相似三角形和锐角三角函数综合测试题
苏科版九年级数学下册：《相似三角形》与《锐角三角函数》综合提优训练
《相似三角形》与《锐角三角函数》综合提优训练1、下列两个图形:①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个正方形；④两个矩形；⑤两个菱形；⑥两个正五边形. 其中一定相似的有( ) A.2组 B.3组 C.4组 D.5组2、（1）如果234x y z==，求3x y z y -+=_____________ （2）已知x ：y =3：5，y ：z =2：3，则zy x zy x +-++2的值为3、应中共中央总书记胡锦涛同志的邀请，中国国民党主席连战先生、亲民党主席宋楚瑜先生分别从台湾来大陆参观访问，先后来到西安，都参观了新建成的“大唐芙蓉园”，该园占地面积约为800000m 2，若按比例尺1:2000缩小后，其面积大约相当于( )A.一个篮球场的面积B.一张乒乓球台台面的面积C.《陕西日报》的一个版面的面积D.《数学》课本封面的面积4、美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女士身高165 cm ，下半身长x 与身高l 的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为( ) A ．4 cm B ．6 cm C ．8 cm D ．10 cm 5、 如图，已知D 、E 分别是ABC ∆的AB 、 AC 边上的点，,DE BC //且1ADEDBCE SS :=:8,四边形 那么:AE AC 等于（ ）A ．1 : 9B ．1 : 3C ．1 : 8D ．1 : 26、如图，△ABC 的各个顶点都在正方形的格点上，则sinA 的值为 ．7、在Rt △ABC 中，∠C =90º，AB =10，AC =8，则sin A 的值是（ ） A ．45B ．35C ．34 D ．43． 8、若3tan （a+10°）=1，则锐角a 的读数为（ ）A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°9、如果△ABC 中，sinA=cosB=2，则下列最确切的结论是（ ） A. △ABC 是直角三角形 B. △ABC 是等腰三角形 C. △ABC 是等腰直角三角形 D. △ABC 是锐角三角形10、直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC 如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan ∠CBE 的值是（ ）11、 如图，四边形ABCD 、CEFG 都是正方形，点G 在线段CD 上，连接,,BG DE DE 和FG 相交于点O ，设,()AB a CG b a b ==>.下列结论:①BCG DCE ∆≅∆；②BG DE ⊥；③DG GOGC CE=；④22()EFO DGO a b S b S ∆∆-⋅=⋅.其中结论正确的个数是( ) A. 4 B.3 C.2 D. 112、水管的外部需要包扎,包扎时用带子缠绕在管道外部.若要使带子全部包住管道且不重叠（不考虑管道两端的情况）,需计算带子的缠绕角度α（α指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面ABCD 时的∠ABC ,其中AB 为管道侧面母线的一部分）.若带子宽度为1,水管直径为2,则α的余弦值为 .13、在斜坡的顶部有一铁塔AB ，B 是CD 的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12m ，塔影长DE=18m ，小明和小华的身高都是1.6m ，同一时刻，小明站在点E 处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m 和1m ，那么塔高AB 为（ ） A ．24m B ．22m C ．20m D ．18m14、如图，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （-2，4）、B （-3，1）、C （-1，1），以坐标原点O 为位似中心，相似比为2，在第二象限内将△ABC 放大，放大后得到△A ′B ′C ′． （1）画出放大后的△A ′B ′C ′，并写出点A ′、B ′、C ′的坐标．（点A 、B 、C 的对应点为A ′、B ′、C ′）（2）求△A ′B ′C ′的面积．15、一块直角三角形木板，一直角边是1.5米，另一直角边长是2米，要把它加工成面积最大的正方形桌面，甲、乙二人的加式方法分别如左图和右图所示，请运用所学知识说明谁的加工方法符合要求.16、如图所示，一幢楼房AB 背后有一台阶CD ，台阶每层高2.0米，且AC =2.17米，设太阳光线与水平地面的夹角为α.当︒=60α时，测得楼房在地面上的影长AE =10米，现有一只小猫睡在台阶的MN 这层上晒太阳.（3取73.1）（1）求楼房的高度约为多少米？（2）过了一会儿，当︒=45α时，问小猫能否还晒到太阳？请说明理由.17、图①是太阳能热水器装置的示意图，利用玻璃吸热管可以把太阳能转化为热能，玻璃吸热管与太阳光线垂直时，吸收太阳能的效果最好，假设某用户要求根据本地区冬至正午时刻太阳光线与地面水平线的夹角(θ)确定玻璃吸热管的倾斜角(太光线与玻璃吸热管垂直)，请完成以下计算:① ② ③如图②，AB BC ⊥，垂足为点B ，EA AB ⊥垂足为点A ，//CD AB ，10CD =cm ， 120DE =cm ，FG DE ⊥，垂足为点G .(1)若3750'θ∠=︒，则AB 的长约为 cm.(参考数据: sin3750'0.61︒≈，cos3750'0.79︒≈，tan3750'0.78︒≈)(2)若30FG =cm ，60θ∠=︒，求CF 的长.18、如图，在直角坐标系中，Rt △OAB 的直角顶点A 在x 轴上，OA =4，AB =3．动点M 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO 向终点O 移动；同时点N 从点O 出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB 向终点B 移动．当两个动点运动了x 秒（0＜x ＜4）时，解答下列问题： （1）求点N 的坐标（用含x 的代数式表示）；（2）设△OMN 的面积是S ，求S 与x 之间的函数表达式；（3）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN 是直角三角形？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由．19、阅读：如图1把两块全等的含45°的直角三角板ABC 和DEF 叠放在一起，使三角板DEF 的锐角顶点D 与三角板ABC 的斜边中点O 重合，把三角板ABC 固定不动，让三角板DEF 绕点D 旋转，两边分别与线段AB 、BC 相交于点P 、Q,易说明△APD ∽△CDQ．猜想（1）：如图2，将含30°的三角板DEF （其中∠EDF=30°）的锐角顶点D 与等腰三角形ABC （其中∠ABC = 120°）的底边中点O 重合，两边分别与线段AB 、BC 相交于点P 、Q ．写出图中的相似三角形 （直接填在横线上）；验证（2）：其它条件不变，将三角板DEF 旋转至两边分别与线段AB 的延长线、边BC 相交于点P 、Q ．上述结论还成立吗？请你在图3上补全图形,并说明理由．连结PQ ，△APD 与△DPQ 是否相似？为什么?探究（3）：根据（1）（2）的解答过程，你能将两三角板改为一个更为一般的条件，使得（1）20、从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在△ABC 中，CD 为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD 为△ABC 的完美分割线． （2）在△ABC 中，∠A=48°，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 为等腰三角形，求∠ACB 的度数． （3）如图2，△ABC 中，AC=2，BC=，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 是以CD 为底边的等腰三角形，求完美分割线CD 的长．ＢＥ Ｐ ＡＣ Ｑ Ｆ Ｄ(O)图1图2Ｄ(O) B CFE P Q A 图3AC B21、如图（1），点C 将线段AB 分成两部分，如果AC ：AB=BC ：AC ，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点。
相似三角形和锐角三角函数综合测试题
一、选择题1．下列多边形一定相似的为（ ） A ．两个矩形B ．两个菱形C ．两个正方形D ．两个平行四边形2．在△ABC 中，BC=15cm ，CA=45cm ，AB=63cm ，另一个和它相似的三角形的最短边是5cm ，则最长边是（ ） A ．18cm B ．21cmC ．24cmD ．19.5cm3．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（ ） A ．10米 B ．15米 C ．25米 D ．30米4．若A B ∠∠、均为锐角，且21cos 21sin ==B A ，，则（ ）.A ．︒=∠=∠60B AB ．︒=∠=∠30B AC ．︒=∠︒=∠3060B A ，D ．︒=∠︒=∠6030B A ，5. 如图：把△ ABC 沿AB 边平移到△A'B'C'的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是空白部分面积的一半，若AB=1，则此三角形移动的距离AA'是（ ） A- 1B．2 C．12- D ．126. P 是Rt △ABC 的斜边BC 上异于B , C 的一点，过P 点作直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，满足这样条件的直线共有（ ） A. l 条B. 2条C. 3 条D. 4条7. 在△ABC 中，∠A=105°，∠B=45°，tanC 的值是（ ） A.21B.33 C. 1 D. 38．如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC △如图那样折叠，使点A与点B 重合，折痕为DE ，则tan CBE ∠的值是（ ） A ．247B．3C ．724D ．1310题ABDC E68CEABD（第8题）16题图11题二、填空题9、已知43=y x ,则._____=-y y x10、如图，为了测量水塘边A 、B 两点之间的距离，在可以看到的A 、B 的点E 处，取AE 、BE 延长线上的C 、D 两点,使得CD ∥AB ，若测得CD ＝5m ，AD ＝15m ，ED=3m,则A 、B 两点间的距离为___________。
锐角三角函数和相似三角形测试
锐角三角函数、相似测试题班级＿＿＿ 姓名＿＿＿一、 精心选一选: （只要你认真审题，仔细计算，全面考虑，相信你一定会选对！） 1. 如图，αtan 等于 【 】A ．21 B .2 C.55 D.52.如图，P 是∠α的边O A 上一点，且点P 的坐标为（3，4）， 则sin α= 【 】 A ．35B ．45C ．34D ．433. 045cos 45sin +的值等于 【 】、、 A ．2 B .213+ C.3 D. 14. 在ΔABC 中, ∠C = 90º, sinA = 21 , ∠A 为锐角， 则∠A 为 【 】A. 30ºB. 45ºC. 60ºD. 75º 5. 若∠A 为等腰直角三角形的一个锐角，，则tanA 的值是 【 】A ．21 B .22 C.3 D. 16.在ΔABC 中, ∠C = 90º,当∠A 和c 已知时，求b 应选择关系式 【 】 A. b = c·sinA B. b = c·cosA C. b = c·t anA D. Ac b cos =7. ΔABC 的周长是60cm ,若∠C = 90º,512tan =A ， 则ΔABC 的面积是 【 】A. 30cm 2B. 60cm 2C. 120cm 2D. 240cm 2 8.在ΔABC 中, ∠A = 30º，23tan =B ，32=AC ，则AB = 【 】A. 4B. 5C. 6D. 7 9.如图，小“鱼”与大“鱼”是位似图形，已知小“鱼”上一个“顶点”的坐标为()a b ，，AC那么大“鱼”上对应“顶点”的坐标为（ ） Ａ．(2)a b --， Ｂ．(2)a b --， Ｃ．(22)a b --，Ｄ．(22)b a --，10. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△A B C 相似的是【 】A B C D 11. 已知D 、E 分别是△ABC 的边AC 、AB ①∠ADE=∠B ；②∠AED=∠C ；③ABAC DEAD =；④AB AE AC AD ⋅=⋅.其中能使△ABC ∽△ADE 的条件有 【 】 A 4个 B 3个 C 2个 D 1个12. 如图2，在ABCD 中，M 、N 、P 为对角线AC 上三点，且CM=MN=NP=PA，连DM 并延长交BC 于E ，连EP 并延长交AD 于F ，则AD ：FA=【 】A ．19：2B ．9：1C ． 8：1D ．7：113. 如图3, P 为Rt △ABC 的斜边上任意一点(除A 、B 外），过点P 只作一条直线截△ABC ，使截得的新三角形与△ABC 相似满足这样条件的直线共有 【 】Ａ．一种 B ．两种C ． 三种D ．三种以上14. 如图4，一张矩形报纸ABCD 长AB=a cm ，宽BC=b cm ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，将这张报纸沿着直线EF 对折后，矩形AEFD 的长与宽之比等于矩形ABCD 的长与宽之比，则a ：b 等于 【 】BA图3B 图2图4CBA B CxA ．2：1B ．1 ：2C ．3 ：1D ．1 ：3 二、细心填一填:（只要你理解概念，仔细运算，积极思考，相信你一定会填对的！） 15. 在ΔABC 中,∠C = 90º,53cos =B , AB = 10, 则BC =_____.16. 若α为锐角，且tan(α-10º)-1＝0，则α＝_____.17. 若CD 是Rt ΔABC 的斜边AB 上的高，且CD =3,∠B = 60º,则AB =_____ ,BC =_____ 18. 在Rt ΔABC 中, ∠C = 90º,a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，若b=2a ，则tanA=_____ 19. 某人沿着坡度为i=1:3的山坡走了50米,这时他离地面 米.20. 等腰三角形腰上的高线长为3 ,面积也是3 ,则等腰三角形的顶角为 21. 在Rt ΔABC 中，∠C = 90 º，sinA + sinB =57 ，a + b = 28 ，则 c =22. 在ΔABC 中，∠A ，∠B 正切值分别是方程 03)13(2=++-x x 的两个根 ，则∠C =23.如图所示是某超市自动扶梯的示意图，大厅两层之间的高度m h 6=，自动扶梯的倾角为37 º，若自动扶梯的运行速度为s m v /5.0=，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为 s （参考数据sin 37 º≈0.6，cos 37 º≈0.8）24. 如图，在直角坐标系中有两点A （4，0），B （0，2），如果点C 在x 轴上（C 与A不重合），当点C 的坐标为 或 时，点B 、O 、C 组成的三角形与△AOB相似（至少找出两个满足条件的点的坐标）三、认真答一答:（只要你勇于探索，大胆实践，你一定会获得成功的！） 25. 141(45cos 2)1(18-+---π26. sin 230 + tan45º + cos60º - 3tan30º27. 在ΔABC 中 , ∠C = 90º, ∠A = 60 ,a = 7 , 求∠B 、 b 、 c28. 在ΔABC 中 , ∠C = 90º, ba =31 ，c = 10 , ∠B 、 a 、b29. 已知直角三角形两个锐角的正弦sin sin A B ，是方程2210x -+=的两个根，求A B∠∠，的度数．30. 如图，在高为2米，倾斜角为29º的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需 米.(可能用到的数据cos29º=0.8746；sin29º=0.4848；tan29º=0.5543)31.如图，已知A B 是O 的直径，弦C D AB ⊥，AC =1B C =，求si n ABD ∠的值32. 如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行，请你根据图中数据计算回答：小敏身高1.78米，她乘电梯会有碰头危险吗？姚明身高2.29米，他乘电梯会有碰头危险吗？（可能用到的参考数值：sin 270.45=，cos 270.89=，tan 270.51=）29ºB二楼 一楼4mA 4m4mB27°C33.34. 如图6，在直角坐标平面内，O 为原点，点A 的坐标为(100)，，点B 在第一象限内，5B O =，3sin 5B O A =∠．求：（1）点B 的坐标；（2）cos B A O ∠的值．35.其影长为1.2m ，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑物的墙上，分别测得其长度为9.6m 和2m ，则学校旗杆的高度为 m36. (10分)如图，甲、乙两楼相距80米，从乙楼底A 处望甲楼顶C 的仰角为60º，从甲楼顶C 望乙楼顶B 的俯角为30º，求两楼的高。
相似三角形以及锐角三角函数练习
相似三角形检测题一、填空题（每题3分，共24分）1、已知345x y z==，且221x y z +-=，则3x y z ++= 。
2、如图1，若DE ∥BC ，AD=3cm ，DB=2cm ，则DE= 。
3、△ABC 的三边长分别为2△A 1B 1C 1的两边长分别为1当△A 1B 1C 1的第三边长为 时，△ABC ～△A 1B 1C 1。
4、两个相似三角形的面积之比为4:9，则这两个三角形周长之比为 。
5、如图2，在△ABC 中，D 为AB 边上的一点，要使△ABC ～△AED 成立，还需要添加一个条件为 。
6、高6m 的旗杆在水平面上的影长为8m ，此时测得一建筑物的影 长为28m ，则该建筑物的高为 。
7、如图3，测量小玻璃管口径的量具ABC ，AB 的长度为 5mm ，AC 被分为50等份，如果小玻璃管口DE 正好对着 量具上30份处（DE ∥AB ），那么小玻璃管口径DE 的长为 。
8、两相似菱形的相似比为2:3，周长之差为13cm ，则这两个菱形的周长分别为 。
二、选择题（每题4分，共32分）9、下列说法正确的是（ ）A 、任意两个等腰三角形都相似B 、任意两个菱形都相似C 、任意两个正五边形都相似D 、对应角相等的两个多边形相似10、甲三角形的三边分别为15甲乙两个三角形（ ）A 、一定相似B 、一定不相似C 、不一定相似D 、无法判断是否相似 11、能判定△ABC 和△A ′B ′C ′相似的条件是（ ）A 、ABAC A B A C ='''' B 、AB A B A C AC A C '''=∠=∠''且 C 、ABBC B A A B A C '=∠=∠''''且 D 、AB ACB B A B AC '=∠=∠''''且 12、如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）图2 图313、已知：如图5，DE ∥BC ，AD:DB=1:2，则下列结论不正确的是（ ）A 、12DE BC = B 、19ADE ABC ∆=∆的面积的面积 C 、13ADE ABC ∆=∆的周长的周长 D 、18ADE ∆=的面积四边形BCED 的面积14、如图，要使△ACD ～△ABC ，需要补充的一个条件是（ ）A 、AC B CD BC = B 、CD BCAD AC= C 、2CD AD DB =⋅ D 、2AC AD AB =⋅15、如图7，为了测量一池塘的宽DE ，在岸边找一点C ，测得CD=30m ，在DC 的延长线上找一点A ，测得AC=5m ，过点A 作AB ∥DE ，交EC 的延长线于B ，测得AB=6m ，则池塘的宽DE 为（ ）A 、25mB 、30mC 、36mD 、40m16、如图8，把△ABC 沿AB 边平移到△A ′B ′C ′的位置，它们的重叠部分（即图中的阴影部分）的面积是△ABC 的面积的一半，若AA ′是（ ）A1 B、2C 、1D 、12三、解答题（共44分）17、如图，在4×4的正方形方格中，△ABC ～△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上。
完整版)九年级数学相似三角形综合练习题及答案
完整版)九年级数学相似三角形综合练习题及答案1.填空题：1) 若$a=8$cm，$b=6$cm，$c=4$cm，则$a$、$b$、$c$的第四比例项$d=\underline{12}$；$a$、$c$的比例中项$x=\underline{5}$。
2) $(2-x):x=x:(1-x)$。
则$x=\underline{1}$。
3) 在比例尺为1：的地图上，距离为3cm的两地实际距离为\underline{30}公里。
4) 圆的周长与其直径的比为\underline{$\pi$}。
5) $\frac{a^5-ab}{b^3}=\frac{a^4}{b^2}$，则$\frac{a}{b}=\underline{a^2}$。
6) 若$a:b:c=1:2:3$，且$a-b+c=6$，则$a=\underline{2}$，$b=\underline{1}$，$c=\underline{3}$。
7) 如图1，则$\frac{AB}{AC}=\frac{BC}{CE}=\underline{\frac{3}{2}}$；若$BD=10$cm，则$AD=\underline{6}$cm；若$\triangle ADE$的周长为16cm，则$\triangle ABC$的周长为\underline{24}cm。
8) 若点$c$是线段$AB$的黄金分割点，且$AC>CB$，则$\frac{AC}{AB}=\underline{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$，$\frac{CB}{AB}=\underline{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$。
2.选择题：1) 根据$ab=cd$，共可写出以$a$为第四比例项的比例式的个数是（）A．$1$，B．$2$，C．$3$，D．$4$。
答案：B。
2) 若线段$a$、$b$、$c$、$d$成比例，则下列各式中一定能成立的是（）A．$abcd=1$，B．$a+b=c+d$，C．$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，D．$a^2+b^2=c^2+d^2$。
相似三角形与锐角三角函数测试题[1]
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相似三角形、锐角三角函数一、选择题：1．下列图形不一定相似的是（ ）A ．所有的矩形B ．所有的等腰直角三角形C ．所有的等边三角形D ．所有边数相等的正多边形 2. D 、E 分别是△ABC 边 AB 、AC 上的一点，且△ADE ∽△ABC ，若AD=2，BD=4，则△ADE 与四边形BDEC 的面积比是 （ ） A ．1∶2 B ．1∶3 C ．1∶4 D ．1∶83．如图所示，点E 是ABCD 的边BC 延长线上的一点，AE 与CD 相交于点F ，则图中相似三角形共有（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对 4．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）① ② ③ ④A ．①和②B ．①和③C ．②和③D ．②和④5．如图，P 是RtΔABC 的斜边BC 上异于B 、C 的一点，过点P 做直线截ΔABC ， 使截得的三角形与ΔABC 相似，满足这样条件的直线共有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 6. 已知,则锐角a 的取值范围是（ ）Ａ.Ｂ. Ｃ. Ｄ.7．某人沿倾斜角为a 的斜坡前进100米，则他上升的高度是（ ） Ａ．Ｂ． Ｃ.Ｄ．8．点()sin60,cos60M -︒︒关于x 轴对称的点的坐标是（ ） A。
122⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ B．122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭ C．1,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ D ．1,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭9．菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，,OC=, 则点B 的坐标（ ）A ．B ．CD ．二、填空题： 10.在ΔABC 中，∠C=，若3AC=,则∠A= ．11．ΔABC 三边长为2,10,2,ΔDEF 的两边为1和5,如果ΔABC ∽ΔDEF,则ΔDEF三边长为 。
12.在Rt ΔABC 中，∠C=,, ΔABC 周长为90cm,则斜边长为 ．13．如果a 为锐角且 ,那么a 的度数是 ．x14.已知四边形ABCD,CDEF,EFGH 是边长为1的正方形，则∠AFC+∠AGC= ． 15.如图，在Rt ΔABC 中，斜边BC 上的高AD=4,cos B =,则AC= ．16.河堤横断面，如图所示，堤高BC=5米，迎水坝AB 的坡比1：（坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比），则AC 的长是 ．17．如图，已知直线AB 与x 轴，y 轴分别交于A,B 两点，它的解析式为 ,角a 的一边为OA,另一边OP ⊥AB 于P,．= ． = ．18．如图，两条宽度都是1的纸条交叉叠在一起，且它们的夹角为a ,则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积是 ． 三、解答题：19．计算：（1）22sin30cos60tan 60tan30cos 45+-⋅+︒． （2 (+(20如图，某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD 的高度，他们先在A 处 测得古塔顶端点D 的仰角为45°，再沿着BA 的方向后退20m 至C 处，测得古塔顶端点D 的 仰角为30°。
九年级数学锐角三角函数综合测试题
锐角三角函数综合测试题（时间：120分钟 满分：120分）一、选择题（每小题3分，共30分）1.把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt △A′B′C′，那么锐角A 、A′的余弦值的关系为（ ）A ．cosA=3cosA′ B3cosA=cosA′． C ．cosA=cosA′ D ．不能确定2.已知α为等边三角形的一个内角，则cos α等于（ ）A ．12BC D3.△ABC 中，，，则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰三角形4.（α+20°）=1，则锐角α的度数应是（ ）A ．40°B ．30°C ．20°D ．10°5.如图1，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为∠A ，关于∠A 的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（ ）A ．sinA 的值越大，梯子越陡B ．cosA 的值越大，梯子越陡C ．tanA 的值越小，梯子越陡D ．陡缓程度与∠A 的函数值无关6.在正方形网格中，∠AOB 如图2放置，则cos ∠AOB 的值为（ ）A B C ．12 D.27.如图3，∠ C=90°，∠ABC=30°，延长CB 至点D ，使AB=BD ，利用此图可求得tan75°等于（ ）A ．B ．C D8.如图4，在固定电线杆时，要求拉线AC 与地面成75°角，已知拉线AC 的长为8米，则电线杆上固定点C 距地面（ ）A ．8•sin75°米B ．8sin75米C ．8•tan75°米D ．8tan 75米9.如图5，在一次台球比赛中，某运动员必须推动桌面上位于E 点的白球，撞向桌边上的F 点，反弹后撞中对边G 点的红球，已知AD=350cm ，AF=250cm ，∠AFE=20°，则DG 等于（ ）A ．100sin20°B ．100cos20°C ．100tan70°D ．100tan20°★10.如图6，学校的保管室里，有一架5m 长的梯子斜靠在墙上，此时梯子与地面所成角为45°，如果梯子底端O 固定不动，顶端靠到对面墙上，此时梯子与地面所成的角为60°，则此保管室的宽度AB 为（ ）A ．B ．52C ．52D ．52附备用试题2个 直接给出答案在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA=15，则tanA 等于（ ）答案：AA ．BCD ．24 在Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=125，周长为45，CD 是斜边AB 上的高，则CD 的长是（ ） A ．5613 B ．12613 C ．7613 D ．1712答案：B二、填空题（每小题3分，共24分）11.如图7，将三角板的直角顶点放置在直线AB 上的点O 处，使斜边CD ∥AB ，则∠ 的余弦值为______.12.已知Rt △ABC 的两直角边长分别为3和4，则较小锐角的正切值是______. 13.某人沿坡度为0.75的斜坡前进50m ，则他所在的位置比原来的位置升高______m.14.如图8，沿倾斜角为30°的山坡植树，要求相邻两棵树间的水平距离AC 为2m ，那么相邻两棵树的斜坡距离AB 约为______m （结果精确到0.1m ，）.15.如图9，乐乐在学校某建筑物的C点处测得旗杆顶部A点的仰角为30°，旗杆底部B点的俯角为45°．若旗杆底部B点到建筑物的水平距离BE=9米，旗杆台阶高1米，则旗杆顶点A离地面的高度为米（结果保留根号）．16.等腰三角形的周长为1，则底角等于______度.17.如图10，机器人从A点沿西南方向行了B点，观察到原点O在它的南偏东60°的方向上，则点A的坐标为______.★18.某市在“旧城改造”中，计划在市内一块如图11所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮售价为a元/平方米，则购买这种草皮至少需要______元.附备用试题2个直接给出答案如图，小明从A地沿北偏东30°方向走到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时小明离A地m．（答案：100）某中学修建一座图书楼，为改善安全性能，把楼梯的倾斜角由原来设计的45°改为30°，已知原来设计的楼梯长为4.5m，在楼梯高度不变的情况下，调整后的楼梯多占地面______m.（答案：三、解答题（共66分）19．（6-cos45°20．（7分）如图12，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图．请你参考图中数据，计算车位所占街道的宽度EF．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，结果精确到0.1m）21．（9分）如图13，四边形ABCD为正方形，E为BC上一点，将正方形折叠，使点A与点E重合，折痕为MN，若tan∠AEN=13，DC+CE=10.（1）求△ANE的面积；（2）求sin∠ENB的值.22．(8分) 一艘渔船在A处观测到东北方向有一小岛C，已知小岛C周围4.8海里范围内是水产养殖场.渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B处，在B处测得小岛C在北偏东60°方向，如图14所示.这时渔船改变航线向正东（即BD）方向航行，这艘渔船是否有进入养殖场的危险？23．（8分）如图15，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC、AC、AB三边的长分别为a、b、c，则sinA=ac，cosA=bc，tanA=ab.试探求sinA、cosA、tanA之间存在的一般关系，并说明理由.24．(9分) 如图16，由山脚下的一点A测得山顶D的仰角是45°，从A沿倾斜角为30°的山坡前进1500米到B，再次测得山顶D的仰角为60°，求山高CD.25. (9分)如图17，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离（AB）是1.7m，看旗杆顶部M的仰角为45°；小红的眼睛与地面的距离（CD）是1.5m，看旗杆顶部M的仰角为30°．两人相距28米且位于旗杆两侧（点B，N，D在同一条直线上）．请求出旗杆MN的高度． 1.4 1.7，结果保留整数）★26. (10分) 如图18，某一时刻太阳光从教室窗户射入室内，与地面的夹角∠BPC为30°，窗户的一部分在教室地面所形成的影长PE为3.5米，窗户的高度AF为2.5米.求窗外遮阳蓬外端一点D到窗户上椽的距离AD.(结果精确到0.1米)附备用试题2个 直接给出答案如图，一次函数的图象经过M 点，与x 轴交于A 点，与y 轴交于B 点，根据图中信息求：（1）这个函数的解析式；（2）tan ∠BAO ．解：（1）设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0),将点B(0,6),M(-1,4)代入，得604(1)k b k b =+=-+⎧⎨⎩， 解之，得k=2,b=6∴这个函数的解析式为y=2x+6.（2）令y=0,代入y=2x+6，得x= -3∴点A 的坐标(-3,0).∴tan ∠BAO=OB OA =63=2. 某大草原上有一条笔直的公路，在紧靠公路相距40千米的A 、B 两地，分别有甲、乙两个医疗站，如图，在A 地北偏东45°、B 地北偏西60°方向上有一牧民区C ．一天，甲医疗队接到牧民区的求救电话，立刻设计了两种救助方案，方案I ：从A 地开车沿公路到离牧民区C 最近的D 处，再开车穿越草地沿DC 方向到牧民区C ．方案II ：从A 地开车穿越草地沿AC 方向到牧民区C ． 已知汽车在公路上行驶的速度是在草地上行驶速度的3倍．（1）求牧民区到公路的最短距离CD ．（2）你认为甲医疗队设计的两种救助方案，哪一种方案比较合理？并说明理由．（结果精确到0.1 1.73 1.41）解:（1）设CD 为x 千米，由题意得，∠CBD=30°，∠CAD=45°∴AD=CD=x.在Rt △BCD 中，tan30°=x BD,∴∵AD+DB=AB=40，∴，解得x≈14. 7∴ 牧民区到公路的最短距离CD 为14.7千米．（2）设汽车在草地上行驶的速度为v ，则在公路上行驶的速度为3v ，在Rt △ADC 中，∠CAD=45°，∴方案I 用的时间134333AD CD AD CD CD t v v v v+=+==方案II 用的时间2AC t v ==∴ 2143CD t t v v -=-=4)3CD v∵ 4＞0 ，∴ 21t t -＞0，∴方案I 用的时间少，方案I 比较合理.供老师选配的题目：1.已知锐角A 满足关系式2sin 2A-7sinA+3=0，则sinA 的值为（ ）A ．12B ．3C ．12或3D ．42.如图1，已知⊙O 的半径为1，锐角△ABC 内接于⊙O ，BD ⊥AC 于点D ，OM ⊥AB 于点M ，则sin ∠CBD 的值等于（ ）A ．CD 的长B ．2CD 的长C ．OM 的长D ．2OM 的长3.如图2，在高2m ，坡角30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需______m.（精确到0.1m ）4.如图3，边长为1的菱形ABCD 中，∠DAB=60°．连结对角线AC ，以AC 为边作第二个菱形ACC 1D 1，使∠D 1AC=60°；连结AC 1，再以AC 1为边作第三个菱形AC 1C 2D 2，使∠D 2AC 1=60°；……，按此规律所作的第n 个菱形的边长为______．5.如图4（1），由直角三角形边角关系，可将三角形面积公式变形，得 ABC S △=12bc·sin ∠A ． ① 即三角形的面积等于两边之长与夹角正弦之积的一半．如图4（2），在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，∠ACD=α， ∠DCB=β．∵ ABC ADC BDC S S S =+△△△， 由公式①，得12AC·BC·sin(α+β)= 12AC·CD·sinα+12BC·CD·sinβ， 即 AC·BC·sin(α+β)= AC·CD·sinα+BC·CD·sinβ． ②你能利用直角三角形边角关系，消去②中的AC 、BC 、CD 吗？不能，说明理由；能，写出解决过程．（标★题为拔高题）（参考答案见第××版）锐角三角函数综合测试题参考答案一、选择题1.C2. A3.D4.D5.A6.A7.B 8．A 9.D10.C. 提示：如图1，在Rt △AOC 中，，在Rt △BOC中，BO=OD•cos60°=52，所以AB=AO+BO=52二、填空题11.12 12.3413.30 14.2.3 15. 10+ 16．30 17.（0） 18.150a. 提示：如图2，过点C 作CD ⊥BA 交BA 的延长线于D ，则在Rt △ADC 中，CD=AC•sin30°=15(米)，所以△ABC 的面积为12AB•CD=12×20×15=150(米2)，故购买这种草皮至少需要150a元.三、解答题19.-cos45°+2=32-1+2=52.20.解：在Rt△∠CDF中，CD=5.4，∠DCF=40°，∴DF=CD•sin40°≈5.4×0.64≈3.46.在Rt△∠ADE中，AD=2.2，∠ADE=∠DCF=40°，∴DE=AD•cos40°≈2.2×0.77≈1.69.∴EF=DF+DE≈5.15≈5.2.即车位所占街道的宽度为5.2m.21.解：（1）由折叠知NA=NE，∴∠AEN=∠EAN，∴tan∠EAB=tan∠AEN=13，∴BEAB=13.设BE=k，则AB=BC=CD=3k，∴CE=BC-BE=2k.∵DC+CE=10，∴3k+2k=10，解得k=2，∴AB=6，BE=2.在Rt△BNE中，∵NE2+BE2=NB2，∴AN2+BE2=NB2，即AN2+22=(6-AN)2，解得AN=83，∴S△ANE=12AN•BE=12×83×2=83.（2）∵NE=AN=83，∴sin∠ENB=BENE=283=34.22.解：如图3，过点C作CE⊥BD，垂足为E，∴CE∥GB∥FA.∴∠BCE=∠GBC=60°，∠ACE=∠FAC=45°.∴∠BCA=∠BCE-∠ACE=60°-45°=15°.又∠BAC=∠FAC-∠FAB=45°-30°=15°，∴∠BCA=∠BAC，∴BC=AB=10.在Rt△BCE中，CE=BC·cos∠BCE=BC·cos60°=10×12=5(海里).∵5海里＞4.8海里，∴渔船没有进入养殖场的危险.答：这艘渔船没有进入养殖场的危险.23.解：存在的一般关系有：（1）sin2A+cos2A=1；（2）tanA=sincosAA．证明如下：（1）∵ sinA=ac, cosA=bc, a2+b2=c2,∴ sin2A+cos2A=222222222a b a b cc c c c++===1．（2）∵ sinA=ac, cosA=bc,∴ tanA=ab=acbc=sincosAA．24.解：如图4，过点B作CD、AC的垂线，垂足分别为E、F.∵∠BAC=30°，AB=1500米，∴BF=EC=750米，.设FC=x米∵∠DBE=60°，∴米.又∵∠DAC=45°，∴AC=CD.即，解得x=750.∴CD=（.答：山高CD为（.25. 解：如图5，过点A 作AE ⊥MN 于E ，过点C 作CF ⊥MN 于F ， 则EF=AB-CD=1.7-1.5=0.2.在Rt △AEM 中，∠AEM=90°，∠MAE=45°∴AE=ME ，设AE=x ，则MF=x+0.2.在Rt △MFC 中，∠MFC=90°，∠MCF=30°，∴∵BN+ND=BD ，∴，解得x≈10.2.∴MN≈12答：旗杆高约为12米．26.解：如图6，过E 作EG ∥AC 交BP 于G ，∵EF ∥DP ，∴四边形BFEG 是平行四边形.在Rt △PEG 中，PE=3.5，∠P=30°，tan ∠EPG=EG EP ， ∴EG=EP•tan ∠EPG=3.5×tan30°≈2.02.又∵四边形BFEG 是平行四边形，∴BF=EG=2.02，∴AB=AF-BF=2.5-2.02=0.48.又∵AD ∥PE ，∴∠BDA=∠P=30°.在Rt △BAD 中，tan30°=AB AD ， ∴AD=tan30AB =0.48×（米）. ∴所求的距离AD 约为0.8米.供老师选配的题目：1.A2.C3.5.54.1n5. 解：能消去AC 、BC 、CD ，得到si n(α+β)= sinα·cosβ+cosα·sinβ．理由如下：在AC·BC·sin(α+β)= AC·CD·sinα+BC·CD·sinβ两边同除以AC·BC，得sin(α+β)= CDBC·sinα+CDAC·sinβ.∵CDBC=cosβ，CDAC=cosα，∴ sin(α+β)= sinα·cosβ+cosα·sinβ．。
锐角三角函数和相似三角形
锐角三角函数1、锐角三角函数定义：2、锐角三角函数性质：①=+A A 22cos sin②cos sin =A s i n c o s =A， ③若∠A ＞∠B ，则A sin B sin ，A cos Bc o s ， A tan B t a n3、坡度（坡比）=i ＝4、如右图，∠ACB ＝∠ADC ＝90°，则相似三角形1、 相似三角形的判定：平行相似（A 型或X 型）、SSS 相似、SAS 相似、AA 相似、HL 相似2、 相似三角形的性质：对应角相等；对应边的比、对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比、周长的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方。
3、 位似的性质：①具有相似的所有性质②对应点连线相交于一点，这点是位似中心③对应线段平行4、常考图形锐角三角函数1、锐角三角函数定义：2、锐角三角函数性质：①=+A A 22cos sin②cos sin =A s i n c o s =A， ③若∠A ＞∠B ，则A sin Bs i n ，A cos B c o s ， A tan B t a n3、坡度（坡比）=i＝4、如右图，∠ACB ＝∠ADC ＝90°，则相似三角形4、 相似三角形的判定：平行相似（A 型或X 型）、SSS 相似、SAS 相似、AA 相似、HL 相似5、 相似三角形的性质：对应角相等；对应边的比、对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比、周长的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方。
6、 位似的性质：①具有相似的所有性质②对应点连线相交于一点，这点是位似中心③对应线段平行4、常考图形1 2 A B C D=A sin =A cos =A tan cos sin sin =====A ====tan tan A sincos cos =====A AB C 1 D E AB 1C DE A B C D 1 1 2 A B C D=A sin =A cos =A tan cos sin sin =====A ====tan tan A sincos cos =====A AB C 1 D E AB 1C DE A B C D 1。
相似三角形和锐角三角函数测试卷
图1九年级数学月考试卷（时间：100分钟，总分：100分）一、选择题（每小题3分，共24分）1、如图，已知AB ∥CD ∥EF ，那么下列结论正确的是（ ） A AD DF ＝BC CE B BC CE ＝DF AD CCD EF ＝BC BE D CD EF ＝AD AF2、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC △相似的是（ ）3、 等腰三角形底边与底边上的高的比是2︰3，则顶角为 （ ） A 60° B 90° C 120° D 150°4、计算：︒⋅︒+︒60sin 60tan 45cos 2的值为( ) A 1 B 2 C2 D 35、如图1，把两块相同的含︒30角的三角尺按如图所示放置，若=AD 66，•则三角尺的斜边的长为( )A 6B 36C 10D 126、如图所示，正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，AF ⊥DE 于点O ， 则 AO DO 等于（ ） A2 53 B 13C 23D 127、如图、一张等腰三角形纸片，底边长l5cm ，底边上的高长22．5cm ．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm 的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( )A ．第4张B ．第5张C ．第6张D ．第7张B ．C ．D ．A B C A ． A B F C D EO图4图5 8、如图所示，在△ABC 中∠BAC ＝90°，D 是BC 中点，AE ⊥AD 交CB 延长线于E 点，则下列结论正确的是()第10题图A ．△AED ∽△ACB B ．△AEB ∽△ACDC ．△BAE ∽△ACED ．△AEC ∽△DAC二 、填空（每小题3分，共24分）11、已知山坡的坡度i =1：3，则坡角为________． 12、判定方程060cos 30cos 2=︒+︒⋅-x x 的实数根情况．答：________． 13、当锐角α_______时，102cos 3α-有意义．14、如图4，小华为了测量所住楼房的高度，他请来同学帮忙，测量了同一时刻他自 己的影长和楼房的影长分别是5.0米和15米，已知小华的身高为6.1米，那么他所住楼房的高度为________米．15、如图5，小明骑自行车以15千米/时的速度在公路上向正北方向匀速行进，出发时，在B 点他观察到仓库A 在他的北偏东︒30处，骑行20分钟后到达C 点，•发现此时这座仓库正好在他的东南方向，则这座仓库到公路的距离约为________千米. （参考数据：3≈732.1，结果保留两位有效数字）图6 16、如图6，Rt ABC △中，90ACB ∠=°，直线EF BD ∥，交AB 于点E ，交AC 于点G ，交AD 于点F ，若13AEG EBCG S S =△四边形，则CF AD = ．17、如图8，正方形OEFG 和正方形ABCD 是位似形，点F 的坐标为（1，1），点C 的坐标为（4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是 ． 18、如图10，机器人从A 点，沿着西南方向，行了个42单位，到达B 点后观察到原点O在它的南偏东60°的方向上，则原来A 的坐标为______（结果保留根号）．(8)三、解答题19、（6分）如图，某货船以24海里／时的速度将一批重要物资从A 处运往正东方向的M 处，在点A 处测得某岛C 在北偏东60的方向上．该货船航行30分钟后到达B 处，此时再测得该岛在北偏东30的方向上，已知在C 岛周围9海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由．20、（7分）如图，某超市在一楼和二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行，请你根据图中数据计算回答：小敏身高78.1米，她乘电梯会有碰头危险吗？姚明身高29.2米，他乘电梯会有碰头危险吗？请说明理由。
中考数学《锐角三角函数的综合》专项训练含详细答案
中考数学《锐角三角函数的综合》专项训练含详细答案一、锐角三角函数1．如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．（1）求∠BPQ的度数；（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）．备用数据：，【答案】（1）∠BPQ=30°；（2）该电线杆PQ的高度约为9m．【解析】试题分析：（1）延长PQ交直线AB于点E，根据直角三角形两锐角互余求得即可；（2）设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．试题解析：延长PQ交直线AB于点E，（1）∠BPQ=90°-60°=30°；（2）设PE=x米．在直角△APE中，∠A=45°，则AE=PE=x米；∵∠PBE=60°∴∠BPE=30°在直角△BPE中，33米，∵AB=AE-BE=6米，则3，解得：3则BE=（33+3）米．在直角△BEQ中，QE=33BE=33（33+3）=（3+3）米．∴PQ=PE-QE=9+33-（3+3）=6+23≈9（米）．答：电线杆PQ的高度约9米．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．2．（6分）某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．【答案】．【解析】试题分析：作AD⊥BC于D，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据正切的定义求出CD的长，得到答案．试题解析：作AD⊥BC于D，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD=，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°，∴∠C=60°，在Rt△ACD中，∠C=60°，AD=，则tanC=，∴CD==，∴BC=．故该船与B港口之间的距离CB的长为海里．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．3．在矩形ABCD中，AD＞AB，点P是CD边上的任意一点（不含C，D两端点），过点P 作PF∥BC，交对角线BD于点F．（1）如图1，将△PDF沿对角线BD翻折得到△QDF，QF交AD于点E．求证：△DEF是等腰三角形；（2）如图2，将△PDF绕点D逆时针方向旋转得到△P'DF'，连接P'C，F'B．设旋转角为α（0°＜α＜180°）．①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，求证：△DP'C∽△DF'B．②如图3，若点P是CD的中点，△DF'B能否为直角三角形？如果能，试求出此时tan∠DBF'的值，如果不能，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②12或33.【解析】【分析】（1）根据翻折的性质以及平行线的性质可知∠DFQ=∠ADF，所以△DEF是等腰三角形；（2）①由于PF∥BC，所以△DPF∽△DCB，从而易证△DP′F′∽△DCB；②由于△DF'B是直角三角形，但不知道哪个的角是直角，故需要对该三角形的内角进行分类讨论．【详解】（1）由翻折可知：∠DFP=∠DFQ，∵PF∥BC，∴∠DFP=∠ADF，∴∠DFQ=∠ADF，∴△DEF是等腰三角形；（2）①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，∵∠P′DF′=∠PDF，∴∠P′DF′﹣∠F′DC=∠PDF﹣∠F′DC，∴∠P′DC=∠F′DB，由旋转的性质可知：△DP′F′≌△DPF，∵PF∥BC，∴△DPF∽△DCB，∴△DP′F′∽△DCB∴''DC DP DB DF = ， ∴△DP'C ∽△DF'B ；②当∠F′DB=90°时，如图所示，∵DF′=DF=12BD ， ∴'12DF BD =， ∴tan ∠DBF′='12DF BD =；当∠DBF′=90°，此时DF′是斜边，即DF′＞DB ，不符合题意；当∠DF′B=90°时，如图所示，∵DF′=DF=12BD ， ∴∠DBF′=30°， ∴tan ∠DBF′=33.【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，涉及旋转的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的性质以及判定等知识，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握相关的性质与定理、运用分类思想进行讨论是解题的关键.4．如图，矩形OABC 中，A(6，0)、C(0，3、D(0，3)，射线l 过点D 且与x 轴平行，点P 、Q 分别是l 和x 轴的正半轴上的动点，满足∠PQO ＝60º．(1)点B的坐标是，∠CAO＝ º，当点Q与点A重合时，点P的坐标为；(2)设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．【答案】（1）（6，23）． 30．（3，33）（2）()()()()243x430x3331333x x3x5S{23x1235x93543x9+≤≤-+-<≤=-+<≤>【解析】解：（1）（6，23）． 30．（3，33）．（2）当0≤x≤3时，如图1，OI=x，IQ=PI•tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x；由题意可知直线l∥BC∥OA，可得EF PE DC31==OQ PO DO333==，∴EF=13（3+x），此时重叠部分是梯形，其面积为：EFQO14343S S EF OQ OC 3x x 43233==+⋅=+=+梯形（）（） 当3＜x≤5时，如图2，()HAQ EFQO EFQO 221S S S S AH AQ 243331333 x 43x 3=x x 32232∆=-=-⋅⋅=+---+-梯形梯形。
2020-2021学年中考复习数学 相似三角形与锐角三角函数 专题训练(含答案)
2021中考数学相似三角形与锐角三角函数专题训练一、选择题1. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC.若BD＝2AD，则()A. ADAB＝12 B.AEEC＝12 C.ADEC＝12 D.DEBC＝122. 如图，△ABO∽△CDO，若BO=6，DO=3，CD=2，则AB的长是()A.2B.3C.4D.53. 如图，在△ABC中，CA=CB=4，cos C=，则sin B的值为()A.B.C.D.4. 某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为()A.米B.米C.米D.米5. 如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形(阴影部分)与△A1B1C1相似的是()6. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，3)，那么cosα的值是()A. 34B.43C. 35D.457. 如图①，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图②是此时的示意图，则图②中水面高度为()A.B.C.D.8. 如图，平面直角坐标系中，☉P经过三点A(8，0)，O(0，0)，B(0，6)，点D是☉P 上的一动点，当点D 到弦OB 的距离最大时，tan ∠BOD 的值是 ( )A .2B .3C .4D .59. 如图，钓鱼竿AC 长6 m ，露在水面上的鱼线BC 长3 2 m ，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC 转到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B ′C ′为3 3 m ，则鱼竿转过的角度是( ) A . 60° B . 45° C . 15° D . 90°10. 如图，以O 为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A ，B 两点，P 是AB ︵上一点(不与A ，B 重合)，连接OP ，设∠POB ＝α，则点P 的坐标是( ) A . (sin α，sin α) B . (cos α，cos α) C . (cos α，sin α) D . (sin α，cos α)11. 6tan 230°-sin60°-2sin45°= .12. 在某一时刻，测得一根高为1.8 m 的竹竿的影长为3 m ，同时同地测得一栋楼的影长为90 m ，则这栋楼的高度为 m .13.已知α，β均为锐角，且满足|sin α－12|＋（tan β－1）2＝0，则α＋β＝________．14. 长为4 m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了________m.15. 如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3∶4，∠OCD=90°，∠AOB=60°，若点B的坐标是(6，0)，则点C的坐标是.16. 如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC＝2，则tan D＝________．17. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，点D在边AC上，AD＝5，DE⊥BC于点E，连接AE，则△ABE的面积等于________．18. 如图，AB＝6，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝120°，P是直线l 上一点．当△APB为直角三角形时，AP＝________．三、解答题19. 如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D重合)，GE⊥DC 于点E，GF⊥BC于点F，连接AG.(1)写出线段AG，GE，GF长度之间的等量关系，并说明理由；(2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．20. 如图，⊙O是△ABC 的外接圆，AC 为直径，AB ︵＝BD ︵，BE ⊥DC 交DC 的延长线于点E .(1)求证：∠1＝∠BCE ；(2)求证：BE 是⊙O 的切线；(3)若EC ＝1，CD ＝3，求cos ∠DBA .21. 如图1，图2，在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝14，5cos 13ABC ∠=．探究 如图1，AH ⊥BC 于点H ，则AH ＝_____，AC ＝______，△ABC 的面积S △ABC ＝________．拓展 如图2，点D 在AC 上（可与点A 、C 重合），分别过点A 、C 作直线BD 的垂线，垂足为E 、F ．设BD ＝x ，AE ＝m ，CF ＝n ．（当点D 与点A 重合时，我们认为S △ABD ＝0）（1）用含x ，m 或n 的代数式表示S △ABD 及S △CBD ；（2）求(m ＋n )与x 的函数关系式，并求(m ＋n )的最大值和最小值；（3）对给定的一个x 值，有时只能确定唯一的点D ，指出这样的x 的取值范围． 发现 请你确定一条直线，使得A 、B 、C 三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．图1 图222. 如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点(不与O、B重合)，作EC⊥OB 交⊙O于点C，作直径CD过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB.(1)求证：AC平分∠FAB；(2)求证：BC2＝CE·CP；(3)当AB＝43且CFCP＝34时，求劣弧BD︵的长度．2021中考数学相似三角形与锐角三角函数专题训练-答案一、选择题1. 【答案】B2. 【答案】C3. 【答案】D∵cos C=，AC=4，∴CD=1，∴BD=3，AD==.在Rt△ABD中，AB==2，∴sin B===，故选D.4. 【答案】B5. 【答案】B6. 【答案】D7. 【答案】A根据题意得:(8-x+8)×3×3=3×3×6，解得x=4，∴DM=4.∵∠D=90°.∴由勾股定理得:BM===5.过点B作BH⊥水平桌面于H，∵∠HBA+∠ABM=∠ABM+∠DBM=90°，∴∠HBA=∠DBM，∵∠AHB=∠D=90°，∴△ABH∽△MBD，∴=，即=，解得BH=，即水面高度为.8. 【答案】B∴DE=EP+DP=4+5=9，∴tan∠DOB===3，故选B.9. 【答案】C10. 【答案】C11. 【答案】12. 【答案】5413. 【答案】75°14. 【答案】2(3－2)15. 【答案】(2，2)16. 【答案】2217. 【答案】7818. 【答案】3或3 3 或37三、解答题19. 【答案】【思维教练】求三条线段之间的关系，一般是线段的和差关系或线段平方的和差关系．由ABCD 是正方形，BD 是角平分线，可想到连接CG ，易得CG ＝AG ，再由四边形CEGF 是矩形可得AG 2＝GE 2＋GF 2；(2)给出∠AGF ＝105°，可得出∠AGB ＝60°，再由∠ABG ＝45°，可想到过点A 作BG 的垂线，交BG 于点M ，分别在两个直角三角形中得出BM 和MG 的长，相加即可得出BG 的长．解：(1)AG 2＝GE 2＋GF 2；(1分)理由：连结CG ，∵ABCD 是正方形， ∴∠ADG ＝∠CDG ＝45°，AD ＝CD ，DG ＝DG ， ∴△ADG ≌△CDG ，(2分) ∴AG ＝CG ，又∵GE ⊥DC ，GF ⊥BC ，∠GFC ＝90°， ∴四边形CEGF 是矩形，(3分) ∴CF ＝GE ，在直角△GFC 中，由勾股定理得，CG 2＝GF 2＋CF 2， ∴AG 2＝GE 2＋GF 2；(4分)(2)过点A 作AM ⊥BD 于点M ， ∵GF ⊥BC ，∠ABG ＝∠GBC ＝45°， ∴∠BAM ＝∠BGF ＝45°，∴△ABM ，△BGF 都是等腰直角三角形，(6分)∵AB ＝1，∴AM ＝BM ＝22， ∵∠AGF ＝105°，∴∠AGM ＝60°，∴tan 60°＝AM GM ，∴GM ＝66 ，(8分) ∴BG ＝BM ＋GM ＝22＋66＝32＋66.(10分)20. 【答案】(1)证明：如解图，过点B 作BF ⊥AC 于点F ， ∵AB ︵＝BD ︵，∴AB ＝BD在△ABF 与△DBE 中，⎩⎨⎧∠BAF ＝∠BDE ∠AFB ＝∠DEB AB ＝DB， ∴△ABF ≌△DBE (AAS)，∴BF ＝BE ，∵BE ⊥DC ，BF ⊥AC ， ∴∠1＝∠BCE ；(2)证明：如解图，连接OB ， ∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠ABC ＝90°，即∠1＋∠BAC ＝90°， ∵∠BCE ＋∠EBC ＝90°，且∠1＝∠BCE ， ∴∠BAC ＝∠EBC ， ∵OA ＝OB ，∴∠BAC ＝∠OBA ， ∴∠EBC ＝∠OBA ，∴∠EBC ＋∠CBO ＝∠OBA ＋∠CBO ＝90°， ∴∠EBO ＝90°，又∵OB 为⊙O 的半径， ∴BE 是⊙O 的切线；解图(3)解：在△EBC 与△FBC 中，⎩⎨⎧∠BEC ＝∠CFB ，∠ECB ＝∠FCB ，BC ＝BC ，∴△EBC ≌△FBC (AAS)， ∴CE ＝CF ＝1.由(1)可知：AF ＝DE ＝1＋3＝4， ∴AC ＝CF ＋AF ＝1＋4＝5，∴cos ∠DBA ＝cos ∠DCA ＝CD CA ＝35.21. 【答案】探究 AH ＝12，AC ＝15，S △ABC ＝84． 拓展 （1）S △ABD ＝12mx ，S △CBD ＝12nx ．（2）由S △ABC ＝S △ABD ＋S △CBD ，得118422mx nx +=．所以168m n x+=．由于AC 边上的高565BG =，所以x 的取值范围是565≤x ≤14．所以(m ＋n )的最大值为15，最小值为12． （3）x 的取值范围是x ＝565或13＜x ≤14．发现 A 、B 、C 三点到直线AC 的距离之和最小，最小值为565．22. 【答案】(1)证明：∵PF 切⊙O 于点C ，CD 是⊙O 的直径， ∴CD ⊥PF ， 又∵AF ⊥PC ， ∴AF ∥CD ，∴∠OCA ＝∠CAF ， ∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ， ∴∠CAF ＝∠OAC ， ∴AC 平分∠FAB ；(2)证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∵∠DCP ＝90°，∴∠ACB ＝∠DCP ＝90°， 又∵∠BAC ＝∠D ， ∴△ACB ∽△DCP ， ∴∠EBC ＝∠P ， ∵CE ⊥AB ， ∴∠BEC ＝90°，∵CD 是⊙O 的直径， ∴∠DBC ＝90°， ∴∠CBP ＝90°， ∴∠BEC ＝∠CBP ， ∴△CBE ∽△CPB ， ∴BC PC ＝CE CB ， ∴BC 2＝CE ·CP ；(3)解：∵AC 平分∠FAB ，CF ⊥AF ，CE ⊥AB ， ∴CF ＝CE ， ∵CF CP ＝34， ∴CE CP ＝34，设CE ＝3k ，则CP ＝4k ， ∴BC 2＝3k ·4k ＝12k 2， ∴BC ＝23k ，在Rt △BEC 中，∵sin ∠EBC ＝CE BC ＝3k 23k ＝32，∴∠EBC ＝60°，∴△OBC 是等边三角形， ∴∠DOB ＝120°，11 / 11 ∴BD ︵＝120π·23180＝43π3.。
相似三角形与锐角三角函数综合练习
0913作业 相似三角形与锐角三角函数综合练习1.如图：小虎家住在高80米的公寓AD 内，他家的河对岸新修了一座大厦的高度，小虎在他家的楼底A 测得大厦顶部B 的仰角为60°，爬到楼顶D 处测得大厦顶部B 的仰角为30°.请根据小虎计算出大厦的高BC 。
2 3 4 5 62、如图，A 、B 两座城市相距100千米，现计划在这两座城市之间修筑一条高等级公路（即线段AB ）。
经测量，森林保护区中心P 点在A 城市的北偏东30°方向，B 城市的北偏西45°方向上，已知森林保护区的范围在以P 为圆心，50千米为半径的圆形区域内。
请问：计划修筑的这条高等级公路会不会穿越保护区，为什么？3．如图，已知灯塔A 的周围7海里的范围内有暗礁，一艘渔轮在B 处测得灯塔A 在北偏东60°的方向，向正东航行8海里到C 处后，又测得该灯塔在北偏东30°方向，渔轮不改变航向，继续向东航行，有没有触礁危险？请通过计算说明理由（参考数据3≈1.732）。
4 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为︒30，看这栋高楼底部的俯角为︒60，热气球与高楼的水平距离为66 m ，这栋高楼有多高？（结果精确到0.1 m ，参考数据：73.13≈） 5、如图，在某建筑物AC 上，挂着“多彩迁安”的宣传条幅BC ，小明站在点F 处，看条幅顶端B ，测得仰角为30；再往条幅方向前行20米到达点E 处，看条幅顶端B ，测得仰角为60．求宣传条幅BC 的长．（小明的身高忽略不计） 6、小阳发现电线杆AB 的影子落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得CD=8米，BC=20米，CD 与地面成30º角，且此时测得1米杆的影长为 2米，求电线杆的高度。
7、为缓解“停车难”问题，某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图.按规定，地下停车库坡道上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图计算CE ．（精确到0.1m ） 7 9 108 如图10，一次函数y ax b =+的图象与反比例函数k y x=的图象交于M 、N 两点. （1）求反比例函数和一次函数的解析式；（8分）（2）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围.9、已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠DCB = 90°，E 是AD 的中点，点P 是BC 边上的动（不与点B 重合），EP 与BD 相交于点O.（1）当P 点在BC 边上运动时，求证：△BOP ∽△DOE ；（2）设（1）中的相似比为k ，若AD ︰BC = 2︰3. 请探究：当k 为下列三种情况时，四边形ABPE 是什么四边形？①当k = 1时，是 ； ②当k = 2时，是 ；③当k =3时，是 ；并证明．．．k = 2时的结论.10、 如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 上一点，且BE=2CE ；F 为AB 上一动点，BF=nAF ，连接DF ，AE 交于点P.（1）若n=1，则PE AP = ，DPFP = .（2）若n=2，求证：8AP=3PE （3）当n= 时，AE ⊥BF （直接填出结果，不要求证明）.11、如图14，△ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在BC 、AC 上，且BD ＝CE ，AD 与BE 相交于点F ，(1)试说明△ABD ≌△BCE ；(2) △AEF 与△ABE 相似吗?说说你的理由；(3)DF AD BD ⋅=2吗?请说明理由。
九年级数学相似三角形三角函数单元检测题复习题练习题.doc
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谢谢！】相似三角形、三角函数检测一、填空题（每空2分，共20分）1、已知：sin α＝cos25°，则α＝ °,tan34°·tan β＝1，则β2、锐角A 满足2sin(A-15°)=3,则∠A ＝ °3、已知：sin θ＝178，则cos θ＝ ，tan θ＝ 。
4、点D 、E 在AB 、AC 上,且△ADE 与△ABC 相似,AD ＝2,AE ＝3,AC ＝5,则S △ADE ∶S △ABC ＝ 5、已知:点D 、E 在AB 、AC 上,DE ∥BC,DE 把△ABC 分成面积相等的两部分，则ACAE6、已知:梯形ABCD,AD ∥BC,AD=2，BC=4，AC 与BD 交于点O ，则S △AOD ∶S △AOB ＝7、如图,点P 在△ABC 的边AB 上,要使△ACP ∽△ABC,则AC 、AP 、AB 之间应满足8、若两个相似三角形的一组对应边分别是35cm 和14cm ，它们的周长相差60 cm ，则较小的三角形的周长二、选择题(每小题3分，共24分) 1、 已知45°<∠A<90°，则cosA 的值A 、 大于23 B 、大于22 C 、小于22 D 、小于23 2、在R ｔ△ABC 中，∠C ＝90°，则sinA+cosA 的值A 、 大于1B 、等于1C 、小于1D 、不能确定 3、如右图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE ＝α，且cos α＝53，AB ＝4，则AD 的长为 A 、 3 B 、316 C 、320 D 、516 4、下列比较sin α和cos α的大小关系中，不成立的是A 、 当α=45°时，sin α=cos αB 、当0°<α<45°时，sin α<cos αC 、当45°<α<90°时，sin α>cos αD 、只要α为锐角，则有sin α<cos αABCDE5、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，EF 交BD 、CA 于G 、H ，设BC －AD ＝ｍ，则GH 的长为A 、2ｍB 、ｍC 、23ｍD 、21ｍ6、在R ｔ△ABC 中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角A 的正弦值、余弦值、正切值 A 、都没有变化 B 、都扩大2倍 C 、都缩小2倍 D 、不能确定7、△ABC 的三边长分别是，、、262△A ′B ′C ′的两边长分别为1和3，如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，那么△A ′B ′C ′的第三边长应为 A 、2 B 、32 C 、36 D 、338、在△ABC 中,∠C ＝90°,ａ＝4，sinB=35，则斜边ｃ的长为 A 、38 B 、6 C 、4 D 、34三、解答题（56分）1、（8分）如图，正方形ABCD 的边长是2，AE ＝EB ，MN ＝1，线段MN 的两端在CB 、CD 上滑动，求当CM 为多少时，△AED 与N 、M 、C 为顶点的三角形相似。
初三相似三角形及锐角三角比复习(有答案)
初三月考卷（相似三角形及锐角三角比）一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．把a d b c =写成比例式（其中,,,a b c d 均不为0），下列选项中错误．．的是……………………………………………………………………（ ） A ．a cb d =； B ．b d ac =； C ．c a bd =； D ．a bc d=． 2．如果一个三角形保持形状不变，但周长扩大为原来的4倍，那么这个三角形的边长扩大为原来的…………………………………………（ ） A ．2倍； B ．4倍； C ．8倍； D ．16倍．3．下列命题中正确的是……………………………………………… （ ） A ．所有的菱形都相似； B ．所有的矩形都相似； C ．所有的等腰三角形都相似； D ．所有的等边三角形都相似．4．在Rt△ABC 中，∠B =90º，若AC =a ，∠A =θ，则AB 的长为…………（ ） A ．sin a θ； B ．cos a θ； C ．tan a θ； D ．cot a θ．5．点C 在线段AB 上，如果AB =3AC ， AB a =，那么BC 等于…………（ ） A ．13a ； B ．23a ； C ．13a -； D ．23a -． 6．已知△ABC 的三边长分别为6 cm ，7.5 cm ，9 cm ，△DEF 的一边长为5cm ，若这两个三角形相似，则△DEF 的另两边长可能是下列各组中的…（ ） A ．2 cm ，3 cm ；B ．4 cm ，6 cm ；C ．6 cm ，7 cm ；D ．7 cm ，9 cm ．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．若35a c b d ==（其中0b d +≠），则a cb d+=+__________． 8．若线段AB 长为2cm ，P 是AB 的黄金分割点，则较长线段PA = cm ． 9．如图，点G 为△ABC 重心，若AG =1，则AD 的长度为_________． 10．求值:cot30ºsin60-º=_________． 11．在Rt△ABC 中，∠C =90º，若1tan 3A =，则cot A 的值为_________．12．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，DE ∥BC ，若13AD BD =，DE ＝2，则BC 的长为_______．13．如图，1l ∥2l ∥3l ，AB =2，AC =5，DF =7.5，则DE =_________．14．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 、F 是边CD 、BC 边的中点，若AD a =，AB b =，则EF =___________．（结果用a 、b 表示）15．如图，已知AB ∥CD ，AD 与BC 交于点O ，若AD ∶BC = 5∶4，BO =1，DO =2.5，则AD =___________．16．如图，在△ABC 的边BC 上，若DAC B ∠=∠，且BD =5，AC = 6，则CD 的长为___________．17．在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，若2AD =，4BD =，4AC =，且△ADE 与ABC 相似，则AE 的长为___________．(第13题图)B(第9题图)B(第12题图)A(第14题图)A C(第18题图)BDB ’A ’(第16题图)CC(第15题图)18．在答题纸的方格图中画出与矩形ABCD 相似的图形''''A B C D （其中AB 的对应边''A B 已在图中给出）．三、简答题（本大题共4题，每题10分，满分40分）19．已知两个不平行的向量, a b ，求作向量： 32()()2a b a b ---．20．如图，已知点D 、F 在△ABC 的边AB 上，点E 在边AC 上， 且DE ∥BC ，AF AD ADAB=．求证：EF ∥DC ．21．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90º，AC = 3，1tan 2B =． (1) 求BC 的长； (2) 求cos A 的值．CAB(第21题图)B(第20题图)ab(第19题图)22．如图，竖立在点B 处的标杆AB 长2.1米，某测量工作人员站在D 点处，此时人眼睛C 与标杆顶端A 、树顶端E 在同一直线上(点D 、B 、F 也在同一直线上，已知此人眼睛与地面的距离CD 长1.6米，且BD = 1米，BF = 5米，求所测量树的高度．四、解答题（本大题共2题，每题12分，满分24分）23．如图，BE 、CF 分别是△ABC 的边AC 、AB 上的高，BE 与CF 相交于点D ． (1) 求证：△ABE ∽△ACF ； (2) 求证：△ABC ∽△AEF ；(3) 若4ABC AEFSS=，求cos BAC ∠的值．24．如图所示，在△ABC 中，已知6BC =，BC 边上中线5AD =。
相似三角形及锐角三角函数测试题已排版
1.如下图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BC=4PC, Q是CD的中点，求证：△AD Q～△QCP2.中点，求证：△AD Q～△QCP2.E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且AE=AD,∠ABC=∠AED.3.如图，D E⊥AB,AC⊥BC.求证：AE·CE=EF·DE1.如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC～△2.已知，如下图，梯形ABCD中，AD∥BC,AB⊥BC,对角线BD⊥DC,求证：⑴△ABD～△DCB,⑵BD2=AD·BC3.如下图所示，AB是⊙O的直径，CD⊥AB,垂足为D,CE切⊙O与点F,交AB的延长线与点E.求证：CD·EF=OF·DE1.如图1，小明从路灯下，向前走了5米，发现自己在地面上的影子长DE 是2 米，如果小明的身高为1.6米，那么路灯离地面的高度AB 是_________米.2.如图为了测量学校升旗杆AB 的高度，班长小颖带领兴趣小组在距离旗杆20m 的D 处，立了一根长3m 的标杆CD ，然后后退5m 到F 处，刚好发现标杆完全遮住了升旗杆，若小颖的眼离地面高为1.5m,试求升旗杆的高度.3.影子恰好落在土如图：小明想测量一颗大树AB 的高度，发现树的坡的 坡面CD 和地面CB 上，测得CD=4m,BC=10m ，CD 与地面成30度角 且测得1米竹杆的影子长为2米，那么树的高度是多少？1．如果两个相似多边形的面积之比为3：4，那么它们的周长之比为_______．2．•已知两个相似三角形的最长边分别为21cm •和14cm ，•较大的三角形的面积为15cm2，则较小的三角形的面积为________．3．已知两个相似多边形的相似比为5：7，若较小的一个多边形的周长为35，•则较大的一个多边形的周长为_____；若较大的一个多边形的面积是4，则较小的一个多边形的面积是________．4．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 、BD 相交于点O ，AD ：BC=3：5，则AO ：OC=______，S △ODA ：S △OCB =•_______，S △AOB ：S △AOD =_______，S △AOB ：S △DBC =________． 5．把一个矩形剪去一个正方形，若所剩矩形与原矩形相似，则原矩形长边与短边的比为_____．6．如图2，ABCD 是正方形，点E 、F 、G 、H 分别在AB 、BC 、CD 、DA 上，且AE=BF=CG=DG=AB ，则四边形EFGH 与正方形ABCD 的面积的比为________． 7．如图3，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，△DCE 的面积与△DCB 的面积比为1：3，则△DEC 的面积与△ABD 的面积比为_______． 二、整合练习1． E 是矩形ABCD 的边CD 上一点，BE 交AC 于点O ，已知△OCE 和△OBC •的面积分别为2和8．（1）求△OAB 和四边形AOED 的面积；（2）若BE ⊥AC ，求BE 的长．一、填空题：1、 若α为锐角,则0______ sin α_______ 1; 0______ cos α_______ 1.2、 在Rt △ABC 中,∠C 为直角,a=1,b=2,则cosA=________,tgA=_________.3、 在Rt △ABC 中,∠C 为直角,AB=5,BC=3,则sinA=________,ctgA=_________.4、 在Rt △ABC 中,∠C 为直角, ∠A=300,b=4,则a=__________,c=__________.5、 在Rt △ABC 中,∠C 为直角,若sinA=53,则cosB=_________.6、 已知cosA=23,且∠B=900-∠A,则sinB=__________.7、 在Rt △ABC 中,∠C 为直角,ctg(900-A)=1.524,则tg(900-B)=_________.8、 ∠A 为锐角,已知sinA=135,那么cos(900-A)=___________.9、 已知sinA=21(∠A 为锐角),则∠A=_________,cosA_______,tgA=__________.10、 若α为锐角,tg α=33,则α=__________,ctg α=_______.11、 若00<α<900,sin α=cos600,则tg α=_________. 12、 若tg α· tg350=1,则锐角α的度数等于__________. 13、 若cosA>cos600,则锐角A 的取值范围是__________.用不等号连结右面的式子:cos400_______cos200,sin370_______sin420.15、 查表得cos37024¹=0.7499,2¹的修正值是0.0004,则cos37022¹=-____________.16、 已知85018¹=0.0819,2¹的修正值是0.0006,若sinA=0.0813,则锐角A=__________.1、 若ctg α=0.3027,ctg β=0.3206,则锐角α、β的大小关系是______________. 2 计算:2sin450-21cos600=____________.3、 计算: 2sin450-3tg600=____________.4、 计算: (sin300+tg450)·cos600=______________.5、 计算: tg450·sin450-4sin300·cos450+6ctg600=__________.6、 计算: tg 2300+2sin600-tg450·sin900-tg600+cos 2300=____________.7、 计算：2sin450-3tg300+4cos600-6ctg9008、 计算：2sin300-2cos600+tg450+ctg440·ctg4609、 计算：tg100·tg200·tg400·tg500·tg700·tg8001. 在△EFG 中，∠G=90°，EG=6，EF=10，则cotE=（ ） A.43 B. 34 C. 53 D. 35 2. 在△ABC 中，∠A=105°，∠B=45°，tanC 的值是（ ） A.21 B. 33C. 1D.3. 在△ABC 中，若22cos =A ，3tan =B ，则这个三角形一定是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形 4. 如图18，在△EFG 中，∠EFG=90°，FH ⊥EG ，下面等式中，错误的是（ ）A.EGEF G =sin B. EF EH G =sinC. FGGH G =sin D. FG FH G =sin5. sin65°与cos26°之间的关系为（ ）A. sin65°<cos26°B. sin65°>cos26°C. sin65°=cos26°D. sin65°+cos26°=1 6. 已知30°<α<60°，下列各式正确的是（ ）A.B.C.D.7. 在△ABC 中，∠C=90°，52sin =A ，则sinB 的值是（ ）A.B.C.D.8. 若平行四边形相邻两边的长分别为10和15，它们的夹角为60°，则平行四边形的面积是（ ）米2 A. 150B. C. 9 D. 71. 如图19，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i=2∶3，顶宽是3米，路基高是4米，则路基的下底宽是（ ） A. 7米 B. 9米 C. 12米 D. 15米2. 如图20，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阻影部分）的面积为（ ）A.αsin 1 B.αcos 1 C.αsin D. 1二. 填空题：（每小题2分，共10分） 1. 已知0°<α<90°，当α=__________时，21sin =α，当α=__________时，。
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<锐角三角函数.相似>
一、选择题
1．下列多边形一定相似的为（ ） A ．两个矩形
B ．两个菱形
C ．两个正方形
D ．两个平行四边形
2．在△ABC 中，BC=15cm ，CA=45cm ，AB=63cm ，另一个和它相似的三角形的最短边是5cm ，则最长边是（ ） A ．18cm B ．21cm C ．24cm D ．19.5cm
3．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（ ） A ．10米 B ．15米 C ．25米
D ．30米
4．若A B ∠∠、均为锐角，且2
1cos 21sin ==B A ，，则（ ）.
A ．︒=∠=∠60
B A
B ．︒=∠=∠30B A
C ．︒=∠︒=∠3060B A ，
D ．︒=∠︒=∠6030B A ，
5. 如图：把△ ABC 沿AB 边平移到△A'B'C'的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的
面积是空白部分面积的一半，若AB=1，则此三角形移动的距离AA'是（ ） A 2- 1 B ．
2
2
C ．212
-
D ．
12
6. P 是Rt △ABC 的斜边BC 上异于B , C 的一点，过P 点作直线截△ABC ，使截得的三角
形与△ABC 相似，满足这样条件的直线共有（ ） A. l 条
B. 2条
C. 3 条
D. 4条
7. 在△ABC 中，∠A=105°，∠B=45°，tanC 的值是（ ） A.
2
1 B.
3
3 C. 1 D. 3
8．如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC △如图那样折叠，使点A
与点B 重合，折痕为DE ，则tan CBE ∠的值是（ ） A ．
247
B 7
C ．724
D ．
13
题
10
A
B
D
C E
30 °
6
8
C
E
A
B
D
（第8题）
16题图
11题
二、填空题
9、已知
43=y x ,则._____=-y y x
10、如图，为了测量水塘边A 、B 两点之间的距离，在可以看到的A 、B 的点E 处，取
AE 、BE 延长线上的C 、D 两点,使得CD ∥AB ，若测得CD ＝5m ，AD ＝15m ，ED=3m,则A 、B 两点间的距离为___________。
11、如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到桌面后在地面上形成（圆形）的示意图. 已知桌面直径为1.2米，桌面离地面1米. 若灯泡离地面3米，则地面上阴影部分的面积为__________（结果保留π） 12、如图，已知正方形边长为a ，则βcos = . 13、如图，如果△APB 绕点B 按逆时针方向旋转30°后得到△A ＇P ＇B ，且BP=2，那么PP ＇
的长为___________.(已知：sin15°=624-，cos15°=62
4+)
14．等腰三角形的两边分别为6和8，则底角α的正切为 .
15．如图，在△ABC 中， ∠B=∠AED ，AB=5，AD=3，CE=6，则AE= . 16．如图,正方形ABCD 内接于等腰ΔPQR,∠P=900,则PA ∶AQ=_________. 三、解答题
17．一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，AB ∥CF ，
∠F =∠ACB =90°, ∠E =45°,∠A =60°,A C=10,试求CD 的长．
A
B
C
D E
15题图
第12题
E
A
B D y
x
C
18. 某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美 化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要多少元
19. 计算
(
)
31
2210
1
-+--
⎪⎭
⎫ ⎝⎛- +
tan 45cos 60tan 60cos30︒-︒
⋅︒︒
20．已知：如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝1，点D 是BC 边上的一个动点(不与B ，
C 点重合)，∠ADE ＝45°． (1)求证：△AB
D ∽△DC
E ；
(2)设BD ＝x ，AE ＝y ，求y 关于x 的函数关系式； (3)当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．
21、如图，△ABC 内接于⊙O ，AD 是△ABC
的边BC 上的高，AE 是⊙O 的直径，连接BE ，△ABE 与△ADC 相似吗请证明你的结论．
22.如图，△ABC 为正三角形，D 、E 分别是AC 、BC 上的点
(不在顶点)，∠BDE=60°若正三角形的边长为4，并设DC=x ，BE=y ， 试求y 与x 之间的函数关系
︒
15020米30米
图21
23.如图，某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点A 测得某岛C 在北偏东60°方向上，航行半小时后到达点B ，测得该岛在DC 北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁。
（1）试说明点B 是否在暗礁区域外
（2）若继续向东航行在无触礁危险请说明理由。
24．如图所示，在平面直角坐标系xOy 内已知点A 和点B 的坐标分别为(0，6)，(8，0)，动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，设点P ，Q 移动的时间为t 秒． (1)求直线AB 的解析式；
(2)当t 为何值时，△APQ 与△ABO 相似 (3)当t 为何值时，△APQ 的面积为
5
24
个平方单位
25．已知：如图，□ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，∠BAD ＝120°，E 为BC 上一动点(不与B 点
重合)，作EF ⊥AB 于F ，FE ，DC 的延长线交于点G ，设BE ＝x ，△DEF 的面积为S ．
(1)求证：△BEF ∽△CEG ；
(2)求用x 表示S 的函数表达式，并写出x 的取值范围； (3)当E 点运动到何处时，S 有最大值，最大值为多少
北 E 东
B
30
60（
（
C。