矩阵的初等变换与线性方程组习题含答案
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第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
3.4.1 基础练习
1．已知121011251-⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，求()R A .
2．已知3210
1032
100000200000-⎛⎫
⎪-
⎪
= ⎪- ⎪ ⎪⎝
⎭B ，求()R B . 3．若矩阵,,A B C 满足=A BC ，则（ ）. (A)()()R R =A B (B) ()()R R =A C
(C)()()R R ≤A B (D) ()max{(),()}R R R ≥A B C
4． 设矩阵X 满足关系2=+AX A X ，其中423110123⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，求X .
5． 设矩阵101210325⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭
A ，求1
()--E A .
6．A 是m n ⨯矩阵，齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充要条件是 . 7．若非齐次线性方程组=Ax b 中方程个数少于未知数个数，那么( ). (A) =Ax b 必有无穷多解； (B) 0=Ax 必有非零解； (C) 0=Ax 仅有零解； (D) 0=Ax 一定无解. 8． 求解线性方程组
（1）12312312312333332x x x x x x x x x +-=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩， （2）72315
532151011536
x y z x y z x y z ++=⎧⎪
-+=⎨⎪-+=⎩
（3）123412341
23420
202220
x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪
++-=⎨⎪+++=⎩
9．若方程组 12323232132(3)(4)(2)x x x x x x x λλλλλλ+-=-⎧⎪
-=-⎨⎪-=--+-⎩
有无穷多解，则λ= .
10．若12(1,0,2),(0,1,1)T T
==-αα都是线性方程组0=Ax 的解，则=A ( ).
(A)()2,1,1- (B)201011-⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (C)102011-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ (D)011422010-⎡⎤
⎢⎥--⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
3.4.2 提高练习
1．设A 为5阶方阵，且()3R =A ，则*
()R A = .
2．设矩阵12332354445037a a -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
A ，以下结论正确的是( ).
(A)5a =时，()2R =A (B) 0a =时，()4R =A (C)1a =时，()5R =A (D) 2a =时，()1R =A
3．设A 是43⨯矩阵，且()2R =A ，而102020103⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭B ，则()R =AB .
4．设12243311t
-⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，B 为3阶非零矩阵，且0=AB ，则t = . 5．设12312323k k k -⎛⎫ ⎪
=-- ⎪ ⎪-⎝⎭
A , 问k 为何值，可使
（1）()1R =A （2）()2R =A （3）()3R =A .
6．设矩阵111111111111k
k k k ⎛⎫
⎪
⎪
= ⎪
⎪
⎪⎝⎭
A ，且()3R =A ，则k = .
7．设133143134⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
A ，试将A 表示为初等矩阵的乘积. 8．设n 阶方阵A 的个行元素之和均为零，且()1R n =-A ，则线性方程组0=Ax 的 通解为 .
9．设111213142121
2121313233344142
43
44a a a a a a a a a a a a a
a a a ⎛⎫
⎪
⎪= ⎪
⎪ ⎪⎝⎭A ，14
13
121124
2322213433323144
43
42
41a a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪
⎪
= ⎪
⎪ ⎪⎝⎭B ，10001010000101000⎛⎫
⎪
⎪
= ⎪ ⎪
⎪⎝⎭
P 21000001001000001⎛⎫
⎪
⎪
= ⎪
⎪
⎪⎝
⎭
P ，其中A 可逆，则1-=B .
10．设n 阶矩阵A 与B 等价，则必有（ ）.
（A ）当(0)a a =≠A 时，a =B （B ）当(0)a a =≠A 时，a =-B （C ）当0≠A 时，0=B （D ）当0=A 时，0=B
11．设a b b b a b b b a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
A ，若*
()1R =A ，则必有（ ）.
（A ）a b =或20a b += （B ）a b =或20a b +≠ （C ）a b ≠或20a b += （D ）a b ≠或20a b +≠
12．齐次线性方程组212312312
30
00
x x x x x x x x x λλλλ⎧++=⎪
++=⎨⎪++=⎩的系数矩阵记为A ，若存在三阶矩阵0≠B ，使
得0=AB ，则（ ）.
（A ）2λ=-且0=B （B ）2λ=-且0≠B （C ）1λ=且0=B （D ）1λ=且0≠B
13．设A 是三阶方阵，将A 的第一列与第二列交换得到B ，再把B 的第二列加到第三列得到C ，则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为（ ）.