导数公式的证明最全

合集下载

导数公式证明大全

导数公式证明大全导数是微积分中的重要概念，它描述了函数变化率的性质。

在这篇文章中，我们将给出一些导数的常用公式的证明。

1.一次函数的导数证明：我们考虑一条一次函数的图像，其方程为y = ax + b，其中a和b是常数。

假设我们有两个点(x, y)和(x + h, y + kh)在图像上，其中h是一个趋近于0的非零常数。

由直线的斜率公式知道，两点之间的斜率为k = (y + kh - y) / (x + h - x) = k。

函数的导数定义为函数曲线上任意一点切线的斜率，我们需要证明这个斜率与常数a相等。

根据定义，导数为dy / dx = lim(h -> 0) [(y + kh - y) / (x + h - x)] = lim(h -> 0) (kh / h) = a。

因此，一次函数y = ax + b的导数为dy / dx = a。

2.幂函数的导数证明：考虑一个幂函数y=x^n，其中n是常数。

我们仍然用限制h趋近于0的两个点(x, y)和(x + h, y + kh)来证明这个导数。

根据定义，导数为dy / dx = lim(h -> 0) [(y + kh - y) / (x + h - x)] = lim(h -> 0) [(x + h)^n - x^n] / h。

我们可以使用二项式定理展开(x + h)^n = x^n + nx^(n-1)h + ... + h^n，并取消掉所有除以h的项：dy / dx = lim(h -> 0) [nx^(n-1)h + ... + h^n] / h = lim(h -> 0) [nx^(n-1) + ... + h^(n-1)] = nx^(n-1)。

因此，幂函数y = x^n的导数为dy / dx = nx^(n-1)。

3.指数函数的导数证明：考虑一个指数函数y=a^x，其中a是常数。

我们仍然使用限制h趋近于0的两个点(x, y)和(x + h, y + kh)来证明导数。

16个基本导数公式推导过程

16个基本导数公式推导过程推导过程如下：1.常数函数：f(x)=c求导结果：f'(x)=0。

证明过程：由导数定义可得，当函数为常数时，无论x取任何值，函数的增量都为0，即f(x + Δx) - f(x) = 0。

所以，f'(x) =lim(Δx→0) [f(x + Δx) - f(x)] / Δx = 0。

2.幂函数：f(x)=x^n，其中n为正整数。

求导结果：f'(x) = nx^(n-1)。

证明过程：利用定义求导。

计算f(x + Δx) = (x + Δx)^n与f(x) = x^n的差值，然后除以Δx，当Δx趋于0时求极限。

利用二项式展开，可以得出f'(x) = nx^(n-1)。

3.指数函数：f(x)=e^x。

求导结果：f'(x)=e^x。

证明过程：由指数函数的性质可知，e^0 = 1，且(d(e^x)/dx) = e^x。

因此，可以据此推导出f'(x) = e^x。

4. 对数函数：f(x) = ln(x)。

求导结果：f'(x)=1/x。

证明过程：由导数定义可得f'(x) = lim(Δx→0) [ln(x + Δx) - ln(x)] / Δx。

利用对数的性质，将差值化简为ln((x + Δx)/x)，再除以Δx并取极限，最终得出f'(x) = 1/x。

5. 正弦函数：f(x) = sin(x)。

求导结果：f'(x) = cos(x)。

证明过程：利用极限定义求导。

计算f(x + Δx) - f(x) = sin(x + Δx) - sin(x)，然后除以Δx并取极限。

应用三角函数的合角公式并利用三角恒等式可得f'(x) = cos(x)。

6. 余弦函数：f(x) = cos(x)。

求导结果：f'(x) = -sin(x)。

证明过程：同样应用极限定义。

计算f(x + Δx) - f(x) = cos(x + Δx) - cos(x)，然后除以Δx并取极限。

求导数的基本规则和公式

求导数的基本规则和公式微积分是高中数学中最重要的一部分，而求导是微积分中最基本的一部分。

求导数是对函数进行微小范围内的变化率分析，表示了函数在某个时刻的斜率或切线的斜率，它广泛应用于自然科学和社会科学中。

本文将介绍求导数的基本规则和公式，帮助读者更好地理解和学习微积分。

1. 导数的定义导数是函数在某一点的变化率，即斜率。

如果函数f在点x处可导，那么导数f'(x)可以定义为：f'(x) = lim (f(x + h) - f(x)) / h (h -> 0)其中，h是一个趋近于0的数，称为微小变化量。

如果导数存在，那么我们就可以计算出函数在该点的斜率，例如，函数y = x^2在x = 1处的导数为：y' = lim (f(x + h) - f(x)) / h= lim ((x + h)^2 - x^2) / h= lim (2xh + h^2) / h= lim (2x + h)= 2x因此，y' = 2x，在x = 1处的斜率为2。

这个结果告诉我们，当x在1附近增加一个微小的量h时，函数y = x^2在这个点上的值将增加2xh，这是由两个因素决定的：首先，当x增加h时，函数值增加了h；其次，由于函数在x = 1处的斜率为2，因此在x = 1附近，函数值的变化率为2。

这些因素共同导致了y值的变化。

2. 常见导数的公式导数的计算通常需要使用常见的求导公式。

下面是一些常见函数的导数公式：（1）常数函数y = c（c为常数）的导数为0，即y' = 0。

（2）幂函数y = x^n（n为正整数）的导数为y' = nx^(n-1)。

（3）指数函数y = a^x（a>0，a≠1）的导数为y' = a^xlna。

（4）对数函数y = loga(x)（a>0，a≠1）的导数为y' = 1 / (xlna)。

（5）三角函数y = sin(x)的导数为y' = cos(x)， y = cos(x)的导数为y' = -sin(x)， y = tan(x)的导数为y' = sec^2(x)。

导数公式证明大全

导数公式证明大全导数的定义是函数变化率的极限。

下面将给出导数的一些重要公式的证明。

1.常数函数的导数：设常数函数$f(x)=c$，其中$c$为常数。

由导数的定义可知：\[\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ &= \lim_{h\to 0}\frac{c-c}{h} \\ &= \lim_{h\to 0}0 \\ &= 0\end{aligned}\]因此，常数函数的导数为0。

2.幂函数的导数：设幂函数$f(x)=x^n$，其中$n$为正整数。

由导数的定义可知：\[\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ &= \lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h} \end{aligned}\]将$(x+h)^n$展开为二项式，有：\[(x+h)^n = x^n + \binom{n}{1}x^{n-1}h + \binom{n}{2}x^{n-2}h^2 + \ldots + \binom{n}{n-1}xh^{n-1} + h^n\]代入上式，消去$x^n$，并除以$h$，得：\[\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h\to0}\left(\binom{n}{1}x^{n-1} + \binom{n}{2}x^{n-2}h + \ldots +\binom{n}{n-1}xh^{n-2} + h^{n-1}\right) \\ &= \binom{n}{1}x^{n-1} + \binom{n}{2}x^{n-2}\cdot 0 + \ldots + \binom{n}{n-1}x\cdot 0 + 0^{n-1} \\ &= n\cdot x^{n-1} \end{aligned}\]因此，幂函数的导数为$n$倍的$x$的$n-1$次方。

导数的基本公式14个推导

导数的基本公式14个推导导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。

导数的基本公式有14个，它们可以通过推导得出。

在本文中，我们将简要介绍这些基本公式。

1. 常数函数的导数：对于任何常数c，常数函数f(x) = c的导数为0。

这是因为常数函数的斜率为零，即在任何点上它的变化率都为零。

2. 幂函数的导数：对于幂函数f(x) = x^n（其中n是常数），它的导数为f'(x) = nx^(n-1)。

这可以通过使用极限和基本的代数运算法则来推导。

3. 指数函数的导数：指数函数f(x) = e^x的导数为f'(x) = e^x。

这个公式的推导中需要使用指数函数的定义和一些性质。

4. 对数函数的导数：对数函数f(x) = ln(x)的导数为f'(x) =1/x。

这个公式可以通过使用指数函数的导数和链式法则来推导。

5. 三角函数的导数：三角函数（包括正弦、余弦和正切函数）的导数可按照以下规律推导得出：- 正弦函数f(x) = sin(x)的导数为f'(x) = cos(x)。

- 余弦函数f(x) = cos(x)的导数为f'(x) = -sin(x)。

- 正切函数f(x) = tan(x)的导数为f'(x) = sec^2(x)。

其中sec(x)表示secant函数，它是余弦函数的倒数。

6. 反三角函数的导数：反三角函数是三角函数的反函数，其导数可以按照以下规律推导得出：- 反正弦函数f(x) = arcsin(x)的导数为f'(x) = 1/√(1-x^2)。

- 反余弦函数f(x) = arccos(x)的导数为f'(x) = -1/√(1-x^2)。

- 反正切函数f(x) = arctan(x)的导数为f'(x) = 1/(1+x^2)。

7. 基本初等函数的求导规则：基本初等函数是由常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数通过有限次的四则运算和复合运算（即求导运算）得到的函数。

用导数定义证明导数公式的方法

用导数定义证明导数公式的方法在微积分中，导数是描述函数变化速率的重要工具。

证明导数公式是微积分学习中的关键内容之一。

本文将介绍一种用导数定义证明导数公式的方法，帮助读者更深入理解导数的概念和应用。

在证明导数公式时，我们通常会使用基本的导数定义：假设函数f(f)在某一点f可导，那么f(f)在该点的导数f′(f)定义为：$$ f'(x) = \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{f(x + \\Delta x) -f(x)}{\\Delta x} $$基于这一定义，我们可以推导出各种导数的计算公式。

以下以常见的导数公式为例，介绍如何用导数定义证明这些公式。

1. 常数函数的导数首先考虑常数函数f(f)=f的导数。

根据导数定义，我们有：$$ f'(x) = \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{f(x + \\Delta x) -f(x)}{\\Delta x} = \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{C -C}{\\Delta x} = \\lim_{\\Delta x \\to 0} 0 = 0 $$因此，常数函数的导数恒为0。

2. 幂函数的导数考虑幂函数f(f)=f f的导数。

根据导数定义，我们有：$$ f'(x) = \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{(x+\\Delta x)^n -x^n}{\\Delta x} $$为了证明这一式子，我们可以使用二项式定理将$(x +\\Delta x)^n$展开，最终可以得到导数的计算公式。

通过以上的方法，可以用导数定义证明各种函数的导数公式。

这种方法不仅有助于加深对导数概念的理解，还可以帮助我们更好地理解微积分中的基本原理。

希望读者通过这种方法，能够更加熟练地运用导数来分析和解决实际问题。

结论通过以上方法，我们可以用导数定义证明各种导数公式，从常数函数到复杂函数，都可以通过导数的定义来推导和证明其导数公式。

高中数学导数公式、定义证明、运算法则，实用干货，收藏好！

高中数学导数公式、定义证明、运算法则，实用干货，收藏好！导数，也叫导函数值。

那么，高中数学导数公式及运算法则有哪些呢？高中数学导数公式有哪些1.y=c(c为常数) y'=02.y=x^n y'=nx^(n-1)3.y=a^x y'=a^xlnay=e^x y'=e^x4.y=logax y'=logae/xy=lnx y'=1/x5.y=sinx y'=cosx6.y=cosx y'=-sinx7.y=tanx y'=1/cos^2x8.y=cotx y'=-1/sin^2x加（减）法则：[f(x)+g(x)]'=f(x)'+g(x)'乘法法则：[f(x)*g(x)]'=f(x)'*g(x)+g(x)'*f(x)除法法则：[f(x)/g(x)]'=[f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)^2根据导数定义证明数学导数运算法则由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。

基本的求导法则如下：1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。

2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。

3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即③式）。

4、如果有复合函数，则用链式法则求导。

导数的计算方法函数y=f（x）在x0点的导数f'（x0）的几何意义：表示函数曲线在点P0（x0,f（x0））处的切线的斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。

计算已知函数的导函数可以按照导数的定义运用变化比值的极限来计算。

在实际计算中，大部分常见的解析函数都可以看作是一些简单的函数的和、差、积、商或相互复合的结果。

只要知道了这些简单函数的导函数，那么根据导数的求导法则，就可以推算出较为复杂的函数的导函数。

导数公式大全(最具说服力的)

导数公式大全(最具说服力的)导数公式大全（最具说服力的）一、导数的定义和性质导数是微积分中的重要概念，用来描述函数在某一点处的变化率。

对于函数f(x)，它在点x处的导数记作f'(x)，定义为：f'(x) = lim (h→0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，h表示自变量x的增量。

导数具有以下几个基本性质：1. 常数规则：若c为常数，则（c）' = 0。

2. 幂函数规则：对于幂函数f(x) = x^n，其中n为正整数，则(f(x))' = nx^(n-1)。

3. 指数函数规则：对于指数函数f(x) = a^x，其中a为常数且a>0且a≠1，则(f(x))' = ln(a) * a^x。

4. 对数函数规则：对于对数函数f(x) = log_a(x)，其中a为常数且a>0且a≠1，则(f(x))' = 1 / (x * ln(a))。

5. 三角函数规则：对于三角函数f(x) = sin(x)，(f(x))' = cos(x)；对于f(x) = cos(x)，(f(x))' = -sin(x)；对于f(x) = tan(x)，(f(x))' = 1 / cos^2(x)。

6. 反函数规则：如果y = f(x)是可导函数，且f'(x) ≠ 0，则其反函数x = f^(-1)(y)在相应点处可导，且有(f^(-1)(y))' = 1 / (f'(x))。

二、高级导数公式除了基本性质外，还存在一些高级的导数公式，可以用来求解更为复杂的函数的导数。

1. 乘积法则：若函数u(x)和v(x)都在x处可导，则(u(x)v(x))' =u'(x)v(x) + u(x)v'(x)。

2. 商积法则：若函数u(x)和v(x)都在x处可导且v(x) ≠ 0，则(u(x)/v(x))' = [u'(x)v(x) - u(x)v'(x)] / v^2(x)。

导数公式证明大全

导数的定义:：(x)=lim △ y/A x△ x—0 (下面就不再标明A x—0 了)用定义求导数公式1)f(x)=x A n证法一：n为自然数)f'(x)=lim [(x+A x)An-xAn]/A x=lim (x+ A x-x)[(x+ A x)A(n-1 )+x*(x+ A x)A(n -2)+...+xA(n-2)*(x+ A x)+xA(n -1 )]/ A x=lim [(x+A x)A(n-1)+x*(x+A x)A(n-2)+...+xA(n-2)*(x+A x)+xA(n-1)]=xA(n-1 )+x*xA(n -2)+xA2*xA(n -3)+ ...xA(n-2)*x+xA(n -1 )=nxA(n-1)证法二：n为任意实数)f(x)=xAnlnf(x)=nlnx(lnf(x))'=(nlnx)'f'(x)/f(x)=n/xf'(x)=n/x*f(x)f'(x)=n/x*xAn f'(x)=nxA(n -1)(2)f(x)=sinxf'(x)=lim (sin(x+A x)-sinx)/A x=lim (sinxcos A x+cosxsin A x-sinx)/ A x =lim (sinx+cosxsin A x-sinx)/A x=lim cosxsin A x/A x=cosx(3)f(x)=cosxf'(x)=lim (cos(x+A x)-cosx)/A x=lim (cosxcos A x-sinxsin A x-cosx)/A x =lim (cosx-sinxsin A x-cos)/A x=lim -sinxsin A x/A x=-sinx4)f(x)=a A xf'(x) =lim (aA(x+A x)-aAx)/A x=lim a A x*(a A△ x-1)/A x设"Ax-仁m,贝U A x=logaA(m+1))=lim aAx*m/logaA(m+1)=lim aAx*m/[ln(m+1)/lna]=lim aAx*lna*m/ln(m+1)=lim aAx*lna/[(1/m)*ln(m+1)]=lim aAx*lna/ln[(m+1)A(1/m)]=lim aAx*lna/lne=aAx*lna若a=e,原函数f(x)=eAx 贝f'(x)=eAx*lne=eAx(5)f(x)=logaAxf'(x)=lim (logaA(x+A x)-logaAx)/A x=lim logaA[(x+A x)/x]/A x=lim logaA(1+A x/x)/A x=lim ln(1+A x/x)/(lna* A x) =lim x*ln(1+ A x/x)/(x*lna* A x) =lim (x/A x)*ln(1+ △ x/x)/(x*Ina)=lim ln[(1+ A x/x)A(x/ A x)]/(x*Ina)=lim lne/(x*lna)=1/(x*lna)若a=e，原函数f(x)=logeAx=Inx则f'(x)=1/(x*lne)=1/x(6)f(x)=tanxf'(x)=lim (tan(x+A x)-tanx)/A x=lim (sin(x+A x)/cos(x+ A x)-sinx/cosx)/A x=lim (sin(x+A x)cosx-sinxcos(x+A x)/(A xcosxcos(x+A x))=lim (sinxcos A xcosx+sin A xcosxcosx-sinxcosxcos A x+sinxsinxsin A x)/(A xcosxcos(x+A x))=lim sin A x/(A xcosxcos(x+A x))=1/(cosx)A2=secx/cosx=(secx)A2=1+(tanx)A2(7)f(x)=cotx f'(x)=lim (cot(x+ △ x)- cotx)/ △ x=lim (cos(x+A x)/sin(x+ △ x) -cosx/sinx)/A x=lim (cos(x+A x)sinx-cosxsin(x+A x))/( A xsinxsin(x+ A x)) =lim (cosxcos A xsinx-sinxsinxsin A x-cosxsinxcos A x- cosxsin A xcosx)/(A xsinxsin(x+A x))=lim -sin A x/(A xsinxsin(x+A x))=-1/(s in x)A2= -cscx/si nx=-(secxF2二1-(cotxF28)f(x)=secx f'(x)=lim (sec(x+A x)-secx)/A x=lim (1/cos(x+A x)-1/cosx)/A x=lim (cosx-cos(x+A x)/(A xcosxcos A x)=lim (cosx-cosxcos A x+sinxsin A x)/(A xcosxcos(x+A x))=lim sinxsin A x/(A xcosxcos(x+A x))=sinx/(cosx)A2=tanx*secx9)f(x)=cscxf'(x) =lim (csc(x+A x)-cscx)/A x=lim (1/sin(x+ A x)-1/sinx)/A x=lim (sinx-sin(x+A x))/(A xsinxsin(x+A x))=lim (sinx-sinxcos A x-sin A xcosx)/(A xsinxsin(x+A x)) =lim -sin A xcosx/(A xsinxsin(x+A x))=-cosx/(s in x)A2=-cotx*cscx10)f(x)=x A x lnf(x)=xlnx (lnf(x))'=(xlnx)' f'(x)/f(x)=lnx+1 f'(x)=(lnx+1)*f(x) f'(x)=(lnx+1)*xAx(12)h(x)=f(x)g(x)h'(x)=lim (f(x+ A x)g(x+ A x)-f(x)g(x))/ A x =lim [(f(x+ A x)-f(x)+f(x))*g(x+A x)+(g(x+A x)-g(x)-g(x+A x))*f(x)]/ A x=lim [(f(x+ △x)-f(x))*g(x+ △x)+(g(x+ △ x)-g(x))*f(x)+f(x)*g(x+ △ x)-f(x)*g(x+ △ x)]/ A x=lim (f(x+ A x)-f(x))*g(x+ A x)/ A x+(g(x+ A x)-g(x))*f(x)/ A x=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)(13)h(x)=f(x)/g(x)h'(x)=lim (f(x+ A x)/g(x+A x)-f(x)g(x))/A x=lim (f(x+A x)g(x)-f(x)g(x+A x))/(A xg(x)g(x+A x))=lim [(f(x+ A x)-f(x)+f(x))*g(x) -(g(x+ A x) -g(x)+g(x))*f(x)]/( A xg(x)g(x+A x))=lim [(f(x+ A x)-f(x))*g(x) -(g(x+ A x)-g(x))*f(x)+f(x)g(x) -f(x)g(x)]/(A xg(x)g(x+A x))=lim (f(x+ A x)-f(x))*g(x)/( A xg(x)g(x+A x))-(g(x+A x)-g(x))*f(x)/( A xg(x)g(x+A x))=f'(x)g(x)/(g(x)*g(x)) -f(x)g'(x)/(g(x)*g(x))=[f'(x)g(x) -f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x))x(14)h(x)=f(g(x))h'(x)=lim [f(g(x+ A x))-f(g(x))]/ A x=lim [f(g(x+A x)-g(x)+g(x))-f(g(x))]/A x (另g(x)=u, g(x+A x)-g(x)= △ u)=lim (f(u+ A u)-f(u))/ A x=lim (f(u+ A u)-f(u))* A u/(A x*A u)=lim f'(u)* A u/A x=lim f'(u)*(g(x+ A x)-g(x))/A x=f'(u)*g'(x)=f'(g(x))g'(x)总结一下(A n )'=nx^( n-1)(sinx) '=cosx(cosx) '=-sinx(aAx) '=aAxlna(eAx) '=eAx(logaAx) '=1/(xlna)(lnx)'=1/x(tanx)'=(secx)A2=1+(tanx)A2(cotx)'=-(cscx)A2=-1-(cotx)A2(secx)'=tanx*secx(cscx)'=-cotx*cscx(xAx)'=(lnx+1)*xAx [f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) [f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x) -f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x))[f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)。

导数公式的推导

导数公式的推导导数公式是微积分中的重要概念，用来描述函数在不同点处的斜率或变化率。

在这篇文档中，我们将介绍导数公式的推导过程，从最基本的定义出发，逐步推导出求导的一元微积分定理和各种导数公式。

导数的基本定义在微积分中，函数的导数指的是函数在某一点的斜率或变化率，用符号$f'(x)$或$\frac{df}{dx}$表示。

假设$y=f(x)$是一个连续可导的函数，那么$f'(x)$的定义可以使用极限来表示：$$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$其中$h$表示$x$的增量，即要求$f(x+h)$和$f(x)$的差值除以$h$的极限。

这个式子有一个直观的解释：当$h$很小的时候，$f(x+h)$和$f(x)$的差值可以近似看作函数在$x$点处的斜率，而函数在这个点的导数$f'(x)$就是这个斜率的极限。

在实际应用中，我们通常可以通过算出一个极限的差商来估算函数在某一点的斜率或变化率。

一元微积分定理这个定义可以用来证明一元微积分定理，即求导数的方法。

设$y=f(x)$在$x_0$处可导，则$f(x)$在$x_0$处的导数为：$$f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Deltay}{\Delta x}$$其中$\Delta x$表示$x$的增量，$\Deltay=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$表示$y$的增量。

这个式子的物理含义是：当$x$的增量$\Delta x$趋于$0$时，$y$的增量$\Delta y$趋于与$x$的斜率相等，即函数在$x_0$处的导数。

导数的基本公式导数公式的推导离不开各种求导规则和公式。

这里我们介绍几个基本的导数公式：1. 常函数的导数为$0$如果$f(x)=k$是一个常数函数，那么$ f'(x)=0$。

这个结论可以用定义直接证明。

当$h$趋于$0$时，分母$h$趋于$0$，分子$f(x+h)-f(x)$的值不变，所以极限$\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$等于$0$。

高数常见导数公式推导

高数常见求导数题1.√x+1((1+√x+13)=.解:令t 6=x +1,则dx =6 t 5dt ⇒t =√x +16dx √x +1((1+√x +13)= ∫ 6 t 5dt t 3(1+t 2)=∫ 6t 2dt 1+t 2=6∫t 2+1−1t 2+1dt =6∫1dt −6∫dtt 2+1=6t −6arctant +C∴√x +1((1+√x +13)=6√x +16−6arctan√x +16+C2. ∫dx x 2−2x+3= 解：∫dx x 2−2x+3 =∫dx 2+(x−1)2=√21√2dx 1+(x−1√2)2=√22arctan (√2)+C3.√1+x−x 2= .解：√1+x−x =√54−(x −x+14)=√54−(x−12)= √52√1−(2x−1√5)2=√52√1−(2x −1√52√5√1−(2x −1√5)√1−(2x −1√5)(√5)=arcsin (√5)+C 4. ∫√(1+x 2)3=解：令x=tant,则dx=1cos 2tdt ，易知x ∈R ⇒t ∈(−π2,0)∪(0,π2)，从而有：sint =xcost =x√11+tan 2t =√1+x 2dx√(1+x2)3=1cos2t dt√(1+tan2t)3=∫1cos2t dt1cos3t=∫costdt=sint+C=x√1+x2+C∴∫dx√(1+x2)3=x√1+x2+C5.√X2+X+1=解：X+1√X+X+1=∫(x+12+12)dx√x+x+1=x+12√x+x+1+12dx√x+x+1=2x+12√x2+x+1+12dx√(x+12)2+34=√x2+x+1+12ln(x+12+√(x+12)2+34)+C 常用的积分公式及基本类型(一)1.∫tanxdx=−ln|cosx|+C∫cotxdx=ln|sinx|+C2.∫tan2xdx=∫(sec2x−1)dx=∫sec2xdx−∫dx=tanx−x+C3.∫cot2xdx=∫(csc2x−1)dx=cotx−x+C(二)1..∫sinxcosxdx=sin2x2+C=−cos2x2+C=−cos2x4+C2.∫cos2xcos3xdx=12∫[cos(3x+2x)+cos(3x−2x)]dx=1 2∫cos5xdx+12∫cosxdx=110sin5x+12sinx+C∫sin3xsin2xdx=12∫[cos(3x−2x)−cos(3x+2x)]dx=12sinx −110sin5x+C3.∫cos2xdx=∫1+cos2x2dx=12∫dx+14∙∫2cos2xdx =x2+14sin2x+C∫sin2xdx=∫1−cos2x2dx=12∫dx−14∫2cos2xdx=x2−14sin2x+C4.∫cos3xdx=∫cos2x∙cosxdx=∫(1−sin2x)d(sinx)=sinx−13sin3x+C∫sin3xdx=∫sinx2sinxdx=−∫(1−cos2x)d(cosx)=13cos3x−cosx+C(三)1)∫secxdx=∫dxcosx=ln|secx+tanx|+C证明：令t=secx=1cosx ,则x=arccos 1t易知x ∈[0,π2)∪(π2,π]⇒1t ∈[−1,0)∪(0,1];当x ∈[0,π2)⇒secx >0⇒t >0⇒dx =t√t 2−1,√sec 2x −1=tanx⇒ ∫secxdx =∫t ∙dt t√t 2−1=∫dt √t 2−1=ln |t +√t 2−1|+C=ln |secx +tanx |+C当x ∈(π2,π]⇒secx <0⇒ t <0⇒ dx =t√t 2−1,√sec 2x −1=−tanx⇒ ∫secxdx =∫−t ∙dt t√t 2−1=−∫dt √t 2−1=−ln |t +√t 2−1|+C =ln |t −√t 2−1|+C =ln |secx +tanx |+C从而有∫secxdx =∫dxcosx=ln |secx +tanx |+C***∫sec 3xdx =∫dxcos 3x =∫1cosx 1cos 2x dx =∫1cosx dtanx =1cosx tanx −∫tanxd 1cosx =1cosx tanx −∫sinx cosx sinx cos 2x dx =1cosx tanx −∫1−cos 2x cos 3xdx =1cosxtanx −∫dx cos 3x+∫dx cosx=1cosxtanx +ln |secx +tanx |−∫dx cos 3∫dxcos 3=12{ln |secx +tanx |+1cosx tanx }+C=12ln |secx +tanx |+12secxtanx +C2) ∫cscxdx =∫dxsinx=ln |cscx −cotx |+C 证明：令t=cscx=1sinx,则x =arcsin 1t⇒dx =−t√t 2−1易知x∈[−π2,0)∪(0,π2]⇒1t∈[−1,0)∪(0,1];当x∈(0,π2]⇒cscx>0⇒t>0⇒dx=t√t2−1,√csc2x−1=cotx∫secxdx=∫t∙dtt√t2−1)=∫−dt√t2−1=−ln|t+√t2−1|+C=ln|t−√t2−1|+C =ln |cscx−cotx|+C当x∈[−π2,0)⇒cscx<0⇒t<0⇒dx=t√t2−1,√csc2x−1=-cotx∫secxdx=∫t∙(dtt√t2−1)=dt√t2−1=ln|t+√t2−1|+C=ln| cscx−cotx|+C从而有∫cscxdx=∫dxsinx=ln|cscx−cotx|+C***∫csc3xdx=∫dxsin3x =12ln|cscx−cotx|−12cscxcotx+C(四)1)∫dxa2+x2=1aarctan xa+C2)∫dxx2−a2=12aln|x−ax+z|+C(五)1)∫√x2+a2=ln(x+√x2+a2)+C2)∫√x2−a2=ln|x+√x2−a2|+C3)∫√a2−x2=arcsin xa+C(六)1)∫√x2+a2dx=x2√x2+a2+a22ln(x+√x2+a2)+C***令x=atant,x∈R⇒t∈(−π2,π2)则dx=acos2tdt，易知有:∫√x2+a2dx=∫√a2tan2t+a2[acos2t dt]=a2∫1cos3tdt=a22ln|sect+tant|+a22sect∙tant+C又sect=1cost=√tan2t+1⇒∫√x2+a2dx=x2√x2+a2+a22ln|√x2+a2a+xa|+C =√x2+a2+a22ln(x+√x2+a2)+C从而有∫√x2+a2dx=x2√x2+a2+a22ln(x+√x2+a2)+C2)∫√x2−a2dx=x2√x2−a2+a22ln|x−√x2−a2|+C***令x=asect,则dx=asintcos2t dt,易知t∈[0,π2)∪(π2,π]➢当x<−a,cost<0,sint>0⇒sint=√sec2t−1sec2t=√x2−a2−x ⇒tant=sect√sec2t−1sec2t=−√x2−a2a ;∫√x2−a2dx=∫√(asect)2−a2asintcos2tdt=∫−a sintcost asintcos2tdt=a2∫dtcost−a2∫dtcos3t=a22ln|sect+tant|−a2 2sect∙tant=x2√x2−a2+a22ln|x−√x2−a2|+C➢当x>a,cost>0,sint>0⇒sint=√sec2t−1sec2t=√x2−a2x⇒tant=sect√sec2t−1sec2t =√x2−a2a;∫√x2−a2dx=∫√(asect)2−a2asintcos2tdt=∫a sintcost asintcos2tdt=a2∫dxcos3t−a2∫dxcost=−a22ln|sect+tant|+a22sect∙tant=x2√x2−a2+a22ln|x−√x2−a2|+C从而有∫√x2−a2dx=x2√x2−a2+a22ln|x−√x2−a2|+C3)∫√a2−x2dx=x2√a2−x2−a22arccosxa+C***令x=acost,则dx=−asintdt ,易知有t∈[0,π]⇒sint>0显然可知，不管x>0或x<0,都有以下式子成立∫√a2−x2dx=∫√a2−a2cos2t(−asintdt)=∫−a2sin2tdt=a2∫cos2t−12dt=a24∫2cos2tdt−a22∫dt=a24sin2t−a22t=a22sintcost−a22t+C又:t=arccos xa ,sin2t=2sintcost=2xa√a2−x2a∴∫√a2−x2dx=x2√a2−x2−a22arccosxa+C。

导数的公式及证明

导数公式及证由之运算来）：基本导数公式
1.常函数（即常数）y=c(c为常数) y'=0 2.幂函数y=x^n,y'=nx^(n-1)(n∈Q*) 熟记1/X的导数 3．指数函数(1)y=a^x,y'=a^xlna ；(2)熟记y=e^x y'=e^x唯一一个导函数为本身的函数 4．对数函数(1)y=logaX,y'=1/xlna (a>0且a不等于1,x>0) ；熟记y=lnx,y'=1/x 5．正弦函数y=(sinx ）y'=cosx 6．余弦函数y=（cosx） y'=-sinx 7．正切函数y=(tanx） y'=1/(cosx)^2 8．余切函数y=（cotx） y'=-1/(sinx)^2 9．反正弦函数y=（arcsinx） y'=1/√1-x^2 10．反余弦函数y=（arccosx） y'=-1/√1-x^2 11．反正切函数y=（arctanx） y'=1/(1+x^2) 12．反余切函数y=（arccotx） y'=-1/(1+x^2) 为了便于记忆，有人整理出了以下口诀：常为零，幂降次，对导数（e为底时直接导数，a为底时乘以lna），指不变（特别的，自然对数的指数函数完全不变，一般的指数函数须乘以lna）；正变余，余变正，切割方（切函数是相应割函数（切函数的倒数）的平方），割乘切，反分式在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到： 1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]·g'(x)‘f'[g(x)]中g(x）看作整个变量，而g'(x)中把x看作变量’ 2．y=u/v,y'=(u'v-uv')/v^2 3．原函数与反函数导数关系（由三角函数导数推反三角函数的）：y=f(x)的反函数是x=g(y），则有y'=1/x' 证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。用导数的定义做也是一样的：y=c,Δy=c-c=0,limΔx→0Δy/Δx=0。 2．这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况，只能证其为整数Q。主要应用导数定义与N次方差公式。在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。 3．y=a^x, Δy=a^(x+Δx)-a^x=a^x(a^Δx-1) Δy/Δx=a^x(a^Δx-1)/Δx 如果直接令Δx→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β=a^Δx-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：Δx=loga(1+β)。所以(a^Δx-1)/Δx=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β 显然，当Δx→0时，β也是趋向于0的。而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。把这个结果代入limΔx→0Δy/Δx=limΔx→0a^x(a^Δx-1)/Δx后得到limΔx→0Δy/Δx=a^xlna。可以知道，当a=e时有y=e^x y'=e^x。 4．y=logax Δy=loga(x+Δx)-logax=loga(x+Δx)/x=loga[(1+Δx/x)^x]/x Δy/Δx=loga[(1+Δx/x)^(x/Δx)]/x 因为当Δx→0时，Δx/x趋向于0而x/Δx趋向于∞，所以limΔx→0loga(1+Δx/x)^(x/Δx)=logae,所以有 limΔx→0Δy/Δx=logae/x。也可以进一步用换底公式 limΔx→0Δy/Δx=logae/x=lne/(x*lna)=1/(x*lna)=(x*lna)^(-1) 可以知道，当a=e时有y=lnx y'=1/x。这时可以进行y=x^n y'=nx^(n-1)的推导了。因为y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx, 所以y'=e^nlnx·(nlnx)'=x^n·n/x=nx^(n-1)。 5.y=sinx Δy=sin(x+Δx)-sinx=2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2) Δy/Δx=2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/Δx=cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/(Δx/2) 所以limΔx→0Δy/Δx=limΔx→0cos(x+Δx/2)·limΔx→0sin(Δx/2)/(Δx/2)=cosx 6．类似地，可以导出y=cosx y'=-sinx。 7．y=tanx=sinx/cosx y'=[(sinx)'cosx-sinx(cosx)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x 8．y=cotx=cosx/sinx y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x 9．y=arcsinx x=siny x'=cosy y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2 10．y=arccosx x=cosy x'=-siny y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2 11．y=arctanx x=tany x'=1/cos^2y y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2 12．y=arccotx x=coty x'=-1/sin^2y y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2 另外在对双曲函数shx,chx,thx等以及反双曲函数arshx,archx,arthx等和其他较复杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与 4．y=u土v,y'=u'土v' 5．y=uv,y=u'v+uv' 均能较快捷地求得结果。对于y=x^n y'=nx^(n-1) ，y=a^x y'=a^xlna 有更直接的求导方法。 y=x^n 由指数函数定义可知，y>0 等式两边取自然对数 ln y=n*ln x 等式两边对x求导，注意y是y对x的复合函数 y' * (1/y)=n*(1/x) y'=n*y/x=n* x^n / x=n * x ^ (n-1) 幂函数同理可证导数说白了它其实就是曲线一点斜率，函数值的变化率上面说的分母趋于零，这是当然的了，但不要忘了分子也是可能趋于零的，所以两者的比就有可能是某一个数，如果分子趋于某一个数，而不是零的话，那么比值会很大，可以认为是无穷大,也就是我们所说的导数不存在。 x/x,若这里让X趋于零的话，分母是趋于零了，但它们的比值是1,所以极限为1. 建议先去搞懂什么是极限。极限是一个可望不可及的概念，可以很接近它，但永远到不了那个岸. 并且要认识到导数是一个比值。

导数公式证明大全(最全版)

数学导数公式大全
若 a=e，原函数 f(x)=loge^x=lnx 则 f'(x)=1/(x*lne)=1/x
（6）f(x)=tanx f'(x) =lim (tan(x+Δx)-tanx)/Δx =lim (sin(x+Δx)/cos(x+Δx)-sinx/cosx)/Δx =lim (sin(x+Δx)cosx-sinxcos(x+Δx)/(Δxcosxcos(x+Δx)) =lim (sinxcosΔxcosx+sinΔxcosxcosx-sinxcosxcosΔ x+sinxsinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx)) =lim sinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx)) =1/(cosx)^2=secx/cosx=(secx)^2=1+(tanx)^2
数学导数公式大全
（3）f(x)=cosx f'(x) =lim (cos(x+Δx)-cosx)/Δx =lim (cosxcosΔx-sinxsinΔx-cosx)/Δx =lim (cosx-sinxsinΔx-cos)/Δx =lim -sinxsinΔx/Δx =-sinx
（4）f(x)=a^x 证法一： f'(x) =lim (a^(x+Δx)-a^x)/Δx =lim a^x*(a^Δx-1)/Δx （设 a^Δx-1=m，则Δx=loga^(m+1)） =lim a^x*m/loga^(m+1)
证法二：（n 为任意实数） f(x)=x^n
lnf(x)=nlnx
数学导数公式大全
(lnf(x))'=(nlnx)'

导数公式的证明最全版

导数公式的证明最全版导数的定义是函数在特定点处的变化率，即斜率。

要证明导数的定义，需要使用极限的概念和微分的概念。

假设函数f(x)在点x=a处有导数，记为f'(a)。

我们可以通过极限定义来证明导数的公式。

1.导数的定义：函数f(x)在点x=a处的导数，记为f'(a)，定义为：f'(a) = lim┬(h→0)⁡〖(f(a+h)-f(a))/h〗2.应用极限的性质：根据极限的性质，我们可以将上述公式改写为：f'(a) = lim┬(h→0)⁡〖f(a+h)-f(a))/lim┬(h→0)⁡h〗3.差商：我们可以将差商(f(a+h)-f(a))/h理解为两点(x,y)间的斜率。

根据微积分的思想，我们可以通过使用两点间的切线来近似表示曲线的斜率。

4.切线近似：在点(x,y)处，我们可以使用切线来近似表示曲线的斜率，该切线与曲线相切于点(x,y)处，并且与曲线在该点的切线斜率相同。

5.切线方程：曲线在点x=a处的切线方程为：y=f(a)+f'(a)(x-a)其中，f'(a)表示导数，(x-a)表示函数的自变量变化量。

6.近似函数：对于足够小的自变量变化量h，我们可以使用切线方程近似表示函数f(x)在点x=a+h处的函数值：f(a+h)≈f(a)+f'(a)h7.导数公式推导：根据近似函数的表示，我们可以将差商(f(a+h)-f(a))/h表示为：(f(a)+f'(a)h-f(a))/h化简得到：f'(a) = lim┬(h→0)⁡(f(a+h)-f(a))/h8.推导细节：进一步化简上述式子，得到：f'(a) = lim┬(h→0)⁡(f(a+h)/h - f(a)/h)根据极限的性质，推出：f'(a) = lim┬(h→0)⁡(f(a+h)/h) - lim┬(h→0)⁡(f(a)/h)化简得到：f'(a) = lim┬(h→0)⁡(f(a+h)-f(a)/h)这与导数的定义一致，因此我们证明了导数的定义公式。

导数公式的证明(最全版)

导数的定义：f'(x)=lim Δy/ΔxΔx→0（下面就不再标明Δx→0了）用定义求导数公式（1）f(x)=x^n证法一：（n为自然数）f'(x)=lim [(x+Δx)^n-x^n]/Δx=lim (x+Δx-x)[(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]/Δx=lim [(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]=x^(n-1)+x*x^(n-2)+x^2*x^(n-3)+ ...x^(n-2)*x+x^(n-1)=nx^(n-1)证法二：（n为任意实数）f(x)=x^nlnf(x)=nlnx(lnf(x))'=(nlnx)'f'(x)/f(x)=n/xf'(x)=n/x*f(x)f'(x)=n/x*x^nf'(x)=nx^(n-1)（2）f(x)=sinxf'(x)=lim (sin(x+Δx)-sinx)/Δx=lim (sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx)/Δx =lim (sinx+cosxsinΔx-sinx)/Δx=lim cosxsinΔx/Δx=cosx（3）f(x)=cosxf'(x)=lim (cos(x+Δx)-cosx)/Δx=lim (cosxcosΔx-sinxsinΔx-cosx)/Δx =lim (cosx-sinxsinΔx-cos)/Δx=lim -sinxsinΔx/Δx=-sinx（4）f(x)=a^x证法一：f'(x)=lim (a^(x+Δx)-a^x)/Δx=lim a^x*(a^Δx-1)/Δx（设a^Δx-1=m，则Δx=loga^(m+1)）=lim a^x*m/loga^(m+1)=lim a^x*m/[ln(m+1)/lna]=lim a^x*lna*m/ln(m+1)=lim a^x*lna/[(1/m)*ln(m+1)] =lim a^x*lna/ln[(m+1)^(1/m)] =lim a^x*lna/lne=a^x*lna证法二：f(x)=a^xlnf(x)=xlna[lnf(x)] '=[xlna] 'f' (x)/f(x)=lnaf' (x)=f(x)lnaf' (x)=a^xlna若a=e，原函数f(x)=e^x则f'(x)=e^x*lne=e^x（5）f(x)=loga^xf'(x)=lim (loga^(x+Δx)-loga^x)/Δx =lim loga^[(x+Δx)/x]/Δx=lim loga^(1+Δx/x)/Δx=lim ln(1+Δx/x)/(lna*Δx)=lim x*ln(1+Δx/x)/(x*lna*Δx)=lim (x/Δx)*ln(1+Δx/x)/(x*lna) =lim ln[(1+Δx/x)^(x/Δx)]/(x*lna) =lim lne/(x*lna)=1/(x*lna)若a=e，原函数f(x)=loge^x=lnx则f'(x)=1/(x*lne)=1/x（6）f(x)=tanxf'(x)=lim (tan(x+Δx)-tanx)/Δx=lim (sin(x+Δx)/cos(x+Δx)-sinx/cosx)/Δx=lim (sin(x+Δx)cosx-sinxcos(x+Δx)/(Δxcosxcos(x+Δx))=lim (sinxcosΔxcosx+sinΔxcosxcosx-sinxcosxcosΔx+sinxsinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx))=lim sinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))=1/(cosx)^2=secx/cosx=(secx)^2=1+(tanx)^2（7）f(x)=cotxf'(x)=lim (cot(x+Δx)-cotx)/Δx=lim (cos(x+Δx)/sin(x+Δx)-cosx/sinx)/Δx=lim (cos(x+Δx)sinx-cosxsin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx))=lim (cosxcosΔxsinx-sinxsinxsinΔx-cosxsinxcosΔx-cosxsinΔxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx))=lim -sinΔx/(Δxsinxsin(x+Δx))=-1/(sinx)^2=-cscx/sinx=-(secx)^2=-1-(cotx)^2（8）f(x)=secxf'(x)=lim(sec(x+Δx)-secx)/Δx=lim (1/cos(x+Δx)-1/cosx)/Δx=lim (cosx-cos(x+Δx)/(ΔxcosxcosΔx)=lim (cosx-cosxcosΔx+sinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx))=lim sinxsinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))=sinx/(cosx)^2=tanx*secx（9）f(x)=cscxf'(x)=lim(csc(x+Δx)-cscx)/Δx=lim (1/sin(x+Δx)-1/sinx)/Δx=lim (sinx-sin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx))=lim (sinx-sinxcosΔx-sinΔxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx)) =lim -sinΔxcosx/(Δxsinxsin(x+Δx))=-cosx/(sinx)^2=-cotx*cscx（10）f(x)=x^xlnf(x)=xlnx(lnf(x))'=(xlnx)'f'(x)/f(x)=lnx+1f'(x)=(lnx+1)*f(x)f'(x)=(lnx+1)*x^x（12）h(x)=f(x)g(x)h'(x)=lim (f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x)g(x))/Δx=lim [(f(x+Δx)-f(x)+f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x)-g(x+Δx))*f(x)]/Δx=lim [(f(x+Δx)-f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x))*f(x)+f(x)*g(x+Δx)-f(x)*g(x+Δx)]/Δx=lim (f(x+Δx)-f(x))*g(x+Δx)/Δx+(g(x+Δx)-g(x))*f(x)/Δx=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)（13）h(x)=f(x)/g(x)h'(x)=lim (f(x+Δx)/g(x+Δx)-f(x)g(x))/Δx=lim (f(x+Δx)g(x)-f(x)g(x+Δx))/(Δxg(x)g(x+Δx))=lim [(f(x+Δx)-f(x)+f(x))*g(x)-(g(x+Δx)-g(x)+g(x))*f(x)]/(Δxg(x)g(x+Δx))=lim [(f(x+Δx)-f(x))*g(x)-(g(x+Δx)-g(x))*f(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x)]/(Δxg(x)g(x+Δx))=lim (f(x+Δx)-f(x))*g(x)/(Δxg(x)g(x+Δx))-(g(x+Δx)-g(x))*f(x)/(Δxg(x)g(x+Δx))=f'(x)g(x)/(g(x)*g(x))-f(x)g'(x)/(g(x)*g(x))=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x))x（14）h(x)=f(g(x))h'(x)=lim [f(g(x+Δx))-f(g(x))]/Δx=lim [f(g(x+Δx)-g(x)+g(x))-f(g(x))]/Δx（另g(x)=u，g(x+Δx)-g(x)=Δu）=lim (f(u+Δu)-f(u))/Δx=lim (f(u+Δu)-f(u))*Δu/(Δx*Δu)=lim f'(u)*Δu/Δx=lim f'(u)*(g(x+Δx)-g(x))/Δx=f'(u)*g'(x)=f'(g(x))g'(x)(反三角函数的导数与三角函数的导数的乘积为1，因为函数与反函数关于y=x对称，所以导数也关于y=x对称，所以导数的乘积为1) （15）y=f(x)=arcsinx则siny=x(siny)'=cosy所以(arcsinx)'=1/(siny)'=1/cosy=1/√1-(siny)^2(siny=x)=1/√1-x^2即f'(x)=1/√1-x^2(16)y=f(x)=arctanx则tany=x(tany)'=1+(tany)^2=1+x^2所以(arctanx)'=1/1+x^2即f'(x)= 1/1+x^2总结一下（x^n）'=nx^(n-1)（sinx）'=cosx（cosx）'=-sinx（a^x）'=a^xlna（e^x）'=e^x（loga^x）'=1/(xlna)（lnx）'=1/x(tanx)'=(secx)^2=1+(tanx)^2 (cotx)'=-(cscx)^2=-1-(cotx)^2 (secx)'=tanx*secx(cscx)'=-cotx*cscx(x^x)'=(lnx+1)*x^x(arcsinx)'=1/√1-x^2(arctanx)'=1/1+x^2[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x)) [f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)。

导数的基本公式表

导数的基本公式表导数是微积分中的重要概念之一。

它衡量的是函数在某一点处的变化率。

导数具有许多重要的应用，例如求解函数的最大值和最小值、确定函数的凸性和凹性、求出曲线的切线和法线等。

下面将介绍导数的基本公式表。

1. 一次函数的导数一次函数的一般式为y=ax+b。

其中a和b为常数，x为自变量。

对于一次函数来说，它的导数是一个常数a。

这意味着，一次函数的导数在所有的点上都是相同的。

2. 幂函数的导数幂函数的一般式为y=x^n。

其中n为自然数，x为自变量。

幂函数的导数为dy/dx=nx^(n-1)。

这个公式可以用极限的定义来证明。

3. 指数函数和对数函数的导数指数函数和对数函数是互为反函数的函数。

指数函数的一般式为y=a^x，其中a>0且a≠1，x为自变量。

对数函数的一般式为y=log_a x，其中a>0且a≠1，x为自变量。

这两个函数的导数分别为dy/dx=a^xlna和dy/dx=1/(xlna)。

4. 三角函数的导数三角函数的一般式为y=sin x、y=cos x、y=tan x。

其中x为自变量。

这三个函数的导数分别为dy/dx=cos x、dy/dx=-sin x、dy/dx=sec^2 x。

5. 常数函数、绝对值函数和符号函数的导数常数函数的导数为零。

绝对值函数在x=0处的导数不存在，而在x≠0处的导数为dy/dx=±1，取决于x的符号。

符号函数的导数在x=0处不存在，而在x≠0处的导数恒为零。

6. 复合函数的导数如果f(x)和g(x)都是可导函数，那么它们的复合函数f(g(x))的导数是f'(g(x))g'(x)。

7. 和、差、积和商的导数和、差、积和商的导数规则分别为：（1）和、差的导数：（f±g)'=f'+g'；（2）积的导数：（fg)'=f'g+fg'；（3）商的导数：（f/g)'=(f'g-fg')/g^2。

全导数公式

全导数公式全导数公式是微积分中的重要概念之一，它可以帮助我们求解函数的导数。

在这篇文章中，我们将探讨全导数公式的含义、应用以及推导过程。

全导数公式可以用来求解函数的导数，它可以表示为：f'(x) = lim┬(Δx→0)⁡(f(x+Δx)−f(x))/Δx其中，f'(x)表示函数f(x)在x点处的导数，Δx表示自变量的增量。

全导数公式的含义是，函数f(x)在某一点x处的导数等于函数在该点的极限。

换句话说，全导数公式可以用来求解函数在某一点处的瞬时变化率。

应用全导数公式时，我们需要先确定函数f(x)的表达式，然后计算极限。

这个过程可能会比较复杂，需要运用各种微积分技巧，如极限、函数性质等。

在实际问题中，全导数公式可以帮助我们求解函数在某一点的切线斜率、求解最值等。

例如，我们可以利用全导数公式来求解函数在某一点处的切线方程，从而得到函数在该点的局部性质。

下面，我们将通过一个例子来说明全导数公式的应用。

假设我们有一个函数f(x) = x^2 + 3x + 2，我们想要求解该函数在x = 2处的导数。

我们需要计算函数在x = 2和x = 2 + Δx处的函数值，然后将其带入全导数公式中，求解极限。

当x = 2时，函数f(x)的值为f(2) = 2^2 + 3*2 + 2 = 12。

当x = 2 + Δx时，函数f(x)的值为f(2 + Δx) = (2 + Δx)^2 + 3(2 + Δx) + 2 = 4 + 4Δx + Δx^2 + 6 + 3Δx + 2 = 12 + 7Δx + Δx^2。

将这两个函数值代入全导数公式中，我们可以得到：f'(2) = lim┬(Δx→0)⁡(12 + 7Δx + Δx^2 - 12)/Δx化简后得到：f'(2) = lim┬(Δx→0)⁡(7 + Δx)当Δx趋近于0时，f'(2)趋近于7。

因此，函数f(x)在x = 2处的导数为7，即f'(2) = 7。