第三讲数学解题过程
离散数学第三讲-范式与主范式
Mj mj
n 2 k
n 2 k
17
极小项与极大项之间的关系
3.
主析取范式与主合取范式的关系
例题： A (P Q ) R m1 m3 m5 m 6 m7 主合取范式 3 5 6 7 （ 1，，，，） 主析取范式
M0 M2 M4 （ 0 ，，） 2 4
(0,2,4) 其中表示合取.
16
极小项与极大项之间的关系
1.
极小项与极大项的关系
一个命题公式的主析取范式和主合取范式紧密相关, 在它们的简 记式中, 代表极小项和极大项的足标是互补的,
mi Mi,
2.
M i m i.
原命题A与其否命题A的关系
设命题公式A中含n个命题变元，且设A的主析取范式中含k个极 小项mil,mi2,…,mik则 A的主析取范式中必含2n-k个极小项,设为 mjl,mj2, …, ,
则称它为A 的合取范式。 合取式---称为积 析取式---称为和
3
1、范式---析取范式与合取范式
析取范式:
A A 1 A 2 A n ( n 1), n 1时，单个质合取式也是 A ：质合取式 i
析取范式
合取范式:
A B 1 B 2 B m ( m 1) m 1时，单个质析取式也是 B ：质析取式 i
(1)求出A的主析取范式中没包含的极小项mj1,mj2,··m j ·, (2)求出与(1)中极小项下标相同的极大项Mj1,Mj2,··M j ·, (3)由以上极大项构成的合取式为A的主合取范式.
n
n 2 k
.
.
2 k
18
2、主范式
2024届高考数学一轮总复习第三章三角函数解三角形第三讲两角和与差及二倍角的三角函数公式课件
(5)tan (α－β)＝1t＋antαan－αttaannββ(T(α－β)). (6)tan (α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ(T(α＋β)).
2.二倍角公式 (1)基本公式 ①sin 2α＝2sin αcos α. ②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
答案：C 【反思感悟】 理解数学文化内容，结合题目条件进行三角变换求值是关键.
【高分训练】
(2021 年泸州市模拟)《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图
是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成
一个大的正方形，若图3-3-1中直角三角形两锐角分别
为α，β，且小正方形与大正方形面积之比为 9∶25，
答案：12
⊙三角变换与数学文化的创新问题 新高考数学考查的学科素养提炼为理性思维，数学应用，数 学探究和数学文化，其中数学文化作为素养考查的四大内涵之一， 以数学文化为背景的试题将是新高考的必考内容.
[例 4]公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边 形和正十边形的作图方法，发现了黄金分割，其比值约为 0.618，
考向 2 公式的变形
[例
3](1)存在角
θ，已知
(1＋sin θ∈(0，π)，则
θ＋cos θ)sin 2＋2cos θ
2θ－cos
θ 2
＝______.
解析：由 θ∈(0，π)，得 0＜2θ＜π2， ∴cos 2θ＞0，∴ 2＋2cos θ＝ 4cos22θ＝2cos2θ.
又(1＋sin θ＋cos θ)sin
解析：原式＝1－cos22α－π3＋1－cos 22α＋π3－sin2α＝1－ 12cos2α－π3＋cos 2α＋π3－sin2α＝1－cos2α·cos π3－sin2α＝1－ co2s2α－1－c2os 2α＝12.
高一 数学 必修 不等式 第三讲 简单的高次、分式和无理不等式
易错提醒：把未知数前面 的系数变为正值的时候不 等号方向要改变 ．
例 2．已知 a，b，m 都是正数，并且 a < b，求证： a m a bm b
【解析】
证明： a m a b(a m) a(b m) m(b a)
特殊的高次不等式的解法
根轴法（零点分段法，穿针引线法）步骤： ① 不等式化为 ( x x1 )( x x2 )...(x xn ) 0( 0) 形式，并将各因式 x 的系数化“+”；（为了统一方便） ②求根，并在数轴上表示出来； ③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点；
典题剖析
题型一：分式不等式的解法
A．x|
34≤x≤2
B．x|
34≤x＜2
）
C．x|
x≤34或x＞2
D．{x|x＜2}
例 4． 3 7
题型三：简单的无理不等式的解法
2 5 （填大于、等于或小于）
思路点拨：简单的无 理不等式的解题关键 是有理化．
技巧传播
陷阱规避
【易错典例】不等式32x－－x1≥1 的解集是（
A．x|
34≤x≤2
Bx≤34或x＞2
D．{x|x＜2}
【易错典例】不等式32x－－x1≥1 的解集是（
简单的高次、分式和无理不等式
知识要点
分式不等式的解法
解分式不等式，切忌去分母，一律移项通分化为 f ( x) 0 （或 f ( x) 0 ）的形式，
g( x)
g( x)
转化为：
f (x)g(x) g(x) 0
0
（或
f (x)g(x) g(x) 0
0
），即转化为一次、二次或特殊高次不等式形式
三上第三讲 乘法数字谜
第三讲乘法数字迷智慧导学数字谜是一种有趣的数学问题，它利用运算法则和推理，通过观察、判断、推理、尝试等方法填写出算式中缺少的数。
解决乘法竖式的数字迷问题，关键是通过观察、分析，找出解题的“突破口”。
题目不同，分析的方法不同，其“突破口”也就不同。
分析时应做到：1.认真分析算式中数的关系，找出隐蔽条件，选择有特征的部分作出局部判断；2.利用列举和筛选相结合的方法，逐步排除不合理的数字；3.试验时，应借助估值的方法，以缩小所求数字的取值范围，达到快速而准确的目的；4.数字谜解出后，要验算一遍。
思路点拨例1：【解】再观察乘数的百位乘一位数，结果要接近52，因此，一位数只能是8，并且百位应该是6。
最后根据个位和百位的情况，推出十位上的数。
通过观察，个位上4乘□得数末尾是2，想口诀，“三四十二”和“四八三十二”，□里可以填3或8。
45例2： 下式中，“我们爱数学”分别代表的是哪些数？【解】快乐演练1. 在下面算式的空格内，各填入一个合适的数字，使算式成立。
2. 在下面算式的空格内，各填入一个合适的数字，使算式成立。
3. 在下面算式的空格内，各填入一个合适的数字，使算式成立。
从个位想起，“学”乘3得数的个位是1，所以“学”是7。
十位上“数”乘3再加个位进的2，得数末尾是7，因此“数”是5…… 相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。
我＝（4）们＝（2）爱＝（8）数＝（5）学＝（7）×3296 4.求当它们各代表什么数字时，能够使算式成立？（1）（2）5.下面图形各代表什么数，试着填一填。
6.下面汉字各代表什么数，试着填一填。
我的收获数＝（ ） 乐＝（ ） 学＝（ ） 部＝（ ） 俱＝（ ） 数＝（ ） 充＝（ ） 学＝（ ） 习＝（ ） 补＝（ ） 题＝（ ） 爱＝（ ） 数＝（ ） 学＝（ ） △＝（ ） ○＝（ ） ☆＝（ ）。
数学 第三讲有理数的四则运算
第三讲有理数的四则运算二有理数的加减法1. 有理数加法法则（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
（3）一个数同0相加，仍得这个数。
2. 有理数加法的运算步骤法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤：（1）先确定加法类型（同号还是异号）；（2）确定和的符号；（3）绝对值的加减运算。
3. 有理数加法的运算律（1）两个加数相加，交换加数的位置，和不变。
a+b=b+a(加法交换律)（2）三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
（a+b）+c=a+(b+c)(加法结合律)4. 有理数加法的运算技巧（1）分数与小数均有时，应先化为统一形式。
（2）带分数可分为整数与分数两部分参与运算。
（3）多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加，得零。
（4）若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加。
（5）若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起。
（6）符号相同的数可以先结合在一起。
5. 有理数的减法法则减去一个数，等于加这个数的相反数。
a-b=a+(-b)6. 有理数减法的运算步骤（1）把减号变为加号（改变运算符号）（2）把减数变为它的相反数（改变性质符号）（3）把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算。
7. 有理数加减法混合运算的步骤（1）把算式中的减法转化为加法；（2）省略加号与括号；（3）利用运算律及技巧简便计算，求出结果。
注意：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有加法的运算，即求几个正数、负数和0的和，这个和称为代数和。
为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式，例如：（+3）+(-0.15)+(-9)+(+5)+(-11)=3-0.15-9+5-11,它的含义是正3，负0.15，负9，正5，负11的和。
初高中数学衔接知识-第三讲-三角形与圆(含答案)
第三讲 三角形与圆3．1 相似形3.1.1．平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 如图3.1-2，123////l l l ，有AB D E BC EF =.当然，也可以得出AB DEAC DF=.在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例.例1 如图3.1-2， 123////l l l ， 且2,3,4,AB BC DF ===求,DE EF .例2 在ABC 中，,D E 为边,AB AC 上的点，//DE BC ，求证：AD AE DEAB AC BC==. 平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.例3 在ABC V 中，AD 为BAC Ð的平分线，求证：AB BDAC DC=. 例3的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）.练习11．如图 3.1-6，123////l l l ，下列比例式正确的是（ ）A ．ADCE DF BC = B ．ADBCBE AF = C ．CEAD DFBC = D.AFBEDF CE=2．如图3.1-7，//,//,DE BC EF AB 5,AD cm =3,2,DB cm FC cm ==求BF .3．如图，在ABC V 中，AD 是角BAC 的平分线，AB =5cm,AC =4cm,BC =7cm,求BD 的长.图3.1-6图3.1-7图3.1-83.1．2．相似形我们学过三角形相似的判定方法，想一想，有哪些方法可以判定两个三角形相似？有哪些方法可以判定两个直角三角形相似？例6 如图3.1-12,在直角三角形ABC 中，BAC Ð为直角，AD BC D ^于.求证：（1）2AB BD BC =?，2AC CD CB =?； （2）2AD BD CD =? 练习21．如图3.1-15，D 是ABC V 的边AB 上的一点，过D 点作DE //BC 交AC 于E .已知AD ：DB =2：3，则:ADE BCDE S S V 四边形等于（ ） A ．2:3 B ．4:9 C ．4:5 D ．4:212．若一个梯形的中位线长为15，一条对角线把中位线分成两条线段.这两条线段的比是3:2，则梯形的上、下底长分别是__________.3．已知：ABC V 的三边长分别是3，4，5，与其相似的'''A B C V 的最大边长是15，求'''A B C 的面积'''A B C S V .4．已知：如图3.1-16，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点.（1） 请判断四边形EFGH 是什么四边形，试说明理由； （2） 若四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 、BD 满足什么条件时，EFGH 是菱形？是正方形？图3.1-15图3.1-16习题3.11． 如图3.1-18，ABC V 中，AD =DF =FB ，AE =EG =GC ，FG =4，则（ ）A ．DE =1，BC =7B ．DE =2，BC =6 C ．DE =3，BC =5D ．DE =2，BC =82． 如图3.1-19，BD 、CE 是ABC V 的中线，P 、Q 分别是BD 、CE 的中点，则:PQ BC 等于（ ） A ．1：3 B ．1：4 C ．1：5 D ．1：63． 如图3.1-20，ABCD Y 中，E 是A B 延长线上一点，DE 交BC 于点F ，已知BE ：AB =2：3，4BEF S =V ，求CDF S V .4． 如图3.1-21，在矩形ABCD 中，E 是CD 的中点，BE AC^交AC 于F ，过F 作FG //AB 交AE 于G ，求证：2AG AF FC =?.图3.1-18图3.1-19图3.1-20图3.1-213.2 三角形 3．2．1 三角形的“四心”三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.例1 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1. 已知 D 、E 、F 分别为ABC V 三边BC 、CA 、AB 的中点， 求证 AD 、BE 、CF 交于一点，且都被该点分成2：1.三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.（如图3.2-5）例2 已知ABC V 的三边长分别为,,BC a AC b AB c ===，I 为ABC V 的内心，且I 在ABC V 的边BC AC AB 、、上的射影分别为D E F 、、，求证：2b c aAE AF +-==.三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图3.2-8）图3.2-3图3.2-8图3.2-5例4 求证：三角形的三条高交于一点.已知 ABC V 中，,AD BC D BE AC E ^^于于，AD 与BE 交于H 点.求证 C H A B ^.过不共线的三点A 、B 、C 有且只有一个圆，该圆是三角形ABC 的外接圆，圆心O 为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.练习11．求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形.2． （1） 若三角形ABC 的面积为S ，且三边长分别为a b c 、、，则三角形的内切圆的半径是___________;（2）若直角三角形的三边长分别为a b c 、、（其中c 为斜边长），则三角形的内切圆的半径是___________. 并请说明理由.练习21． 直角三角形的三边长为3，4，x ,则x =________.2． 等腰三角形有两个内角的和是100°，则它的顶角的大小是_________.3． 已知直角三角形的周长为3 1，求这个三角形的面积.习题3.2A 组1． 已知：在ABC 中，AB =AC ，120,o BAC AD ∠=为BC 边上的高，则下列结论中，正确的是（）A ．AD AB =B ．12AD AB =C ．AD BD = D ．AD BD =2． 三角形三边长分别是6、8、10，那么它最短边上的高为（ ） A ．6 B ．4.5 C ．2.4 D ．83． 如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于_________.4． 已知：,,a b c 是ABC 的三条边，7,10a b ==，那么c 的取值范围是_________。
第三讲 找规律
第三讲找图形的规律找规律是解决数学问题的一种重要手段。
而发现规律既需要敏锐的观察力，又需要严密的逻辑推理能力。
这一讲将为你提供很多图形，它们在某一个方面，比如颜色、形状、大小、结构、位置或繁难等有些共同的特征或变化规律，我们要学会通过观察找规律，并根据规律来推断结果。
第一部分、旋转、轮换规律例题1：相传古时候一位老人留在人间很多宝盒，里面装着世界上最宝贵的财富，但是并不是拥有宝盒都可以得到这笔财富，在宝盒的上面设置了密码，只有写出密码的人才会真正拥有这笔财富，聪明的你你能找出密码吗？○□☆△○□☆△△○□☆△○□☆☆△○□☆△○□（）（）（）（）（）（）（）（）分析与解答我们仔细观察一下这个图形，可以看出来。
第一排第一个位置的图形，圆，现在在第二排的第二个位置；第一排的第二个图形，正方形，现在在第二排第三个位置；以此类推。
而第一排的最后一个图形，三角形，现在在第二排的第一个位置。
也就是说，我们把第一排的最后一个图形拿到第二排的第一个位置。
而第一排其余位置的图形，依次向后挪一个位置。
那么第三排的图形，就是第二排最后一个位置的图形放在第一个位置，第二排其余位置的图形依次往后挪一个位置得到的。
所以密码就是：□☆△○□☆△○练习1、下面的图形是按一定规律排列的，请仔细观察，并在“？”处填上适当的图形.（1）第2组（2）第2组（3）第2组（1）仔细观察可发现第1组和第2组中间的部分都是由三个小图形构成的.构成的规律是：当按照第1、第2、第3组的顺序观察时，6个小图形都在向左移动，而且移动的同时又在重新分组和组合，但排列顺序保持不变，当某一个小图形移动到了最左边时，下一步它就回到了最右边.按这个规律可知图中第3组中间“？”处是：□△0.（2）注意观察第1组和第2组，每组都是由三对小图形组成；而每对小图形都是由一个“空白”的和一个“黑色”的小图形组成；而且它俩的排列顺序都是“空白”的在左边，“黑色”的在右边.再按着第1、第2、第3组的顺序观察下去，可发现每对小图形在各组中的位置的变化规律：它们都在向左移动，当一对小图形移动到最左边后，下一步它就回到了最右边.按这个移动规律，可知第3组“？”处应填：○▲.（3）观察第1组与第2组，每组中有三种图形：★、□、■，我们把每组图形再分为三小组，将更明显的得出变化规律. “？”是：□、■、★。
第三讲 数量关系
(8)乘法数列： 1，2，2，4，8，( ) A．12 B．15 C．30 D．32 (9)除法数列： 8，4，2，2,1，( ) A．3 B．4 C．5 D．2 (10)平方数列：数列中的各数为一个数列的平方。 1，4，9，16，( ) A．23 B．24 C．25 D．26 (11)立方数列：数列中的各数为一个数列的立方。 1，8，27，64，( ) A．100 B．115 C．120 D．125
(二)数学运算举例
1．容易的规律： (1)凑整法 ①小数凑整法：5.2+13.6+3.8+6.4的值： A．29 B．28 C．30 D．29.2 ②乘法凑整法：49×25的值 多乘了一个25 A．1240 B．1250 C．1225 D．1220 ③分数凑整法：20-13/4-22/5-0.75-2.60 A．13 B．12 C．9 D．8
(3)二级等比数列：
1，3，18，216， ( A．1023 B．1892
D．5184 (4)等比数列的变式： 3，5，9，17， ( ) A．23 B．33 C．43
) 3 6 12 24 C．243
2 4 6 8
D．25
(5) 8，8，12，24，60，( ) A 90 B 120 C 180 D 240 (6)2，13，40，61，( ) A 46.75 B 82 C 88.25 D 121
(16)
0，7，26，63（ ），...... A、89 B、108 C、124 D、148
(17) 8 ， 8 ，12 ， 24 ，60 （ ） A、90 Ｂ、120 C、180 D、240
数学：第三讲《最短路线》讲义
三年级尖子班第三讲最短路线【例1】⑴(难度★)小羊和小虎是好朋友，它们居住的小区的平面图如下。
星期天，两人相约去博物馆看展览，现在小羊要先去小虎家和小虎汇合，请问小羊去小虎家的最短路线有多少条？⑵如图所示，从A点到B点的最短路线有多少条？【分析】⑴如右上图所示，根据标数法可知一共有20条最短路线⑵126条【例2】如图，从A到B的最短路线有几条？【分析】如右上图所示，根据标数法可知共有41条最短路线. 【例3】(难度★★)如图为街道示意图，从A到B的最短路线有多少种？【分析】标数法：如图所示，从A到B的最短路线有12种【例4】(难度★★★)（第十四届“中环杯”小学生思维能力训练活动四年级选拔赛）如图是一个电子小虫的玩具盒。
玩具盒是一个长方形，其长为50厘米，宽为40厘米。
电子小虫的爬行速度是每秒3厘米。
如果它只能沿着图中的直线爬行，那么它从起点到终点用时30秒的走法有种.【分析】电子小虫共爬行90厘米，所以电子小虫必须要么向上，要么向右走最短路线，如下图，共12种走法【例5】 (难度★★★)如街道示意图所示，有几处因施工不能通行，那么从A到B的最短路线有多少种？【分析】如上图，28种【例6】(难度★★★)⑴黑熊想到北极熊家去，但是中间必须经过灰熊家，如图所示，则黑熊到北极熊家的最短路线共有多少条？⑵(难度★★)如图，从A经过C到B有几条最短路线？【分析】⑴如下图所示：从黑熊到灰熊家的最短路线共有15条，从灰熊到北极熊家的最短路线有10条，根据分步计数原理，从黑熊家到北极熊家，必须经过灰熊家的最短路线共有×=条1510150⑵从A到C，最短路线如下图：从C到B，最短路线如下图：所以，从A经过C到B，有6×15=90（条）最短路线. 【例7】(难度★★)（1）图中有10个编好号码的房间，你可以从小号码房间走到相邻的大号码房间，但不能从大号码房间走到小号码房间，从1号房间走到10号房间共有多少种不同走法？（2）在图中的“我爱春蕾杯” 有______种不同的读法【分析】⑴图中并没有标出行走的方向，但题中“你可以从小号码房间走到相邻的大号码房间，但不能从大号码房间走到小号码房间”这句话实际上就规定了行走的方向．如下图所示，我们可以把原图转化成常见的城市网络图，然后再根据标数法的思想标数：从图中可以看出，从1号走到10号房间共有22种不同的走法．⑵根据标数法（见右上图）可知++++=种不同的读有1464116法。
高一数学 第三讲 函数的增减性
函数的增减性一、 概念一般地，设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I ⊆A如果对于区间I 内的任意两个值x 1,x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1 )<f(x 2 )，那么就说y=f(x)在区间I 上是增函数。
I 称为y=f(x)的单调增区间。
如果对于区间I 内的任意两个值x 1,x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1 )>f(x 2 )，那么就说在这个区间I 上是减函数。
I 称为y=f(x)的单调减区间。
1. 证明函数xx x f 2)(+=在),2(+∞上是增函数．2．归纳解题步骤归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论． 练习：证明函数x x f =)(在),0[+∞上是增函数．问题：要证明函数)(x f 在区间),(b a 上是增函数，除了用定义来证，如果可以证得对任意的),(,21b a x x ∈，且21x x ≠有0)()(1212>--x x x f x f 可以吗?分析这种叙述与定义的等价性．尝试用这种等价形式证明函数x x f =)(在),0[+∞上是增函数．①如果函数()x f 对区间D 内的任意21,x x ，当21x x <时都有()()21x f x f <，则()x f 在D 内是增函数；当21x x <时都有()()21x f x f >，则()x f 在D 内是减函数。
②设[]b a x x ,,21∈，那么()()()x f x x x f x f ⇔>--02121是增函数； ()()()x f x x x f x f ⇔<--02121是减函数。
二、主要方法：1.讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集；2.判断函数的单调性的方法有： ()1用定义；()2用已知函数的单调性； ()3利用函数的导数；()4如果()f x 在区间D 上是增（减）函数，那么()f x 在D 的任一非空子区间上也是增（减）函数 ()5图象法；()6复合函数的单调性结论：“同增异减” ()7奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.()8 互为反函数的两个函数具有相同的单调性．(9)在公共定义域内，增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数；增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。
高考数学：专题三 第三讲 推理与证明课件
191,202，„，999.则 (1)4 位回文数有________个； (2)2n＋1(n∈N＋)位回文数有________个.
解析 (1)4 位回文数有： 1001,1111,1221，„，1991,10 个 2001,2112,2222，„，2992,10 个 „„ 9009,9119,9229，„，9999,10 个 共 90 个.
－ －
∴{an}的通项公式为 an＝4· (－1)n－1－n (n∈N*).
题型与方法
(3)解 ∵{an}的通项公式为
n n
－
第三讲
an＝4· (－1)n－1－n (n∈N*)，
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所以 Sn＝∑ ak＝∑ [4· (－1)k 1－k] k＝1 k＝1
＝∑ [4· (－1) k＝1
代入 an－1＝an(an＋1－1)得 bn＝(bn＋1)bn＋1.
Байду номын сангаас
整理得 bn－bn＋1＝bnbn＋1，
由题意知，bn≠0，(否则 an＝1，与 a1＝2 矛盾) 1 1 从而得 － ＝1， bn＋1 bn
∵b1＝a1－1＝1，
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题型与方法 1 ∴数列{b }是首项为 1，公差为 1 的等差数列. n 1 1 ∴b ＝n，即 bn＝n. n 1 1 1 (2)证明 ∵Sn＝1＋ ＋ ＋„＋ ， 2 3 n
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n∈N*， C4n＋11＋C4n＋15＋C4n＋19＋„＋C4n＋14n 1＝____________.
解析 这是一种需类比推理方法破解的问题， 结论由两项构成， 第二项前有(－1)n，两项指数分别为 4n－1，2n－1，
四年级上册数学奥数思维训练(第3讲)倒推法解题
四年级数学思维训练姓名：第3讲倒推法解题用倒推法解题，通常要根据已知条件从所给的结果出发，抓住逆运算的关系向前倒推运算，原来加的倒回去是减，原来减的倒回去是加，原来乘的倒回去是除，原来除的倒回去是乘，这样逐步靠拢问题，直到问题的解决。
用倒推法解题列式时要注意运算顺序，正确使用括号。
例题1 某数加上6，乘以6，减去6，除以6，其结果等于6，求某数。
练习一1.小芳想把一个数除以4，却错乘4，接着她想加28，却错减去28，犯了这两次错误之后，得出结果68，如果按正确的运算顺序计算，计算结果应该是多少?2.马小虎做一道整数减法题，把减数个位上的l看成7，把减数十位上的7看成l，结果得出差是lll，原来正确的答案应是几?例题2 两艘宇宙飞船径直相向飞行，一艘宇宙飞船的速度为每分钟8千米，另一艘宇宙飞船的速度为每分钟12千米。
在相撞前1分钟，它们之间的距离是多少千米？练习二1.有一种细胞分裂得很快，每秒钟增加l倍。
在一只密封的瓶里，如果放进一个细胞，l秒钟后各分裂成2个，2秒钟后分裂成4个，……，这样经过2分钟后，整个瓶子里就充满了这样的细胞。
经过多少秒钟后，细胞总数达到半瓶。
2.玩具店的玩具每卖出一半，就补充20个，到第十次卖出一半后，恰好余下20个，则玩具店原有玩具多少个？例题3蔬菜市场运来一批白菜，第一天卖出总数的一半多3吨，第二天卖出剩下的一半还多5吨，这时还剩下6吨白菜。
蔬菜市场运来多少吨白菜?练习三1.某人去储蓄所取款，第一次取了存款数的一半还多5元，第二次取了余下的一半还多l0元，这时还剩l25元，他原有存款多少元?2.将8个数从左到右排成一行，从第3个数开始，每个数恰好等于它前面两个数之和，如果第7个数和第8个数分别是81，131，那么第l个数是多少？例题4 甲、乙、丙三个中队，共有图书498册，如果甲中队给乙中队4册，乙中队给丙中队10册．那么三个中队的图书册数相等。
原来甲、乙、丙三个中队各有图书多少册?练习四1.有A、B、C三桶水共重48千克，如果从A桶倒入B桶8千克，并从B桶倒入C桶6千克，则三桶水重量相等。
3第三讲图形问题的解题技巧及应用A
3第三讲图形问题的解题技巧及应⽤A图形问题的解题技巧及应⽤（⼀）知识导航图形问题是⼩升初考试的必考内容，⽽且常常以⼤题形式出现，重点名校选拔考试题⽬分值较⾼，并且难度有所增加，题型形式多样化，本讲主要是举例学习解答平⾯⼏何图形问题的⽅法与技巧，运⽤等积变换、⾯积⼀半的应⽤、差不变的原理、加减法、⽐例法、构造法、代数法与整体思考、平移旋转与对称法、定理应⽤等⽅法解答图形问题，训练学⽣良好的数学思维和培养逻辑推理的能⼒。
⼀、等积变换法这⾥的积指的是⾯积，任何直线型图形都可以分解成若⼲个三⾓形，三⾓形是最基本图形，等积变换⾥主要研究的是三⾓形⾯积变换。
等积变换的性质：1、等底等⾼：等底等⾼的两个三⾓形的⾯积相等。
2、两条平⾏线之间的距离相等。
3、等底⽐⾼：如果两个三⾓形等底，但⾼不等，则⾯积⽐等于⾼之⽐。
4、等⾼⽐底：如果两个三⾓形等⾼，但底不等，则⾯积⽐等于底之⽐。
⼆、⾯积⼀半的应⽤1、在正⽅形、长⽅形、平⾏四边形中，以其中⼀条边为底，在它的对边上任意取⼀点，所得到的三⾓形的⾯积等于整个图形⾯积的⼀半。
2、平⾏四边形内任意⼀点与四个顶点的连线所分成的四个三⾓形中，相对的两个三⾓形的⾯积之和相等。
3、以下图形中，阴影部分⾯积都占整个图形⾯积的⼀半：三、差不变的原理1、在三⾓形中，两边之和⼤于第三边，两边之差⼩于第三边。
2、差不变的原理：若甲⽐⼄的⾯积⼤A，则甲和⼄同时加上或减去相等的⾯积，他们的差不变。
3、蝴蝶原理：梯形的两条对⾓线所分成的四个三⾓形中，两个腰上的三⾓形的⾯积相等。
4、在解有关⽴体图形的问题时，常常需要抓体积不变这个不变量来解题，同时需要灵活运⽤⽅程组的思想和⽅法来解决问题。
四、加减法认真观察，所求图形的⾯积是哪⼏个图形相加，再减去哪⼏个图形的⾯积就可以得到，通过这种加、减就能求出所求图形⾯积的⽅法，叫做加减法。
五、⽐例法1、如果两个长⽅形的长（或宽）相等，那么它们⾯积之⽐等于它们的宽（或长）之⽐。
小升初数学快乐思维冲刺讲义-第3讲-计算专题--高级技巧-全国通用(含答案)
第3讲计算专题——高级技巧典型例题等差数列求和公式通项公式：第n项=首项+（项数–1）×公差项数公式：项数=（末项–首项）÷公差+1公差=（末项-首项）÷（项数-1）求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷2当项数为奇数时，和=中间项×项数在等差数列中，第n项与第m项之间相差n-m个公差．例题1计算：25811101________+++++=例题2一些全是3的倍数的数构成了一个等差数列，已知第16个数是第9个数的2倍少18，第17个数是第8个数的2倍，请问这个等差数列中最小的数是几？例题3一个等差数列的第1项是2013，还知道这个数列的前7项的和为14301，那么这个数列的第10项是________．例题4 已知一个等差数列一共有19项，公差为4，最后两项的和比中项大了123，那么首项是多少？例题5 下列4组数中，哪一组有较小的平均数（ ）．（A ）1与2013之间3的倍数（B ）1与2013之间4的倍数（C ）1与2013之间5的倍数（D ）1与2013之间6的倍数例题6计算下列各题：（1）111417101++++；（2）261090++++； （3）13467910121366676970+++++++++++++．平方和求和公式 平方求和公式：2222(1)(21)1236n n n n ⨯+⨯+++++=． 例题7 计算：22222135799+++++．例题8 计算：222221518212460+++++．例题9计算：12512410236153482042881224⨯+⨯+⨯+⨯++⨯．立方和求和公式立方求和公式：33332123(123)n n++++=++++．例题103333312320122013+++++的结果的个位数字是________．例题11333333201320122011201021-+-+-+的末位数字是__________．递回数列求和公式递回数列求和：2 1+2+3++++3+2+1=n n……例题12计算：1+2+3++++++…99+100+99…321．平方差公式平方差公式：()()22a b a b a b -=+⨯-，()()22a b a b a b +⨯-=-例题13 平方差的公式为：22()()a b a b a b -=+⨯-，请你利用这个公式计算下面的式子：（1）2220132012-；（2）512；（3）862；（4）6872⨯；（5）124136⨯．例题14 计算：1001009999989897972211⨯-⨯+⨯-⨯++⨯-⨯．例题15 口算：（1）7882⨯；（2）123117⨯．完全平方公式完全平方公式：222()2a b a ab b +=++；222()2a b a ab b -=-+例题16 计算：221234246887668766+⨯+．分数裂项裂差：11b a a b a b -=-⨯ 裂和：11b a a b a b+=+⨯． 复杂分数裂项：11c a a b c a b b c-=-⨯⨯⨯⨯ 例题17 计算：22221232343459899100++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯．例题18 计算：4812162024133557799111113-+-+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯．例题19 计算：231011(12)(12)(123)(129)(12910)++++⨯++⨯+++++⨯++++．例题20 计算：2356899899144771097100⨯⨯⨯⨯++⋅++⨯⨯⨯⨯．例题21 计算：456111232343458910++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯．例题22 已知22226411019181,81++++==B A ，请比较A 和B 的大小．例题23 计算：231003!14!25!3102!1003333⨯⨯⨯⨯++++（结果可以用阶乘和乘方表示）．例题24 计算：10010099100999810099985497979697969597969521⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯．例题25 已知符号“*”表示一种运算，它的含义是：11*(1)()a b ab a b A =+++，已知12*34=， 那么：（1）A 等于多少？（2）计算(1*2)(3*4)(5*6)(99*100)++++．例题26 定义新运算△a =2+1-+1a a a （1）（），那么△2+△3+△4+…+△2013=？连分数 我们把形如123111na a a a ++++…叫做“连分数”．由于“连分数”书写很麻烦，我们可以简写成： []1123231,,11n n a a a a a a a a +=+++……．“连分数”[]230,,n a a a …中的零不能省略．例题27 （1）把6429化成连分数为：________________，可简写为___________． （2）“连分数”[]4,7,1,2的倒数是：________，可简写为________．（3）若[][]1,3,23,2,7x x =-，则x =_________________．复杂分小互化判断分数转化成小数类型：最简分数的分母的质因数只有2和5：有限小数；最简分数的分母的质因数没有2和5：纯循环小数；最简分数的分母的质因数既有2或5，也有其他质数：混循环小数．例题28 将下面的分数化为循环小数：11________285714=；23_______143=．例题29 将下列分数化成循环小数（1）1327=_________；（2）20082475=_______；（3）131175=_________．例题30 判断下列分数化成小数之后的类型：，，，，．例题31 循环小数0.28375463与0.4972163在小数点后第多少位时，首次在该位的数字都是3？1375 135625 7160 17150 3150例题32 计算：（1）10.610.610.60.6+++．例题33 假定n 是一个自然数，d 是1~9中的一个数．已知0.57444n d =，求n ．例题34 已知11290.37931÷=是一个无限循环小数．那么，这个循环小数中的每个循环节中含有_______数字．作业作业1. 所有被4除余2的两位数的和是________．作业2. 一个等差数列一共有11项，公差为12，若已知这个等差数列的和为2200，求在这个数列中最大的数为多少？作业3. 计算下列各题：（1）297293289209++++；（2）193187181103++++；（3）2481014162022929498100++++++++++++．作业4. 计算：()()2222123100123100++++-+++．作业5. 计算：222215161750++++．作业6. 计算：333192028+++．作业7. 1+2+3++++++…49+50+49…321．作业8. 口算：（1）492；（2）4852⨯；（3）972．作业9. 计算：222013402679877987+⨯+．作业10. 计算：1111123234345484950++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯．作业11. 若定义运算：§211a a =-，则（§2）+（§4）+（§6）+（§8）+（§10）=．作业12. 若定义运算@a =211a -，那么：@2@3@⨯⨯⨯…99 =．作业13. （1）“连分数”[]1,3,3,1=____________（直接用分数表示）．（2）化连分数：[]0.23___________=．作业14. 判断下列分数化成小数之后的类型：，，，，，，，．作业15. 计算：10.1810.180.18++．作业16. B 是自然数，A 是一个数字，如果0.37444B A =，那么B =_________．11111191175 84308 18192 522 2177 217 34答案例题1 1751例题2 12例题3 2103例题4 19例题5 C例题6 17362116 1680例题7 328350例题8 25560例题9 2998800例题10 1例题11 5例题12 10000例题13 40252601 7396 16864 例题14 5050例题15 6396 14391 例题16 100000000（810）例题17 49499900例题181213 例题19 54155例题20 332550 例题21 17145例题22 B<A （211111+==88991063648B A <+++⨯⨯⨯…）例题23 100103!-33！（原式=22331001004335436531031023-+-+-++-33333333⨯⨯⨯⨯！！！！！！！！（）（）（）……（） =231009945465103102-3+-+-++-3333333！！！！！！！（！）（）（）……（））=100103-33！！ 例题24 242500例题25 A=1 100101例题26 202306420134054182例题27 （1）1214115+++，[2,4,1,5] （2）11417112+++，[0,4,7,1,2]（3）3例题28 0.0000385••0.160839••例题29 0.481•• 0.8113•• 0.74857142••例题30 有限，混循环，有限，有限，混循环例题31 27位例题32 731132例题33 252例题34 28作业1. 1242作业2. 260作业3. 58192368 1734作业4. 333300作业5. 41910作业6. 135595作业7. 2500作业8.240124969409作业9.100000000（810）作业10.306 1225作业11.5 11作业12.50 99作业13.4113[0,4,2,1,7]作业14.有限，纯循环，纯循环，混循环，有限，纯循环，有限，纯循环作业15.492 1375作业16.172。
小学数学奥数解题技巧 第三讲 列举法
【例题】 有三组小朋友共72人，第一次从第一组里把与第二组同样多的人数并入 第二组；第二次从第二组里把与第三组同样多的人数并入第三组；第三次从第三组里把 与第一组同样多的人数并入第一组。这时，三组的人数一样多。问原来各组有多少个小 朋友？
【思路导航】
三个小组共72人，第三次并入后三个小组人数相等，都是72÷3=24（人）。在这以 前，即第三组未把与第一组同样多的人数并入第一组时，第一组应是24÷2=12（人）， 第三组应是（24+12）=36（人），第二组人数仍为24人；在第二次第二组未把与第三 组同样多的人数并入第三组之前，第三组应为36÷2=18（人），第二组应为（24+18） =42（人），第一组人数仍是12人；在第一次第一组未把与第二组同样多的人数并入第 二组之前，第二组的人数应为42÷2=21（人），第一组人数应为12+21=33（人），第 三组应为18人。
这33人、21人、18人分别为第一、二、三组原有的人数，列表：
5
2ห้องสมุดไป่ตู้
【例题】 印刷工人在排印一本书的页码时共用1890个数码，这本书有多少 页？
【思路导航】 （1）数码一共有10个：0、1、2……8、9。0不能用于表示页码，所以页码 是一位数的页有9页，用数码9个。 （2）页码是两位数的从第10页到第99页。因为99-9=90，所以，页码是两 位数的页有90页，用数码：2×90=180（个） （3）还剩下的数码：1890-9-180=1701（个） （4）因为页码是三位数的页，每页用3个数码，100页到999页，99999=900，而剩下的1701个数码除以3时，商不足600，即商小于900。所以页 码最高是3位数，不必考虑是4位数了。往下要看1701个数码可以排多少页。 1701÷3=567（页） （5）这本书的页数：9+90+567=666（页）
数学方法论-第三讲-类比法
析：用1，3，4，7这四个数组成两个两位数， 我们可以先取1，3两个数字组成13、31；4，7 也可以组成两个两位数47，74。这四个两位 数可组成四个加法算式：13+47，13+74， 31+47，31+74。同样的道理，也可以把1，4 分成一组，3，7分一组；1，7分一组，3，4 分一组。能够组成的加法算式如下：
第三讲
牛顿说：“没有大胆的猜测，就做不出 伟大的发现”。 法国数学家、天文学家拉普拉斯也说： “即使在数学里，发现真理的主要工具 也 是归纳与类比”。 著名的数学家波利亚所说：“类比是一 个伟大的引路人”。
一件工程，甲队单独做20小时完成，乙队单独做 30小时可以完成，两队合做，几小时可以完成全 工程？
1，3一组，4，7一组： 13+47=60，13+74=87，31+47=78，31+74=105； 1，4一组，3，7一组： 14+37=51，14+73=87，41+37=78，41+73=144； 1，7一组，3，4一组： 17+34=41，17+43=60，71+34=105，71+43=114。
由上面的这个整数开放题可类比出下面这个小数开放题： 请你用2，3，4，7这四个数字和小数点，组成两个一位 小数相方形有四条边，如果两个 同样的正方形有一条公共边，那么就称这 两个正方形连结在一起，如 。把四个 同样的正方形连结在一起，可以怎样连？ 这个平面的问题，如果运用类比的方法， 就可以得到空间的问题： 把四个同样的小立方体连结在一起(相邻 两个立方体有一个公共面)，可以怎样连 结？把平面的正方形类比空间的立方体。 再考虑到空间的特殊性。
析：这一条“相遇问题”应用题中，同样可以把 总路程看作单位“1”，客车速度看作1/10，货车速 度看作1/15。 因此，从上一题的解法可以类推出本题的解法为：
高中数学第三讲：恒成立与存在性问题
专题——恒成立与存在性问题在代数综合问题中常遇到恒成立与存在性问题．两类问题类似，均涉及常见函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法．知识点总结：(1)恒成立问题1. ∀x ∈D,均有f (x )>A 恒成立，则f (x )min >A ；2. ∀x ∈D,均有f (x )﹤A 恒成立，则 f (x )ma x <A .3. ∀x ∈D,均有f (x ) >g (x )恒成立，则F (x )= f (x )- g (x ) >0，∴ F (x )min >04. ∀x ∈D,均有f (x )﹤g (x )恒成立，则F (x )= f (x )- g (x ) ﹤0，∴ F (x ) ma x ﹤05. ∀x 1∈D, ∀x 2∈E,均有f (x 1) >g (x 2)恒成立，则f (x )min > g (x )ma x6. ∀x 1∈D, ∀x 2∈E,均有f (x 1) <g (x 2)恒成立，则f (x ) ma x < g (x ) min(2)存在性问题1. ∃x 0∈D,使得f (x 0)>A 成立，则f (x ) ma x >A ；2. ∃x 0∈D,使得f (x 0)﹤A 成立，则 f (x ) min <A3. ∃x 0∈D,使得f (x 0) >g (x 0)成立，设F (x )= f (x )- g (x )，∴ F (x ) ma x >04. ∃x 0∈D,使得f (x 0) <g (x 0)成立，设F (x )= f (x )- g (x )，∴ F (x ) min <05. ∃x 1∈D, ∃x 2∈E, 使得f (x 1) >g (x 2)成立，则f (x ) ma x > g (x ) min6. ∃x 1∈D, ∃x 2∈E,均使得f (x 1) <g (x 2)成立，则f (x ) min < g (x ) ma x(3)相等问题1. ∀x 1∈D, ∃x 2∈E,使得f (x 1)=g (x 2)成立，则{ f (x )} {g (x )}(4)恒成立与存在性的综合性问题1. ∀x 1∈D, ∃x 2∈E, 使得f (x 1) >g (x 2)成立，则f (x )m in > g (x ) m in2. ∀x 1∈D, ∃x 2∈E, 使得f (x 1) <g (x 2)成立，则f (x ) max < g (x ) max3.设函数()x f 、()x g ，对任意的∀x 1∈D, ∃x 2∈E ，使得()()21x g x f =，设f(x)在区间[a,b]上的值域为A ，g(x)在区间[c,d]上的值域为B,则A ⊂B.⊆(5)恰成立问题1. 若不等式f (x )>A 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f (x )>A 的解集为D ；2.若不等式f (x )<B 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f (x )<B 的解集为D .恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。
高斯数学五阶 第三讲
25 1 4.0 0 125
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本模板精心设计，模板所有素
材均可自由编辑替换移动。
1
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50 50
0
例1 列竖式计算：
01
03
（1） 6 . 8
（1） 4 . 55
（2） 42.54
（3）40.04单Fra bibliotek键入标题7 6
13
单击键入标题
练2 判断题，对的画“
”，错的画“ ”.
（1）列竖式计算小数除以整数时，商的小数位
要等于被除数的小数位数.
（）
（2）一个小数除以整数，商一定小于这个小数.
（）
（3）在12.12的小数点后面填上两个“0”，小数
的大小不变.
在进行小数除法的计算时，我们也可以列竖式计算，按照整数除 法的法则进行计算，商的小数点要和被除数的小数点对齐.比如说 要算9.1 7，可以像下面这样列竖式.
1.3 7 KEY WO9RD. S1
7
商的小数点和被除数的小数点对齐
21
2 1 .........21个十分之一
0
整数倍数不够除，商“0”，再点小数点.除到末尾还有余数 时，单击要键入在标题余数末尾添上0继续除.比如说在计算14 25的
心设计，
本模板精 心设计，
模板所有
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单击键入标题
素材均可
（3）两个因数的积是7 4 . 3 4 ，一 素材均可
自由编辑
自由编辑 替换移动。
个因数是3 替换移动。 . 5 4 ，另一个因数是多
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稠密性公理：在直线上不同两点A、B之间存在着无数个点。 连续公理：在一条直线上的线段的无穷序列A1B1， A2B2 ，…，AnBn，…如果有以下性质： • 后继的线段被前一线段所包含； • 对于任意给出的一条无论怎样小的线段d，总存在某自然数 n，使线段AnBn都小于d，则必定存在唯一地点P属于这个 序列地所有线段。 （退缩线段原理）
对于直线MN上的某线段OP的度量，可按下面的步骤进行： 先取一条作为单位长度的线段e．从O点沿着OP连续 截取单位线段e，根据阿基米德公理，这个步骤进行到P0 次时，所得线段还小于或等于OP，而截取p0+1次所得线段 OB0就超过OP，这时有以下两种可能情形： (1)线段E恰好在OP上截取P0次，这时线段OP的长度可以用 非负整数p0表示． (2)线段E在OP上截取p0次后还剩下小于E的线段A0P，而线 段A0B0(=(p0+1)E)含点P，这时数p0和p0+1可以分别看作 是线段OP的长度精确到1的不足近似值和过剩近似值． 定义2 无限不循环小数p0•p1p2…pn…叫做无理数，其中p0是 自然数或零，0≤pi≤9(i=1，2，…，n，…)．
n
x
x 2 ax m 1 ， 关 于 x 的 不 等 式 f x x 1
.
（2） k(k R )如何取值时，函数 x g x k ln x 1 存在极值 ， 且
g x 1 g x n 1 2n 2(n N * ).
《怎样学会解数学题》
解题的分析
• 案例： 2005年北京市海淀区中考数学试题
2 y x mx m 2 。 24. 已知抛物线
（1）求证此抛物线与 x 轴有两个不同的交点；
2 y x mx m 2 与 x 轴交于整数 （2）若 m 是整数，抛物线
点，求 m 的值；
（2）这6个步骤一环扣一环。看上去是哪一 步都不能省;
3 解题过程的自觉反思 3.1反思问题表征
• 3.2反思资源配置
• 3 .3 反思策略选择
• 4 信息交合 • 信息交合，主要.是抓住整体分解中提炼出 来的本质步骤.将信息单元转换或重组为更 接近问题深层结构的新解法。
回顾
解：（1）证明： 令y 0，则x mx m 2 0
2
因为 m 2 4 m 8 ( m 2) 2 4 0………………1分 所以此抛物线与x轴有两个不同的交点……………… 2 分 m ( m 2) 2 4 x mx m 2 0的根为x 2 （2）因为关于 x 的方程 2 ( m 2 ) 4 为完全平方数时，此抛物线与 x 轴才有可能交于整数点 由 m 为整数，当
例1
正方形的边与对角线不可公度．
如图1，正方形ACEF的面积是正方形ABCD的面积的 2倍，如果AB与AC可公度，则必存在一线段，在 AB上量n次，在AC上量m次都恰巧量尽．把该线 段作为度量单位，则正方形ACEF的面积是
AC无公度。
2．无理数的概念 由于十九世纪数学分析发展的需要，戴德金、康托、 维尔斯特拉斯等人，几乎同时建立了实数理论，但那几种 建立实数理论的方法，不可能直接用于中学数学教学，在 中学里，一般还是以无穷十进小数来定义实数的． 阿基米德公理 不论线段OP与OM是怎样的线段，总存在 自然数n，使n•OP＞OM． 这条公理说的是，无论线段OP怎样小，点M距O怎样远， 用OP在直线上连续截取足够多次，总可得到一点Q，位 于点M右端(如图2)．
• 分析的框架
• 选取一个案例.
• 确定一个分析的视角
• 选择一个分析的方法.
作业：一个案例
已 知 二 次 函 数 f
f x 2m 1 x 1 m 2
的解集为 m,m 1 ，其中 m 为非零常数.设 g x （1）求 a 的值； 点，并求出极值点； （ 3 ） 若 m 1
• 根与系数均为整数，由求根公式看出方程 的判别式应为完全平方数
• 用分解法解二元二次不定方程(再次用到m 为整数的条件)
• 代入原方程，得
• 这个方程确有两个整数根 • 整数=2满足充要条件，故为所求.
2 逻辑结构的初步分析 （1） 在这个解法中，用到了二次方程的求根公 式(公式法)、判别式的讨论(为平方数)、二元二次 不定方程(分解法求招数解)、整数4的分解(及奇偶 分析法)、二元一次方程的求解(消元法)等知识， 两个整数条件都使用了两次，按先必要后充分的 顺序组织步骤结构.这样，我们就弄清楚了解题中 用到哪些知识、哪些方法(有川捕捉、有关提取)， 它们又是怎样组成一个和谐的逻辑结构的有效组 合).
经检验，当m 2 时，关于x的方Байду номын сангаасx 2 mx m 2 0有整数根 所以m 2 ……………………5分
• 还有反思分析的余地吗?
1 解题步骤的结构分析 • 逻辑关系的结构提炼
• 由已知二次.方程中分别给出了根、系数的 约束条件想到，应找出根与系数的关系， 选择求根公式。
x
0
，
求
证
：
实
数
1．无理数的引入 定理1 没有一个有理数，它的平方等于2． 证明： 首先，因为12=1，22=4，所以12＜2＜22，因此，没 有一个正整数，它的平方等于2． 其次，我们来证明任一正分数的平方也不等于2． 说明有理数集不能满足开方运算的需要，为此，有必 要引进新数，把有理数集予以扩充． 定义1 已知线段AB和CD，如果存在第三条线段EF去度量 AB和CD，刚好都能整数次量完，就说线段EF是线段AB 和CD的公度，这时就说AB和CD可公度．
2
设 ( m 2) 2 4 n 2 （其中n为整数） ……………………3 分
所以[ n ( m 2)][ n ( m 2)] 4 因为n ( m 2) 与n ( m 2) 的奇偶性相同 n m 2 2 n m 2 2 所以 或 n m 2 2 n m 2 2 解得m 2