正弦定理和余弦定理

正弦定理和余弦定理

学习目标

1.理解正弦定理、余弦定理的公式；

2.利用角边互化的方法解决一些三角形变量问题（最值（值域）问题）.

知识摘要

正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆的半径，则

重难点指导

一、利用正弦定理解三角形

例1在△ABC中，已知a＝2，b＝6，A＝45°，则满足条件的三角形有()

A．1个B．2个C．0个D．无法确定

解析：因为a

sin A＝b

sin B，所以sin B＝6×

2

2＝ 3.

因为a

【感悟提升】判断三角形解的个数的两种方法：

①代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断．

②几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数．

二、利用余弦定理解三角形

例2 在ABC

△中，三边上的高依次为111

,,

13511，则ABC

△为（）

A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不存在这样的三角形

解析：设ABC

△的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，111

,,

13511

分别为a ，b ，c 上的高. 根据三角形的面积相等可得1

1113511a b c ⨯=⨯=⨯，

所以可设a=13x ，b=5x,c=11x(x>0)， 由余弦定理得2222251113x cos 02511x A +-=<⨯⨯（），则π,π2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭

， 所以三角形为钝角三角形，故选C.

【感悟提升】余弦定理及其变形在结构上有所不同，因此在

应用它们解三角形时要根据条件灵活选择.

三、利用正、余弦定理同时解三角形

例3 已知分别为内角的对边，

，且，则 .

解析：因为，所以由正弦定理得.

又因为，所以余弦定理得，化为解得.

课本再探

例 (教材习题1.1B 组第2题)在△ABC 中，如果有性质

a cosA=bcosB ，试问这个三角形的形状具有什么特点？

解：由a cosA=bcosB 及正弦定理得sin2A ＝sin2B.

所以2A ＝2B 或2A ＝180°-2B ，所有这个三角形是等腰三角形或直角三角形.

【感悟提升】判断三角形形状的方法：

,,a b c ABC ∆,,A B C 2sin 2sin sin B A C =1,cos 4a c B >=a c =2sin 2sin sin B A C =22b ac =1,cos 4a c B >=2221224

b a

c ac ac =+-⨯=22520,a a c c ⎛⎫⎛⎫⨯-⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a c =2

（1）化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．

①△ABC为直角三角形⇔a2=b2+c2或b2=a2+c2或c2=a2+b2；

②△ABC为锐角三角形⇔a2+b2＞c2且b2+c2＞a2且c2+a2＞b2；

③△ABC为钝角三角形⇔a2+b2＜c2或b2+c2＜a2或c2+a2＜b2；

④按等腰或等边三角形的定义判断.

（2）化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝180°这个结论．

①若cosA=0，则A=90°，△ABC为直角三角形；

②若cosA＜0，则△ABC为钝角三角形；

③若cosA＞0且cosB＞0且cosC＞0，则△ABC为锐角三角形.

【变式探究】变式1（由边化角）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC 的形状为()

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.不确定

解析：由正弦定理得sin B cos C＋sin C cos B＝sin2A，

所以sin(B＋C)＝sin2A，即sin(180°－A)＝sin2A，sin A＝sin2A.

因为A∈(0°，180°)，所以sin A>0，所以sin A＝1，即A＝90°.

故选B .

变式2（由角化边）在ABC ∆中，若222sin sin sin B C A +>，则ABC

∆的形状是（ ）

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．不能确定

解析：根据正弦定理及222sin sin sin B C A +>，可知222b c a +>，

所以 222

cos 02b c a A ab

+-=>，所以A 为锐角， 但,B C 的情况不知道（还可能出现某一个为直角或钝角的情

形），

故ABC ∆的形状不能确定.故选D.