多元统计分析——对应分析
应用多元统计分析-第八章 列联与对应分析
82
123
% within sex
66.67 100.00%
观察值的分布
事实上，表8.2就是一个最简单的观察值 的分布。 观察值分布虽然反映了数据的分布，但 因为基数不同，不适合于进行对比。 为了能在此相统的基数上比较，使列联 表中的数据提供更多的分布
如果我们想进一步了解不同性别的人对 这项政策的观点是否存在着显著的差异， 就要进行检验。 从逻辑上讲，如果男女性别的人对这项 政策的看法相同，那么男性不赞同方案 的人应为：58×33.3%=19人，女性不赞同 方案的人应为：65×33.3%=22人。 这19人和22人就是本例中的期望值，由 此可以计算出期望值的分布。
对应分析
由于所有的检验都很显著，看来两个变 量的确不独立。 但是如何用象因子分析的载荷图那样的 直观方法来展示这两个变量各个水平之 间的关系呢？这就是本章要介绍的对应 分析（correspondence analysis）方法。 对应分析是将指标型的因子分析与样品 型的因子分析结合起来进行的统计分析。
例7.1—数据文件：ChMath.sav
这项研究是为了考察汉字具有的抽 象图形符号的特性能否会促进儿童 空间和抽象思维能力。 该数据以列联表形式展示在表中：
人们可以对这个列联表进行前面所说的X2检验来考 察行变量和列变量是否独立。结果在下面表 （通过Analyze-Descriptive Statistics-Crosstabs）
sex * opinion Crosstabulation
opinion
不赞成
sex 女 % within sex 男 Count % within sex Total Count
赞成
18
27.69 23 39.66
多元统计分析——对应分析
多元统计分析——对应分析多元统计分析是指在研究中同时考虑两个或多个自变量对因变量的影响，并通过统计方法进行分析。
对应分析是多元统计分析的一种方法，用于确定两个或多个分类变量之间的关联性。
对应分析可以帮助人们理解变量之间的相关性，并提供用于可视化和解释数据的工具。
在本文中，我们将详细介绍对应分析的概念、原理、应用以及一些重要的注意事项。
对应分析的应用非常广泛。
它可以用于数据挖掘、市场研究、生态学、社会科学等领域。
在市场研究中，对应分析可以用于确定消费者对产品的喜好和需求，帮助企业调整产品定位和市场战略。
在生态学中，对应分析可以用于研究不同物种之间的相互作用，并帮助我们了解生态系统的结构和动态。
在社会科学中，对应分析可以用于研究不同社会群体之间的关系，例如分析不同年龄段人群的消费行为和购买偏好。
然而，对应分析也需要注意一些重要的事项。
首先，对应分析是一种描述性的分析方法，不能确定因果关系。
其次，对应分析对数据的分布假设了一定的要求，例如对称分布、线性关系等。
如果数据的分布不满足这些假设，结果可能会不准确。
最后，对应分析通常在两个分类变量之间进行，而不适用于连续变量或混合类型的变量。
在总结中，对应分析是多元统计分析的一种方法，用于确定两个或多个分类变量之间的关联性。
它可以帮助我们理解变量之间的相关性，并提供用于可视化和解释数据的工具。
对应分析有着广泛的应用领域，但也需要注意一些重要的事项。
通过理解对应分析的原理和应用，我们可以更好地利用这一方法来分析和解释数据。
多元统计分析-对应分析
03
列联表检验的零假设是两变量 X和Y 相互独立，计算一个卡方统计量，与列联表中频数取值 和零假设下期望取值之差有关，当卡方 很大时否定零假设。
BA
患慢性支 未患慢性 气管炎 支气管炎
吸烟
43
162
不吸烟
13
121
为了探讨吸烟与慢性支气管炎有无关系， 调查了339人，情况如表所示：
设想有两个随机变量A，B：A：1表示吸 烟，
对应分析
对应分析基本步骤： 建立列联表
利用对应图解释结 果。
1
2
3
一．获取对应分析 数据 确定研究目的， 选择对应分析 所需数据，应 该包括的背景 资料。
对应分析
4
5
二、对应分析 的原理
01
由于R型因子分析和 02
设原始数据矩阵为：
Q型因子分析是反映
一个整体的不同侧面，
R型因子分析是从列
来讨论（对变量），
k
特征根。
Zu k
设 1 2…
三、对应图u 1u 11u 21 A和l(0Bu <的p 1 i<非m零in特(n征,p根)),为其矩相阵应 u 2u 12u 22 的特征u p 向2量为
v 1 v 1 1v 2 1 v n 1 v 2 v 1 2 v 2 2 v n 2
我们知道因子载荷矩阵的含义是原始变量与公共因子之间的 相关系数，所以如果我们构造一个平面直角坐标系，将第一 公共因子的载荷与第二个公共因子的载荷看成平面上的点， 在坐标系中绘制散点图，则构成对应图。
Q型因子分析是从行
来讨论（对样品），
因此 在的
他们之
联 x系1。1
间
存在
x12
内
多元统计分析(聚类分析,判别分析,对应分析)
91.500
358.500
95.000
357.000
输出的第一部分对应表是由原始数据学号与科目 分类的列联表，可以看出观测总数n=40，说明原 始数据中没有记录缺失，有效边际为行列数的总 和。
维数 1 2 3 总计
汇总 惯量比例
置信奇异值
奇异值 .075 .052
惯量 .006 .003
解释 .548 .264
2 -.143 -.427 .065 -.013
概述列点a
惯量 .002 .003 .005 .000 .010
点对维惯量
1 .000
2 .099
.022
.880
.975
.021
.003
.001
1.000
1.000
贡献
1 .000 .047 .989 .039
维对点惯量 2 .135 .887 .010 .006
（列）的每一状态对每一维度（公共因子）特
征值的贡献及每一维度对行（列）各个状态的
特征值等贡献。如第一维度中，外语对应的数 值最大，为0.975，说明外语这一状态对第一维 度的贡献最大。
对应分析
由以上两张坐标表可以得出如下的叠加散点图，也是输出 的最后一部分，是学号各状态与科目各状态同时在一张二 维图上的投影。在图上既可以看到每一变量内部各状态之 间的相关关系，又可以同时考察两变量之间的相关关系。
对应分析
结果分析
学号 1 2 3 4
语文 82.000 81.000 83.000 72.000
对Байду номын сангаас表
数学 120.000 119.000 115.000 115.000
科目 外语 71.000 77.000 69.000 75.000
《应用多元分析》第三版(第九章 对应分析)
p
i 1
pij
p j pi pi
是第j列轮廓cj到列轮廓中心r的卡方距离。故总惯量
可看成是行轮廓到其中心的卡方距离的加权平均，
也可看成是列轮廓到其中心的卡方距离的加权平均。
它既度量了行轮廓之间的总变差，也度量了列轮廓
之间的总变差。
总惯量为零的等价情形
❖ 总惯量为零与以下三种情形的任一种等价： (1) pij pi p j , i 1, 2, , p, j 1, 2, , q ，或表示 为 P rc； (2)所有的行轮廓相等，即 r1 r2 rp c； (3)所有的列轮廓相等，即c1 c2 cq r。
最后一列用r表示，即
r P1 p1, p2, , pp
其中1 1,1, ,1 是元素均为1的q维向量，最后一行
用 c表示，即
c 1P p1, p2, , pq
其中1 1,1, ,1是元素均为1的p维向量，向量r和c
的元素有时称为行和列密度（masses）。
三、行、列轮廓
❖ 第i行轮廓（profile） ：
pp
列轮廓矩阵
p11 p1
p12 p2
C PDc1 c1,c2,
p21
, cq p1
p22 p2
pp1 pp2
p1
p2
其中 Dc diag p1, p2, , pq 。
p1q
pq
p2q
pq
ppq
pq
p1
r P1 PDc1 Dc1 c1,c2,
第九章 对应分析
❖ 对应分析（correspondence analysis）是用于寻求列联表的行 和列之间联系的一种低维图形表示法，它可以从直觉上揭示 出同一分类变量的各个类别之间的差异，以及不同分类变量 各个类别之间的对应关系。
对应分析方法与对应图解读方法
对应分析方法与对应图解读方法——七种分析角度对应分析是一种多元统计分析技术，主要分析定性数据Category Data方法，也是强有力的数据图示化技术，当然也是强有力的市场研究分析技术。
这里主要介绍大家了解对应分析的基本方法，如何帮助探索数据，分析列联表和卡方的独立性检验，如何解释对应图，当然大家也可以看到如何用SPSS操作对应分析和对数据格式的要求！对应分析是一种数据分析技术，它能够帮助我们研究由定性变量构成的交互汇总表来揭示变量间的联系。
交互表的信息以图形的方式展示。
主要适用于有多个类别的定类变量，可以揭示同一个变量的各个类别之间的差异，以及不同变量各个类别之间的对应关系。
适用于两个或多个定类变量。
主要应用领域：概念发展（Concept Development)新产品开发 (New Product Development)市场细分 (Market Segmentation)竞争分析 (Competitive Analysis)广告研究 (Advertisement Research)主要回答以下问题：谁是我的用户？还有谁是我的用户？谁是我竞争对手的用户？相对于我的竞争对手的产品，我的产品的定位如何？与竞争对手有何差异？我还应该开发哪些新产品？对于我的新产品，我应该将目标指向哪些消费者？数据的格式要求对应分析数据的典型格式是列联表或交叉频数表。
常表示不同背景的消费者对若干产品或产品的属性的选择频率。
背景变量或属性变量可以并列使用或单独使用。
两个变量间——简单对应分析。
多个变量间——多元对应分析。
案例分析：自杀数据分析上面的交互分析表，主要收集了48961人的自杀方式以及自杀者的性别和年龄数据！POISON（毒药）GAS（煤气）HANG（上吊）DROWN（溺水）GUN（开枪）JUMP（跳楼）（我们就不翻译成中文了，读者可以把六个方式想象成品牌或别的什么）当然，我们拿到的最初原始数据可能是SPSS数据格式记录表，其中，性别取值1-male 2-female，年龄取值1-5，分别表示不同年龄段。
多元统计对应分析
车主de车型及车主特征
产地 1 = "American" 2 = "Japanese" 3 = "European";
轿车的尺寸 1 = "Small" 2 = "Medium" 3 = "Large";
车型 1 = "Family" 2 = "Sporty" 3 = "Work";
拥有方式 1 = "Own" 2 = "Rent";
代码 Name1 Name2 Name3 Name4 Name5 Name6 Name7 Name8
含义 玉泉 雪源 春溪 期望 波澜 天山绿 中美纯 雪浪花
代码 Product1 Product2 Product3 Product4 Product5 Product6 Product7 Product8
两个定类或定序变量分布的描述和分析通常使用列联表， 并采用 检验检验变量之间是否幸福独立。
(2) 列联表(contingency table)的构造
1)由两个或两个以上变量进行交叉分类的频数分布表。
2)行变量的类别数用 r 表示, 列变量的类别数用 c
表示。 3)由行变量和列变量的所有可能组合的频数构成的表 格，称为列联表。
这项研究是为了考察汉字具有的抽象图形符 号的特性能否会促进儿童空间和抽象思维能力。 该数据以列联表形式展示在表中：
人们可以对这个列联表进行前面所说的c2检验来考 察行变量和列变量是否独立。结果在下面表中（通过 Analyze－Descriptive Statistics－Crosstabs）
如何用象因子分析的载荷图那样的直观 方法来展示这两个变量各个水平之间的关 系呢？这就是本章要介绍的对应分析 （correspondence analysis）方法。
多元统计分析——对应分析
一般,若总体中的个体可按两个属性 与 一般 若总体中的个体可按两个属性A与 若总体中的个体可按两个属性 B分类，A有n类A1,A2,…,An，B有p类 分类， 有 类 分类 ， 有 类 B1,B2,…,Bp, 属于 和Bj的个体数目为 属于Ai和 的个体数目为 nij（i=1,2, …,n;j= 1,2, …,p）,nij称为 （ ） 称为 频数，则可形成n× 的二维列联表 的二维列联表， 频数，则可形成 ×p的二维列联表，简 称n×p表。 × 表 若所考虑的属性多于两个， 若所考虑的属性多于两个，也可按类似 的方式作出列联表,称为多维列联表 称为多维列联表。 的方式作出列联表 称为多维列联表。
列联表中列出了表格单元频数和在零假设下 的期望频数，可以看出， 的期望频数，可以看出，吸烟人中患病的数 目比期望数目大。 目比期望数目大。检验的结果只要看后面的 统计量部分的Chi-Square一行，其值为 一行， 统计量部分的 一行 7.469，p值为 值为0.006，所以应否定零假设，吸 ， 值为 ，所以应否定零假设， 烟与患慢性支气管炎是不独立的。 烟与患慢性支气管炎是不独立的。
pij pij n 1 ∑ E( )= . pi. = p. j = i =1 p pi. p. j p. j p. j i.
N个点的重心为： ( P.1 , P.2 ⋯ P. p ) 个点的重心为： 个点的重心为
列联表
B1 A1 n11 A2 n21 B2 n12 n22 Bj Bp
… n1j
n2j
…
n1p n2p
n 1. n 2.
Ai ni1
ni2
nij
nip
ni.
An nn1 n.1
nn2 n.2
nnj n.j
对应分析
对应分析法一、简介对应分析(Correspondence analysis)也称关联分析、R-Q型因子分析，是近年新发展起来的一种多元相依变量统计分析技术，是一种多元统计分析技术，主要分析定性数据的方法，也是强有力的数据图示化技术。
对应分析是一种数据分析技术，它能够帮助我们研究由定性变量构成的交互汇总表来揭示变量间的联系。
交互表的信息以图形的方式展示。
主要适用于有多个类别的定类变量，可以揭示同一个变量的各个类别之间的差异，以及不同变量各个类别之间的对应关系，适用于两个或多个定类变量。
对应分析是由法国人Benzenci于1970年提出的，起初在法国和日本最为流行，然后引入到美国。
对应分析法是在R型和Q型因子分析的基础上发展起来的一种多元统计分析方法，因此对应分析又称为R－Q型因子分析。
在因子分析中，如果研究的对象是样品，则需采用Q型因子分析；如果研究的对象是变量，则需采用R型因子分析。
但是，这两种分析方法往往是相互对立的，必须分别对样品和变量进行处理。
因此，因子分析对于分析样品的属性和样品之间的内在联系，就比较困难，因为样品的属性是变值，而样品却是固定的。
于是就产生了对应分析法。
对应分析就克服了上述缺点，它综合了R型和Q型因子分析的优点，并将它们统一起来使得由R型的分析结果很容易得到Q型的分析结果，这就克服了Q 型分析计算量大的困难；更重要的是可以把变量和样品的载荷反映在相同的公因子轴上，这样就把变量和样品联系起来便于解释和推断。
对应分析数据的典型格式是列联表或交叉频数表。
常表示不同背景的消费者对若干产品或产品的属性的选择频率。
背景变量或属性变量可以并列使用或单独使用。
两个变量间——简单对应分析；多个变量间——多元对应分析。
对应分析的基本思想是将一个联列表的行和列中各元素的比例结构以点的形式在较低维的空间中表示出来。
它最大特点是能把众多的样品和众多的变量同时作到同一张图解上，将样品的大类及其属性在图上直观而又明了地表示出来，具有直观性。
R语言版应用多元统计分析对应分析
应用多元统计分析第8章 对应分析- 1-对应分析(Correspondence Analysis)是在因子分析的基础上发展起来的一种视觉化的数据分析方法,目的是通过定位点图直观地揭示样品和变量之间的内在联系。
R型因子分析是对变量（指标）进行因子分析，研究的是变量之间的相互关系；Q型因子分析是对样品作因子分析，研究的是样品之间的相互关系。
但无论是R型或Q型分析都不能很好地揭示变量和样品之间的双重关系。
而在许多领域错综复杂的多维数据分析中，经常需要同时考虑三种关系，即变量之间的关系、样品之间的关系以及变量与样品之间的交互关系。
法国学者苯参次(J.P.Benzecri)于1970年提出了对应分析方法，这个方法对原始数据采用适当的标度化处理，把R型和Q型分析结合起来，通过R型因子分析直接得到Q型因子分析的结果，同时把变量和样品反映到同一因子平面上，从而揭示所研究的样品和变量之间的内在联系。
在因子分析中，R型因子分析和Q型因子分析都是从分析观测数据矩阵出发的，它们是反映一个整体的不同侧面，因而它们之间一定存在内在联系。
对应分析就是通过某种特定的标准化变换后得到的对应变换矩阵Z将两者有机地结合起来。
具体地，就是首先给出变量的R型因子分析的协方差阵 和样品的Q型因子分析的协方差阵 。
由于矩阵 和 有相同的非零特征值，记为 ，如果 的对应于特征值 的标准化特征向量为 ，则容易证明， 的对应于同一特征值的标准化特征向量为当样本容量n很大时，直接计算矩阵 的特征向量会占用相当大的容量，也会大大降低计算速度。
利用上面关系式，很容易从 的特征向量得到 的特征向量。
并且由 的特征值和特征向量即可得到R 型因子分析的因子载荷阵A和Q型因子分析的因子载荷阵B，即有由于 和 具有相同的非零特征值，而这些特征值又是各个公因子的方差，因此设有p个变量的n个样品观测矩阵 ，这里要求所有元素 ，否则对所有数据同时加上一个适当的正数，以使它们满足以上要求。
对应分析、典型相关分析、定性数据分析
应用领域的拓展
对应分析的应用领域 拓展
随着数据科学和商业智能的不断 发展，对应分析的应用领域将不 断拓展，如市场细分、消费者行 为分析、社交网络分析等，对应 分析将为这些领域提供更有效的 分析和预测工具。
典型相关分析的应用 领域拓展
典型相关分析作为一种重要的多 元统计分析方法，其应用领域也 将不断拓展，如生物信息学、环 境科学、金融风险管理等，典型 相关分析将为这些领域提供更准 确的数据分析和预测工具。
典型相关分析
能够揭示两组变量之间的关联，但需要较大的样本量， 且对异常值敏感。
定性数据分析
能够挖掘数据中的模式和规律，但主观性强，需要经 验丰富的分析师进行操作。
05
对应分析、典型相关分析、定性数据分析的 未来发展
CHAPTER
新方法的出现
对应分析的新方法
随着数据科学和统计学的不断发展，对应分析的新方法将不断涌现，如基于机器学习的对应分析方法、网络分析方法 等，这些新方法将为对应分析提供更强大的工具和更广泛的应用领域。
心理学研究
在心理学研究中，对应分析可用于揭示人类行为和心理状态之间的关系。
例如，它可以用于研究不同性格类型或心理状态的人在不同情境下的行
为反应。
02 典型相关分析
CHAPTER
典型相关分析的定义
典型相关分析是一种多元统计分析方 法，用于研究两组变量之间的相关关 系。
它通过寻找两组变量之间的典型相关 变量，来解释两组变量之间的相互关 系。
市场调研
在市场调研中，定性数据分析可用于深入了解消费者需求、 态度和行为，为产品定位和市场策略提供依据。
01
社会学研究
在社会学研究中，定性数据分析常用于 探究社会现象、文化差异和群体行为等， 以揭示社会结构和动态。
北大应用多元统计分析课件第九、十章
第十章 什么是典型相关分析
一般地,假设有一组变量X1,...,Xp 与另一组变 量Y1,...,Yq (也可以记为Xp+1,...,Xp+q),我们要研究 这两组变量的相关关系,如何给两组变量之间的 相关性以数量的描述,这就是本章研究的典型相 关分析. 当p=q=1时,就是研究两个变量X与Y之间的相 关关系.简单相关系数是最常见的度量.其定义为
应用多元统计分析
第九章 对应分析 第十章 典型相关分析
1
第九章
对应分析
对应分析又称相应分析,于1970年由法 国统计学家J.P.Beozecri提出的.它是在R 型和Q型因子分析基础上发展起来的多元 统计分析方法,故也称为R-Q型因子分析.
因子分析方法是用少数几个公共因子去提取 研究对象的绝大部分信息,既减少了因子的数目 ,又把握住了研究对象的相互关系.在因子分析 中根据研究对象的不同,分为R型和Q型,如果研 究变量间的相互关系时采用R型因子分析;如果 研究样品间相互关系时采用Q型因子分析.
13
第十章 总体典型相关
设X=(X1,...,Xp ) 及Y=(Y1,...,Yq) 为随机向量( 不妨设p≤q),记随机向量 X Z= Y Z的协差阵为
11 12 21 22
14
其中 Σ11是X的协差阵,Σ22是Y的协差阵, Σ12 =Σ’21是X,Y的协差阵.
第九章 什么是对应分析
对应分析方法是在因子分析的基础上发展起 来的,它对原始数据采用适当的标度方法.把R型 和Q型分析结合起来,同时得到两方面的结果--在同一因子平面上对变量和样品一块进行分类, 从而揭示所研究的样品和变量间的内在联系. 对应分析由R型因子分析的结果,可以很容易 地得到Q型因子分析的结果,这不仅克服样品量 大时作Q型因子分析所带来计算上的困难,且把R 型和Q型因子分析统一起来,把样品点和变量点 同时反映到相同的因子轴上,这就便于我们对研 究的对象进行解释和推断.
多元统计分析——对应分析实验报告
多元统计分析实验报告表2-2 对应分析数据（老龄化数据）三、实验过程在spss16.0软件中，对表2-2数据做对应分析。
首先应对个案进行加权操作。
选择【Date】—【Weight Cases】，出现表3对话框。
选择frequency作为加权，如图3-1所示。
图3-1 加权个案对个案加权后，开始做对应分析。
选择【Analyze】—【Date Reduction】—【Corespondence Analysis】，会出现图3-2对话画框。
图3-2 对应分析对话框接下来对行变量和列变量进行设置。
将selfassess（自评健康状况）选入Row，作为行变量，并选择【Define Range】，填写范围后点击【Update】—【Continue】，如图3-3所示；按同样的步骤，将independence（生活自理能力）选入Column（列变量），并设置列变量，如图3-4所示；最终设置结果如图3-5所示。
图3-3 行变量设置图3-4 列变量设置图3-5 对应分析设置结果点击【OK】，便可得到对应分析结果。
四、实验过程表4-1为对应分析的版本信息。
图中显示为1.1版本。
表4-1 对应分析版本信息表4-2是列联表，列示了在各个水平下的人数。
表4-2 列联表表4-3为对应分析总述表。
表中显示了奇异值（Singular Value），第一个维度的奇异值为0.253，第二个维度的奇异值为0.125；惯量（Inertia）为特征根，就是奇异值的平方；Chi Square 值为212.593，是总样本数除以总的Inertia 觉原假设，认为两个随机变量不是相互独立的，本例中就是自评健康状况和生活自理能力不是相互独立的；贡献率（Accounted for）显示，第一个维度解释了总变异的80.4%，第二个维度解释了19.6%，两个维度解释了所有的变异；接下来依次为累计贡献率（Cumulative）、奇异值的方差（Standard Deviation）、奇异值的相关系数（Correlation）。
第八章 对应分析 《应用多元统计分析》 ppt课件
4
二、对应分析的基本思想
可以证明，如果 A 的特征根 i 对应的特征向量为 ui ，则 B 的特征根 i 对应的特征向量就 是 Zui vi 。根据这个结论就可以很方便地借助 R 型因子分析得到 Q 型因子分析的结果。
因为求出 A 的特征根和特征向量后很容易地写出变量点协差阵对应的因子载荷矩阵(记为 F )：
假定矩阵 X 的元素 xij 0 ，否则对所有的数据同加上一个适当的数，便可满足这个要
求 ， 然 后 写 出 X 的 行 和 、 列 和 ， 以 及 行 列 总 和 ， 分 别 记 为 xi ( i 1, 2, , n ) ，
x j ( j 1, 2, , p )和 x ，如表 8.1 所示。
的非零特征根。
推论：如果 u 是 A ZZ 的特征向量，则 Zu 是 B ZZ 的特征向量。如果 v 是
(2)在处理实际问题中，样品容量往往较大， 使型因子分析的计算量非常巨大，比如有1000 个样品，就要计算1000×1000阶矩阵的特征根 和特征向量，计算代价相当之高。
2
一、什么是对应分析
(3)在进行数据处理时，为了将数量级相差很大的变量 进行比较，需要对变量进行标准化处理，然而这种只 按照变量列进行的标准化处理对于变量和样品是非对 等的，这给寻找型因子分析和型因子分析的联系带 来—定的困难。
1
一、什么是对应分析
(1)型因子分析和型因子分析是分开进行的。 当研究的对象是变量时，通常作型因子分析， 当研究的对象是样品时，则采用型因子分析， 而且把型和型看成两种分离的概念，无法使型 和型因子分析同时进行，这样将型和型割裂开 后就会损失很多有用的信息，而且还不能揭示 变量与样品之间的相关信息。
对应分析
2.对应分析和Q型因子分析结合起来 进行的统计分析，它从R型因子分析出发，而直接获 得Q型因子分析，简化了计算量。 (2)根据R型和Q型因子分析的内在联系，将指标和样 品同时反应到坐标轴上，便于对问题的分析。比如将 图形上临近的一些样品点则表示他们的关系密切归为 一类，同样临近的一些变量点则表示他们的关系密切 归为一类，而且属于同一类型的样品点，可用临近的 变量点来表征。 (3)对应分析概括起来可以提供三方面的信息，即指 标间的信息，样品间的关系，指标与样品之间的关系。
3.对应分析的基本思想
对应是通过一个过渡矩阵Z将R型分析和Q型分析有机 地结合起来。具体地，首先给出变量的协差阵A=Z’Z 和样本点的协差阵B=ZZ‘。由于二者有相同的特征根， 因此可以通过R型因子分析的载荷矩阵得到Q型因子 的载荷矩阵。 由于A和B有相同的非零特征根，而这些特征跟有是 各个公因子的方差，因此可以用相同的因子轴同时表 示变量点和样品点，即把变量点和样品点同时反映在 具有相同坐标轴的因子平面上，以便对变量点和样品 点一起考虑进行分类。
多元统计分析
第七章 对应分析
一、什么是对应分析
1.什么是对应分析 对应分析是一种在R型和Q型因子分析基础上发展起来的一种多元统
计方法,对应分析又称相应分析。
对应分析概念首先由法国统计学家J.P.Beozecri在1970年提出。
多元统计分析
2.对应分析的作用（一）
因子分析可以用较少的几个公共因子去提取研究对象的 绝大部分信息，即可以减少因子的数目，有把握了研究 对象之间的相互关系。但是因子分析根据研究对象的不 同又分为R型因子分析和Q型因子分析。即对指标（变 量）做因子分析和对样本作因子分析是分开进行的，这 样做往往会漏掉一些指标与样品的信息。 另外，在处理实际问题中，样本的个数远远大于变量个 数，比如有100个样品，每个样品测10项指标，要作Q 型因子分析，计算100*100阶相似矩阵的特征根和特征 向量，一般的计算是难以胜任的。
多元统计分析的几种方法
1. 目的不同：因子分析把诸多变量看成由对每一个变量都有作用的一些公共因子和仅对某一个变量有作用的特殊因子线性组合而成，因此就是要从数据中控查出对变量起解释作用的公共因子和特殊因子以及其组合系数；主成分分析只是从空间生成的角度寻找能解释诸多变量变异的绝大部分的几组彼此不相关的新变量（主成分）。
2. 线性表示方向不同：因子分析是把变量表示成各公因子的线性组合；而主成分分析中则是把主成分表示成各变量的线性组合。
3. 假设条件不同：主成分分析中不需要有假设；因子分析的假设包括：各个公共因子之间不相关，特殊因子之间不相关，公共因子和特殊因子之间不相关。
4. 提取主因子的方法不同：因子分析抽取主因子不仅有主成分法，还有极大似然法，主轴因子法，基于这些方法得到的结果也不同；主成分只能用主成分法抽取。
5. 主成分与因子的变化：当给定的协方差矩阵或者相关矩阵的特征值唯一时，主成分一般是固定的；而因子分析中因子不是固定的，可以旋转得到不同的因子。
6. 因子数量与主成分的数量：在因子分析中，因子个数需要分析者指定（SPSS根据一定的条件自动设定，只要是特征值大于1的因子主可进入分析），指定的因子数量不同而结果也不同；在主成分分析中，成分的数量是一定的，一般有几个变量就有几个主成分（只是主成分所解释的信息量不等）。
7. 功能：和主成分分析相比，由于因子分析可以使用旋转技术帮助解释因子，在解释方面更加有优势；而如果想把现有的变量变成少数几个新的变量（新的变量几乎带有原来所有变量的信息）来进入后续的分析，则可以使用主成分分析。
当然，这种情况也可以使用因子得分做到，所以这种区分不是绝对的。
1 、聚类分析基本原理：将个体（样品）或者对象（变量）按相似程度（距离远近）划分类别，使得同一类中的元素之间的相似性比其他类的元素的相似性更强。
目的在于使类间元素的同质性最大化和类与类间元素的异质性最大化。
常用聚类方法：系统聚类法，K-均值法，模糊聚类法，有序样品的聚类，分解法，加入法。
《多元统计分析》第七章 对应分析
《多元统计分析》7.1 引言v例1（书中习题9.2）下表包含在美国西南部7个考古场所挖掘出来的4种不同类型陶器的频数。
陶器类型A B C D合计考古场所P03010103989P153416275P2731411116P3*******P446363713132P54565910120P616281695218合计2839133374781陶器类型A B C D 考古场所P00.3370.1120.1120.438P10.7070.0530.2130.027P20.6290.0090.3530.009P30.6450.1940.0320.129P40.3480.2730.2800.099P50.3750.0500.4920.083P60.0730.1280.7750.023行轮廓马赛克图陶器类型A B C D 考古场所P00.1060.1100.0300.527P10.1870.0440.0480.027P20.2580.0110.1230.014P30.0710.0660.0030.054P40.1630.3960.1110.176P50.1590.0660.1770.135P60.0570.3080.5070.068列轮廓马赛克图对应分析图对应分析图陶器类型A B C D考古场所P030(32.2)10(10.4)10(37.9)39(8.4)P153(27.2)4(8.7)16(32.0)2(7.1)P273(42.0)1(13.5)41(49.5)1(11.0)P320(11.2)6(3.6)1(13.2)4(2.9)P446(47.8)36(15.4)37(56.3)13(12.5)P545(43.5)6(14.0)59(51.2)10(11.4)P616(79.0)28(25.4)169(93.0)5(20.7)列联表《多元统计分析》7.2 行轮廓和列轮廓一、列联表列12⋯q合计行1n11n12⋯n1q n1∙2n21n22⋯n2q n2∙⋮⋮⋮⋮⋮p n p1n p2⋯n pq n p∙合计n∙1n∙2⋯n∙q n二、对应矩阵列12⋯q 合 计行1p 11p 12⋯p 1q p 1∙2p 21p 22⋯p 2q p 2∙⁝⁝⁝⁝⁝p p p 1p p 2⋯p pq p p ∙合 计p ∙1p ∙2⋯p ∙q11qi i ij j n p p n ⋅⋅===∑111p qi ji j p p⋅⋅====∑∑1pj j ij i n p p n⋅⋅===∑ij ij n p n=v对应矩阵：行边缘频率构成的列向量：其中。
对应分析在市场研究中的应用
品牌A在消费者中的形象为：历史悠久，适 合任何时候食用，适合小孩食用，物有所值， 质量比以前差了。 品牌B在消费者中的形象为：口感好，营养 好，方便面专家，味道够地道，质量好，牌 子高档，经验丰富，不断推出新产品，包装 美观。 品牌C在消费者中尚未建立一定的形象。
象限分析：根据原点把整个图划分成四 象限，每个象限代表着不同属性的点 （产品），具体原理可参见SWOT分析， 另遇到可以用 SWOT方式解读是很特殊 和偶然的情况，读者需要根据实际情况 选择此方法。
11
对应分析在市场研究中的运用
12
对应分析在市场研究中应用
对应分析可以回答的问题
谁是我的用户？ 还有谁是我的用户？ 谁是我竞争对手的用户？ 相对于我的竞争对手的产品，我的产品的定位如何？ 与竞争对手有何差异？ 我还应该开发哪些新产品？ 对于我的新产品，我应该将目标指向哪些消费者
pij nij / n
5
对应分析 Correspondence Analysis CA
基于行列变量之间交叉列联表的关联性的一种低维表现图
数据是列联表中的频数，也可以是距离或其它测量尺度 非常普遍和流行的方法 非常适合研究两个定类变量——定性数据的分析 程序生成对应图 品牌和属性靠近的点具有相关性
7
对应分析的步骤
Step 4
解读对应分析图
p 3
运用SPSS执行对应分析
Step 2
建立列联表
通过统计软件（SPSS）进行计算, 并描绘 出对应分析图。
通过列连联表的形式将需要的数据特征描述出来。
Step 1
获取对应分析数据
首先需明确研究的目的，进而选择对应分析 中所需数据
《多元统计分析讲义》第七章对应分析
*
XXX
*
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§7.2 对应分析的基本理论
7.2.2 对应分析的基本理论 经过以上数据变换，在引入加权距离函数之后，或是 对行剖面集的各点进行式(7.8)的变换，对列剖面的各 点进行类似变换之后，就可以直接计算属性变量各状 态之间的距离，通过距离的大小来反映各状态之间的 接近程度，同类型的状态之间距离应当较短，而不同 类型的状态之间的距离应当较长，据此可以对各种状 态进行分类以简化数据结构。但是，这样做不能对两 个属性变量同时进行分析，因此不计算距离，代之求 协方差矩阵，进行因子分析，提取主因子，用主因子 所定义的坐标轴作为参照系，对两个变量的各状态进 行分析。
*
XXX
*
目录 上页 下页 返回 结束
§7.4对应分析的上机实现
打开GSS93 subset.sav数据，对变量Degree与变量Race进行对 应分析，依次点选Analyze→Data Reduction→Correspondence Analysis…进入Correspondence Analysis对话框。数据集中所 有的变量名（标签）均已出现左边的窗口中，将Degree变量 选入右侧行变量(Row)的小窗口中，此时该窗口显示的Degree 变量形如：Degree(? ?)，同时，其下方的Define Range按钮被 击活，点击该按钮，进入Define Row Range对话框，在该对 话框中需要确定Degree变量的取值范围，此处我们不研究缺 失值，最小值(minimum value)与最大值(maximum value)处分 别填上0和4，按右侧的update(更新)按钮，可以看到Degree的 取值0—4已出现在Category Constraints框架左侧的窗口中，该 框架的作用是对Degree的各状态加以限定条件的，保持默认 值none不变，即对Degree的取值不加以限定条件。
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p .p aiap i. p .a
p i.
p .p aja pj. p .a
pj.
n
piapi.p.apjapa.p.j
a1 p.a pi. p.j p.a
n
zia z ja
a 1
令Z为zij所组成的矩阵，则
BZZ
令Z为zij所组成的矩阵，则 BZ Z 因此将矩阵变换成矩阵Z，则很容易求出A和B存
变量的叉积矩阵
样品的叉积矩阵
R (* X ) X * (p p ) QX *(X *) (n n )
显而易见，变量和样品的叉积矩阵的阶数不同， 一般来说，他们的非零特征根也不一样，那么能否将 观测值做变换。
X Z
ZZ和ZZ具有相同的特征根。
（一）规格化矩阵
x11 x12
X
x21
x22
个样品的协方a 差ij：ap 1 pa.pap i.i
p.i pa.papj.j
p.jpa.
ap 1 pa.pap i.i p.i
pa. pa.papj.j p.j
pa.
p
paipa.p.i pajpa.p.j
a1 pa. p.i pa. p.j
例 某地环境检测部门对该地所属8个 地区的大气污染状况进行了系统的的检测，每 天4次同时在各个地区抽取大气样品，则定其 中的氯、硫化氢、二氧化硫、碳4、环氧氯丙 烷、环已烷6种气体的浓度。有资料如下：
0.056 0.084 0.031 0.038 0.0081 0.022 0.049 0.055 0.1 0.11 0.022 0.0073 0.038 0.13 0.079 0.17 0.058 0.043 0.034 0.095 0.058 0.16 0.2 0.029 0.084 0.066 0.029 0.32 0.012 0.041 0.064 0.072 0.1 0.21 0.028 1.38 0.048 0.089 0.062 0.26 0.038 0.036 0.069 0.087 0.027 0.05 0.089 0.021
第7章 对 应 分 析
Correspondence Analysis
7.1列联表及列联表分析 7.2对应分析
7.1列联表及列联表分析
一、列联表及其作用 1.列联表是观测数据按两个或更多属性变量
（定类尺度或定序尺度）分类时所列出的频 数表。 2.列联表用于考察两个（或多个）分类变量 的统计学关联。如行变量与列变量之间的关 联性。
列联表检验的零假设是两变量 X和Y 相互独立，计 算一个卡方统计量，与列联表中频数取值和零假设 下期望取值之差有关，当卡方 很大时否定零假设。
B
6
例 吸烟与慢性支气管炎调查表
为了探讨吸烟与慢性支气管 炎有无关系，调查了339人， 情况如表所示：
B A
患慢性 支气管 炎
未患慢 性支气 管炎
设想有两个随机变量A，B： 吸 43
总惯量
由矩阵D（R）定义的n 个点与其重心的欧氏 距离之和称为行轮廓矩阵N（R） 的总惯量。
记为I I .
同时，可证明：
II
IJ
1 2
n
B
19
同理：
称
p 1 j p .j
p p 2 .jj p p . n j j x x 1 .j j
x 2 j x .j
x x . n j j j 1 ,2 ,3 , ,p
为列轮廓。
列轮廓矩阵为：
p11/ p.1 N(Q)p21/ p.1
pn1/ p.1
p12/ p.2 p22/ p.2
pn2/ p.2
p1p/ p.p p2p/ p.p
pnp/ p.p
E(pp.ijj)i n1pp.ijj.p.j pi.
因为原始变量的数量等级可能不同，所以为了
尽量减少各变量尺度差异，将列轮廓中的各行元 素均除以其期望的平方根。得矩阵D（Q）
p2
p
pnp
n
p
我们可以把pij解释成概率，因为所有的元素之和为1。
行和pi.： j p1pij
列和 p.j ： i n1pij
Q
pij
pi.
xpij /x.. pij
xij /x..
p
xij /x..
xij xi.
j1
j1
p p i i 1 . p p i i2 . p p i i. p x x i i 1 . x x i i2 . x x i i. p i 1 ,2 ,3 , ,n 称为行轮廓。即把第i行表示成在p维欧氏空间中的一个点
p
zai zaj a 1
zaipai pap .p a..ip.i xai xax .x a..ix.i
令Z为zij所组成的矩阵，则 AZZ
利用列轮廓矩阵，可得第i个变量与第j 个变量的协方差：
bijan 1 p.apia pi.
pi. p.apjp aj.
pj.p.a
n
p11/p.1 p1. D(Q)p21/p.1 p2.
pn1/p.1 pn.
p12/p.2 p1. p22/p.2 p2.
pn2/p.2 pn.
p1p/p.p p1. p2p/p.p p2.
pnp/p.p pn.
E(p.jpijpi.)i n1p.jpijpi..p.j pi.
利用行轮郭矩阵，可得第i个样品与第j
B
3
列联表
B1 B2
Bj
A1 n11 n12 … n1j
…
A2 n21 n22
n2j
Bp n1p n1. n2p n2.
Ai ni1 ni2
nij
nip ni.
An nn1 nn2
n.1
n.2
nnj n.j
B
nnp nn. n.p n
4
B1 A1 p11 A2 p21
频率意义上的列联表
B2
Bj
Bp
矩阵D（R）是消除了变量B的各个状态概率影响的P 维空间n个点的相对坐标。 则这n个点的重心，也有p维坐标，设其第j个分量为：
E (p i.p ip j.j) i n 1 p i.p ip j.j.p i.1 p .jp .jp .j,j 1 ,2 , ,p
N个点的重心为： ( P.1, P.2 P.p)
Phi Coefficient -0.148
Contingency Coefficient 0.147
Cramer's V -0.148
Sample Size = 339
B
8
列联表中列出了表格单元频数和在零假设下 的期望频数，可以看出，吸烟人中患病的数
目比期望数目大。检验的结果只要看后面的 统计量部分的Chi-Square一行，其值为 7.469，p值为0.006，所以应否定零假设，吸 烟与患慢性支气管炎是不独立的。
7.925 0.005 Chi-Square
Continuity Adj. Chi-Square
1
6.674
0.010
Mantel-Haenszel Chi-Square
1
7.447 0.006
Fisher's Exact Test (Left) 4.09E-03
(Right) 0.998
(2-Tail) 6.86E-03
第j个变量的期望为：
E (p pii.j)i n1p pii.j.pi.p.j,j1 ,2,,p
p11/p1. p.1 D(R)p21/p2. p.1
pn1/pn. p.1
p12/p1. p.2 p1p/p1. p.p p22/p2. p.2 p2p/p2. p.p
pn2/pn. p.2 pnp/pn. p.p
B
2
一般,若总体中的个体可按两个属性A与 B分类，A有n类A1,A2,…,An，B有p类 B1,B2,…,Bp, 属于Ai和Bj的个体数目为 nij（i=1,2, …,n;j= 1,2, …,p）,nij称为 频数，则可形成n×p的二维列联表，简 称n×p表。
若所考虑的属性多于两个，也可按类似 的方式作出列联表,称为多维列联表。
xn1
xn2
x1p
x2
p
xi.为行和x.， j为列和
x 为总和
xnp
n
p
..
x11 x12 x21 x22
xn1 xn2
x1p x1.
x2
p
x2.
xnp
xn.
x.1
x.2 x.p x..
pijxij/x..
p11
X
p21
pn1
p12 p22 pn2
p1p
设原始数据矩阵为：
x11 x12
X x21 x22
xn1
xn2
x1p
x2
p
xnp
n
p
由于因子分析都是基于协方差矩阵或相关系 数矩阵完成的，所以必须从变量和样品的协 方差矩阵入手来进行分析。
x11x1 x12x2 x1p xp
X* x21x1 x22x2 x2p xp
xn1x1 xn2 x2 xnpxpnp
行轮廓矩阵为：
p11/ p1. N(R)p21/ p2.
p12/ p1. p1p/ p1.
p22/ p2. p2p/ p2.
pn1/ pn.
pn2/ pn.
pnp/
pn.
由此，我们可以将属性变量A的n个取值可 以用P维空间的n个点来表示。n个点的坐 标即为该行轮廓矩阵。
但是，因为原始变量的数量等级可能不同，所以 为了尽量减少各变量尺度差异，将行轮廓中的各列 元素均除以其期望的平方根。得矩阵D(R)
162
A：1表示吸烟，