北约数学试题
“北约”自主招生数学试题及解答(2010-2012)
2010年“北约”自主招生数学试题及解答1．（仅文科做）02απ<<，求证：sin tan ααα<<． 【解析】 不妨设()sin f x x x =-，则(0)0f =，且当02x π<<时，()1cos 0f x x '=->．于是()f x 在02x π<<上单调增．∴()(0)0f x f >=．即有sin x x >． 同理可证()tan 0g x x x =->．(0)0g =，当02x π<<时，21()10cos g x x '=->．于是()g x 在02x π<<上单调增。
∴在02x π<<上有()(0)0g x g >=。
即tan x x >。
注记：也可用三角函数线的方法求解．2．AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB（25分） 【解析】 以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．⑴当,A B 中有一点位于P 点时，知另一点位于1R 或者2R 时有最大值为1PR ；当有一点位于O 点时，1max AB OP PR =<；⑵当,A B 均不在y 轴上时，知,A B 必在y 轴的异侧方可能取到最大值（否则取A 点关于y 轴的对称点A '，有AB A B '<）．不妨设A 位于线段2OR 上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是合理的），则使AB 最大的B 点必位于线段PQ 上．且当B 从P 向Q 移动时，AB 先减小后增大，于是max AB AP AQ =或；对于线段PQ 上任意一点B ，都有2BR BA ≥．于是22max AB R P R Q == 由⑴，⑵知2max AB R P =．不妨设为x ．下面研究正五边形对角线的长．IHG F E 1111x x-1如右图．做EFG ∠的角平分线FH 交EG 于H ． 易知5EFH HFG GFI IGF FGH π∠=∠=∠=∠=∠=． 于是四边形HGIF 为平行四边形．∴1HG =． 由角平分线定理知111EFEH x FG x HG ===-．解得x =3．AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值．（25分）【解析】 不妨设过A 点的切线交x 轴于点C ，过B 点的切线交x 轴于点D ，直线AC 与直线BD 相交于点E ．如图．设1122(,),(,)B x y A x y ，且有222211121,1,0y x y x x x =-=->>．由于2y x '=-，于是AC 的方程为2222x x y y =--；① BD 的方程为1122x x y y =--． ②联立,AC BD 的方程，解得121221(,1)2()y y E x x x x ---． 对于①，令0y =，得222(,0)2y C x -；对于②，令0y =，得112(,0)2y D x -． 于是221212121222112222y y x x CD x x x x --++=-=-． 121(1)2ECD S CD x x ∆=-．不妨设10x a =>，20x b -=>，则 2222111111()(1)(22)44ECD a b S ab a b a b ab a b a b∆++=++=+++++1111()(2)(2)44a b ab ab ab ab=+++⋅++≥ ③0s >，则有331111111(2)(.....)223399ECD S s s s s s s s s ∆=++=++++++ 6个 9个1243691616111116)]8()29s s s ⋅⋅[⋅(⋅()=⋅≥3218)3=⋅(= ④又由当12x a x b s ==-==时，③，④处的等号均可取到．∴min ()ECD S ∆ 注记：不妨设311()(2)2g s s s s=++，事实上，其最小值也可用导函数的方法求解． 由2211()(32)2g s s s '=+-知当2103s <<时()0g s '<；当213s <时()0g s '>．则()g s 在(0,上单调减，在)+∞上单调增．于是当s =时()g s 取得最小值． 4．向量OA 与OB 已知夹角，1OA =，2OB =，(1)OP t OA =-，OQ tOB =，01t ≤≤．PQ在0t 时取得最小值，问当0105t <<时，夹角的取值范围．（25分） 【解析】 不妨设OA ，OB 夹角为α，则1,2OP t OQ t =-=，令 222()(1)42(1)2cos g t PQ t t t t α==-+-⋅-⋅2(54cos )(24cos )1t t αα=++--+． 其对称轴为12cos 54cos t αα+=+．而12()54x f x x +=+在5(,)4-+∞上单调增，故12cos 1154cos 3αα+-+≤≤． 当12cos 1054cos 3αα++≤≤时，012cos 1(0,)54cos 5t αα+=∈+，解得223αππ<<． 当12cos 1054cos αα+-<+≤时，()g t 在[0,1]上单调增，于是00t =．不合题意． 于是夹角的范围为2[,]23ππ．5．（仅理科做）存不存在02x π<<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．（25分） 【解析】 不存在；否则有(cos sin )(cos sin )cos sin cot tan sin cos x x x x x x x x x x-+-=-=， 则cos sin 0x x -=或者cos sin 1sin cos x x x x+=．若cos sin 0x x -=，有4x π=．而此时1,122不成等差数列；若cos sin 1sin cos x x x x+=，有2(sin cos )12sin cos x x x x =+．解得有sin cos 1x x =． 而11sin cos sin 2(0,]22x x x =∈，矛盾！2011年“北约”自主招生数学试题及解答2012年“北约”自主招生数学试题及解答《自主招生》三大系列《全国重点高校自主招生备考指南·高一、高二基础版》从从高高一一开开始始行行动动起起来来！！⊙专为高一、高二学生设计，细致分析自主招生关键信息，深入讲解自主招生备考方略。
北约自主招生文科数学试题
北约自主招生文科数学试题X-1与Y=-5X^2+2X+3的交点的直线方程。
3、（数列）在等差数列｛an（n下标）｝中，a3=-13，a7=3，Sn（n下标）为其前n项和。
问数列｛Sn（n下标）｝的哪一项最小？并求出最小项值。
4、（三函\不等式）在三角形ABC中，若a+b》=（大于等于）2c，证明：C《=（小于等于）60度。
5、（数论）是否存在四个正实数，使得两两之积分别为2、3、5、6、10、16？参考思路：1、可以用余弦定理：先利用已知三边求出平行四边形一角的余弦值，则另一角的余弦值可知（互为相反数），再求未知对角线；也可以利用解几中的重要结论：平行四边形的两对角线平方和等于四边平方和（不过要先建立坐标系证明该结论）。
2、最容易想到的方法自然是联立两抛物线方程，解出交点坐标，用两点式或点斜式表示……好吧，我承认这样做有点难算，不过其实也不算太难啦（最后化简结果似乎是不含根式的）。
当然，也可以先设直线方程Y=kX+b，与两抛物线分别联立，再对比所得交点的系数，从而得解（我的一位同学就是这样做的）。
3、常规题。
先求公差，再求通项，再求前n项和，最后利用二次函数的性质解之（注意n 为正整数），或利用an《=0且a（n+1）>=0解之（n和n+1下标）。
4、可以考虑反证法；不然就用余弦定理表示出cosC，把式子分子中的a、b利用原题中的不等式换成c，再用基本不等式，中间经过若干步转换，最后化简为cosC》=0.5，于是得证。
5、尚未解出。
数论问题对高中文科生来说还是难了一点……1、最刁钻的问题：火车开车前为什么会先退一步然后再前进？在采访了物理老师之后，得出的结论是：通常情况下,火车各节车厢之间的挂钩拉得很紧,牵引力必须克服整列火车与铁轨的最大静摩擦力才能启动。
只有尽量减小这种摩擦力对启动的影响,才能使火车顺利地开出车站。
火车先倒车,就是为了使车厢间挂钩松弛,再向前启动,使车厢逐节启动。
2、最文乎的考题：对“人之所以异于禽兽者几希”的看法。
清北学长精心打造——北约自主招生数学模拟试题及参考答案(五)
4． 已知方程|x－2n|=k x(n∈N*)在区间(2n－1，2n+1]上有两个不相等的实根，则 k 的取值范围 是( ) 1 (A)k>0 (B)0<k≤ 2n+1 1 1 (C) <k≤ 2n+1 2n+1 (D)以上都不是
解：由|x－2n|≥0，故 k≥0，若 k=0，可知在所给区间上只有 1 解．故 k>0． 1 由图象可得，x=2n+1 时，k x≤1．即 k≤ ．故选 B． 2n+1 又解： y=(x－2n)2 与线段 y=k2x(2n－1<x≤2n+1)有两个公共点． x2－(4n+k2)x+4n2=0 有(2n－1， 2n+1] 2 2 2 2 2 2 上 有 两 个 根 ． 故 △ =(4n+k ) － 16n >0 ． 且 (2n － 1) － (4n+k )(2n － 1)+4n >0 ， (2n+1)2 － 1 1 (4n+k2)(2n+1)+4n2≥0，2n－1<2n+ k2<2n+1． k≤ ． 2 2n+1 5． logsin1cos1，logsin1tan1，logcos1sin1，logcos1tan1 的大小关系 是 (A) (B) (C) (D) logsin1cos1< logcos1sin1< logsin1tan1< logcos1tan1 logcos1sin1< logcos1tan1< logsin1cos1< logsin1tan1 logsin1tan1< logcos1tan1< logcos1sin1< logsin1cos1 logcos1tan1< logsin1tan1< logsin1cos1< logcos1sin1
2019年北约自主招生数学试题
2019年北约自主招生数学试题
1、求x 的取值范围使得12)(-+++=x x x x f 是增函数；
2、求1210272611=+-+++-+x x x x 的实数根的个数；
3、已知0)2)(2(2
2
=+-+-n x x m x x 的4个根组成首项为
4
1
的等差数列，求n m -；
4、如果锐角ABC ∆的外接圆的圆心为O ，求O 到三角形三边的距离之比；
5、已知点)0,2(),0,2(B A -，若点C 是圆0222=+-y x x 上的动点，求ABC ∆面积的最小值。
6、在2012,,2,1Λ中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，最多能取多少个数？
7、求使得a x x x x =-3sin sin 2sin 4sin 在),0[π有唯一解的a ；
8、求证：若圆内接五边形的每个角都相等，则它为正五边形；
9、求证：对于任意的正整数n ，n )21(+必可表示成1-+s s 的形式，其中+∈N s
2019年自主招生北约联考数学试题解答。
2013年北约自招数学模拟试题1
2013年自主招生数学仿真试题—北约（ 考试时间：90分钟，总分100分）一、选择题（每题4分，共40分）1.设][x 表示不超过x 的最大正整数。
若][,][x N x M ==（其中1≥x ），则一定有______【A 】N M > 【B 】N M = 【C 】N M < 【D 】以上答案都不对 2.过椭圆123:22=+y x C 上任一点P ，作椭圆C 的右准线的垂线PH （H 为垂足），延长PH 到点Q ，使)1(||||≥=λλPH HQ 。
当点P 在椭圆C 上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取值范围是_________【A 】]33,0( 【B 】]23,33( 【C 】)1,33[ 【D 】)1,23( 3.甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止。
设甲在每局中获胜的概率为32，乙在每局中获胜的概率为31，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X 的数学期望)(X E 为_______ 【A 】81241 【B 】81266 【C 】81274 【D 】243670 4.设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边c b a ,,成等比数列，则B C B A C A cos cot sin cos cot sin ++的取值范围是______【A 】),0(+∞ 【B 】)215,0(+ 【C 】)215,215(+- 【D 】),215(+∞- 5.已知2013321,,,,x x x x 是2013个正数，且1111111112013321=++++++++x x x x ，则2013321,,,,x x x x 这2013个正数中________【A 】小于1的数最多只有1个 【B 】肯定有比2012大的数【C 】肯定有比2012小的数 【D 】必有一个数为2013 6.若,31,1,2=++≤∈z z z C z 则z 的值的个数为_______【A 】0 【B 】1 【C 】2 【D 】37.如果θθθθsin cos cos sin 33->-，且)2,0(πθ∈，那么角θ的取值范围是______【A 】)4,0(π 【B 】)43,2(ππ 【C 】)45,4(ππ 【D 】)2,45(ππ 8.有4种不同颜色的小球各5个，从这20个小球中任取5个，取出的这5个小球中，恰有2种或3种颜色的所有取法有________【A 】2400种 【B 】10 500种 【C 】9150种 【D 】9300种9.如果若11<++ba ab ，则a 与b _________ 【A 】一个大于1，一个小于1 【B 】两个都大于1【C 】两个都小于1 【D 】两个的积都小于110.已知R x i x k x x f i k ∈-++=∑∑==,||||)(2012120121，且)1()23(2-=+-a f a af ，则a 的值的个数为________【A 】0 【B 】1 【C 】2 【D 】无数个二、解答题（每题12分，共60分）11、若121,,,,+n n x x x x 均为小于1的非负实数.证明：其中一定存在两个数，其差的绝对值小于n1.12、在四边形ABCD 中，.1,2,3,4====AD CD BC AB（1）若四边形ABCD 为圆内接四边形，求四边形ABCD 的面积；（2）求四边形ABCD 的最大面积。
2013北约自主招生数学试题
2013年北约自主招生数学试题一、选择题（每题8分，共48分）1. 1_______．A 、2B 、3C 、5D 、62. 在66⨯棋盘上放3个完全相同的红色的车和3个完全相同的黑色的车，若这6个车不在同一行也不在同一列上，则不同的放法有________种．A 、720B 、518400C 、20D 、144003. 在ABC △中，D 为BC 边的中点，DM 平分ADB ∠交AB 于M ，DN 平分ADC ∠交AC 干N ，则B M C N +与MN 的大小关系是_________．A 、BM CN MN +>B 、BM CN MN +=C 、BM CN MN +<D 、不能确定4. 若225x y =+，225y x =+（x y ≠），则32232x x y y -+的值为_________．A 、10-B 、12-C 、14-D 、上述答案都不对5. n S 表示数列{}1n n a ≥前n 项的和．已知11a =，142n n S a +=+，1n ∀≥，则2013a 等于______．A 、201230192⋅B 、201330192⋅C 、201230182⋅D 、上述答案都不对6. 复数A ，B ，C 的模都等于1且0A B C ++≠，则复数AB BC CA A B C ++++的模等于_____． A 、12 B 、1 C 、3D 、不能确定二、解答题（每题18分，共72分）7. 至多可以找到多少个两两不同的正整数使得它们中任意三个的和都是质数？证明你的结论．8. 实数1a ，2a ，…，2013a 满足1220130a a a +++=…，122320131222a a a a a a -=-==-…． 求证：1220130a a a ====…．9. 对任意θ，求632cos cos66cos415cos2θθθθ---的值．10. 设有mn 个实数排成一个m 行n 列的阵列{}ij m n a ⨯，使得每一行上的n 个数从左到右都按递增的顺序排列，即对任意1i m ≤≤，当12j j <时有12ij ij a a ≤.下面把每列上的m 个数从上到下都按递增的顺序重排得到阵列{}ij m n a ⨯'，即对任意1j n ≤≤，当12i i <时有12i j i j a a ''≤， 问这个新的阵列{}ij m n a ⨯'每一行中的n个数的大小顺序如何？给出结论并说明理由．。
2008-2011北京大学(北约)自主招生数学试题(全附答案)
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答案： 1、 不妨设角 ADC 为 a,那么角 ABC=π-a。 由余弦定理可得 AC=根号（9+16-24cosa)=根号(1+4+4cosa) 从而可解出 cosa=5/7.即有 sina=2(根号 6)/7. 代入 cosa=5/7,可得 AC=根号（55/7). 所以圆的半径就是 AC/2sina. 2、设 13=a1+md,25=a1+nd,41=a1+kd. 那么我们可得 a1+(m+499(k+m-2n))d=2009. 而实际上这道题是有漏洞的，因为 (m+499(k+m-2n))可能是负的，也就是当这是递减的等差数列的时候，那么 2009 就不在这个 数列中了。 3、 挺简单，设 a=tanx+（根 3）,b=cotx+(根号 3）,假设均为有理数。 那么由(a-（根号 3） ） （b-（根号 3） ）=1 可得（a+b）根号 3=ab+2.若 a+b 非零，除过来就矛盾了。 所以必有 a+b=0，此时 ab+2 也是 0. 显然与 a，b 是有理数矛盾。 4、b=0 的时候可知得有|a|≤1.,此时 a+b≤1.下面考虑 b 不等于 0 的情况。 代入+1 和-1 后得出的式子可以化成|a|≤b+1.....(1)（必有 b≥-1) 对称轴的位置是 x=-a/4b.当对称轴在[-1,1]外的时候 那么 1≤|-a/4b|≤(b+1)/4|b|. 分类讨论后就可以得出 b≤1/3.此时 a+b≤b+1+b≤5/3. 若对称轴在[-1,1]内，则可得 a^2≤8（b-b^2)......(2) 这里注意到(b+1)^2-8(b-b^2)=(3b-1)^2≥0.故只需要(2)式成立,就必有 (1)式也成立。此时用柯西不等式 (a+b-1/2)^2≤（a^2+8(b-1/2)^2)(1+1/8)≤9/4 那么就有了 a+b≤2.等号成立的充要条件是 a=4/3,b=2/3,易验证这是成立的. 比较三种情况，显然 2 是 a+b 的最大值， 5、设优秀有 a 人，及格 b 人，不及格 c 人。 则 a+b+c=333 ① 6a+4b+0c≤1000（这里都取各层次里的最少人，故用小于等于） 即 6a+4b≤1000 即 3a+2b≤500 由①得 2a+2b=666-2c 即 a+666-2c≤500 即 a+166≤2c 若 a≥167 则这 167 人至少共解出 167*6=1002 道题，矛盾 故 a≤166 故 a+166≤166+166≤2c 即 c≥166 所以 c≥166≥a 即不及格得人数大于等于优秀的人数
北约2020年自主招生数学试题
2020年北约自主招生数学试题与答案2020-03-16（时间90分钟，满分120分）(33312(7)(232)2(63)40g a b c d e a b c d a b c =-+----+++++=702320a b c d e a b c d +---=⎧⇒⎨+++=⎩ 即方程组：420(1)20(2)70(3)2320(4)630(5)a c eb d a bcde a b c d a b c ++=⎧⎪+=⎪⎪+---=⎨⎪+++=⎪++=⎪⎩，有非0有理数解. 由（1）+（3）得：110a b c d ++-= （6） 由（6）+（2）得：1130a b c ++= （7） 由（6）+（4）得：13430a b c ++= （8） 由（7）-（5）得：0a =，代入（7）、（8）得：0b c ==，代入（1）、（2）知：0d e ==.于是知0a b c d e =====，与,,,,a b c d e 不全为0矛盾.所以不存在一个次数不超过4的有理系数多项式()g x 2312-2312为两根的有理系数多项式的次数最小为5.1． 在66⨯的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行每一列只有一辆车，每辆车占一格，共有几种停放方法？ A. 720 B. 20 C. 518400 D. 14400解析：先从6行中选取3行停放红色车，有36C 种选择.最上面一行的红色车位置有6种选择；最上面一行的红色车位置选定后，中间一行的红色车位置有5种选择；上面两行的红色车位置选定后，最下面一行的红色车位置有4种选择。
三辆红色车的位置选定后，黑色车的位置有3！=6种选择。
所以共有36654614400C ⨯⨯⨯⨯=种停放汽车的方法. 2． 已知2225,25x y y x =+=+，求32232x x y y -+的值. A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 解析：根据条件知：32232(25)2(25)(25)(25)x x y y x y y x y x -+=+-++++1515450x y xy =---由2225,25x y y x =+=+两式相减得()()22x y x y y x -+=-故y x =或2x y +=-①若x y =则225x x =+，解得1x =±于是知1x y ==+1x y ==当1x y ==+3223222415()50430504(25)3870x x y y xy x y x x x x x -+=-++-=---=-----3870108x =--=--.当1x y ==3223222415()50430504(25)3870x x y y xy x y x x x x -+=--+-=---=-+---22(25)(25)2()2x y y x y x x y +=+-+=-⇒+=-3870108x =--=-+.（2）若x y ≠，则根据条件知：22(25)(25)2()2x y y x y x x y +=+-+=-⇒+=-，于是22(25)(25)2()106x y y x x y +=+-+=++=，进而知222()()12x y x y xy +-+==-. 于是知：32232415()5016x x y y xy x y -+=-+-=-.综上所述知，32232x x y y -+的值为108-±或16-.3． 数列{}n a 满足11a =，前n 项和为1,42n n n S S a +=+，求2013a . A. 3019⨯22020B. 3019⨯22020C. 3018⨯22020D.无法确定解析：根据条件知：1221221424244n n n n n n n n n a S a S a a a a a ++++++++==+=++⇒=-.又根据条件知：1212121,425a S a a a a ==+=+⇒=.所以数列{}1221:1,5,44n n n n a a a a a a ++===-.又212114422(2)n n n n n n n a a a a a a a +++++=-⇔-=-.令12n n n b a a +=-，则11212,23n n b b b a a +==-=，所以132n n b -=⋅.即11232n n n a a -+-=⋅.对11232n n n a a -+-=⋅，两边同除以12n +，有113224n n n n a a ++-=，即113224n n n n a a ++=+.令2n nn a c =，则134n n c c +=+，11122a c ==，于是知1331(1)244n n c n -=+-=.所以231,2(31)24nn n n a n --==-⋅.于是知：201120122013(320131)230192a =⨯-⋅=⋅.5．如图，ABC ∆中，AD 为BC 边上中线，,DM DN 分别,ADB ADC ∠∠的角平分线，试比较BM CN +与MN 的大小关系，并说明理由. A. BM+CN>MN B. MN +CN <MN C. BM+CN =MN D.无法确定解析：如图，延长ND 到E ，使得DE DN =，连接BE ME 、.易知BDE CDN ∆≅∆，所以CN BE =.又因为,DM DN 分别为,ADB ADC ∠∠的角平分线，所以90MDN ∠=︒，知MD 为线段EN 的垂直平分线，所以MN ME =.所以BM CN BM BE ME MN +=+>=.6.模长为1的复数A B C 、、，满足0A B C ++≠，求AB BC CAA B C++++的模长.A. -1/2B. 1C. 2D.无法确定 解析：根据公式z z z =⋅1,1,1A A B B C C ⋅=⋅=⋅=.于是知：AB BC CAAB BC CA AB BC CAA B CA B C A B C++++++=⋅++++++()()()()ABCC ABCC BCAA BCAA C ABB CABB AABB BBCC CCAA AB AB BC BC C A CA AA BB CC ++++++++=++++++++1==.所以AB BC CAA B C++++的模长为1.7．最多能取多少个两两不等的正整数，使得其中任意三个数之和都为素数. 解析：所有正整数按取模3可分为三类：3k 型、31k +型、32k +型.首先，我们可以证明，所取的数最多只能取到两类.否则，若三类数都有取到，设所取3k 型数为3a ，31k +型数为31b +，32k +型数为32c +，则3(31)(32)3(1)a b c a b c ++++=+++，不可能为素数.所以三类数中，最多能取到两类.其次，我们容易知道，每类数最多只能取两个.否则，若某一类3(012)k r r +=、、型的数至少取到三个，设其中三个分别为333a r b r c r +++、、，则(3)(3)(3)3()a r b r c r a b c r +++++=+++，不可能为素数.所以每类数最多只能取两个.结合上述两条，我们知道最多只能取224⨯=个数，才有可能满足题设条件. 另一方面，设所取的四个数为1、7、5、11，即满足题设条件. 综上所述，若要满足题设条件，最多能取四个两两不同的正整数.8．已知1232013a a a a R ∈L 、、、、，满足12320130a a a a ++++=L ，且122334201220132013122222a a a a a a a a a a -=-=-==-=-L ，求证：12320130a a a a =====L .解析：根据条件知:122334************(2)(2)(2)(2)()0a a a a a a a a a a a a -+-+-++-=-++++=L L ，（1）另一方面，令122334201312222a a a a a a a a m -=-=-==-=L ，则122334201312222a a a a a a a a ----L 、、、、中每个数或为m ，或为m -.设其中有k 个m ，(2013)k -个m -，则：12233420131(2)(2)(2)(2)(2013)()(22013)a a a a a a a a k m k m k m-+-+-++-=⨯+-⨯-=-L （2）由（1）、（2）知：(22013)0k m -= （3）而22013k -为奇数，不可能为0，所以0m =.于是知：12233420122013201312,2,2,,2,2a a a a a a a a a a =====L .从而知：2013112a a =⋅，即得10a =.同理可知：2320130a a a ====L .命题得证.9．对任意的θ，求632cos cos66cos 415cos 2θθθθ---的值. 解析：根据二倍角和三倍角公式知：632cos cos66cos 415cos 2θθθθ---622232cos (2cos 31)6(2cos 21)15(2cos 1)θθθθ=------63222232cos 2(4cos 3cos )162(2cos 1)115(2cos 1)θθθθθ⎡⎤⎡⎤=--------⎣⎦⎣⎦664242232cos (32cos 48cos 18cos 1)(48cos 48cos 6)(30cos 15)θθθθθθθ=--+---+--10=.10．已知有mn 个实数，排列成m n ⨯阶数阵，记作{}mxnija ，使得数阵中的每一行从左到右都是递增的，即对任意的123i m =L 、、、、，当12j j <时，都有12ij ij a a ≤.现将{}mxnija 的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的m n ⨯阶数阵，记作{}mxnij a '，即对任意的123j n =L 、、、、，当12i i <时，都有12i j i j a a ''≤.试判断{}mxnija '中每一行的n 个数的大小关系，并说明理由.解析：数阵{}mxnija '中每一行的n 个数从左到右都是递增的，理由如下：显然，我们要证数阵{}mxnija '中每一行的n 个数从左到右都是递增的，我们只需证明，对于任意123i m =L 、、、、，都有(1)iji j a a +''≤，其中1231j n =-L 、、、、. 若存在一组(1)pq p q a a +''>.令(1)(1)k k q i q a a ++'=，其中123k m =L 、、、、，{}{}123,,,,1,2,3,,m i i i i m =L L .则当t p ≤时，都有(1)(1)(1)tti q i q t q p q pq a a a a a +++'''≤=≤<.也即在(123iq a i =L 、、、、m)中，至少有p 个数小于pq a '，也即pq a '在数阵{}mxnija '的第q 列中，至少排在第1p +行，与pq a '排在第p 行矛盾.所以对于任意123i m =L 、、、、，都有(1)iji j a a +''≤，即数阵{}mxnij a '中每一行的n 个数从左到右都是递增的.。
2019年北约自主招生数学试题
2019年北约自主招生数学试题
参考答案
1、求x 的取值范围使得12)(-+++=x x x x f 是增函数；
2、求1210272611=+-++
+-+x x x x 的实数根的个数；
3、已知0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的4个根组成首项为4
1的等差数列，求n m -；
4、如果锐角ABC ∆的外接圆的圆心为O ，求O 到三角形三边的距离之比；
5、已知点)0,2(),0,2(B A -，若点C 是圆0222=+-y x x 上的动点，求ABC ∆面积的最小值。
6、在2012,,2,1 中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，最多能取多少个数？
7、求使得a x x x x =-3sin sin 2sin 4sin 在),0[π有唯一解的a ；
8、求证：若圆内接五边形的每个角都相等，则它为正五边形；
9、求证：对于任意的正整数n ，n )21(+必可表示成1-+s s 的形式，其中+∈N s
2018年自主招生北约联考数学试题解答。
2014年北约联考数学试题
2014年“北约”联考试题1. 圆心角为π3的扇形面积为6π，求它该扇形围成圆锥的表面积.2. 将10个人分成3组，其中一组4人，另外两组每组各3人，一共有多少种分法？3. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()()221=14=733f a f b a b f f f ++⎛⎫=⎪⎝⎭，，，求()2014f 的值.4. 已知()()2lg 2f x x ax a =-+的值域为R ，求a 的取值范围.5. 已知1x y +=-，且x y ，都为负实数，求1xy xy+的取值范围.6. 已知22()arctan 14x f x C x +=+-在1144⎛⎫- ⎪⎝⎭，上为奇函数，求C 的值.7. 求证：tan 3是无理数.8. 已知实系数二次函数()()f x g x 与，方程()()f x g x =有两个相等的实数根，方程3()+()=0f x g x 有两个相等的实数根，方程()0f x =有两个不相等的实数根，求证：方程()=0g x 没有实数根.9. 已知12313a a a a ⋅⋅⋅，，，，是等差数列，{|113}i j k M a a a i j k =++≤<<≤，问：716023，，是否可以同时在M 中，并证明你的结论.10. 已知0(123)i x i n >=⋅⋅⋅，，，，,11nii x==∏，求证：))11nni i x =≥∏.【答案与解析】1. 解：根据扇形面积的计算公式212S R α=得21π6π23R =⨯⨯， 解得扇形的半径6R =，即圆锥的母线长6l =，扇形的弧长为π62π3R α=⨯=. 圆锥的底面圆的周长就是扇形的弧长，由此求得圆锥的底面半径1r =， 所以圆锥的表面积22πππ16π17πrl r =+=⨯⨯+⨯=.2. 解：一共有4331063C C C 21002!= 种分法.3. 解：在()()2233f a f b a b f ++⎛⎫=⎪⎝⎭中， 令=4=1a b ，，得()()()4214212=333f f f f ++⨯⎛⎫==⎪⎝⎭； 令=1=4a b ，，得()()()1241243=533f f f f ++⨯⎛⎫==⎪⎝⎭. 由()()()()1=12=33=54=7f f f f ，，，猜想()*=21()f n n n -∈N ，下面用第二数学归纳法证明：①当1n =，2，3，4时，命题显然成立； ②假设当(5)n k k <≥时，命题成立，则当n k =时，在()()2233f a f b a b f ++⎛⎫=⎪⎝⎭中， 令=3=a k b k -，，得()()()32321=33f k f k k k f k f -+-+⨯⎛⎫-=⎪⎝⎭， 由()()1=2(1)13=2(3)1f k k f k k ------，，解得()=21f k k -，命题亦成立. 综上得()*=21()f n n n -∈N ，所以()2014=4027f .4. 解：令22u x ax a =-+，若()()2lg 2lg f x x ax a u =-+=的值域为R ，由对数函数的图象知u 的取值范围即值域应包含()0+∞，. 由22u x ax a =-+的图象可知u 的值域包含()20+2=00x ax a ∞⇔-+∆≥，方程的， 由此解得a 的取值范围为(][)01+-∞∞ ，，.5. 解：由1x y +=-得=(1)xy x x --，由x y ，都为负实数得010x x <⎧⎨--<⎩，，解得10x -<<，所以21=(1)=04xy x x x x ⎛⎤----∈ ⎥⎝⎦，.因为11()04f t t t⎛⎤=+ ⎥⎝⎦在，上是单调递减的，所以1xy xy +的取值范围为17+4⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭，.6. 解：因为22()arctan14x f x C x +=+-在1144⎛⎫- ⎪⎝⎭，上为奇函数，所以220(0)arctan = arctan2+=0140f C C +⨯=+-⨯，解得= arctan2C -.7. 证明：有理数*()p r p r q s q s ∈∈Z N ，，，，的和p r ps qr q s qs ++=，差p r p s q r q s q s--=，积p r prq s qs⨯=，商(0)p r ps r q s qr ÷=≠仍为有理数. 用反证法证明：假设tan 3不是无理数，即是有理数，则根据222tan 32tan 6tan 3tan12tan 6tan12tan151tan 31tan 61tan 3tan12+===+++，，，知tan15是有理数，但tan 45tan 30tan15tan(4530)21tan 45tan 30-=-==-+所以假设不成立，即tan 3是无理数.8. 解：设22111222()()f x a x b x c g x a x b x c =++=++，，根据方程2121212()()()()(f x g x a a x b b x c c =-+-+，即-)=0有两个相等的实数根，得21121212()4()(=b b a a c c ∆=----)0，22112211122122(2)4()0b b b b a c a c a c a c -+---+=即.①根据方程21212123()+()=0(3+)(3+)(3+f x g x a a x b b x c c ++，即)=0有两个相等的实数根，得22121212(3+)4(3+)(3+=b b a a c c ∆=-)0，22112211122122(9+6)4(933)0b b b b a c a c a c a c +-+++=即.②根据方程2111()0=0f x a x b x c =++，即有两个不相等的实数根， 得231114b a c ∆=->0.③①3⨯+②得22121122(124)4(124)0b b a c a c +-+=， 2211122212(4)4(4)0b a c b a c -+-=即.④由③④得2222222240()=b a c g x a x b x c -<=++，即方程0没有实数根.9. 解：不妨设1(1)0n a a n d d =+->，其中. 用反证法证明：假设716023，，可以同时在M 中，则设1111111111=3113i j k a a a a i j k d i j k ++++≤<<≤+(-3)=0，，① 22212222227=31132i j k a a a a i j k d i j k ++++≤<<≤+(-3)=，，②333133333316=31133i j k a a a a i j k d i j k ++++≤<<≤+(-3)=，.③ ②-①得22211172i j k i j k d ++++[()-()]=，③-①得333111163i j k i j k d ++++[()-()]=，两式相除得222111333111i j k i j k i j k i j k ++++++++32[()-()]=21[()-()]，因为333111(3221)=1i j k i j k ++++，，所以32|[()-()], 所以333111i j k i j k ++++≥()-()32，但333111++=++=i j k i j k ++++的最大值为11121336，的最小值为1236， 即333111i j k i j k ++++()-()的最大值为30，矛盾， 所以假设不成立，716023，，不可以同时在M 中.10. 证法1：由算术—几何平均不等式得：11n i n =⎛≥= ⎝，11n i n =⎛⎫≥= ⎝，两式相加得11≥≥，1)1)nn i i x =≥∏即，故原不等式得证.证法2：用数学归纳法证明：①当1n =时，不等式显然成立； ②假设当(1)n k k =≥时不等式成立，则当1n k =+时，由111k ii x+==∏，知1231k x x x x +⋅⋅⋅，，，，中一定有某个i x 大于等于1，有某个j x 小于等于1，不妨设11k k x x +≥≤1，，则)))()1111110kk k k k k x x x x x x +++-=--≥，所以))111kk k k x x x x ++≥+.由归纳假设得：))11111111))1))k k k i i kk i k k i i i x x x x x x x +--++===⎡⎤+=≥⎣⎦∏∏∏11)1)k k +≥+=，即1n k =+时，不等式亦成立.综上得原不等式成立.。
清北学长精心打造——北约自主招生数学模拟试题及参考答案(四)
绝密★启用前清北学长精心打造——北约自主招生数学模拟试题(四)考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息<br/>2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（5*6=30分）1.已知函数()()432,,,f x x ax bx cx d a b c d =++++为实常数的图象经过三点12,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，13,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，14,4C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()()15f f +的值等于（） A ．0B ．1C ．265D ．252.已知函数()122,x f x -=-关于x 的方程()()220f x f x k -+=，下列四个命题中是假．命题的是（）A ．存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；B ．存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根；C ．存在实数k ，使得方程恰有6个不同的实根；D ．存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根；3.函数f 定义在正整数有序对的集合上，并满足(,),(,)(,),f x x x f x y f y x ==()(,)(,)x y f x y yf x x y+=+，则(14,52)f 的值为（ ）A ．364B ．182C ．91D ．无法计算4.二次函数c bx ax y ++=2的图象的一部分如图，则a 的取 值范围是 （ ）A ．01<≤-aB ．1->aC ．01<<-aD ．1-≤a5.关于x 、y 的方程20071111=++xy y x 的正整数解（x ，y ）的个数为（ ）A ．16B ．24C ．32D ．486.设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是 （ ）第II 卷（非选择题）二、填空题（6*6=36分）7.定义: 区间[](),c d c d <的长度为d c -. 已知函数3log y x =的定义域为[],a b , 值域为[]0,2，则区间[],a b 长度的最大值与最小值的差等于________.8.设na 是(3+x )n的展开式中x 项的系数(n=2, 3, 4,… ), 则当n ＞100时,223a +333a +…+nn a 3的整数部分的值为.9. 平面上给定ΔA 1A 2A 3及点p 0，定义A s =A s-3,s ≥4，构造点列p 0,p 1,p 2,…,使得p k+1为绕中心A k+1顺时针旋转1200时p k 所到达的位置，k=0,1,2,…,若p 1986=p 0.则ΔA 1A 2A 3为 三角形。
2013年北约自主招生数学试题
2013年综合性大学自主选拔录取联合考试（北约）数学试题一.选择题（每题8分，共48分）1.1为根的有理系数方程的最小次数为 ． A ． 2 B ．3 C ．5 D ．62.在66⨯棋盘上放3个完全相同的红色的车和3个完全相同的黑色的车，若这6个车不在同一行也不在同一列上，则不同的放法有 种．A ． 720B ．518400C ．20D ．144003.在ABC △中，D 为BC 的中点，DM 平分ADB ∠交AB 于M ，DN 平分ADC ∠交AC 于N ，则B M C N +与MN 的大小关系是 ．A ．BM CN MN +>B ．BM CN MN +=C ．BM CN MN +<D ．不能确定4.若222525x y y x ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，x y ≠，则32232x x y y -+的值为 ．A ．10-B ．12-C ．14-D ．以上答案均不对5.n S 表示数列{}n a （1n ≥）的前n 项和．已知11a =，且1n ∀≥，142n n S a +=+，则2013a 等于 ． 的模等于 ．k a 与l a 的几何平的算术平均．求证：3.实数12201,,,a a a 满足1220130a a a +++=，122320131222a a a a a a -=-==-．求证：1220130a a a ====．4.对任意θ，求632cos cos66cos415cos2θθθθ---的值．5.（理科）设有mn 个实数排成一个m 行n 列的阵列{}ij m na ⨯，使得每一行上的n 个数从左到右都按递增的顺序排列，即对任意1i m ≤≤，当12j j <时有12ij ij a a ≤．下面把每列上的m 个数都从上到下都按递增的顺序重排得到阵列{}ij m na ⨯'，即对任意的1j n ≤≤，当12i i <时有12i j i j a a ''≤，问这个新的阵列{}ij m na ⨯'每一行中的n 个数的大小顺序如何？给出结论并说明理由．2013年综合性大学自主选拔录取联合考试（北约）数学答案一、选择题（每题8分，共48分） 1.【解析】 C ．可以构造方程()()322120x x ⎡⎤--+=⎣⎦，于是次数不超过5．假设有3次方((()10x x x m ⎡⎤--=⎣⎦满足要求，则1m，(1m ⋅均为有理数．设m p =p 为有理数，(1m -⋅5155111636622222222222p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=--+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭可能为有理数．因此次数不小于4． 2.【解析】 D ．视6枚棋子均相同，记落在第i 行的的棋子在i a 列，则排列()126,,,a a a 与放法对应．于是633663A C C 14400⋅⋅=为所求． 3.【解析】 A ．E 点平化为2226x y x y +=-⎧⎨+=⎩，即21x y xy +=-⎧⎨=-⎩．是()214n n n a a a ++=-，即此()311242n n a n =-+，解得AB AC BA BC C A CB+++++二、解答题（每题18分，共72分） 1.【解析】 根据题意有2m na a +，又2k l a a +，于是22k l m na a a a ++>．因此k l m a a a a +>+．设()11n a a n d =+-，则k l m n a a a a +>+⇒()()()()11111111a k d a l d a m d a n d +-++->+-++-⇒k l m n +>+22k l m n++⇒> E N M D C B A2.【解析】 至多可以找到4个，如1,3,7,9．下面证明不能找到5个符合题意的正整数．考虑它们模3的余数，设余数为0、1、2的分别有a 、b 、c 个，则1°若a 、b 、c 均不为零，则存在三个数，它们的和为3的倍数，一定不是质数；2°若a 、b 、c 中有零，则根据抽屉原理，至少存在三个数，它们的余数相同．此时它们的和为3的倍数，一定不是质数． 综上，不能找到5个符合题意的正整数． 3．【解析】 令1122b a a =-，2232b a a =-，…，2013201312b a a =-，则122013b b b ===，1220130b b b +++=．设122013b b b ===m =，则122013,,,b b b 或者为m 或者为m -，设其中有x 个m ，2013x -个m -，则()()()122013201322013b b b mx m x m x +++=+--=-．由于220130x -≠，因此0m =．于是1220130b b b ====，进而易得1220130a a a ====． 4．【解析】 632cos cos66cos415cos2θθθθ---()()3321cos 2324cos 23cos 262cos 2115cos 22θθθθθ+⎛⎫=⋅----- ⎪⎝⎭10=5.．【解析】 新的阵列{}ij m na ⨯'中，每一行上的n 个数从左到右还是按递增的顺序排列．反证如下，若有某一行不是这样，不妨设第i 行上存在j k <且ij ik a a ''>．由新阵列的排法知()121k k ik ij mj i j a a a a a a +''''''≤≤≤≤≤≤≤．返回到原阵列{}ijm na ⨯讨论，i 个数1k a '，2k a '，…，ik a '都在原阵列的第k 列上，而剩余的()1m i -+个数ij a '，()1i j a +'，…，mj a '都在原阵列的第j 列上，由于这些数共有1m +个而总共有m 行，所以一定有1k a '，2k a '，…，ik a '中的某个数与ij a '，()1i j a +'，…，mj a '中的某个数在原阵列的同一行．故在原阵列的此行上，第j 列上的数大于第k 列上的数，与原阵列的排法矛盾．。
2014北约 高校自主招生数学试题及解答
2014北约一、解答题1.圆心角为60°的扇形面积为6π，求它围成的圆锥表面积2.将10人分成3组，一组4人，两组各3人，与多少种分法3.如果函数()f x =lg(22x ax a -+)的值域为R ，求实数a 的取值范围4.设2()3a b f +=()2()3f a f b +，且f (1)=1,f (4)=7，求f (2014)的值 5.已知x+y=-1,且x,y 都是负数，求xy+1xy 的最值 6.已知f(x)=arctan 2214x x +-+c 在(-14,14)是奇函数，求c 7.证明tan3°是无理数8.已知实系数二次函数f(x)和g(x)满足3f(x)+g(x)=0和f(x)-g(x)=0都有双重实根，如果已知f(x)=0有两个不同的实根，求证：g(x)=0没有实数根9.12,...13,,a a a 是等差数列，M={i j k a a a ++|1≤i<j<k ≤13},问0，72，163是否可以同时在M 中？并证明你的结论10.已知12,,...,n x x x ∈R +，且12......1n x x x =，求证12)n x x x ≥1)n ##Answer##1.【简解】扇形所在的圆半径为L ，围成的圆锥底面半径为r ，则2123L π⋅=6π，2πr=3πL ，解得L=6,r=1，圆锥的表面积=π2r +πrL=7π2.【简解】43310632!C C C =21003.【简解】t=22x ax a -+的值域包含(0,+∞),有零点,△=424a a -≥0,a ≥1或a ≤04.【解析】由已知f (2)=421()3f +⨯=(4)2(1)3f f +=3,f (3)=124()3f +⨯=(1)2(4)3f f +=5, 猜想f (n)=2n-1证明：n=1,2,3时，猜想成立假设n ≤k 时，猜想成立，则f (k-1)=(1)2(2)[]3k k f ++-=(1)2(2)3f k f k ++- f(k+1)=3f(k-1)-2f(k-2)=3(2k-3)-2(2k-5)=2k+3，即n=k+1时等式仍成立故f(n)=2n-15.【简解】设t=xy=|xy|=|x||y|≤2||||()2x y +=2()2x y --=14，等号成立当且仅当x=y=-12,则xy+1xy =t+1t在(0,14]上单调减，故t=14时，有最小值174，无最大值 6.【简解】f(0)=0，解得c=-arctan2，检验知满足条件，故c=-arctan27.【简解】假设tan3°是有理数，由二倍角公式知tan6°、tan12°、tan24°是有理数，于是tan30°=tan(6°+24°)是有理数，即3是有理数，矛盾。
北京大学(北约)2010~2014自主招生试题及答案(全)
2014年北京大学自主招生数学试题1. 圆心角为3π的扇形面积为6π，求它围成圆锥的表面积. 2. 将10个人分成3组，一组4人，两组每组3人，共有几种分法. 3. 2()2()(),(1)1,(4)733a b f a f b f f f ++===,求()2014f . 4.2()lg(2)f x x ax a =-+的值域为R ，求a 的取值范围.5. 已知1x y +=-，且,x y 都为负实数，求1xy xy+的取值范围. 6. 22()arctan14x f x C x +=+-在11,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上为奇函数，求C 的值. 一、求证：tan3Q ∉二、已知实系数二次函数()f x 与()g x ，()()f x g x =和()()30f x g x +=有两重根，()f x 有两相异实根，求证：()g x 没有实根.三、1213,a a a 是等差数列，{}113i j k M a a a i j k =++≤<<≤，问：7160,,23是否同在M 中，并证明你的结论.四、()01,2,,i x i n >=，且11n i i x ==∏，求证1)1)nn i i x =≥∏.答案1．π7； 2．2100； 3．4027)2024(12)(=⇒-=f x x f ； 4．1 00≥≤⇒≥∆a or a ；5．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,417；6．2arctan 0)0(-=⇒=C f 一、求证：Q ∉︒3tan解：若Q aab Q a ∈-=︒=⇒∈=︒2126tan 3tan ，Q ab b a c ∈-+=︒=⇒19tan Q bc cb d ∈-+=︒=⇒115tan 52518tan 41518sin 2-=︒⇒-=︒ 于是Q d d ∈-=⇒=-=︒233215tan ，从而矛盾。
二．实系数二次函数)(),(x g x f ，)()(x g x f =和0)()(3=+x g x f 有两重根，)(x f 有两相异根，求证：)(x g 无实数根。
北约自主招生能力测试数学试题(含参考答案
综合性大学自主选拔录取联合考试自然科学基础——理科试卷数学部分（北约）一、选择题（每小题8分，合计48分）1．圆心角为3π的扇形的面积为6π，则它围成的圆锥的表面积为（ B ）．A ．B ．7πC ．D ．解：由2166S R ππ==扇形得6R =，由263r ππ=⨯得1r =，故它围成的圆锥的表面积为267r πππ+=．2．将10个人分为3组，一组4人，另两组各3人，共有（ C ）种分法．A ．1070B ．2014C ．2100D ．4200解：433106321002C C C N ==． 3．已知2()2()()33a b f a f b f ++=，(1)1f =，(4)7f =，则(2014)f =（ A ）． A ．4027 B ．4028 C ．4029 D ．4030 解：421(4)2(1)(2)()333f f f f +⨯+===，124(1)2(4)(3)()533f f f f +⨯+===，猜想*()21()f n n n N =-∈，假设()21f n n =-对3(1)n k k ≤≥都成立，则(31)3(1)2(1)2(31)1f k f k f k +=+-=+-，(32)3(2)2(2)2(32)1f k f k f k +=+-=+-，(33)3(3)2(3)2(33)1f k f k f k +=+-=+-，所以*()21()f n n n N =-∈．4．若2()lg(2)f x x ax a =-+的值域为R ，则a 的取值范围是（ D ）．A ．01a ≤≤B ．C ．D ．0a ≤或1a ≥解：由题知，{}2(0,)2y y x ax a +∞⊆=-+，故2(2)40a a ∆=--≥，解得：0a ≤或1a ≥．5．已知1x y +=-，且x 、y 均为负实数，则1xy xy+有（ B ）． A ．最大值174 B ．最小值174 C ．最大值174- D ．最小值174-解：1()()x y =-+-≥104xy <≤，而函数1()f t t t=+在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞单调递增，故1()()4f xy f ≥，即1174xy xy +≥，当且仅当12x y ==-时取等号． 6．已知22()arctan14x f x C x +=+-在(,)44ππ-上为奇函数，则C =（ B ）． A ．0 B ．arctan 2- C ．arctan 2 D ．不存有解：由()0f x =得arctan(2)arctan 2C =-=-，此时()()f x f x +-22arctan14x x +=-22arctan 214x C x -+++4arctan()2arctan 203=--=，故arctan 2C =-符合题意．二、解答题（每题18分，共72分）7．证明：0tan3R ∉．证明：设0tan 3Q ∈，则0tan 6tan12tan 24tan 30tan(624)Q Q Q Q ∈⇔∈⇔∈⇔=+∈，这与0tan 303Q =矛盾． 8．已知实系数二次函数()f x 和()g x ，若方程()()f x g x =和3()()0f x g x +=都只有一个偶重根，方程()0f x =有两个不等的实根，求证：方程()0g x =没有实根． 解：设2()f x ax bx c =++，2()g x dx ex f =++，0ad ≠，所以2()4()()b e a d c f -=--，2(3)4(3)(3)b e a d c f +=++，所以223124b e ac df +=+，又240b ac ->，所以22()44(4)0g x e df b ac ∆=-=--<，所以方程()0g x =没有实根．9．已知1a ，2a ，…，13a 成等差数列，{}113i j k M a a a i j k =++≤<<≤，问：0，72，163是否能够同时在M 中？并证明你的结论．解：设该数列的公差为d ，∴p ∃，q ，*r N ∈，130a pd +=，173()2a p q d ++=，1163()3a p q r d +++=，∴2111q r =，∴21q ≥，11p ≥，又0123p ≥++=，∴35p q r ++≥， 又12111033p q r ++≤++=，与上式矛盾，故0，72，163不能够同时在M 中．10．i x （1i =，2，…，n ）为正实数，且11nii x==∏，求证：1)1)nn i i x =≥∏．解：由AM GM -不等式得：11(n i n =≥，11(ni n =≥两式相加得：1≥，故1)1)nn i i x =≥∏．。
“北约”“华约”2013年自主招生数学模拟试题及答案解析
“北约”“华约”2013年自主招生数学模拟试题5. 设P 是抛物线2440y y x --=上的动点,点A 的坐标为(0,1)-,点M 在直线PA 上,且分PA所成的比为2:1,则点M 的轨迹方程是 .第二部分：解答题（共5小题 每题20分） 1设集合()12log 32A x x ⎧⎫⎪⎪=-≥-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，21a B xx a ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭．若A B ≠∅ ，求实数a 的取值范围2. 为了搞好学校的工作，全校各班级一共提了P )(+∈N P 条建议.已知有些班级提出了相同的建议，且任何两个班级都至少有一条建议相同，但没有两个班提出全部相同的建议.求证该校的班级数不多于12-P 个3. 设平面向量1)a =- ,1(,)22b = .若存在实数(0)m m ≠和角((,))22ππθθ∈-,使向量2(tan 3)c a b =+- ,tan d ma b θ=-+ ,且c d ⊥ .(I)求函数()m f θ=的关系式; (II)令tan t θ=,求函数()m g t =的极值.4. 已知双曲线的两个焦点分别为1F ,2F ,其中1F 又是抛物线24y x =的焦点,点A (1,2)-, B (3,2)在双曲线上.(I)求点2F 的轨迹方程; (II)是否存在直线y x m =+与点2F 的轨迹有且只 有两个公共点?若存在,求实数m 的值,若不存在,请说明理由.5. 已知a ，b 均为正整数，且,sin )(),20(2sin ,2222θπθθn b a A ba ab b a n n ⋅+=<<+=>其中求证：对一切*N ∈n ，n A 均为整数参考答案一、选择题1. 由tan 2α=,得sin 2cos αα=,有22sin 4cos αα=,即221cos 4cos αα-=.则21cos 5α=,原式=222216cos 6cos 5cos 5cos 1αααα--==. 2.设x a bi=+,,a b R∈,代入原方程整理得22(2256)(45)0a b a b ab a b i --+-++-=有2222560450a b a b ab a b ⎧--+-=⎨+-=⎩,解得11a b =⎧⎨=⎩或3232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,所以1x i =+或3322x i =-.3. 直接求x 的个位数字很困难，需将与x 相关数联系，转化成研究其相关数. 【解】令])22015()22015[(,)22015()22015(82198219+++=+-+-=y x y 则])22015()22015[(8219-+-+，由二项式定理知，对任意正整数n.)2201515(2)22015()22015(22+⋅⋅+=-++-n n n n n C 为整数，且个位数字为零.因此，x y +是个位数字为零的整数.再对y 估值， 因为2.0255220155220150=<+=-<， 且1988)22015()22015(-<-， 所以.4.02.02)22015(201919<⨯<-<<y 故x 的个位数字为9.【评述】转化的思想很重要，当研究的问题遇到困难时，将其转化为可研究的问题. 4. 解：被7除余2的数可写为72k +. 由100≤72k +≤600.知14≤k ≤85.又若某个k 使72k +能被57整除，则可设72k +=57n . 即5722877n n k n --==+. 即2n -应为7的倍数. 设72n m =+代入，得5716k m =+. ∴14571685m ≤+≤. ∴m =0,1.于是所求的个数为70．5. 设点P 00(,)x y ,M (,)x y ,有0203x x +⨯=,02(1)3y y +⨯-=,得03x x =,032y y =+而2000440y y x --=,于是得点M 的轨迹方程是291240y x --=. 二、解答题1. 解：{}13A x x =-≤<，()(){}30B x x a x a =--<．当0a >时，{}03B x a x a =<<<，由A B ≠∅ 得03a <<；当0a <时，{}30B x a x a =<<<，由A B ≠∅ 得1a >-；当0a =时，{}20B x x =<=∅，与A B ≠∅ 不符．综上所述，()()1,00,3a ∈-2. 证明：假设该校共有m 个班级，他们的建议分别组成集合m A A A ,,,21 。
2013北约数学试题
6.复数ABC的模均为1（A+B+C≠0），则复数 的模为
A. B. 1 C. 3 D.ABC均不正确
7.求最多有多少两两不相同的正整数，其中任意三个数的和为质数？证明你的结论。
8.
9.已知ai, i=1,2,3,…,2013为2013个实数，满足a1+a2+a3+…+a2013=0且|a1- 2a2|=|a2–2a3|=…=|a2013-2a1|.求证a1=a2=a3=…=a2013=0
2013北约数学试题（回忆）
共10道题6道选择4道大题（共120分）
1.以√2和1 -3√2为根的方程最小次数为
A2 B 3 C 6 D无法确定
2.在6×6的棋盘中，分别有3个完全相同的红色棋子和黑色棋子。则六个棋子不在同一行或同一列的可能摆放情况有多少种
3.数列{an}中，a1=1, Sn=4(an- 1),则a2013的值为
4.在ABC中，D是BC的中点，DM平分∠ADB交AB于M，DN平分∠ADC交AC于N，则BM，CN和MN的关系怎样？
A. BM+CN＞Mபைடு நூலகம் B.BM+CN＜MN C.BM+CN=MN D.关系不确定
5.已知x2=2y+5,y2=2x+5（x≠y）。求x3-2x2y2+y3的值
北约联考数学模拟试题(2)
北约联考数学模拟试题（2）1．已知平行四边形两条邻边长分别是3和5，一条对角线长是6，求另一条对角线的长度.2. 在ABC △中，如果2a b c +≥，证明60C ∠≤.3．已知，222525x y y x =+=+，求32232x x y y -+的值.4. 已知22(2)(2)0x x m x x n -+-+=的4个根组成首项为14的等差数列，求m n -.5. 如果锐角ABC △的外接圆圆心为点O ，求点O 到三角形三边的距离比.6. 模长为1的复数,,x y z ，满足0x y z ++ ，求xy yz zxx y z++++的模长.7. 和1-8. 对任意的q，求6---的值.32cos cos66cos415cos2q q q q9．求()1+21+20111f x x x x =--⋅⋅⋅+-的最小值.10. 求证：对任意的正整数n ，(1n+*s ∈N .【答案与解析】1．【解】利用余弦定理可以证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和，=2.【证明】应用余弦定理、正弦定理、和差化积、倍角公式等.证法1：22a ba b c c ++≥∴≤ ，.在ABC △中使用余弦定理，222222223326212cos 22882a b a b a b c a b ab ab ab C ab ab ab ab +⎛⎫+- ⎪+-+--⎝⎭=≥≥≥=得， 60.C ∠≤故证法2：由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，将边的关系转变为角的关系，则原式等价于sin sin 2sin A B C +≥，所以11sincos 2222C A B -≤≤，当且仅当A B =时取=“”.因为0902C <<，所以302C≤ ，即60C ∠≤ .3.【解】将与222525x y y x =+=+两式相减得()(2)0x y x y -++=. ①若x y =，则225x x =+，解得1x y ==从而322334222222()2(25)[(25)]x x y y x x x x x x x x -+=-=-=+-+22(25)(5)2(21525)2[2(25)1525]x x x x x x =-++=-++=-+++3870108x =--=-②若x y ¹，则2x y +=-，则，2225252()106x y y x x y +=+++=++= 从而222()()12x y x y xy +-+==-，于是32232(25)2(25)(25)(25)x x y y x y y x y x -+=+-++++415()5016xy x y =--+-=-.综上所述，所求值为108- 16-.4.【解】注意到两个方程的一次项系数相同，所以由根与系数的关系有首项与末项之和为2， 因此末项为17244-=，这样可算得公差为12d =，于是4个根为13574444，，，， 这样17351=44442m n -⨯-⨯=.5.【解】设锐角ABC △的外接圆半径为R ，从点O 向BC 边作垂线，利用三角函数的定义容易得到点O 到BC 边的距离为1cos cos 2R BOC R A ∠=∠，同理可得点O 到AC 边的距离为cos R B ∠，点O 到AB 边的距离为cos R C ∠，所以点O 到三角形三边的距离比为cos :cos :cos cos :cos :cos R A R B R C A B C ∠∠∠=∠∠∠.6.【解】注意到1xx yy zz ===， 从而2xy yz zx xy yz zx xy yz zx x y zx y zx y z ++++++÷ç÷=ç÷÷ç++++++桫xy yz zx xy yz zxx y z x y z ++++=++++，313xy xy yz yz zx zx xy xy yz yz zx zx ++++++==++++++所以 1.xy yz zxx y z++=++7.【解】设存在次数不超过4的有理系数多项式432()f x ax bx cx dx e =++++满足题意，其中,,,,a b c d e 不全为零，则，，，，，，，0(10(42)(20(7)(232(63042020702320630f f a c e b d a b c d e a b c d a b c a c e b d a b c d e a b c d a b c ìï=ïïíï-=ïïîìï++++=ïïÞíï-+----+++++=ïïîìï++=ïïï+=ïïïï?---=íïï+++=ïïïï++=ïïî其中利用到了若存在p q r ∈Q ，，，使得+p ，则=0=0=0p q r ，，，证明如下：+pp q r r≠-假设，当=0时，若0，== 0r p ； 同理可证0===0p q r p q r 当，，中有一个为时，则.0p q r 当，，均不为时，将+p=0r ，由此可得2p r r q ----2==p r q p r q r q----，，从而得到p q===0p q r . 利用矩阵变换可以验证上述方程组无非零解，所以所求次数至少为5. 又显然有五次有理系数多项式23()(2)[(1)2]g x x x =--+满足题意， 所以所求次数最少为5.8.【解】632cos cos 66cos 415cos 2q q q q ---622232cos (2cos 31)6(2cos 21)15(2cos 1)q q q q =------63222232cos [2(4cos 3cos )1]6[2(2cos 1)1]15(2cos 1)q q q q q =--------10=.9.【解】由绝对值的几何意义联想到求距离的最小值，如+x a x b --的最小值应该在数轴上a b ，两点之间取得，且最小值为a b -，所以将()f x 整理为1111111()1++++2233320112011f x x x x x x x x x =---+---+⋅⋅⋅+-+-+⋅⋅⋅12011x +-，共有123201110062011+++⋅⋅⋅+=⨯项，则()f x 可以理解为x 到这10062011⨯个点的距离之和.从两端开始向中间靠拢，每两个绝对值和的最小值都是在相应的零点之间取得，而且范围是包含关系，比如11+2011x x --的最小值是在112011x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上取得，11+22011x x --的最小值在1120112x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上取得，所以()f x 的最值应该在正中间的某个零点或相邻两个零点之间取得.由1006201150320112⨯=⨯可知取得最小值的范围在第5032011⨯个零点和第50320111⨯+个零点之间（这两个零点也可能相等），由(1)50320112n n +<⨯算得1421n ≤，所以第5032011⨯个零点和第50320111⨯+个零点均为11422，则min 1592043()1422711f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭.10.【证明】证法1：构造数列((112nnna ++-=，则逆用特征根法知*21122=1=3n n n a a a a a n ++=+∀∈Ν，，，， 于是{}n a 为正整数数列.另外，注意到((((2222222211111122nnnnna ⎡⎤⎡⎤++-+--⎢⎥⎢⎥-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，((22112nn+--=，于是(221nn a +=+同理可证(21211n n a +++=+=综上所述，命题得证.证法2：由二项式定理得：(0122111C C C C C nn n n nn n n n n p --+=+++⋅⋅⋅++=+ (0122111C C (C (C (C (nn n nn n n n n n p ---=+++⋅⋅⋅++=-，两式相乘得()(((221112nnnp p pq -=+-=+-=-，当n 为奇数时，2221p q =-；当n 为偶数时，2221p q =+.①当1n =时，(1n+②当1n ≥时，12n +≥，((((111111n np +=++=++==，当n 为奇数时，将2221p q =-代入得(11n +=当n 为偶数时，将2221p q =+代入得(11n +=由以上证明过程知(1n+*s ∈N .。
山东省潍坊市北约联盟2023-2024学年高二上学期11月阶段性监测数学试题
山东省潍坊市北约联盟2023-2024学年高二上学期11月阶段
性监测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
A．30︒B．45
二、多选题
三、填空题
四、双空题
16．已知菱形ABCD边长为
A C'=时，二面角置，当3
球的半径为
五、解答题
(1)求直线AB的方程及直线AC
(2)求对角线BD所在的直线方程18．如图，在长方体ABCD-
且
123
A F=.
(1)求1
CC并求直线CE与
1
A F所成角的余弦值；
(2)求点F到平面CDE的距离.
12AA AC AB ===，E ，F 分别为1AC ，11B C 的中点.
(1)证明：//EF 平面11ABB A ；(2)求二面角1A A B F --的余弦值.
21．边长为4的正方形ABCD 所在平面与半圆弧 CD 所在平面垂直，四边形EFCD 是半圆弧 CD
的内接梯形，且CD EF ∥.
(1)证明：平面ADE ⊥平面BCE ；
(2)设2EF =，
且二面角E AD C --与二面角D BC F --的大小都是60︒，当点P 在棱AD （包含端点）上运动时，求直线PB 和平面ACE 所成角的正弦值的取值范围.22．已知圆M 与圆N ：()()2
2
424x y ++-=关于直线340x y -+=对称.
(1)求圆M 的标准方程；
(2)过点()1,0E 的直线与圆M 相交于A ，B 两点，过点()4,0C 且与AB 垂直的直线与圆M 的另一交点为D ，记四边形ACBD 的面积为S ，求S 的取值范围.。
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一只蜂，穿梭来往，担当起了酝酿甜蜜的责任；一方石，架桥铺路，担当起了纷至沓来的脚步；一层瓦，覆顶遮檐，担当起了蔽风挡雨的任务。
蜂如此，石如此，瓦如此，人亦如此。
担当，是一种进取的行动。
在前行的路上，勇于担当，便会收获阳光。
为自己的目标而担当，是使自己的人生更有意义的行动。
当流畅有力的签字落在《解放黑奴宣言》上时，林肯已决意担当。
这为使自己废除奴隶制梦想实现的行动使他的生命发出光彩。
当投笔从戎的决心变为慨然一举时，班超已决意担当。
为人应如张骞，在为国与国的交流往来中做出贡献，这一人生抱负已在班超的行动中得以实现。
他们，是为自己的梦想、抱负而担当的人。
如此在人生路上添了一段不平凡而又光彩四溢的历程。
为他人的福祉而担当，是使旁人的生命随之美丽的行动。
虎门硝烟却被一纸贬出玉门关的林则徐，在艰难的境地里仍为他人担当。
黄沙滚滚中，他的足迹遍布南疆北域，治理荒地的任务就此被担当。
自出费用以修“林公渠”，亲视瓜田以保收成增加，惩恶扬善以求百姓安居……终于，伊犁
的旱田中生出鲜嫩的瓜果，一方得以造福。
百年沧桑的林公渠中，清水仍在汩汩流淌，将那肯为他人担当的精神浸入百姓心中。
为国家的担当，是使一国免于侵扰，在发展路上不断前进的行动。
蔺相如不愿在两虎相斗中弃国事于不顾的语音至今绕梁；烛之武巧施雄辩，化解国难的事迹依旧为人颂扬；百万雄师在江涛翻滚间穿行的情景仍历历在目。
如今闻名遐迩的海尔亦将中国品牌带入了世界的发展之中。
这是为国的担当，一国因为这些担当而从沉沦中崛起，从干戈中平复，一步步向前，迎接发展的阳光。
担当，是一种进取的行动，使个人在梦想的实现中成长，使他人在行动的感化中将担当传承，更令一国在担当的支撑中进取，在前进的路上收获阳光。
何不在人生路上选择担当？担当，这行动必将使我们迎接绚丽的曙光。
担当是墨梅放弃了绚烂的夏夜，在飘雪的冬季，散发着一缕幽香，担当是黄花在秋天失去光彩，无声无息的零落成诗，毫无怨言担当是雾罩的清晨，阳光照在斑驳石壁上，那一份苍老后的古韵古香……
“明妃初出汉宫时，泪湿春风鬓脚垂。
”翻开历史的书页，我又看见那换名昭君的绝色女子，在阳关路上孤单的身影，“大漠孤烟直，长河落日圆”那豪气万状的风景此时也只能衬托出她脸上的淡淡的寂寞，为何放弃绿柳夹河而列的故乡，为何放弃长风携云朵翩跹而来的长安，为何放弃歌舞升平的华丽后宫？她望着血色残阳勾勒出的大漠，露出倾人倾城般的微笑，因为要担当责任，要使天下免于生灵涂炭，要使百姓可以安居乐业，因为……她担当起维护和平的重任。
用一生的幸福换取战乱中的和平……他是大漠狂风中的那一抹梅之幽香……
“满地黄花堆积，怎敌他晚来风急……”李清照静静倚在夕阳斜下的窗前，凭着那一杯薄酒，无语凝咽，忍受着战乱中亲人的离散，忍受着与爱人生离死别的愁苦，她曲曲一届女流，在这颠沛流离的乱世，又能怎样？为情伤，世间皆无常，笑沧桑，万行泪化寒窗，因为懂得所以慈悲，因为慈悲，所以担当，她把对赵明程的缕缕思念，化作一句“生当做人杰，死以为鬼雄”她担当了所有苦痛，吧那痛苦化作席卷西风，无声零落成诗的黄花……
”一个人走在静静的荷塘上，什么都可以想，什么都可以不想“朱自清先生那晚在清华园荷塘边赏着月色，大江东去浪淘尽，千古风流人物，担当是苏轼乌台诗案后“小舟从此逝，，江海寄余生”后的释然，是李白流放3千里后“举杯邀明月，对应成三人”的豪放，担当是贝多芬耳聋后在灵性至极的黑白琴键上敲击出悲壮的生命乐章，是失明的阿炳在喧闹的城市中弹奏二泉映月……
人生懂得担当责任，当但爱情，担当痛苦，我相信总有一天！。