风险决策问题作业
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习题：某农民拟在两种作物中选择一种。若旱年1θ占60%，正常年景2θ占40%；种植耐旱作物1a 以及种植不耐旱作物2a 的后果矩阵为（单位：万元）：
)1(156.1)(02.0y e y u --=（单位：万元），问该农民应该采取什么行动？画出该决策问题的决策树。 2．设气象预报的准确性是0.8，即8.0)(8.0)(2211==θθx p x p 。
其中：1x 表示预报干旱；2x 表示预报正常年景。 ⑴ 画决策树； ⑵ 求后验概率；
⑶ 进行正规型贝叶斯分析，求贝叶斯规则； ⑷ 讨论两种扩展型贝叶斯分析；
⑸ 分析气象预报费用与是否进行气象预报的关系。 求解：
1. 设该农民的效用函数为)1(156.1)(0
2.0y e y u --=（单位：万元），问该农民应该采取什么行动？画出该决策问题的决策树。 解：已知农民的效用函数为)1(156.1)(02.0y e y u --=，
令：l(y)= 1-u(y),则损失函数
y
y y e
e e y l 02.002.002.0156.1156.0 156.1156.11)1(156.11)(---+-=+-=--=
其效用函数和损失函数图形如下所示。
损失函数矩阵l(y
其决策树如下所示：
0.620.191
l(y)
20
600
100y
在无观察时，l R =，)(),(),(1
1l n i l i a l a r θπθπ∑==，已知6.0)(1=θπ，4.0)(1=θπ，
则：)(),()(),(),(2121111θπθθπθπ⋅+⋅=a l a l a r
= 0.62×0.6+0.19×0.4= 0.448
)(),()(),(),(2221212θπθθπθπ⋅+⋅=a l a l a r
= 1.0×0.6+0×0.4= 0.6
风险r 小者优,所以1a =δ为贝叶斯规则, 即贝叶斯行动。 即应选择耐旱作物。
2．设气象预报的准确性是0.8，即8.0)(8
.0)(2211==θθx p x p 。
其中：1x 表示预报干旱；2x 表示预报正常年景。 解：（1）画决策树
（2）求后验概率 已知8.0)(8
.0)(2211==θθx p x p ，则在状态1θ和2θ下出现1x 和2x 的条件
概率2,1,2,1),(==j k x p j k θ如下：
根据：∑=i
i i k k x p x m )()()(θπθ，
得：)()|()()|()(2211111θπθθπθx p x p x m +== 0.56，)(2x m = 0.44 ；
其后验概率分别为：
86.056
.06
.08.0)()()/()|(111111=⨯==x m x p x θπθθπ
27.044
.06
.02.0)()()/()|(211221=⨯==
x m x p x θπθθπ
14.0)|(156
.04
.02.0)()()/()|(11122112=-=⨯==x x m x p x θπθπθθπ
73.0)|(144
.04
.08.0)()()/()|(21222222=-=⨯==
x x m x p x θπθπθθπ
2,1,2,1),(==j k x k j θπ
⑶ 进行正规型贝叶斯分析，求贝叶斯规则；
根据：∑∑=j
k
j j k k i j i x p x l r )()())(,(),(θπθδθδπ
策略1δ：)(111x a δ=，)(212x a δ=。
)
()(),()()(),( )()(),()()(),( ),(222222211211221111111θπθθθπθθθπθθθπθθδπx p a l x p a l x p a l x p a l r +++=
=0.62×0.8×0.6+1.0×0.2×0.6+0.19×0.2×0.4+0.0×0.8×0.4 = 0.4328
策略2δ：)(221x a δ=，)(122x a δ=。
)
()(),()()(),( )()(),()()(),( ),(221222221211121112112θπθθθπθθθπθθθπθθδπx p a l x p a l x p a l x p a l r +++=
= 0.62×0.2×0.6+1.0×0.8×0.6+0.19×0.8×0.4+0.0×0.2×0.4 =0.6152
策略3δ：)(131x a δ=，)(132x a δ=，
)
()(),()()(),( )()(),()()(),( ),(221222221211221111113θπθθθπθθθπθθθπθθδπx p a l x p a l x p a l x p a l r +++=
=0.62×0.8×0.6+1.0×0.2×0.6+0.19×0.8×0.4+0.0×0.2×0.4 =0.4784
策略4δ：)(241x a δ=，)(242x a δ=，
)
()(),()()(),( )()(),()()(),( ),(222222211211121112113θπθθθπθθθπθθθπθθδπx p a l x p a l x p a l x p a l r +++=
=0.62×0.2×0.6+1.0×0.8×0.6+0.19×0.2×0.4+0.0×0.8×0.4 =0.5696
因为：),(),(),(),(2431δπδπδπδπr r r r <<<， 所以：2431δδδδ ，1δ是贝叶斯行动。