斐波那契数列 ppt
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人教版六年级数学下册斐波那契数列ppt
1、 0、 1、 1、 2、 3、 0
121393、196418…… 这个数列中的第2013项除以5的余数是多少？
3、 3……
÷
天下难事做于易
芙蓉区双新小学
史 唯
第3题：
数列1，1，2，3，5，8……
从第三项起，每一项都是前两项之 和。问这个数列中的第2013项除以5 的余数是多少？
斐波那契数列
斐波那契（Leonardo Fibonacci） 是欧洲中世纪数学家，他对欧洲的数 学发展有着深远的影响。他生于意大 利的比萨，曾经游历过世界上的许多 地方。1202年，斐波那契出版了他的 著作《算盘书》。在这部著作中，他 首先引入了阿拉伯数字，将十进制计 数法介绍到欧洲。在此书中他还提出 了有趣的兔子问题。
1、 1、 2、 3、 5、 8、 13、 21、34、55、
1、 1、 2、 3、 0、 3、 3、 1、 4、 0、 89、 144、 233、 377、 610、 987、 1597、 2584、 4、 4、 3、 2、 0、 2、 2、 4、
4181、 6765、 10946、 17711、28657、46368、75025、
数列 1、1、2、3、5、8……
仔细观察 ，你能发现其中的规律吗？
仔细观察 ，你能发现其中的规律吗？
数列1、1、2、3、5、8、
13……
1+1=2 1 + 2 =3 2+3=5
3+5=8
5 + 8 = 13
ห้องสมุดไป่ตู้
………
仔细观察 ，你能发现其中的规律吗？
数列1、1、2、3、5、8、
13、
从第三项起，每一项都是前两项之和。
121393、196418…… 这个数列中的第2013项除以5的余数是多少？
3、 3……
÷
天下难事做于易
芙蓉区双新小学
史 唯
第3题：
数列1，1，2，3，5，8……
从第三项起，每一项都是前两项之 和。问这个数列中的第2013项除以5 的余数是多少？
斐波那契数列
斐波那契（Leonardo Fibonacci） 是欧洲中世纪数学家，他对欧洲的数 学发展有着深远的影响。他生于意大 利的比萨，曾经游历过世界上的许多 地方。1202年，斐波那契出版了他的 著作《算盘书》。在这部著作中，他 首先引入了阿拉伯数字，将十进制计 数法介绍到欧洲。在此书中他还提出 了有趣的兔子问题。
1、 1、 2、 3、 5、 8、 13、 21、34、55、
1、 1、 2、 3、 0、 3、 3、 1、 4、 0、 89、 144、 233、 377、 610、 987、 1597、 2584、 4、 4、 3、 2、 0、 2、 2、 4、
4181、 6765、 10946、 17711、28657、46368、75025、
数列 1、1、2、3、5、8……
仔细观察 ，你能发现其中的规律吗？
仔细观察 ，你能发现其中的规律吗？
数列1、1、2、3、5、8、
13……
1+1=2 1 + 2 =3 2+3=5
3+5=8
5 + 8 = 13
ห้องสมุดไป่ตู้
………
仔细观察 ，你能发现其中的规律吗？
数列1、1、2、3、5、8、
13、
从第三项起，每一项都是前两项之和。
《斐波那契螺旋线》课件
《斐波那契螺旋线》PPT 课件
欢迎来到《斐波那契螺旋线》课件。本课件将介绍斐波那契数列的定义和性 质，并深入探讨斐波那契螺旋线的构造、几何性质以及生成算法。
斐波那契数列
1 概念和定义
2 性质
斐波那契数列是指每个数都是前两个数的和， 例如：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...
斐波那契数列具有许多特殊的数学性质，如 黄金比例等。
构造斐波那契螺旋线
1
定义斐波那契螺旋线
斐波那契螺旋线是由一系列正方形组成的螺旋线，边长和斐波那契数列严格相关。
2
构造斐波那契螺旋线
通过不断增加正方形的边长，我们可以绘制出美丽的斐波那契螺旋线。
3
美丽的几何形状
斐波那契螺旋线展现了它独特的几何特性，如自相似性和黄金分割。
斐波那契螺旋线的几何性质
性质分析
总结与展望
总结本节课的内容
我们深入研究了斐波那契数列和螺旋线的定义、性 质、构造和生成算法。
展望斐波那契螺旋线的未来研究方向
斐波那契螺旋线的应用潜力巨大，未来的研究将进 一步探索其在科学和工程领域的应用。
通过数学推导和几何推理，我们可以发现斐波那契螺旋线有许多有趣的性质。
应用实例
斐波那契螺旋线在艺术、建筑和自然界中都有广线的生成算法
1
递归算法
利用递归的思想，我们可以简洁地实现
迭代算法
2
斐波那契螺旋线的生成过程。
通过迭代计算每个正方形的位置和边长， 我们也可以绘制出完美的斐波那契螺旋 线。
欢迎来到《斐波那契螺旋线》课件。本课件将介绍斐波那契数列的定义和性 质，并深入探讨斐波那契螺旋线的构造、几何性质以及生成算法。
斐波那契数列
1 概念和定义
2 性质
斐波那契数列是指每个数都是前两个数的和， 例如：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...
斐波那契数列具有许多特殊的数学性质，如 黄金比例等。
构造斐波那契螺旋线
1
定义斐波那契螺旋线
斐波那契螺旋线是由一系列正方形组成的螺旋线，边长和斐波那契数列严格相关。
2
构造斐波那契螺旋线
通过不断增加正方形的边长，我们可以绘制出美丽的斐波那契螺旋线。
3
美丽的几何形状
斐波那契螺旋线展现了它独特的几何特性，如自相似性和黄金分割。
斐波那契螺旋线的几何性质
性质分析
总结与展望
总结本节课的内容
我们深入研究了斐波那契数列和螺旋线的定义、性 质、构造和生成算法。
展望斐波那契螺旋线的未来研究方向
斐波那契螺旋线的应用潜力巨大，未来的研究将进 一步探索其在科学和工程领域的应用。
通过数学推导和几何推理，我们可以发现斐波那契螺旋线有许多有趣的性质。
应用实例
斐波那契螺旋线在艺术、建筑和自然界中都有广线的生成算法
1
递归算法
利用递归的思想，我们可以简洁地实现
迭代算法
2
斐波那契螺旋线的生成过程。
通过迭代计算每个正方形的位置和边长， 我们也可以绘制出完美的斐波那契螺旋 线。
《斐波那契数列》课件
特征方程
特征方程
对于斐波那契数列，其特征方程为x^2=x+1。通过解这个方程，可以得到斐波 那契数列的通项公式。
通项公式
斐波那契数列的通项公式为F(n)=((φ^n)-(-φ)^-n))/√5，其中φ=(1+√5)/2是黄 金分割比。这个公式可以用来快速计算斐波那契数列中的任意数字。
03
斐波那契数列的数学模型
在生物学中的应用
遗传学研究
在遗传学中，斐波那契数列可以用于 描述DNA的碱基排列规律，有助于深 入理解遗传信息的传递和表达。
生物生长规律
许多生物体的生长和繁殖规律可以用 斐波那契数列来描述，如植物的花序 、动物的繁殖数量等。
在计算机图形学中的应用
图像处理
在图像处理中，斐波那契数列可以用于生成复杂的图案和纹理，增加图像的艺术感和视觉效果。
斐波那契数列的递归算法
F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(0) = 0，F(1) = 1。
03
递归算法的时间复杂度
O(2^n)，因为递归过程中存在大量的重复计算。
迭代算法
迭代算法的基本思想
迭代算法的时间复杂度
从问题的初始状态出发，通过一系列 的迭代步骤，逐步逼近问题的解。
O(n)，因为迭代过程中没有重复计算 。
实际应用价值
斐波那契数列在计算机科指导 意义。
对未来研究的展望
深入探索斐波那契数列的性质
01
随着数学研究的深入，可以进一步探索斐波那契数列的性质和
规律，揭示其更深层次的数学原理。
跨学科应用研究
02
未来可以将斐波那契数列与其他学科领域相结合，如生物学、
表示方法
通常用F(n)表示第n个斐波那契数 ，例如F(0)=0，F(1)=1，F(2)=1 ，F(3)=2，以此类推。
Fibonacci数列(斐波那契数列) ppt课件
因此，差分方程的解为：
n
n
fn
C1
1
2
5
C2
1 2
5
ppt课件
13
3.Fibonacci数列的通项公式
根据初始条件 f1 f2 1 ,可能确定常数 c1, c2 ,
[c1,c2]=solve('c1*(1+sqrt(5))/2+c2* (1sqrt(5))/2=1','c1*((1+sqrt(5))/2)^2+ c2*((1-sqrt(5))/2)^2=1')
，则有
lim
n
gn
5 1 0.618，
2
这是一个美丽的数学常数----黄金分割比。 有趣的是，这个数字在自然界和人们生活中到 处可见：人们的肚脐是人体总长的黄金分割点， 人的膝盖是肚脐到脚跟的黄金分割点。大多数 门窗的宽长之比也是0.618…；
ppt课件
16
4.自然界中的斐波那契数列
科学家发现，很多植物的花瓣、萼片、果实 的数目以及排列的方式上，都有一个神奇的 规律，它们都非常符合著名的斐波那契数列。
ppt课件
23
4.自然界中的斐波那契数列
黄金分割对摄影画面构图可以说有着自然联 系。例如照相机的片窗比例：135相机就是 24X36即2:3的比例，这是很典型的。120相 机4.5X6近似3:5,6X6虽然是方框，但在后 期制作用，仍多数裁剪为长方形近似黄金分 割的比例。只要我们翻开影集看一看，就会 发现，大多数的画幅形式，都是近似这个比 例。这可能是受传统的影响，也养成了人们 的审美习惯。
学专家分析后还发现，饭吃六七成饱的人几
高中数学必修5《斐波那契数列》PPT
7 月 8 月 9 月 10 月 11 月 12 月 13 21 34 55 89 144
• 因此，斐波那契问题的答案是 144 对。 • 以上的数列，亦被称为「斐波那契数列」
斐波那契数列
• 这个数列称之为斐波那契数列，因以兔 子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数 列”。这个数列从第三项开始，每一项都 等于前两项之和，即
以斐波那契数列的性质为背景命制试题
• 【例】意大利著名数学家斐波那契在研 究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数 列： 1,1,2,3,5,8,13,21,34, ,
其中从第三个数起，每一个数都等于它前 面两个数的和，人们把这样的一列数所 组成的数列称为“斐波那契数列”.
那么 a12 a22 a32
解答
1月 1对 2月 对 3月 2对 4月 3对 5月 5对
解答
1月 1对 2月 1对 3月 2对 4月 3对 5月 5对 6月 8对
解答
1月 1对 2月 1对 3月 2对 4月 3对 5月 5对 6月 8对 7 月 13 对
解答
解答
• 可以將结果以表格形式列出：
1月 2月 3月 4月 5月 6月 112358
1
34
看 这 两 个
2 3 5 8
13
21
55 89
144 233
377
610
数
34
987
列 55 + 89
1597 + 2584
：
231
6710
斐波那契数列
• 若一个数列，首两项等于 1，而从第 三项起，每一项是之前两项之和， 则称该数列为斐波那契数列。即：
1 + 1 = 2 2 + 3 = 5 5 + 8 = 13
• 因此，斐波那契问题的答案是 144 对。 • 以上的数列，亦被称为「斐波那契数列」
斐波那契数列
• 这个数列称之为斐波那契数列，因以兔 子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数 列”。这个数列从第三项开始，每一项都 等于前两项之和，即
以斐波那契数列的性质为背景命制试题
• 【例】意大利著名数学家斐波那契在研 究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数 列： 1,1,2,3,5,8,13,21,34, ,
其中从第三个数起，每一个数都等于它前 面两个数的和，人们把这样的一列数所 组成的数列称为“斐波那契数列”.
那么 a12 a22 a32
解答
1月 1对 2月 对 3月 2对 4月 3对 5月 5对
解答
1月 1对 2月 1对 3月 2对 4月 3对 5月 5对 6月 8对
解答
1月 1对 2月 1对 3月 2对 4月 3对 5月 5对 6月 8对 7 月 13 对
解答
解答
• 可以將结果以表格形式列出：
1月 2月 3月 4月 5月 6月 112358
1
34
看 这 两 个
2 3 5 8
13
21
55 89
144 233
377
610
数
34
987
列 55 + 89
1597 + 2584
：
231
6710
斐波那契数列
• 若一个数列，首两项等于 1，而从第 三项起，每一项是之前两项之和， 则称该数列为斐波那契数列。即：
1 + 1 = 2 2 + 3 = 5 5 + 8 = 13
斐波那契数列通项公式的推导方法ppt课件
即 bn =2 bn1 数列{ bn }为等比数列， 其中b1 = a1 +1=2,q=2 bn =2 2n1 = 2n an 2n 1
16
问题一思路三：设 bn = a n +1，则bn1 = an1 +1， bn =3bn1 { bn }为等比数列，其中b1 =a1 +1=2,q=3， bn =2 3n1 = 2 3n1 an = 2 3n1 －1
…………
猜想： a n = 3n13n2 2 3n3 2 ... 3 2 2
2 1 3n1
=3n1 1 3
= 2
n1
3
1
n
2
上式当 n=1 时也成立， a n = 2
n1
3
1
n
N
(证略)
15
问题二的解答
思路： bn = an +1=（2 an1 +1）+1=2（an1 +1）=2bn1， 构造法
再设 bn = an 2n ，则 bn1 = an1 2n1 ，
bn1 =3 bn { bn }为等比数列，其中b1 =a1 +2=3,q=3，
bn =3n an =3n -2n
19
a1 1
问题三
：已知数列{
a
n
}满足
a
2
3
an 2an1 an2(n 3)
构造法
将(4)、 (5)两式相减得：
n
n
5a
n
1
2
5
1 2
5
an
16
问题一思路三：设 bn = a n +1，则bn1 = an1 +1， bn =3bn1 { bn }为等比数列，其中b1 =a1 +1=2,q=3， bn =2 3n1 = 2 3n1 an = 2 3n1 －1
…………
猜想： a n = 3n13n2 2 3n3 2 ... 3 2 2
2 1 3n1
=3n1 1 3
= 2
n1
3
1
n
2
上式当 n=1 时也成立， a n = 2
n1
3
1
n
N
(证略)
15
问题二的解答
思路： bn = an +1=（2 an1 +1）+1=2（an1 +1）=2bn1， 构造法
再设 bn = an 2n ，则 bn1 = an1 2n1 ，
bn1 =3 bn { bn }为等比数列，其中b1 =a1 +2=3,q=3，
bn =3n an =3n -2n
19
a1 1
问题三
：已知数列{
a
n
}满足
a
2
3
an 2an1 an2(n 3)
构造法
将(4)、 (5)两式相减得：
n
n
5a
n
1
2
5
1 2
5
an
《斐波那契数列》课件
03
斐波那契数列的应用
在自然界的运用
生长与繁殖
许多动植物的生长和繁殖遵循斐 波那契数列的规律。例如，菠萝 表面的小眼通常以斐波那契数列
的顺序排列。
植物生长
许多植物的花瓣、叶子和分支遵 循斐波那契数列的规律，如向日 葵花盘上的花瓣数量、松果的鳞
片排列等。
动物行为
一些动物的行为模式，如蜘蛛网 的构造、蜜蜂的蜂巢等，也与斐
02
在建筑设计中的应用
斐波那契数列的美学价值使得它在建 筑设计中也有所应用。通过运用斐波 那契数列的规律和比例，可以在建筑 设计中创造出和谐、优美的作品。
03
在音乐和艺术领域的 应用
斐波那契数列在音乐和艺术领域也有 所应用。例如，在作曲中可以利用斐 波那契数列来安排和声和旋律，在绘 画中可以利用斐波那契数列来构图和 布局。
在计算机科学中的应用
数据结构和算法设计
斐波那契数列在计算机科学中被广泛应用于数据结构和算 法设计。例如，斐波那契堆是一种优化的数据结构，用于 实现高效的内存管理和动态调整。
加密和安全
斐波那契数列在加密算法和网络安全领域也有所应用。例 如，利用斐波那契数列的特性可以设计出更安全的加密算 法。
计算机图形学
寻找新的应用领域
除了在生物学、经济学等领域的应用，未来可以 寻找斐波那契数列在其他领域的新应用，如物理 学、计算机科学等。
优化算法和计算方法
随着计算能力的提高，可以进一步优化斐波那契 数列的计算方法和算法，提高计算效率和精度。
如何将斐波那契数列应用到实际生活中
01
在金融领域的应用
斐波那契数列在金融领域有广泛的应 用，如股票价格预测、风险评估等。 通过分析历史数据，可以利用斐波那 契数列预测未来的市场走势。
人教版六年级数学下册《斐波那契数列》PPT课件
阅读材料
斐波那契数列
假斐定(fě一i对)波刚那出契生是的中小世兔纪一数个学月家后，就他 能对长欧成洲大的兔数,学再发过展一有个着月深便远能的生影下响一。对他小生 于兔意,并大且利以的后比每萨个，月曾都经生游一历对过小东兔方。和一阿年 拉内伯没的有许发多生地死方亡。1那2么02,年由，一斐对波刚那出契生出的 版兔了子他开的始著,1作2个《月算后盘会书有》多。少在对这兔部子名呢著?
377，610，987 … …
单位: cm 5
3
11
2 8
兰 花
1 2
3
12
5
3
4
苹果花
格桑花
8 12
7
3
6 54
雏
菊
13 1 2 3
12
11
4
10 98
5
6 7
3
5
8
13
21
34
• 树丫的数目（树的分杈）
七 13
六
8
五
5
四
3
三
2
二
1
一
1
种
()
子 的 排
松 果
列
种
()
子 的 排
松 果
列
种子的排列
向日葵花盘上的螺旋线条，顺时针数 ２１条；反向再数就变成了３４条．是不 是很有意思呀！
音乐中的斐波那契数列
从一个 C 键到下一个 C 键就是音乐中的一个八度音程
5
2
3
共13个
3
5
8
斐波那契数列还有很多性质 未曾介绍。在国际上，仍然有很 多人对此数列发生兴趣，并办杂 志來分享研究的心得。
1月 2月 3月 4月 5月 6月
斐波那契数列
假斐定(fě一i对)波刚那出契生是的中小世兔纪一数个学月家后，就他 能对长欧成洲大的兔数,学再发过展一有个着月深便远能的生影下响一。对他小生 于兔意,并大且利以的后比每萨个，月曾都经生游一历对过小东兔方。和一阿年 拉内伯没的有许发多生地死方亡。1那2么02,年由，一斐对波刚那出契生出的 版兔了子他开的始著,1作2个《月算后盘会书有》多。少在对这兔部子名呢著?
377，610，987 … …
单位: cm 5
3
11
2 8
兰 花
1 2
3
12
5
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苹果花
格桑花
8 12
7
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6 54
雏
菊
13 1 2 3
12
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10 98
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• 树丫的数目（树的分杈）
七 13
六
8
五
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四
3
三
2
二
1
一
1
种
()
子 的 排
松 果
列
种
()
子 的 排
松 果
列
种子的排列
向日葵花盘上的螺旋线条，顺时针数 ２１条；反向再数就变成了３４条．是不 是很有意思呀！
音乐中的斐波那契数列
从一个 C 键到下一个 C 键就是音乐中的一个八度音程
5
2
3
共13个
3
5
8
斐波那契数列还有很多性质 未曾介绍。在国际上，仍然有很 多人对此数列发生兴趣，并办杂 志來分享研究的心得。
1月 2月 3月 4月 5月 6月
人教版六年级数学下册斐波那契数列ppt
3
5
35
8
解答
6
1月 1对 2月 1对 3月 2对 4月 3对 5月 5对
解答
7
1月 1对 2月 1对 3月 2对 4月 3对 5月 5对 6月 8对
解答
8
解答
1月 1对 2月 1对 3月 2对 4月 3对 5月 5对 6月 8对 7 月 13 对
9
月份 1 2 3 4 5 6
兔子 对数
1
12
3
5
8
月份 7 8 9 10 11 12
从第三项起，数列中的每一项 都等于前两项之和。
12
13
14
15
16
17
18
19
5
3
11
2
单位: cm
8
20
21
22
兰 花
1 2
3
23
12
5
3
4
苹
3
6 54
25
雏
菊
13 1 2 3
12
11
4
10 98
5
6 7
26
27
3
5
8
13
21
34 28
• 树丫的数目（树的分杈）
2
假定一对刚出生的小兔一个月后 就能长成大兔，再过一个月便能下一 对小兔，并且以后每个月都生一对小 兔。一年以内没有发生死亡。那么， 有一对刚出生的兔子开始，12个月后 会有多少对兔子呢？
3
1月 1对 2月 1对
解答
4
1月 1对 2月 1对 3月 2对
解答
5
1月 1对 2月 1对 3月 2对 4月 3对
斐波那契数列
斐波那契数列-课件(PPT-精)共53页PPT
42、பைடு நூலகம்有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
斐波那契数列-课件（PPT-精）
11、不为五斗米折腰。 12、芳菊开林耀，青松冠岩列。怀此 贞秀姿 ，卓为 霜下杰 。
13、归去来兮，田蜀将芜胡不归。 14、酒能祛百虑，菊为制颓龄。 15、春蚕收长丝，秋熟靡王税。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
斐波那契数列-课件（PPT-精）
11、不为五斗米折腰。 12、芳菊开林耀，青松冠岩列。怀此 贞秀姿 ，卓为 霜下杰 。
13、归去来兮，田蜀将芜胡不归。 14、酒能祛百虑，菊为制颓龄。 15、春蚕收长丝，秋熟靡王税。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
4.1数列的前n项和及斐波那契数列课件-高二上学期数学人教A版选择性必修第二册
你发现这个数列的规律了吗？
如果用Fn 表示第n个月的兔子的总对数 , 可以看出
Fn Fn1 Fn 2 ( n 2)
这是一个由递推公式给出的数列, 称为斐波那契数列.
4.已知数列{an }的第1项是1, 第2项是 2, 以后各项由an an1 an 2 ( n 2)
给出.
n 2时, bn Tn Tn 1 n (n 1) 1;
n 1时, b1 T1 1, 符合上式.
an
bn n n 1 , an n 2 n 1.
2
阅读与思考
斐波那契数列
1202年，意大利数学家斐波那契(Leonardo Fibonacci，
1 2, 2 3, 3 5, .
1
1
斐波那契数列有很多有趣的性质．
例如，斐波那契数列满足等式，
我们可以用图形（图1）来表示这个等式．
图1中小正方形的边长等于斐波那契数1，1，2，3，5，8，…．
若干小正方形构成的长方形的边长依次是两个斐波那契数的乘积，，…．
如图1所示，从内到外依次连接通过小正方形的四分之一圆弧，
也呈现出类似的规律．
由于斐波那契数列的广泛应用性，美国成立了斐
波那契协会，并于1963年创办《斐波那契季刊》，
专门发表关于这个数列的研究论文．
有兴趣的同学可以通过浏览互联网或查阅相关书
籍搜集资料，进一步了解盘研究斐波那契数列．
b1
b2
b3
b4
b5
黄金分割点
斐波那契数列有很多有趣的性质.例如, 斐波那契数列满足等式
F12 F22
Fn2 Fn Fn1 .我们可以用图形(图1)来表示这3, 5, 8, .
如果用Fn 表示第n个月的兔子的总对数 , 可以看出
Fn Fn1 Fn 2 ( n 2)
这是一个由递推公式给出的数列, 称为斐波那契数列.
4.已知数列{an }的第1项是1, 第2项是 2, 以后各项由an an1 an 2 ( n 2)
给出.
n 2时, bn Tn Tn 1 n (n 1) 1;
n 1时, b1 T1 1, 符合上式.
an
bn n n 1 , an n 2 n 1.
2
阅读与思考
斐波那契数列
1202年，意大利数学家斐波那契(Leonardo Fibonacci，
1 2, 2 3, 3 5, .
1
1
斐波那契数列有很多有趣的性质．
例如，斐波那契数列满足等式，
我们可以用图形（图1）来表示这个等式．
图1中小正方形的边长等于斐波那契数1，1，2，3，5，8，…．
若干小正方形构成的长方形的边长依次是两个斐波那契数的乘积，，…．
如图1所示，从内到外依次连接通过小正方形的四分之一圆弧，
也呈现出类似的规律．
由于斐波那契数列的广泛应用性，美国成立了斐
波那契协会，并于1963年创办《斐波那契季刊》，
专门发表关于这个数列的研究论文．
有兴趣的同学可以通过浏览互联网或查阅相关书
籍搜集资料，进一步了解盘研究斐波那契数列．
b1
b2
b3
b4
b5
黄金分割点
斐波那契数列有很多有趣的性质.例如, 斐波那契数列满足等式
F12 F22
Fn2 Fn Fn1 .我们可以用图形(图1)来表示这3, 5, 8, .
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第
「十秒钟加数」的秘密
• 数学家又发现：连续 10 个 斐波那契数之和，必定等于 第 7 个数的 11 倍！ • 所以右式的答案是： 21 11 = 231 +
第
1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 ??
「十秒钟加数」的秘密
• 又例如： • 右式的答案是： 610 11 = 6710
斐波那契数列
第
+
第
1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 ??
十秒钟加数
• 请用十秒，计出左边 一条加数的答案。
时间到！
• 答案是 231。
+
第
34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584答案是 6710。
第
• 第 3、第 6、第 9、第 12 项的数字， 能够被 2 整除。
第
斐波那契数列与数学
• 后來的数学家发现了许多关于斐波那契 数列的特性。例如： 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , …
• 第 3、第 6、第 9、第 12 项的数字， 能够被 2 整除。 • 第 4、第 8、第 12 项的数字，能够被 3 整除。
第
问题提出
• 在 1202 年，斐波那契在他的著作中， 提出以下的一个问题： • 假设一对初生兔子要一个月才到成熟 期，而一对成熟兔子每月会生一对兔 子，那么，由一对初生兔子开始，12 个月后会有多少对兔子呢？
第
解答
1 月 1 对
第
解答
1 月 1 对 2 月 1 对
第
解答
1 月 1 对 2 月 1 对 3 月 2 对
第
解答
1 2 3 4 月 月 月 月 1 1 2 3 对 对 对 对
第
解答
1 2 3 4 5 月 月 月 月 月 1 对 对 2 对 3 对 5 对
第
解答
1 2 3 4 5 6
第
月 月 月 月 月 月
1 1 2 3 5 8
对 对 对 对 对 对
解答
1 2 3 4 5 6 7
第
月 1 月 1 月 2 月 3 月 5 月 8 月 13
1 + 1 = 2 2 + 3 = 5 5 + 8 = 13
•1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 2 = 3 + 13 ,1 + … … 5 = … … …
第
3
8
斐波那契数列
• 斐波那契（Leonardo Pisano Fibonacci ; 1170 1250 ） • 意大利商人兼数学家 • 他在著作《算盘书》 中，首先引入阿拉伯 数字，將「十进位值 记数法」介绍给欧洲 人认识，对欧洲的数 学发展有深远的影响。
细 看 这 两 个 数 列 ：
+
1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 231
+
34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 6710
斐波那契数列
• 若一个数列，首两项等于 1，而从第三 项起，每一项是之前两项之和，则称该 数列为斐波那契数列。即：
大自然中的斐波那契数列
• 花瓣的数目
第
海棠（2）
钱兰（3）
大自然中的斐波那契数列
• 花瓣的数目
洋紫荊（5）
第
黃蝉（5）
蝴蝶兰（5）
大自然中的斐波那契数列
• 花瓣的数目
雏菊（13）
第
雏菊（13）
大自然中的斐波那契数列
• 树丫的数目（喷嚏麦的分枝）
13 8
第
5 3 2 1 1
大自然中的斐波那契数列
第
斐波那契数列与数学
• 后來的数学家发现了许多关于斐波那契 数列的特性。例如： 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , …
• 第 3、第 6、第 9、第 12 项的数字， 能够被 2 整除。 • 第 4、第 8、第 12 项的数字，能够被 3 整除。 • 第 5、第 10 项的数字，能夠被 5 整除。 • 其余的，如此类推。
～完～
第
对 对 对 对 对 对 对
解答
• 可以將结果以表格形式列出：
1 月 1 7 月 13 2 月 1 8 月 21 3 月 2 9 月 34 4 月 3 10 月 55 5 月 6 月 5 11 月 89 8 12 月 144
第
• 因此，斐波那契问题的答案是 144 对。 • 以上的数列，亦被称为「斐波那契数列」
• 种子的排列（松果）
第
大自然中的斐波那契数列
• 種子的排列（松果）
第
大自然中的斐波那契数列
• 种子的排列（松果）
第
第
第
第
第
第
第
斐波那契数列与音乐
2
3
第
3
5
斐波那契数列与音乐
5
第
8
斐波那契数列与数学
• 后來的数学家发现了许多关于斐波那契 数列的特性。例如： 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , …
+
第
34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 ????
最后三句
• 斐波那契数列还有很多性质未曾介绍。 在外国，仍然有很多人对这数列发生兴 趣，并办杂志來分享研究的心得。 • 同学可參考以下书籍： 《斐波那契数列》九章出版社 • 同学亦可到以下网址看看：
/Personal/R.Knott/F ibonacci/