1.1《因式分解》1 八年级数学上册 鲁教版PPT课件
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山东省八年级鲁教版(五四制)数学上册课件：11因式分解(共16张PPT)
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)
1.因式分解与整式乘法是互逆的过程.
2.因式分解的结果必定是乘积的形式.
因式分解与整式乘法之间的关系：
因式分解
多项式
几个整式乘积的形式
整式乘法
知识应用
连
x2 + 4x +
4
一
x2 - 2x +
连
1 4x2 - 1
x2 - 1
x2 - 4
（x + 2）（x - 2） （x - 1）（x + 1）
体验归纳
➢因式分解与整式乘法是互逆过程。 ➢分解因式要注意以下几点：
1、分解的对象必须是多项式。 2、分解的结果是几个整式乘积的形式 。 3、要分解到不能分解为止。
拓展延伸
已知多项式ax2+bx+c(a、b、c均为 常数)，分解因式的结果是(3x+1)(x-2)， 求a、b、c的值。
系统总结
因式分解的定义：
观察下面拼图过程，写出相应的关系式
m m m m
a
b
c
m__a__+_m__b__+_m__c__=___m___(a__+_b__+_c__)
a+b+c
1 x+1
x
x
x
x
1
1
1
x+1
________x_2_+__x_+__x_+__1_____=____(_x_+__1__)_2______
观察下列式子的变形： a3-a=a(a+1)(a-1),am+bm+cm=m(a+b+c), x2+2x+1=(x+1)2, ●思考：什么是因式分解？
2024八年级数学上册第一章因式分解2提公因式法第1课时直接提公因式法课件鲁教版五四制
__－__2____．
练点1 公因式
1. [2024·烟台莱州市期中]多项式12 m3 n2＋8 m2 n －20 m2 n3
的公因式是( A )
A. 4 m2 n
B. 4 m2 n2
C. 2 mn
D. 8 m2 n
2. [2023·永州]2 a2与4 ab 的公因式为 2 a .
练点2 提单项式公因式分解因式 3. 把多项式 x2－ x 提取公因式 x 后，余下的部分是( B )
2. 将3a(x－y)－b(x－y)用提公因式法分解因式，应提出的
公因式是( C )
A．3a－b
B．3(x－y)
C．x－y
D．3a＋b
3. 多项式x2＋x6提取公因式后，剩下的因式是( C )
A．x4
B．x3＋1
C．x4＋1
D．x3－1
4. 把多项式a2－4a分解因式，结果正确的是( A ) A．a(a－4) B．(a＋2)(a－2) C．a(a＋2)(a－2) D．(a－2)2－4
1 . 多项式8x2y2－14x2y＋4xy3各项的公因式是( B ) A．8xy B．2xy C．4xy D．2y
2. 式子15a3b3(a－b)，5a2b(b－a)的公因式是( C )
A．5ab(b－a)
B．5a2b2(b－a)
C．5a2b(b－a)
D．以上均不正确
3. 下列各组式子中，没有公因式的是( B ) A．4a2bc与8abc2 B．a3b2＋1与a2b3－1 C．b(a－2b)2与a(2b－a)2 D．x＋1与x2－1
5. 下列多项式因式分解正确的是( B ) A．8abx－12a2x2＝4abx(2－3ax) B．－6x3＋6x2－12x＝－6x(x2－x＋2) C．4x2－6xy＋2x＝2x(2x－3y) D．－3a2y＋9ay－6y＝－3y(a2＋3a－2)
练点1 公因式
1. [2024·烟台莱州市期中]多项式12 m3 n2＋8 m2 n －20 m2 n3
的公因式是( A )
A. 4 m2 n
B. 4 m2 n2
C. 2 mn
D. 8 m2 n
2. [2023·永州]2 a2与4 ab 的公因式为 2 a .
练点2 提单项式公因式分解因式 3. 把多项式 x2－ x 提取公因式 x 后，余下的部分是( B )
2. 将3a(x－y)－b(x－y)用提公因式法分解因式，应提出的
公因式是( C )
A．3a－b
B．3(x－y)
C．x－y
D．3a＋b
3. 多项式x2＋x6提取公因式后，剩下的因式是( C )
A．x4
B．x3＋1
C．x4＋1
D．x3－1
4. 把多项式a2－4a分解因式，结果正确的是( A ) A．a(a－4) B．(a＋2)(a－2) C．a(a＋2)(a－2) D．(a－2)2－4
1 . 多项式8x2y2－14x2y＋4xy3各项的公因式是( B ) A．8xy B．2xy C．4xy D．2y
2. 式子15a3b3(a－b)，5a2b(b－a)的公因式是( C )
A．5ab(b－a)
B．5a2b2(b－a)
C．5a2b(b－a)
D．以上均不正确
3. 下列各组式子中，没有公因式的是( B ) A．4a2bc与8abc2 B．a3b2＋1与a2b3－1 C．b(a－2b)2与a(2b－a)2 D．x＋1与x2－1
5. 下列多项式因式分解正确的是( B ) A．8abx－12a2x2＝4abx(2－3ax) B．－6x3＋6x2－12x＝－6x(x2－x＋2) C．4x2－6xy＋2x＝2x(2x－3y) D．－3a2y＋9ay－6y＝－3y(a2＋3a－2)
山东省八年级鲁教版(五四制)数学上册课件：13公式法(1)(共16张PPT)
当堂达标
见导学案上的当堂达标.
布置作业
课本Ｐ11: 习题1.4 2、3题.
(2)9a2 1 b2
4
温馨提示：在使用平方差公式分解因式时 要注意：
先把所给的多项式化成 a2 b2 的形式 ，然后把它与平方差公式对照, 明确哪个 相当于 a , 哪个相当于 b.
知识应用
将下列各式因式分解:
(1)25m2－n2
(2)16a2-9b2
(3) 4x2 9
(4)9(a+b)2-4(a-b)2
八年级数学上册第一章因式分解
知识铺垫
1.把下列各式因式分解：
(1)3a3b2－12ab3 (2) x(a b) y(a b)
关键确定公因式
(3)a(m-2)+b(2-m)
(4)a(x y)2 b( y x)2
一看系数 二看字母
三看指数
最大公约数 × 相同字母最低次幂
2.学过的两个最基本的乘法公式
（二）根据等式的对称性填空
① m2 4 ＝___(_m___2__)_(m____2_；) ② a2 b2 ＝___(_a___b_)_(_a____b_)；
③ 4x2 9 y2 ＝_2__x__3__y_(_2_x_； 3y) ④ 49 x4 25 y2＝（___7_x_2__5_y_）_(__7_x_2； 5y)
平方差公式： 整式乘法
(a b)(a b) a2 b2
两个数的和与两个数的差的乘积， 等于这两个数的平方差。
a2 b2 (a b)( a b)
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数 的和与这两个数的差的乘积.
说出下列多项式哪些可用平方差公式 进行因式分解？
① x2 y②2 x2 ③y2 x2④ y2 ⑤x2 y2 16 b2
鲁教版八年级数学上册第一章因式分解1因式分解课件
解析 根据题图可得大长方形是由2个边长为b的正方形,3 个长为b、宽为a的长方形和1个边长为a的正方形组成的, ∴大长方形的面积为a2+3ab+2b2, ∵大长方形的长为a+2b,宽为a+b, ∴大长方形的面积也可表示为(a+2b)(a+b), ∴可以得到一个因式分解的等式为a2+3ab+2b2=(a+2b)(a+b), 故选B.
A.20
B.30
C.35
D.40
解析 ∵259+517=518+517=517×(5+1)=517×6=516×30,∴n的值可 能是30.故选B.
6.(新考向·代数推理)将图中的一个正方形和三个长方形拼
成一个大长方形,根据此图写出一个多项式的因式分解: x2+3x+2=(x+2)(x+1) .
解析 拼成的大长方形如图所示:
方形,直接写出相应的等式:
;
(2)尝试借助拼图的方法,把二次三项式2a2+3ab+b2分解因式,
并把所拼得的图形画在如图④所示的虚线方框内;
(3)分解因式:2b2-3ab+a2=
.
(直接写出结果,不需要画图)
图①
图②
图③
图④
解析 (1)3b2+4ab+a2=(a+b)(3b+a). (2)2a2+3ab+b2=(2a+b)(a+b). 如图所示:
12.(2024河北张家口宣化期末,6,★☆☆)小颖利用两种不同 的方法计算下面图形的面积,并据此写出了一个因式分解的 等式,此等式是 ( B )
A.a2+2ab+b2=(a+b)(a+b) B.a2+3ab+2b2=(a+2b)(a+b) C.a2-b2=(a+b)(a-b) D.2a2+3ab+b2=(2a+b)(a+b)
鲁教版八年级上册数学第一章《因式分解》常见题型与考点精讲(2)课件(共19张PPT)
《因式分解》知识点精讲（2）
提公因式法
公因式
1.多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多 项式各项的公因式。
2.最大公因式的提取方法:系数取分子和分母 系数的最大公约数,字母取分子和分母共有的 字母,指数取公共字母的最小指数,即为它们的 公因式.
例1.多项式12abc-6bc²的公因式是（ ） A.2ab B.3bc² C.4b D.6bc
10.已知a+b=5,ab=7,求a2b+ab2-a-b的值。
4.多项式首项为负数
例5. -7ab+14a2-49ab2=-7a(________).
解: -7ab&43; 49ab2 ） 第一次提出负号
=-7a(b-2a+7b²）
第二次提出7a
变式：
1. -a2+b2=(a+b)(______) 2. 4x3 16x2 24x
（3）把多项式各项都含 有的相同字母（或因 式） 的最低次幂的积 作为公因式 的因式。
（4）如果括号前是负数时，应该 把括号内的 单项式变号。
例2. （2018•吉林）若a+b=4，ab=1，则 a2b+ab2=
【解析】解：∵a+b=4，ab=1， ∴a2b+ab2=ab（a+b） =1×4 =4． 故答案为：4．
可． 【解析】解：a2（a﹣b）﹣4（a﹣b） =（a﹣b）（a2﹣4） =（a﹣b）（a﹣2）（a+2）， 故答案为：（a﹣b）（a﹣2）（a+2）．
变式：
1.3(y-x)2+2(x-y)=___________ 解析：3(y-x)2+2(x-y) = 3(x-y)2+2(x-y) =(x-y)(3x-3y+2) 注意：(y-x)2=(x-y)2
提公因式法
公因式
1.多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多 项式各项的公因式。
2.最大公因式的提取方法:系数取分子和分母 系数的最大公约数,字母取分子和分母共有的 字母,指数取公共字母的最小指数,即为它们的 公因式.
例1.多项式12abc-6bc²的公因式是（ ） A.2ab B.3bc² C.4b D.6bc
10.已知a+b=5,ab=7,求a2b+ab2-a-b的值。
4.多项式首项为负数
例5. -7ab+14a2-49ab2=-7a(________).
解: -7ab&43; 49ab2 ） 第一次提出负号
=-7a(b-2a+7b²）
第二次提出7a
变式：
1. -a2+b2=(a+b)(______) 2. 4x3 16x2 24x
（3）把多项式各项都含 有的相同字母（或因 式） 的最低次幂的积 作为公因式 的因式。
（4）如果括号前是负数时，应该 把括号内的 单项式变号。
例2. （2018•吉林）若a+b=4，ab=1，则 a2b+ab2=
【解析】解：∵a+b=4，ab=1， ∴a2b+ab2=ab（a+b） =1×4 =4． 故答案为：4．
可． 【解析】解：a2（a﹣b）﹣4（a﹣b） =（a﹣b）（a2﹣4） =（a﹣b）（a﹣2）（a+2）， 故答案为：（a﹣b）（a﹣2）（a+2）．
变式：
1.3(y-x)2+2(x-y)=___________ 解析：3(y-x)2+2(x-y) = 3(x-y)2+2(x-y) =(x-y)(3x-3y+2) 注意：(y-x)2=(x-y)2
2022秋八年级数学上册第一章因式分解1.1因式分解课件鲁教版五四制1
谢谢观赏
You made my day!
∴n3n＋＝3＝m，－4，解得mn＝＝－－72.1，
故另一个因式为 x－7，m 的值为－21.
仿照上面的方法解Байду номын сангаас下面问题： 已知二次三项式2x2＋3x－k有一个因式是2x－5，求
另一个因式以及k的值．
解：设另一个因式为 x＋a，则 2x2＋3x－k＝(2x－5)(x＋a)， 即 2x2＋3x－k＝2x2＋(2a－5)x－5a， ∴2－a－5a5＝＝－3，k，解得ak＝＝42， 0. 故另一个因式为 x＋4，k 的值为 20.
2．【中考·常德】下列各式由左到右的变形中，属于 分解因式的是( C ) A．a(m＋n)＝am＋an B．a2－b2－c2＝(a－b)(a＋b)－c2 C．10x2－5x＝5x(2x－1) D．x2－16＋6x＝(x＋4)(x－4)＋6x
3．(3a－y)(3a＋y)是下列哪一个多项式因式分解的结 果？( C ) A．9a2＋y2 B．－9a2＋y2 C．9a2－y2 D．－9a2－y2
【点拨】本题用整式乘法验证即可．
4．一个多项式分解因式的结果是(b3＋2)(2－b3)， 那么这个多项式是( B ) A．b6－4 B．4－b6 C．b6＋4 D．－b6－4
5．下列由左边到右边的变形中，是因式分解的是( ) A．(x＋2)(x－2)＝x2－4 B．x2－4＝(x＋2)(x－2) C．x2－4＋3x＝(x＋2)(x－2)＋3x D．x2－1＝xx－1x
【点拨】A是整式的乘法，错误；B是因式分解，把一个多 项式转化成几个整式积的形式，正确；C没有把一个多项 式转化成几个整式积的形式，错误；D没有把一个多项式 转化成几个整式积的形式，错误．故选B.
【答案】B
You made my day!
∴n3n＋＝3＝m，－4，解得mn＝＝－－72.1，
故另一个因式为 x－7，m 的值为－21.
仿照上面的方法解Байду номын сангаас下面问题： 已知二次三项式2x2＋3x－k有一个因式是2x－5，求
另一个因式以及k的值．
解：设另一个因式为 x＋a，则 2x2＋3x－k＝(2x－5)(x＋a)， 即 2x2＋3x－k＝2x2＋(2a－5)x－5a， ∴2－a－5a5＝＝－3，k，解得ak＝＝42， 0. 故另一个因式为 x＋4，k 的值为 20.
2．【中考·常德】下列各式由左到右的变形中，属于 分解因式的是( C ) A．a(m＋n)＝am＋an B．a2－b2－c2＝(a－b)(a＋b)－c2 C．10x2－5x＝5x(2x－1) D．x2－16＋6x＝(x＋4)(x－4)＋6x
3．(3a－y)(3a＋y)是下列哪一个多项式因式分解的结 果？( C ) A．9a2＋y2 B．－9a2＋y2 C．9a2－y2 D．－9a2－y2
【点拨】本题用整式乘法验证即可．
4．一个多项式分解因式的结果是(b3＋2)(2－b3)， 那么这个多项式是( B ) A．b6－4 B．4－b6 C．b6＋4 D．－b6－4
5．下列由左边到右边的变形中，是因式分解的是( ) A．(x＋2)(x－2)＝x2－4 B．x2－4＝(x＋2)(x－2) C．x2－4＋3x＝(x＋2)(x－2)＋3x D．x2－1＝xx－1x
【点拨】A是整式的乘法，错误；B是因式分解，把一个多 项式转化成几个整式积的形式，正确；C没有把一个多项 式转化成几个整式积的形式，错误；D没有把一个多项式 转化成几个整式积的形式，错误．故选B.
【答案】B
鲁教版数学(五四制)八年级数学上册1.1因式分解课件
吗？与同伴交流.
感悟新知
做一做 视察下面拼图过程，写出相应的关系式.
知1－讲
感悟新知
归纳
知1－讲
把一个多项式化成几个整式的积的情势，这种 变形叫做因式分解. 例如，a3－a＝ a (a＋1)(a－1)， am＋bm＋cm＝m(a＋b＋c)，x2＋2x＋l＝(x＋1)2都 是因式分解. 因式分解也可称为分解因式.
感悟新知
小明是这样做的: 993－99 ＝99×992－99×1 ＝99(992－1) ＝99×9 800
知1－讲
993－99还能 被哪些正整 数整除？
＝98×99×100.
所以，993－ 99能被100整除.
在这里，解决问题的关键是把一个数式化成了几个数
的积的情势.
பைடு நூலகம்
感悟新知
知1－讲
议一议 你能尝试把a3－a化成几个整式的乘积的情势
感悟新知
知1－讲
特别提醒： 1. 因式分解的对象是多项式，结果是整式的积. 2. 因式分解是恒等变形，情势改变但值不改变. 3. 因式分解必须分解到每个多项式的因式不能再分
解为止.
感悟新知
例 1 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是(
知1－练
D)
A．a2＋1＝a(a＋
1 a
)
B．(x＋1)(x－1)＝x2－1
因此不是因式分解，C错误；x2y＋xy2＝xy(x＋y)，符合
因式分解的概念，因此是因式分解，D正确．
感悟新知
1. 下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？为 知1－练 什么？ (1) (a＋3)(a－3)＝a2－9 ； (2) m2－4＝(m＋2)(m－2)； (3) a2－b2＋1＝(a＋b)(a－b)＋1； (4) 2mR＋2mr＝2m(R＋r).
感悟新知
做一做 视察下面拼图过程，写出相应的关系式.
知1－讲
感悟新知
归纳
知1－讲
把一个多项式化成几个整式的积的情势，这种 变形叫做因式分解. 例如，a3－a＝ a (a＋1)(a－1)， am＋bm＋cm＝m(a＋b＋c)，x2＋2x＋l＝(x＋1)2都 是因式分解. 因式分解也可称为分解因式.
感悟新知
小明是这样做的: 993－99 ＝99×992－99×1 ＝99(992－1) ＝99×9 800
知1－讲
993－99还能 被哪些正整 数整除？
＝98×99×100.
所以，993－ 99能被100整除.
在这里，解决问题的关键是把一个数式化成了几个数
的积的情势.
பைடு நூலகம்
感悟新知
知1－讲
议一议 你能尝试把a3－a化成几个整式的乘积的情势
感悟新知
知1－讲
特别提醒： 1. 因式分解的对象是多项式，结果是整式的积. 2. 因式分解是恒等变形，情势改变但值不改变. 3. 因式分解必须分解到每个多项式的因式不能再分
解为止.
感悟新知
例 1 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是(
知1－练
D)
A．a2＋1＝a(a＋
1 a
)
B．(x＋1)(x－1)＝x2－1
因此不是因式分解，C错误；x2y＋xy2＝xy(x＋y)，符合
因式分解的概念，因此是因式分解，D正确．
感悟新知
1. 下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？为 知1－练 什么？ (1) (a＋3)(a－3)＝a2－9 ； (2) m2－4＝(m＋2)(m－2)； (3) a2－b2＋1＝(a＋b)(a－b)＋1； (4) 2mR＋2mr＝2m(R＋r).
鲁教版八年级上册《因式分解》常见题型与考点精讲(1)(共18PPT)
=﹣3×4， =﹣12．
因式分解求面积
例5.我们可以用几何图形来解决一些代数问题， 如图可以来解释：
（a+b）2=
，
．
变式训练：
1.如图，由一个边长为a的小正方形与两个长、 宽分别为a、b的小矩形拼成一个大矩形，则整 个图形可以表达出一些有关多项式因式分解的 等式，则其中一个可以为______．
整式乘法 因式分解
(5).(a-3)(a+3)=a2-9
整式乘法
(6).m2-42=(m+4)(m-4) (7).2 πR+ 2 πr= 2 π(R+r)
因式分解 因式分解
因式分解的应用
在初中，我们可以接触到以下几类应用： 1．计算。利用因式分解计算，比较简捷； 2．与几何有关的应用题。
3．代数推理的需要。
一个正方形和2个长方形的面积为：a2+2ab， 整个长方形的面积为：a（a+2b）， ∴等式为：a2+2ab=a（a+2b）． 故答案为：a2+2ab=a（a+2b）．
其他题型：
1.（2018•临安区）阅读下列题目的解题过程：
已知a、b、c为△ABC的三边，且满足 a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．
（2）根据题目中B到C可知没有考虑a=b的情 况；
（3）根据题意可以写出正确的结论． 【解答】解：（1）由题目中的解答步骤可得， 错误步骤的代号为：C， 故答案为：C；
（2）错误的原因为：没有考虑a=b的情况， 故答案为：没有考虑a=b的情况； （3）本题正确的结论为：△ABC是等腰三角
10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。06:31:5506:31:5506:318/14/2021 6:31:55 AM
因式分解求面积
例5.我们可以用几何图形来解决一些代数问题， 如图可以来解释：
（a+b）2=
，
．
变式训练：
1.如图，由一个边长为a的小正方形与两个长、 宽分别为a、b的小矩形拼成一个大矩形，则整 个图形可以表达出一些有关多项式因式分解的 等式，则其中一个可以为______．
整式乘法 因式分解
(5).(a-3)(a+3)=a2-9
整式乘法
(6).m2-42=(m+4)(m-4) (7).2 πR+ 2 πr= 2 π(R+r)
因式分解 因式分解
因式分解的应用
在初中，我们可以接触到以下几类应用： 1．计算。利用因式分解计算，比较简捷； 2．与几何有关的应用题。
3．代数推理的需要。
一个正方形和2个长方形的面积为：a2+2ab， 整个长方形的面积为：a（a+2b）， ∴等式为：a2+2ab=a（a+2b）． 故答案为：a2+2ab=a（a+2b）．
其他题型：
1.（2018•临安区）阅读下列题目的解题过程：
已知a、b、c为△ABC的三边，且满足 a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．
（2）根据题目中B到C可知没有考虑a=b的情 况；
（3）根据题意可以写出正确的结论． 【解答】解：（1）由题目中的解答步骤可得， 错误步骤的代号为：C， 故答案为：C；
（2）错误的原因为：没有考虑a=b的情况， 故答案为：没有考虑a=b的情况； （3）本题正确的结论为：△ABC是等腰三角
10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。06:31:5506:31:5506:318/14/2021 6:31:55 AM
鲁教版(五四学制)八年级数学上册课件：1.1因式分解 (共15张PPT)
八年级数学上册第一章因式分解
教学目标
1.理解因式分解的概念。 2.理解因式分解与整式乘法的关系
预习诊断
1.下列各式中，是因式分解的是（
A、a(m-6)+b(m-6)=(m-6)(a+b) B、(a-b)(3-a)=3a-a2-3b+ab C、(x+y)(x-y)=x2-y2 D、(a+b)2=a2+2ab+b2
） （2）ma+mb-m=( ) (4)y2-6y+9=(
)( )( )
)
因式分解
两 者 关 系
1.因式分解与整式乘法互为逆运算 2.因式分解的结果必定是乘积的形式.
随堂练习
连 一 连
x2 + 4x + 4 x2 - 2x + 1 4x2 - 1 x2 - 1 x2 - 4
（x + 2）（x - 2） （x - 1）（x + 1） （x - 1）2 （x + 2）2 （2x - 1）（2x + 1）
延伸探究
整式的乘法
计算下列各式： （1）3x(x-1)=________________ (3)(m+4)(m-4)=______________ 完成下面算式的填空： （1）3x2-3x=（ ）（ (3) m2-16=( )(
(2)m(a+b+c)=_______________ (4)(y-3)2 =________________
乘法的关系Leabharlann 当堂达标见导学案。
布置作业
课本Ｐ4: 习题1.1
合作探究
探究一：因式分解的概念
观察得知：a3-a=a(a+1)(a-1),am+bm+cm=m(a+b+c), x2+2x+1=(x+1)2,都是把一个多项式化成几个整式的积的形
教学目标
1.理解因式分解的概念。 2.理解因式分解与整式乘法的关系
预习诊断
1.下列各式中，是因式分解的是（
A、a(m-6)+b(m-6)=(m-6)(a+b) B、(a-b)(3-a)=3a-a2-3b+ab C、(x+y)(x-y)=x2-y2 D、(a+b)2=a2+2ab+b2
） （2）ma+mb-m=( ) (4)y2-6y+9=(
)( )( )
)
因式分解
两 者 关 系
1.因式分解与整式乘法互为逆运算 2.因式分解的结果必定是乘积的形式.
随堂练习
连 一 连
x2 + 4x + 4 x2 - 2x + 1 4x2 - 1 x2 - 1 x2 - 4
（x + 2）（x - 2） （x - 1）（x + 1） （x - 1）2 （x + 2）2 （2x - 1）（2x + 1）
延伸探究
整式的乘法
计算下列各式： （1）3x(x-1)=________________ (3)(m+4)(m-4)=______________ 完成下面算式的填空： （1）3x2-3x=（ ）（ (3) m2-16=( )(
(2)m(a+b+c)=_______________ (4)(y-3)2 =________________
乘法的关系Leabharlann 当堂达标见导学案。
布置作业
课本Ｐ4: 习题1.1
合作探究
探究一：因式分解的概念
观察得知：a3-a=a(a+1)(a-1),am+bm+cm=m(a+b+c), x2+2x+1=(x+1)2,都是把一个多项式化成几个整式的积的形
2024八年级数学上册第一章因式分解专题1因式分解的八种常见应用习题课件鲁教版五四制
b － c ＜0.
∴( a ＋ b ＋ c )( a ＋ b － c )( a － b ＋ c )( a － b － c )＜0，
即( a2＋ b2－ c2)2－4 a2 b2＜0.
∴( a2＋ b2－ c2)2－4 a2 b2的值一定为负数.
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应用8 探究规律
9. [新视角·归纳猜想题]有一系列等式：
c ，且 b2＋2 ab ＝ c2＋2 ac ，判断△ ABC 的形状.
【解】∵ b2＋2 ab ＝ c2＋2 ac ，
∴( b2－ c2)＋(2 ab －2 ac )＝0，
∴( b ＋ c )( b － c )＋2 a ( b － c )＝0，
∴( b － c )( b ＋ c ＋2 a )＝0.
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应用2 化简求值
2. 先分解因式，再求值：
(1) x ( x ＋ y )( x － y )－ x ( x ＋ y )2，其中 x ＋ y ＝1， xy ＝－ ；
【解】 x ( x ＋ y )( x － y )－ x ( x ＋ y )2
＝ x ( x ＋ y )[( x － y )－( x ＋ y )]
【解】2.68×15.7－31.4＋15.7×1.32＝15.7×(2.68
－2＋1.32)＝15.7×2＝31.4.
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(3)2022＋202×196＋982.
【解】2022＋202×196＋982＝2022＋2×202×98＋982
2024八年级数学上册第一章因式分解3公式法第2课时完全平方公式课件鲁教版五四制
解：(1) x2－12xy＋36y2＝(x－6y)2.
(2) 16a4＋24a2b2＋9b4＝(4a2＋3b2)2.
(3) －2xy－x2－y2＝－(2xy＋x2＋y2)
＝－(x2＋2xy＋y2)＝－(x＋y)2.
(4) 4－12(x－y)＋9(x－y)2＝[3(x－y)－2]2
＝(3x－3y－2)2.
例 3 把下列完全平方式因式分解：
(1)x2＋14x＋49；
解：(1)x2＋14x＋49
(2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9.
(2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9
＝ x2＋2×7x＋72
＝ [(m＋n)－3]2
＝ (x＋7) 2 ；
＝(m＋n－3)2.
例4 计算或化简下列各式：
(1)2022＋202×196＋982；
例1 判断下列多项式是否为完全平方式．
(1)b2＋b＋1；
(3)1＋4a2；
(2)a2－ab＋b2；
1
2
(4)a －a＋ 4 .
导引： (1)中b不是数b与1的乘积的2倍；
(2)中ab不是a，b乘积的2倍；
(3)中1与2a的乘积的2倍没有出现；
1
(4)中a是a与 乘积的2倍．
2
解：(1)不是完全平方式；
A．a2＋b2
B．a＋b
C．a－b
D．a2－b2
知识点 3 完全平方公式在分解因式中的应用
因式分解的一般步骤：
1.先提：若多项式有公因式，应先提取公因式；
2.再用：若还能运用公式，应再运用公式进行分解；
3.三彻底：要把每一个因式分解到不能分解为止.
例 5 把下列各式因式分解：
(1)3ax2＋6axy＋3ay2；
鲁教版(五四制)八年级数学上第1章因式分解 1.1 因式分解 上课用课件(19张PPT)
A.3
B.-3
C.-21
D.21
练习反馈
2.若x2-mx-15=(x+3)(x+n),则nm的值为( )
A.-5
B.2
C.25
D.-25
应用举例-简便运算
例1. 计算: 7652×17－2352 ×17
应用举例-简便运算
例1. 计算: 7652×17－2352 ×17 解: 7652×17－2352 ×17
是因式分解．尤其要注意与整式乘法的区分， 避免混淆．
整式乘法与因式分解的关系
因式分解 X2-1
整式乘法
(X+1)(X-1)
整式乘法与因式分解互为逆运算.
例题解析-因式分解的定义
例1.下列式子变形是因式分解的是( ) • A.x2-5x+6=x(x-5)+6 • B.x2-5x+6=(x-2)(x-3) • C.(x-2)(x-3)= x2-5x+6 • D.x2-5x+6=(x+2)(x+3)
解：a3-a a a2 a 1 a a2 1 a a 1a 1.
把一个多项式化成几个整式的积的形式， 这种变形叫做把这个多项式因式分解，也 叫做把这个多项式分解因式 。
判断标准
1．判断一种变形是否为因式分解，关键是看： (1)结果是否为几个整式的积； (2)是否为恒等变形．若结果不是积的形式，则不
例题解析-因式分解的定义
例1.下列式子变形是因式分解的是( D )
• A.x2-5x+6=x(x-5)+6 方法：
• B.x2-5x+6=(x-2)(x-3) 1.先观察式子的右边是 • C.(x-2)(x-3)= x2-5x+6否为几个整式的积的形式；
鲁教版-数学-八年级上册-1.1 因式分解 同步课件
1 因式分解
复习： 1. 整式乘法有几种形式? (1) 单项式乘以单项式 (2) 单项式乘以多项式 a(m+n)=am+an (3) 多项式乘以多项式 (a+b)(m+n)=am+an+ bm +bn 2. 乘法公式有哪些 ? （1）平方差公式 a2-b2 = (a+b)(a-b)
（2）完全平方公式 a2+2ab+b2 = (a+b) 2
下列变形是因式分解吗？为什么？ （1）a+b=b+a （2）4x²y–8xy +1=4xy(x–y)+1 （3）a(a–b)=a²–ab （4）a²–2ab+b =(a–b) ²
答：第（4）式是因式分解，其余都不是.
注意： （1）分解因式与整式的乘法是一种互逆关系； （2）分解因式的结果要以积的形式表示；
以下两种运算有什么联系与区别? （1）a(a+1)(a-1)= a3-a （2）a3-a= a(a+1)(a-1)
联系：第（2）式与第（1）式是互逆运算；
区别：第（1）式是将乘积化为多项式，而第（2）式 是将多项式化为乘积形式.
结论：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变 形叫做把这个多项式因式分解．
a2-2ab+b2 = (a-b) 2
合作探究：
993-99能被100整除吗？你是怎样想的？ 993-99=99×992-99×1 =99×(992-1) =99× (99+1)(99-1) =99×100×98 所以，993-99能被100整除. 你知道每一步的根据吗？
想一想： 993-99还能被哪些整数整除？
(4) 是分解因式，(1) (2) (3)不是
复习： 1. 整式乘法有几种形式? (1) 单项式乘以单项式 (2) 单项式乘以多项式 a(m+n)=am+an (3) 多项式乘以多项式 (a+b)(m+n)=am+an+ bm +bn 2. 乘法公式有哪些 ? （1）平方差公式 a2-b2 = (a+b)(a-b)
（2）完全平方公式 a2+2ab+b2 = (a+b) 2
下列变形是因式分解吗？为什么？ （1）a+b=b+a （2）4x²y–8xy +1=4xy(x–y)+1 （3）a(a–b)=a²–ab （4）a²–2ab+b =(a–b) ²
答：第（4）式是因式分解，其余都不是.
注意： （1）分解因式与整式的乘法是一种互逆关系； （2）分解因式的结果要以积的形式表示；
以下两种运算有什么联系与区别? （1）a(a+1)(a-1)= a3-a （2）a3-a= a(a+1)(a-1)
联系：第（2）式与第（1）式是互逆运算；
区别：第（1）式是将乘积化为多项式，而第（2）式 是将多项式化为乘积形式.
结论：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变 形叫做把这个多项式因式分解．
a2-2ab+b2 = (a-b) 2
合作探究：
993-99能被100整除吗？你是怎样想的？ 993-99=99×992-99×1 =99×(992-1) =99× (99+1)(99-1) =99×100×98 所以，993-99能被100整除. 你知道每一步的根据吗？
想一想： 993-99还能被哪些整数整除？
(4) 是分解因式，(1) (2) (3)不是
鲁教版八年级数学上第一章因式分解期末复习PPT课件
（2）多项式除以公因式，所得的商作为另一个因式；
（3）把多项式写成这两个因式的积的形式。
A层练习
基本概念
下列代数式的变形当中哪些是因式分 解，哪些不是？(4′×3=12′)
(1)3a2+6a=3a(a+2)
s是ure?
(2)(2y+1)(2y-1)=4y2-1 (3) 18a3bc=3a2b·6ac
鲁教版八年级数学上册第一章因式分解
期末复习
定义： 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这
种变形叫做把这个多项式分解因式。
与整式乘法的关系：互为逆过程，互逆关系
分解因式 方法
步骤
提公因式法
平方差公式
公式法
a2-b2=(a+b)(a-b)
完全平方公式
提：提公因式 a2±2ab+b2=(a±b)2
公：运用公式 查：检查因式分解的结果是否正确 （彻底性）
又∵ 2x-3=0, ∴ 原式=0
能
如图在半径为R的 圆形钢板上，冲去半 径为r的四个小圆， 利用因式分解计算当 R=7.8,r=1.1时剩余部 分的面积（20分）
大
若x y 5, xy 6, 则x3y xy3 ____________
（20分）
拼
将4x2+1加上一项，使 它成为完全平方式，你有 几种方法? （20分）
⑸(2x+y)2-8(2x+Fra bibliotek)+16
解：原式=(2x+y-4)2
(4)81a4-b4
解:原式=(9a2+b2)(9a2-b2) =(9a2+b2)(3a+b)(3a-b)
(6) (x+1)(x+5）+4 解：原式=x2+6x+5+4
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• 分解因式要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式. 2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
巩固练习：
1．mx2-3x+n=(2x+1)(x-2)，则m，n 的值为多少？ 【解析】根据因式分解与整式乘法是互逆运算， 所以(2x+1)(x-2)=2x2-4x+x-2=2x2-3x-2 所以:m=2,n=-2
问题导学：
993-99能被100整除吗?
小明是这样想的: 993-99=99×992-99 ×1
=99 ×(992-1) =99 (99+1)(99-1) = 99×100×98 所以, 993-99能被100整除. 你知道每一步的根据吗? 想一想: 993-99还能被哪些整数整除?
问题导学：做一做
4．如果m=－25.6,a=53.2,b=66.4,c=－19.6，则 代数式ma+mb+mc=_________. 【解析】ma+mb+mc=m(a+b+c)
=25.6×(53.2+66.4－19.6) =－2 560. 答案：－2 560
巩固练习：
5.32 012－4×32 011＋10×32 010能被7整除 吗？试说明理由. 【解析】能. 因为原式＝3
习题：1.1 3、4
本节结束
感谢聆听本课程，课件可任意 编辑，请下载后调整使用
Thank you for listening to my class and have a good life
1.1因式分解
温故互查：（二人小组完成）
1. 整式乘法有几种形式? (1)单项式乘以单项式：ab (2)单项式乘以多项式: a(m+n)=am+an (3)多项式乘以多项式: (a+b)(m+n)=am+an+bm
2.乘法公式有哪些? (1)平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2 (2)完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2
思考整式乘法与因式分解之间的关系？ 整式乘法与因式分解是互为逆运算变形过程.
自学检测：
判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?
(1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y) 因式分解
(2).2x(x-3y)=2x2-6xy
整式乘法
(3).(5a-1)2=25a2-10a+1 整式乘法
(4).x2+4x+4=(x+2)2
(4) a(a+1)(a-1)= __a3_-a_ (4) a3-a=___a_(a_+_1_)_(_a_-1_)
(5) m(a+b+c)
=__m_a_+_m_b_+_m_c
(5)ma+mb+mc
=__m__(a_+_b__+_c_) _
问题导学：
因式分解定义
把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种 变形叫做因式分解.因式分解又叫分解因式
因式分解
(5).(a-3)(a+3)=a2-9
整式乘法
(6).m2-4=(m+2)(m-2)
因式分解
(7).2 πR+ 2 πr= 2 π(R+r) 因式分解
规律总结：
• 整式的乘法是把几个整式的积变为多项式的 形式，特征是向着积化和差的形式发展；
• 多项式的分解因式是把一个多项式化为几个 整式乘积的形式，特征是向着和差化积的形 式发展.
计算下列个式:
根据左面的算式填空:
(1) 3x(x-1)= _3_x_2-_3_x
(1) 3x2-3x=___3_x_(x_-_1)
(2) (m+4)(m-4)= _m__2-_16 (2) m2-16=___(m__+_4_)_(m__-4)
(3) (y-3)2= __y2_-6_y_+_9_
(3) y2-6y+9=___(y_-_3_)2
2、下列各式中是因式分解的是（ D）
A.(x+2y)(x-2y)=x2-4y2
B.a2-b2+1=(a+b)(a-b)+1
C.(a-3)(a+3)=a2-9
D.m2-4=(m+2)(m-2)
巩固练习：
3．一个多项式因式分解结果为-a(a+3)(a-3)，则 这个多项式是_________. 【解析】根据因式分解与整式乘法是互逆变形， 所以 -a(a+3)(a-3)=-a(a2-9)=-a3+9a. 答案：-a3+9a
＝32 010×7， 显然它能被7整除.
拓展延伸：
探究
n2+n是奇数还是偶数？
258－512能被120整除吗?
若n是整数,证明 (2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.
课堂小结：
谈谈你这节课 的收获吧！
本节课我们主要学习了 1、分解因式的意义 2、分解因式与整式乘法的关系.互逆的过程 3、在分解因式的意义的理解上要注意： ①等式的左边必须是多项式； ②分解的结果必须是几个整式的积； ③必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止.
巩固练习：
1．mx2-3x+n=(2x+1)(x-2)，则m，n 的值为多少？ 【解析】根据因式分解与整式乘法是互逆运算， 所以(2x+1)(x-2)=2x2-4x+x-2=2x2-3x-2 所以:m=2,n=-2
问题导学：
993-99能被100整除吗?
小明是这样想的: 993-99=99×992-99 ×1
=99 ×(992-1) =99 (99+1)(99-1) = 99×100×98 所以, 993-99能被100整除. 你知道每一步的根据吗? 想一想: 993-99还能被哪些整数整除?
问题导学：做一做
4．如果m=－25.6,a=53.2,b=66.4,c=－19.6，则 代数式ma+mb+mc=_________. 【解析】ma+mb+mc=m(a+b+c)
=25.6×(53.2+66.4－19.6) =－2 560. 答案：－2 560
巩固练习：
5.32 012－4×32 011＋10×32 010能被7整除 吗？试说明理由. 【解析】能. 因为原式＝3
习题：1.1 3、4
本节结束
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1.1因式分解
温故互查：（二人小组完成）
1. 整式乘法有几种形式? (1)单项式乘以单项式：ab (2)单项式乘以多项式: a(m+n)=am+an (3)多项式乘以多项式: (a+b)(m+n)=am+an+bm
2.乘法公式有哪些? (1)平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2 (2)完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2
思考整式乘法与因式分解之间的关系？ 整式乘法与因式分解是互为逆运算变形过程.
自学检测：
判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?
(1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y) 因式分解
(2).2x(x-3y)=2x2-6xy
整式乘法
(3).(5a-1)2=25a2-10a+1 整式乘法
(4).x2+4x+4=(x+2)2
(4) a(a+1)(a-1)= __a3_-a_ (4) a3-a=___a_(a_+_1_)_(_a_-1_)
(5) m(a+b+c)
=__m_a_+_m_b_+_m_c
(5)ma+mb+mc
=__m__(a_+_b__+_c_) _
问题导学：
因式分解定义
把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种 变形叫做因式分解.因式分解又叫分解因式
因式分解
(5).(a-3)(a+3)=a2-9
整式乘法
(6).m2-4=(m+2)(m-2)
因式分解
(7).2 πR+ 2 πr= 2 π(R+r) 因式分解
规律总结：
• 整式的乘法是把几个整式的积变为多项式的 形式，特征是向着积化和差的形式发展；
• 多项式的分解因式是把一个多项式化为几个 整式乘积的形式，特征是向着和差化积的形 式发展.
计算下列个式:
根据左面的算式填空:
(1) 3x(x-1)= _3_x_2-_3_x
(1) 3x2-3x=___3_x_(x_-_1)
(2) (m+4)(m-4)= _m__2-_16 (2) m2-16=___(m__+_4_)_(m__-4)
(3) (y-3)2= __y2_-6_y_+_9_
(3) y2-6y+9=___(y_-_3_)2
2、下列各式中是因式分解的是（ D）
A.(x+2y)(x-2y)=x2-4y2
B.a2-b2+1=(a+b)(a-b)+1
C.(a-3)(a+3)=a2-9
D.m2-4=(m+2)(m-2)
巩固练习：
3．一个多项式因式分解结果为-a(a+3)(a-3)，则 这个多项式是_________. 【解析】根据因式分解与整式乘法是互逆变形， 所以 -a(a+3)(a-3)=-a(a2-9)=-a3+9a. 答案：-a3+9a
＝32 010×7， 显然它能被7整除.
拓展延伸：
探究
n2+n是奇数还是偶数？
258－512能被120整除吗?
若n是整数,证明 (2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.
课堂小结：
谈谈你这节课 的收获吧！
本节课我们主要学习了 1、分解因式的意义 2、分解因式与整式乘法的关系.互逆的过程 3、在分解因式的意义的理解上要注意： ①等式的左边必须是多项式； ②分解的结果必须是几个整式的积； ③必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止.