《高等代数》二次型学习资料

c2
0
Q1A1Q1 0
c3
cn
取
1 0 0
Q00
Q1
P E 1 E 2 E s Q
那么
PAP QE s E2 E1 AE1E2 E sQ
a11 0 0
a11 0
0
Q
0 0
A1
Q
0 0
Q1 A1Q1
c1
0
0
c2
cn
这里 c1 a11。
(b) 如果 aii0, i1,2,,.n由于A≠O，所以一
F上两个二次型叫等Байду номын сангаас，如果可以通过变量的 非奇异线性变换将其中一个变成另一个.
定理9.1.3 数域F上两个二次型等价的必要且充分条 件是它们的矩阵合同。
等价的二次型具有相同的秩。
定理9.1.4 令A(aij是) 数域F上的一个n阶对称矩阵。
总存在F上一个n阶非奇异矩阵P，使得
c1
0
PAP
0
再交换第1行与第i行，就可以把 换到a ii左上角。这
样就相当于初等矩阵
P1i ,右再乘 用A
不AP的1等i第于1P零列1i左 .加因到此乘 A 第，. 于j我列是们，不再P妨1用i A设P的1aiaa1左1111 j乘上0，第角用1的行元加素到aa 111乘j第
j 行，就可以把第一行第 j 列和第 j 行第1列位置的
③ 传递性：如果 B 与 A 合同，C 与 B 合同，那么C 与 A 合同。
事实上，由 PA PB和 Q B Q C可得
( P ) A ( Q P ) Q Q P A Q P B Q C Q 合同的矩阵显然有相同的秩，并且与一个对 称矩阵合同的矩阵仍是对称的.
设q 和q 是数域F上两个n 元二次型，它们的 矩阵分别为A 和 B. 如果可以通过变量的非奇异线 性变换将 q 变为q，则B与A 合同. 反之，设B与A 合同. 于是存在F上非奇异矩阵P 使得 BPAP. 通过以P为矩阵的非奇异线性变换就将 q 变为q.
c2
cn
即F上的一个n阶对称矩阵都与一个对角形式矩阵合
同。
证 我们将利用矩阵的初等变换来证明这个定 理。回忆一下5.2里所定义的三种初等矩阵 Pi j ,Di(k)和Tij(k)容易看出，
P i j P ij;D i( k ) D i( k )T ; i( k j) T i( k j)
现在对矩阵A的阶n作数学归纳法，n = 1时
定理显然成立。设n > 1，并且假设对于n – 1阶
对称矩阵来说，定理成立设。A(aij) 是一个n阶矩
阵.如果A = O，这时A本身就是对角形式。AO
设
,我们分两种情形来考虑.
(a) 设A的主对角线上元素不全为零，例
如，aii 0.如果i ≠ 1，那么交换A的第1列与第I 列，
也是对称矩阵。
nn
定理9.1.1 设 aij xi x j 是数域F上的一个以A为
i1 j1
矩阵的n元二次型。对它的变量施行一次以P为矩
阵的线性变换后所得到的二次型的矩阵是 PAP。
推论9.1.2 一个二次型的秩在变量的非奇异线性变 换之下保持不变。
注意: 如果不取二次型的矩阵是对称矩阵，则推论 9.1.2不成立
元素变成零。
这相当于用
T1
j
(
a1 j a 11
)
右乘A，用
Tj1(aa11j1)T1j(aa11j1)
左乘A。这样，总可以选取初等矩阵 E1,E2,,Es, 使得
a11 0 0
EsE2E1AE1E2Es
0 0
A1
这里 A1 是一个n – 1阶的对称矩阵。
由归纳法假设，存在n – 1阶可逆矩阵 Q 1使得
F 上n 元多项式总可以看成 F 上的n 个变量的函数，
二次型（1）定义了一个函数 q所:F以nn元F二.次
型也叫n 个变量的二次型.
在（1）中令 aijaji (1i,jn 因).为 xixj 所x以jxi, （1）式可以写成以下形式：
nn
（2） q(x1,x2,,xn) aix jixj, aijaji
9.1.2 线性变换
如果对二次型（3）的变量施行如下的一个变换：
n
（4） x i pjy ij, i 1 ,2 , ,n , p ij F (1 i,j n )
i 1
那么就得到一个关于 y1,y2,,yn 的二次型
q(y1,y2,,yn)
（4）式称为变量的线性变换，令 P(pij) 是（4） 的系数据构成的矩阵，则（4）可以写成
《高等代数》二次型
9.1 二次型和对称矩阵
一.内容分布 9.1.1 二次型及矩阵 9.1.2 线性变换 9.1.3 矩阵的合同 9.1.4 二次型的标准形
二.教学目的 1.掌握二次型及其矩阵的定义 以及矩阵的合同 2.理解关于二次型的线性变换 3.了解二次型的标准形
三.重点难点: 合同、线性变换、二次型的标准形
（5）
x 1 y 1
x2
xn
P
y2
yn
将（5）代入（3）就得到
y1
（6） q(y1, y2,, yn)(y1, y2,, yn)PAPyy n2 矩阵P称为线性变换（4）的矩阵。如果P是非奇异
的，就称（4）是一个非奇异线性变换。因为A是
对称矩阵，所以 (P A ) P P A P P A .P AP
9.1.3 矩阵的合同
定义2 设A，B是数域F上的两个n 阶矩阵。如果存
在F上的一个非异矩阵P，使得 PA PB
那么称B与A合同。
矩阵的合同关系的性质：
① 自反性：任意矩阵A都与自身合同，因为IAI=A ② 对称性：如果B与A合同，那么A也与B合同，因为 由 PA PB可以得出
(P 1)B 1 P (P ) 1 B 1 P A
i1j1
令A(aij) 是（2）式右端的系数所构成的矩阵,称
为二次型 q(x1,x2,,xn)的矩阵。因为 aij aji ,
所以A是F上的一个n 阶对称矩阵，利用矩阵的乘法，
（2）式可以写成
（3）
x1 q(x1, x2, , xn) (x1, x2, , xn)A xx n2
二次型（3）的秩指的就是矩阵A的秩。
9.1.1 二次型及矩阵
定义1 设F是一个数域，F上n元二次齐次多项式 （1） q (x 1 ,x 2, ,x n ) a 1x 1 1 2 a 2x 2 2 2 a nx n n 2
2 a 1x 2 1x 2 2 a 1x 3 1x 3 2 a n 1 ,n x n 1x n
叫做F上的一个n 元二次型。