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指数函数讲义经典整理（含答案）

一、同步知识梳理

知识点1：指数函数

函数

叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是(01)x

y a a a =>≠且x R 知识点2：指数函数的图像和性质

知识点3：指数函数的底数与图像的关系

指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系 如

图所示，则，

01c d a b <<<<<在轴右侧，图像从下到上相应的底数也由小变大，y 在轴左侧，图像从上到下相应的底数也由小变大y 即无论在轴左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大y 在第一象限内，“底大图高”

知识点4

：指数式、指数函数的理解

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① 分数指数幂与根式或以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算

② 根式的运算、变形、求值、化简及等式证明在数学中占有重要的地位，是研究方程、不等式和函数的基础，应引起重视

③ 在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程或方程组来求值

④ 在理解指数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像

等

1

2

23,,21x

x y y x y y =⋅===-函数均不符合形式

，因此，它们都不是指数函数

()

01x y a a a =>≠且⑤ 画指数函数的图像，应抓住三个关键点：

x y a =()()11,,0,1,1,

a a ⎛⎫

- ⎪⎝

⎭

二、同步题型分析

题型1：指数函数的定义、解析式、定义域和值域

例1：已知函数，且．

（1）求m 的值；

（2）判定f （x ）的奇偶性；

（3）判断f （x ）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明．

考点：

指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明．专题：计算题．

（1）欲求m的值，只须根据f（4）=的值，当x=4时代入f（x）解一个指数方程即可；

（2）求出函数的定义域x|x≠0}，利用奇偶性的定义判断f（x）与f（﹣x）的关系，即可得到答案；（3）利用单调性的定义证明即可．任取0＜x1＜x2，只要证明f（x1）＞f（x2），即可．

解答：

解：（1）因为，所以，所以m=1．

（2）因为f（x）的定义域为{x|x≠0}

，又，

所以f（x）是奇函数．

（3）任取x1＞x2＞0，则

，

因为x1＞x2＞0，所以，所以f（x1）＞f（x2），

所以f（x）在（0，+∞）上为单调增函数．

点评：

本题主要考查了函数单调性的判断、函数奇偶性的判断，与证明及指数方程的解法．在判定函数奇偶性时，一定注意函数的定义域关于原点对称，属于基础题．

例2：已知函数，

（1）讨论函数的奇偶性；

（2）证明：f（x）＞0．

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指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的判断；函数奇偶性的性质．专题：

计算题．

分析：

（1）由2x﹣1≠0解得义域为{x|x≠0}，关于原点对称．f（﹣x）=（）（﹣x）=

（）

x=f（x），故该函数为偶函数．

（2）任取x∈{x|x≠0}，当x＞0时，2x＞20=1且x＞0，故

，从而

．当x＜0时，﹣x＞0，故f（﹣x）＞0，由函数为偶函数，能证明f（x）＞0在定义域上恒成立．

解答：

解：（1）该函数为偶函数．

由2x﹣1≠0解得x≠0即义域为{x|x≠0}关于原点对称…（2分）

f（﹣x）=（）（﹣x）=﹣

（+）x

=

（）x=（）x=（）x=f（x）（6分）

故该函数为偶函数．…（7分）

（2）证明：任取x∈{x|x≠0}

当x＞0时，2x＞20=1且x＞0，

∴2x﹣1＞0，

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故

从而…（11分）

当x＜0时，﹣x＞0，

∴f（﹣x）＞0，…（12分）

又因为函数为偶函数，

∴f（x）=f（﹣x）＞0，…（13分）

∴f（x）＞0在定义域上恒成立．…（14分）

点评：

本题考查函数的奇偶性的判断和证明f（x）＞0．解题时要认真审题，注意指数函数性质的灵活运用．

例3：已知函数y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记．（1）求a的值；

（2）求f（x）+f（1﹣x）的值；

（3）求的值．

考点：

指数函数的定义、解析式、定义域和值域．

专题：

综合题；函数的性质及应用．

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分析：

（1）由y=ax单调得a+a2=20，由此可求a；

（2）写出f（x），代入运算可得；

（3）借助（2）问结论分n为奇数、偶数讨论可求；

解答：

解：（1）∵函数y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，且y=ax单调，∴a+a2=20，得a=4，或a=﹣5（舍去）；

（2）由（1）知，

∴

=

=

==1；

（3）由（2）知f（x）+f（1﹣x）=1，得

n 为奇数时，=×1=；

n 为偶数时，=+f （）==；

综上，=．

点评：

本题考查指数函数的单调性、最值等知识，属中档题．

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