高中数学选修4-4-简单曲线的极坐标方程(教学校园)

f(,)=0有如下关系
（１）曲线Ｃ上任一点的坐标（所有坐标 中至少有一个）符合方程f(,)=0 ；
（２）以方程f(,)=0的所有解为坐标的 点都在曲线Ｃ上。
则曲线Ｃ的方程是f(,)=0 。
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二 求曲线的极坐标方程的步骤：
与直角坐标系里的情况一样 ①建系 （适当的极坐标系） ②设点 （设M（ ，)为要求方程的曲线上任意一点） ③列等式（构造⊿，利用三角形边角关系的定理列关于M的等式） ④将等式坐标化 ⑤化简 （此方程f(,)=0即为曲线的方程）
M
＝a
Or
x
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解：如果以圆心O为极点，从O出发的一条射线 为极轴建立坐标系（如图），那么圆上各点的几 何特征就是它们的极径都等于半径r.
设M (, )为圆上任意一点，则OM r,即 ＝r
显然，使极点与圆心重合时的极坐标方程在形式 上比(1)简单。
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例3.半径为a的圆的圆心坐标为(a,/2)(a>0)
＝5 3 cos 5sin，
求在直角坐标系下圆心坐标和半径。
解：＝5 3 cos 5sin两边同乘以得
2＝5 3 cos－5 sin即化为直角坐标为
x2 y2 5 3x 5y 即(x 5 3 )2 ( y 5)2 25
2
2
所以圆心为(5 3 , 5),半径是5 22
你可以用极坐标方程直接来求吗？
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6、已知圆C1 : 2cos,圆C2 : 2 2 3 sin 2 0,
试判断两圆的位置关系。
解：将两圆都化为直角坐标方程为 C1 : (x 1)2 y2 1,圆心O1(1,0)半径为1 C2 : x2 ( y 3)2 1，圆心O2 (0, 3)半径为1 O1O2 2所以两圆相外切。
根据余弦定理,得
CP2=OC2+OP2-2OC·OP·cos(θ-θ1), 即r2=ρ12+ρ2-2ρ1ρcos(θ-θ1). 也就是ρ2-2ρ1ρcos(θ-θ1)+(ρ12-r2)=0.
即：2+ 1 2 -2 1 cos( - 1)= r2
这就是圆在极坐标系中的一般方程.
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圆的几种极坐标方程
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四 直线的极坐标方程：
思考：在平面直角坐标系中 过点(3,0)且与x轴垂直的直线方程为 x=3 ; 过点(2,3)且与y轴垂直的直线方程为 y=3
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例1：
⑴求过极点，倾斜角为 4 的射线的极坐标方程。
M
﹚4
o
x
( 0)
4 教资优选
22
5
（2）求过极点，倾斜角为 4 的射线的极坐标方程。
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已知一个圆的极坐标方程是＝5 3 cos 5sin，
求圆心坐标和半径。
解：原式可化为
＝10(cos 3 sin 1) 10 cos( )
2
2
6
所以圆心为(5, ),半径为5
6
结论：
圆心为(a,1)(a 0)半径为a，圆的极坐 标方程为＝2a cos(教资优选1)，此圆过极点O。15
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1
复习
1、极坐标系的四要素
极点；极轴；长度单位；角度单位
及它的正方向。 2、点与其极坐标一一对应的条件
0, [0,2 )
3、极坐标与直角坐标的互化公式
2 x2 y2 , tan y ( x 0)
x
x cos , y sin
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2
曲线的极坐标方程
一 定义：如果曲线Ｃ上的点与方程
4
44
教资优选
18
4、圆＝10cos( )的圆心坐标是（ C ）
A、(5,0)
3
B、(5,
)
3
C、(5, )
3
D、(5, 2 )
3
5、写出圆心在点A(2, )处且过极点的圆的
2
极坐标方程，并把它化成直角坐标方程。
解：＝4 cos( ) 4sin
2
化为直角坐标系为 2＝4 sin
即x2 y2 4 y x2 ( y 2)2 4
求圆的极坐标方程。
＝2asin
AM
O
x
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例4.如图，半径为a的圆的圆心坐标为
Ca,1 a>0)，圆的极坐标方程？
M (,) A
C a,1
O
x
2a cos( 1)
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例5.如图，Ｃ(1,1)，半径为r圆的极坐标方
程？
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解:设P(ρ,θ)为圆周上任意一点,如下图所示,在 △OCP中,CP=r,OC=ρ1,OP=ρ.
(1)中心在＝极a点，半径为a；
(2)中心在Ｃ(a,0)，半径为a；
＝2acos
(3)中心在(a,/2)，半径为a；
＝2asin
(4)中心在(a,1)，半径为a；
2a cos( 1)
(5)中心在Ｃ(1,1)，半径为r。
2+ 1 2 -2 1 cos( - 1)= r2
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思考：已知一个圆的极坐标方程是
中 OM OA cos MOA即＝2a cos...........(1)
可以验证，点O(0, ), A(2a, 0)的坐标满足等式(1)
2 所以，等式(1)就是圆上任意一点的极坐标(, )
满足的条件，另一方面，可以验证，坐标适合
等式(1)的点都在这个圆教上资优。选
6
例2.已知圆O的半径为r，极坐标方程？
4
曲线是 （ D ）
A、双曲线
B、椭圆
C、抛物线
D、圆
解：该方程可以化为＝cos( )
4
以(1 , )为圆心，1 为半径的圆。
24
2
教资优选
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解：＝cos cos sin sin
4
4
2 2 cos 2 sin即
2
2
x2 y2 2 x 2 y 0 22
(x 2 )2 (y 2 )2 1
练习2
1.以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为 半径的圆的方程是( )
A. 2 cos B. 2 sin
4
4
C . 2cos 1 D. 2 sin 1
2、曲线的极坐标方程＝4sin 化为直角坐标
方程是什么？ x2 ( y 2)2 4
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3、极坐标方程 cos( )所表示的
5 ( 0)
4
（3）求过极点，倾斜角为 4 的直线的极坐标方程。
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4
例1.半径为a的圆的圆心坐标为(a,0)(a>0)， 极坐标方程：
＝2acos
M (,)
O
A
C(a,0)
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x
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解：圆经过极点O。设圆与
M (,)
极轴的另一个交点
是A，那么 OA ＝2a,
O
A
C(a,0)
x
设M (, )为圆上除点O，A
以外的任意一点，那么OM AM。在RtAMO