2004考研数学三真题及答案解析

2004年考研数学（三）真题解析

一、

填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）

(1)若5)(cos sin lim 0=--→b x a e x

x x ，则a =1，b =4-.【分析】本题属于已知极限求参数的反问题.【详解】因为5)(cos sin lim

0=--→b x a

e x

x

x ，且0)(cos sin lim 0

=-⋅→b x x x ，所以

0)(lim 0

=-→a e x x ，得a =1.极限化为

51)(cos lim

)(cos sin lim

00=-=-=--→→b b x x

x

b x a

e x x x

x ，得b =-4.因此，a =1，b =-4.【评注】一般地，已知)

()

(lim

x g x f ＝A ，(1)若g (x )→0，则f (x )→0；(2)若f (x )→0，且A ≠0，则g (x )→0.

(2)设函数f (u ,v )由关系式f [xg (y ),y ]=x +g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y )≠0，

则)

()(2

2v g v g v

u f '-

=∂∂∂.

【分析】令u =xg (y )，v =y ，可得到f (u ,v )的表达式，再求偏导数即可.【详解】令u =xg (y )，v =y ，则f (u ,v )=

)()

(v g v g u

+，所以，)(1

v g u f =

∂∂，)

()(22v g v g v u f '-=∂∂∂.(3)设⎪⎩

⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ，则2

1

)1(22

1-

=-⎰dx x f .

【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x -1=t ，再利用对称区间上奇偶函数

的积分性质即可.

【详解】令x -1=t ，⎰

⎰

⎰

-

-==-1

2

11

2

12

2

1)()()1(dt

x f dt t f dx x f ＝

21)21(0)1(12

121

2

12-=-+=-+⎰⎰

-dx dx xe x .

【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解.(4)二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为2.

【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩,亦即标准型中平方项的项数,于是利用初等变换

或配方法均可得到答案.

【详解一】因为2

132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=3

231212

32221222222x x x x x x x x x -++++=于是二次型的矩阵为

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--=211121112A ,

由初等变换得

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→000330211330330211A ,

从而2)(=A r ,即二次型的秩为2.

【详解二】因为2

132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=3231212

32221222222x x x x x x x x x -++++=2322321)(23

)2121(2x x x x x -+++=2

22

1232y y +

=,其中

,2

1213211x x x y ++

=322x x y -=.

所以二次型的秩为2.

(5)设随机变量X 服从参数为λ的指数分布,则=

>

}{DX X P e

1.【分析】根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案.【详解】由于2

1

λDX =

,X 的分布函数为⎩⎨

⎧≤>-=-.

0,

0,0,

1)(x x e x F x λ故

=>

}{DX X P =≤

-}{1DX X P =≤-}1{1λX P )1(1λF -e

1=

.【评注】本题是对重要分布,即指数分布的考查,属基本题型.

(6)设总体X 服从正态分布),(21σμN ,总体Y 服从正态分布),(22σμN ,

1,,21n X X X 和2,,21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本,则

2

2121212()(21σn n Y Y X X E n j j n i i =⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-∑∑==.

【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案.

【详解】因为2

121])(11[1σX X n E n i i =--∑=,21

22](11[2σY Y n E n j j =--∑=,故应填2σ.

【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查.

二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(7)函数2

)

2)(1()

2sin(||)(---=

x x x x x x f 在下列哪个区间内有界.(A)(-1,0).(B)(0,1).

(C)(1,2).

(D)(2,3).

[A ]