带电粒子在磁场中的运动磁聚焦
2024年高考物理热点磁场中的旋转圆、放缩圆、平移圆、磁聚焦模型(解析版)
磁场中的旋转圆、放缩圆、平移圆、磁聚焦模型1.高考命题中，带电粒子在有界磁场中的运动问题，常常涉及到临界问题或多解问题，粒子运动轨迹和磁场边界相切经常是临界条件。
带电粒子的入射速度大小不变，方向变化，轨迹圆相交与一点形成旋转圆。
带电粒子的入射速度方向不变，大小变化，轨迹圆相切与一点形成放缩圆。
2.圆形边界的磁场，如果带电粒子做圆周运动的半径如果等于磁场圆的半径，经常创设磁聚焦和磁发散模型。
一、分析临界极值问题常用的四个结论(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切.(2)当速率v 一定时，弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长,(3)当速率v 变化时，圆心角大的，运动时间长，解题时一般要根据受力情况和运动情况画出运动轨迹的草图，找出圆心，再根据几何关系求出半径及圆心角等(4)在圆形匀强磁场中，当运动轨远圆半径大于区域圆半径时，入射点和出射点为磁场直径的两个端点时轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)。
二、“放缩圆”模型的应用适用条件速度方向一定，大小不同粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化轨迹圆圆心共线如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v 越大，运动半径也越大。
可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP ′上界定方法以入射点P 为定点，圆心位于PP ′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法三、“旋转圆”模型的应用适用条件速度大小一定，方向不同粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v 0，则圆周运动半径为R =mv 0qB。
如图所示轨迹圆圆心共圆带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P 为圆心、半径R =mv 0qB的圆上界定方法将一半径为R =mv 0qB的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法四、“平移圆”模型的应用适用条件速度大小一定，方向一定，但入射点在同一直线上粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同，但在同一直线的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v 0，则半径R =mv 0qB，如图所示轨迹圆圆心共线带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行界定方法将半径为R =mv 0qB的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法五、“磁聚焦”模型1．带电粒子的会聚如图甲所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R =r )，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B 点射出．(会聚)证明：四边形OAO ′B 为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB 必平行于AO ′(即竖直方向)，可知从A 点发出的带电粒子必然经过B 点．2．带电粒子的发散如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B ，圆心为O ，从P 点有大量质量为m 、电荷量为q 的正粒子，以大小相等的速度v 沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行．(发散)证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O 、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，O 1A (O 2B 、O 3C )均平行于PO ，即出射速度方向相同(即水平方向)．(建议用时：60分钟)一、单选题1地磁场能抵御宇宙射线的侵入，赤道剖面外地磁场可简化为包围地球一定厚度的匀强磁场，方向垂直该部面，如图所示，O为地球球心、R为地球半径，假设地磁场只分布在半径为R和2R的两边界之间的圆环区域内(边界上有磁场)，磷的应强度大小均为B，方向垂直纸面向外。
磁聚焦问题 (2)
解：（1）如图所示，带电粒子在电场中加速，由动能定理得： qEL 1 mV 2
V2 带电粒子在磁场中偏转，由牛顿第二定律得： BqV m R
2
由以上两式，可得
R
1 2mEL B q
粒子在两磁场区运动半径相同，三段圆弧的圆心组成的三角形ΔO1O2O3是等
边三角形，其边长为2R。所以中间磁场区域的宽度为：
里的匀强磁场，磁感应强度为B，许多质量为m，带电 量为+q的粒子，以相同的速率 v 沿位于纸面内的各个方 向，由小孔O射入磁场区域，不计重力，不计粒子间的 相互影响。下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的 区域，其中R=mv/qB，哪个图是正确的？（ A ）
A.
2R
B.
2RR N M 2R R 2R N
解析 ：
1 mv 2 qU 2
a
v2 qBv m R
d
q S
O c
b
半径 R = r0
qr 02 B 2 U 2m
例、如图，环状匀强磁场围成的中空区域内有自由运动的带
电粒子，但由于环状磁场的束缚，只要速度不很大，都不
会穿出磁场的外边缘。设环状磁场的内半径为R1=0.5m， 外半径为 R2=1.0m，磁场的磁感应强度 B=1.0T，若被缚
的带电粒子的荷质比为 q/m=4×107C/kg，中空区域中带
电粒子具有各个方向的速度。试计算： （1）粒子沿环状的半径方向 射入磁场，不能穿越磁场的最 大速度。
5 5m t3 T 6 3qB
B2
2mL 7m qE 3qB
例、 如图，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其
上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a、b、c和d，外筒 的半径为r0，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线 方向的均匀磁场B。在两极间加上电压。一质量为m、带 电量为+q的粒子初速为零，从紧靠内筒且正对狭缝a的S 点出发，经过一段时间的运动之后恰好又回到点S，则 两电极之间的电压U应是多少？ （不计重力，整个装置在真空中）
带电粒子在磁场中的运动(磁聚焦和磁扩散)
θR O/
OM
x
图 (b)
(3)带电微粒在y轴右方(X> O)的区域离开磁场并做 匀速直线运动．靠近上端发射出来的带电微粒在穿出 磁场后会射向X轴正方向的无穷远处，靠近下端发射 出来的带电微粒会在靠近原点之处穿出磁场．所以， 这束带电微粒与X轴相交的区域范围是X> 0．
装带 置点
微 粒 发 射
Pv Cr
(2)这束带电微粒都通过坐标原点。 如图（b)所示，从任一点P水平进入磁场的 带电微粒在磁场中做半径为R 的匀速圆周运动，圆 心位于其正下方的Q点，设微粒从M 点离开磁 场．可证明四边形PO’ MQ是菱形，则M 点就是坐 标原点，故这束带电微粒都通过坐标原点0．
y
v AC
R O/
O
x
图 (a)
y
Pv R
y
D
C
v0
O
x
A
B
S=2(πa2/4-a2/2) =(π-2)a2/2
解：（1）设匀强磁场的磁感应强度的大小为B。令圆弧AEC是自C点垂直于 BC入射的电子在磁场中的运行轨道。依题意，圆心在A、C连线的中垂线上， 故B点即为圆心，圆半径为a，按照牛顿定律有 ev0B= mv02/a，得B= mv0/ea。 （2）自BC边上其他点入射的电子运动轨道只能在BAEC区域中。因而，圆弧 AEC是所求的最小磁场区域的一个边界。
（1）从A点射出的带电微粒平行于x轴从C点进入有磁场区
域，并从坐标原点O沿y轴负方向离开，求电场强度和磁感
应强度的大小与方向。
y
（2）请指出这束带电微粒与x轴相 带
交的区域，并说明理由。
点 微
粒
（3）在这束带电磁微粒初速度变为
发 射
高三集体备课：带电粒子在磁场中的运动(磁聚焦)分解
例5、（2009年浙江卷）如图，在xOy平面内与y轴平行的匀强
电场，在半径为R的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场。 在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x轴正方向发 射出一束具有相同质量m、电荷量q(q＞0)和初速度v的带 电微粒。发射时，这束带电微粒分布在0＜y＜2R的区间内。 已知重力加速度大小为g。 （1）从A点射出的带电微粒平行于x轴从C点进入有磁场区 域，并从坐标原点O沿y轴负方向离开，求电场强度和磁感 应强度的大小与方向。 y （2）请指出这束带电微粒与x轴相 带 点 微 交的区域，并说明理由。 粒 R 发 v O/ （3）在这束带电磁微粒初速度变为 射 C 装 2v，那么它们与x轴相交的区域又在 置 O 哪里？并说明理由。 x
【答案】
（1）E
mg q 方向竖直向上 mv B qR 方向垂直于纸面向外
（2）这束带电微粒都通过坐标原点。 (3）与x同相交的区域范围是x>0.
y y y R
A
v
C
O
/
R
P v θ R R O / Q O
x 图 (b)
O 图 (a)
射带 装点 置微 粒 发 x
P C
v
r Q
O/ O 图 (c)
x
【课堂练习1】.如图所示的直角坐标系中，在直线x=－2l0到y 轴区域内存在着两个大小相等、方向相反的有界匀强电场， 其中x轴上方的电场方向沿y轴负方向，x轴下方的电场方向沿 y轴正方向。在电场左边界上A（－2l0，－l0）到C（－2l0，0） 区域内，连续分布着电量为＋q、质量为m的粒子。从某时刻 起由A点到C点间的粒子，依次连续以相同的速度v0沿x轴正 方向射入电场。若从A点射入的粒子，恰好从y轴上的A′（0， l0）沿x轴正方向射出电场，其轨迹如图。不计粒子的重力及 它们间的相互作用。 ⑴求匀强电场的电场强度E； ⑵求在AC间还有哪些位置的粒子，通过电场后也能沿x轴正 方向运动？ ⑶若以直线x=2l0上的某点为圆心的圆形区域内，分布着垂直 于xOy平面向里的匀强磁场，使沿x轴正方向射出电场的粒子， 经磁场偏转后，都能通过直线x=2l0与圆形磁场边界的一个交 点处，而便于被收集，则磁场区域的最小半径是多大？相应 的磁感应强度B是多大？
1.3.2 专题 带电粒子在有界磁场中的运动 课件-2023年高二物理人教版(2019)
③半径关系：r=R/tanθ=Rtanα
④运动时间:t= 2θT/2 π= θT/ π
(2)不沿径向射入时，速度
o’
方向与对应点半径的夹角
相等（等角进出）
o
•
（3）非径向入射的距离和时间推论：
①若r 轨迹<R边界，当轨迹直径恰好是边界圆的一
条弦，此时出射点离入射点最远，且Xmax=2r，
角（弦切角）相等。若出射点到入射点之间距离为d，则
d=2R
1
t T
2
d=2Rsinθ
t
T
d=2Rsinθ
t T
【例1】水平直线MN上方有垂直纸面向里范围足够大的有界匀强磁场,磁感应强度为B,正、负电子同时从MN边界O点以与MN成45°角的相
同速率v射入该磁场区域(电子的质量为m,电荷量为e),正、负电子间的
射入筒内，射入时的运动方向与MN成30°角。当筒转过90°时，该粒
子恰好从小孔N飞出圆筒。不计重力。若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞，
则带电粒子的比荷为(
)
【变式训练】在真空中半径 r =3×10-2m的圆形区域内有一匀强磁场，磁场
的磁感应强度B=0.2 T，方向如图所示，一个带正电的粒子以v0=1×106 m/s
（3）到入射点最远距离：
①和边界相交时，离出射点最远距离是以出射点为端点的直径或半径。
②和边界相切时，离出射点最远的距离是以出射点和切点为端点的弦长。
【例1】(多选)如图所示，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，三个
质量和电荷量相同的带电粒子a、b、c，以不同的速率对准圆心O沿着
带电粒子在磁场中的运动——磁聚焦和磁发散
O1
A
磁聚焦原理图解 条件：圆形磁场区域半径与粒子轨道半径一样
B
O1
O2
A
磁聚焦原理图解 条件：圆形磁场区域半径与粒子轨道半径一样
B
O1
O2
A
带直射入半径为R的圆形匀强磁场区域，若轨迹半径也为R，则 粒子将汇聚于同一点。
磁聚焦： 一组平行粒子垂直射入半径为R的圆形匀强磁场区域，若轨迹半径也为R，则 粒子将汇聚于同一点。
磁发散： 从一点进入磁场的粒子，若圆周运动的半径与磁场半径相同，则无论在磁 场内的速度方向如何，出磁场的方向都与该点切线方向平行。
磁聚焦： 一组平行粒子垂直射入半径为R的圆形匀强磁场区域，若轨迹半径也为R，则 粒子将汇聚于同一点。
磁发散： 从一点进入磁场的粒子，若圆周运动的半径与磁场半径相同，则无论在磁 场内的速度方向如何，出磁场的方向都与该点切线方向平行。
磁聚焦： 一组平行粒子垂直射入半径为R的圆形匀强磁场区域，若轨迹半径也为R，则 粒子将汇聚于同一点。
磁发散： 从一点进入磁场的粒子，若圆周运动的半径与磁场半径相同，则无论在磁 场内的速度方向如何，出磁场的方向都与该点切线方向平行。
磁聚焦原理图解 条件：圆形磁场区域半径与粒子轨道半径一样
B
A
磁聚焦原理图解 条件：圆形磁场区域半径与粒子轨道半径一样
B
A
磁聚焦原理图解 条件：圆形磁场区域半径与粒子轨道半径一样
磁场中带电粒子的运动与电磁感应定律
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粒子在磁场中的运动轨迹：圆周 运动或螺旋运动
影响因素：洛伦兹力的大小和方 向取决于粒子的电荷量、速度和 磁感应强度。
感谢观看
汇报人：XX
螺旋线运动：带电粒子在非 匀强磁场中做螺旋线运动，
轨迹为曲线
洛伦兹力：带电粒子在磁场 中受到的力，方向垂直于磁 场和速度方向
磁聚焦：带电粒子在磁场中 的聚焦现象，轨迹为直线
霍尔效应
霍尔效应的定义：指磁场中带电粒子受到洛伦兹力作用而发生偏转的现象。
霍尔效应的原理：带电粒子在磁场中运动时，会受到洛伦兹力的作用，使得粒子在垂直 于磁场的方向上发生偏转。
公式： F=qvBsinθ， 其中q为带电粒 子的电荷量，v 为带电粒子的速 度，B为磁感应 强度，θ为速度 与磁感应强度的 夹角
应用：带电粒子 在磁场中的运动 轨迹、霍尔效应 等
特点：洛伦兹力 始终不做功，只 改变带电粒子的 运动方向而不改 变其速度大小
带电粒子在磁场中的运动轨迹
匀速圆周运动：带电粒子在 匀强磁场中做匀速圆周运动， 轨迹为圆形
霍尔效应的应用：在电子学、磁学、物理学等领域有广泛应用，例如霍尔传感器等。
霍尔效应的意义：揭示了磁场与带电粒子之间的相互作用规律，为深入理解电磁场理论 奠定了基础。
磁场对带电粒子的影响
洛伦兹力：带电粒子在磁场中受到的力， 方向与磁场垂直，大小与粒子速度和磁感 应强度有关。
匀速圆周运动：带电粒子在磁场中做匀速 圆周运动，运动轨迹是一个圆，圆心在磁 场中心。
当带电粒子在磁场中做匀速圆周 运动时，洛伦兹力提供向心力， 磁场能量密度与带电粒子能量密 度之比等于向心加速度与带电粒 子速度平方之比。
专题59 带电粒子在磁场中的平移圆、放缩圆、旋转圆、磁聚焦模型(解析版)
2023届高三物理一轮复习重点热点难点专题特训专题59 带电粒子在磁场中平移圆、放缩圆、旋转圆、磁聚焦模型特训目标特训内容目标1 带电粒子在磁场中平移圆模型（1T—4T）目标2 带电粒子在磁场中放缩圆模型（5T—8T）目标3 带电粒子在磁场中旋转圆模型（9T—12T）目标4 带电粒子在磁场中磁聚焦模型（13T—16T）【特训典例】一、带电粒子在磁场中平移圆模型1．如图所示，在顶角为23π的等腰三角形BAC内充满着磁感应强度大小为B且垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出）。
一群质量为m、电荷量为＋q、速度为v的带电粒子垂直AB 边射入磁场，已知从AC边射出且在磁场中运动时间最长的粒子，离开磁场时速度垂直于AC边。
不计粒子重力和粒子间相互作用力。
下列判断中正确的是（）A．等腰三角形BAC中AB边的长为2mv qBB．粒子在磁场中运动的最长时间为43m qB πC．从A点射入的粒子离开磁场时的位置与A点的距离为mv qBD．若仅将磁场反向，则从A点射入的粒子在磁场中运动的时间将比改变前缩短【答案】AC【详解】A．由题意可确定运动时间最长的粒子若垂直AC离开，其轨迹圆心必为A点，其轨道必与BC边相切，则由几何关系可知AB边长为半径的两倍，由2mvBqvr=可得mvrqB=则22BA r qB mv==故A 正确； B ．粒子运动时间最长时，圆心角为23πθ=则运动时间为122233m m t T Bq Bq θπππ==⨯=故B 错误； CD ．由几何关系可知，从A 点射入的粒子不论磁场向外还是改为向里，粒子速度的偏转角都是60°，轨迹均为六分之一圆周，则运动时间相同，离开磁场时的位置与A 点的距离为等于半径mvqB，故C 正确，D 错误。
故选AC 。
2．如图所示，在直角三角形ABC 内充满垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），AB 边长度为d ，∠B=6π．现垂直AB 边射入一群质量均为m 、电荷量均为q 、速度大小均为v 的带正电粒子，已知垂直AC 边射出的粒子在磁场中运动的时间为t ，而运动时间最长的粒子在磁场中的运动时间为43t （不计重力）。
第2讲 带电粒子在磁场中的运动
点水平射出,故 D 正确。
[随堂练4] (2020·浙江1月选考)通过测量质子在磁场中的运动轨迹和打到探测 板上的计数率(即打到探测板上质子数与衰变产生总质子数N的比值),可研究中 子( n)的β衰变。中子衰变后转化成质子和电子,同时放出质量可视为零的反中 微子 。如图所示,位于P点的静止中子经衰变可形成一个质子源,该质子源在纸 面内各向均匀地发射N个质子。在P点下方放置有长度L=1.2 m以O为中点的探测 板,P点离探测板的垂直距离OP为a。在探测板的上方存在方向垂直纸面向里,磁 感应强度大小为B的匀强磁场。 已知电子质量me=9.1×10-31 kg=0.51 MeV/c2,中子质量mn=939.57 MeV/c2,质子 质量mp=938.27 MeV/c2(c为光速,不考虑粒子之间的相互作用)。 若质子的动量p=4.8×10-21 kg·m·s-1=3×10-8MeV·s·m-1。
(1)写出中子衰变的核反应式,求电子和反中微子的总动能(以MeV为能量单位);
解析:(1)
1 0
n→
1 1
p+
0 1
e+
0
0vm
ΔEd=mnc2-(mpc2+mec2)=0.79 MeV ΔEkp= p2 =0.043 2 MeV
2mp Ee+Eν=ΔEd-Ekp=0.746 8 MeV。
(2)当a=0.15 m,B=0.1 T时,求计数率;
时间一定小于 1 t0;从 ab 边射出磁场经历的时间一定大于等于 1 t0,小于 5 t0;从 bc
3
3
6
边射出磁场经历的时间一定大于等于 5 t0,小于 4 t0;从 cd 边射出磁场经历的时间
6
3
一定是 5 t0;综上所述,A、C 正确。 3
高中物理 带电粒子在圆形有界磁场中的运动之磁聚焦与磁发散
高中物理 带电粒子在圆形有界磁场中的运动之--磁聚焦与磁发散模型概述带电粒子在圆形有界匀强磁场中运动时，会出现一束平行粒子经磁场偏转后会聚于边界一点，此现象为磁聚焦；一束粒子从边界一点向不同方向经磁场偏转后平行射出，此现象为磁发散。
等半径原理：圆形磁场半径与粒子运动半径相等时，会出现菱形，如下图所示。
当粒子入射方向指向磁场区域圆心，或粒子入射方向不指向磁场区域圆心，根据几何关系，易证明四边形AOCO'为菱形。
物理建模：模型：如图所示。
当圆形磁场区域半径R 与轨迹圆半径r 相等时，从磁场边界上任一点向各个方向射入圆形磁场的粒子全部平行射出，出射方向与过入射点的磁场圆直径垂直(磁发散)；反之，平行粒子束射入圆形磁场必会聚在磁场边界上某点，且入射方向与过出射点的磁场圆直径垂直(磁聚焦)。
O A证明：如图所示，任意取一带电粒子以速率v从A点射入时，粒子在磁场中的运动轨迹圆半径为R，有界圆形磁场的半径也为R，带电粒子从区域边界C点射出，其中O为有界圆形磁场的圆心，B为轨迹圆的圆心。
图中AO、OC、CO'、O'A的长度均为R，故AOCO'为菱形。
由几何关系可知CO'∥AO，即从C点飞出的粒子速度方向与OA垂直，因此粒子飞出圆形有界磁场时速度方向均与OA垂直。
反之也成立。
解题切入点：分析发现粒子轨道半径与磁场区域圆半径的关系，二者相等为磁聚焦或磁发散，否则不满足该关系，但满足怎么进入怎么出去的角度关系，借助几何关系解答。
【典例1】(磁聚焦)如图所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上。
在xOy平面内有与y轴平行的匀强电场，在半径为R的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场。
在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x轴正方向发射出一束具有相同质量m、电荷量q(q＞0)和初速度v的带电微粒。
发射时，这束带电微粒分布在0＜y＜2R的区间内．已知重力加速度大小为g。
(1)从A点射出的带电微粒平行于x轴从C点进入有磁场区域，并从坐标原点O沿y轴负方向离开，求电场强度和磁感应强度的大小与方向。
第十一章磁场第57课时带电粒子在磁场中的运动[双基落实课]-2025届高考物理一轮复习课件(通用版)
![第十一章磁场第57课时带电粒子在磁场中的运动[双基落实课]-2025届高考物理一轮复习课件(通用版)](https://img.taocdn.com/s3/m/95d30a97a0c7aa00b52acfc789eb172dec639954.png)
所受洛伦兹力的方向是（
A. 向上
B. 向下
C. 向左
D. 向右
）
目录
高中总复习·物理
解析：
根据题意，由安培定则可知，b、d两通电直导线在O点
产生的磁场相抵消，a、c两通电直导线在O点产生的磁场方向均向
左，所以四根通电直导线在O点产生的合磁场方向向左，由左手定
中，洛伦兹力改变速度的方向，当小球在磁场中运动到最高点时，
小球有水平速度，设此时小球的动能为Ek，则由能量守恒定律得
1
1
2
mgh2＋Ek＝ m0 ，又 m0 2 ＝mgh1，所以h1＞h2，h3＞h2，C错误；
2
2
图丁，因小球带负电，所受电场力向下，则h4一定小于h1，B错
误；由于无法明确电场力做功的多少，故无法确定h2和h4之间的关
为q的粒子以某一速度垂直于磁场方向从P点射入磁场，恰好从Q点射
出。下列说法正确的是（
）
A. 带电粒子一定带负电荷
B.
带电粒子的速度最小值为
4
C. 若带电粒子与挡板碰撞，则受到挡板作用力的冲
5
量大小为
2
D.
π
带电粒子在磁场中运动时间可能为
3
目录
高中总复习·物理
解析：若粒子带正电，粒子与挡板MN碰撞后恰好从Q点射出，粒子运
刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，筒上
P点开有一个小孔，过P的横截面是以O为圆心的圆，
如图所示。一带电粒子从P点沿PO射入，然后与筒
壁发生碰撞。假设粒子在每次碰撞前、后瞬间，速度沿圆上碰撞点的切
线方向的分量大小不变，沿法线方向的分量大小不变、方向相反；电
14-1-载流导线及线圈在磁场中受力
r
B
D I 2dl2
dF12
l 2 Il 1 O F1
N F4
F2 B
en
M,N F1
O,P
B
en
在真空中两平行长直导线相距1 m， 通有大小相等、方向相同的电流，当两 A 导线每单位长度上的吸引力为2 107 N m 1 时，规定这时的电流为 1 A （安培）.
B
求 :（ 1）线圈受的磁力矩； （ 2）线圈平面转过 时，磁力矩所做的功。 2
y
A
B
C
D
E
磁场力矩总是使线圈转向稳定平衡位置（ 0）； 若为 N匝线圈 M Nm B 线圈可为任意形状； 若为非均匀磁场 Idl dF dM M dM 使用换向器可使通电线圈一直朝一个方向转动。
NO. 14－ 1
2010－ 6－ 1
一、带电粒子在磁场中的运动
1.洛伦兹力
一、带电粒子在磁场中的运动
2.带电粒子在均匀磁场中的运动
（ 2） v0
z
o
Fm qv B
x
Fm
q+
B
B
2 v0 R
y
匀速圆周运动
由牛顿第二定律：qv0 B m 轨道半径： R
2.带电粒子在均匀磁场中的运动
v
（ 1 ） v0 ∥ B
q
v0
B
mv0 qB
v0
F B
R
v0
q
回旋周期：T 2R 2m
匀速直线运动
2024届高考物理微专题：带电粒子在圆形边界磁场中的运动
微专题72带电粒子在圆形边界磁场中的运动1．带电粒子进入圆形边界磁场，一般需要将磁场圆圆心与两圆交点(入射点与出射点)连线、将轨迹圆圆心与两交点连线、将轨迹圆与磁场圆圆心连线.2.带电粒子进入圆形边界磁场，轨迹圆半径与磁场圆半径相等时会有磁聚焦现象.3.沿磁场圆半径方向入射的粒子，将沿半径方向出射．1.如图所示，圆心为O、半径为R的圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B.氦核(42He)和质子(11H)先后从A点沿AO的方向射入磁场，均从C点射出磁场，OA 与OC的夹角为106°.氦核(42He)的质量为m、电荷量为q，不计粒子的重力，sin53°＝0.8，下列说法正确的是()A．质子与氦核在磁场中运动的时间相等B．质子在磁场中运动的时间是氦核的2倍C．氦核(42He)的速度大小为4qBR3mD．质子(11H)的速度大小为2qBR3m答案C解析作出质子(11H)和氦核(42He)在磁场中的运动轨迹，如图所示根据题意可知质子(11H)和氦核(42He)在磁场中运动的圆心角相等，运动周期为T＝2πmqB，运动时间为t＝θ2πT，可知质子(11H)和氦核(42He)在磁场中运动的时间之比为t1t2＝12，故A、B错误；对质子(11H)和氦核(42He)，根据几何关系可得tan53°＝rR，又q v B＝mv2r，可得氦核(42He)的速度大小为v 1＝4qBR 3m ，质子(11H)的速度大小为v 2＝8qBR3m，故C 正确，故D 错误．2.(多选)(2023·河北张家口市高三模拟)如图所示，半径为R 的圆形区域内有垂直于圆面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B ，AC 是圆的一条直径，D 为圆上一点，∠COD ＝60°.在A 点有一个粒子源，沿与AC 成30°角斜向上垂直磁场的方向射出速率均为v 的各种带正电粒子，所有粒子均从圆弧CD 射出磁场，不计粒子的重力及粒子间的相互作用．则从A 点射出的粒子的比荷qm可能是()A.vBR B.3v 2BR C.3v BRD.3v 3BR答案AD解析带电粒子从C 点射出磁场时，轨迹如图所示由几何关系得sin 30°＝Rr 1，解得r 1＝2R ，带电粒子从D 点射出磁场时，轨迹如图所示，由几何关系得AODO 2是菱形，所以粒子的轨迹半径r 2＝R ，所以粒子在磁场中运动的轨迹半径满足r 2≤r ≤r 1，由洛伦兹力提供向心力得q v B ＝m v 2r，解得从A 点射出的粒子的比荷满足v2BR ≤q m ≤vBR，故选A 、D.3.(多选)如图所示，半径为R 、圆心为O 的圆形区域内有方向垂直于纸面向外的匀强磁场(图中未画出)．两个质量、电荷量都相同的带正电粒子，以不同的速率从a 点先后沿直径ac 和弦ab 方向射入磁场区域，ab 和ac 的夹角为30°，已知沿ac 方向射入的粒子刚好从b 点射出，沿ab 方向射入的粒子刚好从O 点正下方射出，不计粒子重力．则()A ．沿ac 方向射入的粒子在磁场中运动轨迹半径为RB ．沿ab 方向射入的粒子在磁场中运动轨迹半径为(3＋1)RC ．沿ac 方向射入的粒子与沿ab 方向射入的粒子在磁场中运动的时间之比为2∶1D ．沿ac 方向射入的粒子与沿ab 方向射入的粒子在磁场中运动的速率的比值为2－33答案BC解析沿ac 方向射入的粒子在磁场中运动方向偏转60°，其轨迹所对的圆心角为60°，如图中轨迹1所示，由几何关系知其轨迹半径为r 1＝Rtan 30°＝3R ，故A 错误；沿ab 方向射入磁场区域的粒子在磁场中运动轨迹如图中轨迹2所示，根据几何关系可知，该粒子的轨迹所对圆心角为30°，则轨迹半径r 2满足r 2sin 45°＝Rsin 15°，又sin 15°＝sin (45°－30°)，解得r 2＝(3＋1)R ，故B 正确；两粒子的质量和电荷量相同，根据T ＝2πmqB，可知在磁场中的运动周期相同，结合两粒子在磁场中的偏转角之比为2∶1，可知沿ac 方向射入的粒子与沿ab 方向射入的粒子在磁场中运动的时间之比为2∶1，故C 正确；根据q v B ＝m v 2r ，可得v＝qBrm ，则沿ac 方向射入的粒子与沿ab 方向射入的粒子在磁场中运动的速率的比值为3－32，故D 错误．4.如图所示，半径为R 的圆形区域内存在着磁感应强度为B 的匀强磁场，方向垂直于纸面向里，一带负电的粒子(不计重力)沿水平方向以速度v 正对圆心入射，通过磁场区域后速度方向偏转了60°.如果想使粒子通过磁场区域后速度方向的偏转角度最大，在保持原入射速度大小和方向不变的基础上，需将粒子的入射点向上平移的距离d 为()A.12RB.33RC.22R D.32R 答案B解析粒子运动轨迹如图甲所示，根据几何知识可得r ＝Rtan 30°，当粒子的入射点和出射点的连线是磁场圆的直径时，粒子速度偏转的角度最大．由图乙可知sin θ＝R r ，平移距离为d ＝R sin θ，解得d ＝33R ，故B 正确，A 、C 、D 错误．5.(多选)(2023·湖北省联考)如图，坐标原点O 有一粒子源，能向坐标平面第一、二象限内发射大量质量为m 、电荷量为q 的正粒子(不计重力)，所有粒子速度大小相等．圆心在(O ，R )，半径为R 的圆形区域内，有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B .磁场右侧有一长度为R ，平行于y 轴的光屏，其中心位于(2R ，R )．已知初速度沿y 轴正向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，则()A ．粒子速度大小为qBR mB ．所有粒子均能垂直射在光屏上C ．能射在光屏上的粒子，在磁场中运动时间最长为2πm 3qBD ．能射在光屏上的粒子初速度方向与x 轴夹角满足45°≤θ≤135°答案AC解析由题意，初速度沿y 轴正向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，有qB v ＝m v 2r，r ＝R ，解得v ＝BqRm ，A 正确；由于所有粒子的速度大小相等，但方向不同，且离开磁场区域的出射点距离原点的竖直高度最大值为2R ，并不会垂直打在光屏上，B 错误；如图甲，打在光屏上端的粒子在磁场中运动时间最长，由几何关系可得，运动时间最长的粒子，对应轨迹的圆心角为23π，甲根据周期公式T ＝2πr v ，可得t ＝2π32πT ＝13T ＝2πm3Bq ，C 正确；粒子初速度方向与x 轴夹角为θ时，若能打在光屏下端，如图乙乙由几何关系可得圆心角为60°，即初速度与x 轴夹角为θ1＝60°，同理，粒子打在光屛上端时(如图甲)，初速度与x 轴夹角为θ2＝120°，D 错误．6.如图所示，第一象限内有一圆形边界匀强磁场(图中未画出)．一质量为m 、电荷量为＋q 的带电粒子，以大小为v 的速度沿＋x 方向自磁场边界上的点P (L ,3L )射入，从点Q (L ,0)射出时速度方向与x 轴负方向成60°角，粒子重力不计．求：(1)磁感应强度的大小和方向；(2)圆形有界磁场的最小面积．答案(1)m v qL方向垂直于纸面向外(2)34πL 2解析(1)由于PQ 平行于y 轴，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在PQ 上，由几何关系可得r ＋rcos 60°＝3L 由牛顿第二定律可得q v B ＝mv 2r联立解得B ＝m v qL由左手定则可得，磁感应强度的方向垂直于纸面向外．(2)设带电粒子从点F 飞出后经过Q 点，则以PF 为直径的圆形有界磁场的面积最小，设圆形磁场的最小半径为R ，由几何关系可得R ＝r sin 60°＝32L 则最小面积为S ＝πR 2＝34πL 2.7.如图所示，圆形区域有一匀强磁场，磁感应强度为B ，方向垂直纸面向里，边界跟y 轴相切于坐标原点O .O 点处有一放射源，沿纸面向各方向射出速率均为v 的某种带正电粒子，带电粒子在磁场中做圆周运动的半径是圆形磁场区域半径的2倍.已知该带电粒子的质量为m 、电荷量为q ，不考虑带电粒子的重力．(1)推导带电粒子在磁场空间做圆周运动的轨迹半径；(2)求带电粒子通过磁场空间的最大偏转角．答案(1)m vqB(2)60°解析(1)带电粒子进入磁场后，受洛伦兹力作用，由牛顿第二定律得Bq v＝m v2r，则r＝m vBq.(2)粒子的速率均相同，因此粒子轨迹圆的半径均相同，但粒子射入磁场的速度方向不确定，故可以保持圆的大小不变，只改变圆的位置，画出“动态圆”，如图甲所示，通过“动态圆”可以观察到粒子运动轨迹均为劣弧，对于劣弧而言，弧越长，弧所对应的圆心角越大，偏转角越大，则运动时间越长，如图乙所示，当粒子的轨迹圆的弦长等于磁场直径时，粒子在磁场空间的偏转角最大，sin φmax2＝Rr＝12，即φmax＝60°.8.如图所示，真空中有两个以O为圆心的同心圆，内圆半径为R，外圆半径未知．内圆有一垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B；内圆与外圆之间的环状区域内的匀强磁场垂直纸面向里，大小也为B.在内圆边界上有一粒子源S，所发出的粒子质量为m，电荷量为＋q，速度大小为v0.内圆边界上无磁场，外圆边界上存在磁场．不计粒子重力，求：(1)若粒子源在纸面内向各个方向发射粒子，为了让粒子约束在外圆内运动，则外圆半径至少为多大？(2)若发出的粒子初速度方向沿半径背离圆心．粒子运动了一段时间再次经过S，则v0应该满足什么条件(写出v0与m、q、B、R之间的关系)?(3)在满足(2)问的条件下，粒子相邻两次经过S 处的时间是多少？答案(1)R ＋2m v 0qB(2)v 0＝qBR m tan πn(n ≥3，且取整数)(3)见解析解析(1)粒子在磁场中运动时由洛伦兹力提供向心力，q v 0B ＝m v 02r解得r ＝m v 0qB当粒子轨迹与外圆内切时外圆半径最小，如图由图中几何关系得，外圆半径R 1＝R ＋2r 故外圆半径至少为R 1＝R ＋2m v 0qB(2)经分析得，带电粒子运动轨迹将内圆均分成n 段圆弧(n ≥3，且取整数)，如图由图中几何关系得θ＝2π2n ＝πn且tan θ＝r R故tan πn ＝m v 0qBR(n ≥3，且取整数)则v 0应满足：v 0＝qBR m tan πn (n ≥3，且取整数)(3)粒子在磁场中做圆周运动的周期为T ＝2πr v 0＝2πmqB 粒子相邻两次经过内圆，在内圆外运动的时间t 1＝2π－ π－2θ 2πT ＝π＋2θ mqB 粒子相邻两次经过内圆，在内圆内运动的时间t 2＝π－2θ2πT ＝ π－2θ m qB 当(2)中n 为奇数时，粒子相邻两次经过S 处的时间t ＝ n －1 2(t 1＋t 2)＋t 1＝ n 2＋2 πmnqB(n ≥3，且取奇数)当(2)中n 为偶数时，粒子相邻两次经过S 处的时间t ＝n 2(t 1＋t 2)＝n πmqB(n ≥3，且取偶数)．。
磁聚焦现象
带电粒子在符合场中运动（尤思怡2017年12月26号课程）一、几种仪表的认识1.速度选择器2.磁流体发电机3.磁流体电流表4.霍尔元件5.质谱仪6.回旋加速器二、磁聚焦现象一束水平向右发射的平行带正电粒子束射向圆形匀强磁场区，若粒子在磁场中的轨道半径恰好等于磁场圆的半径，试证明所有进入磁场的粒子将从同一点射出圆形磁场区，并确定该点的位置。
证明：以任意一个入射点P1为例，设轨道圆圆心为。
1，射出点为Q1，磁场圆和轨道圆的半径均为r，由已知，01P1=01Q1=OP1=OQ1=r，由几何知识，四边形01P10Q1为菱形。
P101是洛伦兹力方向，跟初速度方向垂直，菱形的对边平行，因此0Q1也跟初速度方向垂直，Q1是圆周的最高点。
反之也可以证明：只要粒子在磁场中的轨道半径恰好等于磁场圆的半径，那么从磁场圆周上同一点沿各个方向射入圆形磁场的粒子，射出后一定形成宽度为磁场圆直径的平行粒子束。
另证:如图所示，以O点为坐标原点，以^^'为y轴正方向，建立直角坐标系，则入射点p的坐标为(x,J)。
pp磁场圆的圆方程：x2■■■R・■R2(1)由于P点是磁场圆上的一点，坐标满足圆方程，固有■R2■R2P则轨迹P O对应的轨迹圆的圆心坐标为，丁尸■R，故圆轨迹方程为XxXcy■RR2pp (3)联立(2)(3)得出，轨迹圆总过坐标原点0(0,0)，即证明了所有粒子都从O点射出圆形磁场。
课堂练习:1.如图所示，在x-0-y坐标系中，以(/,0)为圆心、r为半径的圆形区域内存在匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向里。
在y>r的足够大的区域内，存在沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E。
从。
点以相同速率向不同方向发射质子，质子的运动轨迹均在纸面内，且质子在磁场中运动的轨迹半径也为r。
已知质子的电荷量为q，质量为m，不计质子所受重力及质子间相互作用力的影响。
⑴求质子射入磁场时速度的大小；⑵若质子沿x轴正方向射入磁场，求质子从。
磁发散磁聚焦中粒子均匀进非均匀出规律的探析
磁发散”“磁聚焦”中粒子“均匀进”“非均匀出”规律的探析大量的同种带电的粒子若所受合外力为洛伦磁力，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等，则所有的带电粒子将从磁场圆的同一位置的点射出——磁聚焦；反之，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，所受合外力为洛伦磁力，如果粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场时的速度方向相同——磁发散。
一、带电粒子在磁场中运动的“磁聚焦”如图1所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等即R＝r，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出。
平行四边形OAO′B为菱形，可得BO′为轨迹圆的半径，可知从A点发出的带电粒子必然经过B点。
图1 磁聚焦二、带电粒子在磁场中运动的“磁发散”如下图所示，有界圆形磁场磁感应强度为B，圆心O，从P点有大量质量为m，电量为q正离子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正离子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有的运动轨迹的圆心与有界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，即出射速度方向相同。
图2 磁发散在有界圆形磁场中，若带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径与圆形磁场半径相等，大量的速度相等的粒子平行射入磁场，这些粒子都会聚焦于圆形磁场边界的同一点，而大量的速度相等方向不同的粒子射入磁场，这些粒子射出磁场时方向都相同即为磁发散。
[例1] 如图甲所示,平行金属板A 和B 间的距离为d ,现在A 、B 板上加上如图乙所示的方波形电压,t ＝0时,A 板比B 板的电势高,电压的正向值为u 0,反向值为－u 0。
现有质量为m 、带电荷量为q 的正粒子组成的粒子束,沿A 、B 板间的中心线O 1O 2以速度v 0＝3qu 0T 3dm 射入,所有粒子在A 、B 板间的飞行时间均为T ,不计重力影响。
求：(1)粒子射出电场时的位置离O 2点的距离范围及对应的速度；(2)若要使射出电场的粒子经某一圆形区域的匀强磁场偏转后都能通过圆形磁场边界的一个点处,而便于再收集,对应磁场区域的最小半径和相应的磁感应强度大小。
带电粒子在磁场中的运动(磁聚焦)
例1、在xoy平面内有很多质量为m，电量为e的电子，从坐
标原点O不断以相同速率沿不同方向射入第一象限，如 图所示．现加一垂直于xOy平面向里、磁感强度为B的匀 强磁场，要求这些入射电子穿过磁场都能平行于x轴且 沿x轴正向运动，试问符合该条件的磁场的最小面积为 多大？（不考虑电子间的相互作用）
y
v0
例3放置在坐标原点O的粒子源，可以向第二象限内放射出质量为m、电荷量为q
的带正电粒子，带电粒子的速率均为v，方向均在纸面内，如图所示．若在某区域内
存在垂直于xOy平面的匀强磁场(垂直纸面向外)，磁感应强度大小为B，则这些粒子
都能在穿过磁场区后垂直射到垂直于x轴放置的挡板PQ上，求：
(1)挡板PQ的最小长度； (2)磁场区域的最小面积．
On
x2 + (r－y)2=r2。
即所有出射点均在以坐标(0，r)为圆心的圆弧abO上，显然，
磁场分布的最小面积应是实线1和圆弧abO所围的面积，由几何
关系得
Smin
2(1 r2
4
1 2
r2)
(
2
1)( mv0 eB
)2
解2: 磁场上边界如图线1所示。
y
设P(x，y)为磁场下边界上的一 点，经过该点的电子初速度与x轴
子最后扩展到 －2H<y<2H 范围内，继续沿 x 轴正向平行地
Байду номын сангаас
以相同的速率 v0向远处射出。已知电子的电量为 e，质量为
m，不考虑电子间的相互作用。
y
v0
2H
v0
H
对称思想
O -H v0 -2H
x 图形象什么？
v0
蝴蝶
如图,在xoy平面上-H<y<H的范围内有一片稀疏的电子.从x轴的负半轴的
带电粒子在电磁场中的运动
Fac
n
线圈所受合力矩大小为
M = Mac + Mbd = IBl1l 2 sin = IBS sin = Pm B sin
.8.
磁力矩定义: 磁力矩定义: 定义 注意: 注意
M = P ×B m
1. 上式对于在均匀磁场中任意形状的平面线圈均 成立; 成立 2. 带电粒子作圆或椭圆轨道运动及自旋运动时 其 带电粒子作圆或椭圆轨道运动及自旋运动时,其 磁力矩也可由上式计算. 磁力矩也可由上式计算 如果场点与平面线圈的距离远远大于平面线圈的平 均线度,则该线圈称为磁偶极子 磁偶极子. 均线度,则该线圈称为磁偶极子 磁偶极矩
Idl
二,安培定律的应用
1.直线电流所受安培力 F = I l × B 直线电流所受安培力
∫) Id l × B (
l
B
F I
l
θ
F = IBl sinθ
2.平行无限长载流直线 电流间的相互作用力 平行无限长载流直线
0 I2 dl1 dF12= I1dl1B12 = I 1 2π a dF 12 0 I 2 I1 dF 21 0 I 2 I1 = 同理 = dl1 2π a dl2 2π a
讨 论
1)en方向与 B 相同 ) 稳定平衡
+ + + + + +
2)方向相反 ) 不稳定平衡 . . . . . . . . .
3)方向垂直 ) 力矩最大
.I . . + + + + + + F . . .
+ F + + + + + + + + + +B+
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（3）设某射中A点的电子速度方向与BA的延长线夹 D
角为θ的情形。该电子的运动轨迹qpA如图所示。图中
E
圆弧Ap的圆心为O，pq垂直于BC边 ，圆弧Ap的半径
仍为a，在D为原点、DC为x轴、DA为y轴的坐标系中，
p点的坐标为(x，y)，则 x=asinθ，y=-acosθ。
A
由④⑤式可得：x2+y2=a2，这意味着在范围0≤θ≤π/2内，θ p点处在以D为圆心、a为半径的四分之一圆周AFC上， 它是电子做直线运动和圆周运动的分界线，构成所求
On
x2 + (r－y)2=r2。
即所有出射点均在以坐标(0，r)为圆心的圆弧abO上，显然，
磁场分布的最小面积应是实线1和圆弧abO所围的面积，由几何
关系得
Smin
2(1 r2
4
1 2
r2)
(
2
1)( mv0 eB
)2
解2: 磁场上边界如图线1所示。
y
设P(x，y)为磁场下边界上的一 点，经过该点的电子初速度与x轴
R
（1）求电子射入磁场时的速度大小；
（2）速度方向沿x轴正方向射入磁场
的电子，求它到达y轴所需要的时间；
（3）求电子能够射到y轴上的范围。 O
O′
x
例、如图所示，在 xOy平面上－H < y< H的范围内有一片
稀疏的电子，从 x 轴的负半轴的远外以相同的速率 v0 沿 x 轴正向平行地向 y 轴射来，试设计一个磁场区域，使
带电粒子在直边界磁场中的运动
射当时带速电度粒与子边从界同夹一角边相界同入射出——对称性
磁聚焦原理图解
数学公式推理
• 设速度夹角为a，粒子运动半径为r，磁场半径 • 也为r，则粒子圆心的横纵坐标为 • X=rsina • Y=rcosa • 显然，所有圆心的轨迹方程依然是圆 • X2+y2=r2 圆心在坐标原点，半径为r • 下面求粒子的出点坐标（x1，y1） • 磁场圆的参数方程： X2+（y-r）2=r2 • 粒子的轨迹参数方程： （X-rsina）2+（y-rcosa）2=r2 • 将出点坐标代入两个方程解：x1=rsina，y1=r+rcosa • 说明出点的和圆心在同一竖直线上，即出点水平。
2(1
4
r2
r2 2
)
( 2
1)
m2v02 e2B2
例、（2009·海南·T16）如图，ABCD是边长为a的正方形。
质量为m电荷量为e的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂 直于BC边射入正方形区域。在正方形内适当区域中有匀
强磁场，电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射
出磁场。不计重力，求：
（1）此匀强磁场区域中磁感应强度的大小和方向；
（2）此匀强磁场区域的最小面积。 D
C
y
v0
O
x
A
B
解：（1）设匀强磁场的磁感应强度的大小为B。令圆弧AEC是自C点垂直于 BC入射的电子在磁场中的运行轨道。依题意，圆心在A、C连线的中垂线上， 故B点即为圆心，圆半径为a，按照牛顿定律有 ev0B= mv02/a，得B= mv0/ea。 （2）自BC边上其他点入射的电子运动轨道只能在BAEC区域中。因而，圆弧 AEC是所求的最小磁场区域的一个边界。
例、在xoy平面内有很多质量为m，电量为e的电子，从坐
标原点O不断以相同速率沿不同方向射入第一象限，如 图所示．现加一垂直于xOy平面向里、磁感强度为B的匀 强磁场，要求这些入射电子穿过磁场都能平行于x轴且 沿x轴正向运动，试问符合该条件的磁场的最小面积为 多大？（不考虑电子间的相互作用）
y
v0
O
夹角为 ，则由图可知： x = rsin， y = r－rcos ，
1
v0 Oθ
P (x,y)
r
x
得: x2 + (y－r)2 = r2。
r
O
所以磁场区域的下边界也是半径为r，圆心为(0，r)的
圆弧应是磁场区域的下边界。
两边界之间图形的面积即为所求。图中的阴影区域面 积，即为磁场区域面积：
S
x
解1: 电子由O点射入第Ⅰ象限做匀速
y
圆周运动
ev0
B
m
v02 r
r= mv0 eB
所有电子的轨迹圆半径相等，且均过 v0
O点。这些轨迹圆的圆心都在以O为圆 O 心，半径为r的且位于第Ⅳ象限的四分 之一圆周上，如图所示。
O1
x
O2
O3
由图可知，a、b、c、d 等点就是各电
O5 O4
子离开磁场的出射点，均应满足方程
形磁场区域，磁感应强度大小为 B，方向垂直xOy平面向外，
在 y=R上方有范围足够大的匀强电场，方向水平向右，电场
强度大小为E。在坐标原点O处有一放射源，可以在xOy平面
内向 y 轴右侧（x >0）发射出速率相同的电子，已知电子在
该磁场中的偏转半径也为 R，
y
电子电量为 e，质量为 m。
E
不计重力及阻力的作用。
得：(1)所有电子都能在磁场力作用下通过原点 O； (2)
例、（2009年浙江卷）如图，在xOy平面内与y轴平行的匀强
电场，在半径为R的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场。
在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x轴正方向发
射出一束具有相同质量m、电荷量q(q＞0)和初速度v的带
电微粒。发射时，这束带电微粒分布在0＜y＜2R的区间内。
已知重力加速度大小为g。
O
x
【答案】（1）；方向垂直于纸面向外（2）见解析
（3）与x同相交的区域范围是x>0.
yБайду номын сангаас
y
【解析】 略
【关键】 图示
v AC
R O/
Pv R
Q
θR O/
O
x
O
x
图 (a)
图 (b)
y
装带 置点
微 粒 发 射
Pv Cr
R O/
O
x
Q 图 (c)
例、如图，在xOy平面内，有以O′(R，0)为圆心，R为半径的圆
（1）从A点射出的带电微粒平行于x轴从C点进入有磁场区
域，并从坐标原点O沿y轴负方向离开，求电场强度和磁感
应强度的大小与方向。
y
（2）请指出这束带电微粒与x轴相 带
交的区域，并说明理由。
点 微
粒
（3）在这束带电磁微粒初速度变为
发 射
v C
R O/
装
2v，那么它们与x轴相交的区域又在 置
哪里？并说明理由。
磁场区域的另一边界。
C
pq F
B O
因此，所求的最小匀强磁场区域，是分别以B和D为圆心、a为半径的两个四 分之一圆周AEC和AFC所围成的区域，其面积为S=2(πa2/4-a2/2) =(π-2)a2/2
磁聚焦概括： 迁移与逆向、对称的物理思想！
一点发散成平行
R r
R r
平行会聚于一点
区域半径 R 与运动半径 r 相等