范德蒙行列式及其应用

目录

摘要及关键词 (1)

一、范德蒙行列式 (1)

(一)范德蒙行列式定义 (1)

(二)范德蒙行列式的推广 (4)

二、范德蒙行列式的相关应用 (8)

(一) 范德蒙行列式在行列式计算中的应用 (8)

(二) 范德蒙行列式在微积分中的应用 (14)

(三) 范德蒙行列式在多项式理论中的应用 (19)

(四) 范德蒙行列式推广的应用 (21)

三、结束语 (22)

四、参考文献 (23)

范德蒙行列式及其应用

摘要：在北大版高等代数的教科书中，行列式是一个重点也是一个难点，它是学习线性方程 组、矩阵、向量空间和线性变换的基础，起着重要作用。而行列式的计算具有一定的规律性和技巧性，同时可以应用在很多领域。本文将通过对n 阶范德蒙行列式的计算、推广及其证明，讨论它在行列式计算,微积分和多项式理论中的相关应用，然后主要研究一些与范德蒙行列式有关的例子，从中掌握行列式计算的某些方法和技巧，这将有助于我们更好的应用范德蒙行列式解决问题。

关键词：范德蒙行列式、行列式

The Determinant of Vandermonde and Its Application

Yuping- Xiao

(Department of Mathematics Bohai University Jinzhou 121000 China)

Abstract: Higher algebra textbook edition in Beijing University,the determinant is not only an important point but also a difficult point,it is a foundation of learning linear equations,matrices, vector space and linear transformation,it plays an important role.And the calculation of determinant has a certain regularity and skills,it can be applied in many areas at the same time. This paper will be through the calculation,expansion and prove of a n band Vandermonde determinant,and discuss the calculation of determinant,the relevant application in the calculus and multinomial theory, then study some examples about the determinant of Vandermonde,and acquire some methods and skills of determinant calculation,This will help us better use the determinant of Vandermonde to solve the problems.

Key words: the Vandermonder determinant; determinant

一、范德蒙行列式

(一)范德蒙行列式定义 定义1[1] 关于变元1x ,2

x n x 的n 阶行列式

1

22

2212

1

1112

111n n n n n n n

x

x x D x x x x x x ---=

(1)

叫做1x ，2x n x 的n 阶范德蒙行列式。

下面我们来证明

对任意的n (2n ≥),n 级范德蒙行列式等于1x ，2

x n x 这n 个数的

所有可能的差i j x x -（1j i n ≤≤≤）的乘积。 我们对n 作归纳法：当2n =时，

1

2

11x x =21x x -结果是对的。设对于1

n -级的范德蒙行列式结论成立，现在来看n 级的情形。

在（1）式中，第n 行减去第1n -行的1x 倍，第1n -行减去第2n -行的1x 倍，也就是由下而上依次地从每一行减去它上一行的1x 倍，有

21

31

1

222212

313

112

12

12

212313121

31

1

222212

313

1121212212

313

1111

1

00

n n n

n n n n n n n n n n n

n n n n n n n n

x x x x x x d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ---------------=------------=

---

=(21x x -)(31x x -)

(1n x x -)2

32

2223

2222

3

111n n n n n n

x x x x x x x x x ---

后面这行列式是一个1n -阶的范德蒙行列式，根据归纳法假设它等于所有可能差i j x x -(2)j i n ≤<≤的乘积，而包含1x 的差全在前面出现了，因此，结论对n 级范德蒙行列式也成立，根据数学归纳法，完成了证明。用连乘号，这个结果可以简写为

1222212

11

1112

1

11()n n i j j i n

n n n n

x x x x x x x x x x x ≤<≤---=

-∏

(二)范德蒙行列式的推广