第四节 多元复合函数的求导法则

第四节 多元复合函数的求导法则要求：熟练地计算复合函数的一阶偏导数，会计算抽象函数的二阶偏导数计算。

重点：各种类型复合函数的求导与计算。

难点：抽象函数的二阶偏导数计算。

作业：习题8－4（36P ）2)3)2)2)3)4)2,4,6,8,10,11,12,13一．多个中间变量，一个自变量情况定理1 如果函数()u t ϕ=及()v t ψ=都在点t 可导，且函数),(v u f z =在对应点具有连续偏导数，则复合函数[](),()z f t t ϕψ=在点t 可导，且其导数公式为dz z du z dvdt u dt v dt∂∂=+∂∂ （全导数） 证明 设t 有增量t ∆，相应函数()u t ϕ=及()v t ψ=的增量为,u v ∆∆，此时函数),(v u f z =相应获得的增量为z ∆．又由于函数),(v u f z =在点(,)u v 处可微，于是由上节定理3证明有 12f fz u v u v u vεε∂∂∆=∆+∆+∆+∆∂∂ 这里，当0,0u v ∆→∆→时，120,0εε→→，上式除以t ∆得12z f u f v u vt u t v t t tεε∆∂∆∂∆∆∆=+++∆∂∆∂∆∆∆． 当0t ∆→时，0,0u v ∆→∆→，,u du v dvt dt t dt∆∆→→∆∆， 所以 0lim t dz z f du f dvdt t u dt v dt∆→∆∂∂==+∆∂∂，即 dz f du f dv z du z dvdt u dt v dt u dt v dt ∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂． 此时，dz z du z dv dt u dt v dt ∂∂=+∂∂从形式上看是全微分z zdz du dv u v ∂∂=+∂∂两端除以dt 得到的，常将dzdt称为全导数．推论 若),,(w v u f z =，()u t ϕ=，()v t ψ=，)(t w w =复合而的复合函数[](),(),()z f t t w t ϕψ=满足定理条件，则有全导数公式dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt∂∂∂=++∂∂∂ 例1．设函数yx u =，而tx e =，sin y t =，求全导数dtdu ．解dt du u dx u dyx dt y dt∂∂=+∂∂1sin ln cos (sin cos )y t y t t yx e x x t e t t t -=+=+． 二．多个中间变量，多个自变量情况定理2 若(,)u x y ϕ=及(,)v x y ψ=在点),(y x 具有偏导数，而函数),(v u f z =在对应点),(v u 具有连续偏导数，则复合函数[](,),(,)z f x y x y ϕψ=在点),(y x 两个偏导数存在，且有公式xvv z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂； yv v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 例2．设函数vu z =，而223y x u +=，y x v 24+=，求yz x z ∂∂∂∂,． 解16ln 4v v z z u z v vu x u u x u x v x-∂∂∂∂∂=+=+⋅∂∂∂∂∂ 224212242226(42)(3)4(3)ln(3)x y x y x x y x y x y x y +-+=+++++u u y vu yv v z y u u z y z v v ln 221+=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂- 224212242222(42)(3)2(3)ln(3)x y x y y x y x y x y x y +-+=+++++．注意 为了帮助记忆，我们按各变量间的复合关系画出复合关系图如下：首先从自变量z 向中间变量,u v 画两个分枝，然后再分别从,u v 向自变量,x y 画分枝，并在每个分枝旁边写上对其的偏导数．求z x ∂∂（z y∂∂）时，我们只要把从z 到x （y ）的每条路径上的各偏导数相乘后，再将这些积相加即可得到xvv z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂，（y v v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂） 推论1. 设函数(,)u x y ϕ=，(,)v x y ψ=，),(y x w w =在点),(y x 有偏导数，而函数),,(w v u f z =在对应点),,(w v u 偏导数连续，则复合函数[](,),(,),(,)z f x y x y w x y ϕψ=在点),(y x 的两个偏导数存在，且有公式x w w z x v v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂；yww z y v v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂．推论2. 设函数),(y x u ϕ=具有偏导数，而函数),,(y x u f z =可微，则复合函数],),,([y x y x f z ϕ=在点),(y x 偏导数存在，且有公式xfx u u f x z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂；yf y u u z y z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂． 注意x z ∂∂与xf ∂∂区别: x z∂∂是把函数[](,),,f x y x y ϕ中的y 看成常数，对x 求偏导， xf∂∂是把),,(y x u f 中y u ,看常数，对x 求偏导． 前者是复合后对x 的偏导数，后者是复合前对x 的偏导数．例3．设函数222),,(z y xe z y xf u ++==，而y x z sin 2=，求x u ∂∂和yu ∂∂． 解y x ze xe xzz f x f x u z y x z y x sin 222222222⋅+=∂∂∂∂+∂∂=∂∂++++ yx y x e y x x 2422sin 22)sin 21(2+++=y x ze ye yzz f y f y u z y x z y x cos 222222222⋅+=∂∂∂∂+∂∂=∂∂++++ yx y xe y y x y 2422sin 4)cos sin (2+++=．例4．设函数t uv z sin +=，而te u =，t v cos =求全导数dtdz ． 解tz dt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+∂∂+∂∂= t t u ve tcos )sin (+-+=t t t e tcos )sin (cos +-=． 例5．设抽象函数),(22xye y xf z -=，其中f 偏导数连续，求yz x z ∂∂∂∂,． 解xv v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂，其中22y x u -=，xye v =， 212122f ye f x xe f x f xy xy'+'=⋅'+⋅'=yv v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂1212(2)2xy xyf y f xe yf xe f ''''=⋅-+⋅=-+其中u v u f u z f ∂∂=∂∂='),(1，vv u f v z f ∂∂=∂∂='),(2．三．复合函数的二阶偏导数若函数),(v u f z =，(,)u x y ϕ=，(,)v x y ψ=二阶偏导数连续，则复合函数[](,),(,)z f x y x y ϕψ=存在二阶偏导数．记号2211u z f ∂∂=''，v u z f ∂∂∂=''212，u v z f ∂∂∂=''221，2222vz f ∂∂=''． 例6．设复合函数),32(yxy x f z +=，其中),(v u f 对v u ,具有二阶连续偏导数，求yx z∂∂∂2． 解2112f yf x v v z x u u z x z '+'=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂)12(212f y f y y x z '+'∂∂=∂∂∂)1(221f y y y f '∂∂+∂'∂= ))(3(11))(3(222222221211yxf f y f y y x f f -''+⋅''+'--''+⋅''= 22122223111236f y f y x y f y x f '-''-+''-''=． 练习题 设函数2(,)yz f x y x =，其中),(v u f 对v u ,具有二阶连续偏导数，求y x z ∂∂∂2．（y x z ∂∂∂23'1122122132122y x yf f yf f xf x x'''''''=-+-+） 复合函数求偏导数步骤：（1）搞清复合关系——画出复合关系图；（2）分清每步对哪个变量求导，固定了哪些变量；（3）对某个自变量求导，应注意要经过一切与该自变量有关的中间变量而最后归结到该自变量．例7.设复合函数),(xyz z y x f w ++=，且f 具有二阶连续偏导数，求x w ∂∂，zx w∂∂∂2．解21f yz f xw'+'=∂∂)(2221212112xy f f yz f y f xy f z x w''+''+'+''+''=∂∂∂ 22122211)(f y f yz xy f z xy f '+''++''+''=． 例8.设函数),(y x f u =的所有二阶偏导数连续，把下列表达式转换为极坐标形式（1） 22)()(y u x u ∂∂+∂∂；（2） 2222yux u ∂∂+∂∂解 （1）直角坐标与极坐标关系θcos r x =，θsin r y =，则(,)(cos ,sin )(,)u f x y f r r F r θθθ====记这里(,)u f x y =看作由函数(,)u F r θ=及22y x r +=，xyarctan =θ，复合而成的复合函数，按复合函数求导公式，得x u x r r u x u ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂θθru r u θθθsin cos ∂∂-∂∂=， 其中θθcos cos 22==+=∂∂r r y x x xr；r y x y xy x y x θθsin 1222222-=+-=+-=∂∂， 同理y u y r r u y u ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂θθcos sin u u r rθθθ∂∂=+∂∂， 其中θθsin sin 22==+=∂∂r r y x y yr ；r y x x xy x y θθcos 112222=+=+=∂∂， 上边两式平方后相加，得 22222)(1)()()(θ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂ur r u y u x u ． （2）y y u y r y u r yu ∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂=∂∂θθ)()(22 rr u r u r u r u r θθθθθθθθθcos )cos sin (sin )cos sin (∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂=θθθθθθsin )cos cos sin (2222r u r r u r u ∂∂-∂∂∂+∂∂= 222cos sin cos (sin cos )u u u u r r r r rθθθθθθθθ∂∂∂∂++-+∂∂∂∂∂ r r u ru r u r r u r u θθθθθθθθθθ2222222222cos cos sin 2cos cos sin 2sin ∂∂+∂∂-∂∂+∂∂∂+∂∂= 同理r r u ru r u r r u r u x u θθθθθθθθθθ222222222222sin cos sin 2sin cos sin 2cos ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂ 上边两式相加得22222222211θ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂ur r u r r u y u x u ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂=222))((1θu r u r r r r四．全微分形式不变形设函数),(v u f z =具有连续偏导数，则全微分dv vzdu u z dz ∂∂+∂∂=， 若函数(,)u x y ϕ=，(,)v x y ψ=有连续偏导数，则复合函数((,),(,))z f x y x y ϕψ= 的全微分为dy yzdx x z dz ∂∂+∂∂=dy yvv z y u u z dx x v v z x u u z )()(∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂= )()(dy yv dx x v v z dy y u dx x u u z ∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂=dv vzdu u z ∂∂+∂∂=． 可见无论z 是自变量y x ,的函数或中间变量v u ,的函数，它的全微分形式是一样的，这个性质叫全微分形式不变性．例9.利用全微分形式不变性求微分)sin (v e d dz u=，其中xy u =，y x v +=．解 因为vdv e vdu e v e d dz uu u cos sin )sin (+== 又因为 xdy ydx xy d du +==)(，dy dx y x d dv +=+=)(，所以 sin ()cos ()u udz e v ydx xdy e v dx dy =⋅+++(sin cos )(sin cos )u u u u e v y e v dx e v x e v dy =⋅++⋅+dy y x y x x e dx y x y x y e xyxy))cos()sin(())cos()sin((+++++++=若先求出(sin()cos())xy ze y x y x y x∂=+++∂，(sin()cos())xy z e x x y x y y ∂=+++∂代入公式dy yzdx x z dz ∂∂+∂∂=得结果完全一样． 思考题1． 如何求复合函数的偏导数？需要注意什么问题？。