(浙江专用)高三数学专题复习攻略 第一部分专题六第四讲专题针对训练 理 新课标
【优化方案】(浙江专用)高三数学专题复习攻略 第二部分第四讲考前优化训练 文 新课标
【优化方案】（浙江专用）高三数学专题复习攻略 第二部分第四讲考前优化训练 文 新课标1．(2011年高考福建卷)设函数f (θ)＝3sin θ＋cos θ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P (x ，y )，且0≤θ≤π.(1)若点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，求f (θ)的值； (2)若点P (x ，y )为平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥1，x ≤1，y ≤1上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f (θ)的最小值和最大值．解：(1)由点P 的坐标和三角函数的定义可得错误!于是f (θ)＝3sin θ＋cos θ＝3×32＋12＝2. (2)作出平面区域Ω(即三角形区域ABC )如图，其中A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)．于是0≤θ≤π2. 又f (θ)＝3sin θ＋cos θ＝2sin(θ＋π6)， 且π6≤θ＋π6≤2π3， 故当θ＋π6＝π2，即θ＝π3时， f (θ)取得最大值，且最大值等于2；当θ＋π6＝π6，即θ＝0时， f (θ)取得最小值，且最小值等于1.2．已知函数f (x )＝kx ＋b ，－1≤x ≤1，k ，b ∈R ，且是常数．(1)若k 是从－2，－1,0,1,2五个数中任取的1个数，b 是从0,1,2三个数中任取的1个数，求函数y ＝f (x )是奇函数的概率；(2)若k 是从区间[－2,2]中任取的1个数，b 是从区间[0,2]中任取的1个数，求函数y ＝f (x )在[－1,1]上有零点的概率．解：(1)函数f (x )为奇函数的条件是b ＝0，基本事件共有5×3＝15个，设事件A ：“函数y ＝f (x )是奇函数”，则事件A 包含的基本事件是(－2,0)，(－1,0)，(0,0)，(1,0)，(2,0)．所以P (A )＝515＝13； (2)如图所示，设试验的全部结果所构成的区域为Ω＝{(k ，b )|－2≤k ≤2,0≤b ≤2}，其面积＝4×2＝8，设事件B ：“函数y＝f (x )在[－1,1]上有零点”，事件B 构成区域为阴影部分，其面积＝12×4×2＝4， 所以P (B )＝48＝12.3.如图所示，已知在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，E 为棱CC 1上的动点，F 是线段AB 的中点，AC ＝BC ＝2，AA 1＝4.(1)求证：CF ⊥平面ABB 1；(2)当E 是棱CC 1的中点时，求证：CF ∥平面AEB 1.证明：(1)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱B 1B ⊥底面ABC ，∵CF ⊂平面ABC ，∴B 1B ⊥CF .∵AC ＝BC ，F 是线段AB 的中点，∴CF ⊥AB .∵AB ，B 1B 是平面ABB 1内两相交直线，∴CF ⊥平面ABB 1.(2)如图所示，取AB 1的中点D ，连接ED ，DF .∵DF 是△ABB 1的中位线，∴DF 綊12B 1B . ∵E 是棱CC 1的中点，∴EC 綊12B 1B .∴DF 綊EC . ∴四边形EDFC 是平行四边形．∴CF ∥ED .∵CF ⊄平面AEB 1，ED ⊂平面AEB 1，∴CF ∥平面AEB 1.4．(2011年高考四川卷)已知{a n }是以a 为首项，q 为公比的等比数列，S n 为它的前n 项和． ()1当S 1，S 3，S 4成等差数列时，求q 的值；()2当S m ，S n ，S l 成等差数列时，求证：对任意自然数k ，a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 也成等差数列．解：()1由已知，得a n ＝aq n －1，因此S 1＝a ，S 3＝a ()1＋q ＋q 2，S 4＝a ()1＋q ＋q 2＋q 3.当S 1，S 3，S 4成等差数列时，S 4－S 3＝S 3－S 1，可得aq 3＝aq ＋aq 2，化简得q 2－q －1＝0.解得q ＝1±52. ()2若q ＝1，则{a n }的各项均为a ，此时a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 显然成等差数列．若q ≠1，由S m ，S n ，S l 成等差数列可得S m ＋S l ＝2S n ，即a ()q m －1q －1＋a ()q l －1q －1＝2a ()q n －1q －1， 整理得q m ＋q l ＝2q n .因此，a m ＋k ＋a l ＋k ＝aq k －1()q m ＋q l ＝2aq n ＋k －1＝2a n ＋k .所以，a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 成等差数列．5．(2011年高考北京卷)已知椭圆G ：x 24＋y 2＝1.过点(m,0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点．(1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率；(2)将|AB |表示为m 的函数，并求|AB |的最大值．解：(1)由已知得a ＝2，b ＝1，所以c ＝a 2－b 2＝ 3.所以椭圆G 的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，离心率为e ＝c a ＝32. (2)由题意知，|m |≥1.当m ＝1时，切线l 的方程为x ＝1，点A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32， 此时|AB |＝ 3.当m ＝－1时，同理可得|AB |＝ 3.当|m |>1时，设切线l 的方程为y ＝k (x －m )． 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －m x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－4＝0. 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 2m 1＋4k 2，x 1x 2＝4k 2m 2－41＋4k2. 又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|km |k 2＋1＝1， 即m 2k 2＝k 2＋1. 所以|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝ ＋k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤64k 4m 2＋4k 22－k 2m 2－1＋4k 2 ＝43|m |m 2＋3. 由于当m ＝±1时，|AB |＝3，所以|AB |＝43|m |m 2＋3，m ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)． 因为|AB |＝43|m |m 2＋3＝43|m |＋3|m |≤2，且当m ＝±3时， |AB |＝2，所以|AB |的最大值为2.6．已知函数f (x )＝e x ＋ax ，g (x )＝e x ln x ．(e≈2.71828)(1)设曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线与直线x ＋(e －1)y ＝1垂直，求a 的值；(2)若对于任意实数x ≥0，f (x )>0恒成立，试确定实数a 的取值范围．解：(1)由题知，f ′(x )＝e x ＋a .因此曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线l 的斜率为e ＋a ，又直线x ＋(e －1)y ＝1的斜率为11－e， ∴(e ＋a )11－e＝－1， ∴a ＝－1.(2)∵当x ≥0时，f (x )＝e x ＋ax >0恒成立；∴若x ＝0，a 为任意实数，f (x )＝e x ＋ax >0恒成立．若x >0，f (x )＝e x ＋ax >0恒成立，即当x >0时，a >－e x x恒成立． 设Q (x )＝－e xx，Q ′(x )＝－e x x －e x x 2＝－x x x 2.当x ∈(0,1)时，Q ′(x )>0，则Q (x )在(0,1)上单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，Q ′(x )<0，则Q (x )在(1，＋∞)上单调递减． ∴当x ＝1时，Q (x )取得最大值．Q (x )max ＝Q (1)＝－e ，∴要使x ≥0时，f (x )>0恒成立，a 的取值范围为(－e ，＋∞)．。
【优化方案】浙江省高三数学专题复习攻略 第一部分专题六第一讲 计数原理、二项式定理专题针对训练
《优化方案》高三专题复习攻略（新课标）数学浙江理科第一部分专题六第一讲 计数原理、二项式定理专题针对训练一、选择题1．用0、1、2、3组成个位数字不是1的没有重复数字的四位数共有( ) A ．10个 B ．12个 C ．14个 D ．16个解析：选C.分两类：(1)0放个位有A 33＝6(个)；(2)0放十位或百位有A 12A 12A 22＝8(个)；共有6＋8＝14(个)符合要求的四位数．故应选C.2．从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有( )A ．70种B ．112种C ．140种D ．168种解析：选C.∵从10个同学中挑选4名参加某项公益活动有C 410种不同方法；从甲、乙之外的8个同学中挑选4名参加某项公益活动有C 48种不同方法；∴所求的不同挑选方法共有C 410－C 48＝140(种)．3．(2011年高考天津卷)在⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的二项展开式中，x 2的系数为( )A ．－154 B.154C ．－38 D.38解析：选C.该二项展开式的通项为T r ＋1＝C r6⎝⎛⎭⎪⎫x 26－r ·⎝⎛⎭⎪⎫－2x r ＝(－1)r C r 6·126－2r ·x 3－r.令3－r ＝2，得r ＝1.∴T 2＝－6×124x 2＝－38x 2，故选C.4．在(x ＋13x)24的展开式中，x 的幂指数为整数的项共有( )A ．3项B ．4项C ．5项D ．6项解析：选C.二项展开式的通项是T r ＋1＝C r 24(x )24－r·(13x)r ＝C r 24x 12－5r 6，显然只有r ＝0,6,12,18,24时，x 的幂指数为整数，共有5项．5．12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同的调整方法总数是( )A ．C 28A 23B ．C 28A 66C ．C 28A 26D ．C 28A 25解析：选C.从后排8人中选2人有C 28种选法，这2人插入前排4人中且前排人的顺序不变，则先从4人中的5个空位插一人有5种排法；余下的一人则要插入前排5人的空挡有6种排法，故为A 26.∴所求总数为C 28A 26. 二、填空题6．已知集合S ＝{－1,0,1}，P ＝{1,2,3,4}，从集合S ，P 中各取一个元素作为点的坐标，可作出不同的点共有__________个．解析：共有C 13C 14A 22－1＝23(个)，其中(1,1)重复了一次． 答案：237．(2011年高考北京卷)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)解析：数字2,3至少都出现一次，包括以下情况：“2”出现1次，“3”出现3次，共可组成C 14＝4(个)四位数．“2”出现2次，“3”出现2次，共可组成C 24＝6(个)四位数．“2”出现3次，“3”出现1次，共可组成C 34＝4(个)四位数． 综上所述，共可组成14个这样的四位数． 答案：148．(2011年高考山东卷)若⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 6展开式的常数项为60，则常数a 的值为________．解析：⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 26展开式的通项为T r ＋1＝C r 6x 6－r (－1)r ·(a )r ·x －2r ＝C r 6x 6－3r(－1)r·(a )r.令6－3r ＝0，得r ＝2.故C 26(a )2＝60，解得a ＝4. 答案：4 三、解答题9．按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？ (1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本．解：(1)无序不均匀分组问题．先选1本有C 16种选法；再从余下的5本中选2本有C 25种选法；最后余下3本全选有C 33种选法．故共有C 16C 25C 33＝60(种)不同的分配方式．(2)有序不均匀分组问题．由于甲、乙、丙是不同三人，在第(1)题的基础上，还应考虑再分配，故共有C 16C 25C 33A 33＝360(种)不同的分配方式．10．用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位、百位上数字之和为偶数的四位数共有多少个？解：个位、十位、百位上数字之和为偶数有两种情况：第一种：三个偶数，第二种：一个偶数，两个奇数．第一种：三个偶数时，(1)三个偶数中包括“0”，则选法C 23，后三位排法有A 33种，千位可从其余4数中选一数即C 14，故有C 23A 33·C 14＝72(种)．(2)三个偶数中不包括“0”，则选法C 33，后三位排法有A 33种，千位可从其余3数中选一数即C 13，故有C 33A 33·C 13＝18(种)．第二种：一个偶数，两个奇数时，(1)这个偶数为“0”，则两个奇数选法C 23；后三位排法A 33种，千位选法C 14种，故有C 23·A 33·C 14＝72(种)．(2)偶数不为“0”，则选法有C 13·C 23，后三位排法A 33，千位选法C 13，故有C 13C 23·A 33·C 13＝162(种)．故共有72＋18＋72＋162＝324(种)．11．已知f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋2x )n (m ，n ∈N *)的展开式中x 的系数为11.(1)求x 2的系数取最小值时n 的值；(2)当x 2的系数取得最小值时，求f (x )展开式中x 的奇次幂项的系数之和．解：(1)由已知C 1m ＋2C 1n ＝11， ∴m ＋2n ＝11，x 2的系数为C 2m ＋22C 2n ＝m m －2＋2n (n －1) ＝m 2－m 2＋(11－m )(11－m 2－1)＝(m －214)2＋35116.∵m ∈N *，∴m ＝5时，x 2的系数取得最小值22，此时n＝3.(2)由(1)知，当x2的系数取得最小值时，m＝5，n＝3，∴f(x)＝(1＋x)5＋(1＋2x)3.设这时f(x)的展开式为f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，令x＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25＋33，令x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1，两式相减得2(a1＋a3＋a5)＝60，故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30.。
(浙江专用)高三数学专题复习攻略 第一部分专题四第二讲专题针对训练 文 新课标
【优化方案】（浙江专用）高三数学专题复习攻略第一部分专题四第二讲专题针对训练文新课标一、选择题1．已知平面α∩β＝l，m是α内不同于l的直线，那么下列命题中错误的是( ) A．若m∥β，则m∥l B．若m∥l，则m∥βC．若m⊥β，则m⊥l D．若m⊥l，则m⊥β解析：选D.A符合直线与平面平行的性质定理；B符合直线与平面平行的判定定理；C符合直线与平面垂直的性质；对于D，只有α⊥β时，才能成立．2．(2011年高考四川卷)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( ) A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面解析：选B.当l1⊥l2，l2⊥l3时，l1也可能与l3相交或异面，故A不正确；l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3，故B正确；当l1∥l2∥l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故C不正确；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故D 不正确．3．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m ∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β解析：选D.∵m∥α，m∥β，α∩β＝l，∴m∥l.∵AB∥l，∴AB∥m，故A一定正确．∵AC⊥l，m∥l，∴AC⊥m，从而B一定正确．∵A∈α，AB∥l，l⊂α，∴B∈α，∴AB⊄β，l⊂β.∴AB∥β，故C也正确．∵AC⊥l，当点C在平面α内时，AC⊥β成立，当点C不在平面α内时，AC⊥β不成立，故D不一定成立．4．设a，b是不同的直线，α、β是不同的平面，则下列命题：①若a⊥b，a⊥α，则b∥α；②若a∥α，α⊥β，则a⊥β；③若a⊥β，α⊥β，则a ∥α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β.其中正确命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选B. 通过线面平行、垂直的判定定理和性质定理及面面平行、垂直的判定定理和性质定理可得①②③错误，④正确，故选B.5．已知α、β是平面，m、n是直线，给出下列命题：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β.②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β.③如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交．④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β.其中正确命题的个数是( )A．1 B．24。
浙江省高三数学专题复习攻略 第一部分专题一第二讲 函 数专题针对训练 理 新人教版
《优化方案》高三专题复习攻略（新课标）数学浙江理科第一部分专题一第二讲 函 数专题针对训练一、选择题1．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x －1C ．y ＝x 2D ．y ＝x 13解析：选A.∵y ＝x －1和y ＝x 13都是奇函数，故B 、D 错误．又y ＝x 2虽为偶函数，但在(0，＋∞)上为增函数，故C 错误．y ＝x －2＝1x2在(0，＋∞)上为减函数，且为偶函数，故A 满足题意．2．函数f (x )＝x ＋1x图象的对称中心为( )~ A ．(0,0) B ．(0,1) C ．(1,0)D ．(1,1)解析：选B.由于f (x )＝1＋1x 的图象可看作是将函数y ＝1x的图象向上平移一个单位长度所得到的，而函数y ＝1x 是奇函数，其图象关于原点对称，因此f (x )＝1＋1x的图象的对称中心是点(0,1)，选B.3．已知f (x )＝⎩⎨⎧－2x ，－1≤x ≤0x ，0<x ≤1，则下列函数的图象错误的是( )解析：选D.先在坐标平面内画出函数y ＝f (x )的图象，再将函数y ＝f (x )的图象向右平移1个长度单位即可得到y ＝f (x －1)的图象，因此A 正确；作函数y ＝f (x )的图象关于y 轴的对称图形，即可得到y ＝f (－x )的图象，因此B 正确；y ＝f (x )的值域是[0,2]，因此y ＝|f (x )|的图象与y ＝f (x )的图象重合，C 正确；y ＝f (|x |)的定义域是[－1,1]，且是一个偶函数，当0≤x ≤1时，y ＝f (|x |)＝x ，相应这部分图象不是一条线段，因此选项D 不正确．综上所述，选D.4．(2011年高考湖北卷)已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x＋2(a >0，且a ≠1)．若g (2)＝a ，则f (2)＝( )A ．2 B.154C.174D ．a 2解析：选B.∵f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，∴由f (x )＋g (x )＝a x －a －x＋2，①得－f (x )＋g (x )＝a －x －a x＋2，②①＋②，得g (x )＝2，①－②，得f (x )＝a x －a －x.又g (2)＝a ，∴a ＝2，∴f (x )＝2x －2－x，∴f (2)＝22－2－2＝154.5．(2011年高考山东卷)已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B.∵f (x )是最小正周期为2的周期函数，且0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ＝x (x －1)(x ＋1)，∴当0≤x <2时，f (x )＝0有两个根，即x 1＝0，x 2＝1.由周期函数的性质知，当2≤x <4时，f (x )＝0有两个根，即x 3＝2，x 4＝3；当4≤x <6时，f (x )＝0有两个根，即x 5＝4，x 6＝5.x 7＝6也是f (x )＝0的根．故函数f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴交点的个数为7. 二、填空题6．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)在[－1,1]上的最大值为________．解析：函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上是单调递减函数，所以函数的最大值是f (－1)＝3.答案：37．若函数y ＝ax 2－2ax (a ≠0)在区间[0,3]上有最大值3，则a 的值是________．解析：∵函数y ＝ax 2－2ax ＝a (x －1)2－a 的对称轴为定直线x ＝1，且1∈[0,3]，由抛物线开口方向分两种情况讨论：当a >0时，抛物线开口方向向上，由y max ＝f (3)＝9a －6a ＝3a ＝3，得a ＝1； 当a <0时，抛物线开口方向向下， 由y max ＝f (1)＝－a ＝3，得a ＝－3. 答案：1或－38．已知f (x )＝|x |＋|x －1|，若g (x )＝f (x )－a 的零点个数不为0，则a 的最小值为________．解析：g (x )的零点个数不为零，即f (x )图象与直线y ＝a 的交点个数不为零，画出f (x )的图象可知，a 的最小值为1.答案：1 三、解答题9．设函数f (x )是定义在[－1,0)∪(0,1]上的奇函数，当x ∈[－1,0)时，f (x )＝2ax ＋1x2(a 为实数)．(1)当x ∈(0,1]时，求f (x )的解析式；(2)当a >－1时，试判断f (x )在区间(0,1]上的单调性并证明你的结论．解：(1)设x ∈(0,1]，则－x ∈[－1,0)，f (－x )＝－2ax ＋1x2.∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝2ax －1x2，x ∈(0,1]．(2)f ′(x )＝2a ＋2x3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1x 3.∵a >－1，x ∈(0,1]，1x 3≥1，a ＋1x3>0.∴f ′(x )>0，∴f (x )在区间(0,1]上是单调递增的．10．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .(1)若f (－1)＝0，试判断函数f (x )零点的个数；(2)若∀x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，f (x 1)≠f (x 2)，试证明∃x 0∈(x 1，x 2)，使f (x 0)＝12[f (x 1)＋f (x 2)]成立．解：(1)∵f (－1)＝0， ∴a －b ＋c ＝0，b ＝a ＋c .∵Δ＝b 2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2， 当a ＝c 时Δ＝0，函数f (x )有一个零点； 当a ≠c 时，Δ>0，函数f (x )有两个零点．(2)证明：令g (x )＝f (x )－12[f (x 1)＋f (x 2)]，则g (x 1)＝f (x 1)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝f x 1－f x 22，g (x 2)＝f (x 2)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝f x 2－f x 12，∴g (x 1)·g (x 2)＝－14[f (x 1)－f (x 2)]2<0.(∵f (x 1)≠f (x 2))．∴g (x )＝0在(x 1，x 2)内必有一个实根， 即∃x 0∈(x 1，x 2)，使f (x 0)＝12[f (x 1)＋f (x 2)]成立．11．为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目．经测算，该项目月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似的表示为：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧13x 3－80x 2＋5040x ，x ∈[120，14412x 2－200x ＋80000，x ∈[144，500，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元．若该项目不获利，国家将给予补偿． (1)当x ∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 解：(1)当x ∈[200,300]时，设该项目获利为S ，则S ＝200x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80000 ＝－12x 2＋400x －80000＝－12(x －400)2.所以当x ∈[200,300]时，S <0. 因此，该项目不会获利．当x ＝300时，S 取得最大值－5000，所以国家每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损．(2)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：y x ＝⎩⎪⎨⎪⎧13x 2－80x ＋5040，x ∈[120，14412x ＋80000x －200，x ∈[144，500.①当x ∈[120,144)时，y x ＝13x 2－80x ＋5040＝13(x －120)2＋240，∴当x ＝120时，y x取得最小值240；②当x ∈[144,500)时，y x ＝12x ＋80000x －200≥ 2 12x ·80000x－200＝200，当且仅当12x ＝80000x ，即x ＝400时，yx取得最小值200.∵200<240.∴当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．。
(浙江版)2018年高考数学一轮复习 专题6.4 数列求和(讲)
第04节 数列求和【考纲解读】【知识清单】一．数列求和1. 等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+. 2．等比数列前n 项和公式 一般地，设等比数列123,,,,,n a a a a 的前n 项和是=n S 123n a a a a ++++，当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1或11n n a a qS q -=-；当1q =时，1na S n =（错位相减法）. 3. 数列前n 项和①重要公式：（1）1nk k ==∑123n ++++=2)1(+n n （2）1(21)nk k =-=∑()13521n ++++-=2n（3）31nk k ==∑2333)1(2121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+++n n n（4）21nk k ==∑)12)(1(613212222++=++++n n n n②等差数列中，m n m n S S S mnd +=++；③等比数列中，n mm n n m m n S S q S S q S +=+=+.对点练习：1.【2017课标1，理4】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C2. 已知{}n a 为正项等比数列，n S 是它的前n 项和，若116a =，且4a 与7a 的等差中项为98，则5S 的值（ ） A ．29 B ．31 C ．33 D ．35 【答案】B【解析】由题意得479+=4a a ，因此363911+=()6482q q q q ⇒=⇒=舍去负值，因此55116(1)231.112S -==-选B.【考点深度剖析】数列求和是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，以解答题为主，难度中等或稍难，数列求和问题为先导，在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合.考查等差数列的求和多于等比数列的求和，往往在此基础上考查“裂项相消法”、“错位相减法”.【重点难点突破】考点1 数列求和【1-1】已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根，则数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和 . 【答案】1422n n n S ++=-【1-2】【2017届浙江嘉兴市高三上基础测试】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，且12n n S ta =-，其中*n N ∈．（1）求实数t 的值和数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足32log n n b a =，求数列11{}n n b b +的前n 项和n T ． 【答案】（1）23=t ，13-=n n a ；（2）12121121+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n n ． 【解析】试题分析：（1）由n n a S =可得32t =，2n ≥时由1n n n a S S -=-得数列{}n a 为首项为1，公比为3的等比数列，可得通项公式；（2）化简21n b n =-，则11111()22121n n b b n n +=--+，用裂项相消求和，可得前项和．试题解析： （1）当1=n 时，21111-==ta S a ，得23=t ，从而 2123-=n n a S ,则 2≥n 时，⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=--2123212311n n n n n a a S S a 得 13-=n n a a又01≠a 得31=-n n a a，故数列{}n a 为等比数列，公比为3，首项为1．∴13-=n n a（2）由（1）得 1223-=n n a 得 12-=n b n ∴()()⎪⎭⎫⎝⎛+--=+-=-121121*********n n n n b b n n 得 ⎪⎭⎫⎝⎛+--++-+-=121121513131121n n T n12121121+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n nn【领悟技法】1．公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n 项和的公式来求和.对于一些特殊的数列（正整数数列、正整数的平方和立方数列等）也可以直接使用公式求和.2．倒序相加法：类似于等差数列的前n 项和的公式的推导方法，如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的．3．错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的． 若n n n a b c =∙，其中{}n b 是等差数列，{}n c 是公比为q 等比数列，令112211n n n n n S b c b c b c b c --=++++，则n qS =122311n n n n b c b c b c b c -+++++两式错位相减并整理即得.4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n 项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.适用于类似1n n c a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭（其中{}n a 是各项不为零的等差数列，c 为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法： （1）()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，特别地当1k =时，()11111n n n n =-++； （21k=，特别地当1k ==（3）()()221111212122121n n a n n n n ⎛⎫==+- ⎪-+-+⎝⎭（4）()()()()()1111122112n a n n n n n n n ⎛⎫==- ⎪ ⎪+++++⎝⎭（5）)()11(11q p qp p q pq <--= 5．分组转化求和法：有一类数列{}n n a b +，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列{},{}n n a b 是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.6．并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解．例如，22222210099989721n S =-+-++-()()()100999897215050=++++++=.7. 在利用裂项相消法求和时应注意：(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；(2)在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后面也剩下两项．对于不能由等差数列、等比数列的前n 项和公式直接求和的问题，一般需要将数列通项的结构进行合理的拆分，转化成若干个等差数列、等比数列的求和．应用公式法求和时，要保证公式使用的正确性，尤其要区分好等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式．使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．用错位相减法求和时，应注意(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式．8. [易错提示] 利用裂项相消法解决数列求和问题，容易出现的错误有两个方面： (1)裂项过程中易忽视常数，如)211(21)2(1+-=+n n n n 容易误裂为112n n -+，漏掉前面的系数12； (2)裂项之后相消的过程中容易出现丢项或添项的问题，导致计算结果错误． 应用错位相减法求和时需注意：①给数列和S n 的等式两边所乘的常数应不为零，否则需讨论； ②在转化为等比数列的和后，求其和时需看准项数，不一定为n . 【触类旁通】【变式一】【2017课标II ，理15】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑ 。
【优化方案】浙江省高三数学专题复习攻略 第一部分专题一第一讲 集合与常用逻辑用语课件 理 新人教版
()
A．4
B．3
C．2
D．1
【解析】 集合A表示圆x2＋y2＝1上的点构成的 集合，集合B表示直线x＋y＝1上的点构成的集 合，可判断直线与圆相交，故A∩B的元素的个 数为2. 【答案】 C
【得分技巧】 解答与集合有关的问题时，首 先认清集合中的元素是什么？具有什么特征？ 属于什么类型，是数集还是点集还是图形集？ 然后进行相关运算，以免混淆集合中元素的属 性．
阴影部分表示的集合是(∁RM)∩N＝x32<x<3.故 选 B.
【答案】 B
【归纳拓展】 解答集合间关系与运算问题的一 般步骤：先正确理解各个集合的含义，认清集合 元素的属性；再依据元素的不同属性采用不同的 方法对集合进行化简求解，一般的规律为：
(1)若给定的集合是不等式的解集，用数轴求解； (2)若给定的集合是点集，用数形结合法求解； (3)若给定的集合是抽象集合，用Venn图求解．
1＋a<1a＋1，∴loga(1＋a)>loga1a＋1，所以④错．故
填②③.
【答案】 ②③
【归纳拓展】 命题真假的判定方法：
(1)判断四种形式的命题真假的基本方法是先判 断原命题的真假，再判断逆命题的真假，然后 根据等价关系确定否命题和逆否命题的真假． 如果原命题的真假不容易判断，那就首先判断 其逆否命题的真假．
高考热点讲练
热点一 集合间的关系及运算
例1 设 全 集 U ＝ R ， 集 合 M ＝ {x|y ＝ 3－2x}，N＝{y|y＝3－2x}，则图中阴影部分表 示的集合是( )
A.x32<x≤3
C.x32≤x<2
B.x32<x<3 D.x32<x<2
【解析】 由 3－2x≥0，得 x≤32，即 M＝xx≤32； 由 2x>0，得 3－2x<3，即 N＝{y|y<3}．因此图中
(浙江专用)高三数学专题复习攻略 第一部分专题二第二讲专题针对训练 理 新课标
【优化方案】（浙江专用）高三数学专题复习攻略 第一部分专题二第二讲专题针对训练 理 新课标一、选择题1．在△ABC 中，若A ＝60°，BC ＝43，AC ＝42，则角B 的大小为( ) A ．30° B ．45° C ．135° D ．45°或135° 解析：选B.∵BC >AC ，∴A >B . ∴角B 是锐角，由正弦定理得BC sin A ＝ACsin B， 即sin B ＝AC sin A BC ＝42×3243＝22，∴B ＝45°，故选B.2．(2011年高考辽宁卷)设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝13，则sin 2θ＝( )A ．－79B ．－19C.19D.79解析：选A.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝22(sin θ＋cos θ)＝13，将上式两边平方，得12(1＋sin 2θ)＝19，∴sin 2θ＝－79. 3．若cos(3π－x )－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝0，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4等于( )A ．－12B ．－2C.12D ．2 解析：选D.∵cos(3π－x )－3cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝0，∴－cos x ＋3sin x ＝0，∴tan x ＝13，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ＝1＋131－13＝2，故选D.4．(2011年高考天津卷)如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为( )A.33B.36C.63D.66解析：选D.设AB ＝a ，∴AD ＝a ，BD ＝23 a ，BC ＝2BD ＝43a ，cos A ＝AB 2＋AD 2－BD 22AB ·AD ＝2a 2－43a22a 2＝13， ∴sin A ＝1－cos 2A ＝223.由正弦定理知sin C ＝AB BC·sin A ＝34×223＝66. 5．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝( ) A ．－255B ．－3510C ．－31010D.255解析：选A.由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13.又－π2<α<0，所以sin α＝－1010. 故2sin 2α＋sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2sin αsin α＋cos α22sin α＋cos α＝22sin α＝－255.二、填空题6．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1213，π4－α是第一象限角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值是________．解析：∵π4－α是第一象限角，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝513，于是sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1013.故填1013.答案：10137．如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是________米．解析：在△BCD 中，CD ＝10，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°，BC sin 45°＝CD sin 30°，BC ＝CD sin 45°sin 30°＝10 2.在Rt △ABC 中，tan60°＝ABBC，AB ＝BC tan60°＝10 6.答案：10 68．方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a >2)的两根为tan A ，tan B ，且A ，B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则A＋B ＝________.解析：由根与系数的关系得tan A ＋tan B ＝－3a ，tan A tan B ＝3a ＋1，则tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－3a1－3a ＋1＝1.又A ，B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，A ＋B ∈(－π，π)，tan A ＋tan B ＝－3a <0， tan A tan B ＝3a ＋1>0，所以tan A <0，tan B <0，A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，A ＋B ∈(－π，0)．所以A ＋B ＝－3π4.答案：－3π4三、解答题9．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知tan B ＝12，tan C ＝13，且c ＝1.(1)求tan(B ＋C )； (2)求a 的值．解：(1)因为tan B ＝12，tan C ＝13，tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C1－tan B tan C ，代入得tan(B ＋C )＝12＋131－12×13＝1.(2)因为A ＝180°－B －C ，所以tan A ＝tan[180°－(B ＋C )]＝－tan(B ＋C )＝－1. 又0°<A <180°，所以A ＝135°.因为tan C ＝13>0，且0°<C <180°，所以sin C ＝1010，由a sin A ＝csin C，得a ＝ 5.10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A 、B 、C 的对边，且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C .(1)求角A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝3，试判断△ABC 的形状． 解：(1)由2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ，得2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ，即bc ＝b 2＋c 2－a 2，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.(2)∵A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＋C ＝180°－60°＝120°. 由sin B ＋sin C ＝3，得sin B ＋sin(120°－B )＝3， ∴sin B ＋sin 120°cos B －cos 120°sin B ＝ 3. ∴32sin B ＋32cos B ＝3，即sin(B ＋30°)＝1. ∵0°<B <120°，∴30°<B ＋30°<150°. ∴B ＋30°＝90°，B ＝60°.∴A ＝B ＝C ＝60°，△ABC 为正三角形．11．已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋cos 2x (x ∈R )．(1)当x 取什么值时，函数f (x )取得最大值，并求其最大值；(2)若θ为锐角，且f ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π8＝23，求tan θ的值． 解：(1)f (x )＝2sin x cos x ＋cos 2x ＝sin2x ＋cos 2x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin 2x ＋22cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. ∴当2x ＋π4＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π8(k ∈Z )时，函数f (x )取得最大值，其值为 2.(2)法一：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π8＝23，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π2＝23.∴cos 2θ＝13.∵θ为锐角，即0<θ<π2，∴0<2θ<π.∴sin 2θ＝1－cos 22θ＝223. ∴tan 2θ＝sin 2θcos 2θ＝2 2.∴2tan θ1－tan 2θ＝2 2. ∴2tan 2θ＋tan θ－2＝0.∴(2tan θ－1)(tan θ＋2)＝0.∴tan θ＝22或tan θ＝－2(不合题意，舍去)．∴tan θ＝22. 法二：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π8＝23，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π2＝23. ∴cos 2θ＝13.∴2cos 2θ－1＝13.∵θ为锐角，即0<θ<π2，∴cos θ＝63.∴sin θ＝1－cos 2θ＝33.∴tan θ＝sin θcos θ＝22.。
【优化方案】(浙江专用)高三数学专题复习攻略 第一部分专题二第一讲专题针对训练 理 新课标
【优化方案】（浙江专用）高三数学专题复习攻略 第一部分专题二第一讲专题针对训练 理 新课标一、选择题1．下列函数中，在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数且以π为周期的函数是( )A ．y ＝sin x2B ．y ＝sin xC ．y ＝－tan xD ．y ＝－cos2x解析：选D.由函数的周期为π可排除A 、B 选项，再由在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数可排除C选项．2．(2011年高考课标全国卷)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35C.35D.45解析：选B.设P ()t ，2t ()t ≠0为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t5|t |.当t >0时，cos θ＝55；当t <0时，cos θ＝－55.因此cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35. 3．设函数y ＝3sin(2x ＋φ)(0<φ<π，x ∈R )的图象关于直线x ＝π3对称，则φ等于( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选D.由题意知，2×π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝k π－π6，k ∈Z ，又0<φ<π，故当k ＝1时，φ＝5π6.4．定义行列式运算⎪⎪⎪⎪a 1a 3 a 2a 4＝a 1a 4－a 2a 3.将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪31 sin x cos x 的图象向左平移n (n >0)个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则n 的最小值为( )A.π6B.π3C.5π6D.2π3解析：选C.f (x )＝⎪⎪⎪⎪31 sin x cos x ＝3cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，将其图象向左平移n (n >0)个单位长度得到f (x ＋n )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋n ＋π6的图象，函数为偶函数时，n 的最小值为5π6.故选C. 5．(2011年高考天津卷)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，－π<φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( )A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数解析：选A.∵T ＝6π，∴ω＝2πT ＝2π6π＝13，∴13×π2＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝2k π＋π3(k ∈Z )． ∵－π<φ≤π，∴令k ＝0得φ＝π3.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π3. 令2k π－π2≤x 3＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，则6k π－5π2≤x ≤6k π＋π2，k ∈Z .显然f (x )在[－2π，0]上是增函数，故A 正确，而在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π，－5π2上为减函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π2，－π上为增函数，故B 错误，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π，7π2上为减函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π2，13π2上为增函数，故C 错误，f (x )在[4π，6π]上为增函数，故D 错误．二、填空题6．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向________长度单位．解析：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6，所以只要把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移π4个长度单位，就可得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象． 答案：右平移π4个7．设函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象关于点P (x 0,0)成中心对称，若x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，则x 0＝________.解析：设2x 0＋π3＝k π(k ∈Z )，∴x 0＝k π2－π6(k ∈Z )，又∵x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，∴令k ＝0，得x 0＝－π6. 答案：－π68．对于函数f (x )＝sin x ，g (x )＝cos x ，h (x )＝x ＋π3，有如下四个命题：①f (x )－g (x )的最大值为2；②f [h (x )]在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上是增函数；③g [f (x )]是最小正周期为2π的周期函数；④将f (x )的图象向右平移π2个单位长度可得g (x )的图象．其中真命题的序号是________．解析：f (x )－g (x )＝sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4≤2，故①正确；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0时，x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3，函数f [h (x )]＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上为增函数，故②正确；函数g [f (x )]＝cos(sin x )的最小正周期为π，故③错误；将f (x )的图象向左平移π2个单位长度可得g (x )的图象，故④错误．答案：①② 三、解答题9．设函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)的周期为π. (1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象． 解：(1)f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx ＋32cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3， 又∵T ＝π，∴2πω＝π，即ω＝2.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. ∴函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx 的振幅为2，初相为π3.(2)10．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 12x ，32，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，cos 12x ，f (x )＝a ·b ，(1)求函数y ＝f (x )的最小正周期；(2)若x ∈[－2π，2π]，求函数y ＝f (x )的单调递增区间．解：(1)∵a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 12x ，32，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，cos 12x ，∴f (x )＝a ·b ＝12sin 12x ＋32cos 12x＝sin 12x cos π3＋cos 12x sin π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3.∴函数y ＝f (x )的最小正周期T ＝2πω＝4π.(2)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3，令 z ＝12x ＋π3，函数y ＝sin z 的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ， ∴－π2＋2k π≤12x ＋π3≤π2＋2k π时函数单调递增，∴－53π＋4k π≤x ≤π3＋4k π，k ∈Z 时，函数单调递增．取k ＝0时，－53π≤x ≤π3，区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－53π，π3在[－2π，2π]内，∴当x ∈[－2π，2π]时，函数y ＝f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π3，π3.11．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的一段图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π4个单位，得到y ＝g (x )的图象，求直线y ＝6与函数y ＝f (x )＋g (x )的图象在(0，π)内所有交点的坐标．解：(1)由图知A ＝2，T ＝π，于是ω＝2πT＝2，将y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12，得y ＝2sin(2x ＋φ)的图象．于是φ＝2·π12＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)依题意得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 故y ＝f (x )＋g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π12. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝6y ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π12＝32. ∴2x －π12＝π3＋2k π或2x －π12＝2π3＋2k π(k ∈Z )，∴x ＝5π24＋k π或x ＝3π8＋k π(k ∈Z )．∵x ∈(0，π)，∴x ＝5π24或x ＝3π8.∴交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π24，6，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，6.。
浙江专版高考数学一轮复习第六章数列与数学归纳法第四节数列的综合问题课件
(2)由(1)知 cn＝63nn＋＋63n＋n1＝3(n＋1)·2n＋1，
又 Tn＝c1＋c2＋…＋cn， 得 Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]， 2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]， 两式作差，得－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2]
n
为奇数时：
Tn
＝
c1
＋
c2
＋
…
＋
cn
＝
n＋2 1－5＋2n－7 2
＋
n－1
31－9 2 1－9
＝
n＋1 2
n－6＋3
3n－1－ 8
1 .
综上所述： Tn＝n n＋n2－127n＋－363＋n8－313， n－81n－为1偶，数n， 为奇数 .
考点二 错位相减法求和
[典例引领]
(2016·山东高考)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝3n2＋8n，{bn} 是等差数列，且 an＝bn＋bn＋1. (1)求数列{bn}的通项公式； (2)令 cn＝abn＋n＋12n＋n1，求数列{cn}的前 n 项和 Tn.
∵bn＋1＝3bn(n∈N*)且 b2≠0，∴bbn＋n 1＝3，(n∈N*)． ∴{bn}为等比数列，∴bn＝3n－1(n∈N*)．
(2)由(1)得，cn＝23nn－－1，7，n为n为偶奇数数， 当 n 为偶数时，Tn＝c1＋c2＋…
＋cn＝n2－5＋22n－
9＋3
n
1－9 2 1－9
＝nn2－7＋33n8－1.当
第四 节
数列的综合问题
课前·双基落实
想一想、辨一辨、试一试、全面打牢基础
课堂·考点突破
自主研、合作探、多面观、全扫命题题点
高三数学专题复习：第一部分专题六第四讲专题针对训练
一、选择题1．下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是( )A ．三角形B ．梯形C ．平行四边形D ．矩形解析：选C.因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行，故选C.2．(2011年广东佛山质检)已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(1－2i)(a ＋i)在复平面内对应的点为M ，则“a >12”是“点M 在第四象限”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.z ＝(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i ，若其对应的点在第四象限，则a ＋2>0，且1－2a <0，解得a >12.即“a >12”是“点M 在第四象限”的充要条件． 3.如图是求x 1，x 2，…，x 10的乘积S 的程序框图，图中空白框中应填入的内容为( )A ．S ＝S ·(n ＋1)B ．S ＝S ·x n ＋1C ．S ＝S ·nD ．S ＝S ·x n解析：选D.分析循环变量，易知赋值框内应填入S ＝S ·x n .4．设a ，b 是两个数字，给出下列条件：(1)a ＋b >1；(2)a ＋b ＝2；(3)a ＋b >2；(4)a 2＋b 2>2；(5)ab >1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是( )A ．(2)(3)B ．(1)(2)(3)C ．(3)D ．(3)(4)(5)解析：选C.若a ＝12，b ＝23，则a ＋b >1， 但a <1，b <1，故(1)推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故(2)推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，ab >1，故(4)(5)推不出；对于(3)，若a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1，用反证法证明，假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b >2矛盾．5．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程中，第二步假设当n ＝k 时等式成立，则当n ＝k ＋1时应得到( )A ．1＋2＋22＋…＋2k －2＋2k －1＝2k ＋1－1B ．1＋2＋22＋…＋2k ＋2k ＋1＝2k －1－1＋2k ＋1C ．1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＋1＝2k ＋1－1D ．1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k －1＋2k解析：选D.把n ＝k ＋1代入1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1，得1＋2＋22＋…＋2k ＝2k －1＋2k .二、填空题6．设z ＝1－i(i 是虚数单位)，则复数(2z ＋z 2)·z ＝__________.解析：对于2z ＋z 2＝21－i＋(1－i)2＝1＋i －2i ＝1－i ， 故(2z＋z 2)·z ＝(1－i)(1＋i)＝2.故填2. 答案：27．已知i 是虚数单位，m 和n 都是实数，且m (1＋i)＝1＋n i ，则(m ＋n i m －n i)2011等于__________． 解析：由m (1＋i)＝1＋n i ，得m ＝n ＝1，∴(m ＋n i m －n i )2011＝(1＋i 1－i)2011＝i 2011＝－i. 答案：－i8. (2011年山东济南调研)如框图所示，已知集合A ＝{x |框图中输出的x 值}，集合B ＝{y |框图中输出的y 值}，全集U ＝Z ，Z 为整数集．当x ＝－1时，(∁U A )∩B ＝__________.解析：当x ＝－1时，输出y ＝2×(－1)－1＝－3，x ＝－1＋1＝0，且0>5不成立；当x ＝0时，输出y ＝2×0－1＝－1，x ＝0＋1＝1，且1>5不成立；当x ＝1时，输出y ＝2×1－1＝1，x ＝1＋1＝2，且2>5不成立；依次类推，可知A ＝{0,1,2,3,4,5,6}，B ＝{－3，－1,1,3,5,7,9}，故(∁U A )∩B ＝{－3，－1,7,9}．答案：{－3，－1,7,9}三、解答题9．(2011年高考上海卷)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.解：∵(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，∴z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i ，a ∈R .z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i.∵z 1·z 2∈R ，∴a ＝4，∴z 2＝4＋2i.10．为了让学生更多地了解“数学史”知识，某中学高二年级举办了一次“追寻先哲的足迹，倾听数学的声音”的数学史知识竞赛活动，共有800名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计．请你根据频率分布表，解答下列问题：(2)为鼓励更多的学生了解“数学史”知识，成绩不低于85分的同学能获奖，请估计在参加的800名学生中大概有多少名同学获奖？(3)在上述统计数据的分析中有一项计算见如图所示的程序框图，求输出S 的值．解：(1)①为6，②为0.4，③为12，④为12，⑤为0.24.(2)(12×0.24＋0.24)×800＝288，即在参加的800名学生中大概有288名同学获奖． (3)由程序框图，知S ＝G 1F 1＋G 2F 2＋G 3F 3＋G 4F 4＝65×0.12＋75×0.4＋85×0.24＋95×0.24＝81.11．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．(1)求出f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；(3)求1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1的值． 解：(1)f (5)＝41.(2)因为f (2)－f (1)＝4＝4×1，f (3)－f (2)＝8＝4×2，f (4)－f (3)＝12＝4×3，f (5)－f (4)＝16＝4×4，…由上式规律，所以得出f (n ＋1)－f (n )＝4n .因为f (n ＋1)－f (n )＝4n ⇒f (n ＋1)＝f (n )＋4n ⇒f (n )＝f (n －1)＋4(n －1)＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f (n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＝…＝f (1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4＝2n 2－2n ＋1.(3)当n ≥2时，1f (n )－1＝12n (n －1)＝12(1n －1－1n)， ∴1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1＝1＋12(1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n) ＝1＋12(1－1n )＝32－12n.。
【优化方案】浙江省高三数学专题复习攻略 第一部分专题五第一讲 直线与圆专题针对训练 理 新人教版
《优化方案》高三专题复习攻略（新课标）数学浙江理科第一部分专题五第一讲 直线与圆专题针对训练一、选择题1．已知直线x ＋a 2y ＋6＝0与直线(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0平行，则a 的值为( ) A ．0或3或－1 B ．0或3 C ．3或－1 D ．0或－1解析：选D.由直线x ＋a 2y ＋6＝0与直线(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0平行，得3a ＝a 2(a －2)，即a (a 2－2a －3)＝0，解得a ＝0或a ＝3或a ＝－1，经验证，当a ＝0或a ＝－1时，两直线互相平行．2．点A (1,3)关于直线y ＝kx ＋b 对称的点是B (－2,1)，则直线y ＝kx ＋b 在x 轴上的截距是( )A ．－32 B.54C ．－65 D.56解析：选D.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧3－11＋2·k ＝－12＝k －12＋b ，解得k ＝－32，b ＝54，∴直线方程为y ＝－32x ＋54，其在x 轴上的截距为－54×(－23)＝56.3．圆x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0与直线2tx －y －2－2t ＝0(t ∈R )的位置关系为( ) A ．相离 B ．相切C ．相交D ．以上都有可能解析：选C.∵圆的方程可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，∴圆心为(1，－2)，半径r ＝3，又圆心在直线2tx －y －2－2t ＝0上，∴圆与直线相交，故选C.4．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13 C ．－32 D.23解析：选B.由直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P 、Q ，可设P (x 1,1)，Q (7，y 1)，再由线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，可解得：x 1＝－5，y 1＝－3.即直线l 上有两点P (－5,1)，Q (7，－3)，代入斜率公式可解得直线l 的斜率为k ＝1＋3－5－7＝－13.故选B.5．已知点P (x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，当2x ＋4y取最小值时，过点P (x ，y )引圆C ：(x －12)2＋(y ＋14)2＝12的切线，则此切线长等于( )A.12B.32C.62 D.32解析：选C.由于点P (x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，得x ，y 满足x ＋2y ＝3，又2x＋4y ＝2x ＋22y ≥22x ＋2y＝42，取得最小值时x ＝2y ，此时点P 的坐标为(32，34)．由于点P 到圆心C (12，－14)的距离为d ＝32－122＋34＋142＝2，而圆C 的半径为r ＝22，那么切线长为d 2－r 2＝2－12＝62，故选C. 二、填空题6．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0.那么当圆面积最大时，圆心为__________．解析：将方程配方，得(x ＋k 2)2＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1.∴r 2＝1－34k 2>0，r max ＝1，此时k ＝0.∴圆心为(0，－1)．答案：(0，－1)7．直线2x ＋3y －6＝0关于点M (1，－1)对称的直线方程是__________．解析：依题意，所求直线与直线2x ＋3y －6＝0平行，且点M (1，－1)到两直线的距离相等，故可设其方程为2x ＋3y ＋m ＝0，则|2－3－6|13＝|2－3＋m |13，解得m ＝8，故所求直线方程为2x ＋3y ＋8＝0.答案：2x ＋3y ＋8＝08．(2011年高考湖北卷)过点()－1，－2的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为__________．解析：由题意知直线要与圆相交，必存在斜率，设为k ，则直线方程为y ＋2＝k ()x ＋1，又圆的方程可化为()x －12＋()y －12＝1，圆心为()1，1，半径为1，∴圆心到直线的距离d ＝|k －1＋k －2|1＋k2＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫222， 解得k ＝1或177.答案：1或177三、解答题9．已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0.求分别满足下列条件的a ，b 的值．(1)直线l 1过点(－3，－1)，并且直线l 1与l 2垂直；(2)直线l 1与直线l 2平行，并且坐标原点到l 1，l 2的距离相等． 解：(1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)＋(－b )·1＝0，即a 2－a －b ＝0.① 又点(－3，－1)在l 1上， ∴－3a ＋b ＋4＝0.② 由①②得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 1∥l 2，∴a b ＝1－a ，∴b ＝a1－a，故l 1和l 2的方程可分别表示为：(a －1)x ＋y ＋a －a ＝0，(a －1)x ＋y ＋a1－a＝0，又原点到l 1与l 2的距离相等．∴4|a －1a |＝|a 1－a |，∴a ＝2或a ＝23，∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.10．(2011年高考福建卷)已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R .(1)若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程；(2)若直线l 关于x 轴对称的直线为l ′，问直线l ′与抛物线C ：x 2＝4y 是否相切？说明理由．解：(1)法一：依题意，点P 的坐标为(0，m )．因为MP ⊥l ，所以0－m2－0×1＝－1，解得m ＝2，即点P 的坐标为(0,2)．从而圆的半径r ＝|MP |＝ －2＋－2＝22，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.法二：设所求圆的半径为r ，则圆的方程可设为(x －2)2＋y 2＝r 2.依题意，所求圆与直线l ：x －y ＋m ＝0相切于点P (0，m )，则⎩⎪⎨⎪⎧4＋m 2＝r 2，|2－0＋m |2＝r ，解得⎩⎨⎧m ＝2，r ＝2 2.所以所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8. (2)因为直线l 的方程为y ＝x ＋m ， 所以直线l ′的方程为y ＝－x －m ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －m ，x 2＝4y ，得x 2＋4x ＋4m ＝0. Δ＝42－4×4m ＝16(1－m )．当m ＝1，即Δ＝0时，直线l ′与抛物线C 相切； 当m ≠1，即Δ≠0时，直线l ′与抛物线C 不相切．综上，当m ＝1时，直线l ′与抛物线C 相切；当m ≠1时，直线l ′与抛物线C 不相切．11．已知圆M 的方程为x 2＋(y －2)2＝1，直线l 的方程为x －2y ＝0，点P 在直线l 上，过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B .(1)若∠APB ＝60°，试求点P 的坐标；(2)若P 点的坐标为(2,1)，过P 作直线与圆M 交于C ，D 两点，当CD ＝2时，求直线CD 的方程；(3)求证：经过A ，P ，M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标． 解：(1)设P (2m ，m )，由题可知MP ＝2，所以(2m )2＋(m －2)2＝4，解之得m ＝0或m ＝45.故所求点P 的坐标为P (0,0)或P (85，45)．(2)由题意易知k 存在，设直线CD 的方程为y －1＝k (x －2)，由题知圆心M 到直线CD 的距离为22，所以22＝|－2k －1|1＋k2，解得，k ＝－1或k ＝－17， 故所求直线CD 的方程为x ＋y －3＝0或x ＋7y －9＝0.(3)证明：设P (2m ，m )，MP 的中点Q (m ，m2＋1)，因为PA 是圆M 的切线，所以经过A ，P ，M 三点的圆是以Q 为圆心，以MQ 为半径的圆， 故其方程为(x －m )2＋(y －m2－1)2＝m 2＋(m2－1)2.化简得：x 2＋y 2－2y －m (2x ＋y －2)＝0，此式是关于m 的恒等式，故⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2y ＝0，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝45，y ＝25.所以经过A ，P ，M 三点的圆必过定点(0,2)或(45，25)．。
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【优化方案】（浙江专用）高三数学专题复习攻略 第一部分专题六第四讲专题针对训练 理 新课标
一、选择题
1．下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是( )
A ．三角形
B ．梯形
C ．平行四边形
D ．矩形
解析：选C.因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行，故选C.
2．(2011年广东佛山质检)已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(1－2i)(a ＋i)在复
平面内对应的点为M ，则“a >12
”是“点M 在第四象限”的( ) A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选C.z ＝(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i ，若其对应的点在第四象限，则a
＋2>0，且1－2a <0，解得a >12.即“a >12
”是“点M 在第四象限”的充要条件．
3.如图是求x 1，x 2，…，x 10的乘积S 的程序框图，图中空白框中
应填入的内容为( )
A ．S ＝S ·(n ＋1)
B ．S ＝S ·x n ＋1
C ．S ＝S ·n
D ．S ＝S ·x n
解析：选D.分析循环变量，易知赋值框内应填入S ＝S ·x n .
4．设a ，b 是两个数字，给出下列条件：
(1)a ＋b >1；(2)a ＋b ＝2；(3)a ＋b >2；(4)a 2＋b 2>2；(5)ab >1.其
中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是( )
A ．(2)(3)
B ．(1)(2)(3)
C ．(3)
D ．(3)(4)(5)
解析：选C.若a ＝12，b ＝23
，则a ＋b >1， 但a <1，b <1，故(1)推不出；
若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故(2)推不出；
若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，ab >1，故(4)(5)推不出；
对于(3)，若a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1，
用反证法证明，假设a ≤1且b ≤1，
则a ＋b ≤2与a ＋b >2矛盾．
5．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程中，第二步假设当n ＝k
时等式成立，则当n ＝k ＋1时应得到( )
A ．1＋2＋22＋…＋2k －2＋2k －1＝2k ＋1－1
B ．1＋2＋22＋…＋2k ＋2k ＋1＝2k －1－1＋2k ＋1
C ．1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＋1＝2k ＋1－1
D ．1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k －1＋2k
解析：选D.把n ＝k ＋1代入1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1，得1＋2＋22＋…＋2k ＝2k －1
＋2k .
二、填空题
6．设z ＝1－i(i 是虚数单位)，则复数(2z
＋z 2)·z ＝__________.
解析：对于2z ＋z 2＝21－i
＋(1－i)2＝1＋i －2i ＝1－i ， 故(2z
＋z 2)·z ＝(1－i)(1＋i)＝2.故填2. 答案：2
7．已知i 是虚数单位，m 和n 都是实数，且m (1＋i)＝1＋n i ，则(m ＋n i m －n i
)2011等于__________．
解析：由m (1＋i)＝1＋n i ，得m ＝n ＝1，
∴(m ＋n i m －n i )2011＝(1＋i 1－i
)2011＝i 2011＝－i. 答案：－i
8. (2011年山东济南调研)如框图所示，已知集合A ＝{x |框图中输
出的x 值}，集合B ＝{y |框图中输出的y 值}，全集U ＝Z ，Z 为整数集．当
x ＝－1时，(∁U A )∩B ＝__________.
解析：当x ＝－1时，输出y ＝2×(－1)－1＝－3，x ＝－1＋1＝0，
且0>5不成立；
当x ＝0时，输出y ＝2×0－1＝－1，x ＝0＋1＝1，且1>5不成立；
当x ＝1时，输出y ＝2×1－1＝1，x ＝1＋1＝2，且2>5不成立；依
次类推，可知
A ＝{0,1,2,3,4,5,6}，
B ＝{－3，－1,1,3,5,7,9}，
故(∁U A )∩B ＝{－3，－1,7,9}．
答案：{－3，－1,7,9}
三、解答题
9．(2011年高考上海卷)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.
解：∵(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，∴z 1＝2－i.
设z 2＝a ＋2i ，a ∈R .
z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i.
∵z 1·z 2∈R ，∴a ＝4，∴z 2＝4＋2i.
10．为了让学生更多地了解“数学史”知识，某中学高二年级举办了一次“追寻先哲的足迹，倾听数学的声音”的数学史知识竞赛活动，共有800名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计．请你根据频率分布表，解答下列问题：
序号(i) 分组(分数) 组中值(G i ) 频数(人数) 频率(F i ) 1 [60,70) 65 ① 0.12
2 [70,80) 75 20 ②
3 [80,90) 85 ③ 0.24
4
[90,100] 95 ④ ⑤
合计 50 1
(1)填充频率分布表中的空格(在解答中直接写出对应空格序号的答案)；
(2)为鼓励更多的学生了解“数学史”知识，成绩不低于85分的同学能获奖，请估计在参加的800名学生中大概有多少名同学获奖？
(3)在上述统计数据的分析中有一项计算见如图所示的程序框图，求输出S 的值．
解：(1)①为6，②为0.4，③为12，④为12，⑤为0.24.
(2)(12
×0.24＋0.24)×800＝288，即在参加的800名学生中大概有288名同学获奖． (3)由程序框图，知S ＝G 1F 1＋G 2F 2＋G 3F 3＋G 4F 4
＝65×0.12＋75×0.4＋85×0.24＋95×0.24＝81.
11．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．
(1)求出f (5)的值；
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；
(3)求1f 1＋1f 2－1＋1f 3－1＋…＋1f n －1
的值． 解：(1)f (5)＝41.
(2)因为f (2)－f (1)＝4＝4×1，
f (3)－f (2)＝8＝4×2，
f (4)－f (3)＝12＝4×3，
f (5)－f (4)＝16＝4×4，
…
由上式规律，所以得出f (n ＋1)－f (n )＝4n .
因为f (n ＋1)－f (n )＝4n ⇒f (n ＋1)＝f (n )＋4n ⇒
f (n )＝f (n －1)＋4(n －1)
＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)
＝f (n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)
＝…
＝f (1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4＝2n 2－2n ＋1.
(3)当n ≥2时，1f n －1＝12n n －1＝12(1n －1－1n
)， ∴1f 1＋1f 2－1＋1f 3－1＋…＋1f n －1
＝1＋12(1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n )
1 2(1－
1
n
)＝
3
2
－
1
2n
.
＝1＋。