正余弦定理及解三角形专题

正余弦定理专题

1.【2017山东，理9】在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若C ∆AB 为锐角三角形，且满足()sin 12cosC 2sin cosC cos sinC B +=A +A ，则下列等式成立的是 （A ）2a b = （B ）2b a = （C ）2A =B （D ）2B =A 【答案】A

【解析】sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+ 所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A.

2.【2017北京，理12】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1

sin 3

α=，cos()αβ-=___________. 【答案】79

-

3.【2017浙江，14】已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos∠BDC =_______．

【解析】取BC 中点E ，DC 中点F ，由题意：,AE BC BF CD ⊥⊥，

△ABE 中，1

cos 4BE ABC AB ∠=

=，1cos ,sin 4DBC DBC ∴∠=-∠==

BC 1sin 2D S BD BC DBC ∴=⨯⨯⨯∠=

△

又21

cos 12sin ,sin 4DBC DBF DBF ∴∠=-∠=-∴∠=

，

cos sin BDC DBF ∴∠=∠=

，

综上可得，△BCD ，cos BDC ∠=．

4.【2017课标II ，理17】ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，已知()2

sin 8sin 2

B

A C +=， （1）求cos

B ；

（2）若6a c +=，ABC ∆的面积为2，求b 。 【答案】(1)15

cos 17

B =

； (2) b=2 【解析】b=2（1）由题设及

，故

上式两边平方，整理得

解得

（2）由，故

又

由余弦定理 及

得

所以b=2.

1.【2016高考新课标2理数】若3

cos()45

π

α-=，则sin 2α=（ ） （A ）725 （B ）15 （C ）15- （D ）725

-

【答案】D

【解析】2

237cos 22cos 1214

4525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫

-=--=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，

且cos 2cos 2sin 24

2ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤

-=-=

⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.

2.【2016高考新课标3理数】若3

tan 4

α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)

6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625

【答案】A 【解析】 由3tan 4α=

，得34sin ,cos 55αα==或34

sin ,cos 55

αα=-=-，所以2161264

cos 2sin 24252525

αα+=+⨯=，故选A ．

7.【2016高考天津理数】在△ABC 中，若AB ，120C ∠= ,则AC = （ ） （A ）1

（B ）2

（C ）3

（D ）4

【答案】A

【解析】由余弦定理得213931AC AC AC =++⇒=,选A.

8.【2016高考江苏卷】在锐角三角形ABC 中，若sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是 ▲ . 【答案】8.

【解析】sin sin()2sin sin tan tan 2tan tan A B+C B C B C B C ==⇒+=，又tan tan tan tan tan 1

B+C

A=

B C -，因

tan tan tan tan tan tan tan 2tan tan tan tan tan 8,

A B C A B C A B C A B C =++=+≥≥即最小值为8.

9.【2016年高考四川理数】（本小题满分12分） 在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且cos cos sin A B C

a b c

+=. （I ）证明：sin sin sin A B C =； （II ）若2

2

2

6

5

b c a bc +-=

，求tan B . 【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）4. 【解析】

（Ⅱ）由已知，b 2

+c 2

–a 2

=

6

5

bc ，根据余弦定理，有 cos A=2222b c a bc

+-=35．

所以=

4

5

． 由（Ⅰ），sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B ，

所以

45sin B=45cos B+3

5

sin B ， 故tan B=sin cos B

B

=4．

10.【2016高考浙江理数】（本题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 已知b +c =2a cos B.

（I ）证明：A =2B ；

（II ）若△ABC 的面积2=4

a S ，求角A 的大小.

【答案】（I ）证明见解析；（II ）2

π

或

4

π

．

【解析】

（Ⅰ）由正弦定理得sin sin 2sin cos B C A B +=，

故()2sin cos sin sin sin sin cos cos sin A B B A B B A B A B =++=++，