第四节 多元复合函数的求导法则

第四节 多元复合函数的求导法则

要求：熟练地计算复合函数的一阶偏导数，会计算抽象函数的二阶偏导数计算。 重点：各种类型复合函数的求导与计算。 难点：抽象函数的二阶偏导数计算。

作业：习题8－4（36P ）2)3)2)2)3)4)2,4,6,8,10,11,12,13

一．多个中间变量，一个自变量情况

定理1 如果函数()u t ϕ=及()v t ψ=都在点t 可导，且函数),(v u f z =在对应点具有连续偏导数，则复合函数[](),()z f t t ϕψ=在点t 可导，且其导数公式为

dz z du z dv

dt u dt v dt

∂∂=+

∂∂ （全导数） 证明 设t 有增量t ∆，相应函数()u t ϕ=及()v t ψ=的增量为

,u v ∆∆，此时函数),(v u f z =相应获得的增量为z ∆．

又由于函数),(v u f z =在点(,)u v 处可微，于是由上节定理3证明有 12f f

z u v u v u v

εε∂∂∆=

∆+∆+∆+∆∂∂ 这里，当0,0u v ∆→∆→时，120,0εε→→，上式除以t ∆得

12

z f u f v u v

t u t v t t t

εε∆∂∆∂∆∆∆=+++∆∂∆∂∆∆∆． 当0t ∆→时，0,0u v ∆→∆→，,u du v dv

t dt t dt

∆∆→→

∆∆， 所以 0lim t dz z f du f dv

dt t u dt v dt

∆→∆∂∂==+

∆∂∂，即 dz f du f dv z du z dv

dt u dt v dt u dt v dt ∂∂∂∂=+=+

∂∂∂∂． 此时，dz z du z dv dt u dt v dt ∂∂=+∂∂从形式上看是全微分z z

dz du dv u v ∂∂=+∂∂两端除以dt 得到

的，常将dz

dt

称为全导数．

推论 若),,(w v u f z =，()u t ϕ=，()v t ψ=，)(t w w =复合而的复合函数

[](),(),()z f t t w t ϕψ=满足定理条件，则有全导数公式

dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt

∂∂∂=++∂∂∂ 例1．设函数y

x u =，而t

x e =，sin y t =，求全导数

dt

du ．

解

dt du u dx u dy

x dt y dt

∂∂=+

∂∂1sin ln cos (sin cos )y t y t t yx e x x t e t t t -=+=+． 二．多个中间变量，多个自变量情况

定理2 若(,)u x y ϕ=及(,)v x y ψ=在点),(y x 具有偏导数，而函数),(v u f z =在对应点),(v u 具有连续偏导数，则复合函数[](,),(,)z f x y x y ϕψ=在点),(y x 两个偏导数存

在，且有公式

x

v

v z x u u z x z ∂∂∂∂+

∂∂∂∂=∂∂； y

v v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 例2．设函数v

u z =，而2

2

3y x u +=，y x v 24+=，求

y

z x z ∂∂∂∂,． 解

16ln 4v v z z u z v vu x u u x u x v x

-∂∂∂∂∂=+=+⋅∂∂∂∂∂ 2

2421

2242226(42)(3)

4(3)ln(3)x y x y x x y x y x y x y +-+=+++++

u u y vu y

v v z y u u z y z v v ln 221+=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂- 2

2421

2242222(42)(3)

2(3)ln(3)x y x y y x y x y x y x y +-+=+++++．

注意 为了帮助记忆，我们按各变量间的复合关系画出复合关系图如下：

首先从自变量z 向中间变量,u v 画两个分枝，然后再分别从,u v 向自变量,x y 画分枝，并在每个分枝旁边写上对其的偏导数．求

z x ∂∂（z y

∂∂）时，我们只要把从z 到x （y ）的每条路径上的各偏导数相乘后，再将这些积相加即可得到

x

v

v z x u u z x z ∂∂∂∂+

∂∂∂∂=∂∂，（y v v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂） 推论1. 设函数(,)u x y ϕ=，(,)v x y ψ=，),(y x w w =在点),(y x 有偏导数，而函数

),,(w v u f z =在对应点),,(w v u 偏导数连续，则复合函数[]

(,),(,),(,)z f x y x y w x y ϕψ=在点),(y x 的两个偏导数存在，且有公式

x w w z x v v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂；y

w

w z y v v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂．

推论2. 设函数),(y x u ϕ=具有偏导数，而函数),,(y x u f z =可微，则复合函数

],),,([y x y x f z ϕ=在点),(y x 偏导数存在，且有公式

x

f

x u u f x z ∂∂+

∂∂∂∂=∂∂；

y

f y u u z y z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂． 注意

x z ∂∂与x

f ∂∂区别: x z

∂∂是把函数[](,),,f x y x y ϕ中的y 看成常数，对x 求偏导， x

f

∂∂是把),,(y x u f 中y u ,看常数，对x 求偏导． 前者是复合后对x 的偏导数，后者是复合前对x 的偏导数．

例3．设函数2

22

),,(z y x

e z y x

f u ++==，而y x z sin 2

=，求

x u ∂∂和y

u ∂∂． 解

y x ze xe x

z

z f x f x u z y x z y x sin 222222222⋅+=∂∂∂∂+∂∂=∂∂++++ y

x y x e y x x 2422

sin 22)sin 21(2+++=

y x ze ye y

z

z f y f y u z y x z y x cos 222222222⋅+=∂∂∂∂+∂∂=∂∂++++ y

x y x

e y y x y 2422

sin 4)cos sin (2+++=．

例4．设函数t uv z sin +=，而t

e u =，t v cos =求全导数dt

dz ． 解

t

z dt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+∂∂+∂∂= t t u ve t

cos )sin (+-+=t t t e t

cos )sin (cos +-=． 例5．设抽象函数),(2

2

xy

e y x

f z -=，其中f 偏导数连续，求

y

z x z ∂∂∂∂,． 解

x

v v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂，其中22y x u -=，xy

e v =， 212122

f ye f x xe f x f xy xy

'+'=⋅'+⋅'=

y

v v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂