特殊的平行四边形
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（对角线相等且互相垂直的平行四边形） （对角线相等的菱形） （对角线互相垂直的矩形）
.
1、(四川中考)下列说法中，错误的是（ ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 C．四个角都相等的四边形是矩形 D．邻边相等的四边形是正方形
.
2.(衡阳中考)甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观 时，一木工师傅拿尺子要他们帮助检测一个窗框是否 是矩形，他们各自做如下检测：
求证：（1）△ABC是等腰三角形；
（2）当∠A=90°时，试判断四边形AEDF是怎样
的四边形，证明你的结论.
A
E1 2 F
B .
D
C
当∠A=90°时，若D为BC边上的动点(D点不与 B、C两点重合)，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分 别是E、F，试判断四边形AEDF是怎样的四边 形，证明你的结论.
A
AC与BD需要满足条件（ ）
A.垂直
B. 相等
C.垂直且相等 D. 不再需要条件
.
4.(郴州中考)在一个四边形ABCD中，依次连 结各边中点的四边形是平行四边形，则对角
线AC与BD需要满足条件（ ）
A.垂直
B. 相等
C.垂直且相等 D. 不再需要条件
.
1、（四川中考)已知：如图所示，D是△ABC的BC 边上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、 F，且BE=CF.
A.垂直
B. 相等
C.垂直且相等 D. 不再需要条件
.
4.(郴州中考)在一个四边形ABCD中，依次连 结各边中点的四边形是菱形，则对角线AC 与BD需要满足条件（ ）
A.垂直
B. 相等
C.垂直且相等 D. 不再需要条件
.
4.(郴州中考)在一个四边形ABCD中，依次连 结各边中点的四边形是正方形，则对角线
图②
.
1
1
22
2
1
1 24
23 …
1
2
1
1 23
1 22
24 …
1 11
2
2 2 23 …
1 2
1 1…
.
2 2 23
这节课你有那些收获?
.
.
Ａ
∴菱形AEDF是正方形．
Ｅ
Ｆ
Ｂ
Ｄ
Ｃ
.
1、(大连中招)在数学活动中，小明为了求 1 221221321421n （※）
的值（结果用n表示）．设计如图①所示的几何图形．
（1）请你利用这个几何图形求算式（※）的值为_____
答： 1
1 2n
1
1
22
2
1 图①
.
1 24
23
…
(2)请你利用图②，在设计一个能求 1 221221321421n的值的几何图形 ．
菱形的判定：1、一组邻边相等的平行四边形 2、四条边相等的四边形 3、对角线互相垂直的平行四边形 （对角线互相垂直平分的四边形）
.
四边形 平行四边形
矩形
菱形
.
正方形
正方形的性质： 正方形既是矩形，又是菱形
正方形形的判定：1、一组邻边相等的矩形 2、一个角是直角的菱形 3、对角线相等且互相垂直平分的四边形
∵ AD平分∠ BAC, ∴ ∠ 1= ∠ 2 ， ∴ ∠ 1= ∠ 3 ，
Ａ
Ｅ 12 Ｆ 3
∴ AE= DE ，
Ｂ
ＤＣ
∴平行四边形AEDF是菱形．
.
（2）在（1）的条件下，△ABC是直角三角形，且
∠ BAC = 90°时，四边形AEDF为正方形．
理由：由（1） 知四边形AEDF是菱形．
∵ ∠ BAC = 90°,
A．甲量得窗框两组对边分别相等
B．乙量得窗框的对角线长相等
C．丙量得窗框的一组邻边相等
D．丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线 也相等
检测后，他们都说窗框是矩形，你认为最有说服力的
是（
）
.
3.(江西中考)如图，正方形ABCD中，AB=1，
P是对角线AC上的一点，分别以AP、PC为
对角线作正方形，则两个小正方形的周长
E1 2 F
B
D
C
.
解：四边形AEDF是矩形．
理由：∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ∠1= ∠2= 90° ．
A
∵∠A=90° ，
∴四边形AEDF是矩形． E 1 2
B
D
.
F C
(玉溪中考) 如图所示，在△ABC中，D为BC边上的 一动点(D点不与B、C两点重合)，DE//AC交AB于E 点，DF//AB交AC于F点．
（1）试探索AD满足什么条件时，四边形AEDF为 菱形，并加以证明；
（2）在（1）的条件下，△ABC满足什么条件时，
四边形AEDF为正方形．
Ａ
Ｅ
Ｆ
Ｂ.
ＤＣ
解：（1）当 AD平分∠ BAC时，四边形AEDF为菱形．
理由：∵ DE//AC， DF//AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，且∠ 2= ∠ 3 ．
是__4___
A
D
P
B
Cຫໍສະໝຸດ Baidu
.
3.(江西中考)如图，正方形ABCD中，AB=1，
P是对角线AC上的一点，分别以AP、PC为
对角线作正方形，则两个小正方形的周长
是__4___
A
1 D
P
1
1
B
C
.1
4.(郴州中考)在一个四边形ABCD中，依次连 结各边中点的四边形是矩形，则对角线AC 与BD需要满足条件（ ）
特殊的平行四边形
河南省安阳市曙光学校 冯涛
.
四边形 平行四边形
矩形
菱形
.
正方形
矩形的性质：1、四个角都是直角 2、对角线相等
矩形的判定：1、一个角是直角的平行四边形 2、三个角是直角的四边形 3、对角线相等的平行四边形 （对角线相等. 且互相平分的四边形）
四边形 平行四边形
矩形
菱形
.
正方形
菱形的性质：1、四条边都相等 2、对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角
.
1、(四川中考)下列说法中，错误的是（ ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 C．四个角都相等的四边形是矩形 D．邻边相等的四边形是正方形
.
2.(衡阳中考)甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观 时，一木工师傅拿尺子要他们帮助检测一个窗框是否 是矩形，他们各自做如下检测：
求证：（1）△ABC是等腰三角形；
（2）当∠A=90°时，试判断四边形AEDF是怎样
的四边形，证明你的结论.
A
E1 2 F
B .
D
C
当∠A=90°时，若D为BC边上的动点(D点不与 B、C两点重合)，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分 别是E、F，试判断四边形AEDF是怎样的四边 形，证明你的结论.
A
AC与BD需要满足条件（ ）
A.垂直
B. 相等
C.垂直且相等 D. 不再需要条件
.
4.(郴州中考)在一个四边形ABCD中，依次连 结各边中点的四边形是平行四边形，则对角
线AC与BD需要满足条件（ ）
A.垂直
B. 相等
C.垂直且相等 D. 不再需要条件
.
1、（四川中考)已知：如图所示，D是△ABC的BC 边上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、 F，且BE=CF.
A.垂直
B. 相等
C.垂直且相等 D. 不再需要条件
.
4.(郴州中考)在一个四边形ABCD中，依次连 结各边中点的四边形是菱形，则对角线AC 与BD需要满足条件（ ）
A.垂直
B. 相等
C.垂直且相等 D. 不再需要条件
.
4.(郴州中考)在一个四边形ABCD中，依次连 结各边中点的四边形是正方形，则对角线
图②
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1
1
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23 …
1
2
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24 …
1 11
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2 2 23 …
1 2
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这节课你有那些收获?
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Ａ
∴菱形AEDF是正方形．
Ｅ
Ｆ
Ｂ
Ｄ
Ｃ
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1、(大连中招)在数学活动中，小明为了求 1 221221321421n （※）
的值（结果用n表示）．设计如图①所示的几何图形．
（1）请你利用这个几何图形求算式（※）的值为_____
答： 1
1 2n
1
1
22
2
1 图①
.
1 24
23
…
(2)请你利用图②，在设计一个能求 1 221221321421n的值的几何图形 ．
菱形的判定：1、一组邻边相等的平行四边形 2、四条边相等的四边形 3、对角线互相垂直的平行四边形 （对角线互相垂直平分的四边形）
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四边形 平行四边形
矩形
菱形
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正方形
正方形的性质： 正方形既是矩形，又是菱形
正方形形的判定：1、一组邻边相等的矩形 2、一个角是直角的菱形 3、对角线相等且互相垂直平分的四边形
∵ AD平分∠ BAC, ∴ ∠ 1= ∠ 2 ， ∴ ∠ 1= ∠ 3 ，
Ａ
Ｅ 12 Ｆ 3
∴ AE= DE ，
Ｂ
ＤＣ
∴平行四边形AEDF是菱形．
.
（2）在（1）的条件下，△ABC是直角三角形，且
∠ BAC = 90°时，四边形AEDF为正方形．
理由：由（1） 知四边形AEDF是菱形．
∵ ∠ BAC = 90°,
A．甲量得窗框两组对边分别相等
B．乙量得窗框的对角线长相等
C．丙量得窗框的一组邻边相等
D．丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线 也相等
检测后，他们都说窗框是矩形，你认为最有说服力的
是（
）
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3.(江西中考)如图，正方形ABCD中，AB=1，
P是对角线AC上的一点，分别以AP、PC为
对角线作正方形，则两个小正方形的周长
E1 2 F
B
D
C
.
解：四边形AEDF是矩形．
理由：∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ∠1= ∠2= 90° ．
A
∵∠A=90° ，
∴四边形AEDF是矩形． E 1 2
B
D
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F C
(玉溪中考) 如图所示，在△ABC中，D为BC边上的 一动点(D点不与B、C两点重合)，DE//AC交AB于E 点，DF//AB交AC于F点．
（1）试探索AD满足什么条件时，四边形AEDF为 菱形，并加以证明；
（2）在（1）的条件下，△ABC满足什么条件时，
四边形AEDF为正方形．
Ａ
Ｅ
Ｆ
Ｂ.
ＤＣ
解：（1）当 AD平分∠ BAC时，四边形AEDF为菱形．
理由：∵ DE//AC， DF//AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，且∠ 2= ∠ 3 ．
是__4___
A
D
P
B
Cຫໍສະໝຸດ Baidu
.
3.(江西中考)如图，正方形ABCD中，AB=1，
P是对角线AC上的一点，分别以AP、PC为
对角线作正方形，则两个小正方形的周长
是__4___
A
1 D
P
1
1
B
C
.1
4.(郴州中考)在一个四边形ABCD中，依次连 结各边中点的四边形是矩形，则对角线AC 与BD需要满足条件（ ）
特殊的平行四边形
河南省安阳市曙光学校 冯涛
.
四边形 平行四边形
矩形
菱形
.
正方形
矩形的性质：1、四个角都是直角 2、对角线相等
矩形的判定：1、一个角是直角的平行四边形 2、三个角是直角的四边形 3、对角线相等的平行四边形 （对角线相等. 且互相平分的四边形）
四边形 平行四边形
矩形
菱形
.
正方形
菱形的性质：1、四条边都相等 2、对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角