i=5i ⋅C 5i−5(12)5=152（分）．令p n 表示恰好得到n 分的概率．不出现n 分的唯一情况是得到n −1分以后再掷出一次反面．因为“不出现n 分”的概率是1−p n ，“恰好得到n −1分”的概率是p n−1，因为“掷一次出现反面”的概率是12，所以有1−p n =12p n−1，即p n −23=−12(p n−1−23)．于是{p n −23}是以p 1−23=12−23=−16为首项，以−12为公比的等比数列．所以p n −23=−16(−12)n−1，即p n =13[2+(−12)n ]．答：恰好得到n 分的概率是13[2+(−12)n ]．。

江苏省南通市2011高考数学二轮冲刺小练(18)

江苏南通2011高考数学二轮冲刺小练（18）班级学号姓名1．一组数据中的每一个数据都减去8，得到新数据，若求得新数据的平均数是1.2，则原来的数据的平均数是．2．若命题甲：12(),,222x x x 成等比数列；命题乙：)3lg(),1lg(,lg ++x x x 成等差数列，则甲是乙的条件．3．为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5～18岁的男生体重（kg ），得到频率分布直方图如右．根据右图可得这100名学生中体重在)5.64,5.56[内的学生人数是．4．给定两个向量(3,4),(2,1)==a b ，若()()x +⊥-a b a b ，则x = ．5．i 是虚数单位，计算=-+++-ii i i 1111 ． 6．右图是计算1111352011++++ 的流程图，若判断框所填的形式为I a ≤，则a 的取值范围是，处理框应填的内容是7．函数|log |21x y =的定义域为],[b a ，值域为[0，2]，则区间],[b a 的长a b -的最大值是．8．如图，设M 是半径为R 的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点N ，连结MN ，则弦MN 的的概率为．9．若双曲线221230y x x y a-=-+=的一条渐近线与直线垂直，则a = ． 10．三直线012,013,012=+-=++=-+y x y x y ax 不能围成一个三角形，则实数a 的取值范围是．11．已知函数22()2f x x ax b =++．（1）若a 是用正六面体骰子从1，2，3，4，5，6这六个数中掷出的一个数，而b是用正四面体骰子从1，2，3，4这四个数中掷出的一个数，求()f x 有零点的概率；（2）若a 是从区间[1，6]中任取的一个数，而b 是从区间[1，4]中任取的一个数，求()f x有零点的概率．12．设函数R x t t t x x t x x f ∈+-++--=,4342cos 2sin 4cos )(232，其中|t |≤1，将 )(x f 的最小值记为g(t )．（1）求g (t )的表达式；（2）讨论g (t )在区间（－1，1）内的单调性并求极值．。

高考数学二轮冲刺小练_3

江苏南通2011高考数学二轮冲刺小练（44）班级学号姓名1．方程14230x x +--=的解为．2．若关于x 的不等式02x a x +>-的解集为),2()1,(+∞--∞Y ，则=a ． 3．数列}{n a 中，前n 项和n n S 2=（n 为正整数），则=n a ．4．若P （2，－1）在圆222(1)(0)x y r r -+=>内，则r 的取值范围是．5．当函数m x f x -=--|1|2)(的图象与x 轴有公共点时，实数m 的取值范围是．6．已知}3,2,1,1,2,3{,---∈b a 且b a ≠，则复数bi a z +=对应点在第二象限的概率为．（用最简分数表示）7．设点A （3，2）及抛物线x y 22=的焦点F 与抛物线上的动点M 的距离之和 MA+MF 为S ，当S 取最小值时，则点M 的坐标为．8．,a b 是两个互相垂直的单位向量，且向量c满足1,1,||⋅=⋅==c a c b c 则对任意的正实数t ，1||t t ++c a b 的最小值是．9．设函数21()ln(1)3,[,](0)2x f x x e x x t t t =+-+∈->，若函数)(x f 的最大值是M ，最小值是m ，则M+m = ．10．如图，有一圆柱形的开口容器（下表面密封），其轴截面ABCD 是边长为2的正方形，P 是BC 中点，现有一只蚂蚁位于外壁A 处，内壁P 处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为．11．已知数列}{n a 中，*115,221(2)n n n a a a n n -==+-∈N 且≥．（1）求2a 、3a 的值；（2）是否存在实数λ，使得数列{}2n n a λ+为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．PB12．如图1所示，在边长为12的正方形11A A A A ''中，点B 、C 在线段A A '上，且AB=3，BC=4，作BB 1∥1A A '，分别交11A A '、1A A '于点B 1、P ，作CC 1∥AA 1，分别交11A A '、1A A '于点C 1、Q ，将该正方形沿BB 1、CC 1折叠，使得1A A ''与AA 1重合，构成如图2所示的三棱柱ABC －A 1B 1C 1．（1）在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，求证：AB ⊥平面BCC 1B 1；（2）求平面APQ 将三棱柱ABC －A 1B 1C 1分成上、下两部分几何体的体积之比．。

江苏省南通市2011高考数学二轮冲刺小练(3)

用心爱心- 1 - 江苏南通2011高考数学二轮冲刺小练（3）班级学号姓名1．设向量(1,2),(1,1),(3,2)=-=-=-a b c ，且p q =+c a b ，则实数q p += ．2．已知ni im -=+11，其中n m ,是实数，i 是虚数单位，则m +ni = ． 3．设集合{(,)|,},{(,)|1,,01}x P x y y k x Q x y y a x a a ==∈==+∈>≠R R 且，若Q P 只有一个子集，则实数k 的取值范围是．4．若抛物线的焦点在直线042=--y x 上，则此抛物线的标准方程是．5．“2=+b a ”是“直线0=+y x 与圆2)()(22=-+-b y a x 相切”的条件．6．已知数列}{n a 的通项公式21log (*)2n n a n n +=∈+N ，设其前n 项和为n S ，则使 3n S -≤成立的最小的自然n 为．7．已知某圆的圆心为（2，1），若此圆与圆0322=-+x y x 的公共弦所在直线过点（5，－2），则此圆的方程为．8．双曲线12222=-by a x 的右准线与两条渐近线交于A ，B 两点，右焦点为F ，且FA ⊥FB ，则双曲线的离心率为．9．若)0(331)(3f x x x f '+=，则=')1(f ． 10．一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，3，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，…，10．现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在k 组中抽取的号码个位数字与m +k 的个位数字相同．若m =8，则在第7组中抽取的号码是．11．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为棱AD 、AB 的中点．（1）求证：EF ∥平面CB 1D 1；（2）求证：平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．A 1用心爱心专心 - 2 -12．已知△ABC中，向量(1(cos ,sin )A A =-=m n ，且1⋅=m n ．（1）求角A ；（2）若角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，且3=a ，求△ABC 的面积的最大值．。

江苏省南通市2011高考数学二轮小练(15)

江苏南通2011高考数学二轮冲刺小练（15）班级学号姓名1．若35)2cos(=-απ且)0,2(πα-∈，则)sin(απ-= ． 2．1=a 是直线1+=ax y 和直线1)2(--=x a y 垂直的条件．3．设123)(+-=a ax x f ，a 为常数．若0(0,1)x ∃∈，0)(0=x f ，则实数a 的取值范围是．4．若复数121,3,,z ai z b i a b =-+=-∈R ，且21z z +与21z z ⋅均为实数，则=21z z ． 5．右边的流程图最后输出的n 的值是．6．若实数m ,}3,2,1,1{-∈n ，且n m ≠，则曲线122=+ny m x 表示焦点在y 轴上的双曲线的概率是．7．已知xOy 平面内一区域A ，命题甲：点(,){(,)|||||1}a b x y x y ∈+≤；命题乙：点A b a ∈),(．如果甲是乙的充分条件，那么区域A 的面积的最小值是． 8．设P 是椭圆1162522=+y x 上任意一点，A 和F 分别是椭圆的左顶点和右焦点，则 AF PA PF PA ⋅+⋅41的最小值为． 9．在圆x y x 522=+内，过点)23,25(有n 条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项1a ，最长弦长为n a ，若公差]31,61(∈d ，则n 的取值集合为． 10．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别是△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，下列命题中，正确的是．（填上所有正确命题的序号）①△A 1B 1C 1是锐角三角形； ②△A 1B 1C 1是钝角三角形；③△A 2B 2C 2是锐角三角形； ④△A 2B 2C 2是钝角三角形．11．已知向量(cos sin )(22)x x ==，，，a b ，85⋅=a b ，且ππ42<<x ．（1）试求出cos()x -π4和tan()x -π4的值；（2）求sin (tan )tan 211x x x +-的值．12．在△ABC 中，已知C A B AC AB sin cos sin ,9==⋅，面积S △ABC =6．（1）求△ABC 的三边的长；（2）设P 是△ABC （含边界）内一点，P 到三边AC 、BC 、AB 的距离分别为y x ,和z ，求zy x ++的取值范围．。

江苏省南通市高考数学二轮冲刺小练(36)

江苏南通2011高考数学二轮冲刺小练（36）班级学号姓名1．若复数22(34)(224)()m m m m i m +-+--∈R 是纯虚数，则m = ．2．“m =－2”是“直线013)2(=+++my x m 与直线03)2()2(=-++-y m x m 相互垂直”的条件．3．连续掷两次骰子，以先后得到的点数m ，n 为点P （m ，n ）坐标，那么点P 在圆1722=+y x 内部的概率是．4．右面的算法流程图中的最后输出值是．5．已知点P 是圆054:22=---+ay x y x C 上任意一点，P 点关于直线012=-+y x 的对称点也在圆C 上，则实数=a ．6．当)2,1(∈x 时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是．7．定义行列式运算32414321 a a a a a a a a -=．将函数x x x f co s 1sin 3)(=的图象向左平移(0)t t >个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则t 的最小值为．8．半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为6，则半球的表面积为．9．设双曲线以椭圆192522=+y x 长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为．10．已知实系数方程01)1(2=+++++n m x m x 的两个实根分别为1x 、2x ，且 0＜1x ＜1＜2x ，则mn 的取值范围是． 11．已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足：)1(1--=n n a a a S （a 为常数，且1,0≠≠a a ）．（1）求}{n a 的通项公式；（2）设12+=nn n a S b ，若数列}{n b 为等比数列，求a 的值．12．在△ABC 中，已知角A 为锐角，且A A A A A A A f 222cos )2(sin )22(sin )22sin()2sin(]1)2[cos()(+----+--=ππππ （1）求)(A f 的最大值；（2）若2,1)(,127===+BC A f B A π，求△ABC 的三个内角和AC 边的长．。

数学_2011年江苏省南通市某校高考数学最后冲刺试卷(含答案)

2011年江苏省南通市某校高考数学最后冲刺试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1. 已知z(1−i)=1，则复数z 在复平面上对应的点位于第________象限．2. 已知△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若a =c =√6+√2，且A =75∘，则b =________．3. 命题：“∀x ∈(0,π2),sinx <x”的否定是________．4. 抛物线y 2=4mx(m >0)的焦点到双曲线x 216−y 29=l 的一条渐近线的距离为3，则此抛物线的准线方程为________．5. 已知流程图如右图所示，该程序运行后，为使输出的b 值为16，则循环体的判断框内①处应填________．6. 设a ，b 为互不相等的正整数，方程ax 2+8x +b =0的两个实根为x 1，x 2(x 1≠x 2)，且|x 1|<|x 2|<1，则a +b 的最小值为________．7. 已知正数x 、y 满足{2x −y ≤0x −3y +5≥0，则z =4−x ⋅(12)y 的最小值为________．8. 在棱长为1的正四面体ABCD 中，E 是BC 的中点，则AE →⋅CD →=________．9. 若关于x 的不等式组{x 2−x −2>02x 2+(2k +5)x +5k <0的整数解集为{−2}，则实数k 的取值范围是________．10. 已知a >0，设函数f(x)=2009x+1+20072009x +1+sinx(x ∈[−a,a])的最大值为M ，最小值为N ，那么M +N =________．11. 已知P 为抛物线y 2=4x 的焦点，过P 的直线l 与抛物线交与A ，B 两点，若Q 在直线l 上，且满足|AP →||QB →|=|AQ →||PB →|，则点Q 总在定直线x =−1上．试猜测如果P 为椭圆x 225+y 29=1的左焦点，过P 的直线l 与椭圆交与A ，B 两点，若Q 在直线l 上，且满足|AP →||QB →|=|AQ →||PB →|，则点Q 总在定直线________上．12. 曲边梯形由曲线y =e x ，y =0，x =1，x =5所围成，过曲线y =e x ，x ∈[1, 5]上一点P 作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，这时点P 的坐标是________．13.如图在三角形ABC 中，E 为斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，AB =1，则(CA →⋅CD →)(CA →⋅CE →)的最大值是________．14. 如图，线段AB =8，点C 在线段AB 上，且AC =2，P 为线段BC 上的一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D ，设CP =x ，△PCD 的面积为f(x)，则f(x)的最大值为________．二、解答题（共6小题，满分90分）15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为x 且1+tanAtanB =2c b．（1）求角f(x)=ax 2−4bx +1；（2）若a =(0, −1)，b(cosB, 2cos 2C2)，试求|y =f(x)|的最小值．16. 如图，已知三棱锥A −BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形．（1）求证：DM // 平面APC ；（2）求证：平面ABC ⊥平面APC ；（3）若BC ＝4，AB ＝20，求三棱锥D −BCM 的体积． 17. 已知关于x 的一元二次函数f(x)=ax 2−4bx +1．（1）设集合P ={1, 2, 3}和Q ={−1, 1, 2, 3, 4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数y =f(x)在区间[|m +n|2上是增函数的概率；（2）设点(12, |m +n|min =√22)是区域{x +y −8≤0x >0y >0内的随机点，求MD 上是增函数的概率． 18. 已知矩形ABCD 中，AB =2√2，BC =1．以AB 的中点O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系xoy．（1）求以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的标准方程；（2）过点P(0, 2)的直线l与（1）中的椭圆交于M，N两点，是否存在直线l，使得以线段MN为直径的圆恰好过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．19. 定义：对于任意n∈N∗，满足条件a n+a n+22≤a n+1且a n≤M（M是与n无关的常数）的无穷数列a n称为T数列．（1）若a n＝−n2+9n(n∈N∗)，证明：数列a n是T数列；（2）设数列b n的通项为b n=50n−(32)n，且数列b n是T数列，求常数M的取值范围；（3）设数列c n=|pn−1|(n∈N∗, p>1)，问数列b n是否是T数列？请说明理由．20. 对于正整数a，b，存在唯一一对整数q和r，使得a＝bq+r，0≤r<b．特别地，当r ＝0时，称b能整除a，记作b|a，已知A＝{1, 2, 3, ..., 23}．(Ⅰ)存在q∈A，使得2011＝91q+r(0≤r<91)，试求q，r的值；(Ⅱ)求证：不存在这样的函数f:A→{1, 2, 3}，使得对任意的整数x1，x2∈A，若|x1−x2|∈{1, 2, 3}，则f(x1)≠f(x2)；(Ⅲ)若B⊆A，card(B)＝12（card(B)指集合B中的元素的个数），且存在a，b∈B，b< a，b|a，则称B为“和谐集”．求最大的m∈A，使含m的集合A的有12个元素的任意子集为“和谐集”，并说明理由．2011年江苏省南通市某校高考数学最后冲刺试卷答案1. 一2. 23. ∃x∈(0,π2),sinx≥x4. x=−55. 36. 97. 1168. −149. −3≤k<210. 401611. x=−25412. (2, e2)13. 22714. 2√215. 解：（1）已知的等式1+tanAtanB =2cb化简得：1+sinAcosB sinBcosA =2sinCsinB即sinBcosA+sincosBsinBcosA=2sinC sinB，∴ sin(A+B)sinBcosA =2sinC sinB，又sinC =sin[π−(A +B)]=sin(A +B)，∴ cosA =12，∵ 0<A <π，∴ A =π3；（2）a →+b →=(cosB, 2cos 2C 2−1)=(cosB, cosC)，∴ |a →+b →|2=cos 2B +cos 2C =cos 2B +cos 2(2π3−B)=1−12sin(2B −π6)， ∵ A =π3，∴ B +C =2π3，∴ B ∈(0, 2π3)，从而−π6<2B −π6<7π6，∴ 当sin(2B −π6)=1，即B =π3时，|a →+b →|2取得最小值12，所以|a →+b →|min =√22． 16. （II ）∵ △PMB 为正三角形，D 为PB 的中点∴ MD ⊥PB ，∴ AP ⊥PB 又∵ AP ⊥PC ，PB ∩PC ＝P ∴ AP ⊥面PBC∵ BC ⊂面PBC∴ AP ⊥BC 又∵ BC ⊥AC ，AC ∩AP ＝A∴ BC ⊥面APC ， ∵ BC ⊂面ABC∴ 平面ABC ⊥平面APC（III ）由题意可知，三棱锥A −BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形．MD ⊥面PBC ，BC ＝4，AB ＝20，MB ＝10，DM ＝5√3，PB ＝10，PC =√100−16=2√21，∴ MD 是三棱锥D −BCM 的高，S △BCD =12×4×2√21×12=2√21，∴ V M−DBC =13Sℎ=13×5√3×2√21=10√7．17. 解：（1）∵ 函数f(x)=ax 2−4bx +1的图象的对称轴为x =2b a，要使f(x)=ax 2−4bx +1在区间[1, +∞)上为增函数，当且仅当a >0且2ba ≤1，即2b ≤a若a =1则b =−1，若a =2则b =−1或1；若a =3则b =−1或1； ∴ 事件包含基本事件的个数是1+2+2=5∴ 所求事件的概率为515=13．（2）由（1）知当且仅当2b ≤a 且a >0时，函数f(x)=ax 2−4bx +1在区是间[1, +∞)上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|{a +b −8≤0a >0b >0} 构成所求事件的区域为三角形部分．由{a +b −8=0b =a 2得交点坐标为(163,83)， ∴ 所求事件的概率为P =12×8×8312×8×8=13．18. 解：（1）由题意可得点A ，B ，C 的坐标分别为(−√2，0)，(√2,0)，(√2,1)．设椭圆的标准方程是x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)．则2a =AC +BC ，即2a =√(2√2)2+12+1=4>2√2，所以a =2．所以b 2=a 2−c 2=4−2=2．所以椭圆的标准方程是x 24+y 22=1．（2）由题意知，直线l 的斜率存在，可设直线l 的方程为y =kx +2．由{y =kx +2x 2+2y 2=4.得(1+2k 2)x 2+8kx +4=0．因为M ，N 在椭圆上，所以△=64k 2−16(1+2k 2)>0．设M ，N 两点坐标分别为(x 1, y 1)，(x 2, y 2)．则x 1+x 2=−8k1+2k 2x 1x 2=41+2k 2，若以MN 为直径的圆恰好过原点，则OM →⊥ON →，所以x 1x 2+y 1y 2=0，所以，x 1x 2+(kx 1+2)(kx 2+2)=0，即(1+k 2)x 1x 2+2k(x 1+x 2)+4=0，所以，4(1+k 2)1+2k 2−16k 21+2k 2+4=0，即8−4k 21+2k 2=0，得k 2=2，k =±√2经验证，此时△=48>0．所以直线l 的方程为y =√2x +2，或y =−√2x +2．即所求直线存在，其方程为y =±√2x +2．19. 由a n ＝−n 2+9n ，得a n +a n+2−2a n+1＝−n 2+9n −(n +2)2+9(n +2)+2(n +1)2−18(n +1)＝−2 所以数列a n 满足a n +a n+22≤a n+1．又a n =−(n −92)2+814，当n ＝4或5时，a n 取得最大值20，即a n ≤20．综上，数列a n 是T 数列．因为b n+1−b n =50(n +1)−(32)n+1−50n +(32)n =50−12(32)n ，所以当50−12(32)n ≥0即n ≤11时，b n+1−b n >0，此时数列b n 单调递增当n ≥12时，b n+1−b n <0，此时数列b n 单调递减；故数列b n 的最大项是b 12，所以，M 的取值范围是M ≥600−(32)12①当1<p ≤2时，当n ＝1时c 1=p −1,c 2=1−p 2,c 3=1−p3，由c 1+c 3−2c 2=5p 3−2≤0得p ≤65，即当1<p ≤65时符合c n +c n+22≤c n+1条件．若n ≥2，则p n≤1，此时c n =1−p n于是c n +c n+2−2c n+1=(1−pn )+(1−p n+2)−2(1−pn+1)=−2p n(n+1)(n+2)<0又对于n ∈N ∗有c n =|pn −1|<1，所以当1<p ≤65时数列c n 是T 数列； ②当2<p ≤3时，取n ＝1则：c 1=p −1,c 2=p2−1,c 3=1−p3，由c 1+c 3−2c 2=2−p3>0，所以2<p ≤3时数列c n 不是T 数列．③当p >3时，取n ＝1则c 1=p −1,c 2=p2−1,c 3=p3−1，由c 1+c 3−2c 2=5p 6>0，所以p >3时数列c n 不是T 数列．综上：当1<p ≤65时数列c n 是T 数列；当p >65时数列c n 不是T 数列．20. （1）因为2011＝91×22+9，所以q ＝22，r ＝9．（2）证明：假设存在这样的函数f:A →{1, 2, 3}，使得对任意的整数x ，y ，若|x −y|∈{1, 2, 3}，则f(x)≠f(y)．设f(1)＝a ，a ∈{1, 2, 3}，f(2)＝b ，b ∈{1, 2, 3}，由已知a ≠b ，由于|3−1|＝2，|3−2|＝1，所以f(3)≠f(1)，f(3)≠f(2)．不妨令f(3)＝c，c∈{1, 2, 3}，这里c≠a，且c≠b，同理，f(4)≠b，且f(4)≠c，因为{1, 2, 3}只有三个元素，所以f(4)＝a．即f(1)＝f(4)，但是|4−1|＝3，与已知矛盾．因此假设不成立，即不存在这样的函数f:A→{1, 2, 3}，使得对任意的整数x，y，若|x−y|∈{1, 2, 3}，则f(x)≠f(y)．(Ⅲ)当m＝8时，记M＝{7+i|i＝1, 2, ..., 16}，N＝{2(7+i)|i＝1, 2, 3, 4}记P＝∁M N，则card(P)＝12，显然对任意1≤i<j≤16，不存在n≥3，使得7+j＝n(7+i)成立．故P是非“和谐集”，此时P＝{8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 23}．同样的，当m＝9，10，11，12时，存在含m的集合A的有12个元素的子集为非“和谐集”．因此m≤7．下面证明：含7的任意集合A的有12个元素的子集为“和谐集”．设B＝{a1, a2, ..., a11, 7}，若1，14，21中之一为集合B的元素，显然为“和谐集”．现考虑1，14，21都不属于集合B，构造集合B1＝{2, 4, 8, 16}，B2＝{3, 6, 12}，B3＝{5, 10, 20}，B4＝{9, 18}，B5＝{11, 22}，B′＝{13, 15, 17, 19, 23}．以上B1，B2，B3，B4，B5每个集合中的元素都是倍数关系．考虑B′⊆B的情况，也即B′中5个元素全都是B的元素，B中剩下6个元素必须从B1，B2，B3，B4，B5这5个集合中选取6个元素，那么至少有一个集合有两个元素被选，即集合B中至少有两个元素存在倍数关系．综上所述，含7的任意集合A的有12个元素的子集B为“和谐集”，即m的最大值为7．。

江苏省南通市高考数学二轮冲刺小练(10)

OE F M D C B A 江苏南通2011高考数学二轮冲刺小练（10）班级学号姓名1．若复数(a +i )(1－2i )(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数a = ．2．若椭圆的一个顶点与两个焦点构成直角三角形，则该椭圆的离心率是．3．已知a 为第二象限角，且4sin 5α=，则tan α= ． 4．某算法的伪代码如图所示，如果输出的y 值是4，那么输入的x 的所有可能值是．5．已知p ：－4<x －a <4，q ：(x －2)(3－x )>0，若⌝p 是⌝q 的充分条件，则实数a 的取值范围是．6．已知函数()y f x =是奇函数，若当x<0时，2()()f x x ax a =+∈R ，且(2)f =6，则a = ．7．用计算机随机产生的有序二元数组(x ，y )满足11,22,x y -<<⎧⎨-<<⎩对每个二元数组(x ，y )，用计算机计算22x y +的值，记“(x ，y )满足221x y +<”为事件A ，则事件A 发生的概率为．8．已知函数()f x ，()g x 满足(5)5,'(5)3,(5)4,'(5)1f f g g ====，则函数()2()f x yg x +=的图象在x =5处的切线方程为．9．若实数a ，b 满足ab －4a －b +1=0 (a >1)，则(a +1)(b +2)的最小值为．10．对于△ABC ，有如下命题：①若sin2A=sin2B ，则△ABC 为等腰三角形；②若sinA=cosB ，则△ABC 为直角三角形；③若sin 2A+sin 2B +cos 2C<1，则△ABC 为钝角三角形；④若tanA+tanB+tanC>0，则△ABC 为锐角三角形．则其中正确命题的序号是．(把所有正确的都填上)11．如图，菱形ABCD 所在平面与矩形ACFF 所在平面互相垂直，已知BD=2AF ，且点M 是线段EF 的中点．（1）求证：AM ∥平面BDE ；（2）求证：平面DEF ⊥平面BEF ．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列．（1）若32AB BC ⋅=-，且b =a +c 的值；（2）求2sin sin A C -的取值范围．。

江苏南通2011高考数学二轮冲刺小练(7)

江苏南通2011高考数学二轮冲刺小练（7）班级学号姓名1．若函数()f x =，()ln(1)g x x =+的定义域分别为M ，N ，则M N = ．2．若长为5m 的绳子拉直后在任意位置剪断,则两段长的差的绝对值不小于1m 的概率为．3．若函数()()x x f x x eae -=+是偶函数,则实数a =_____ ． 4．函数1()2ax f x x +=+在(,2)-∞-上单调递增,则a 的取值范围是． 5．若{}n a 为等差数列，71711,177a a ==，则{}n a 前119项的和为． 6．椭圆2216251600x y +=左右焦点为F 1，F 2，P 是椭圆上位于x 轴上方的一点，若PF 2的斜率为-，则△PF 1F 2的面积为．7．若0,26,,0x y x y x y a y -⎧⎪+⎪⎨+⎪⎪⎩≥≤≥≥表示一个三角形区域,则a 的取值范围是．8．△ABC 中,H 为边BC 上一点，1tan ,022C AH BC =⋅=,则过点C 且以A ，H 为两焦点的双曲线的离心率等于．9．四棱锥D －ABCE 的底面是矩形，DE ⊥平面ABCE ，EC=1，BC=2，G 为DA 的中点，Q 为DC 上一点，且EQ ⊥平面GBC ，则DQ QC＝． 10．△ABC 中,角A ，B ，C 所对的边分别是,,a b c ，若3a =，30)b c B ︒+=-，则三角形外接圆半径等于．11．已知函数2()1sin cos ,()cos ()12f x x xg x x π=+=+．（1）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求)(0x g 的值;（2）求使2()()()(0)[,]2233x x h x f g ωωππω=+>在区间-上是增函数的ω的最大值．12．已知数列｛a n ｝的前n 项的和n S 满足23(*)n n S a n n =-∈N ． (1)求证：｛a n +3｝为等比数列,并求{a n ｝的通项公式;（2）数列{a n ｝是否存在三项，它们按原顺序可以构成等差数列？若存在,求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．。

江苏省南通市2011高考数学二轮冲刺小练(40)

江苏南通2011高考数学二轮冲刺小练（40）班级学号姓名1．“1x >”是“2x x >”的条件．2．设函数()log ()(0,1))a f x x b a a =+>≠，的图象过点（2，1）和点（8，2），则=+b a ．3．设2:x x f →是非空集合A 到B 的映射，若B={1，2}，则B A = ．4．双曲线422=-y x 的两条渐近线与直线3=x 围成一个三角形区域（包含边界），表示该区域的不等式组是．5．为了了解学生的体能情况，现抽取了某校一个年级的部分学生进行一分钟跳绳次数的测试，将数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右三个小组的频率分别为0.1，0.2，0.4，第一小组的频数为5，那么第四小组的频数等于．6．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1:2，则它们的面积比为1:4．类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1:2，则它们的体积比为．7．如图，OMPN 是扇形的内接矩形，点M 在OA 上，点N 在OB 上，点P 在弧上，现向扇形内任意投一点，则该点落在矩形内部的概率的最大值为．8．已知等差数列{}n a 中，1233a a a ++=，若前n 项和为18，且211n n n a a a --++=，则n = ．9．若函数2()ln(1)f x x x=+-的零点所在的区间为（n ，n +1）（n ∈N ），则n = ． 10．若向量(2cos ,2sin ),(3cos ,3sin )ααββ==a b ，a 与b 的夹角为60°，则直线 021sin cos =+-ααy x 与圆21)sin ()cos (22=++-ββy x 的位置关系是 11．已知a 为实数，函数))(1()(2a x x x f ++=．（1）若函数)(x f 的图象上有与x 轴平行的切线，求a 的取值范围．（2）若0)1(=-'f ，求函数)(x f y =在]1,23[-上的最大值和最小值；12．设P是以F1、F2为焦点的椭圆22221(0)x ya bb a+=>>上的任一点，∠F1PF2θ=．（1）求证：222cos1baθ-≥；（2）若θ≤120 ，求椭圆离心率．。

江苏南通2011高考数学二轮冲刺小练参考答案

江苏南通2011高考数学二轮冲刺小练参考答案（1）1．}2,0{； 2．14； 3．0； 4．－25 ； 5．3 ； 6．7 ；78．4i ；93； 10．30（或31或32）． 11．解（1）∵依题意知CD ⊥AD ，又平面PAD ⊥平面ABCD ， ∴CD ⊥平面PAD ．又∵CD ⊂平面PCD ， ∴平面PAD ⊥平面PCD ．（2）由（1）知PA ⊥平面ABCD ，∴平面PAB ⊥平面ABCD ．在棱PB 上取一点M ，在平面PAB 内作MN ⊥AB ，垂足为N ，则MN ⊥平面ABCD ，设MN=h ，则V M-ABC =111213323A B C hS h h ∆=⨯⨯⨯⨯=，又V P-ABCD =11(12)1113322A B C D S P A +=⨯⨯⨯=，要使V PDCMA :V MACB =2:1，则1():2:1233h h -=，解得12h =，即M 为PB 的中点．12．解（1）设椭圆C 的焦距为2c ，Q （x 0，0），P （x 1，y 1），由F （－c ，0），A （0，b ）得0(,),(,)FA c b AQ x b ==- ．∵FA AQ ⊥ ，∴200cx b -=，即20b x c=．又∵85A P P Q = ，∴211118(0,)(,0)5b x y b x y c --=--，∴21185,1313b bx y c ==．又∵点P 在椭圆上，∴2222285()()13131bbcab+=，整理得223b ac =，又∵222b ac =-，∴222()3a c ac -=，即22320e e +-=，解得12e =，故椭圆的离心率为12．（2）由（1）知223b ac =，12c a=，故23,22ba a c c==，于是Q （3,02a ）、F （,02a -），△AQF 的外接圆圆心为（,02a ），半径1||2r F Q a ==．∵△AQF 的外接圆与直线033=++y x 相切，1|03|a a ++=，解得a =2，∴1b c ==，故椭圆C 的方程为22143xy+=．（2）1．2-；2．(1,2]-； 3．716； 4．322； 5．1-； 6．[-；7．1b a+；8．2211612xy+=； 9．9； 10．4．11．解（1）由题设知01()1sin 22f x x x x =+=因为，是函数)(x f y =图象的一条对称轴，所以02()2x k ,k ππ=+∈Z ，)]32cos(1[21)]62cos(1[21)(00πππ++=++=k x x g当k 为偶数时，41)32cos 1(21)(0=+=πx g ；当k 为奇数时，43)3cos 1(21)(0=+=πx g ．（2）因为)]6cos(1[21)sin 211()(πωω++++=x x x h23)3sin(2123)sin 21cos 23(sin 21++=+-+=πωωωωx x x x ，当22[,] [,]3333333x x πππωππωππω∈-+∈-++时，，因为2()[,]33h x ππ-在上是增函数，且 ,0>ω 所以 ],2,2[]33,332[πππωππωπ-⊆++-即2,332,332ωπππωπππ⎧-+-⎪⎪⎨⎪+⎪⎩≥≤ 12ω解得≤，所以ω的最大值为21．12．解（1）∵23(*)n n S a n n =-∈N ，∴11123a S a ==-，∴13a =．又由1123,23(1)n n n n S a n S a n ++=-⎧⎨=-+⎩得111223n n n n n a S S a a +++=-=--，∴132(3)n n a a ++=+，∴{3}n a +是首项为136a +=，公比为2的等比数列， ∴1362n n a -+=⨯，即3(21)nn a =-．（2）假设数列{}n a 中存在三项,,()r s t a a a r s t <<，它们可以构成等差数列．由（1）知r s t a a a <<，则2s r t a a a =+， ∴6(21)3(21)3(21)srt-=-+-，即1222s r t+=+，∴1212s r t r+--=+（*）． ∵,,r s t 均为正整数且r s t <<， ∴（*）左边为偶数而右边为奇数，（或由1t s +≥，∴122ts +≥，∴1222t r s +>+） ∴假设不成立，即数列{a n }不存在三项使它们按原顺序可以构成等差数列．（3）1．5； 2．2+i ； 3．(,1]-∞； 4．216y x =或28x y =-；5．充分不必要；6．14； 7．22(2)(1)4x y -+-=； 8； 9．1； 10．65． 11．证（1）连结BD ．在长方体AC 1中，对角线BD ∥B 1D 1．又∵E 、F 为棱AD 、AB 的中点， ∴EF ∥BD ，∴EF ∥B 1D 1．又B 1D 1⊂平面C B 1D 1，EF ⊄平面C B 1D 1，∴EF ∥平面C B 1D 1．（2）∵在长方体AC 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，而B 1D 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，∴AA 1⊥B 1D 1．又在正方形A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1⊥B 1D 1，∴B 1D 1⊥平面CAA 1C 1．又∵平面C B 1D 1⊂平面平面C B 1D 1，∴平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1． 12．解（1）∵((cos ,sin )A A =-=m n ，∴1cos cos )2sin()226A A A A A π⋅=-+=-=-m n ．又∵1⋅=m n ，∴1sin()62A π-=．又∵0A π<<，∴66A ππ-=，∴3A π=．（2）∵2222cos ,,3ab c bc A A a π=+-==∴2232cos3b c bc π=+-，∴223b c bc +=+．又∵222b c bc +≥（当且仅当b c =时取等号）， ∴32bc bc +≥，∴3bc ≤，∴1sin 244ABC S bc A ∆==≤，∴△ABC的面积的最大值为4．（4）1．（0，0，－3）； 2．（0，73）； 3．（－1，0）； 4．4 ； 5．23；6．1n； 7．2-； 8．3； 9．1； 10．[8,．11．解（1）∵,cos ),(cos ,cos )x x x x ==a b ，∴()221f x m =⋅+-ab 2cos 2cos 21x x x m =++-2cos 22x x m =++ 2sin(2)26x m π=++∴()f x 的最小正周期是π．（2）∵]2,0[π∈x ，∴]67,6[62πππ∈+x ．∴当6762ππ=+x 即2π=x 时，函数()f x 取得最小值是12-m ．∵512=-m ，∴3=m ．12．证（1）∵底面ABCD 是菱形，O 为中心．∴AC ⊥BD ，又∵SA=SC ，∴AC ⊥SO ，而SO BD=O ，∴AC ⊥面SBD ．（2）取棱SC 中点M ，CD 中点N ，连接MN ，则动点P 的轨迹即是线段MN ．证明如下：连结EM 、EN ，∵E 是BC 中点，M 是SC 中点， ∴EM//SB ，同理EN//BD ．又∵AC ⊥平面SBD ∴AC ⊥SB ， ∴AC ⊥EM ，同理AC ⊥EN ，又EM EN=E ， ∴AC ⊥平面EMN ，因此，当P 点在线段MN 上运动时，总有AC ⊥EP ． P 点不在线段MN 上时，不可能有AC ⊥EP ．（5）1．a ≤2 ； 2．2；3．①②； 4．－4； 5．3[,1)4； 6．(,1)-∞-； 72；8．49；9．115；10．1(,0)3-．11．解（1）}{n a 为等差数列，4352a a a a +=+∴，252515,54,a a a a +=⎧∴⎨⋅=⎩解得256,9,a a =⎧⎨=⎩（因d<0，舍去）或259,6,a a =⎧⎨=⎩ 11,10,d a =-⎧⇒⎨=⎩ 11n a n ∴=-．（2）n a a n -==11,101 ， 21()121222n n n a a S n n +∴==-+．又021<-，对称轴为221，故当n = 10或11时，S n 取得最大值，其最大值为55．12．解如图，设βα=∠=∠BCO ACB ,，再设A （0，a ）、B （0，b ）、C （x ，0），则,)tan(xa=+βα xb =βtan ．])tan[(tan ββαα-+=21tan )tan(1tan )tan(x abx bxa+-=⋅++-+=ββαββαa b a b a b ab x x---==+≤（当且仅当ab x x=时取等号）．∵2x ab =，x >0，∴,时ab x =αtan 有最大值，最大值为abb a 2-，又∵x y tan =在)2,0(π内为增函数，∴αtan 有最大值时，角α最大．∴使∠ACB 取得最大值的点C的坐标为0)．（6）1．4；2．1；3．132()2n -⨯； 4．4 ； 5．58； 6．113；7．10k ≤（或11k <）； 8．(,8]-∞； 9．2； 10．①③④．11．12．解（1）∵4sin 2)(x x x f +=，∴1cos ()24x f x '=+，∴13()[,]44f x '∈，满足条件0()1f x '<<．又∵(0)0f =，∴方程0)(=-x x f 有实数根0，∴函数4sin 2)(x x x f +=是集合M 中的元素．（2）假设方程0)(=-x x f 存在两个实数根,()αβαβ<，则[,]D αβ⊆，故存在0[,]x αβ∈，使得等式0()()()()f f f x βαβα'-=-成立．又∵()f αα=，()f ββ=，∴0()1f x '=，这与0()1f x '<<矛盾，故假设不成立，即方程0)(=-x x f 只有一个实数根．（7）1．(1,1)-； 2．0.8 ； 3．－1； 4．12a >； 5．60； 6．7．034a a <或≤≤； 8．2 ； 9．32； 10．11．解（1）1, 2k b ==．（2）由)()(x g x f >得24x -<<，y =)(1)(x f x g +=252x x x --+．设2 (06)t x t =+<<，则153y t t=+--≥，当且仅当1t =，即1x =-时，等号成立．12．解（1）∵E 、F 分别为AB 1、BC 1的中点，∴EF ∥A 1C 1．又∵A 1C 1∥AC ，∴EF ∥AC ．又∵EF ⊄平面ABC ，∴EF ∥平面ABC ．（2）∵AB=AA 1，∴AB 1⊥A 1B ．又∵AB 1⊥BC 1，∴AB 1⊥平面A 1BC 1， ∴AB 1⊥A 1C 1，∴AB 1⊥AC ，又∵BB 1⊥AC ，∴AC ⊥平面ABB 1A 1，∴AC ⊥AB ．（3）∵AB=CC 1=a ，BC=b ，∴，112B A AB S a =，∴1111111111223BABC C B A AB B A AB V V S AC -==⨯⨯⨯=．（8）1．23-； 2．1； 3．40； 4．134π-； 5．（-2，15）； 6．若①②④，则③；7．相离； 8．32； 9．2010； 10．(,3][3,)-∞-+∞ ．11．12．解 ∵a =(cos32x ，sin32x )，b =(2sin 2cosx x -，)，∴⋅a b x x x x x 2cos 21sin 23sin21cos23cos=-=，||2|cos |x ===a +b ．又∵[0]2x π∈，，∴cos x ≥0，∴||a +b =2cos x ，∴()2||f x λ=⋅-a b a +b 即2221)(cos 2)(λλ---=x x f ． ∵[0]2x π∈，，∴0≤cos x ≤1．①若λ＜0，则当且仅当cos x =0时，f (x )取得最小值－1，这与已知矛盾； ②若0≤λ≤1，则当且仅当cos x =λ时，f (x )取得最小值221λ--，由已知得 23212-=--λ，解得21=λ；③若λ＞1，则当且仅当cos x =1时，f (x )取得最小值λ41-，由已知得2341-=-λ，解得85=λ，这与1>λ相矛盾．综上所述，21=λ．（9）1．π； 2．a >12； 3．56； 4．－6； 5．－4 ；6．440x y --=或20x y -+=；7．12；8．33[0,[,)22-++∞ ； 9．30； 10．[7，8]．11．解 ∵DE ∥AC ，DF ∥AB ，∴四边形DEAF 是平行四边形，∴||||D E D F A D += ，即||D E D F +的最小值就是线段AD 长的最小值，显然，当AD ⊥BC时AD 最小，即AD 长的最小值为BC 边上的高d BC ．在△ABC 中，∵AB=5，AC=4，∠BAC=60°，∴由余弦定理得，BC ==又∵11sin 22A B C B C S A B A C B A C B C d ∆=⋅∠=⋅，∴sin 7BC AB AC BACd BC⋅∠===，∴||D E D F +7．12．解（1）∵数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+，∴12213,(1)(2)[(1)2(1)]21,(2)n n n S n a S S n n n n n n -⎧==⎪=⎨-=+--+-=+⎪⎩≥21(*)n n =+∈N ．（2）由（1）得1121n b n a b --=+．∵数列{}n b 中，第n 项n b 是数列{}n a 的第1n b -项(2)n ≥， ∴121n n b b -=+，(2)n ≥，∴112(1)n n b b -+=+，(2)n ≥ 又∵11b =，∴112b +=，∴数列{1}n b +是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴11222n nn b -+=⨯=，∴21nn b =-．（3）231231111111111111122222nnn b b b b +++⋅⋅⋅+=++++=-++++∵对任意的*n ∈N ，1112n-<，∴要使不等式2123111111111n m m b b b b +++⋅⋅⋅<-+++++恒成立，只需211m m -+≥，解得：0m ≤或1m ≥， ∴m 的取值范围为(,0][1,)-∞+∞ ．（10）1．2-； 22； 3．43-； 4．1,42-； 5．16a -≤≤； 6．5 ；7．8π； 8．51630x y -+=； 9．27 ； 10．③④．11．证（1）设AC BD O = ，连OE ．由题意可得11,22===E M E F A C A O又∵//E M A O ，∴四边形EOAM 为平行四边形，∴//.E O A M⊂⊄ EO EBD AM EBD 平面,平面//AM EBD ∴平面．（2）连DM ，BM ，MO,,AF AC EC AC AFEC ABCD ⊥⊥⊥ 平面平面，,,,,AF ABCD EC ABCD AF AD EC DC ∴⊥⊥∴⊥⊥平面平面又ABCD 为菱形，∴AD=DC ，∴DF=DE ．又点M 是EF 的中点，∴D M EF ⊥．12,2B D A F D O B D A F M O =∴=== ，∴45D M O ∠=︒，同理45BM O ∠=︒， ∴D M BM ⊥．又E F B M M = DM BEF ∴⊥平面．,DM EFD EFD BEF ⊂∴⊥ 平面平面平面．12．解（1） A 、B 、C 成等差数列，2,B A C ∴=+又A B C π++=,3π=∴B ，由23-=⋅BC AB 得，2332cos-=⋅πa c ， 3ac ∴=． ①又由余弦定理得ac c a ac c a b-+=∴-+=222223,3cos2π，622=+∴c a ． ② 由①、②得，32=+c a ．（2）2sin sin A C -=22sin sin()3A A π--12sin cos sin )22A A A =-+=3sin )226A A A π-=-，20,,3662A A ππππ<<∴-<-<∴2sin sin A C -的取值范围为(2-．（11）1．3； 2．1316； 3．①②③； 4．0； 5．[3,2)-； 62；7．平行；8．3； 9．x =－1或5x +12y －31=0；10．①③④．11．解（1）因为k =2，2()(1)4ln f x x x =+-，所以()f x '=422x x+-．由()f x '＞0得2(1)(2)x x x-+＞0，（此处用“≥”同样可以）又x ＞0，故x ＞1，于是函数的增区间为(1,)+∞．（或[1,)+∞）（2）当k ＜0时，g (x )=()f x '=222k x x+-．g (x )=2()2k x x-++≥2，当且仅当x=”．①若(0,2]，即当k ∈[4,0)-时,函数g (x )在区间(0,2]上的最小值为2；②若k ＜－4，则2()2(1)kg x x'=+在(0,2]上为负恒成立，故g (x )在区间(0,2]上为减函数，于是g (x )在区间(0,2]上的最小值为(2)=6－k ．综上所述，当k ∈[4,0)-时，函数g (x )在区间(0,2]上的最小值为2+；当k ＜－4时，函数g (x )在区间(0,2]上的最小值为6－k ．12．解（1）由题意得：222222294115103a b a a b c b c a⎧+=⎪⎪⎧=⎪⎪=+∴⎨⎨=⎪⎩⎪⎪=⎪⎩ 所以椭圆的方程为1101522=+y x ．（2）由题可知当直线PA 过圆M 的圆心（8，6）时，弦PQ 最大,因为直线PA 的斜率一定存在，设直线PA 的方程为：y －6=k (x －8)，又因为P A 与圆O 相切，所以圆心（0，0）到直线PA 的距离为10，即101|68|2=+-kk ，解得13k =或139，直线PA 的方程为：3100139500x y x y -+=--=或．（3）设α=∠AOP , 则α2,=∠∠=∠AOB BOP AOP ，则1201)(21cos 2cos 222-=-=-=∠OPOPOA AOB α．8210||,12210||minmax =-==+=OP OP ，2200||||cos 10O A O B O A O B A O B O P∴⋅=⋅∠=-，m ax m in 55155(),()818O A O B O A O B ∴⋅=-⋅=- ．（12）1．3i --；2．（－1，3）； 3．2 ； 4．5 ； 5．3 ； 6．350 ；7．2a π； 8．0； 9．②④； 10．48．11．解（1）由a 11=2，得a 13= a 11×m 2=2m 2，a 61= a 11+5m =2+5m ．又a 13=a 61+1，所以2m 2=2+5m +1，解得m =3或m =0.5-（舍去）．所以111111[(1)](31)3j j j ij i a a ma i m mi ---=⋅=+-=-．（2）S=111212122212()()()n n n nnn a a a a a a a a a ++++++++++ =1112111211(13)(13)(13)1(31)()1313132nnnnn n a a a a a a ---+++=-+++---=1(231)1(31)(31)(31)224nnn nn n +--⋅=+-．12．解 ∵ f （x ）=－2x 2＋bx ＋c 在x =1时有最大值1，∴2()2(1)1f x x =--+，∴f （x ）≤1．又∵ x ∈[m ，n ]（0＜m ＜n ）时，f （x ）的取值范围是11[]n m ，， ∴ f （x ）在[m ，n ]上是减函数，∴m ≥1，∴ f （m ）=1m，f （n ）=1n，∴ m ，n 是方程2()2(1)1f x x =--+=1x的两个解，解方程结合1≤m ＜n 得m =1，n=12+．（13）1．i ；2．x +y －5=0； 3．(2,)+∞；4．（1，1），（2，2），（3，4），（4，8）；5．赔14元； 6．0.2； 7．①②③； 8．23； 9．191622=-xy； 10．③④． 11．解（1）由 0)12(21020103010=++-S S S 得 ,)(21020203010S S S S -=-即,)(220121130222110a a a a a a +++=+++ 可得.)(22012112012111010a a a a a a q+++=+++⋅因为0>n a ，所以 ,121010=q解得21=q ，因而.,2,1,2111 ===-n qa a nn n（2）因为}{n a 是首项211=a ，公比21=q 的等比数列，故11(1)1221,.12212nn n nnn S nS n -==-=--则数列}{n nS 的前n 项和),22221()21(2nn n n T +++-+++=).2212221()21(212132++-+++-+++=n nn n n n T前两式相减，得122)212121()21(212+++++-+++=n nn nn T12211)211(214)1(++---+=n nnn n ，即 1(1)12222n n n n n nT -+=++-． 12．解（1）∵AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ，∴BC ⊥平面ABE ，则AE ⊥BC ．又∵BF ⊥平面ACE ，∴AE ⊥BF ， ∴AE ⊥平面BCE ．又∵BE ⊂平面BCE ，∴AE ⊥BE ．（2）111422233D AE C E A D C E A B C D V V V ---===⨯⨯⨯=．（3）在三角形ABE 中，过M 点作MG ∥AE 交BE 于G 点，在三角形BEC 中，过G 点作GN ∥BC交EC 于N 点，连MN ，则由比例关系易得CN ＝CE 31．MG ∥AE ，MG ⊄平面ADE, AE ⊂平面ADE ， ∴MG ∥平面ADE ，同理，GN ∥平面ADE ， ∴平面MGN ∥平面ADE ．又∵MN ⊂平面MGN ，∴MN ∥平面ADE ， ∴N 点为线段CE 上靠近C 点的一个三等分点．（14）1．{－1，0，1} ； 2．①②③； 3．－3 ； 4．45°； 5．3，－17 ；6．16.5； 7．－4；8．(b ； 9．0.6； 10．14x =．11．解 2221(1)2xxxy aa a =+-=+-．① 当1a >时，∵11x -<<，∴1xa a a≤≤，∴2m ax (1)2y a =+-．由21,(1)214a a >⎧⎨+-=⎩得3a =； ② 当01a <<时，∵11x -<<，∴1xa a a≤≤，∴2m ax 1(1)2y a=+-．由201,1(1)214a a<<⎧⎪⎨+-=⎪⎩得13a =．综上所得， 13a =或3．12．解（1）∵1r =，∴(cos 3,sin ),(cos ,sin 3)AC BC αααα=-=-．又∵1AC BC ⋅=-，∴(cos 3)cos sin (sin 3)1αααα-+-=-，∴2sin cos 3αα+=，∴5sin 29a =-．（2）方法一：∵3r =，A ，B ，C 在以原点为圆心，3为半径的圆上．又∵∠AOB=90°，∴∠ACB=45°．又∵∠ABC=60°，AB=∴由正弦定理得sin sin 2A B A B C A C A C B∠===∠方法二：∵∠ABC=60°，∴∠AOBC=120°．又∵OA=OB=3r =，∴由余弦定理得AC ===．（15）1．23-；2．充要；3．1(,1)(,)2-∞-+∞ ； 4．122--； 5．5；6．14； 7．2；8．9-；9．{4，5，6}； 10．①④．11．解：（1）∵(cos sin )x x ==，，a b ，85⋅=a b ，85x x +=，即cos()x -=π445．又∵42x ππ<<，∴044x ππ<-<，∴3sin()45x π-=，∴3tan()44x π-=．（2）由（1）得sin cos()cos ()2222417252x x x =-=--=ππ．又∵111141313()144tan x tan xtan xtan x tan x π+====-----+，∴2(1)7428()125375sin x tan x tan x +=⨯-=--． 12．解设AB=c ，AC=b ，BC=a ．（1）∵9AB AC ⋅=，S △ABC =6，∴cos 9,sin 12,bc A bc A =⎧⎨=⎩ 两式平方相加得bc =15，∴43sin ,cos 55A A ==．又∵sin cos sin B A C =， ∴sin cos sin C A B =，∴35c b =，由35c b =与bc =15得b =3，c =5，∴4a ==．（2）∵2S △ABC ∴121(2)55x y z x y ++=++，设2t x y =+，则3412,0,0,x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩≤≥≥由线性规划得08t ≤≤，∴1245x y z ++≤≤．（本题也可建立平面直角坐标系解之）（16）1．（0，1]； 2．0ad bc +=； 3．无数； 4．4； 5．70x y +-=或250x y -=； 6．－3； 7．23； 8．②③； 9．[1,5)(5,)+∞ ；10．①②⑥．11．解设f (m )=(x 2－1)m －2x +1，f (m )是m 的函数，其图象是直线．依题意，f (m )<0对m ∈[－2，2]恒成立．由于y =f (m )，当－2≤m ≤2时的图象是线段，该线段应全部位于x 轴下方，其充要条件是端点的纵坐标小于0，即(2)0,(2)0.f f -<⎧⎨<⎩由f (－2)<0得22(1)210x x ---+<，解得2x <或2x >；由f (2)<0得22(1)210x x --+<，解得1122x -+<<，所以(2)0,(2)0f f -<⎧⎨<⎩的解集为1122x -++<<，即适合题意的x的取值范围是11(22-++．12．解（1）设P(x ，y )是)(x f 图象上的任意一点，P 关于点A 的对称点为Q(x 0，y 0)，则000,2,x x y y +=⎧⎨+=⎩即00,2.x x y y =-⎧⎨=-⎩据题意知Q(x 0，y 0)在21)(++=xx x h 的图象上，所以00012y x x =++，即122y x x-=-++-，即1y x x =+，所以1()f x x x=+．（2）由（1）知1()()a a g x f x x x x+=+=+，所以21()1a g x x+'=-．又因为)(x g 在区间（0，2）上为减函数，所以2110a x+-<即21a x >- 当(0,2)x ∈时恒成立．又因为(0,2)x ∈时，213x -<，所以3a ≥．（17）1．1，1 ；2．(0,1)； 3．19； 4．23； 5．3m 和1.5m ； 6．3π；7．（0，4）； 8．22136xy-=； 9．[2,)-+∞； 10．97300.11．解（1）∵{}n a 是等差数列，∴212,i i i a a a +++=∴方程21220i i i a x a x a ++++=可化为222()0.i i i i a x a a x a +++++=即2(1)()0i i x a x a +++=，有一解1x =-为公共解．（2）由（1）知以上方程另一解为()21,2,,,i ia x i n a +=-=⋅⋅⋅所以2i iia a a +=-，所以321111111111n n n n n na a a a a a ++++-=---++++1132n n n n n n a a a a a a ++++=---112222n n a a d ddd+=-==----，故数列1{}1n a +是以111a +为首项，12-为公差的等差数列．12．解（1）易得直线l 的方程为()2t y x a =+，代入椭圆方程并整理得：222(4)40.a t y aty +-=所以224,4M at y a t =+S=2S △AOM =2×22214.24M a t OA y a t ⋅=+（2）由（1）得，22244aS a a t t==+≤，当且仅当2t a=时等号成立．所以，当2[1,2]a∈时，即[1,2]a ∈时，m ax S a =；当2a >时，设224u a t t=+，则224u a t'=-．∵[1,2]t ∈，∴0,u '>∴u 在[1,2]t ∈上单调递增，∴S 在[1，2]上单调递减，∴1t =时，2max 24.4aS a =+综上得，2m ax2,(12),4,(2).4a a S a a a ⎧⎪=⎨>⎪+⎩≤≤ （18）1．9.2； 2．充要； 3．40； 4．－3； 5．0； 6．[2010,2011)，I ←I +2 ；7．154；8．13； 9．4； 10．3{4,,6}2--． 11．解设事件A 为函数()f x 有零点．当0,0a b >>时，函数()f x 有零点的充要条件为a b ≥．（1）用正六面体骰子从1，2，3，4，5，6这六个数中掷出的一个数，再用正四面体骰子从1，2，3，4这四个数中掷出的一个数，共有基本事件24个．设事件A 包含下列基本事件：当a =1时，b =1；当a =2时，b =1，2；当a =3时，b =1，2，3；当a =4时，b =1，2，3，4；当a =5时，b =1，2，3，4；当a =6时，b =1，2，3，4．所以事件A 发生的概率为1234443()244P A +++++==．（2）实验的全部结果所构成的区域为16,{(,)|}14a a b b ⎧⎨⎩≤≤≤≤，构成事件A 的区域为16,{(,)|14,}a a b b a b ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≤≤≥，所以事件A 发生的概率为1(52)372()5310P A +⨯==⨯．12．解（1）R x t t t x x t x x f ∈+-++--=,4342cos 2sin 4cos )(23223223sin 12sin 434(sin )433x t x t t t x t t t =--++-+=-+-+．∵|t |≤1，|sin x |≤1，∴当sin x t =时，)(x f 取得最小值g(t )，即3()433g t t t =-+．（2）∵2()1233(21)(21)g t t t t '=-=+-，|t |≤1，列表如下：∴由此可见，g(t )的单调增区间为（―1，―12）和（12，1），单调减区间为（―12，12），故g(t )的极大值为1()42g -=，极小值为1()22g =．（19）1．－2； 2．m n k；3．1(,1)2； 4．12+5．左，8π； 6．三；7．1[0,]2a； 8．911，22；9．2214xy -=； 10．22221111habc=++．11．证（1）因为()lnln(0)x x f x aaa=-=-+>，所以1322111()()22a f x x x x a --'=⋅-+-20=-<，所以，()f x 在区间(,)a +∞上是减函数．（2）因为b a >，由（1）得()()f b f a <，即ln0ba-<，所以ln ln b ab a-<-12．证（1）连接A 1D ．∵A 1D 1DA 是正方形，∴AD 1⊥DA 1．又∵AD 1⊥A 1C ，∴AD l ⊥平面A 1CD ，∴AD 1⊥CD ．又∵DD 1⊥CD ， ∴CD ⊥平面AD l ， ∴CD ⊥平面AD ．（2）设AC BD=O ．∵AD=DC ，AB=BC ，∴BO ⊥AC ．又∵BO ⊥C 1C ，AC C 1C=C ，∴BO ⊥平面AA 1C 1C ．在BD 上取点M ，使得OM=OD ，连接AM ，CM ． ∵AD=DC ，∠ADC=90°，又DO ⊥AC ，且AO=OC ，∴CM=AM=AD ，∴四边形AMCD 是一个正方形，∴AM ∥CD ． ∴A 1D ⊥AM ．又∵AD 1⊥A 1D ，∴A 1D ⊥平面AD 1M ，D 1M ⊥A 1D ．又∵A 1C 1⊥平面DD 1B 1B ，∴D 1M ⊥A 1C 1．又∵A 1D A 1C 1=A 1，∴D 1M ⊥平面A 1C 1D ，此时DM=，∴当DM=D 1M ⊥平面A 1C 1D ．（20）1． x ∀∈R ，x 2+ x +1≥0； 2．一； 3．0.01； 4．24； 5．①④；6．13R(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)； 7．； 8．32； 9．(1,1)--； 101．11．解（1）因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：41(0.0250.01520.010.005)100.3f -+⨯++⨯==，直方图如下图所示．（2）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为(0.0150.030.0250.005)100.75+++⨯=，所以，抽样学生成绩的及格率是75%．利用组中值估算抽样学生的平均分123456455565758595f f f f f f ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅＝450.1550.15650.15750.3850.25950.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯＝71，估计这次考试的平均分约是71分．12．解（1）由//m n 得0cos cos )2(=-⋅-C a A c b ，由正弦定理得0cos sin cos sin cos sin 2=--C A A C A B ， ∴0)sin(cos sin 2=+-C A A B ，∴0sin cos sin 2=-B A B ．1,(0,),sin 0,cos ,23A B B A A ππ∈∴≠=∴=．（2）22sin coscos 2sinsin 233y B B B ππ=++11cos 2cos 2222B B B =-++11cos 2222B B =-+s i n (2)16B π=-+，由（1）得67626320ππππ<-<-∴<<B B ，∴1sin(2)(,1]62B π-∈-，∴1(,2]2y ∈．（21）1．1或3；2．2； 3．[1,1]-； 4．13-； 5．14； 6．4π； 7．2572；8．1；9．11； 10．②③④． 11．解 ∵32(),3xf x bx cx =++∴2()2.f x x bx c '=++由(1)0f '=得210.b c ++=∵1是()f x '的零点，且()f x '的图象关于x b =-对称，∴21b --也是()f x '的零点，即c 也是()f x '的零点．又∵112b -<<，∴30.c -<<又∵0x 是()2c y f x x =-的一个极值点，∴0()02c f x '=<，∴0(,1)x c ∈，∴043x c -<-<，∴0(4)(3)f x f -<-．12．解（1）∵13(23)3n n tS t S t --+=，∴123(23)3n n tS t S t ---+=，两式相减得13(23)0n n ta t a --+=．又∵0t >，∴1233n n a t a t -+=，∴{a n }是以1为首项，233t t +为公比的等比数列．（2）由（1）得()f t 232133t t t+==+，∴1112()3n n n b f b b --==+， ∴{bn }是以1为首项，23为公差的等差数列，∴2211(1)333n b n n =+-=+．（3））由（2）得2462,,,,n b b b b 是以53为首项，43为公差的等差数列，∴12233445212221n n n n b b b b b b b b b b b b -+-+-++-21343522121()()()n n n b b b b b b b b b -+=-+-++- 242225142()2[(1)]33323n b b b n n n =-⨯+++=-⨯⨯⨯+⨯-⨯ 22193n n =--．（22）1．42．84； 3． 45．1(,0)(0,2)2-； 6．6 ；7．1或－1； 8．8； 9． 10．100π．11．解（1）连接AF ，∵E ， F 分别为CC 1，DD 1的中点，∴EF ∥AB ，且EF=AB ，∴四边形ABEF 为平行四边形．又在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ⊥平面AA l D 1D ， ∴EF ⊥A 1F ．由已知得，A 1A=2，∴A 1F 2+AF 2=AA 12，∴AF ⊥A l F ．又AF EF=F ，∴A 1F ⊥平面ABEF ，即A 1F ⊥面BEF ．（2）由A 1F ⊥平面BEF 得A 1B 在平面BEF 上的射影为BF ，∴∠A 1BF 为直线A 1B 与平面BEF 所成的角．由已知，A 1A 11sin 5A BF ∠=．12．解（1）∵方程20n n x a x a --=有一根为1n S -，1(2)n n n a S S n -=-≥，∴211(1)()(1)()0n n n n n n S S S S S S --------=，化简得112n n S S -=-，∴11111121111111111112n n n n n n n S S S S S S S --------=-=--------11111n n S S ---==--，∴数列1{}1n S -为等差数列，其公差为－1 ；（2）由2(1)(1)0n n n n S a S a ----=，令n=1，得21111(1)(1)0a a a a ----=，解得112a =，∴1111211S a ==---．由（1）得12(1)(1)(1)1n n n S =-+-⋅-=-+-，∴1n nS n =+，∴2n ≥时，1111(1)n n n n n a S S n nn n --=-=-=++，又112a =也符合上式，∴1(*)(1)n a n n n =∈+N ．（23）1．12； 2．[1,2)； 3．12-； 4．（-13，13）；5．2212xy -=；6．②④； 78．； 9．48；10．12-．11．解（1）∵(cos ,sin )αα=a ，(cos ,sin )ββ=b ，∴||||1==a b ．又∵|||k k +=-a b a b ，∴22||3||k k +=-a b a b ，∴2222222363k k k k ++=-+⋅⋅a a b b a a b b ，∴22(3)1(31)18k k k-+-⋅=⋅⋅a b kk kk 4182222+=+=．（2）∵k ＞0，∴由（1）⋅ab 21114442k k kk+==+=≥，当且仅当kk 414=，即1=k 时取等号．此时，⋅a b 1||||cos 2θ==⋅⋅a b ，∴21cos =θ，∴3πθ=，即⋅a b 的最小值为21，此时a 与b 的夹角θ为3π．12．解（1）12n n a S += ，12n n n S S S +∴-=，13n nS S +∴=．又111S a == ，∴数列{}n S 是首项为1，公比为3的等比数列，1*3()n n S n -=∈N ．当2n ≥时，21223(2)n n n a S n --==⨯≥，21132n n n a n -=⎧∴=⎨2⨯⎩，，，≥．（2）12323n n T a a a na =++++ ，当1n =时，11T =；当2n ≥时，0121436323n n T n -=+⨯+⨯++⨯ ， ①所以 12133436323n n T n -=+⨯+⨯++⨯， ②①－②得：12212242(333)23n n n T n ---=-+++++-⨯213(13)222313n n n ---=+⨯-⨯-11(12)3n n -=-+-⨯．111()3(2)22n n T n n -∴=+-≥．又111T a == 也满足上式，1*11()3()22n n T n n -∴=+-∈N ．（24）1．4； 2．四； 3 4．①②； 5．34(,)55-或34(,)55-； 6．2e ； 7．364； 8．7； 9．222231)(3)(5)[(1)2(1)](n n n n n n n n n n -++-++-++++-++-= ； 10．4．11．证（1）在图1中，过C 作CF ⊥EB ．∵DE ⊥EB ，∴四边形CDEF 是矩形．∵CD=l ，∴EF=1．∵四边形ABCD 是等腰梯形，AB=3， ∴AE=BF=1．∵∠BAD=45°，∴DE=CF=1．连结CE ，则CE=CB=∵EB=2，∴∠BCE=90°．则BC ⊥CE ．在图2中，∵AE ⊥EB ，AE ⊥ED ，EB ED=E ， ∴AE ⊥平面BCDE ．∵BC ⊂平面BCDE ，∴AE ⊥BC ．∵AE CE=E ，∴BC ⊥平面AEC ．（2）用反证法．假设EM // 平面ACD ．∵EB // CD ，CD ⊂平面ACD ，EB ⊄平面ACD ， ∴EB // 平面ACD ．∵EB EM=E ，∴平面AEB // 平面ACD ．而A ∈平面AEB ，A ∈平面ACD ，与平面AEB // 平面ACD 矛盾．∴假设不成立，∴EM 与平面ACD 不平行．12．（25）1．充要； 2．（0，3）； 3．3； 4．－1； 5．0.7； 6．－2； 7．40 dm 2；8．(,)33-∞-+∞ ； 9．41；10．(,2][2,){0}-∞-+∞ ．11．证切化弦后用和角公式得2sin sin cos 1sin A B CC=，再用正弦定理得2cos 1ab C c=，再用余弦定理得222212ab a b c c ab+-⋅=，即2223a b c +=． 12．解（1）∵对任意的实数y x ,都有()()()2()1f x y f x f y y x y +=++++，1)1(=f ，∴(1)()(1)2(1)1()24f x f x f x f x x +=++++=++，(1)()24f x f x x +-=+， ∴当*x ∈N 时，()[()(1)][(1)(2)][(2)(1)](1)f x f x f x f x f x f f f =--+---++-+2[(22)286]133x x x x =++++++=+- ．（2）由（1）得，*x ∈N 时，不等式()f x ≥)10()7(+-+a x a 可化为233x x +-≥(1)(71a x x -+-，即247x x -+≥(1)a x -． ∵2x ≥，∴2471x x a x -+-≥．∵2474(1)22211x x x x x -+=-+-=--≥（当且仅当411x x -=-即32x =>取等号），∴要使原不等式恒成立，只需a 2≤，即实数a 的取值范围为(,2]-∞．（26）1．[0，2]； 2．2； 3．－2；4．①④； 5．相切； 6．)6,2[-；7．1b <-或2b >； 8．①②④；9．7；10．③．11．解（1）设021<<x x ，则2133x x <，1321<+x x ∵1212112212121222()()333333()()91919191x x x x xx x x x x x x x x f f +++---=-=++++121212()()()()331309191xx x xx x +--=<++，∴12()()f x f x <，即)(x f y =在)0,(-∞上是增函数．（2）∵3110191233xx xx<=++≤，∴当0x ≤时，()311(,0]9122xxf x =-∈-+．又∵函数)(x f y =是R 上的奇函数，∴当0>x 时，19321)(+-=xxx f 1(0,)2∈．综上得 )(x f y =的值域为 11(,)22- ．12．解（1）因为2a e ==，所以c =1，则b =1，即椭圆C 的标准方程为2212xy +=．（2）因为P （1，1），所以12PF k =，所以2O Q k =-，所以直线OQ 的方程为y =－又椭圆的左准线方程为x =－2,所以点Q （－2，所以1P Q k =-，又1O P k =,所以1k k PQ OP -=⊥,即OP PQ ⊥，故直线PQ 与圆O 相切．（3）当点P 在圆O 上运动时，直线PQ 与圆O 保持相切．证明如下：设00(,)P x y (0x ≠，则22002y x =-，所以001PF y k x =+，001O Q x k y +=-，所以直线OQ 的方程为001x y x y +=-，所以点Q(－2,0022x y +) ，所以0022000000000022(22)22(2)(2)PQ x y y y x x x x k x x y x y y +--+--====-+++，又因为00O P y k x =，所以1k k PQ OP -=⊥，即OP PQ ⊥，故直线PQ 始终与圆O 相切．（27）1．2； 2．{|0}x x ≥； 3．8； 4．4； 5．120°； 6．92；7．13+； 8．23-；9．5∶1；10．)37,53(． 11．证明（1）取PD 中点G ，易证FG 21CD AE ，∴四边形AEFG 为平行四边形，∴EF ∥AG ，∴EF ∥平面PAD ．（2）分别取DE 、BC 中点M 、N ．由PD=PE ，PB=PC ，则PM ⊥DE ，PN ⊥BC ．在直角梯形BCDE 中，∵BC ⊥MN ，∴BC ⊥平面PMN ．∥ ＝ ∥ ＝∵BC ⊥PN ，∴BC ⊥PM ．又∵DE ⊥PM ，∴PM ⊥面ABCD ， ∴平面PDE ⊥平面ABCD ．12．解（1）∵)2sin(sin 3βαβ+=，∴3sin[()]sin[()]αβααβα+-=++．∴3sin()cos 3cos()sin αβααβα+-+=sin()cos cos()sin αβααβα+++ ∴αβααβαsin )cos(2cos )sin(+=+ 又∵βα,为锐角，2πβα≠+，∴αβαtan 2)tan(=+．（2）由（1）可得αβαβαtan 2tan tan 1tan tan =-+，∴22tan 2tan 112tan 42tan tan αβααα==++≤（当且仅当12tan tan αα=，即tan 2α=时取等号），∴βtan 的最大值为42．（28）1．（－∞，2）； 2．1或2； 3．a ≥－8； 4．60； 5．4π； 6．150° ；7．b =8．32-；910．（3，＋∞）．11．解（1）22,cos ),(1,2cos ),x x x =+= m n2()222cos 2cos 23f x x x x x ∴=⋅=++=++m n3)62sin(2++=πx ，ππ==∴22T ，32222(),()26263k x k k k x k k πππππππππ+++∈∴++∈Z Z 令≤≤≤≤，2()[,]()63f x k k k ππππ∴++∈Z 的单调减区间为．（2）由4)(=A f 得，1()2sin(2)34,sin(2).662f A A A ππ=++=∴+=A ABC ∆ 为的内角又， 752,266666A A πππππ∴<+<∴+=，3π=∴A ．11,sin 322ABC S b bc A ∆==∴=2=∴c ，。

江苏省南通市2011高考数学二轮小练(29)

江苏南通2011高考数学二轮冲刺小练（29）班级学号姓名1．若3cos 5α=，则cos2α= ． 2．已知复数z =x +yi，且|2|z -=，则y x 的最大值． 3．在五个数字1，2，3，4，5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是．4．如果44x ππ-≤≤，那么函数f (x )=cos 2x +sin x 的最小值是_____ _．5．等差数列{a n }中，a n ≠0，23711220a a a -+=，数列{b n }是等比数列，且b 7=a 7，则b 6b 8= ．6．二次函数()y f x =的导函数()2f x x m '=+，且(0)f m =，则()0f x >在R 上恒成立时，m 的取值范围是 .7．已知函数()32f x x =+，数列{a n }满足：11a ≠-且1()n n a f a +=（n ∈N *），若数列{a n +c}是等比数列，则常数c = ．8．数式11111+++中虽然省略号“…”代表无限重复，但原式是一个固定值．可以用如下方法求得：令原式t =，则11t t +=，即210t t --=，取正值，t =+=____ ____．9．已知O ，A ，B 是平面上不共线三点，设P 为线段AB 垂直平分线上任意一点，若||7OA =，||5OB =，则()OP OA OB ⋅-的值为．10．已知点A （4，0）和B （2，2），M 是椭圆221259x y +=上的动点，则MA+MB 最大值是___ __．11．若函数34()4,2,()3f x ax bx x f x =-+=-当时函数有极值．（1）求函数的解析式；（2）是否存在实数k ，使得关于x 的方程k x f =)(有三个不同的实数解？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在.，说明理由．12．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，|AB|=3米，|AD|=2米．（1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？（2）若AN的长度不小于6米，则当AM、AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积．。

江苏省南通市2011高考数学二轮小练(4)

江苏南通2011高考数学二轮冲刺小练（4）班级学号姓名1．已知空间的点A （1，0，2），B （1，－3，1），M 是z 轴上的点，AM=BM ，则点M 的坐标是．2．已知平面上的点A （－2，1），B （1，3），AP AB 23=，则点P的坐标是．3．不等式2log ()x -<1+x 的解集是． 4．若右边的程序流程图输出数对i ，j ，则这两个数的和是．5．某商场举行抽奖活动，从装有编为0，1，2，3四个小球的抽奖箱中同时抽出两个小球，两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．中奖的概率是．6．已知正项数列{a n }的首项为l ，且对于一切正整数n 都有na n 2=[(n +1)a n +1+a n ]a n +1，则数列的通项公式是a n = ．7．关于x 的方程x 2－2ax +a 2－4a =0有模为3的虚数根，则实数a 的值是． 8．已知以F 1，F 2为焦点的椭圆，其离心率为e ，以F 1为顶点、F 2为焦点的抛物线与椭圆的一个交点是P ，若e PF PF =||||21，则e 的值为．9．若))(2)(1()(a x x x x f ---=，其中1＜a ＜2，则='+'+')()2(4)1(12a f a f f ． 10．如图长方体中，O 在AD 上，AB=8，AD=10，DO=AA 1=6．若以O 为球心，r 为半径作球面，使其与长方体的六个面都有公共点，则r 的取值范围是．11．已知：(3sin ,cos ),(cos ,cos )x x x x ==a b ，()221f x m =⋅+-a b （,x m ∈R ）. （1）求()f x 关于x 的表达式，并求()f x 的最小正周期；（2）若]2,0[π∈x 时()f x 的最小值为5，求m 的值.开始 i ←5 结束j ←－2 i ←i + j j ←i + j输出i, j12．如图，在四棱锥S—ABCD中，侧棱SA=SB=SC=SD，底面ABCD是菱形，AC与BD交于O点．（1）求证：AC⊥平面SBD；（2）若E为BC中点，点P在侧面△SCD内及其边界上运动，并保持PE⊥AC，试指出动点P的轨迹，并证明你的结论．SCBDO E。

江苏省南通市2011高考数学二轮冲刺小练(17)

江苏南通2011高考数学二轮冲刺小练（17）班级学号姓名1．已知(1)a bi i i +=-，其中,,a b i ∈R 为虚数单位，则a ，b 的值分别是．2．已知R 为实数集，2{|20},{|1},M x x x N x x =-<=≥则()M N =R ð ．3．如图（注：“A=1”也可写成“A ←1”，均表示赋值语句），该程序运行后输出的结果为．4．有3张奖券，其中2张可中奖，现有3个人按顺序依次从中抽一张，小明最后抽，则他抽到中奖券的概率是．5．用一根长为12m 的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架（不计损耗），要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的长与宽应分别为．6．圆2220x y x +-=被直线y =所截得的弦所对的劣弧长为．7．若函数32()3f x x x a =-+有3个不同的零点，则实数a 的取值范围为．8．已知双曲线的中心在原点，若它的一条准线与抛物线24y x =的准线重合，则该双曲线的方程是．9．对一切实数x ，不等式2||10x a x ++≥恒成立，则实数a 的取值范围为．10．如下图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正四边形“扩展”而来，…，如此类推.设由正n 边形“扩展”而来的多边形的边数为n a ，则6a = ；345991111a a a a +++⋅⋅⋅+＝ .3311．已知等差数列{}n a 的公差为d ，关于x 的方程21220i i i a x a x a ++++=(1,2,,)i n =⋅⋅⋅．（1）求以上方程的公共解；（2）若以上方程的另一个解为,i x 问数列1{}1n x +是否为差等数列，[并说明理由]12．已知椭圆2221(1)x y a a+=>，直线l 过点(,0)A a -和点B (,)(0)a ta t >，交椭圆于点M ，直线MO 交椭圆于N ．（1）用,a t 表示△AMN 的面积S ；（2）若[1,2]t ∈，求S 的最大值．。

江苏省南通市高考数学二轮冲刺小练(3)

江苏南通2011高考数学二轮冲刺小练（3）班级学号姓名1．设向量(1,2),(1,1),(3,2)=-=-=-a b c ，且p q =+c a b ，则实数q p += ．2．已知ni im -=+11，其中n m ,是实数，i 是虚数单位，则m +ni = ． 3．设集合{(,)|,},{(,)|1,,01}x P x y y k x Q x y y a x a a ==∈==+∈>≠R R 且，若Q P 只有一个子集，则实数k 的取值范围是．4．若抛物线的焦点在直线042=--y x 上，则此抛物线的标准方程是．5．“2=+b a ”是“直线0=+y x 与圆2)()(22=-+-b y a x 相切”的条件．6．已知数列}{n a 的通项公式21log (*)2n n a n n +=∈+N ，设其前n 项和为n S ，则使 3n S -≤成立的最小的自然n 为．7．已知某圆的圆心为（2，1），若此圆与圆0322=-+x y x 的公共弦所在直线过点（5，－2），则此圆的方程为．8．双曲线12222=-by a x 的右准线与两条渐近线交于A ，B 两点，右焦点为F ，且FA ⊥FB ，则双曲线的离心率为．9．若)0(331)(3f x x x f '+=，则=')1(f ． 10．一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，3，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，…，10．现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在k 组中抽取的号码个位数字与m +k 的个位数字相同．若m =8，则在第7组中抽取的号码是．11．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为棱AD 、AB 的中点．（1）求证：EF ∥平面CB 1D 1；（2）求证：平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．A 112．已知△ABC 中，向量(1(cos ,sin )A A =-=m n ，且1⋅=m n ．（1）求角A ；（2）若角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，且3=a ，求△ABC 的面积的最大值．。