正余弦定理及解三角形专题

正余弦定理专题
1.【2017山东，理9】在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若C ∆AB 为锐角三角形，且满足()sin 12cosC 2sin cosC cos sinC B +=A +A ，则下列等式成立的是 （A ）2a b = （B ）2b a = （C ）2A =B （D ）2B =A 【答案】A
【解析】sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+ 所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A.
2.【2017北京，理12】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1
sin 3
α=，cos()αβ-=___________. 【答案】79
-
3.【2017浙江，14】已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos∠BDC =_______．
【解析】取BC 中点E ，DC 中点F ，由题意：,AE BC BF CD ⊥⊥，
△ABE 中，1
cos 4BE ABC AB ∠=
=，1cos ,sin 4DBC DBC ∴∠=-∠==
BC 1sin 2D S BD BC DBC ∴=⨯⨯⨯∠=
△
又21
cos 12sin ,sin 4DBC DBF DBF ∴∠=-∠=-∴∠=
，
cos sin BDC DBF ∴∠=∠=
，
综上可得，△BCD ，cos BDC ∠=．
4.【2017课标II ，理17】ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，已知()2
sin 8sin 2
B
A C +=， （1）求cos
B ；
（2）若6a c +=，ABC ∆的面积为2，求b 。

【答案】(1)15
cos 17
B =
； (2) b=2 【解析】b=2（1）由题设及
，故
上式两边平方，整理得
解得
（2）由，故
又
由余弦定理 及
得
所以b=2.
1.【2016高考新课标2理数】若3
cos()45
π
α-=，则sin 2α=（ ） （A ）725 （B ）15 （C ）15- （D ）725
-
【答案】D
【解析】2
237cos 22cos 1214
4525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=--=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，
且cos 2cos 2sin 24
2ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤
-=-=
⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.
2.【2016高考新课标3理数】若3
tan 4
α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)
6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625
【答案】A 【解析】 由3tan 4α=
，得34sin ,cos 55αα==或34
sin ,cos 55
αα=-=-，所以2161264
cos 2sin 24252525
αα+=+⨯=，故选A ．
7.【2016高考天津理数】在△ABC 中，若AB ，120C ∠= ,则AC = （ ） （A ）1
（B ）2
（C ）3
（D ）4
【答案】A
【解析】由余弦定理得213931AC AC AC =++⇒=,选A.
8.【2016高考江苏卷】在锐角三角形ABC 中，若sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是 ▲ . 【答案】8.
【解析】sin sin()2sin sin tan tan 2tan tan A B+C B C B C B C ==⇒+=，又tan tan tan tan tan 1
B+C
A=
B C -，因
tan tan tan tan tan tan tan 2tan tan tan tan tan 8,
A B C A B C A B C A B C =++=+≥≥即最小值为8.
9.【2016年高考四川理数】（本小题满分12分） 在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且cos cos sin A B C
a b c
+=. （I ）证明：sin sin sin A B C =； （II ）若2
2
2
6
5
b c a bc +-=
，求tan B . 【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）4. 【解析】
（Ⅱ）由已知，b 2
+c 2
–a 2
=
6
5
bc ，根据余弦定理，有 cos A=2222b c a bc
+-=35．
所以=
4
5
． 由（Ⅰ），sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B ，
所以
45sin B=45cos B+3
5
sin B ， 故tan B=sin cos B
B
=4．
10.【2016高考浙江理数】（本题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 已知b +c =2a cos B.
（I ）证明：A =2B ；
（II ）若△ABC 的面积2=4
a S ，求角A 的大小.
【答案】（I ）证明见解析；（II ）2
π
或
4
π
．
【解析】
（Ⅰ）由正弦定理得sin sin 2sin cos B C A B +=，
故()2sin cos sin sin sin sin cos cos sin A B B A B B A B A B =++=++，
于是()sin sin ΒA Β=-．
又A ，()0,πB ∈，故0πA B <-<，所以()πB A B =--或B A B =-， 因此πA =（舍去）或2A B =， 所以，2A B =．
（Ⅱ）由24a S =得21sin 24
a a
b C =，故有1
sin sin sin 2sin cos 2B C B B B ==，
因为sin 0B ≠，所以sin cos C B =． 又B ，()0,πC ∈，所以π
2
C B =
±． 当π2B C +=
时，π2A =； 当π2C B -=时，π
4A =．
综上，π2A =或π
4
A =．
易错起源1、三角恒等变换
例1、(1)已知α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝________.
(2)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010
，α，β均为锐角，则角β等于( ) A.5π
12 B.π
3 C.π4
D.π6
答案 (1)24
25
(2)C
解析 (1)因为α为锐角，cos(α＋π6)＝3
5>0，
所以α＋π6为锐角，sin(α＋π6)＝4
5
，
则sin(2α＋π3)＝2sin(α＋π6)cos(α＋π6)＝2×45×35＝24
25.
又cos(2α－π6)＝sin(2α＋π
3)，
所以cos(2α－π6)＝24
25
.
(2)因为α，β均为锐角， 所以－π2<α－β<π2.
又sin(α－β)＝－
10
10
， 所以cos(α－β)＝310
10.
又sin α＝
55，所以cos α＝255
， 所以sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝
55×31010－255×(－1010)＝22
. 所以β＝π4
.
【变式探究】(1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210，cos2α＝725，则sin α等于( ) A.45 B ．－45 C ．－35 D.3
5 (2)3cos10°－1sin170°等于( ) A ．4 B ．2 C ．－2
D ．－4
答案 (1)D (2)D
解析 (1)由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210， 得sin αcos π4－cos αsin π4＝72
10，
即sin α－cos α＝7
5
，①
又cos2α＝725，所以cos 2α－sin 2
α＝725，
即(cos α＋sin α)·(cos α－sin α)＝7
25，
因此cos α＋sin α＝－1
5.②
由①②得sin α＝3
5
，故选D.
(2)3cos10°－1sin170°＝3cos10°－1
sin10°
＝
3sin10°－cos10°
sin10°cos10°＝
－1
2
sin20°
＝
－2sin20°
1
2
si n20°＝－4，
故选D. 【名师点睛】
(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况．(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解． 【锦囊妙计，战胜自我】 1．三角求值“三大类型”
“给角求值”、“给值求值”、“给值求角”． 2．三角函数恒等变换“四大策略”
(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2
θ＋cos 2
θ＝tan45°等；
(2)项的分拆与角的配凑：如sin 2
α＋2cos 2
α＝(sin 2
α＋cos 2
α)＋cos 2
α，α＝(α－β)＋β等； (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦． 易错起源2、正弦定理、余弦定理
例2、(1)(2016·课标全国丙)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于1
3BC ，则cos A 等于( )
A.
31010 B.1010C ．－1010D ．－310
10
(2)(2015·北京)在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，A ＝2π
3，则B ＝________.
答案 (1)C (2)π
4
解析 (1)设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 则由题意得S △ABC ＝12a ·13a ＝12ac sin B ，∴c ＝2
3a .
由余弦定理得b 2
＝a 2
＋c 2
－2ac cos B ＝a 2
＋29a 2－2×a ×23a ×22＝59
a 2，
∴b ＝
53
a . ∴cos A ＝
b 2＋
c 2－a
2
2bc
＝59a 2＋29a 2－a 22×
53a ·2
3
a ＝－
10
10
. 故选C.
(2)由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝6sin
2π33＝2
2
，
因为A 为钝角，所以B ＝π
4
.
【变式探究】如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍．
(1)求sin B sin C ；
(2)若AD ＝1，DC ＝
2
2
，求BD 和AC 的长．
(2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知
AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos∠ADC .
故AB 2
＋2AC 2
＝3AD 2
＋BD 2
＋2DC 2
＝6，
由(1)知AB ＝2AC ，所以AC ＝1. 【名师点睛】
关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．
【锦囊妙计，战胜自我】
1．正弦定理：在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2R sin A ，sin A ＝a
2R
，
a ∶
b ∶
c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等．
2．余弦定理：在△ABC 中，
a 2＝
b 2＋
c 2－2bc cos A ；
变形：b 2
＋c 2
－a 2
＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc
.
易错起源3、解三角形与三角函数的综合问题 例3 (2015·山东)设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间；
(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．
解 (1)由题意知f (x )＝sin2x 2－1＋cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π22
＝
sin2x 2－1－sin2x 2＝sin2x －1
2
. 由－π2＋2k π≤2x ≤π
2＋2k π，k ∈Z ，
可得－π4＋k π≤x ≤π
4＋k π，k ∈Z ；
由
π2＋2k π≤2x ≤3π
2
＋2k π，k ∈Z ， 可得π4＋k π≤x ≤3π
4＋k π，k ∈Z .
所以f (x )的单调递增区间是
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )； 单调递减区间是⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )．
(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12， 由题意知A 为锐角，所以cos A ＝
3
2
. 由余弦定理a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos A ， 可得1＋3bc ＝b 2
＋c 2
≥2bc ，
即bc ≤2＋3，且当b ＝c 时等号成立． 因此12bc sin A ≤2＋34
.
所以△ABC 面积的最大值为2＋34
.
【变式探究】已知函数f (x )＝cos 2
x ＋23sin x cos x －sin 2
x . (1)求f (x )的最小正周期和值域；
(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若f (A
2)＝2且a 2
＝bc ，试判断△ABC 的形状．
解 (1)f (x )＝cos 2
x ＋23sin x cos x －sin 2
x ＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π
6
)，
所以T ＝π，f (x )∈[－2,2]．
【名师点睛】
全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）
解三角形与三角函数的综合题，要优先考虑角的范围和角之间的关系；对最值或范围问题，可以转化为三角函数的值域来求．
【锦囊妙计，战胜自我】
解三角形与三角函数的综合是近几年高考的热点，主要考查三角形的基本量，三角形的面积或判断三角形的形状．。