点集拓扑学的基本概念

点集拓扑学

点集拓扑学（Point Set Topology），有时也被称为一般拓扑学（General Topology），是数学的拓扑学的一个分支。它研究拓扑空间以及定义在其上的数学结构的基本性质。这一分支起源于以下几个领域：对实数轴上点集的细致研究，流形的概念，度量空间的概念，以及早期的泛函分析。它的表述形式大概在1940年左右就已经成文化了。通过这种可以为所有数学分支适用的表述形式，点集拓扑学基本上抓住了所有的对连续性的直观认识。

具体地说，在点集拓扑学的定义和定理的证明中使用了一些基本术语，诸如：

•开集和闭集

•开核和闭包

•邻域和邻近性

•紧致空间

•连续函数

•数列的极限，网络，以及滤子

•分离公理

度量空间

在数学中，度量空间是一个集合，在其中可以定义在这个集合的元素之间的距离（叫做度量）的概念。

度量空间中最符合我们对于现实直观理解的是三维欧几里得空间。事实上，“度量”的概念就是对从欧几里得距离的四个周知的性质引发的欧几里得度量的推广。欧几里得度量定义了在两个点之间的距离为连接它们的直线的长度。

空间的几何性质依赖于所选择的度量，通过使用不同的度量我们可以构造有趣的非欧几里得几何，比如在广义相对论中用到的几何。

度量空间还引发拓扑性质如开集和闭集，这导致了对更抽象的拓扑空间的研究。

【性质】

度量空间是元组(M,d)，这里的M 是集合而 d 是在M 上的度量(metric)，就是函数使得

•d(x, y) ≥ 0 (非负性)

•d(x, y) = 0 当且仅当 x = y (不可区分者的同一性)

•d(x, y) = d(y, x) (对称性)

•d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (三角不等式)。

函数d 也叫做“距离函数”或简单的叫做“距离”。经常对度量空间省略d 而只写M，如果在上下文中可明确使用了什么度量。不要求第二、第三或第四个条件分别导致伪度量空间、准度量空间或半度量空间的概念。

第一个条件实际上可以从其他三个得出: 2d(x, y) = d(x, y) + d(y, x) ≥ d(x,x) = 0.

它做为度量空间的性质更恰当一些，但是很多课本都把它包括在定义中。某些作者要求集合M 非空。

—作为拓扑空间的度量空间

把度量空间处理为拓扑空间相容得几乎都成为定义的一部分了。

对于任何度量空间M 中的点x，我们定义半径r (>0) 的关于x 的开球为集合

。

这些开球生成在M 上的拓扑，使它成为拓扑空间。明显的，M 的子集被称为开集，如果它是(有限或无限多)开球的并集。开集的补集被称为闭集。以这种方式从度量空间引发的拓扑空间叫做可度量化空间

因为度量空间是拓扑空间，在度量空间之间有连续函数的概念。这个定义等价于平常的连续性的ε-δ定义(它不提及拓扑)，并可以使用序列的极限直接定义。

开集

在拓扑学和相关的数学领域中，集合U被称为开集，如果在直觉上说，从U中任何一点x开始你可以在任何方向上稍微移动一下而仍处在集合U中。换句话说，在U中任何点x与U的边界之间的距离总是大于零。

例如，实数线上的由不等式规定的集合称为开区间，是开集。这时候的边界为实数轴上的点2和5，如由不等式，或者规定的区间由于包含其边界，因此不能称之为开集。

开集是指不包含自己边界点的集合。或者说，开集把它所包含的任何一点的充分小的邻域也包含在其自身之中。开集的概念一般与拓扑概念是紧密联系着的，通常先公理化开集，然后通过其定义边界的概念。

满足x2 + y2 = r2的点(x,y)着蓝色。满足x2 + y2 < r2的点(x,y)着红色。红色的点形成了开集。红色和蓝色的点的并集是闭集

【定义】

可以按不同的一般性程度来形式化开集的概念。

函数分析

在R n中点集是开集，如果在这个集合的所有点P都是内部点。

—欧几里得空间

n维欧几里得空间R n的子集U是开集，如果给定任何在U中的点x，存在一个实数ε > 0使得，如果给定任何R n中点y，有着从x到它的欧几里得距离小于ε，则y也属于U。等价的说，U是开集，如果所有U中的点有包含在U中的邻域。

—度量空间

度量空间（M,d）的子集U是开集，如果给定任何U中的点x，存在一个实数ε > 0使得，如果给定任何M中的点y，有d(x,y) < ε，则y也属于U。（等价的说，U是开集，如果所有U中的点有包含在U中的邻域。）

这推广了欧几里得空间的例子，因为带有欧几里得距离的欧几里得空间是度量空间。

—拓扑空间

在拓扑空间中，开放性概念被选取为基础性的。你可以开始于任意集合X和满足假定有所有“合理”开放性概念的特定性质的X的子集族。这种子集族T被叫做X上的“拓扑”，而这个集合族的成员被叫做拓扑空间(X,T)的开集。注意开集的无限交集不必须是开集。可以构造为可数多个开集的交集的集合被指示为Gδ集合。

开集的拓扑定义推广了度量空间定义：如果你开始于一个度量空间并如上定义开集，则所有开集的集合族将形成在这个度量空间上的拓扑。所有度量空间因此以自然方式是拓扑空间。（但有不是度量空间的拓扑空间。）

【性质】

1.空集是开集（注意空集也是闭集）

2.任意个开集的并集是开集

3.有限个开集的交集是开集

【举例】

1.度量空间(X,d)中，以点为中心，为半径的球体为开集，任意的开集A

包含以为中心，充分小的为半径的球体；

2.流形中的开集为子流形。

【用处】

开集在拓扑学分支中是基础重要性的。需要这个概念来定义拓扑空间和处理空间如度量空间和一致空间中的邻近性与收敛概念的其他拓扑结构并使其有意义。

所有拓扑空间X的子集A都包含一个（可能为空）开集；最大的这种开集被叫做A的内部。它可以通过选取包含在A中的所有开集的并集来构造。

给定拓扑空间X和Y，从X到Y的函数f是连续的，如果在Y中的所有开集的前像是在X中的开集。映射f被叫做开映射，如果在X中的所有开集的像是Y中的开集。

在实直线上开集有它是不相交开区间的可数并集的特征性质。

闭集

【定义】

在拓扑空间中，闭集是指其补集为开集的集合。由此可以引申在度量空间中，如果一个集合所有的极限点都是这个集合中的点，那么这个集合是闭集。

不要混淆于闭流形。